ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S.

Transkript

1 ŠKOD UTO VYSOKÁ ŠKOL, O.P.S. Studijní rogram: N6208 Ekonomika a management Studijní obor: 6208T088 Podniková ekonomika a management rovozu STTISTICKÁ REGULCE PROCESU S PROMĚNLIVOU STŘEDNÍ HODNOTOU Bc. Lucie TJOVSKÁ Vedoucí ráce: Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc.

2 Tento list vyjměte a nahraďte zadáním dilomové ráce

3 Prohlašuji, že jsem dilomovou ráci vyracovala samostatně s oužitím uvedené literatury od odborným vedením vedoucího ráce. Prohlašuji, že citace oužitých ramenů je úlná a v ráci jsem neorušila autorská ráva (ve smyslu zákona č. 121/2000 Sb., o rávu autorském a o rávech souvisejících s rávem autorským). V Mladé Boleslavi dne

4 Ráda bych oděkovala doc. Ing. Evě Jarošové, CSc. za odborné vedení, cenné rady, vstřícnost a čas, který mi ři saní dilomové ráce věnovala. Děkuji také solečnosti Laird Technologies za oskytnutí dat a dalších odkladů. 4

5 Obsah Seznam oužitých zkratek a symbolů Úvod Statistická regulace rocesu Fáze statistické regulace rocesu Testování ředokladů Shewhartovy diagramy Limity oužití regulačních diagramů Modely rocesů na čase závislých rozdělení Procesy tyu Procesy tyu B Procesy tyu C Procesy tyu D Regulační diagramy ro rocesy tyu C Regulační diagram s rozšířenými mezemi Modifikovaný regulační diagram Přejímací regulační diagram Zůsobilost a výkonnost rocesu Posun střední hodnoty Ukazatel C k Výkonnost rocesu Ukazatele výkonnosti ro nenormální rozdělení Solečnost Laird Technologies Proces lisování Řízení kvality Kontrola znaku délka Identifikace modelu Diagram s rozšířenými mezemi Modifikovaný regulační diagram Přejímací regulační diagram Výkonnost rocesu

6 7. Kontrola znaku rovinnost Identifikace modelu Diagram s rozšířenými mezemi Modifikovaný regulační diagram Přejímací regulační diagram Výkonnost rocesu Závěr Seznam literatury Seznam obrázků a tabulek

7 Seznam oužitých zkratek a symbolů.. IG NOV PL U; PL L BLS CRS CUSUM EMI EWM IID utomotive Industry ction Grou nalysis Of Variance analýza roztylu ccetable Process Level hranice říustné fluktuace rocesu Board Level Shield odstínění na desce lošných sojů Cold Rolled Steel za studena válcovaná ocel Cumulative Sum kumulativní součty Electromagnetic Interference elektromagnetické rušení/interference Exonentially Weighted Moving verage exonenciálně vážené klouzavé růměry Indeendent and identically distributed nezávislé a stejně rozdělené RPL U, RPL L Rejectable Process Level hranice neříustné fluktuace rocesu SIP SPC SS SSE SST UCL, LCL USL, LSL Signal Integrity Products rodukty ro integritu signálu Statistical Process Control statistická regulace rocesu Sum of Squares mong Grous meziskuinový součet čtverců Sum of Square for Error reziduální součet čtverců Sum of Squares Total celkový součet čtverců Uer/Lower Control Limit horní a dolní regulační meze Uer/Lower Secification Limit ředesané horní a dolní toleranční meze 7

8 Úvod Ve vysoce konkurenční ekonomice 21. století jsou vysělé systémy řízení kvality ro odniky neoddiskutovatelnou samozřejmostí. Nejvyšší ožadavky jsou kladeny zejména v automobilovém růmyslu a na jeho dodavatele, ale i v ostatních oblastech růmyslové výroby. Mnohé výrobní odniky dosáhly v tomto ohledu natolik vysoké kvality svých výrobků a otimalizace výrobních rocesů, že mnohdy další zlešování nemusí být nutně ekonomicky ani technicky výhodné. Ve stadiu vysoké zůsobilosti výrobních rocesů je vykazování kvality stejně důležité jako její dosahování, rotože zákazníci ožadují shodu s mezinárodními normami a dokumentaci kvality. by mohly odniky lně rofitovat ze šičkové kvality svých výrobků, je klíčové ulatňovat řízení kvality nejen formálně založené na statistických metodách, ale ředevším srávným zůsobem. Tradiční metody SPC ulatňované ve výrobě vychází z ředokladů, které často nejsou v raxi nalněny. Tento roblém se týká zejména nevhodného oužívání Shewhartových diagramů. Statistická regulace rocesu se tak stává neefektivní. V současné době však existují okročilejší formy, které z koncece Shewhartových diagramů vychází, nicméně ji modifikují zůsobem, který vyhovuje výrobní raxi. Cílem této ráce je ředstavit vybrané okročilejší metody statistické regulace rocesu rostřednictvím alikace alternativních tyů regulačních diagramů, které lée reflektují ovahu reálných výrobních rocesů. Dalším cílem je tyto tyy regulačních diagramů alikovat na reálný výrobní roces a zhodnotit výhody jejich oužití. Dilomová ráce se skládá ze dvou částí, teoretické a raktické. V teoretické části je nejrve stručně osána roblematika statistického řízení kvality a jsou zmíněny základní druhy regulačních diagramů, jejich konstrukce a limity jejich oužití. Stěžejní částí ráce jsou však kaitoly následující. Druhá kaitola se zabývá klasifikací modelů rocesů na čase závislých rozdělení tak, jak jsou definovány normou ČSN ISO Třetí kaitola je zaměřena na řehled, vysvětlení konstrukce a oužití alternativních tyů regulačních diagramů vhodných 8

9 ro rocesy tyu C, které se vyznačují roměnlivou střední hodnotou, a řeší tak omezenou oužitelnost klasických Shewhartových diagramů. Čtvrtá kaitola rezentuje metody určování zůsobilost, res. výkonnost rocesů, a to jak ro normální, tak jiná než normální rozdělení. Praktická část ráce se zakládá na analýze reálného výrobního rocesu, konkrétně lisování rvku ro odstínění EMI z ásové oceli. Vybraný roces řízení kvality sočívá ve sledování rozměrů těchto výlisků; kontrola délky je ředmětem kaitoly 6 a kontrolou rovinnosti se zabývá kaitola 7. U obou výrobních rocesů je zkoumána konstantnost jejich variability, konstantnost střední hodnoty a ty modelu okamžitého a výsledného rozdělení dat. Následně jsou rocesy klasifikovány odle modelů uvedených v teoretické části. Pro oba rocesy jsou následně alikovány alternativní tyy regulačních diagramů, a to regulační diagram s rozšířenými mezemi, modifikovaný regulační diagram a řejímací diagram. Pro oba rozměry je též rovedena analýza výkonnosti. V závěru jsou jednotlivé regulační diagramy orovnány a jsou shrnuta dooručení týkající se řízení kvality. 9

10 1 Statistická regulace rocesu Statistická regulace rocesu (SPC) ředstavuje komlex nástrojů řízení jakosti, který na základě včasného odhalování významných odchylek v rocesu od ředem stanovené úrovně umožňuje realizovat zásahy do rocesu tak, aby byla kvalita dlouhodobě udržována na stabilní a říustné úrovni. Podstatou SPC je bezrostřední, ravidelná a růběžná kontrola regulované výstuní veličiny založená na matematicko-statistickém hodnocení kvality. Dává odněty k oerativním zásahům do rocesu a umožňuje tak okamžitě zlešit roces, a dokonce ředejít nevyhovující kvalitě (Nenadál, 2016). Nedílnou součástí všech rocesů je variabilita. I za relativně stabilních odmínek jsou roces i jeho výstuy vystaveny řadě vlivů, které tuto variabilitu vyvolávají. Proto je identifikace a ochoení říčin této variability základním úkolem managementu. Vlivy ůsobící na roces lze rozdělit do dvou skuin: náhodné vlivy a vymezitelné říčiny. Náhodné vlivy (common causes) jsou rocesu inherentní, je jich velký očet, ale jednotlivě ůsobí v malém rozsahu. Jedná se naříklad o vliv lidského faktoru, fluktuace výrobních odmínek jako nař. kolísání teloty, chvění stroje aod.). Důsledkem těchto říčin je, že arametry rocesu, res. znaky jakosti jeho roduktů, mají stabilní rozdělení ravděodobnosti, jehož arametry je možné odhadnout a tudíž ředvídat chování rocesu (Nenadál, 2016). Redukcí těchto vlivů a jejich očtu lze dosáhnout zlešení rocesu a udržovat úroveň jakosti na ožadované hodnotě. Podle W. E. Deminga je až 85 % všech roblémů zůsobeno náhodnými říčinami a hlavní úlohou managementu je jejich omezení (Mitra, 2008). však rozsah jejich identifikace, jejich snížení a odstranění je ředmětem analýzy nákladů/řínosů ve formě technické zvládnutelnosti a hosodárnosti (ČSN ISO 21747). Náhodné vlivy těchto mnoha říčin však nelze v důsledku technických či ekonomických omezení eliminovat zcela (Nenadál, 2016). Vymezitelné, neboli zvláštní říčiny (secial causes), nejsou rocesu vlastní a samostatně zůsobují významné odchylky. Zvláštní říčina vzniká v důsledku konkrétních okolností, které nejsou vždy řítomny. Jako takové v rocesu 10

