Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak"

Transkript

1 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm reálnými čísly je nekonečně mnoho čísel rcionálních i ircionálních Definice Reálné číslo se nzývá: kldné, pokud > ; záporné, pokud < ; nezáporné, pokud ; nekldné, pokud číselná os Definice Pro kždé, b R, < b, rozeznáváme tyto typy intervlů s krjními body, b:, b) { R : < < b} otevřený);, b { R : b} pro, b R uzvřený);, b { R : < b} pro b R polouzvřený);, b) { R : < b} pro R polouzvřený) Body intervlu, které nejsou krjní, nzýváme vnitřní body Definice Rozšířená množin reálných čísel je R R {, + }, kde + se nzývjí nevlstní čísl Pro kždé R pokládáme: ) < < + ) + + 3) +, +,,, { +, >,,, <, Nedefinujeme:,, Poznámk Nevlstní čísl využíváme při popisu intervlů, npříkld:, ) { R : < < } { R : < },, + ) R Definice Nechť M R Číslo k R se nzývá: horní mez množiny M, pokud k pro kždé M; dolní mez množiny M, pokud k pro kždé M Množin M se nzývá: shor omezená, pokud má horní mez; zdol omezená, pokud má dolní mez; omezená, pokud má horní i dolní mez Příkldy ) N je zdol omezená, není shor omezená ) Z není omezená ni zdol, ni shor 3), ) je omezená množin Definice Nechť M R je neprázdná Supremum množiny M sup M) je nejmenší horní mez množiny M + pro shor neomezenou), infimum množiny M inf M) je největší dolní mez množiny M pro zdol neomezenou) Příkldy Pro intervly,,, ) dostáváme: sup, min, + ), inf, m,, sup, ) min, + ), inf, ) m, Poznámk Jestliže eistuje mimum minimum) množiny, pk je zároveň supremem infimem) této množiny Vět Kždá neprázdná množin reálných čísel má supremum i infimum Vět princip vnořených intervlů) Jestliže pro uzvřené intervly I n n N) pltí I I I 3, pk n N I n Jestliže nvíc délky intervlů I n klesjí k nule, pk je tento průnik jednobodový Důkz: Oznčme I n n, b n pro kždé n N Z předpokldů vyplývá, že 3 b 3 b b Množin { n : n N} je neprázdná, shor omezená kždým číslem b n, má tedy v R supremum, oznčme ho Protože b n pro kždé n N, má množin {b n : n N} v R infimum, oznčme ho b Protože b, je n N I n { R : b} Jestliže délky intervlů I n klesjí k nule, pk b Poznámk Podmínk uzvřenosti intervlů ve výše uvedené větě je podsttná: je-li I n, n ) pro kždé n N, pk I I I 3 n N I n Funkce Definice Reálná) funkce reálné proměnné) je zobrzení A R, kde A R je neprázdná Množin A je definiční obor funkce f Df)), množin fa) {f) : A} je obor hodnot funkce f Rf)) Grf funkce f je množin {[, f)] : Df)} Poznámk Pokud není zdán definiční obor, bereme mimální možný Definice Funkce f : A B se nzývá prostá, pokud různým vzorům odpovídjí různé obrzy; n B, pokud její obor hodnot je B f : A n B); vzájemně jednoznčná, pokud je prostá n B Příkldy ) není prostá f) f )), je n, + ) ) 3 je prostá n R Poznámk Neostré uspořádání f g operce sčítání, odčítání, násobení dělení funkcí definujeme bodově Definice Složení funkcí f : A B g : B C je funkce g f : A C definovná předpisem g f)) g f) ) Příkld f), g) : g f)) g f) ) f) ) ) 4, f g)) f g) ) g) Definice Funkce g : Rf) A je inverzní k funkci f : A B, pokud g f)) pro kždé A Znčíme g f

