( s) ( ) ( ) ( ) Stabilizace systému pomocí PID regulátoru. Řešený příklad: Zadání: Uvažujme řízený systém daný přenosovou funkcí

Transkript

1 tbilizce ytému pomocí regulátoru Řešený příld: Zdání: Uvžujme řízený ytém dný přenoovou funcí ) ožte, že je ytém netbilní. ) Nvrhněte dnému ytému regulátor, terý bude ytém tbilizovt. ) Úpěšnot vého nárhu ověřte v progrmu imulin. eoreticý úvod: regulátory jou jednoduché průmylové regulátory předem známou truturou. Lze je úpěchem využít e tbilizci ytémů jedním vtupem jedním výtupem (O ytémů), jejichž devátní mtemticý model je nejvýše druhého řádu. Jde o regulátory odchyly, j uzuje náledující obráze. de y * ( t ) je žádný průběh výtupní veličiny, * y ( t ) y ( t ) y( t ) je regulční odchyl, ( t ) řízeného ytému y ( t ) je výtupní veličin. Řízený ytém je popán přenoovou funcí je popán přenoovou funcí. u je vtup regulátor deální regulátor má náledující truturu: V čové oblti jej lze popt integro-diferenciální rovnicí t dy ( t ) u t y t y τ dτ dt ředpoládáme-li nulové počáteční podmíny, lze použít Lplceovu trnformci odvodit přeno ideálního regulátoru: U Y Y Y Y () () ()

2 Všimněme i, že odvozený přeno ideálního regulátoru má v čitteli polynom druhého tupně, ztímco ve jmenovteli polynom prvního tupně. Jde o ytém fyziálně nerelizovtelný. ůvodem je přítomnot ideálního derivčního členu. Čto e proto derivční člen proximuje jo () de je derivční čová ontnt. deální derivční člen dotneme v přípdě, že. oud uvžujeme regulátor derivčním členem (), dotáváme přeno ( ) ( ) B A de B je polynom v čitteli přenoové funce regulátoru Uvžujme-li řízený ytém přenoovou funcí B A B de A je polynom v jejím jmenovteli. A jou polynomy v čitteli jmenovteli přenoové funce řízeného ytému, lze npt celový přeno ytému po uzvření zpětné vzby jo Y B B (7) Y A A B B O tbilitě uzvřeného obvodu rozhoduje polynom ve jmenovteli přenou A A A B B, tzn. polynom Nvrhnout regulátor potom znmená njít tové hodnoty prmetrů regulátoru, by ) po uzvření zpětné vzby byl ytém tbilní ) řízený proce byl v nějém mylu optimální. Řešení příldu: řenoovou funci ze zdání uprvíme: B ( )( ) A Z úprvy je ptrné, že ořeny polynomu A ve jmenovteli přenoové funce, tedy její póly, jou p p. Ob póly přenoové funce jou reálné, jeden z nich je le ldný. ytém je tedy netbilní. (5) (6) (8)

3 ytém budeme tbilizovt regulátorem, jehož proporcionální člen bude mít přeno, integrční člen bude mít přeno derivční člen bude mít přeno. Celový přeno regulátoru tedy bude A B (9) o uzvření zpětné vzby bude mít ytém přeno A B () Nyní je třeb určit prmetry regulátoru t, by cele byl tbilní regulční proce byl v nějém mylu optimální. O tbilitě ytému uzvřenou zpětnou vzbou rozhodují ořeny polynomu ve jmenovteli A přenoové funce. Optimlizci regulčního proceu nyní řešit nebudeme, poojíme e e tbilizcí. Npř. zvolíme čovou ontntu derivčního členu jo použijeme Hurwitzovo ritérium tbility (což je oprvdu ritérium tbility, nioliv optimlity!). omocí Hurwitzov ritéri tbility bude možné npt outvu (nelineárních) nerovnic, terým muí vyhovovt oeficienty polynomu A, bychom mohli prohláit ytém z tbilní. Možné je té položit Hurwitzovy minory rovny nějému ldnému čílu npt outvu (nelineárních) rovnic, z nichž dopočítáme hodnoty oeficientů polynomu A -- ytém tovými oefieicnty bude tbilní určitě. ohoto přítupu nyní využijeme. egulátor prmetrizujeme t, by byly všechny dílčí minory Hurwitzov determinntu rovny jedné: i. ro je polynom A ve jmenovteli přenoové funce : A () de () etvíme Hurwitzův determinnt: H () určíme dílčí minory, teré položíme rovny jedné: () (5) (6) (7)

4 rmetry regulátoru jou tedy,,. řeno regulátoru vychází jo přeno celého ytému po uzvření zpětné vzby je (8) (9) Výledy z progrmu imulin: Vidíme, že regulátor řízený proce utečně tbilizuje. Co e týá vlity řízeného proceu, není to úplně ideální (Hurwitzovo ritérium, teré jme použili vůli tbilizci, není optimlizční). Zdání: Uvžujme řízený ytém dný přenoovou funcí ) ožte, že je ytém netbilní. ) Nvrhněte dnému ytému ideální regulátor ( ), terý bude ytém tbilizovt. rmetry regulátoru nvrhněte t, by všechny póly ytému po uzvření zpětné vzby byly p. i ) Úpěšnot vého nárhu ověřte v progrmu imulin.

5 Návod: Npište obecně přeno ideálního regulátoru zdný přeno řízeného ytému. Určete póly řízeného ytému. oud má lepoň jeden pól ldnou reálnou čát, je ytém netbilní. Ze vzthu (7) lze vypočítt přeno ytému po uzvření zpětné vzby. Vypočítejte oeficienty polynomu třetího tupně, jehož ořeny jou p. orovnejte tyto vypočítné oefieinty oeficienty polynomu A ve jmenovteli přenou i. Řešení: chém v progrmu imulin, výledy pro netbilní ytém: tbilizce pomocí regulátoru, chém výledy: