Josef Schmidt 1. 1

Řešené příkady ze skript ELMA v..95 Josef Schmidt 1 1 schmijos@fjfi.cvut.cz

Dostává se vám do rukou sbírka podrobně řešených příkadů ze skript Što: Eektřina a magnetismus. Každý z příkadů by mě víceméně tvořit samostatnou jednotku. Pro porozumění řešení daného příkadu často není nutné číst příkady předchozí nebo násedující (ae ne vždy...). Pokud je nějaký příkad výjimkou z tohoto pravida, je obvyke na přísušnou pasáž na jiném místě sbírky odkázáno. Řešený příkad se vždy sestává ze zadání, jeho řešení a případného dodatku. Dodatek není k (pochopení) řešení nutný, často příkad komentuje, rozšiřuje nebo se na výpočet dívá z jiného pohedu. Příkady jsou seřazeny do ogických ceků a často tedy nejsou v pořadí, v jakém jsou uvedeny ve skriptech. Nicméně, jejich číso je zachováno pro snadnější orientaci. Za obsahem náseduje seznam příkadů seřazený stejně jako ve skriptech, díky čemuž se dá ryche dohedat, kde daný příkad v této sbírce je. V aktuání verzi chybí některé nepodstatné dodatky, které se časem ( již brzy ) objeví. 1

Obsah Seznam příkadů 5 1 Zákady teorie reativity 8 1.1 Diatace času a kontrakce déek............................ 8 1.1.1 1.1 Mion v atmosféře............................. 8 1.1. 1. Protony proétající skrz gaaxii...................... 1 1.1.3 1.5 Hustota................................... 11 1.1.4 1.4 Dopperův jev............................... 11 1. Skádání rychostí.................................... 1 1..1 Odvození vzorce pro skádání rychosti pomocí sožení Lorentzových transformací..................................... 1 1.. 1.3 Kosmická od a raketa.......................... 14 1..3 1.6 Kosmonaut na Měsíci........................... 14 1.3 Reativistická pohybová rovnice............................ 15 1.3.1 1.7 Hyperboický pohyb............................ 15 1.4 Reativistická energie a práce............................. 17 1.4.1 1.8 Urychovač................................. 17 1.4. 1.9 Práce vynaožená na eektronu...................... 17 1.4.3 1.1 Rozpad mezonu............................. 17 1.4.4 1.11 Vazebná energie afa částice....................... 18 1.4.5 1.1 Sunce................................... 19 Eektrostatika.1 Přehed vzorců...................................... Couombův zákon.................................... 4..1.1 Kuičky na nitích............................. 4... Nabité kapky............................... 5.3 Eektrostatická energie................................. 5.3.1.3 Tři náboje................................. 5.3..4 Nuová eektrostatická energie...................... 6.3.3.5 Nabitý čtyřstěn.............................. 7.3.4.6 Rozpad jádra............................... 8.4 Gaussův zákon..................................... 9.4.1.7 Náboj v krychi.............................. 9.5 Eektrostatický potenciá a intenzita eektrického poe............... 3.5.1.8 Nabitá tyč................................. 3.5..9 Nabité destičky.............................. 31.5.3.1 Osa nabitého kruhového kotouče.................... 33.5.4.11 Půkuová supka............................. 34

.5.5.13 Skoro uzavřená kružnice......................... 36.5.6.14 Useknutý vrchík............................. 38.5.7.1 Potenciá mýdové bubiny.15 Eektrostatické poe Země.16 Dieektrická pevnost vzduchu...................... 41.6 Eektrický dipóový a kvadrupóový moment..................... 44.6.1.17 Bodové náboje.............................. 44.6..18 Poarizovaná tyč............................. 45.6.3.19 Poarizovaná koue............................ 46.6.4. Sía eektrického dipóu......................... 48.6.5.1 Kvadrupóový moment bodových nábojů............... 49.6.6. Kvadrupóový moment eipsoidu.................... 51.7 Kondenzátory...................................... 5.7.1.6,.8 a.9 Deskový kondenzátor.................... 5.7..3 a.33 Vácový kondenzátor a Geiger-Müerův počítač........ 57.7.3.31 Kuový kondenzátor........................... 61.7.4.3 Kapacita vedení............................. 6.7.5.34 Skádání kapacit............................. 64.7.6.35 Kondenzátor s poovičním dieektrikem................ 65.7.7.36 Kondenzátor s proměnným dieektrikem................ 67.7.8.37 Energie kondenzátoru.......................... 68 3 Stacionární eektrické poe 69 3.1 Přehed vzorců..................................... 69 3. Skádání odporů.................................... 7 3..1 3.4 Skádání odporů............................. 7 3.. 3.5 Skádání odporů............................ 71 3.3 Odpor vodičů...................................... 7 3.3.1 3.1 Poměrné vodiče.............................. 7 3.3. 3. Napnutý drát............................... 7 3.3.3 3.3 Odporová kryche............................. 73 3.3.4 3.8 zoace v koaxiáním kabeu....................... 75 3.3.5 3.9 Svodový odpor kuového kondenzátoru................. 76 3.4 Ohmův zákon...................................... 77 3.4.1 3.6 Kryche z odporů............................. 77 3.4. 3.11 Úbytky napětí v obvodu......................... 81 3.4.3 3.1 Poškozené teegrafní vedení....................... 81 3.4.4 3.13 Rozvětvený proud............................ 83 3.4.5 3.1 Vnitřní odpor baterie......................... 84 3.4.6 3.18 Vnitřní odpor baterie......................... 84 3.4.7 3.16 Votmetr a ampérmetr.......................... 85 3.5 Joueovo tepo...................................... 86 3.5.1 3.14 Dimenzování odporů........................... 86 3.5. 3.15 Ztráty ve vedení............................. 87 3.6 Kirchhoffovy zákony.................................. 88 3.6.1 3.7 Dvousmyčkový obvod........................... 89 3.6. 3.17 Bbec zapojující baterie......................... 9 3.7 Definice proudu..................................... 91 3.7.1 3.19 Rychost eektronů v drátu....................... 91 3

3.7. 3. Eektrony v urychovači......................... 9 3.7.3 3.1 Van der Graaffův proud......................... 93 4 Stacionární magnetické poe 94 4.1 Reativita........................................ 94 4.1.1 4.1 Letící kondenzátor............................. 94 4.1. 4. Hustota proudu.............................. 96 4.1.3 4.4 a 4.5 Transformace eektrického a magnetického poe......... 96 4. Sía na vodič s proudem................................ 99 4..1 4.3 Obdéníková smyčka v magnetickém poi................ 99 4.3 Biot-Savartův zákon.................................. 1 4.3.1 4.7 Magnetické poe kruhové a poygonání smyčky............ 1 4.3. 4.11 Ohnutý drát............................... 17 4.3.3 4.1 Magnetické poe na ose čtvercové smyčky............... 18 4.3.4 4.8 Trojúheník z drátu............................ 111 4.3.5 4.9 Kryche z drátu.............................. 11 4.3.6 4.14 Tři dráty................................. 114 4.4 Ampérův zákon..................................... 115 4.4.1 4.13 Trubka s proudem............................ 115 4.4. 4.1 Vyvrtaná díra.............................. 119 4.4.3 4.15 Soenoid.................................. 11 4.5 Magnetický dipó.................................... 15 4.5.1 4.16 Zemský magnetický dipó........................ 15 4.6 Lorentzova sía..................................... 17 4.6.1 4.6 Komá poe................................. 17 4.6. 4.1 Kruhový pohyb v magnetickém poi.................. 17 4.6.3 4. Pohyb v magnetickém poi po šroubovici............... 18 5 Eektromagnetické poe 131 5.1 Eektromagnetická indukce.............................. 131 5.1.1 5. ndukce na koejích............................ 131 5.1. 5.1 Pohybující se smyčka........................... 134 5.1.3 5.7 a 5.8 Rotující cívky............................ 136 5.1.4 5.6 Homopoární generátor.......................... 138 5. Vastní a vzájemná indukčnost............................ 14 5..1 5.3 a 5.4 Vastní indukčnost vácové cívky................. 14 5.. 5.5 Vastní indukčnost toroidání cívky................... 141 5..3 5.9 Vzájemná indukčnost.......................... 145 5..4 5.1 Vzájemná indukčnost......................... 145 5.3 LR a RC obvody.................................... 147 5.3.1 5.11 a 5.1 RC obvod............................. 147 5.3. 5.13 Energie kondenzátoru.......................... 147 5.3.3 5.14 LR obvod................................. 148 5.4 Obvody se střídavým proudem............................ 148 5.4.1 5.15 Nabíjení baterie............................. 148 5.4. 5. Spotřebič................................. 15 4