2 Vět Funkce f má inverzní funkci právě tehdy, když je prostá Pk Rf ) Df) f je inverzní funkce k f Poznámk Grf f je symetrický s grfem f podle osy prvního třetího kvdrntu přímky o rovnici y ) Příkldy ) je prostá n, ), má inverzní ) f) e : R n, + ) je prostá, má inverzní g) ln :, + ) n R; g f f g Definice Funkce f je zdol, shor) omezená n A Df), pokud je zdol, shor) omezená množin fa) Poznámk Pokud neurčujeme A, myslíme Df) Příkldy ) je zdol omezená ), není shor omezená ) rctg je omezená 3) 3 není omezená zdol ni shor Definice Funkce f je rostoucí resp klesjící, neklesjící, nerostoucí ) n množině A Df), pokud f) < fy) resp f) > fy), f) fy), f) fy)) pro všechn, y A tková, že < y Všechny tkové funkce se nzývjí monotonní, rostoucí klesjící funkce se nzývjí ryze monotonní Příkldy ) je klesjící n,, rostoucí n, + ) ) sign je neklesjící Vět Rostoucí klesjící ) funkce je prostá má inverzní funkci, která je rovněž rostoucí klesjící ) Definice Funkce f je ) sudá, pokud f ) f) pro kždé Df); ) lichá, pokud f ) f) pro kždé Df) Příkldy ) je sudá ) 3 je lichá Poznámk Grf sudé funkce je osově symetrický podle osy y, grf liché funkce je středově symetrický podle počátku Definice Funkce f se nzývá periodická s periodou p >, pokud f + p) f p) f) pro kždé Df) Příkld Funkce sin je periodická s periodou π Poznámk Má-li funkce periodu p, má i periody np n N) Nejmenší period pokud eistuje) se nzývá zákldní Elementární funkce mocniny definiční obor pro rcionální p q, p Z, q N, p, q nesoudělné: q liché q sudé p R, + ) p < R \ {}, + ) pro R\Q pokládáme e ln, tedy Df), + ) eponenciální funkce o zákldu > : logritmus o zákldu > : log log pro zákld, ln pro zákld e) Pro kždé, y R kždé > pltí +y y, ) y y Pro kždé, ), + ) pltí log y) log + log y,, y >, log y y log, > goniometrické funkce: sin, cos, tg sin cos cos, tg sin inverzní funkce: rcsin, rccos, rctg, rccotg hyperbolické funkce: sin + cos sin + y) sin cos y + cos sin y cos + y) cos cos y sin sin y sin cos cos + cos sinh e e cosh e + e, tgh sinh cosh,, cotgh cosh sinh inverzní funkce rgsinh, rgcosh, rgtgh, rgcotgh cosh sinh sinh + y) sinh cosh y + cosh sinh y cosh + y) cosh cosh y + sinh sinh y Limity funkcí Definice Okolí bodu R o poloměru r > je U, r) { R : < r} r, + r) Prstencové okolí bodu R o poloměru r > je P, r) U, r) \ {} r, ), + r) Okolí bodů ± jsou r je reálné číslo): U, r) P, r) { R : < r}, r), U+, r) P +, r) { R : > r} r, + ) Definice Funkce f definovná v prstencovém okolí bodu R má v bodě itu b R f) b, f) b), jestliže pltí: Ke kždému okolí U bodu b eistuje prstencové okolí P bodu tk, že fp ) U Poznámk Obecněji se definuje it v hromdném bodě definičního oboru Tvrzení Pro kždé R pltí: ) c c pro kždé c R ) Důkz: ) f U) R pro kždé U, npř P P, ) ) f U) U pro kždé U, npř P U \ {} Příkld + sin neeistuje: pro b R eistuje U b,, f U b ) neobshuje prstencové okolí +

3 Poznámk Jednostrnné ity pro levá/prvá prstencová okolí body prstencového okolí nlevo/nprvo od ) Příkld sign, + sign + Vět Pro funkci f definovnou v prstencovém okolí bodu R je f) b právě tehdy, když f) + f) b Poznámk Následující věty lze formulovt i pro jednostrnné ity Vět o jednoznčnosti) Kždá funkce má v kždém bodě nejvýše jednu itu Důkz: Pokud má v itu b, tk jiné číslo c R není itou: eistují disjunktní okolí U b, U c bodů b, c, f U c ) je disjunktní s f U b ) neobshuje tedy prstencové okolí Vět o monotonii) Je-li f) b, g) c f g n prstencovém okolí bodu, pk b c Důkz sporem): Pro b > c eistují disjunktní okolí U b, U c bodů b, c prstencová okolí P b, P