Téma 4 Výpočet přímého nosníku

Stavební statika, 1.ročník bakaářského studia Téma 4 Výpočet přímého nosníku Výpočet nosníku v osové úoze Výpočet nosníku v příčné úoze ve svisé a vodorovné havní rovině Výpočet nosníku v krutové úoze Výpočet nosníku v rovinné úoze Výpočet nosníku v prostorové úoze Katedra stavební mechaniky Fakuta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Výpočet nosníku v prostorové úoze Staticky určitý nosník v prostoru musí být podepřen n v 6 jednoduchými vnějšími vazbami, které musí být správně uspořádány, aby nevznik výjimkový případ podepření. Přímý nosník musí být podepřen a může být zatížen obecně v prostoru tzv. prostorová úoha. Prostorové zatížení ze rozožit: a) siové sožky působící v ose nosníku b) siové sožky komé k ose nosníku a momenty v 1.havní rovině prutu c) siové sožky komé k ose nosníku a momenty ve.havní rovině prutu d) momenty v rovinách komých k ose prutu (a) (b) Výpočet nosníku v prostorové úoze Staticky určité nosníky v prostorové úoze Obr. 7.51. / str. 13 / 110

Výpočet přímého nosníku Výpočet prostorově zatíženého a prostorově podepřeného nosníku ze zjednodušit rozožením na 4 jednodušší úohy: a) osová úoha (namáhání tahem nebo takem) b) příčná úoha v 1.havní rovině (příčný ohyb v 1.havní rovině) c) příčná úoha ve.havní rovině (příčný ohyb ve.havní rovině) d) krutová úoha (namáhání kroucením) Postup výpočtu má dvě havní etapy: a) výpočet sožek reakcí ve vnějších vazbách b) výpočet vnitřních si nosníku (a) (b) Postup při výpočtu přímého nosníku Staticky určité nosníky v prostorové úoze Obr. 7.51. / str. 13 3 / 110

Výpočet nosníku v osové úoze Jedna vnější vazba jediná sožka reakce (n v 1) z podmínky rovnováhy: Rax + R 0 Rax R 0 Rax Jediná sožka vnitřních si normáová sía. R Normáová sía N osově namáhaného nosníku v zadaném průřezu je rovna výsednici všech si, které na nosník působí po jedné straně zadaného průřezu. (a) (c) (b) (d) Výpočet nosníku v osové úoze Výpočet reakce a normáové síy v osové úoze Obr. 7.1. / str. 90 4 / 110

Normáová sía N Normáová sía je kadná (tahová), mái výsednice smys od zadaného průřezu (tj. při postupu z evé strany doeva, při postupu z pravé strany doprava). V opačném případě je normáová sía záporná (taková). R ax R ax Kadný směr normáové sožky vnitřních si a a N N N + - tah tak + x N N N b b F F osa nosníku Výpočet nosníku v osové úoze 5 / 110

Příkad 4.1 Zadání: určit reakci R ax a normáovou síu v průřezu c (a) (b) (c) Výpočet nosníku v osové úoze Zadání a řešení příkadu 4.1 Obr. 7.. / str. 90 6 / 110

Příkad 4. Zadání: sestrojit průběh normáových si N Normáová sía v průřezu, kde působí bodová (osaměá) osová sía, je určena ve dvou soumezných průřezech zeva a zprava od působiště bodové síy. Obě normáové síy se iší o hodnotu bodové síy, normáová sía se mění skokem. Průběh normáových si po ceé déce se znázorňuje graficky formou diagramu (grafu). (a) (b) Výpočet nosníku v osové úoze Řešení příkadu 4. Obr. 7.3. / str. 91 7 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků Při působení spojitého osového zatížení se reakce určí pomocí výsednice ceého spojitého zatížení pocha zatěžovacího obrazce (obecně integrace, u jednoduchých obrazců eementární vzorce geometrie). Obdobně se při výpočtu normáové síy určí díčí výsednice spojitého zatížení vevo nebo vpravo od uvažovaného průřezu. n konst. N R ax n. a - x N n. n. ( x ) N b Výpočet reakcí R ax N n. Normáová sía ( ) L ( x) Rax + n. x n. + n. x n. ( x ) N ( a ) Rax n. Výpočet nosníku v osové úoze 8 / 110

Příkad 4.3 Zadání: určit veikost reakce R ax a veikost normáové síy v soumezných průřezech zeva a zprava od průřezu c. R ax 6.4 + 16 40kN N c N c ( 1) 40 + 6. 8kN ( ).6 1kN Výpočet nosníku v osové úoze Zadání příkadu 4.3 Obr. 7.4. / str. 9 9 / 110

Výpočet normáových si a) rovnoměrné zatížení n konst. b) trojúheníkové zatížení (b je déka části cd) x 1 nd, nx nd. Rx. x. nx b R x n. x N( ) N( ) n x nd. x. b x c. N( x ) N( c) nd. x. b c) ichoběžníkové zatížení sožené z rovnoběžného a trojúheníkového Výpočet nosníku v osové úoze (a) (b) (c) Průběhy normáových si pod spojitým osovým zatížením Obr. 7.5. / str. 9 10 / 110

Příkad 4.4 Zadání: sestrojit průběh normáových si N (a) (b) Výpočet nosníku v osové úoze Řešení příkadu 4.4 Obr. 7.6. / str. 93 11 / 110

Příkad 4.5 Zadání: obdéníkový průřez s ineárně proměnnou výškou průřezu, měrná hmotnost staviva ρ 400 kg/m 3, zatížení pouze vastní tíhou. (a) (b) (c) Předmět výpočtu: reakce soupu a průběh normáových si. Výpočet nosníku v osové úoze Zadání a řešení příkadu 4.5 Obr. 7.7. / str. 94 1 / 110

Nosník v osové úoze - soup Odstupňovaný průřez soupu Richard Daey Center v Chicagu z roku 1965 Výpočet nosníku v osové úoze 13 / 110

Nosník v osové úoze - soup Odstupňovaný průřez soupu Richard Daey Center v Chicagu z roku 1965 Výpočet nosníku v osové úoze 14 / 110

Výpočet nosníku v příčné úoze Zatížení ibovoným příčným zatížením s trojím způsobem podepření (n v ): a) konzoa posuvně vetknutá vevo nebo vpravo b) prostý nosník podepřený na obou koncích vazbami proti svisému posunu c) prostý nosník s převisými konci (a) (c) (e) (b) (d) (f) Druhy přímých nosníků v příčné úoze Obr. 7.9. / str. 95 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 15 / 110

Výpočet nosníku v příčné úoze Při působení spojitého zatížení se reakce určí pomocí výsednice ceého spojitého zatížení pocha zatěžovacího obrazce (obecně integrace, u jednoduchých obrazců eementární vzorce geometrie), která má působiště v těžišti zatěžovacího obrazce. (a) (b) (c) (d) Náhradní síy za spojitá zatížení v příčné úoze přímého prutu Obr. 7.10. / str. 96 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 16 / 110

Reakce konzoy posuvně vetknuté vevo a F F 1 a R a 1 b Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy: 1. R z 0 ia. 0 R a a Kadné znaménko vypočtené sožky reakce potvrzuje její předpokádaný smys, záporné znaménko udává, že skutečný smys sožky reakce je opačný, než by předpokádán. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 17 / 110

Reakce konzoy posuvně vetknuté vevo Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy: 1. R z 0 ia. 0 Pi Ra R 0 a a + Pi. pi 0 a Pi. pi + P i (a) (b) (c) Sožky reakce konzoy vevo vetknuté a schéma upraveného zatížení Obr. 7.11. / str. 96 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 18 / 110

Příkad 4.6 Zadání: určit sožky reakcí pro čtyři zatěžovací stavy téže konzoy (a) (c) (b) (d) Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Zadání a řešení příkadu 4.6 Obr. 7.1. / str. 97 19 / 110

Reakce konzoy posuvně vetknuté vpravo F 1 F b b a 1 R b Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy: 1. R z 0 ib. 0 R b b Kadné znaménko vypočtené sožky reakce potvrzuje její předpokádaný smys, záporné znaménko udává, že skutečný smys sožky reakce je opačný, než by předpokádán. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 0 / 110

Reakce konzoy posuvně vetknuté vpravo Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy: 1. R z 0 ib. 0 Pi Rb R 0 b b Pi. pi 0 b Pi. p + P i i (a) (b) (c) Sožky reakce konzoy vpravo vetknuté a schéma upraveného zatížení Obr. 7.13. / str. 97 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 1 / 110

Příkad 4.7 Zadání: určit sožky reakcí pro uvedený zatěžovací stav Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Zadání a řešení příkadu 4.7 Obr. 7.14. / str. 98 / 110

Ukázky konzoových nosníků Chodníková konzoa mostní konstrukce Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 3 / 110

Ukázky konzoových nosníků Chodníková konzoa mostní konstrukce Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 4 / 110

Ukázky konzoových nosníků Betonový skeet a oceová kopue pavionu C, Brněnské výstaviště Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 5 / 110

Ukázky konzoových nosníků Konstrukce schodiště pavionu C, Brněnské výstaviště Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 6 / 110

Ukázky konzoových nosníků Konstrukce schodiště pavionu C, Brněnské výstaviště Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 7 / 110

Ukázky konzoových nosníků Konzoový nosník konstrukce schodiště pavionu C, Brněnské výstaviště Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 8 / 110

Ukázky konzoových nosníků Konzoový nosník podepření technoogického mostu dou ČSA v Karviné Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 9 / 110