Seznam příkadů 1 Zákady teorie reativity 8 1.1 Mion v atmosféře................................... 8 1. Protony proétající skrz gaaxii............................ 1 1.3 Kosmická od a raketa................................ 14 1.4 Dopperův jev..................................... 11 1.5 Hustota........................................ 11 1.6 Kosmonaut na Měsíci................................. 14 1.7 Hyperboický pohyb.................................. 15 1.8 Urychovač....................................... 17 1.9 Práce vynaožená na eektronu............................ 17 1.1 Rozpad mezonu................................... 17 1.11 Vazebná energie afa částice............................. 18 1.1 Sunce......................................... 19 Eektrostatika.1 Kuičky na nitích................................... 4. Nabité kapky..................................... 5.3 Tři náboje....................................... 5.4 Nuová eektrostatická energie............................ 6.5 Nabitý čtyřstěn.................................... 7.6 Rozpad jádra..................................... 8.7 Náboj v krychi.................................... 9.8 Nabitá tyč....................................... 3.9 Nabité destičky.................................... 31.1 Osa nabitého kruhového kotouče.......................... 33.11 Půkuová supka................................... 34.1 Potenciá mýdové bubiny.............................. 41.13 Skoro uzavřená kružnice............................... 36.14 Useknutý vrchík................................... 38.15 Eektrostatické poe Země.............................. 41.16 Dieektrická pevnost vzduchu............................ 41.17 Bodové náboje.................................... 44.18 Poarizovaná tyč................................... 45.19 Poarizovaná koue.................................. 46. Sía eektrického dipóu............................... 48.1 Kvadrupóový moment bodových nábojů...................... 49. Kvadrupóový moment eipsoidu.......................... 51.6 Deskový kondenzátor................................ 5.8 Deskový kondenzátor............................... 5 5

.9 Deskový kondenzátor............................... 5.3 Vácový kondenzátor................................. 57.31 Kuový kondenzátor................................. 61.3 Kapacita vedení................................... 6.33 Geiger-Müerův počítač............................... 57.34 Skádání kapacit................................... 64.35 Kondenzátor s poovičním dieektrikem....................... 65.36 Kondenzátor s proměnným dieektrikem...................... 67.37 Energie kondenzátoru................................ 68 3 Stacionární eektrické poe 69 3.1 Poměrné vodiče.................................... 7 3. Napnutý drát..................................... 7 3.3 Odporová kryche................................... 73 3.4 Skádání odporů................................... 7 3.5 Skádání odporů.................................. 71 3.6 Kryche z odporů................................... 77 3.7 Dvousmyčkový obvod................................. 89 3.8 zoace v koaxiáním kabeu.............................. 75 3.9 Svodový odpor kuového kondenzátoru........................ 76 3.1 Poškozené teegrafní vedení............................. 81 3.11 Úbytky napětí v obvodu............................... 81 3.1 Vnitřní odpor baterie................................ 84 3.13 Rozvětvený proud.................................. 83 3.14 Dimenzování odporů................................. 86 3.15 Ztráty ve vedení................................... 87 3.16 Votmetr a ampérmetr................................ 85 3.17 Bbec zapojující baterie............................... 9 3.18 Vnitřní odpor baterie............................... 84 3.19 Rychost eektronů v drátu............................. 91 3. Eektrony v urychovači............................... 9 3.1 Van der Graaffův proud............................... 93 4 Stacionární magnetické poe 94 4.1 Letící kondenzátor................................... 94 4. Hustota proudu.................................... 96 4.3 Obdéníková smyčka v magnetickém poi...................... 99 4.4 Transformace eektrického a magnetického poe.................. 96 4.5 Transformace eektrického a magnetického poe.................. 96 4.6 Komá poe......................................17 4.7 Magnetické poe kruhové a poygonání smyčky...................1 4.8 Trojúheník z drátu..................................111 4.9 Kryche z drátu....................................11 4.1 Magnetické poe na ose čtvercové smyčky.....................18 4.11 Ohnutý drát.....................................17 4.1 Vyvrtaná díra....................................119 4.13 Trubka s proudem..................................115 4.14 Tři dráty.......................................114 4.15 Soenoid........................................11 6

4.16 Zemský magnetický dipó..............................15 4. Pohyb v magnetickém poi po šroubovici......................18 4.1 Kruhový pohyb v magnetickém poi........................17 5 Eektromagnetické poe 131 5.1 Pohybující se smyčka.................................134 5. ndukce na koejích..................................131 5.3 Vastní indukčnost vácové cívky..........................14 5.4 Vastní indukčnost vácové cívky.........................14 5.5 Vastní indukčnost toroidání cívky.........................141 5.6 Homopoární generátor................................138 5.7 Rotující cívka....................................136 5.8 Rotující cívka....................................136 5.9 Vzájemná indukčnost................................145 5.1 Vzájemná indukčnost...............................145 5.11 RC obvod......................................147 5.1 RC obvod.....................................147 5.13 Energie kondenzátoru................................147 5.14 LR obvod.......................................148 5.15 Nabíjení baterie...................................148 5. Spotřebič.......................................15 7

Kapitoa 1 Zákady teorie reativity 1.1 Diatace času a kontrakce déek 1.1.1 1.1 Mion v atmosféře Mion v kosmickém záření by pozorován, jak v atmosféře urazi od svého vzniku do rozpadu vzdáenost d = 5km rychostí v =,99c. Jakou dobu existova v naší pozorovací soustavě, jakou dobu ve vastní kidové soustavě a jak siná vrstva atmosféry proša koem něho ve vastní soustavě? Řešení: Dobu života v naší pozorovací soustavě určíme jednoduše z kinematického vztahu t = d v = 5km,99c = 1,68.1 5 s = 16,8µs (1.1) (použii jsme přibižnou hodnotu rychosti světa c = 3.1 8 m/s). Z našeho pohedu zároveň mionu ubíhá čas pomaeji vivem diatace času. Určeme tedy ze vztahu pro diataci vastní čas mionu: τ = t γ = t 1 v c = d v 1 v c =,375.1 6 s =,375µs. (1.) Z pohedu mionu koem něj atmosféra sviští rychostí v, tudíž bude kontrahovaná ve směru svého pohybu, dosazením do vztahu pro kontrakci déek získáme toušt ku atmosféry z pohedu mionu: d = d γ = d Stejného výsedku dosáhneme použitím kinematického vztahu 1 v = 75m. (1.3) c d = τ v = 75m, (1.4) kde jsme využii faktu, že koem mionu atmosféra etí rychostí v po dobu jeho vastního času života τ. Dodatek: V tomto příkadu je možné natrefit na reativistický paradox. Z pohedu mionu je to pozorovate na Zemi, kdo se pohybuje, tudíž diatace času postihuje jeho. Mion tedy na svých hodinkách během svého života naměří spočtený čas τ =,37µs a de něj pozorovatei na Zemi uběhne pouze τ = τ γ = τ 1 v =,335µs (místo t = 16,8µs). (1.5) c 8