c bodu A tk, že fp b ) U b, fp g ) U c, pro P f P g je f) > g) spor Příkld Ne pro <: < n, + ), v + stejná it Vět Funkce s vlstní itou v je omezená n prstencovém okolí Vět Funkce s kldnou zápornou) itou v je n prstencovém okolí kldná záporná) Vět právě tehdy, když f) Důkz: f) U, ε) právě tehdy, když f) U, ε) Vět Monotonní funkce n intervlu má v jeho krjních bodech příslušné jednostrnné ity supremum infimum funkčních hodnot) Důkz pro f neklesjící n I, b)): c sup fi), okolí U bodu c má levý krjní bod d, eistuje e d, c) fi), f U) f e), b) levé prstencové okolí b Příkld e : R n, + ) je rostoucí, tedy e inf, + ), + e sup, + ) + Příkld + +, >,,,, <, +, >,,, +, < Vět it součtu, rozdílu, součinu podílu funkcí) Limit součtu rozdílu, součinu, podílu) funkcí je součet rozdíl, součin, podíl) it, pokud je definován včetně opercí s nevlstními čísly) Důkz pro součet vlstních it): Pro Ub+c, ε) uvžujme fp f ) Ub, ε ) fp g) Uc, ε ), pk f + g)p f P g ) Ub + c, ε) Příkldy ) ) + nedefinováno ) + ) +, + ) + nedefinováno 3) + +, nedefinováno ) + ) + Tvrzení Je-li f) >, g) g > n prstencovém okolí bodu, pk f)/g) + Poznámk ± ± Příkldy ) ) 3) ± ) ln ) 4 ± ± + + Tvrzení Je-li f) b {± } g je omezená n prstencovém okolí, pk f) + g) ) b Poznámk ± + omez ± Příkld + cos ) + + omez + Vět o sevření) Je-li f) g) b f h g n prstencovém okolí, pk h) b Vět Je-li f), g je omezená n prstencovém okolí, pk f) g) Poznámk omez omez ± Příkld sin omez Tvrzení Jestliže f) neeistuje, pk pltí: ) Je-li g) vlstní, pk f) ± g) ) neeistuje ) Je-li g) vlstní nenulová, pk neeistují f) g) ) f)/g) ) Příkld + sin nee neeistuje Poznámk Druhou itu lze brát z definici čísl e) sin, e

4 Vět it složené funkce) Nechť pro R pltí: ) f) b R, ) y b gy) c R 3) gb) c nebo f) b n prstencovém okolí Pk g f)) c Důkz: U c ): eistuje P b : P b g Uc f ): eistuje P : P Pb {b} 3): pro gb) c je P b {b} g g f U c, P U c, jink eistuje P : P f P b, P g f U c Příkld + e / y e y Příkld f) sin, f) gy) pro y, g) ; y gy) g f)) pro { kπ : k Z}, jink g f)) neeistuje Poznámk Podmínk gb) c ve větě o itě složené funkce znmená spojitost funkce g v bodě b Spojitost funkcí Definice Funkce f je spojitá v bodě Df), pokud ke kždému okolí U bodu f) eistuje okolí V bodu tk, že f V Df) ) U Funkce je spojitá, pokud je spojitá v kždém bodě svého definičního oboru Vět Funkce f definovná v okolí bodu je v bodě spojitá právě tehdy, když f) f) Poznámk Podobně spojitosti zlev/zprv Příkldy ) je spojitá ) sign je spojitá v bodech R \ {}, není spojitá v bodě 3) Dirichletov funkce {, Q, d), / Q není spojitá v žádném bodě Vět Jsou-li funkce f, g spojité v bodě, pk pltí: ) Funkce f ± g, f g, f jsou spojité v ; je-li g), pk i funkce f/g je spojitá v bodě ) Eistuje okolí bodu, n kterém je funkce f omezená 3) Je-li f) >, pk f > n některém okolí bodu 4) Je-li funkce f spojitá v bodě funkce g spojitá v bodě f), pk funkce g f je spojitá v bodě Vět Polynomy rcionální funkce jsou spojité funkce Vět Mocniny, eponenciální, goniometrické hyperbolické funkce funkce k nim inverzní jsou spojité Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá největší nejmenší hodnoty Vět o mezihodnotě) Je-li funkce f spojitá n intervlu I nbývá-li v něm hodnot m M, m < M, pk v tomto intervlu nbývá všech hodnot z intervlu m, M Důsledky ) Pro spojitou nekonstntní funkci je obrzem intervlu intervl uzvřeného uzvřený) ) Spojitá funkce n intervlu je prostá má inverzní funkci) právě tehdy, když je ryze monotonní Inverzní funkce pk je spojitá Posloupnosti Definice Nekonečná) posloupnost reálných čísel) je zobrzení N R Znčíme n ) n, n je n-tý člen Příkldy ) n ) n, 4, 8, ) n ) n n q n geometrická s kvocientem q ), 3, 5, 7, ) + n )) n n + n )d ritmetická s diferencí d 3), n+ n + n+ :,,, 3, 5, 8,, ) Fiboncciho) Definice Vybrná posloupnost podposloupnost) z posloupnosti n ) n je posloupnost kn ) n, kde k n ) n je rostoucí posloupnost přirozených čísel Poznámk n fn), k n gn): kn f g)n) Poznámk n n + f) pro f) n n n n, n + ) Znčíme též n Vět Posloupnost n ) n má itu R, pokud pro kždé okolí U bodu eistuje n N tk, že pro všechn n > n je n U Definice Posloupnost s vlstní itou je konvergentní Vět Je-li + f), pk n fn) Vět f) b právě tehdy, když n f n ) b pro kždou posloupnost n ) n čísel z Df) \ {} s n n Příkld + sin neeistuje: n sin πn, n πn +, n sin π + πn), n π + πn) + Definice Číslo R je hromdná hodnot posloupnosti, pokud v kždém okolí leží nekonečně mnoho jejích členů Příkld Posl ) n) má hromdné hodnoty ± n Tvrzení Limit posloupnosti je hromdnou hodnotou posloupnosti Hromdná hodnot posloupnosti je itou některé vybrné posloupnosti Vět Kždá posloupnost má v R lespoň jednu hromdnou hodnotu omezená posloupnost vlstní ) Tvrzení Supremum infimum množiny hromdných hodnot posloupnosti jsou hromdné hodnoty této posloupnosti, znčíme je sup n n es superior) inf n n es inferior)

5 Vět Pro posloupnost je ekvivlentní: ) Má itu ) Má jedinou hromdnou hodnotu 3) Limes inferior es superior posloupnosti jsou stejné 4) Kždá vybrná posloupnost má stejnou itu Derivce funkce Okmžitá změn funkce jko it průměrných změn Definice Derivce funkce f v bodě je Poznámky ) df d ) f f + h) f) ) h h f f) f) ) ) Derivce funkce v bodě může být vlstní nebo nevlstní 3) Podobně jednostrnné derivce Příkld Pro funkci f) 3 je f ) h 3 h 3 h h 3 h + + Definice Funkce f má derivci n intervlu I, pokud má derivci v kždém vnitřním bodě I příslušné jednostrnné v přípdných krjních bodech I Derivce je opět funkce, znčíme ji f Tvrzení ) ) 3) 4) 5) Důkz: c) R c R je konstnt) ) R pro N), e ) e R sin ) cos R cos ) sin R pro Z), > pro R) ) c) h c c h h h h ) pro N: n ) h h [ + h)n n ] h h n + n n h + + h n n ) h n n + + h n ) n n 3) e ) h h e+h e ) h e e h h e e 4) sin ) sin+h) sin h h cos+h/) sin h/ h h sin h/ h cos + h/) h/ cos cos cos ) cos+h) cos h h sin+h/) sin h/ h h h sin + h/) sin h/ h/ sin sin Příkldy ) 3 ) 3 3 3, R ) 3 ) /3 ) 3 /3 / 3 3 ), Vět Funkce je spojitá v kždém bodě, ve kterém má vlstní derivci Důkz: f) f) + f) f) f) + f ) f) Příkldy ) ) sign je nespojitá v, sign sign h sign ) h h h h + + ) f) je spojitá v, f ) neeistuje: f ±) h h ± h h ± ± ± 3) f) 3 je spojitá v, f ) + Vět o derivci součtu, rozdílu, součinu podílu) Jsou-li f, g funkce, které mjí vlstní derivce v bodě, pk: ) f ± g) ) f ) ± g ); ) f g) ) f ) g) + f) g ); 3) je-li g), pk Důkz: ) f ) f ) g) f) g ) g g) f ± g)) f ± g)) f ) ± g ) ; f) f) f g)) f g)) f) f) g) + f) f g ± g) g) f ) g) + f) g ) ; ) ) f ) g ) [ f) f) g) f) g) g) [ f g) ) g) f) g ) ] g) g) ] g) g) Poznámky ) Podobně pro derivci funkci) ) Pro c R je cf) c) f +cf cf derivce násobku je násobek derivce ) 3) Zobrzení : f f je lineární 4) f + f + + f n ) f + f + + f n, f f f n ) f f f n + f f f n + + f f f n Příkldy ) ) 6 + ) e sin ) e sin + e sin + e cos 3) tg ) ) sin cos sin ) cos sin cos ) cos cos +sin cos cos Vět o derivci složené funkce) Má-li f vlstní derivci v, g vlstní derivci v f) b, pk g f má v derivci g f) ) g b) f )