11 vyvolávají zvláštní události, které zůsobují, že velikost kolísání je čas od času neredikovatelná (ČSN ISO 21747, 2010, s. 7). Každá z těchto říčin by měla být odhalena a její ůsobení minimalizováno či eliminováno v relativně krátké době a za relativně nízkých nákladů. Vymezitelné říčiny ovlivňují arametry rocesu (či hodnotu znaku jakosti) buď v důsledku náhlé změny (nař. vlivem změny racovníka nebo oužití nového nástroje) nebo ostuně (často ostuné ootřebení nástroje aod.) Tyto vlivy mění arametry rozdělení ravděodobnosti znaků jakosti či arametrů rocesu. Podle W. E. Deminga je cca 15 % roblémů zůsobeno zvláštními říčinami (Mitra, 2008) Právě v eliminaci vymezitelných říčin sočívá statistická regulace rocesu. Základním nástrojem statistické regulace rocesu je regulační diagram (control chart). Jde o nástroj sledování variability rocesu, který umožňuje odlišit variabilitu rocesu vyvolanou vymezitelnými říčinami od variability vyvolané náhodnými říčinami. V odstatě se jedná o grafické znázornění testu hyotézy o neznámém arametru uvažovaného modelu ravděodobnostního rozdělení regulované veličiny, kde na vertikální osu grafu jsou vynášeny hodnoty výběrových charakteristik sledovaného znaku a na horizontální ose je zaneseno ořadí vzorků, nebo odskuin, ze kterých jsou tyto hodnoty zjištěny (Mitra, 2008). Nejznámějším tyem regulačních diagramů jsou Shewhartovy diagramy, odle W.. Shewharta, který zavedl jejich oužití v raxi (detailněji kaitola 1.3). Podle charakteru sledovaného znaku jakosti se rozlišují dva tyy statistické regulace; statistická regulace srovnáváním a statistická regulace měřením. Statistická regulace srovnáváním se rovádí ro atributivní znaky, tzn. v situaci, kdy informace o sledované regulované veličině není možné získat měřením, a data mají charakter diskrétní náhodné veličiny. Posuzuje se, zda se kontrolovaná jednota shoduje se secifikací, nebo se určuje očet neshod na výrobku (Mitra, 2009). Při SPC srovnáváním se oužívají dva druhy regulačních diagramů. Do rvní skuiny atří diagramy ro monitorování očtu neshodných jednotek. Jedná se o n-diagram ro očet neshodných jednotek a -diagram ro odíl neshodných jednotek. Tyto diagramy jsou založeny na binomickém rozdělení. Druhou skuinu ředstavují regulační diagramy ro monitorování očtu neshod. Patří sem c-diagram ro očet neshod, založený na Poissonově rozdělení, 11

12 a u-diagram ro růměrný očet neshod na jednotku v odskuině. Mitra (2008) uvádí i třetí kategorii ro rerezentaci vážené důležitosti neshod (U-diagram). Statistická regulace měřením se oužívá v říadech, kdy je regulovanou veličinou (sledovaný znak kvality) měřitelná roměnná, jejíž hodnoty jsou měřeny a vyjádřeny číselně omocí sojité stunice. V tomto říadě se racuje s dvojící regulačních diagramů, v jednom se v časové závislosti na ořadí skuiny vynáší výběrová charakteristika rerezentující míru olohy hodnot a ve druhém výběrová charakteristika vyjadřující okamžitou variabilitu hodnot. Nejčastěji oužívanou dvojicí jsou diagram ro růměr a rozětí. Příad měřitelné regulované veličiny je ve výrobních rocesech velmi častý (Jarošová, 2011). Tato ráce se bude dále zabývat statistickou regulací měřením Fáze statistické regulace rocesu Statistická regulace rocesu má 3 fáze 1 (Montgomery, 2009; Jarošová, 2011): - Příravnou fázi, ve které se rovádí rozbor rocesu a která ředchází vlastní regulaci rocesu - Fázi I, ve které je cílem uvést roces do stabilního stavu - Fázi II, která sočívá v udržení rocesu ve stabilním stavu. Příravná fáze Před vlastní regulací rocesu je nutné vytvořit vhodné odmínky. K říravným činnostem atří zejména stanovení vhodné regulované veličiny, tzn. rozhodujícího znaku kvality roduktu. Je třeba také detailněji analyzovat roces za účelem identifikace všech říčin, které mohou ovlivňovat jeho růběh. Dále je třeba zajistit odovídající systém měření, tedy systém, který je stabilní, má známou řesnost a umožňuje stanovit hodnoty regulované veličiny v reálném čase. Poté je třeba rozhodnout, zda ůjde o 100% kontrolu (u regulace srovnáváním) nebo výběry z rocesu, a jakým zůsobem budou tvořeny logické odskuiny (tj. rozsah a frekvence výběrů). Norma ČSN ISO 8258 dooručuje 4-5 ks v odskuině. Intervaly odběru je třeba vhodně zvolit s ohledem na možnost zásahu do rocesu. 1 Různí autoři rozdělují SPC jiným zůsobem do čtyř fází, v nichž se určité kroky však oakují. Viz nař. Hutyra, 2007; Plura, 2001 či Noskievičová,

13 Fáze I V této fázi je realizován sběr dat, konstrukce regulačního diagramu, tzn. konstrukce centrální římky a obou regulačních mezí. Tyto meze nazýváme zkušební meze. Vylývá-li z bodů vynesených v regulačním diagramu, že roces byl o dobu odebírání těchto odskuin od kontrolou (tj. nacházejí-li se všechny vynesené body uvnitř regulačních mezí a není-li atrný žádný systematický růběh, budou se tyto (dosud zkušební) regulační meze nadále oužívat ro regulaci rocesu. Je třeba docílit, aby variabilitu rocesu ůsobily ouze náhodné (inherentní) říčiny Nacházejí-li se některé body mimo regulační meze, tedy okud byly zjištěny signály o ůsobení zvláštních říčin, je otřeba tyto říčiny vymezit a (je-li to možné) odstranit. Pokud byla vymezitelná říčina identifikována, odskuiny, u nichž došlo k řekročení mezí, se vyloučí a k výočtu nových (revidovaných) mezí se oužijí data zbývajících odskuin. Ne vždy se však odaří říčinu nalézt, v takovém říadě se dooručuje onechat meze ro následnou regulaci nezměněné. Vylučovat lze totiž jen takové odskuiny, u kterých byla řítomnost zvláštní říčiny nejen evidována, ale také fyzikálně vysvětlena, její ůsobení odstraněno a řijata oatření, aby oět nenastala. Pokud nedojde k vysvětlení vlastní říčiny a k jejímu odstranění, je nutno takovou odskuinu zachovat ve výočtech regulačních mezí ro další období, neboť v takovém říadě nelze u takové říčiny vyloučit, že nastane znovu (Horálek, 2004). Fáze II V druhé etaě se ředokládá, že roces byl během ředcházející etay stabilizován a že odhady charakteristik rocesu (a tedy i vyočtené regulační meze) lze okládat za konečné. Protože statistická zvládnutost rocesu sama o sobě nezajišťuje, že roces nebude rodukovat neshodné výrobky, je třeba dále analyzovat zůsobilost tohoto rocesu. Této roblematice je věnována ozornost v oddílu 4. Při každém odběru odskuiny se zakresluje řiočtená výběrová charakteristika do řiraveného grafu a vizuální kontrola dosavadního růběhu bodů umožňuje včasnou reakci, zejména v říadě řekročení regulační meze nebo ři neobvyklém seskuení bodů. Místo odhadu charakteristik se někdy 13

14 oužívají zadané standardy, to znamená, že nař. místo celkového růměru vyočteného z výběrových růměrů ve fázi I se uvažuje cílové hodnota x 0 aod Testování ředokladů Při statistické regulaci rocesu existuje ředoklad, že hodnoty sledovaného statisticky zvládnutého rocesu jsou normálně, nezávisle a identicky rozděleny, s konstantní střední hodnotou a konstantní směrodatnou odchylkou. Posouzení normality dat je rerekvizitou mnoha dalších statistických testů. Existují dvě hlavní metody osuzování normality, a to statistické testy a grafické metody. Statistické testy testují nulovou hyotézu o tom, že osuzovaná data ochází z normálního rozdělení. Není-li nulová hyotéza zamítnuta, ovažujeme ředoklad normality za slněný. O zamítnutí nulové hyotézy se obvykle rozhoduje na základě -hodnoty. Statistického testy mají výhodu objektivnosti závěru, jejich nevýhodou bývá nedostatečná citlivost ři malém očtu vzorků a naoak řílišná citlivost v říadě velkého očtu vzorků. Testy mají rozdílnou účinnost (neboli sílu); roto může některý test normalitu zamítnout, zatímco jiný nikoliv. Pro kvalifikované rozhodnutí je roto vhodné rovést aralelně několik různých testů. Tento ostu však zvyšuje riziko chyby I. druhu, tedy že H 0 je zamítnuta, zatímco zamítnuta být neměla Dietrich a Schulze (2010). Mezi statistické testy atří zejména chí-kvadrát test dobré shody, Kolmogorovův-Smirnovův test, Shairůw-Wilkův test a testy výběrové šikmosti (skewness) a šičatosti (kurtosis). Statistické cesty se často dolňují o grafické metody, mezi které atří naříklad histogram a kvantil-kvantilový graf. Pro ověřování ředokladu normality je vhodné oužít kombinaci testů normality s některým grafickým nástrojem. Testování shody středních hodnot dat v odskuinách se rovádí omocí analýzy roztylu (NOV, viz tab. 1). Při analýze roztylu se celková variabilita (roztyl) rozkládá na dvě komonenty; na variabilitu uvnitř odskuin a meziskuinovou variabilitu. O shodě střední hodnoty odskuin se rozhoduje na základě F-testu, jehož statistika udává oměr mezi těmito dvěma druhy variability a orovnává se s tabelovanou hodnotou. Velké hodnoty statistiky F roto svědčí roti H0. 14