Ukázky konzoových nosníků Nosná konstrukce pošiny, Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 30 / 110

Ukázky konzoových nosníků Nosná konstrukce pošiny, Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 31 / 110

Reakce prostého nosníku bez převisých konců F 1 F a 1 b R a R b Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy: 1. ia ib 0. 0 R b R a 3. R z 0 kontroa Kadné znaménko vypočtené sožky reakce potvrzuje její předpokádaný smys, záporné znaménko udává, že skutečný smys sožky reakce je opačný, než by předpokádán. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 3 / 110

Reakce prostého nosníku bez převisých konců Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy: 1. ib ia 0. 0 Kontroa: (a) (b) (c) ( Pi p i ) 1 R a. Pi. p i 0 Ra. + R. 3. Rz 0 Ra + Rb Pi b 1 Pi. pi + 0 Rb. ( Pi pi ) Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Reakce prostého nosníku a schéma upraveného zatížení Obr. 7.15. / str. 98 33 / 110

Příkad 4.8 Zadání: určit sožky reakcí pro dva zatěžovací stavy téhož nosníku (a) (b) Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Zadání a řešení příkadu 4.8 Obr. 7.16. / str. 99 34 / 110

Ukázky prostých nosníků Prosté nosníky žeezobetonového skeetu, Interspar, Ostrava-Poruba Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 35 / 110

Ukázky prostých nosníků Prosté nosníky žeezobetonového skeetu, Interspar, Ostrava-Poruba Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 36 / 110

Reakce prostého nosníku s převisými konci Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy stejný jako u nosníku bez převisých konců: (a) 1. ia 0 R b ib. 0 R a 3. R z 0 kontroa (b) Kadná sía na převisém konci způsobuje k podpoře moment opačného smysu než kadná sía v poi. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Ramena si v upraveném zatížení Obr. 7.18. / str. 100 37 / 110

Příkad 4.9 Zadání: určit sožky reakcí (a) (b) Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Zadání a řešení příkadu 4.9 Obr. 7.19. / str. 100 38 / 110

Vnitřní síy přímého nosníku v příčné úoze V příčné úoze dva druhy vnitřních si: posouvající sía a ohybový moment. Posouvající sía se určí s využitím siové podmínky rovnováhy (ve svisém směru) jedné z obou částí, k výpočtu ohybového momentu se využije momentová podmínka rovnováhy jedné z obou částí. V praktických případech se vybere část s menším počtem vnějších si jednodušší výpočet. (a) (b) Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Vnitřní síy v příčné úoze Obr. 7.0. / str. 101 39 / 110

Posouvající sía V Posouvající síu v zadaném průřezu c ze vypočítat jako agebraický součet všech svisých si po jedné straně průřezu. Postupuje-i se z evé strany, do součtu se zahrnou kadně síy působící zdoa nahoru, záporně síy působící shora doů. Při postupu z pravé strany je to naopak: kadné jsou síy působící shora doů, záporné směřují zdoa nahoru. R a a V + V Kadné směry komé sožky vnitřních si V + x F V V - V b R b osa nosníku Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 40 / 110

Ohybový moment Ohybový moment v zadaném průřezu c ze vypočítat jako agebraický součet statických momentů k bodu c všech si a momentů působících po jedné straně průřezu. Postupuje-i se z evé strany, do součtu se zahrnou kadně momenty působící ve smysu chodu hodinových ručiček, záporně momenty otáčející proti ručičkám. Při postupu z pravé strany je to naopak: kadné jsou momenty proti ručičkám, záporné po ručičkách. R a R a a a tak tah tah tak Kadné směry momentové sožky vnitřních si + x F F b b R b R b + - osa nosníku Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 41 / 110

Příkad 4.10 Zadání: určit sožky reakcí na prostém nosníku s pravým převisým koncem a vnitřní síy v bodu c. Reakce: 1 16 + 10.7,.1,4 + R a. 0,16kN 5 + 30. 0., R b V c 1 + 16 + 10.7,.3,6 +. 101,84kN 5 + 30.3 + 0.7, Posouvající sía zeva: ( 1) 0,16 10.3 9,84kN ( ) ( ) (a) V c V V c ( ) ( c 1) 30 39,84kN Posouvající sía zprava: ( ) 10.4, 101,84 + 0 39,84kN Ohybový moment zeva a zprava: c c ( ) 0,16.3 + 16 10.3.1,5 31,48kNm (b) ( ) 101,84. 10.4,.,1 0.4, 31,48kNm Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Zadání příkadu 4.10 Obr. 7.1. / str. 10 4 / 110

Diferenciání podmínka rovnováhy eementu v osové úoze N n x 1 x x N+dN x z dx R x 0: -N + (N+dN) + n.dx 0 dn n dx Výpočet nosníku v osové úoze Rovnováha eementu v osové úoze Obr. 7.8. / str. 94 43 / 110