Jak je to možné? Probém je zde s reativitou současnosti. Dvě udáosti, které se z jedné vztažné soustavy jeví, že nastay současně, tak v jiné vztažné soustavě vůbec současné být nemusí. V soustavě spojené s pozorovateem nazemi mámedvě současné udáosti: vznik mionua spuštění stopek pozorovateem na Zemi, stejně jsou zde současné udáosti: zánik mionu a zastavení stopek pozemského pozorovatee. V soustavě spojené s mionem tyto udáosti současné obecně nebudou! Z pohedu mionu tedy pozorovate na Zemi nejspíš zcea nepochopiteně spouští a zastavuje stopky úpně jindy, než v okamžiku, kdy mion vzniká a zaniká. Kvantifikujme nyní tyto úvahy. Napišme si prostorové a časové souřadnice jednotivých udáostí v soustavě spojené se Zemí a transformujme je pomocí Lorentzovy transformace do soustavy spojené s mionem. Vezměme jednu prostorovou souřadnici x jejíž počátek je v místě vzniku mionu a míří doů směrem k pozorovatei. Pak vznik mionu P V, začátek měření P M, zánik mionu P Z a konec měření P K mají prostoročasové souřadnice (x, t): P V = (,), P M = (d,), P Z = (d,t), P K = (d,t). (1.6) (pro jednoduchost uvažujeme, že mion se rozpadne přesně u nohou pozorovatee). O vznik mionu v O země x x zánik mionu Obrázek 1.1: Souřadnice x spojená s pozorovateem na Zemi, s počátkem v místě vzniku mionu. Souřadnice x spojená s pohybujícím se mionem, mion je umístěn v počátku. Souřadnicix zavedemetak,žebudemířit vesměrusouřadnicex,ajejípočátek budespojens pohybujícímsemionem. Zavedení souřadnicxax také viz obrázek 1.1. Mezi souřadnicemi (x,t) a (x,t ) v takto zavedených vztažných soustavách můžeme přejít násedujícími Lorentzovými transformacemi x = γ(x vt) = x vt, 1 v c t = γ (t v c x ) = t v c x 1 v c. (1.7) Po dosazení konkrétních hodnot souřadnic (x, t) pro jednotivé udáosti dostaneme souřadnice (x,t ) udáostí ve vztažné soustavě spojené s mionem (po řadě vznik mionu P V, začátek měření P M, zánik mionu P Z, konec měření P K ): P V = (,), P M (γd =, γ v ) ( c d, P Z =, t ) (, P K γ =, t ), (1.8) γ kde jsme pro získání fináních tvarů použii vztah d = vt. Vidíme tedy, že v soustavě spojené s mionem pozorovate na Zemi zača měření dávno před vznikem mionu v čase t M = γ v c d = 9

117µs (mion vznik v čase t V = s). Konec měření nasta (současně se zánikem mionu) v čase t Z = t K = t γ =,37µs. Cekově tedy pozorovate v soustavě spojené s mionem měři po dobu t m = t M t Z = t γ +γ v ( ) 1 c d = t γ +γv c = tγ = 119µs, (1.9) kde jsme opět použii vztah d = vt. Vastní čas měřícího pozorovatee pak je t m γ = t = 16,8µs, což je přesně hodnota, kterou jsme měi na začátku. Čas,335µs, který nás ved k ceé této úvaze, jednoduše představuje jen maou část vastního času stopujícího pozorovatee. O žádný paradox se tedy nejedná. 1.1. 1. Protony proétající skrz gaaxii V kosmickém záření se vyskytují protony o energii E = 1 1 GeV. Za jak douho proetí naší Gaaxií v naší vztažné soustavě a ve své vastní? Řešení: Nejprve si spočteme rychosti proétajících protonů. Vztah mezi energií a rychostí získáme ze savného vztahu E = mc = m γc = E γ =, (1.1) 1 v c ( ) 1/ kde jsme zavedi označení faktoru γ = 1 v c a kidové energie E = m c. Vyjádřením rychosti dostaneme v = 1 E ( ) E c. (1.11) E Kidová energie protonu je přibižně E = 1GeV. Hodnota rychosti je pak v = 1 1 c (1,5 1 )c =,99...99 }{{} 5c. (1.1) x kde jsme použii aproximaci (Tayorův rozvoj do prvního řádu) 1+x 1 + x. Z hediska pozorovatee v gaaxii můžeme uvažovat v c. Jestiže uvažujeme déku naší Gaaxie = 1 sv.et, pak doba, za kterou protony skrze Gaaxii proetí z hediska pozorovatee v Gaaxii, je jednoduše t = v = 1et. (1.13) c Čas uběhý z hediska protonu získáme pomocí vztahu pro diataci času (zde musíme použít přesnou rychost v) τ = t γ = t 1 v c. (1.14) Ze vztahu (1.1) vidíme, že E E = 1 v, pro vastní čas protonu pak dostaneme c τ = t E E = 15 et 1 1 = 1 5 et = 315s. (1.15) Dodatek: Pokud se na situaci podíváme z pohedu protonů, Gaaxie koem nich sviští obrovskou rychostí v a je tedy extrémně zkrácená vivem kontrakce déek. Spočtěme tuto déku pomocí vztahu pro kontrakci déek (opět musíme použít přesnou rychost v): = γ = 1 v c = E E = 15 sv.et 1 1 = 1 5 sv.et = 315sv.s, (1.16) 1

což je méně než vzdáenost ze Země na Sunce. Tuto vzdáenost také můžeme dostat použitím kinematického vztahu = τv τc, (1.17) kde jsme využii faktu, že koem protonu Gaaxie etí rychostí přibižně c po dobu jeho vastního času průetu τ. 1.1.3 1.5 Hustota Těeso se vzhedem k dané vztažné soustavě pohybuje rychostí v =,8c. Určete poměr mezi jeho hustotou v této soustavě a hustotou kidovou. Řešení: Hustota v kidové soustavě ρ a hustota v pohybující se soustavě ρ jsou z definice dány vztahy ρ = m, ρ = m V V, (1.18) kde m a V jsou hmotnost a objem v kidové soustavě a m a V jsou hmotnost a objem v pohybující se soustavě. Objem se vivem Lorentzovy kontrakce déek transformuje jako V = V γ = V 1 v c. (1.19) Tento transformační vztah pyne z toho, že rozměr ve směru pohybu podéhá kontrakci, viz obrázek 1.. c c = c b V b = b V v a a = a γ Obrázek 1.: Objem a pohybující se objem. Při pohybu se zároveň zvětšuje hmotnost těesa, m = m γ. Dáme-i tyto vztahy dohromady, dostaneme výsedek: ρ = m V = m γ V = m γ = ρ γ. (1.) γ V 1.1.4 1.4 Dopperův jev Fyzik hazardér, který přeje autem křižovatku na červenou a by zastaven poicistou, se háji tím, že v důsedku Dopperova jevu vidě místo červené zeenou. Fyzikáně vzděaný poicista ho však stejně pokutova, a to za nedovoenou rychost. Určete tuto rychost za předpokadu, že červené odpovídá spektrání čára λ = 7nm a zeené λ = 55nm. Řešení: Reativistický vztah mezi vysíanou frekvencí zdroje f a pozorovanou frekvencí f p, pokud se pozorovate přibižuje ke zdroji rychostí v (a tedy s faktorem β = v c ) je 1+β f p = 1 β f. (1.1) 11