15 Tab. 1 Formát výstuu analýzy roztylu Zdroj variability Mezi skuinami Uvnitř odskuin Součet čtverců stuně volnosti (Df) SS k-1 SSE N-k Průměrné čtverce SS MS k 1 SSE MSE N k F-Statistika MS MSE P- Hodnota Celkem SST SS SSE N-1 Zdroj: Vlastní zracování 1.3. Shewhartovy diagramy Základní regulační diagram zobrazuje hodnotu sledovaného znaku v závislosti na čase nebo oslounosti měření. Diagram obsahuje centrální římku CL, která ředstavuje růměrnou hodnotu sledovaného znaku v říadě, že roces je od kontrolou a dále dvě římky regulačních mezí; horní regulační mez UCL a dolní regulační mez LCL. Meze jsou voleny tak, aby v říadě, že je roces statisticky stabilní, většina bodů adla mezi tyto římky. Ocitne-li se bod mimo regulační meze, je interretován jako důsledek existence vymezitelné říčiny, kterou je třeba identifikovat a okud možno odstranit. Zobrazené body jsou obvykle sojeny čarou ro snazší vizualizaci jejich vývoje v čase (Montgomery, 2009). Zdroj: Michálek (2014) Obr. 1 Regulační diagram a) ro růměr odskuin b) ro rozětí; 15

16 Situaci, kdy roces nemusí být od statistickou kontrolou i řes to, že se všechny body nachází uvnitř kontrolních mezí, můžeme identifikovat, okud body vykazují určité systematické nebo nenáhodné chování. K identifikaci tohoto chování a ke zvýšení účinnost regulačního diagramu se oužívají dolňkové testy seskuení. Uskuení secifikovaná v těchto testech naznačují existenci vymezitelné říčiny. Tyto testy lze najít v odborné literatuře a dále nebudou ředmětem této ráce. Z Shewhartových diagramů lze odvodit (Bissell, 1994): - Kdy řijmout náravná oatření. Pokud se děje něco nežádoucího, je to diagramem detekováno a mohou být řijata náravná oatření. - Ty vhodných náravných oatření uskuení v grafu diagnostikuje možné říčiny, a tudíž naznačuje možné oatření k náravě. - Kdy do rocesu nezasahovat. Odchylky jsou součástí každého rocesu, roto regulační diagram ukazuje, kdy je ozorovaná variabilita normální, tzn. rocesu vlastní, a tudíž není třeba žádných náravných oatření. V některých říadech řeregulovanost rostřednictvím častých zásahů do systému jen zvyšuje variabilitu. - Možné zůsoby zlešování kvality. Regulační diagram oskytuje základnu ro zavádění a měření zlešování kvality. Regulační diagramy také oskytují užitečné informace o činnostech nutných ro zlešení kvality. Při regulaci měřením je obvykle třeba sledovat nejen úroveň hodnot, ale také okamžitou variabilitu dané veličiny. Pro každý sledovaný znak kvality se tak vede dvojice regulačních diagramů. Jde-li o data v logických odskuinách, slouží k monitorování střední hodnoty regulované veličiny diagram ro růměr ( -diagram) a variabilitu rocesu lze sledovat buď omocí regulačního diagramu ro rozětí (R-diagram) hodnot v těchto odskuinách nebo diagramu ro směrodatnou odchylku (s-diagram). V říadech, kdy z důvodů technických či ekonomických nelze vytvořit logické odskuiny, je rozsah výběrů n = 1. Protože u individuálních hodnot nelze měřit inherentní variabilitu jako v říadě odskuin, využívá se tzv. klouzavých rozětí. 16

17 Ta nejčastěji ředstavuji absolutní hodnota rozdílu dvou o sobě následujících ozorování, tedy MR i xi xi 1 ro i 2,..., k. Dvojicí diagramů zde tvoří diagram ro individuální hodnoty (x i -diagram) a diagram ro klouzavá rozětí (MRdiagram). Konstrukce je odobná jako v u diagramů ro hodnoty v odskuinách. Pro detekci malých osunů existují i další tyy diagramů diagram kumulovaných součtů (CUSUM) ro individuální hodnoty nebo diagram ro exonenciálně vážené klouzavé růměry (EWM), který je odolnější vůči oručení ředokladu normality. Regulační diagramy měřením jsou nejdůležitějšími a v raxi nejoužívanějšími nástroji regulace a sledování rocesu (Montgomery, 2009). Konstrukce regulačních diagramů Diagram ro růměr ( -diagram) charakterizuje úroveň rocesu a v odstatě i monitoruje variabilitu mezi odskuinami. R-diagram znázorňuje velikost okamžité variability rocesu. Konstrukci diagramu ředchází odhad charakteristik regulované veličiny, tj. odhad střední hodnoty a směrodatné odchylky (Jarošová, 2011). Výočet výběrových charakteristik Pro kvalitní odhad je třeba odebrat odskuin, v každé odskuině vyočteme růměr x i a rozětí R dle vztahů x x x... x n i i i1 i2 in / a R i x x i, max i, min, kde n je rozsah odskuiny. Střední hodnotu regulované veličiny odhadneme omocí celkového růměru x1 x2... xk ˆ x (1) k kde x,..., 1, x2 xk jsou růměry v odskuinách. Tuto hodnotu otom oužijeme ři konstrukci centrální římky v -diagramu. Protože druhým diagramem je R-diagram, odhadneme směrodatnou odchylku omocí rozětí vyočtených v odskuinách omocí vzorce R R,..., R 1, 2 k 17

18 kde R R R... R/ k 1 2 je růměrné rozětí a 2 R ˆ (2) d 2 d je součinitel, který závisí na rozsahu odskuin a je tabelován v normě ČSN ISO 8258 (Jarošová, 2011; Montgomery, 2009). Konstrukce regulačních mezí Hodnoty vyočtených výběrových charakteristik v odskuinách zároveň slouží k výočtu regulačních mezí UCL, LCL, které jsou v Shewhartových regulačních diagramech umístěny ve vzdálenosti tří směrodatných odchylek dané výběrové charakteristiky od centrální římky. x diagram R diagram kde R k 3 UCL x R x 2 R d n 2 CL x (3) 3 LCL x R x 2 R d n 2 UCL D4R CL R LCL D3R (4) - růměrná hodnota růměru v odskuinách - růměrná hodnota variačního rozětí v odskuinách - očet skuin 2, D 3 a D 4 - koeficienty závislé na rozsahu odskuiny tabelované v normě _ČSN ISO Vzhledem k tomu, že se ro výočet regulačních mezí v x -diagramu využívá hodnota růměrného rozětí vyhodnocená v R-diagramu, dooručuje se rovést nejrve analýzu diagramu ro rozětí, který charakterizuje změnu variability (Hutyra, 2007). 18

19 1.4. Limity oužití regulačních diagramů Původní Shewhartovy diagramy vznikly již na řelomu 20. a 30. let minulého století. Při jejich oužití a ři hodnocení zůsobilosti rocesu se vychází z určitých ředokladů o rozdělení regulované veličiny, a to, že je-li roces od statistickou kontrolou, ozorované hodnoty rocesu jsou za normálně, nezávisle a identicky rozděleny (IID) s neměnnou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou. Vzhledem k dynamickému chování řady výrobních rocesů tyto ředoklady však většinou nejsou nalněny (Haridy, Wu, 2009). čkoli byly ostuem doby navrženy různé modifikace a zobecnění klasických Shewhartových diagramů (naříklad diagramy EWM ro exonenciálně vážené klouzavé růměry či CUSUM diagramy), u všech nadále existuje ředoklad, že sledovaný znak kvality lze coby náhodnou veličinu osat omocí (nejčastěji) 2 Gaussovského rozdělení ravděodobnosti N (, ), jehož arametry jsou u statisticky zvládnutého rocesu v čase konstantní (Michálek, 2001). V osledních několika letech akademici i odborníci z raxe nicméně uozorňují na časté říady výrobních rocesů, u kterých není ředoklad konstantního chování nalněn, a roto se omocí Shewhartových diagramů efektivně regulovat nedají. Zatímco rimárním účelem regulačních diagramů je uozornit na změnu arametru rocesu, je žádoucí, aby diagramy detekovaly ouze existenci vymezitelných říčin, které je možné odstranit. Je to z toho důvodu, že řada reálných výrobních rocesů ze své odstaty vykazuje změny chování, které jsou jejich inherentní součástí. Jedná se zejména rocesy v růmyslové výrobě, kde dochází k ootřebení nástroje (nař. roces obrábění nebo lisování) a chemické rocesy. Zatímco ověřování konstantní střední hodnoty a konstantního roztylu je římo odstatou alikace regulačních diagramů, slnění ředokladů normality a nekorelovanosti je třeba analyzovat zvlášť. V současné době se využívají i některá jiná rozdělení, kromě toho se řiouští také určité kolísání střední hodnoty, a v důsledku toho i existence autokorelace (Jarošová, Noskievičová, 2015). Následující kaitola uvádí nové řístuy k SPC omocí regulačních diagramů, které lée reflektují reálné výrobní rocesy a nejsou striktně závislé na v raxi zřídka slnitelných ředokladech, aniž by byla ohrožena výstuní kvalita výrobků. 19