Diferenciání podmínky rovnováhy eementu v příčné úoze dv dq q.dx R z 0: -V + (V+dV) + q.dx 0 q dx V q Σ i,x 0: - + (+d) V.dx+ q.dx.dx/ + m.dx 0 +d x x d d V m V pro m 0 dx dx x 1 m x z dx V+dV Schwederovy vztahy Johann Wihem Schweder (183-1894) významný německý inženýr, např. Schwederova kupoe Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Rovnováha eementu v příčné úoze Obr. 7.. / str. 10 44 / 110

Diferenciání podmínky rovnováhy eementu v příčné úoze Závěry: Extrém funkce f(x): ( x) df dx 0 dv dx d dx q 0 V m 0 Extrém V v průřezu, kde q0 V ( x) q( x) dx + C Extrém v průřezu, kde V0, Vm, V mění znaménko 1 ( x) V ( x) dx + C, m( x) 0 C 1, C z okrajových podmínek a a 0 a 0, V0 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 45 / 110

Diferenciání podmínky rovnováhy eementu v příčné úoze Závěry: -q integrace V derivace Derivačně integrační schéma Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 46 / 110

Diferenciání podmínky rovnováhy eementu v příčné úoze Poynom stupně 1º qkonst. n dv dx q q0 n+1 integrace d V dx º 1º 0º derivace n+ 3º º 1º Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 47 / 110

48 / 110 Souvisost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních si Souvisost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních si Obr. 7.3. / str. 103 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) x m q x m x V x d d d d d d d d q x V d d d d V x Závěry: m V x d d pro m0: d d q x

Určení extrémních hodnot vnitřních si Extrém může vzniknout: a) v podporových bodech b) v působištích osaměých si (znaménko V se mění skokem) c) pod spojitým zatížením v místě, kde je V0 + 0º p - V V + 1º p 1º - + max º + max Nebezpečný (kritický) průřez. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 49 / 110

Určení extrémních hodnot vnitřních si (a) V V c ( x ) V( c) q. x ( ) q. x 0 (a) (b) (b) x V ( c) q x n q V c + q + 4. QV. c. Q qd q Q. b c ( c) 1 x V q. x x q q V q x Q xn b n ( x ) ( c) c n. n. ( d c ). ( c) c. n. 0 Nebezpečný průřez Obr. 7.7. / str. 106 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 50 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy konzo a prostých nosníků Nejjednodušší zatěžovací případy konzoy a prostého nosníku Obr. 7.37. / str. 114 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 51 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoy x 0, V a F x - F.x - b by R bz -F -F. Výpočet reakcí R bz F( ) by F. ( ) Posouvající sía V L x V V ( ) konst. F ( a) V( x0) F ( b) V( x ) F Ohybový moment L x. ( ) F x ( ) ( 0 ) a x 0 ( b ) ( x ) F. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 5 / 110

Příkad 4.11 Zadání: určit siovou i momentovou sožku reakce konzoy, sestrojit průběhy posouvajících si a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních si. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Zadání a řešení příkadu 4.11 Obr. 7.5. / str. 104 53 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoy Výpočet reakcí a b by R bz 0 by ( ) x 0, x Posouvající sía V x V L ( ) 0 ( a ) V( x0) V b V x ( ) ( ) 0 V 0 Ohybový moment - - L x ( ) ( a) ( x0) ( b) ( x ) Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 54 / 110

x 0, V Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoy q konst. a 0 x q.x Q q. q. 8 º - - b by R bz q. q. Výpočet reakcí R bz Q q. by Q. ( ) Posouvající sía V L x. V( a ) V( x 0 ) 0 V ( ) q x q. V q. ( ) R ( b) ( x ) bz Ohybový moment x q. x ( L x) q. x. ( ) ( 0 ) a x 0 q. b x q. ( ) x 8 ( ) ( ) by Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 55 / 110

a x 0, V 0 0 Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoy x º q. 16 3º q.x q. 8 R bz Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 4. q. 81 Q q. - - b by q. q. 6 q Výpočet reakcí ( ) q. R bz Q q. by Q. 3 6 Posouvající sía L qx. x q. x. x q. x V( x).. V( ) ( 0 ) a V x 0 q. V( b) V( x ) Rbz q. V ( x ) 8 Ohybový moment L x a x ( ) q. x. ( ) ( ) 0 0 q ( ) x 3 16 ( ). q 6 4 (. ). q. x 3 81 ( b) ( x ) by. x q. x. 3 6. 3 56 / 110

q x 0, V a 0 0 Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoy º x 4. q. 81 Q 3º q. 3.q. 8 -x - - by b R bz q. R bz q. 14. q. 3 81 q. ( x) Výpočet reakcí Q q. ( ) Posouvající sía P qx. x q. V( x) Rbz + + q. ( x)(. x) q. x. ( x. ) +.. V( ) ( 0 ) 3 a V x 0 V( ). q. x q. 8 V V R by Q.. 3 ( ) ( b) ( x ) bz Ohybový moment P ( x) + Rbz. ( x) by q. +. ( x) q. 3 q. q.. q. 3 ( ) q 3 14 (. ). q. x 3 81 ( a) 0 ( b) by 4 ( ). q. x 3 81 ( x) ( x) 3 ( x) q. x.( x 3. ) 6... 3 6. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 57 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků x 0, V a R az F.d x + c Raz. c Rbz. d F.c + F 1 d - b R bz Výpočet reakcí F. d R az ( ) F. c R bz ( ) Posouvající sía x 0,c x c, Ohybový moment x 0,c x c, b x L V V V V L ( x ) Raz. x ( ) ( ) 0 R ( x) az L ( x) Raz F V V 0 R ( a) ( x ) az R F R ( b) ( x ) az bz ( a ) ( x 0 ) 0 () 1 ( x c) Raz. c L ( ) R. x F. ( x c) x az P ( x) Rbz. ( x) () 1 ( x c) Rbz. d Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 58 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků F F Výpočet reakcí R az F( ) F( ) R bz x 0, a c x 1 d c b Posouvající sía x 0, c L V R ( x) az V R ( a) az V R az + F.c F + F - R bz x c, c + d x c + d, x 0,c V V L ( x) Raz F 0 Ohybový moment x c, c + d x c + d, L R. F R ( x) az bz L ( x ) Raz. x V L ( x ) Raz. x F. ( x c) F. c P ( x) Rbz. ( x) R ( b) bz ( a ) 0 ( b ) 0 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 59 / 110

x 0, V a R az F.d Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků c + F. F. c. d d x 1 1 + F Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) - d F.d P () 1 ( x c) ( ) ( x c d ) F - c + F. c. d F. c. d + b R bz Výpočet reakcí F d F. d R bz. R az ( ) ( ) Posouvající sía x 0,c x c, c + d x c + d, x 0,c L V L d V( x) Raz F F. 1 L V ( x) Raz V R Ohybový moment x c, c + d x c + d, L ( x ) Raz. x L ( x) Raz. x F. ( x c) F ( x) az ( d. x x. + c. ). R P ( x) Rbz. ( x) V R ( a) az ( b) az ( a ) 0 ( b ) 0 60 / 110

V R az Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků a c - - 1 d.c 0.d + 0 b R bz x 0,c x c, Výpočet reakcí R az ( ) ( ) R bz Posouvající sía V L ( x) konst. R az V( a) V( x0) V( b) V( x ) Ohybový moment L. x ( x) Raz. x L ( x) Raz. x +.( x) c. x 1 ( c ) ( c ) d. x Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 61 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků x 0, R az V q konst. a q. 0 + º x q. 8 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) p Q q. + - b 0 R bz q. Výpočet reakcí R az Posouvající sía L V( x) Raz q. x q. x q. V( a ) V( x 0) q. V( b) V( x ) Rbz q. x 0 xmax Ohybový moment Q L q. x q ( x) Raz. x.(. x x ) ( ) ( ) a x 0 0 R bz Q q. ( ) ( b ) ( x ) 0 ( ) x ( xmax ) q. ( ). q 8 6 / 110

omentové zatížení (a) (b) Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Bodové a rovnoměrné momentové zatížení Obr. 7.30. / str. 109 63 / 110

Příkad 4.13 Zadání: pro oba zatěžovací stavy (iší se pouze veikostí osaměé síy) stejného prostého nosníku určit reakce, sestrojit průběhy posouvajících si a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních si. (a) (b) Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Zadání a řešení příkadu 4.13 Obr. 7.8. / str. 107 64 / 110

a R az q. 6 V 0 Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků 3º q.x + x 4. q. 81 Q q. x 0, q. 4 + p º - 5. q. 81 b q R bz 0 V q. 3 3. q. 7 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Výpočet reakcí R az Q 3 Posouvající sía L qx. x q. q. x q ( x) Raz.( 3. x ) V V q. 6. V q. 6 a ( ) ( x 0) V ( ) R bz 6. 6. q. 6 q. ( ) q. V x R 4 3 ( b) ( x ) bz ( 3. x ) 0 Ohybový moment L ( x) q. x. 6. R x ( ) max az qx. x x. x. 3 ( x ) 3. q. 7 q.. Q 3 3 ( ) 3 x max. & 0,577350. 3 q.. x q. x 6 6. ( x ) 3 (. ) 3 4. q. 81 5. q 81. x 3 65 / 110