Za frekvence dosadíme pomocí vnových déek, f = c λ : Nyní již jen vyjádříme faktor β: rychost fyzika hazardéra v autě tedy bya v = βc = 71km/s. c λ = 1+β c. (1.) 1 β λ β = λ λ λ =,37, (1.3) +λ Dodatek: Odvod me výše zmíněný vztah mezi frekvencemi f a f p. Uvažujme zdroj, který je v kidu, a k němu se přibižuje pozorovate rychostí v. Jaká bude perioda vnění T pro pozorovatee? Ten jede rychostí v vstříc vnopochám šířících se rychostí c. Perioda T udávající, za jak douho koem pozorovatee propuje jedna vnová déka, je pak dána rovnicí vt +ct = λ, (1.4) kde λ je vnová déka světa vysíaného zdrojem, viz také obrázek 1.3. Tedy T = λ v+c. λ P vt ct Obrázek 1.3: Pozorovate P jede rychostí v vstříc vnění sířící se proti němu rychostí c. Nesmíme ovšem zapomenout na to, že pohybujícímu pozorovatei jdou hodiny pomaeji. Perioda T, kterou jsme zatím určii, je dána časem v soustavě spojené se zdrojem vnění. Pohybujícímu se pozorovatei mezitím uběhne vastní čas τ daný vztahem pro diataci času: τ = T γ = T 1 v c = T 1 β. (1.5) Takže pozorovaná frekvence je f p = 1 τ, postupným dosazováním dostaneme výsedný vztah: f p = 1 τ = 1 1 1 β T = 1 v +c = 1+β 1 β λ 1 β 1. Skádání rychostí c 1+β = λ 1 β f. (1.6) 1..1 Odvození vzorce pro skádání rychosti pomocí sožení Lorentzových transformací Naezněte zákon reativistického skádání rychostí v jednom směru sožením dvou Lorentzových transformací. Konkrétně naezněte tvar jedné Lorentzovy transformace, která bude ekvivaentní sožení dvou výše zmíněných transformací. 1

Řešení: Pro dvě soustavy (S) a (S ), které mají stejně orientované osy a soustava (S ) se vůči (S) pohybuje podé osy x (resp. x ) rychostí V, má Lorentzova transformace tvar 1 x = γ(x Vt), y = y, z = z, t = γ (t Vc ) x, γ = (1 V ) 1/. (1.7) Uvažujme tři vztažné soustavy (S), (S ) a (S ). Mezi soustavami (S) a (S ) přecházíme zadanou rychostí V, mezi (S ) a (S ) zadanou rychostí W a mezi (S) rovnou do (S ) přejdeme hedanou rychostí Y. Viz také obrázek 1.4. z (S) z (S ) z (S ) V W c Y x x x O O O y y y Obrázek 1.4: Tři vztažné soustavy (S), (S ) a (S ). Označme faktory gama indexem pode rychosti, kterou obsahují: γ = γ V = (1 V ) 1/ ) 1/, γ W = (1 W, γ Y = (1 Y ) 1/. (1.8) c Pak Lorentzovy transformace pro souřadnice x, x, x a t, t, t mezi soustavami (S) a (S ), (S ) a (S ), (S) a (S ) mají tvar ( x = γ V (x Vt), t = γ V t V ) c x, (1.9) ( x ( = γ W x Wt ), t = γ W t W ) c x, (1.3) ( x = γ Y (x Yt), t = γ Y t Y ) c x. (1.31) Nyní provedeme sožení Lorentzových transformací (1.3) a (1.9) a výsedek porovnáme s (1.31). Vezměme vztah pro transformaci x (1.3) a dosad me za x a t z (1.9) : ( ( x = γ W γ V (x Vt) Wγ V t V )) c x. (1.3) Výše uvedený výraz chceme upravit do tvaru x = γ Y (x Yt) (1.31) u proměnné t pak odečteme výraz pro soženou rychost Y. Upravujme tedy (1.3): (( x = γ W γ V 1 VW ) ) x (V +W)t = c [γ W γ V ( 1 VW c c )] ( x V +W 1 VW c t 1 Pro počátky soustav spývající v čase t = t =. Mohi bychom vzít i vztah pro transformaci t, ae postup by by v podstatě identický. ) c = γ Y (x Yt) (1.33) 13

Z posední rovnosti v předchozím výrazu dostáváme porovnáním hedaný vztah pro soženou rychost Y: Y = V +W 1 VW. (1.34) c Zároveň obdržíme vztah mezi gama koeficienty pro jednotivé rychosti, ( γ W γ V 1 VW ) c = γ Y ; (1.35) jeho patnost můžeme dokázat prostým rozepsáním všech gama faktorů (a dosazení konkrétní hodnoty rychosti Y) a násednou zdouhavou úpravou... 1.. 1.3 Kosmická od a raketa Z kosmické odi pohybující se vzhedem k Zemi rychostí v 1 =,8c bya ve směru jejího pohybu vypuštěna raketa rychostí v =,6c vzhedem k odi. Vastní déka rakety je = 1m. Jaká je déka této rakety z hediska pozorovatee v odi a z hediska pozorovatee na Zemi? Řešení: Vzorec pro reativistické skádání rychostí je násedující: v = v 1 +v 1+ v 1v c, (1.36) kde v je výsedná rychost, v 1 a v jsou původní rychosti se shodným kadným směrem. Po dosazení dostaneme konkrétní výsednou rychost v: v = (,8+,6)c =,946c. (1.37) 1+,6,8 Pro získání pozorovaných déek rakety musíme jen dosadit správné rychosti do vzorce pro kontrakci déek = γ = 1 v c, (1.38) kde je vastní (kidová) déka, déka po kontrakci a v přísušná rychost pohybu. Raketa z pohedu kosmonauta na kosmické odi má rychost v, z hediska pozorovatee na Zemi má právě soženou rychost v. Výsedné kontrahované déky tedy jsou: v = 1 1,6 = 8m, v = 1 1 (,946) = 3,4m. (1.39) 1..3 1.6 Kosmonaut na Měsíci Kosmonaut na Měsíci pozoruje dvě kosmické odi bížící se k němu z opačných stran rychostmi v 1 =,8c a v =,9c. Jaká je rychost jedné z odí měřená z pauby druhé? Řešení: Jenom pro zajímavost si uvědomme, že kosmonaut pozoruje kosmické odi bížit se k sobě prostým součtem rychostí: v 1 +v = 1,7c. Jiná je situace pro pozorovatee na jednotivých kosmických odích, z jejich pohedu se k sobě kosmické odě bíží rychostí v = v 1 +v 1+ v 1v c = (,8+,9)c =,988c. (1.4) 1+,8,9 14

1.3 Reativistická pohybová rovnice 1.3.1 1.7 Hyperboický pohyb Určete rychost a dráhu reativistické částice, na níž působí konstantní sía F. Porovnejte s rovnoměrně zrycheným pohybem v nereativistické fyzice a ukažte, že rychost částice nepřekročí rychost světa c. Řešení: Řešme reativistickou pohybovou rovnici, resp. její jednorozměrnou verzi Po dosazení γ = d dt (m γ v) = F, d dt (m γv) = F. (1.41) ( 1 v c ) 1/ a zintegrování pode času (sía F je konstantní) získáme m v = Ft+C 1, (1.4) 1 v c kde integrační konstantu C 1 určíme z počátečních podmínek. Uvažujeme-i nuovou rychost v čase nua, v() =, dostaneme C 1 =. Z předchozí rovnice vyjádříme rychost v(t): v(t) = Ftc m c +F t = Ft 1 m ) = 1+( Ft m c c 1+ ( m c Ft ). (1.43) Z posedního vyjádření zjevně v(t) < c pro ibovoný čas t, navíc patí im t + v(t) = c. Dráhu x(t) získáme integrací rychosti pode času: Ftc x(t) = v(t)dt = dt. (1.44) m c +F t Použitím substituce u = m c +F t, du = F tdt obdržíme výsedek x(t) = c du F u = F c u+c = c m F c +F t +C. (1.45) Pro počáteční podmínku x() = máme C = c F m c. Výsedek pak můžeme napsat ve tvaru: x(t) = m c ( ) Ft 1+ 1. (1.46) F m c Na závěr ukážeme, jak se iší reativistický výsedek od nereativistického. Bude se nám hodit Tayorův poynom funkce (1+x) α, kde α R a x je bízké nue: (1+x) α = + k= ( ) α x k = 1+αx+ α(α 1) x +... (1.47) k Vezměme nyní funkce v(t) v prostředním vyjádření (1.43) a x(t) (1.46) a použijme Tayorův rozvoj na odmocniny v nich: ( 1+ ( ) ) Ft ±1/ = 1± 1 ( ) Ft + ±1 m c m c 15 ( ± 1 1) ( ) Ft 4 +..., (1.48) m C