20 2 Modely rocesů na čase závislých rozdělení Tradiční ojetí statistické regulace rocesu, které mělo ooru i v mezinárodních normách, dosud rozlišovalo ouze roces statisticky zvládnutý, kdy sledovaný znak je z hlediska svého chování stacionární a má normální rozdělení, a rocesem statisticky nezvládnutým, který tyto ředoklady nenalňuje. však hlubší analýza výrobních rocesů ukazuje, že existuje jen velmi málo rocesů, které setrvávají ve stacionárním stavu a zachovávají normální rozdělení (ČSN ISO 21747, 2010). V důsledku toho se z hlediska chování v čase uvažují v současné době čtyři tyy rocesů charakterizované svým rozdělením, umístěním (střední hodnotou), roztylem a tvarem výsledného rozdělení. Tyto rocesy a jejich modely oisuje norma ČSN ISO 21747, která tak oskytuje soustavu ro odhadování kvality růmyslových rocesů z hlediska jejich zůsobilosti/výkonnosti ři určitém usořádání standardních rocesů. Při tomto řístuu může být osuzována kvalita formou zůsobilosti/výkonnosti ro tvarově velmi rozdílná rozdělení vzhledem k času. Znalost charakteru rocesu je nutná ro jeho vhodné a účinné řízení. Určení tyu (modelu) rocesu je důležité nejen ři hodnocení zůsobilosti, ale také ro zvolení vhodného tyu regulačního diagramu, který umožní efektivní řízení rocesu. Základem je zjištění, zda jsou střední hodnota a roztyl okamžitých rozdělení konstantní či nikoliv. Dále se ro některé modely zkoumá, zda jsou změny střední hodnoty náhodné či systematické, říadně jaký tvar má okamžité či výsledné rozdělení. Tab. 2 shrnuje základní tyy rocesů na čase závislých rozdělení a jejich vlastností tak, jak je definuje norma ČSN ISO

21 Tab. 2 Tyy rocesů (dle ČSN ISO 21747) Model rocesu Okamžité rozdělení Parametr olohy Parametr variability Výsledné rozdělení Zastouení rocesů 1 normální konstantní konstantní normální 1,8% 2 jednovrcholové konstantní konstantní jednovrcholové 2,4% B normální konstantní systematické a náhodné změny jednovrcholové 0,4% C1 normální náhodné změny konstantní normální C2 normální náhodné změny konstantní jednovrcholové 35,8% C3 C4 libovolné libovolné systematické změny systematické a náhodné změny konstantní konstantní libovolné libovolné 4,7% D libovolné systematické a náhodné změny systematické a náhodné změny libovolné 55% Zdroj: Jarošová, Noskievičová, 2015(b), s.2 V osledním slouci Tabulky 2 je rocentuální zastouení jednotlivých rocesů v raxi. Data vychází ze studie 825 výrobních rocesů ublikované Kaiserem a Nowackem v roce Z Tabulky 2 mimo jiné vylývá, že klasické regulační diagramy lze alikovat ouze na cca 4 % výrobních rocesů Procesy tyu Procesy tyu 1 jako jediné bezvýhradně slňují Shewhartovy ožadavky; normální rozdělení hodnot znaku kvality konstantní střední hodnotou a konstantním roztylem, viz Obr 2. Tento roces je ve statisticky zvládnutém stavu 3 (ČSN ISO 21747) Procesy tyu jsou tyické tím, že jednotlivá okamžitá rozdělení jsou identická, tudíž i výsledné rozdělení je shodné s okamžitými. 2 KISER, B. NOWCK, H.M.W.: Only an aarent lack of stability. New ersectives for rocess evaluation and control charting. Partner Info Quality, Q-DS Publication, ugust 2000, No roces robíhající jen za ůsobení náhodných říčin dle ČSN ISO

22 Zdroj: Pokročilejší metody statistické regulace rocesu, s. 46 Obr. 2 Proces tyu 1 Procesy 2 jsou rovněž ve statisticky zvládnutém stavu. Mají libovolné jednovrcholové rozdělení (viz. Obr. 3); může se jednat o Weibullovo nebo lognormální rozdělení. Na rocesy 2 lze buď alikovat Shewhartovy diagramy, a to o zajištění dostatečného rozsahu odskuin, aby se rozdělení výběrových růměrů blížilo normálnímu, říadně je možné rocesy 2 regulovat omocí tzv. Pearsonových regulačních diagramů. V Pearsonových diagramech jsou centrální římka a regulační meze odvozeny od mediánů a říslušných kvantilu daných rozdělení ravděodobnosti (Michálek, 2001). Zdroj: Pokročilejší metody statistické regulace rocesu, s. 46 Obr. 3 Proces tyu 2 22

23 3.1. Procesy tyu B U rocesů tyu B (obr. 4) již hodnoty sledovaného znaku kvality vykazují variabilitu roztylu ři zachování konstantní střední hodnoty. Variabilita roztylu může být buď náhodná, nebo systematická. Okamžitá rozdělení jsou normální, výsledné rozdělení je jednovrcholové, ale již není normální, neboť je směsí různých normálních okamžitých rozdělení s různým roztylem. Procesy tyu se však vyskytují ve výrobní raxi velice zřídka; Michálek (2001) uvádí méně než 0,5% zastouení. Zdroj: Pokročilejší metody statistické regulace rocesu, s. 47 Obr. 4 Proces tyu B 3.2. Procesy tyu C Procesy tyu C jsou charakteristické konstantním roztylem a roměnlivou střední hodnotou. Variabilita výsledného rozdělení má dvě složky, kromě vnitroskuinové variability je nutné zohlednit také variabilitu střední hodnoty. Procesy tyu C lze dále klasifikovat v závislosti na tvaru rozdělení a na tom, zda jsou změny olohy systematické nebo náhodné. Procesy tyu C1 a C2 vykazují ouze náhodné změny střední hodnoty a normální okamžité rozdělení, výsledné rozdělení je buď normální (ro model C1), jak znázorňuje obr. 5, nebo nenormální jednovrcholové (ro model C2). V říadě technických zařízení, kde se rojevuje mechanické ootřebení nebo únava materiálu, lze často uvažovat rozdělení Weibullovo. Model C1 a C2 jsou ve výrobní raxi významně zastoueny (Michálek, 2001; Jarošová, Noskievičová, 2015). 23

24 Zdroj: Pokročilejší metody statistické regulace rocesu, s. 48 Obr. 5 Proces tyu C1 Procesy tyu C3 a C4 vykazují systematické změny olohy (model C4 navíc i náhodné), model okamžitého i výsledného rozdělení může být jakýkoli. Pro modely C3 (obr. 6) a C4 je tyický trend nebo cyklické změny. Příčinou trendů může být (v metalurgickém růmyslu) nejčastěji ootřebení nástroje ři různých tyech zracování, naříklad ootřebení lisovací formy vlivem abraze, ootřebení kalibrů ři válcování rofilové oceli aod. Po seřízení nebo výměně nástroje dochází v datech ke skokové změně v oačném směru. Snížení vlivu cyklických změn, jež jsou často zůsobeny vlivem rostředí, ve kterém roces robíhá, bývá technologicky nemožné, říadně ekonomicky nevýhodné (Jarošová, Noskievičová, 2015). Zdroj: Pokročilejší metody statistické regulace rocesu, s. 48 Obr. 6 Proces tyu C3 Pro regulaci rocesů tyu C se oužívají diagramy s větší vzdáleností regulačních mezí, než odovídá vnitroskuinové variabilitě. Systematické změny střední hodnoty lze často modelovat regresní římkou nebo jiným jednoduchým 24

25 regresním modelem a tento model lze ak využít ři konstrukci regulačního diagramu (Jarošová, Noskievičová, 2015, s. 48) Procesy tyu D Nejčastějším modelem výrobních rocesů jsou rocesy tyu D; ředstavují totiž cca 55 % všech rocesů ve výrobě (Michálek, 2001). U těchto rocesů lze ozorovat nejen změny střední hodnoty a roztylu, které mohou být jak systematické, tak náhodné, ale také změny tvaru rozdělení. Výsledná rozdělení mohou též mít v odstatě jakýkoli charakter (viz obr. 7), roto se model rozdělení často neodaří identifikovat. Zdroj: Pokročilejší metody statistické regulace rocesu, s. 49 Obr. 7 Proces tyu D Zejména v říadě multimodálního rozdělení nastávají obtíže s jeho modelováním, v takovém říadě lze někdy využít Johnsonovu transformaci (Jarošová, Noskievičová, 2015; Michálek, 2001). V některých říadech, okud se rozdělení růměru alesoň odobá normálnímu rozdělení, je možné oužít v regulačním diagramu rozšířené meze. V některých rocesech může střední hodnota znaku vykazovat určitou omalou změnu (drift) nebo směrodatná odchylka může vzrůstat v důsledku nař. ootřebení nástrojů nebo ochuzení koncentrace roztoku. Postuná změna střední hodnoty nebo směrodatné odchylky takového rocesu se řisuzuje systematickým a nikoliv náhodným říčinám. Potom výsledky neředstavují rosté náhodné výběry ze stejného základního souboru (ČSN ISO 21747). 25