Příkad 4.14 Zadání: určit reakce prostého nosníku, sestrojit průběhy posouvajících si a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních si. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Zadání a řešení příkadu 4.14 Obr. 7.9. / str. 108 66 / 110

q x 0, V q. 3 0 a Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků R az + 5. q. 81 x p Q q. 4 + 3. q. 7 q. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) q. ( x) -x 4. q. 81 - b R bz q. 6 0 Výpočet reakcí R az Posouvající sía V P ( x) q. + V V q.. Q 3 3 R bz ( x) ( x)(. x) q.( 3. x 6.. x +. ). V ( ) ( x 0) + a V q x ( ). q. 3 q. 6 6. R q. + 6 ( b) ( x ) bz q.( 3. x 6.. x +. ) 0 6. 3 x max. 1 0,4649. 3 & Ohybový moment P q. ( ) ( ) ( x) ( x) x + Rbz. x. q. +. 6 P x ( ) max ( x) q. 3. q. 7 ( x) 6.. 3 R bz Q 3 q. x. 6. q. V( ) x 4 3 q. 6 ( ) ( x )(. x. ) 67 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků R az a x m. b R bz m konst. Výpočet reakcí R az m( ) m( ) R bz V m - Posouvající sía V V V L ( x) konst. Raz m ( a) V( x0) m ( b) V( x ) m Ohybový moment L ( x) Raz. x + m. x m. x + m. x 0 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 68 / 110

Prostý nosník s převisými konci F 1 F F 3 F 4 a b 1 3 4 1 3 R az R bz Průběhy na převisých koncích stejné jako: F 4 F 1 1 a b 4 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 69 / 110

Příkad 4.1 Zadání: určit obě reakce nosníku s převisým koncem vpravo, sestrojit průběhy posouvajících si a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních si. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) Zadání a řešení příkadu 4.1 Obr. 7.6. / str. 105 70 / 110

Prostý nosník s převisými konci!!! Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 71 / 110

Prostý nosník s převisými konci Spiro 165 Spiro 300 Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 7 / 110

Ukázka konstrukce s převisými konci Nosná konstrukce střechy Fakutní dětské nemocnice v Černých Poích, Brno, projekt OK Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 73 / 110

Ukázka konstrukce s převisými konci Nosná konstrukce střechy z epeného ameového dřeva, Štýrsko v Rakousku, foto: Doc. Ing. Antonín Lokaj, Ph.D. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 74 / 110

Ukázka konstrukce s převisými konci Nosná konstrukce střechy z epeného ameového dřeva, Štýrsko v Rakousku, foto: Doc. Ing. Antonín Lokaj, Ph.D. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 75 / 110

Ukázka konstrukce s převisými konci Převisé konce žeezobetonového skeetu, supermarket Interspar, Ostrava-Poruba Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 76 / 110

Ukázka konstrukce s převisými konci Převisé konce žeezobetonového skeetu, supermarket Interspar, Ostrava-Poruba Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 77 / 110

Výpočet nosníku v příčné úoze (ve vodorovné havní rovině xy) Řešení: Obraz nosníku i se zatížením se otočí o 90 o koem osy x tak, že kadný smys osy y se ztotožní s kadným smysem osy z. Lze pak řešit stejně jako nosník ve svisé rovině xz. Po vyřešení se vše pootočí zpět do vodorovné roviny xy. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve vodorovné havní rovině xy) Řešení nosníku v havní rovině xy Obr. 7.38. / str. 114 78 / 110

Výpočet nosníku v krutové úoze Jedna vnější vazba jediná sožka reakce (n v 1) z podmínky rovnováhy: T T 0 T T a R a R Jediná sožka vnitřních si kroutící moment T (torze). Kadný směr při pohedu proti kadnému smysu osy x se snaží prut otáčet proti směru hodinových ručiček (proti-proti, evotočivé kroucení). T ( c) Ta TR 1 T ( c) T R (a) (c) (b) (d) Výpočet nosníku v krutové úoze Výpočet momentové reakce a kroutícího momentu v krutové úoze Obr. 7.39. / str. 115 79 / 110

Diferenciání podmínky rovnováhy eementu v krutové úoze Kroutící moment T krutově namáhaného nosníku v zadaném průřezu je roven agebraickému součtu všech krutových (zkrucujících) momentů, které na nosník působí po jedné straně zadaného průřezu. Postupujeme-i z evé strany, zahrnujeme do součtu kadně ty momenty, které při pohedu proti kadnému smysu osy x otáčejí po ručičkách, záporně ty momenty, které otáčejí proti ručičkám. Při postupu z pravé strany je to naopak: kadně přispívají momenty otáčející (při pohedu proti kadnému smysu osy x) proti ručičkám, záporně momenty otáčející po ručičkách. Diferenciání podmínka rovnováhy: T R 0: -T + (T+dT) + t.dx 0 dt dx t Obdoba osové úohy Výpočet nosníku v krutové úoze Rovnováha eementu v krutové úoze Obr. 7.40. / str. 116 80 / 110