kde jsme uvažovai x = ( Ft m c) a tedy náš rozvoj patí jen pro časy t, kdy je x maé. Po dosazení těchto rozvojů do funkcí x(t) a v(t) (u poohy jsme použii rozvoj do druhého řádu, u rychosti jen do prvního řádu) dostaneme x(t) = 1 F t 1 m 8m 3 +..., (1.49) ct4 F 3 F 3 v(t) = F t 1 m m 3 +... (1.5) ct3 Vidíme tedy, že vzorce pro nereativistický pohyb jsou prvním přibížením pohybu reativistického. V tzv. nereativistické imitě c + dostaneme vzorce pro nereativistický pohyb. Dodatek: Proč se příkad jmenuje hyperboický pohyb? Protože trajektorií reativistického pohybu s působící konstantní siou je v prostoročasovém diagramu hyperboa. Pro snažší úpravy se nám bude hodit pozměnit počáteční podmínku počáteční poohy na x() = m c F = α. Pak integrační konstanta vyjde C = a výsedná závisost poohy na čase x(t) je x(t) = α 1+ c t α. (1.51) Úpravou získáme rovnici trajektorie v prostoročasovém diagramu s proměnnými (x, t) jako x c t = α, (1.5) což je rovnice hyperboy znázorněné na obrázku 1.5. Nereativistický pohyb x = 1 m t pak představuje pohyb paraboický. ct F α x Obrázek 1.5: Hyperboický pohyb zakresený v prostoročasovém diagramu. Dodatek: Ve skriptech je výsedek zapsán pomocí konstanty a = F m. Tato konstanta nepředstavuje zrychení částice. Pro reativistický pohyb je při působení konstantní síy zrychení nekonstantní. Skutečnou hodnotu zrychení získáme kasickým způsobem z kinematického vztahu: a(t) = dv(t) dt = d dt ( Ftc m c +F t ) = m Fc3 ( m c +F t ) 3/. (1.53) 16

1.4 Reativistická energie a práce 1.4.1 1.8 Urychovač Urychovač dodává protonům energii E = 5 GeV. Jaké rychosti dosahují? (Kidová energie protonu je E =,938GeV.) Řešení: Vztah mezi energií a rychostí získáme ze savného vztahu E = mc = m γc = E γ =, (1.54) 1 v c ( ) 1/ kde jsme zavedi označení faktoru γ = 1 v c a kidové energie protonu E = m c. Vyjádřením rychosti získáme v = 1 1.4. 1.9 Práce vynaožená na eektronu E ( ) E c =,999998c. (1.55) E Jak vekou práci je třeba vynaožit na zvýšení rychosti eektronu z v 1 = 1,.1 8 m.s 1 na v =,4.1 8 m.s 1 pode nereativistické a reativistické mechaniky? (Kidová energie eektronu je,511mev.) Řešení: V nereativistické mechanice je práce rozdí kinetických energií objektu W = E K E K1 = 1 m v 1 m v1 = 1 ( v m c ) c v 1 c = 1 E ( β β1) =,4E =,13MeV, (1.56) kde jsme vztah zapsai pomocí reativistických veičin kidové energie E a faktoru β = v c ; v našem konkrétním případě máme β 1 = 5 a β = 4 5 (při použití přibižné hodnoty rychosti světa c = 3.1 8 m/s). V reativistickém případě je práce rovna přímo rozdíu cekových energií těes: W = E E 1 = m c m 1 c = m c (γ γ 1 ) = E (γ γ 1 ) =.58E =.96MeV, (1.57) kde jsme ve výrazu použii faktor γ = (1 β ) 1/. Výsedné vztahy pro nereativistickou, resp. reativistickou, práci jsou W = 1 E ( β β 1), resp. W = E (γ γ 1 ). (1.58) Nereativistický vztah získáme z toho reativistického Tayorovým rozvojem faktoru γ do prvního řádu: γ = ( 1 β ) 1/ 1+ 1 β. 1.4.3 1.1 Rozpad mezonu Mezon π (s kidovou energií E π = 139,6MeV ) serozpadá z kidu namion µ (kidová energie E µ = 15,7MeV ) a antineutrino ν. Určete energii mionu a antineutrina a uvoněnou kinetickou energii. Řešení: Nejprve spočteme cekovou uvoněnou kinetickou energii. Ta je dána prostým rozdíem cekových kidových energií před a po rozpadu úbytek hmoty se muse přeměnit na kinetickou energii: E K = E π (E µ +E ν ) = E π E µ = 33,9MeV, (1.59) 17

kde jsme poožii kidovou energii antineutrina E ν rovnu nue. Současné experimenty sice ukazují, že hmotnost neutrin je nenuová, ae zároveň v řádu jednotek ev nebo méně (tedy asi o 8 řádů méně než jsou kidové hmotnosti mezonu π a mionu). Jak se kinetická energie rozděí mezi vzniké částice? K tomu musíme využít zákony zachování hybnosti a energie: Mezon π by na začátku v kidu a tedy p π = a E π = E π : Reativistický vztah mezi energií a hybností je p π = p µ +p ν, E π = E µ +E ν. (1.6) = p µ +p ν, E π = E µ +E ν. (1.61) E c = E c p p = 1 c (E E ). (1.6) Ze zákona zachování hybnosti pyne rovnost kvadrátů hybností, p µ = p ν, a po dosazení z výše uvedeného vztahu dostaneme (opět po poožení E ν ) 1 c (E µ E µ ) = 1 c (E ν E ν ) E µ E µ = E ν. (1.63) Dospěi jsme tedy k násedující soustavě dvou rovnic o neznámých E µ a E ν : E π = E µ +E ν, Eµ = E µ E ν. (1.64) Po rozožení pravé strany druhé rovnice na (E µ E ν )(E µ +E ν ) a dosazení z první se vyhneme řešení kvadratické rovnice a dostaneme sadu ineárních rovnic: E π = E µ +E ν, Sečtením a odečtením těchto rovnic dostaneme výsedky: ( ) ( E µ = 1 E π + E µ E π = 19,8MeV, E ν = 1 E µ E π = E µ E ν. (1.65) E π E µ E π ) = 9,8MeV. (1.66) Na závěr stojí za to ještě expicitně spočítat kinetickou energii rozpadých částic jednoduše odečtením kidových energií: E Kµ = E µ E µ = 4,1MeV, E K ν = E ν = 9,8MeV. (1.67) Vidíme, že nehmotné antineutrino odnáší většinu vzniké kinetické energie! 1.4.4 1.11 Vazebná energie afa částice Určete vazebnou energii částice α v M ev, jsou-i kidové hmotnosti protonu, neutronu a částice α: m p = 1,6765.1 7 kg, m n = 1,67495.1 7 kg a m α = 6,644.1 7 kg. Řešení: Vazebná energie je dána rozdíem kidových energií produktu a jeho konstituentů: E V = m α c (m p +m n )c = 4,61.1 1 J = 8,8MeV, (1.68) kde jsme použii přibižnou hodnotu rychosti světa c = 3.1 8 m/s. Záporné znaménko naznačuje, že při vzniku afa částice se tato energie uvoní. Přepočet mezi jouy a eektronvoty je dán násedující jednoduchou jednotkovou úvahou 1eV = (1e).V = 1e C C.V = 1e C J = 1,6.1 19 J. (1.69) 18

1.4.5 1.1 Sunce Energie sunečního záření, které dopadá za jednotku času na čtvereční metr na hranici zemské atmosféry, představujetakzvanousuneční konstantu K = 137W.m,střednívzdáenostZemě od Sunce je d = 1,5.1 11 m = 1AU. Zdrojem suneční energie je tzv. vodíkový cykus, při němž se vždy čtyři jádra vodíku (protony) o reativní atomové hmotnosti m rp = 1,8 mění na jádro héia (m rα = 4,39). Určete úbytek hmotnosti Sunceamnožství spáeného vodíkuzasekundu. Odhadněte dobu, během níž by se spáio množství vodíku odpovídající dnešní hmotnosti Sunce M =.1 3 kg. Řešení: Nejprve určíme cekový zářivý výkon Sunce P. Jestiže ve vzdáenosti d prochází jedním metrem čtverečním výkon K, pak cekový výkon získáme vynásobením pochou sféry o pooměru d: P = 4πd K = 3,75.1 6 W = 3,75.1 14 TW (1.7) Tato energie se bere z jaderných reakcí uvnitř Sunce, kde se maá část hmoty přeměňuje na energii (at už kinetickou poséze vyzářenou pomocí eektromagnetického záření anebo rovnou na gamma záření). Množství přeměňované hmoty určíme z rovnice E = mc, resp. její časové derivace: P = de dt = dm dt c dm dt = P c = 4πd K c = 4,169.1 9 kg/s = 4,169Mt/s, (1.71) kde jsme použii přibižnou hodnotu rychosti světa c = 3.1 8 m/s. Toto je tedy cekový úbytek hmotnosti Sunce za jednotku času vivem přeměny hmoty na vyzářenou energii. Nyní určíme množství spáeného vodíku za jednotku času. Jedna reakce vodíkového cyku poskytne násedující množství energie: E 1 = mc = (4m p m α )c. (1.7) Cekový počet potřebných reakcí za jednu vteřinu pro výkon P pak je N = P E 1 = 4πd K (4m p m α )c. (1.73) Za jednu reakci se spáí 4m p vodíku, cekové množství spáeného vodíku pak je dm H dt = 4m p N = 4m p 4πd K (4m p m α )c = 4πd K (1 mα 4m p )c. (1.74) m V posedním vyjádření již vystupuje pouze poměr hmotností α m p a tedy hmotnosti můžeme dosadit v jakýchkoiv jednotkách, třeba pomocí reativních atomových hmotností: dm H dt = 4πd K (1 mrα 4m rp )c = 5,98.111 kg/s = 598,Mt/s. (1.75) PokudbySuncebyojenzvodíkuajadernéreakce bypoceou dobuprobíhaystejnourychostí, pak by se vodík propái za čas T = M dm H dt = 3,343.1 18 s = 16md. et. (1.76) Steární evouce je samozřejmě mnohem kompikovanější a současné modey předpovídají cekovou dobu spaování vodíku na přibižně 1 miiard et. 19

Kapitoa Eektrostatika.1 Přehed vzorců Couombův zákon Sía F C od bodového náboje Q působící na bodový náboj q je dána jako F C = qq r 4πε r 3, F C = 1 qq 4πε r, (.1) kde r je vektor spojující náboj Q s nábojem q (od Q ke q), r je jeho veikost a ε. = 8,854.1 1 F.m 1 je permitivita vakua. ~F C q ~r Obrázek.1: Couombův zákon (směr síy je zde zakresen pro souhasné náboje). Q Eektrostatická energie W soustavy bodových nábojů: W = α<β 1 4πε q α q β r αβ, (.) kde q α jsou jednotivé veikosti bodových nábojů a r αβ jsou vzdáenosti mezi jednotivými náboji. q 3 r 3 r 13 r 1 q q 1 Obrázek.: Eektrostatická energie soustavy tří bodových nábojů. Gaussův zákon vztahuje tok eektrického poe E uzavřenou pochou s cekovým nábojem Q obkopeným touto pochou: E ds = Q. (.3) ε S

Eement pochy je d S = nds, kde n je jednotkový normáový vektor k pošce veikosti ds, viz také obrázek.3. Normáa n je orientována tak, aby mířia ven z uzavřené pochy. ~n ~E ds S Q Obrázek.3: Uzavřená pocha S v Gaussově zákoně s bodovým nábojem Q a znázorněným eementem pochy d S = nds. Pokud vektor intenzity eektrického poe E je v daném místě k poše S tečný, pak do integráu nepřispívá, nebot E n a tedy E d S =. Pokud naopak vektor E je v daném místě komý k poše S, pak se skaární součin redukuje na E d S = EdS. V případě, že pracujeme s bodovými náboji a některý z nábojů eží přímo na poše, Gaussův zákon nepatí (neze vastně rozhodnout, zda náboj eží či neeží uvnitř pochy) 1! Část eektrických siočar pak totiž uniká ven z pochy a není započítána do cekového toku eektrického poe. Eektrostatický potenciá ϕ pro bodové náboje: ϕ = 1 q α, (.4) 4πε R α q α jsou náboje jednotivých částic. Pro spojité rozožení náboje; po řadě: dékové, pošné a objemové rozožení: ϕ = 1 τ 4πε R d, ϕ = 1 σ 4πε S R ds, ϕ = 1 ρ dv, (.5) 4πε V R kdeτ, σ aρjsoupořadě funkcedékové, pošné, objemové nábojové hustoty. Vzdáenost R (pro bodové náboje R α ) je vzdáenost mezi místem určování eektrostatického potenciáu ϕ o poohovém vektoru r a integračním eementem (d, ds, dv) o poohovém vektoru r, tzn. R = r r, viz obrázek.4. Pro bodové náboje má roi r poohový vektor částic r α, tzn. R α = r r α. α dv ρ(~r ) O ~r ~r ~R =~r ~r '(~r) =? Obrázek.4: Znázorněný vektor R = r r pro určování eektrostatického (skaárního) potenciáu ϕ. Vektor r je poohový vektor místa určování hodnoty ϕ( r), vektor r je poohový vektor eementu objemu dv. 1 Podobně je to v případě dékového a pošného rozožení náboje, pokud část křivky či část pochy s náboji eží na poše S v Gaussově zákoně. 1

Podrobně mají vzorce násedující tvary. Pro bodové náboje: a pro spojité rozožení nábojů: ϕ( r) = 1 τ( r ) 1 4πε r r d, ϕ( r) = 4πε ϕ( r) = 1 q α 4πε r r α, (.6) S α σ( r ) 1 r r ds, ϕ( r) = 4πε V ρ( r ) r r dv. (.7) ntenzita eektrického poe E (ve statickém případě): je definováno jako (Couombická) sía působící na jednotkový (testovací) náboj: E = F C q. (.8) Vektor intenzity eektrického poe E můžeme získat z eektrostatického potenciáu ϕ: ( E = gradϕ = ϕ ) x, ϕ y, ϕ. (.9) z Přímý výpočet pro bodové náboje: a pro spojité rozožení nábojů: E = 1 τ R 4πε R 3 d, E 1 = 4πε E = 1 Rα q α 4πε Rα 3, (.1) S α R σ R 3 ds, E 1 = 4πε V R ρ dv, (.11) R3 kde τ, σ a ρ jsou po řadě funkce dékové, pošné, objemové nábojové hustoty. Vektor R (pro bodové náboje R α ) je vzdáenost mezi místem určování intenzity eektrického poe E o poohovém vektoru r a integračním eementem (d, ds, dv) o poohovém vektoru r, tzn. R = r r, viz obrázek.5. Pro bodové náboje má roi r poohový vektor částic r α, tzn. R α = r r α. Vzdáenost R je veikost vektoru R, tzn. R = r r (pro bodové náboje máme R α = r r α ). dv ρ(~r ) ~R =~r ~r ~r ~E(~r) =? O ~r Obrázek.5: Znázorněný vektor R = r r pro určování intenzity eektrického poe E. Vektor r je poohový vektor místa určování hodnoty E( r), vektor r je poohový vektor eementu objemu dv. Podrobně mají vzorce násedující tvary. Pro bodové náboje: E( r) = 1 r r α q α 4πε r r α 3 (.1) α