26 Tabulka 3 shrnuje vhodné tyy regulačních diagramů ro různé tyy rocesů. Tab. 3 Tyy rocesů a vhodné metody SPC Neslněný ředoklad Ty rocesu Metoda SPC Žádný Normalita dat Neměnnost arametrů rozdělení 1 2 Zdroj: Jarošová, Noskievičová, 2015b B, C1 - C4, D - Klasické Shewhartovy regulační diagramy - Regulační diagramy s nesymetrickými mezemi - Modifikované regulační diagramy - Přejímací regulační diagram - Regresní regulační diagramy - Regulační diagramy s rozšířenými mezemi Zjištěné skutečnosti mění ohled na oužitelnost klasických regulačních diagramů. U rocesů tyu C a D nelze brát v úvahu ouze okamžitou (inherentní) variabilitu, charakterizující odchylky uvnitř logických odskuin, ale musí se očítat i s variabilitou mezi jednotlivými odskuinami, která oisuje chování střední hodnoty v čase. Pojem statisticky zvládnutého rocesu, kdy lze střední hodnotu a roztyl okládat za konstantní, je z ohledu raxe říadem síše ideálním než reálným (Michálek, 2001). 26

27 3 Regulační diagramy ro rocesy tyu C Ty C ředstavují v raxi rávě ty rocesy, které ačkoli jsou stabilní, odléhají nevyhnutelným fluktuacím střední hodnoty. Charakteristickou vlastností rocesů tyu C je velká meziskuinová variabilita ve srovnání s variabilitou uvnitř odskuin. V klasických Shewhartových regulačních diagramech nejsou změny střední hodnoty zahrnuty v odhadu, rotože se uvnitř odskuin nerojeví, ale řesto je lze ovažovat za neoddělitelnou součást rocesu. Na celkové variabilitě se odílí jak variabilita uvnitř odskuin, tak variabilita růměru odskuin. Tyto složky lze odhadnout omocí analýzy roztylu (NOV). Je-li meziskuinová variabilita větší než vnitroskuinová, je třeba regulační meze vhodně rozšířit tak, aby byla tato meziskuinová variabilita reflektována a byly signalizovány ouze říčiny vedoucí k osunu střední hodnoty mimo oblast obvyklého kolísání. Důvodem ro alikaci alternativních tyů diagramů je zohlednění této dodatečné variability ři konstrukci regulačních mezí. Další řešení ředstavuje změna zůsobu výběru odskuin tak, aby jednotky nebyly odebírány těsně o sobě, ale s určitým časovým rozestuem, aby se změny střední hodnoty rojevily uvnitř odskuin, zvětší se odhad a dojde rovněž k rozšíření regulačních mezí. (Dietrich, Schulze, 2010) Regulační diagram s rozšířenými mezemi Jak již bylo uvedeno, v raxi existují rocesy, které ačkoli jsou dlouhodobě stabilní, odléhají nevyhnutelným fluktuacím střední hodnoty. Před konstrukcí diagramu je třeba rozdílnost variability mezi odskuinami ověřit. K tomu se oužívá model NOV s náhodnými efekty x 2 kde a j ~ Ν (0, ) je ij a j odchylka střední hodnoty u j-té odskuiny od celkové střední hodnoty 2 a ij ~ N(0, ) jsou náhodné chyby. Střední hodnota je ovažována za náhodnou veličinu. Testujeme nulovou hyotézu, o tom, že meziskuinová variabilita je nulová, neboli 2 H : 0. K testu oužijeme statistiku F MS / MSE. Při rozhodování 0 vycházíme z -hodnoty uvedené v tabulce NOV; čím menší, tím významnější je i j 27

28 meziskuinová variabilita. Zamítnutí H 0 zakládá důvod ro konstrukci diagramu s rozšířenými mezemi (Dietrich, Schulze, 2010; Jarošová, Noskievičová, 2015a). Rozšířené meze lze zkonstruovat dvěma zůsoby. První zůsob je založen na rozšíření klasických mezí o vhodně zvolený interval, k jehož určení využíváme nař. analýzu roztylu. Druhý zůsob sočívá v odhadu směrodatné odchylky růměrů, s jejíž omocí se určí 3-sigma meze. V raxi se NOV osvědčila jako nejleší zůsob určení hodnoty, o kterou se mají regulační meze rozšířit (Dietrich, Schulze, 2010). Diagram s rozšířenými mezemi je vhodný zejména tehdy, nejsou-li ředisem určeny toleranční meze USL a LSL (Jarošová, Noskievičová, 2015a). Lze jej také oužít v rvní etaě SPC. Diagram s ásmem ro střední hodnotu Regulační meze je možné rozšířit vytvořením ásma o šířce 2Δ symetricky kolem centrální římky; hranice ásma vymezují olohu střední hodnoty. Regulační meze otom konstruujeme v obvyklé vzdálenosti, tentokrát však nikoli od centrální římky, ale od hranic ro střední hodnotu (Jarošová, Noskievičová, 2015a, s. 76). Regulační meze jsou otom konstruovány obdobným zůsobem jako u klasických regulačních diagramů: 3ˆ UCL x n 3ˆ LCL x n (5) Konstanta Δ se dle Dietricha a Schulze (2010) volí ředis ro regulační meze ve tvaru 1,5ˆ, což znamená kde 2 ˆ 2 ˆ UCL ˆ (1,5 ˆ 3 ) LCL ˆ (1,5 ˆ 3 ) (6) n n 2 2 ˆ je meziskuinová složka roztylu vyjadřující kolísání střední hodnoty a ˆ roztyl vyjadřující okamžitou inherentní variabilitu. Složky roztylu odhadneme omocí: 2 MS MSE 2 ˆ ˆ MSE (7) n 28

29 Průměrné čtverce MS a MSE získáme z tabulky NOV. Dále je třeba ověřit normalitu rozdělení, zejména okamžitého rozdělení, k čemuž využijeme rezidua e ij x x taktéž získaná z modelu NOV. ij j Regulační meze jako hranice kolísání růměrů Druhý zůsob, jak zkonstruovat rozšířené meze regulačního diagramu, ředstavuje oužití vztahů: UCL ˆ 3 ˆ x kde lze odhadnout jedním ze tří zůsobů: LCL x j1 ˆ 3 ˆ (8) k ˆ x sx ( x j x) (9) k MRx ˆ x (10) 1,128 k 2 MRx, j 2 1 j 2 ˆ (11) x 2 k Modifikovaný regulační diagram V dosud uvedených tyech regulačních diagramů se v diagramu ro růměry nevyskytovaly meze dané secifikací. Tyto meze jsou stanoveny ro jednotlivé hodnoty x, a tudíž jejich vyznačení má smysl ři vykreslování růběhu individuálních hodnot, ale nikoli v -diagramu, který oužívá růměry odskuiny. Modifikovaný diagram řiouští ohyb střední hodnoty v intervalu PL ; PL ). ( L U Krajní hodnoty tohoto intervalu jsou odvozeny od ředesaných mezí USL, LSL a na základě maximálně říustného odílu neshodných vztahu (Mitra, 2008; Jarošová, 2015): 4 odle následujícího PL U USL u ˆ 1 PL LSL u ˆ (12) L 1 4 Různí autoři oužívají i jiná značení, nař. (Mitra, 2008). 29

30 kde ˆ je odhad směrodatné odchylky rocesu dle vztahu ˆ R d 2. Neshodná jednotka je taková, která se vyskytne mimo interval ( LSL ; USL). Situaci ilustruje Obr. 8. Zdroj: Jarošová, Noskievičová, 2015a, s. 80 Obr. 8 Stanovení ásma říustné fluktuace ro střední hodnotu rocesu; zdroj Je zřejmé, že hodnoty PL ; PL ) závisí na volbě maximálně říustného odílu neshodných jednotek ( L U a odovídajícím kvantilu literatuře se lze setkat s rozdílnými dooručeními ohledně hodnot kvantilu u 1. V odborné a hodnot u 1. Naříklad Ryan (2011) vychází rimárně z volby odílu neshodných a z něj odvozeného kvantilu, jiní autoři (nař. Hill, Burr, Bissell) racují s hodnotou u 1 3, což odovídá = 0,00135 (ale lze se setkat i s hodnotami 2,33 a 4). Podle těchto řístuů je volba hodnoty odílů neshodných v odstatě arbitrární. Pokud však není z nějakých důvodů ožadována konkrétní hodnota odílu neshodných, je vhodnější vzít v úvahu konkrétní odmínky výrobního rocesu, ožadovanou zůsobilost a říadné ekonomické důsledky zvýšení odílu neshodných. Metodika Six Sigma řiouští ři hodnotě indexu zůsobilosti C = 2 osun střední hodnoty rocesu o u 1,5 na obě strany od cílové hodnoty; tzn. 1 = 4,5 a = 0, neboli 3,4 m, jak ilustruje obr