Příkad 4.17 Zadání: určit momentovou reakci T a nosníku v krutové úoze, sestrojit průběh kroutících momentů T a jejich extrémy (a) (b) Výpočet nosníku v krutové úoze Zadání a řešení příkadu 4.17 Obr. 7.41. / str. 116 81 / 110

Vodorovný prostý nosník se šikmým zatížením V rovinné úoze má nepodepřený nosník n v 3, musí být podepřen třemi jednoduchými vnějšími vazbami. Vodorovný prostý nosník se šikmým zatížením má vnější vazby rovnoběžné se souřadnicovými osami x, z, zatížen obecně de obr. Řešení: Veškerá šikmá zatížení ze rozožit na sožku svisou a vodorovnou: P z P.sinα P x P.cosα q z q.sin β q x q.cos β Výpočet nosníku v rovinné úoze (a) (b) Důsedek: Úoha se rozpadne na dvě (c) samostatné příčnou a osovou. Rozpad rovinné úohy prostého nosníku na příčnou a osovou Obr. 7.4. / str. 117 8 / 110

Vodorovná konzoa se šikmým zatížením Pro rozkad zatížení a rozpad rovinné úohy na příčnou a osovou patí stejné pravida jako pro prostý nosník. (a) (b) (c) Výpočet nosníku v rovinné úoze Rozpad rovinné úohy konzoy na příčnou a osovou Obr. 7.43. / str. 117 83 / 110

Příkad 4.18 Zadání: určit reakce a průběhy vnitřních si na prostém nosníku s převisým koncem vevo s využitím rozkadu rovinné úohy na příčnou a osovou. Řešení: a) rozkad šikmého rovnoměrného zatížení na svisou a vodorovnou sožku q z o 8.sin 60 q x Výpočet nosníku v rovinné úoze o 8.cos 60 b) určit reakce de předchozích postupů pro příčnou a osovou úohu c) stanovit průběhy vnitřních si odpovídající příčné a osové úoze (a) (b) (c) (d) (e) (f) Zadání a řešení příkadu 4.18 Obr. 7.44. / str. 118 84 / 110

Vodorovný prostý nosník se šikmým zatížením V praktických apikacích je nosník ve stavební konstrukci umístěn šikmo (viz obrázek). Pro usnadnění výpočtu ze i se zatížením a podepřením pootočit do vodorovného směru. Výpočet nosníku v rovinné úoze Nosník umístěný v konstrukci šikmo Obr. 7.45. / str. 119 85 / 110

Vodorovný prostý nosník se šikmým podepřením Rozožení šikmé reakce na svisou a vodorovnou sožku: R bz R b γ. cosγ R. sinγ bx R b γ Postup řešení: a) ib 0 R az b) ia 0 Rbz c) 0 kontroa R z d) R. sinγ bx R b γ e) R x 0 Rax R bγ Rbz cosγ (a) (b) f) Dáe řešení příčné a osové úohy Výpočet nosníku v rovinné úoze Nosník se šikmou vazbou Obr. 7.46. / str. 119 86 / 110

Šikmý nosník - zatížení větrem Spojité zatížení působící komo na nosník q konst. b R ax γ R bz.sinγ a.cosγ R az Výpočet nosníku v rovinné úoze 87 / 110

Zatížení větrem charakteristická hodnota Výpočet nosníku v rovinné úoze 88 / 110

Zatížení větrem charakteristická hodnota Výpočet nosníku v rovinné úoze 89 / 110

Příkad 4.19 Zadání: určit reakce a provést rozkad úohy na příčnou a osovou. (a) Řešení: a) rozkad šikmé síy na svisou a vodorovnou sožku b) určit reakce de předchozího postupu c) stanovit průběhy vnitřních si odpovídající příčné a osové úoze (b) (c) (d) Výpočet nosníku v rovinné úoze Zadání a řešení příkadu 4.19 Obr. 7.47. / str. 10 90 / 110

Šikmý nosník Geometrie: nosník eží v souřadnicové rovině xz skoněn oproti vodorovné ose x pod úhem γ, šikmá déka, vodorovný průmět déky.cosγ Podepření: na obou koncích podepření třemi jednoduchými vazbami proti posunům rovnoběžnými s osami x a z. Zatížení: předpokad pouze svisého zatížení, vodorovná sožka reakce tedy nuová a patí n v. Výpočet nosníku v rovinné úoze Šikmý nosník se svisým zatížením Obr. 7.48. / str. 10 91 / 110

Šikmý nosník + V γ N N x V osa nosníku F b F 1 R bz.sinγ R ax 0 a 1 γ R az.cosγ Výpočet nosníku v rovinné úoze 9 / 110