a pro spojité rozožení nábojů: E( r) = 1 τ( r ) 4πε E( r) = 1 σ( r ) 4πε S E( r) = 1 ρ( r ) 4πε V r r r r 3 d, r r r r 3 ds, r r r r dv. (.13) 3 Mutipóový rozvoj eektrostatického potenciáu je dán vztahem ϕ( r) = 1 [ Q 4πε r + p r r 3 + 1 i,j Q ] ijx i x j r 5 +..., (.14) kde r je veikost poohového vektoru r, Q je cekový náboj, p je vektor dipóového momentu a (Q ij ) je tenzor kvadrupóového momentu. Tyto veičiny se určí de násedujících vzorců (vždy pro bodové náboje a spojité objemové rozožení náboje ): Cekový náboj: Dipóový moment: Q = q α, Q = α p = q α r α, p = α V V ρ( r) dv, (.15) ρ( r) r dv, (.16) Kvadrupóový moment: Q ij = ( q α 3xi x j δ ij r ) α, Q ij = α V ρ( r) ( 3x i x j δ ij r ) dv, (.17) kde q α jsou náboje jednotivých částic, r α = (x 1α,x α,x 3α ) = (x α,y α,z α ) jejich poohové vektory, pro zpřehednění zápisu používáme značení (x α,y α,z α ) = (x,y,z) α. Vektor r = (x 1,x,x 3 ) = (x,y,z) je poohový vektor eementu objemu dv, ρ( r) je funkce objemové nábojové hustoty. Eektrické napětí je definované jako práce vnějších si F při přemístění jednotkového náboje po dráze : U = 1 F d q, (.18) kded = td, d jeeement déky a tje jednotkový tečný vektor ke křivce. V eektrostatice je obvyke jedinou siou působící na náboj sía eektrická, F = qe, pak se tedy vzorec konkretizuje na U = E d. (.19) Kapacita kondenzátoru je definována jako náboj na kondenzátoru na jednotkové napětí: Jednotky: kapacita C [F] = [C.V 1 ], náboj Q [C], napětí U [V]. C = Q U. (.) Pro krátkost nejsou uvedenévzorce pro dékové a pošné rozožení náboje. Spočívají jen v záměně objemového integráu za dékový nebo pošný a v záměně funkce objemové nábojové hustoty za dékovou nebo pošnou. 3

Skádání kapacit: Vzorce pro sériové (vevo) a paraení (vpravo) zapojení kondenzátorů jsou 1 C = 1 C 1 + 1 C, C = C 1 +C, (.1) viz obrázek.6. C 1 C C 1 C Obrázek.6: Skádání kapacit C 1 a C. Vevo je sériové zapojení a vpravo paraení.. Couombův zákon..1.1 Kuičky na nitích Dvě stejné maé kuičky o hmotnostech m = 1g visí na dvou nitích déky = 1m. Nabijeme-i je souhasným nábojem stejné veikosti q, rozestoupí se tak, že niti budou svírat pravý úhe. Určete veikost náboje q. ~F n Fn ~ ~F C FC ~ m m ~F g ~F g Obrázek.7: Kuičky na niti. Řešení: Aby byy kuičky v rovnováze, musí výsednice gravitační F g a Couombovy síy F C směřovat ve směru nití (pak mohou být vyrovnány napět ovou siou F n ). Veikost Couombovy síy mezi dvěma náboji je obecně dána vztahem F C = 1 4πε q 1 q r, (.) kde q 1, q jsou hodnoty jednotivých nábojů a r je vzdáenost mezi nimi. Pro nitě svírající pravý úhe a tedy pro odkon jednotivých nití o úhe 45 musí být veikosti gravitační a Couombovy síy stejné, F C = F g. Vzdáenost mezi kuičkami je z Pythagorovy věty r = a veikosti jednotivých si pak: F C = 1 q 4πε, F g = mg. (.3) Vyjádříme-i náboj q z rovnice rovnosti si, dostaneme F C = F g q = ± 8πε mg = 1,48.1 6 C, (.4) kde jsme pro numerický výsedek použii hodnotu permitivity vakua ε = 8,854.1 1 F.m 1 a gravitačního zrychení g = 9,81m.s. 4

... Nabité kapky Na dvou stejných vodních kapkách je po jednom přebytečném eektronu, přičemž sía eektrického odpuzování je stejně veká jako sía gravitačního přitahování. Určete pooměr kapek. ~F C ~ Fg ~ Fg ~ FC d Obrázek.8: Kapky s přebytečným eektronem. Řešení: Kuičky jsou odpuzovány Couombovou siou F C a přitahovány gravitační siou F g, veikosti těchto si jsou obecně dány vztahy F C = 1 4πε q 1 q r, F gκ m 1m r, (.5) kde q 1, q jsou jednotivé náboje, m 1 a m hmotnosti těes, r je jejich vzdáenost. Tyto vzorce patí pro sféricky symetricky rozožený náboj a hmotu (Gaussova věta) r je vzdáenost jejich středů. Uvažujeme zde, že jediný přebytečný eektron na kapkách se nachází právě v jejich středu. Vzorce (.5) pak jsou konkrétně F C = 1 4πε e d, F g = κ m d, (.6) kde m jsou hmotnosti jednotivých kapek, e je veikost eementárního eektrického náboje a d je vzdáenost středů kapek. Hmotnost kapek vyjádříme pomocí jejich hustoty ρ a pooměru r: m = ρv = 4 3 πr3 ρ. (.7) Z rovnosti veikostí si F C = F g vyjádříme potřebný pooměr kapek: 9e r = 6 64π 3 ε κρ = 7,63.1 5 m = 76,3µm, (.8) kdejsmepronumerickývýsedekpoužiihodnotyeementárníhoeektrickéhonábojee = 1,6.1 19 C, permitivity vakua ε = 8,854.1 1 F.m 1, gravitační konstanty κ = 6,674.1 11 m 3.kg 1.s a hustoty vody ρ = 1kg.m 3..3 Eektrostatická energie.3.1.3 Tři náboje Tři náboje e, e, e jsou umístěny v uvedeném pořadí ve stejných vzdáenostech a. Určete síy působící na každý náboj a eektrostatickou energii soustavy. e a e a e Obrázek.9: Tři náboje e, e, e ve vzdáenostech a od sebe. 5