31 Zdroj: Lakshman, 2010, s. 3 Obr. 9 Efekt osunu střední hodnoty o 1,5σ. Při volbě kvantilu u 1 můžeme vyjít z cílového indexu zůsobilosti. Tab. 4 uvádí kvantily normovaného normálního rozdělení ro různé hodnoty indexu zůsobilosti, kde o 1,5 ři dané hodnotě C. vyjadřuje odíl neshodných ři osunu střední hodnoty Tab. 4 Hodnoty a u 1 ro různé úrovně C C u 1 1,67 3,50 2,33E ,50 3,40E-06 2,33 5,50 1,90E-08 2,67 6,50 4,02E ,50 3,19E-14 Zdroj: Vlastní zracování Souvislost odílu neshodných Noskievičová, 2015a): a kvantilu u 1 vylývá ze vztahu (Jarošová, USL 1 (12) 31

32 Stanovení regulačních mezí Regulační meze modifikovaného diagramu se stanoví odle vztahu UCL USL u ˆ u1 1 ˆ n ˆ LCL LSL u ˆ 1 u 1 (13) n kde u 1 a 1 u jsou kvantily normovaného normálního rozdělení, je odhad směrodatné odchylky okamžitého rozdělení. Hodnota kvantilu u 1 je určena volbou, neboli ravděodobností chyby I. druhu (řekročení regulační meze v říadě, kdy je rovno PL L nebo PL U ). Ryan (2011) a norma ČSN ISO volí u 1 =1,645. Stanovení modifikovaných mezí ilustruje obr. 10. Dle Montgomeryho (2009) se obvykle volí u 3. V takovém říadě u1 1 úravou vztahu (18) získáme ředis ro modifikované regulační meze ve tvaru: Pokud se ovšem volí 1 UCL USL 3 ˆ(1 ) 1 LCL LSL 3 ˆ 1 (14) n n jiné než 0,00135, V tomto říadě je výhodnější oužít vztah (18) uravit na: u 1 bude mít hodnotu dle Tab. 4. UCL PL U 3ˆ n 3ˆ LCL PLL (15) n Zdroj: Uraveno dle Jarošová, Noskievičová (2015a) Obr. 10 Stanovení modifikovaných regulačních mezí 32

33 Modifikovaný regulační diagram oužijeme v říadě, že velikost inherentní variability rocesu (obvykle vyjádřeno jako 6 ) je výrazně menší než rozsah ředesaných tolerančních mezí ( USL LSL), dle definice vysoce zůsobilého rocesu dle Mittaga a Rinneho (1993) oužijeme nerovnici: Pro jednostrannou secifikaci tedy latí: USL LSL > 8 (16) USL ˆ ˆ LSL > 4 ; > 4 (17) Dalším ředokladem je normální okamžité rozdělení hodnot, konstantní inherentní variabilita a možnost snadného zásahu do rocesu. (Mitra, 2008). Postu ři alikace modifikovaného regulačního diagramu (Jarošová, Noskievičová, 2015a) 1. Odhad arametrů a sestrojení základních regulačních diagramů ro růměr a rozětí (, R). Jeví-li se meze v -diagramu říliš úzké a R-diagram vykazuje statisticky zvládnutý roces, má smysl uvažovat o alikaci modifikovaného diagramu. 2. Porovnání šíře tolerance ( USL LSL) s intervalem Odvození maximálně říustného odílu neshodných jednotek od cílového indexu zůsobilosti, res. volba kvantilu 4. Volba rizika, res. volba kvantilu u 1. u Výočet fluktuačního ásma střední hodnoty dle vztahu (12) 6. Výočet modifikovaných akčních mezí dle vztahu (15), říadně stanovení varovných mezí. Jsou-li modifikované LCL a UCL širší než ůvodní meze je oužití regulačního diagramu vhodné. 7. Konstrukce a interretace modifikovaného regulačního diagramu Přejímací regulační diagram Předoklady ro oužití řejímacího diagramu jsou stejné jako u modifikovaného diagramu. Předokládá se, že variabilita uvnitř odskuin je 33

34 mnohem menší než tolerance, roces je z hlediska inherentní variability statisticky zvládnutý a okamžité rozdělení sledovaného znaku je normální (Jarošová, Noskievičová, 2015a). Zatímco modifikovaný regulační diagram je založen na určitém rozsahu výběru n, říustném odílu neshodných (nebo ) a ravděodobnosti chyby I. druhu, řejímací regulační diagram uvedený roku 1957 R. Freundem, bere v úvahu rizika chyb obojího druhu a neříustný odíl neshodných jednotek R (Montgomery, 2009). Tab. 5 obsahuje hodnoty u 1 a R R v závislosti na C. Tab. 5 Hodnoty R a u 1 R ro různé úrovně C C u 1 R R 1,67 3,50 2,33E ,50 3,40E-06 2,33 5,50 1,90E-08 2,67 6,50 4,02E ,50 3,19E-14 Zdroj: Vlastní zracování Montgomery (2009) a Duncan (1986) uvádějí dva zůsoby návrhu řejímacího diagramu. První metodou (sigma multile metod) konstruujeme řejímací diagram ro určitý rozsah odskuin n a odíl neshodných jednotek R a ravděodobnosti 1. Riziko beta vyjadřuje ravděodobnost, že osun střední hodnoty na hodnotu RPL L nebo RPL U, kdy by roces rodukoval odíl R neshodných, nebude rozoznán. Od hodnoty R jsou odvozeny meze RPL L a RPL U (viz obr. 11), které ředstavují střední hodnotu rocesu ři oměru neshodných R. Meze ro střední hodnotu se stanoví dle vztahu RPLU USL u 1 R ˆ RPLL LSL u 1 R ˆ (17) 34

35 Zdroj: Jarošová, Noskievičová, 2015a, s.87 Obr. 11 Princi stanovení ásma ro střední hodnotu v řejímacím regulačním diagramu Princi stanovení regulačních mezí v řejímacím diagramu vylývá z obr. 12, řičemž ředis ro regulační meze má následující tvar: UCL RPL U u 1 ˆ ˆ LCL RPLL u1 (18) n n kde u je 100( 1 )% kvantil normovaného normálního rozdělení. 1 Zdroj: Jarošová, Noskievičová, 2015, s. 87 Obr. 12 Princi stanovení regulačních mezí v řejímacím regulačním diagramu 35

36 Druhý zůsob (beta risk method) sočívá ve stanovení velikosti odskuiny n na základě zadaných hodno, R a rizika i. Jedná se tak v odstatě o kombinaci návrhu modifikovaného regulačního diagramu a rvního zůsobu návrhu řejímacího regulačního diagramu. Velikost odskuiny n lze obecně vyočíst omocí vztahu (Montgomery, 2009): u n u 1 1 u u 1 1 R 2 (19) Tento zůsob však nebude v této ráci alikován. Postu ři alikaci řejímacího diagramu (Jarošová, Noskievičová, 2015, uraveno) 1. Sestrojit a analyzovat klasický Shewhartův regulační R-diagram nebo s-diagram. V říadě statisticky zvládnutého rocesu stanovit odhad. 2. Ověřit, že kolísání střední hodnoty nelze za daných výrobních odmínek eliminovat. 3. Porovnání šíře tolerance ( USL LSL) s intervalem 8. Pokud je ( USL LSL) > 8, je vhodné řejímací regulační diagram alikovat. 4. Odvození neříustného odílu neshodných jednotek R, res. volba kvantilu u 1, od zvolené hodnoty C R (cílového) indexu zůsobilosti odle tab. 5, který je alesoň o jednu úroveň nižší než v říadě modifikovaného diagramu. 5. Zvolit hodnotu rizika chyby II. druhu, res. volba kvantilu u Stanovit hranice ásma neovolené fluktuace střední hodnoty RPLU a odle (17). 8. Stanovit regulační meze řejímacího diagramu omocí (18). 9. Sestrojit a analyzovat řejímací regulační diagram. RPL L 36

37 4 Zůsobilost a výkonnost rocesu Koncet analýzy zůsobilosti má základ v osmdesátých letech minulého století a ůvodně byl alikován ouze u statisticky zvládnutých rocesů. Zůsobilostí rocesu se rozumí schonost rocesu rodukovat výstuy vyhovující secifikaci (Montgomery, 2009). Podle normy ČSN ISO je zůsobilost charakterizována jako statistický odhad výstuu znaku z rocesu, u něhož bylo rokázáno, že je ve statisticky zvládnutém stavu; tento výstu oisuje schonost rocesu realizovat hodnotu znaku, která bude slňovat ožadavky na tento znak. Zůsobilost rocesu tedy vyovídá o uniformitě rocesu a jeho schonosti rodukovat výstu shodný s ožadavky zákazníka secifikovanými rostřednictvím mezí USL, LSL. Pravidelné hodnocení zůsobilosti rocesů je často ožadováno od dodavatelů a může být využito ro zlešování rocesů. Výstuy analýzy zůsobilosti lze také využít ři volbě či úravě tolerančních mezí a v říadě vysoké zůsobilosti lze snížit náklady na výstuní kontrolu nebo SPC. Pro účely konstrukce ukazatelů orovnáváme říustnou a řirozenou variabilitou. Základním ukazatelem zůsobilosti je ukazatel C, který je definován jako odíl říustného intervalu variability dané intervalem (USL-LSL) a řirozené variability rocesu vyjádřené hodnotou 6. C USL LSL (20) 6 Přirozená variabilita rocesu je vymezena intervalem 3. Podíl neshodných jednotek lze určit na základě vztahu: LSL USL ; U (21) L 1 kde je distribuční funkce rozdělení N (0,1 ) a a jsou arametry normálního rozdělení. Celkový odíl neshodných t je součtem obou hodnot. Obecně lze odíl neshodných určit omocí distribuční funkce F (x) daného modelu rozdělení. Celkový odíl neshodných je definován součtem obou ředchozích 37