Šikmý nosník zatížení vastní tíhou Spojité zatížení působící svise podé střednice nosníku na jednotku šikmé déky q konst. [ kn/m šik ] b R ax 0 γ R bz.sinγ a R az.cosγ Výpočet nosníku v rovinné úoze 93 / 110

Šikmý nosník zatížení vastní tíhou Rozkad zatížení na sožku rovnoběžnou s osou nosníku a komou (příčnou) k ose nosníku q konst. [ kn/m šik ] γ γ q q γ q q.cosγ q q.sin γ Výpočet nosníku v rovinné úoze 94 / 110

Šikmý nosník zatížení sněhem Spojité zatížení působící na vodorovný (půdorysný) průmět nosníku q konst. [ kn/m vod ] b R bz.sinγ R ax 0 a γ R az.cosγ Výpočet nosníku v rovinné úoze 95 / 110

Zatížení sněhem charakteristická hodnota Výpočet nosníku v rovinné úoze 96 / 110

Zatížení sněhem charakteristická hodnota Výpočet nosníku v rovinné úoze 97 / 110

Šikmý nosník úprava zatížení sněhem q. q. q q. q konst. [ kn/m vod ] nebo q q.cosγ q konst. [ kn/m šik ] b R bz.sinγ R ax 0 a γ R az.cosγ Výpočet nosníku v rovinné úoze 98 / 110

Šikmý nosník Postup řešení: a) ia 0 R bz b) ib 0 R az c) 0 kontroa R z d) Je-i zadáno q, pak q q.cosγ e) Rozkad reakcí na příčné a osové sožky R a R az.sinγ R b R bz.sinγ R a R az.cosγ R b R bz.cosγ f) Rozkad zatížení na příčné a osové sožky q q.cosγ q q.sin γ P P.cosγ P P.sin γ g) Dáe řešení příčné a osové úohy Výpočet nosníku v rovinné úoze Dva způsoby grafického znázornění intenzity spojitého zatížení na šikmém nosníku Obr. 7.49. / str. 11 99 / 110

Příkad 4.0 Zadání: pro oba zatěžovací stavy téhož šikmého nosníku určit svisé reakce, rozožit rovinnou úohu na příčnou a osovou a stanovit průběhy vnitřních si. (a) (a) (b) (b) (c) (c) (d) (d) (e) (e) Výpočet nosníku v rovinné úoze Zadání a řešení příkadu 4.0 Obr. 7.50. / str. 1 (f) (f) 100 / 110

Ukázky nosníků v rovinné úoze Nosná konstrukce střechy zákadní škoy, Brumov Bynice, projekt OK Výpočet nosníku v rovinné úoze 101 / 110

Ukázky nosníků v rovinné úoze Nosná konstrukce střechy zákadní škoy, Brumov Bynice, projekt OK Výpočet nosníku v rovinné úoze 10 / 110

Ukázky nosníků v rovinné úoze Nosná konstrukce střechy zákadní škoy, Brumov Bynice, projekt OK Výpočet nosníku v rovinné úoze 103 / 110

Ukázky nosníků v rovinné úoze Nosná konstrukce střechy kosteu sv.ichaa, Praha, projekt OK Výpočet nosníku v rovinné úoze 104 / 110

Ukázky nosníků v rovinné úoze Nosná konstrukce radnice Ostrava Krásné poe, projekt OK Výpočet nosníku v rovinné úoze 105 / 110

Ukázky nosníků v rovinné úoze Konstrukce oceových světíků, Ikea-Avion Shopping Park, Ostrava-Zábřeh Výpočet nosníku v rovinné úoze 106 / 110

Ukázky nosníků v rovinné úoze Konstrukce oceových světíků, Ikea-Avion Shopping Park, Ostrava-Zábřeh Výpočet nosníku v rovinné úoze 107 / 110

Ukázky nosníků v rovinné úoze Konstrukce oceových světíků, Ikea-Avion Shopping Park, Ostrava-Zábřeh Výpočet nosníku v rovinné úoze 108 / 110

Ukázky nosníků v rovinné úoze Konstrukce oceových světíků, Ikea-Avion Shopping Park, Ostrava-Zábřeh Výpočet nosníku v rovinné úoze 109 / 110

Okruhy probémů k ústní části zkoušky 1. Výpočet nosníku v osové úoze. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve svisé havní rovině xz) 3. Výpočet nosníku v příčné úoze (ve vodorovné havní rovině xy) 4. Výpočet nosníku v krutové úoze 5. Výpočet nosníku v rovinné úoze - vodorovný nosník se šikmým zatížením 6. Výpočet nosníku v rovinné úoze - vodorovný nosník se šikmým podepřením 7. Výpočet nosníku v rovinné úoze - šikmý nosník se svisým zatížením 8. Výpočet nosníku v prostorové úoze 9. Diferenciání podmínky rovnováhy eementu přímého nosníku, Schwederova věta, využití Podkady ke zkoušce 110 / 110