Řešení: Couombova sía F C od bodového náboje Q působící na bodový náboj q je dána jako F C = qq r 4πε r3, (.9) kde r je vektor spojující náboj Q s nábojem q (od Q ke q) a r je jeho veikost. Tento zápis pak přirozeně vyjadřuje vastnost, že souhasné náboje se odpuzují a nesouhasné přitahují. Označme síu působící od i-tého náboje na j-tý jako F ij. Tyto síy jsou znázorněné na obrázku.1. Jejich veikosti jsou F 1 = F 1 = F 3 = F 31 = 1 e 4πε a, F 13 = F 31 = 1 e 4πε 4a. (.3) 1 3 e e e ~F 31 ~ F1 ~ F1 ~ F3 ~ F3 ~ F13 Obrázek.1: Jednotivé síy působící na náboje. Sía F ij představuje síu od i-tého náboje působící na j-tý náboj. Označíme-i F 1, F a F 3 cekové veikosti si působící po řadě zeva na jednotivé náboje dostaneme (de veikostí díčích si F ij (.3) a jejich směrů na obrázku.1): F 1 = F 3 = 1 ( e ) 4πε a e (a) = 1 3e 4πε 4a, F =. (.31) Směry těchto výsedných si jsou na obrázku.11. e e e ~F 1 ~ F3 Obrázek.11: Cekové síy působící na náboje. Sía F je nuová. Eektrostatická energie soustavy je dána obecným vztahem W = 1 q α q β, (.3) 4πε r αβ kdeq α jsounábojenajednotivýchčásticích ar αβ jsoujejichvzájemnévzdáenosti.zdekonkrétně W = 1 ( q1 q + q 1q 3 + q ) q 3 = 1 ( ) e 4πε r 1 r 13 r 3 4πε a + e a + e = 1 3e a 4πε a. (.33) α<β.3..4 Nuová eektrostatická energie Najděte takové uspořádání jednoho protonu a dvou eektronů na jedné přímce, aby eektrostatická energie soustavy bya nuová. Řešení: Na přímce jsou možné dvě neekvivaentní uspořádání jednoho protonu a dvou eektronů, viz obrázek.1. Vzdáenosti mezi náboji jsme označii obecně a a b. a b a b e p e e e p Obrázek.1: Dvě uspořádání jednoho protonu a dvou eektronů na přímce. 6

Eektrostatická energie pro soustavu tří nábojů je W = 1 4πε α<β q α q β r αβ = 1 4πε ( q1 q r 1 + q 1q 3 r 13 + q q 3 r 3 ), (.34) kde q α jsou náboje na jednotivých částicích a r αβ jsou jejich vzájemné vzdáenosti. Pro uspořádání eektron-proton-eektron máme výraz W = 1 ( ) e 4πε a + e a+b + e = e a +b +ab b 4πε ab(a+b). (.35) V čitatei máme součet samých kadných číse (vzdáenosti a a b musíme uvažovat kadné, jeikož jsme je použii jako hodnoty pro r 1, r 13 a r 3, které jsou vždy kadné), takže v uspořádání e-p-e nemůže být eektrostatická energie W nuová. Pro uspořádání eektron-eektron-proton dostáváme W = 1 4πε ( e Eektrostatická energie je rovna nue, W =, právě tehdy když b a ab = ) a + e a+b + e = e b a ab b 4πε ab(a+b). (.36) ( ) b b 1 = a a ( ) b a 1, = 1± 5. (.37) Poměr kadných vzdáeností musí být kadný, řešením tedy je poměr vzdáeností b a = 1+ 5, kdy je eektrostatická energie W uspořádání e-e-p nuová..3.3.5 Nabitý čtyřstěn Najděte energii potřebnou k umístění čtyř eektronů do vrchoů čtyřstěnu o hraně a = 1 1 m, v jehož středu je proton. e e p e e Obrázek.13: Čtyřstěn s eektrony v jeho vrchoem a protonem v jeho středu. Řešení: Eektrostatická energie soustavy nábojů W je dána vztahem W = 1 4πε α<β q α q β r αβ, (.38) kde q α jsou náboje na jednotivých částicích a r αβ jsou jejich vzájemné vzdáenosti. Nebudeme zde vypisovat všech deset čenů této sumy pro 5 nábojů. Uvědomíme si, že díky symetrii čtyřstěnu máme jen dva různé druhy interakcí mezi náboji. Je to vzájemná interakce eektronů ve vrchoech čtyřstěnu všechny jsou stejně vzdáené na déku hrany čtyřstěnu a a 7

těchto hran je cekem šest. Druhou interakcí je proton ve středu čtyřstěnu působící na čtyři eektrony ve vzdáenosti r: W = 1 ) (6 e e +4. (.39) 4πε a r Vzdáenost středu čtyřstěnu od jeho vrchoů je 3 r = W = e 6 8 4πε a 3 6 4 a, kde a je déka jeho hrany. Po dosazení: = 1,3.1 18 J, (.4) pronumerickývýsedekjsmepoužiihodnotyeementárníhoeektrickéhonábojee = 1,6.1 19 C a permitivity vakua ε = 8,854.1 1 F.m 1..3.4.6 Rozpad jádra Atomová jádra těžkých prvků můžeme považovat za koue nabité s objemovou hustotou náboje ρ = 4 3 15 C.m 3. Jak se změní eektrostatická energie při symetrickém rozpadu jádra uranu 9U na dvě stejná jádra paadia 46 Pd? Řešení: Eektrostatická energie objemově nabité koue o pooměru R s konstantní nábojovou hustotou ρ, resp. cekovým nábojem na koui Q, je W = 4πR5 ρ = 3 1 Q 15ε 54πε R. (.41) Náboj jádra uranu je Q U = 9e a náboj jádra paadia je Q Pd = 46e = 1 Q U. Jejich pooměry určíme ze vztahu pro cekový náboj Q objemově homogenně nabité koue: Q = ρv = ρ 4 3Q 3 πr3 R = 3 4πρ. (.4) Pooměry jader uranu a paadia tedy jsou 69e 69e R U = 3 πρ, R Pd = 3 πρ = R U 1 3. (.43) Změna eektrostatické energie W je W = W U W Pd = 3 ( 1 Q ) ( ) U Q Pd = 3 1 Q 1 U 1 54πε R U R Pd 54πε R 1 U 3 = 3 ( 1 πρ Q U 3 1 1 ) 3 54πε 69e = 7,36.1 11 J, (.44) 4 kdejsmepronumerickývýsedekpoužiihodnotyeementárníhoeektrickéhonábojee = 1,6.1 19 C a permitivity vakua ε = 8,854.1 1 F.m 1. 3 Odvození záměrně vynecháváme... 8

.4 Gaussův zákon.4.1.7 Náboj v krychi Bodový náboj je umístěn a) ve středu kryche, b) v jednom z rohů kryche. Určete tok intenzity eektrického poe každou ze stěn kryche. Q Q (a) Náboj uprostřed kryche. (b) Náboj v rohu kryche. Obrázek.14: Náboje v krychích. Řešení: Pro rešení této úohy použijeme Gaussův zákon. Ten říká, že tok intenzity eektrického poe Φ skrze uzavřenou pochu S je úměrný náboji Q v této poše uzavřenému: Φ = E ds = Q. (.45) ε S Pokud uvažujeme náboj uprostřed kryche, můžeme povrch kryche vzít jako uzavřenou pochu S v Gaussově zákoně. Cekový tok intenzity eektrického poe E krychí tedy je Φ = Q ε. Symetrie úohy říká, že každou ze stěn kryche musí téct stejný tok eektrického poe 4. Tento tok je zjevně roven Φ 1stěna = 1 6 Φ = Q 6ε. (.46) Pro náboj v rohu kryche je situace kompikovanější v tom, že Gaussův zákon nepatí v případě, že bodový náboj eží na zvoené poše S. Můžeme ae určit tok třemi stěnami kryche, v nichž náboj eží, přímo z definice toku intenzity eektrického poe: Φ = E ds. (.47) S Vektory eektrického poe E jsou radiání míří vždy přímo od nebo k náboji. To znamená, že vektory E jsou tečné ke stěnám, ve kterých náboj eží, viz obrázek.15. Q ~E ~E Obrázek.15: Vektory eektrické intenzity E pro náboj v rohu kryche jsou tečné ke stěnám, ve kterých náboj eží. 4 Kryche je symetrická při rotaci o násobky pravých úhů okoo os procházející středem kryche (a nábojem) komých na přísušné dvě stěny kryche. 9