38 t (22) t U Čím vyšší ukazatel C, tím menší je variabilita sledovaného znaku. Proces může být buď centrován, nebo osunut směrem k jedné z tolerančních mezí Posun střední hodnoty Proces je ovažován za zůsobilý, když je C 1, 33. V říadě centrovaného rocesu jsou řirozené meze vzdáleny od ředesaných mezí (USL a LSL) nejméně jednu směrodatnou odchylku směrem ke střední hodnotě. Tolerance je tedy rovna minimálně 8σ. Při osunu střední hodnoty se hodnota C nezmění, ale změní se odíl neshodných jednotek t. Tab. 6 orovnává odíl neshodných v závislosti na C jak ro centrovaný roces, tak ro osun střední hodnoty o jak jej řiouští metodika Six Sigma. 1,5 Tab. 6 Podíl neshodných v závislosti na C C t (m) centrovaný roces osun střední hodnoty o 1,5 1, , ,67 0, ,00 0,002 3,4 Zdroj: Jarošová, Noskievičová, 2015a, s Ukazatel C k Poloha rocesu s dostatečnou vzdáleností od mezních hodnot secifikace je druhým faktorem zůsobilosti. Protože ukazatel C olohu rocesu vůči mezním hodnotám USL, LSL nezohledňuje, byly navrženy další ukazatele, které informaci o oloze rocesu oskytují. Index C k bývá taky nazýván kritický ukazatel zůsobilosti a lze jej vyočíst odle vzorce C min( C, C ) ; kde horní a dolní kritický ukazatel zůsobilosti k ku kl zjistíme dle vztahů (Mitra, 2008): 38

39 C ku 4.3. Výkonnost rocesu USL 3 LSL C kl (23) 3 Dle tradičního řístuu jsou základními ředokladem ro analýzu zůsobilosti, res. oužití indexu C a C k statisticky zvládnutý roces s normálním rozdělením znaku kvality. V devadesátých letech skuina IG začala dooručovat oužití dvou termínů: zůsobilost a výkonnost. Tento řístu ovoluje hodnotit i statisticky otenciálně nezvládnutý roces. Mnozí autoři (nař. Montgomery, 2009; Kotz a Lovelace; 1998) s tímto nesouhlasí, rotože nelze solehlivě redikovat chování rocesu a ovažují zavedení výkonnosti za krok zět. Zavedení termínu výkonnosti je reflektováno v normě ČSN ISO 21747:2010 a ojem statisticky zvládnutý roces již není cháan striktně jednoznačně. V raxi totiž řada rocesů vyhovujících tolerančním mezím nemusí nutně vykazovat konstantní střední hodnotu. K fluktuaci střední hodnoty totiž často dochází z inherentních říčin, říkladem budiž rocesy tyu C. Je-li sledována okamžitá variabilita rocesu, hovoříme o ukazatelích zůsobilosti. Zkoumá-li kolísání měřitelného znaku v růběhu času, oužijí se ukazatele výkonnosti. U rocesů tyu, kde lze odskuiny ovažovat za výběry ze základního souboru téhož rozdělení, lze usuzovat na budoucí chování rocesu v čase (Jarošová, Noskievičová, 2015). U rocesů, kde se mění střední hodnota nebo variabilita, již není možné odskuiny ovažovat za výběry ze souboru s týmž rozdělením, což roces dle tradiční definice klasifikuje jako statisticky nezvládnutý a tudíž by se měla hodnotit ouze jeho výkonnost. U rocesů tyu C bude oužíván termín ukazatele výkonnosti. Norma ČSN ISO (2010) však rezentuje jak ukazatele výkonnosti, tak ukazatele zůsobilosti a řiouští jejich využití i u rocesů, které by odle ředchozí definice nebyly ovažovány za statisticky zvládnuté. Procesy tyu C1 se vyznačují normálním výsledným rozdělením a celkovým roztylem, který je větší než roztyl okamžitých rozdělení. Směrodatná odchylka výsledného rozdělení se odhadne ze všech kn hodnot: 39

40 Ukazatel výkonnosti k n j1 i1 ( x ij x) 2 t st (24) kn1 P je určen vzorcem P USL LSL (25) 6 t Podobně jako u zůsobilosti je P min( P, P ). Horní a dolní ukazatele výkonnosti získáme obdobně jako: k ku kl P ku USL 3 t P kl LSL (26) 3 t Obecně by ukazatele výkonnosti měly být menší než odovídající ukazatele zůsobilosti, rotože mimo inherentní variability zahrnují také říadné změny střední hodnoty zůsobené vymezitelnými říčinami (Jarošová, Noskievičová, 2015). Norma ČSN ISO uvádí řehled metod ro určení zůsobilosti, res. výkonnosti rocesů: M1 l, d Obecná geometrická metoda M2 l, d, a Exlicitní zahrnutí řídavného kolísání M3 l, d, a lternativní metoda exlicitního zahrnutí říadného kolísání M4 Metoda odílu řesahů kde indexy l se vztahují k rovnici ro výočet odhadu arametru olohy, index d k arametru roztýlení Δ, a index a k odhadu řídavného kolísání µ add. Metodou M1 zjistíme výkonnost obecně odle vzorce (27). Postu odhadu arametrů lze nalézt v normě ČSN ISO (2010). USL LSL P (27) s jeho horní a dolní variantou 40

41 P kl LSL L P ku USL U (28) kde výkonnost určuje menší z obou ukazatelů, tj. P min( P, P ). Je-li rokázáno, že roces je ve statisticky zvládnutém stavu, může být stanoven ukazatel zůsobilosti, a to ekvivalencí s indexy výkonnosti: Ukazatele výkonnosti ro nenormální rozdělení k kl ku C P, res. C k Pk Pro rocesy tyu C, kde výsledné rozdělení není normální (tzn. ty C2, C3, C4) se dooručují metody M2 a M3 ředokládající data v odskuinách. Metoda M2 U této metody se interval řirozené variability ve jmenovateli ukazatele ůvodního indexu C rozšíří odobně jako v říadě regulačního diagramu s rozšířenými mezemi o hodnotu 2 a index výkonnosti má tvar: Pro horní a dolní varianty ukazatele analogicky latí USL LSL P (29) 6 2 P U USL 3 LSL P L (30) 3 Metoda M3 Metody (M3) sočívá naoak v zúžení tolerance o hodnotu 2, latí tedy vzorec jehož horní a dolní varianty mají tvar: USL LSL 2 P (31) 6 P U USL 3 LSL P L (32) 3 V obou říadech je odhadnuta nař. omocí růměrného rozětí odle vztahu ˆ R / d (2). je ovšem odvozena ze směrodatné odchylky ro meziskuinovou 2 41

42 variabilitu ˆ odhadnuté omocí růměrných čtverců získaných z NOV odle vztahu (7). Dietrich a Schulze (2010) dooručují Metoda M4 1,5ˆ. Je založena na znalosti odílu neshodných. Vyžaduje, aby byl znám model rozdělení. Dolní odíl neshodných L a horní odíl neshodných U ředstavují lochy od křivkou rozdělení ležící vně dolní a horní mezní hodnoty. Viz též Jarošová, Noskievičová (2015). P 1 1 ku (1 u 3 ) P 1 1 ku (1 L 3 ) (33) kde celkovou výkonnost rovněž určuje menší z obou ukazatelů P min( P, P ) a je-li rokázáno, že roces je ve statisticky zvládnutém stavu, může být ukazatel zůsobilosti oět sočten jako C P, res. k Pk C. Kvalita odhadu uvedených indexů závisí na řesnosti odhadu odovídajícího modelu rozdělení. Při ochybnostech o normalitě ředstavuje jednu z možností metoda ověřování výkonnosti na bázi aroximace Pearsonovou křivkou, která se označuje jako Clementsova metoda. Řadu rozdělení, u kterých nelze normalitu jednoznačně zamítnout, lze totiž lée aroximovat naříklad rávě omocí Pearsonových křivek 5, které jsou určeny odhady střední hodnoty, roztylu šikmosti a šičatosti. Rozlišuje se celkem sedm tyů rozdělení označených I-VII, obr. 13 znázorňuje ty V a VI. k kl ku Zdroj: Bachioua, 2013, s. 3 Obr. 13 Příklad rozdělení dle Pearsonových křivek tyu V a VI 5 další možností je nař. využití Box-Coxovy nebo Johnsonovy transformace. U Clementsovy metody však k transformaci dat nedochází. 42

43 Ukazatel výkonnosti se určí odle vzorce: P USL LSL ( q) (34) x x 0, ,00135 kde x 0,99865, x 0,00135 je 99,865%, res. 0,135% kvantil vybrané Pearsonovy křivky, obvykle odhadnuté statistickým softwarem. Zmíněné kvantily lze solu s mediánem oužít také ro výočet ukazatele hodnoticího olohu rocesu: USL x0,5 x0,5 LSL P k ( q) min ; (35) x0,99865 x0,5 x0,5 x0,

44 5. Solečnost Laird Technologies Solečnost Laird je ředním světovým výrobcem rvků ro ochranu elektronických zařízení řed elektromagnetickým zářením (EMI). Zaměstnává řes 9000 zaměstnanců ve více než 58 obočkách v 18 zemích. Solečnost dodává výrobky do všech odvětví elektrotechnického růmyslu včetně telekomunikací, řenosu dat a informačních technologií, automobilového růmyslu, odvětví leteckého, lékařského, důlního či železničního růmyslu a sotřební elektroniky. Laird Technologies s.r.o. v Liberci je zaměřená zejména na výrobu součástek ro řešení ochrany roti elektromagnetickému vyzařování (rogram EMI Solutions), řešení teelných ztrát a řenosů (rogram Thermal Management Solutions), rádiové moduly a systémy (rogram Wireless M2M & Telematics Solutions). Výrobní technologie libereckého závodu nabízí jak standardní katalogové rodukty EMI, Thermal a SIP, tak zákaznicky secifikované díly v oblasti lisovaní a následného okovení. Laird Technologies s.r.o. je držitelem certifikátu ISO/TS Závod v Liberci byl založen v roce 2003 a zaměstnává 330 zaměstnanců Proces lisování Předmětem této ráce je sledování kvality rocesu ve výrobním úseku Precision Metals Staming BLS and custom arts, tedy úseku řesného zracování kovů, jmenovitě ražení stínících krytek ro odstínění elektrokomonent na desce lošných sojů. Proces rodukuje zhruba 60 výlisků za minutu. Standardní dvoudílné stínící rvky ro ovrchovou montáž (Standard Surface Mount Shield-Two-Piece) sestávající z rámečku (obr. 14) a krytky. Tyto rvky umožňují řístu ke stíněné komonentě ro kontrolu či oravu bez rizika oškození desky odstraněním celého stínění. Dostuné jsou buď složené, nebo rozložené. 44

45 Zdroj: Interní materiály Laird Technologies s.r.o. Obr. 14 Výlisek stínícího rvku, ohled shora (vlevo) a zdola (vravo) Materiálem ro výrobu obou součástí je za studena válcovaná ocínovaná ásová ocel (CRS 1008/1010). Výlisky jsou z ásové oceli raženy na stroji jaonské značky Komatsu ty 45T (obr. 15). Zdroj: Interní materiály Laird Technologies s.r.o. Obr. 15 Výrobní zařízení (vravo) 5.2. Řízení kvality K analýze byl vybrán úsek rocesu mezi a , kdy bylo odebráno celkem 290 výlisků ve skuinách o ěti kusech. Teoreticky by měly být vzorky odebírány v ravidelných časových intervalech; ve skutečnosti se však intervaly odběru a měření liší i v řádu dnů. Měření je rováděno řístrojem Micro 45

46 VU model EXCEL 4520 a měří se výška, šířka a délka a rovinnost. Otické 3D měření tímto řístrojem umožňuje rychlou rozměrovou kontrolu součástek, kamera s autofokusem má řesnost v řádu µm. Měření v z-ose je u všech kusů rováděno nakonec z důvodu časové úsory oroti ostunému měření všech tří rozměrů na každém kusu. Přesné rozměry jsou nejdůležitějším arametrem výrobku, rotože jsou rozhodující ro srávné osazení výlisku v zařízení. Dle technického výkresu jsou kritickými rozměry délka, šířka, výška a rovinnost. Pro účely této dilomové ráce byly vybrány znaky délka a rovinnost. Výkresem ředesaná délka je stanovena na 35,00 mm s tolerancí ±0,10 mm a horní mezní hodnota rovinnosti je stanovena na 0,12 mm. Jednotlivé hodnoty rovinnosti jsou dána rozdílem maximální a minimální hodnoty výšky, které ocházejí z měření v celkem 12 různých bodech. Obr. 16 Znázornění rovinnosti (vlevo), izometrický ohled na součástku (vravo) Pro monitorování kvality solečnost oužívá software Qtree-SPC C/S.. Sledovaným ukazatelem je index C k. K vizualizaci SPC se využívá dvojice klasických regulačních diagramů (diagram ro růměr a rozětí). V současnosti oužívaný systém regulačních diagramů není zcela vyhovující. Použité 3-sigma meze jsou nevhodné a vedou tak k častým signálům, ačkoli nedochází k ůsobení vymezitelné říčiny. Vzhledem k tomu, že úroveň rocesu kolísá, v klasických regulačních diagramech se často vyskytují body mimo regulační meze, aniž by to bylo ovažováno za signál existence vymezitelné říčiny. Proto se na základě zkušeností managementu v raxi oužívají zásahové meze ve vzdálenosti 20 % od tolerančních mezí, které jsou dány výkresem. 46

47 6. Kontrola znaku délka 6.1. Identifikace modelu bychom určili, o jaký ty rocesu dle tab. 2 se jedná ro arametr délka, je rovněž nutné odhadnout arametry rocesu (viz tab. 7). Dále bude analyzována konstantnost střední hodnoty a variability. Následně bude určen model okamžitého rozdělení omocí reziduí a nakonec model rozdělení výsledného. Konstantní střední hodnota Tab. 7 Odhad arametrů rocesu a vyočtené regulační meze (délka) směrodatná odchylka růměr rocesu, CL UCL LCL R ˆ 0, d x i1 ˆ CL x k 2 k 3ˆ UCL x n i 35, , ˆ LCL x 35,05004 n Z diagramu ro růměry (obr. 17) je zřetelné kolísání střední hodnoty jednotlivých odskuiny, kdy se většina (47) růměrů odskuin z celkových 58 nachází mimo 3-sigma meze. Z teoretického hlediska je možné usoudit, že se roces nenachází od statistickou kontrolou a že zřejmě existují vymezitelné říčiny ovlivňující roces. Obr. 17 -diagram - délka (Statgrahics) 47

48 Proměnlivost střední hodnoty lze taktéž ověřit analýzou roztylu (NOV), viz tab. 8. Z tabulky NOV vylývá, že vnitroskuinová variabilita je řádově menší než variabilita mezi jednotlivými odskuinami. F-statistika orovnávající oba tyy variability je rovna 47,13. Vzhledem k tomu, že -hodnota je menší než hladina významnosti 0,05, indikuje tak zamítnutí H 0 o neměnnosti střední hodnoty rocesu, a existují významné rozdíly mezi růměry jednotlivých odskuin. Střední hodnota rocesu rovinnost tedy není konstantní. Tab. 8 NOV ro délku odle odskuin (Statgrahics) Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Between grous 0, , ,13 0,0000 Within grous 0, , Total (Corr.) 0, Konstantnost variability Z R-diagramu na obr. 18 je atrné, že existují dvě odskuiny, jejichž rozětí se nenachází uvnitř 3-sigma mezí. Protože však v říadě 28. a 56. odskuiny nebyla vymezitelná říčina identifikována, budou nadále uvažovat všechny odskuiny. Jinak variabilita mezi jednotlivými odskuinami není významná. Obr. 18 R-diagram - délka (Statgrahics) 48

49 Normalita okamžitého rozdělení Grafické metody K ověření rozdělení byly oužity grafické metody a statistické testy, které jsou obsaženy v rogramu Statgrahics. Vzhledem k tomu, že střední hodnota není konstantní, je ro určení normality okamžitého rozdělení vhodné oužít rezidua, která jsou již očištěna o změny střední hodnoty. Křivka normálního rozdělení oměrně dobře vystihuje tvar histogramu reziduí na obr. 19. Podobně z Q-Q grafu na obr. 20 je atrné, že rozložení hodnot odovídá rozdělení normálnímu bez výraznějších odchylek od římky identity. Obr. 19 Histogram reziduí (Statgrahics) Obr. 20 Q-Q graf reziduí (Statgrahics) 49

50 Statistické testy Z vybraných statistických testů uvedených v tab. 9 je vidět, ouze test šičatosti s -hodnotou menší než 0,05 zamítá nulovou hyotézu o normalitě okamžitého rozdělení. Ostatní statistiky včetně obou testů dobré shody vyšly s -hodnotou výrazně větší než 0,05 a nezamítají tak nulovou hyotézu H 0 o normalitě rozdělení. Solu s grafickými testy je možné ovažovat ředoklad normality okamžitého rozdělení za slněný. Tab. 9 Testy normality ro rezidua - délka (Statgrahics) Test Statistika P-Value Chi-Square 41,2138 0, Shairo-Wilk W 0, , Skewness Z-score 1, , Kurtosis Z-score 2, , Kolmogorov-Smirnov 0, nderson-darling ^2 >=0.10 Normalita výsledného rozdělení Grafické metody Proměnlivost střední hodnoty již nyní klasifikuje roces délky jako roces tyu C. O jeho řesnějším určení je možné rozhodnout terve o zjištění modelu výsledného rozdělení. Histogram na obr. 21 odává orientační ředstavu o shodě s křivkou normálního rozdělení. Je zde atrný určitý rozdíl zejména v oblasti vrcholu Gaussovy křivky, což by teoreticky mohlo indikovat i jiné než normální rozdělení. 50

51 Obr. 21 Histogram výsledného rozdělení (Statgrahics) Kvantil-kvantilový graf na obr. 22 hodnot sledovaného znaku do určité míry koíruje lineární tvar normálního rozdělení, ale jsou tu atrné určité odchylky od lineárního růběhu, vizuálně větší než v říadě okamžitého rozdělení. Rozhodnutí o říadné normalitě bude vhodnější učinit ve sojení se statistickými testy. Obr. 22 Q-Q graf výsledného rozdělení (Statgrahics) 51