6 Důkz: Oznčme f) y Funkce { gy) gb) y b, y b, ty) g b), y b, je spojitá v b, v okolí b je gy) gb) ty) y b), pltí g f)) g f)) g f) ) g f) ) gy) gb) ty) y b) f) f) y b) ty) g b) f ) Poznámky ) Schemticky pro f) y, gy) z: dz d dz dy dy d ) f n f f ) f n f f Příkldy ) sin ) cos ) cosh ) e + e ) ) e e ) sinh 3) e cos ) e cos sin ) Poznámk e ) e, sin ) cos, cos ) sin Derivcí f f)) dostneme f f) ) f ) Vět o derivci inverzní funkce) Je-li funkce f spojitá ryze monotonní n otevřeném intervlu I eistuje-li nenulová derivce funkce f v I, pk f ) f) f ) Důkz: Oznčme y f), b f) fi) je otevřený intervl, eistuje spojitá f n fi) f y) f b) y b f) f) y b ) f ) Poznámk Obvykle vycházíme z funkce, jejíž derivci chceme spočítt, tkže podmínky monotonie nenulovosti derivce ověřujeme pro inverzní funkci Příkld ln je inverzní k e y, která je spojitá, rostoucí má nenulovou derivci Pro > Dln)) je Tvrzení ln ) e y ) e y e ln rctg ) +, rccotg ) +, R rcsin ), rccos ),, ) Definice Derivci řádu n n-tou derivci) funkce f znčíme f n) nebo dn f d definujeme rekurentně f ) f, f n) f n )) Příkld Pro f) / dostáváme f ) ), f ) ) ) ) ) 3, pro n N f ) ) ) 3) ) ) 3) 4, f n) ) ) n n! n+ Poznámky ) Derivce řádu n je lineární zobrzení, tkže f + f + + f k ) n) f n) + f n) + + f n) k ) Derivce součinu dvou funkcí se počítjí následovně: f) f) fg) f g + fg, fg) f g + fg ) f g + f g + fg, fg) f g + 3f g + 3f g + fg, fg) n) n k ) n f n k) g k) k Aplikce derivcí Geometrické plikce směrnice sečny body [, f)], [, f)] f ) směrnice tečny v [, f)] tečn: y f) f ) ) y f) + f ) ) T ) směrový vektor tečny kolmý k normále):, f ) ) normál: + f ) y + f ) f), pro f ), y f) f ) ) pro f ) Příkld Určete tečnu normálu grfu funkce f) e v bodě [,?] f) e, f ) e, f ) e tečn: y f) + f ) ) e + e ) e normál: y e + e ) e + e + e ) Příkldy ) ) e ln ) e ln ) ) e ln ) e ln ln ln

7 Věty o střední hodnotě Vět Rolleov) Nechť pro funkci f pltí ) f je spojitá n intervlu, b, ) f má derivci v kždém bodě intervlu, b), 3) f) fb) Pk f c) pro některý bod c, b) Důkz: pro konstntní je f n, b); nekonstntní nbývá minim nebo mim uvnitř, b ; npříkld pro mimum v bodě c, b): f c) f c) c f) fc) c, f c) f +c) c+ f) fc) c Příkldy ) Funkce f) n, ), f) nesplňuje ) ) Funkce f) n, nesplňuje ) 3) Funkce f) n, nesplňuje 3) Vět Lgrngeov, o přírůstku funkce) Nechť f je spojitá n, b má derivci v kždém bodě, b) Pk eistuje c, b) tk, že fb) f) f c) b ) Důkz: funkce g) f) f) fb) f) b ) splňuje podmínky Rolleovy věty, eistuje c, b): g c) f c) fb) f) b Tvrzení Je-li funkce f spojitá v bodě zprv eistuje-li f +), pk f +) f +) Důkz: podle Lgrngeovy věty pro > tková, že, ) Df), eistuje c, ); pro + je c +; f +) f) f) + + f c ) f +) Poznámk Podobně pro derivci zlev, oboustrnnou Vět Cuchyov) Nechť funkce f, g jsou spojité n intervlu, b, mjí vlstní derivci n, b) g n, b) Pk eistuje c, b) tk, že fb) f) gb) g) f c) g c) Důkz: funkce h) fb) f) ) g) gb) g) ) f) splňuje podmínky Rolleovy věty, eistuje c, b): h c) fb) f) ) g c) gb) g) ) f c), protože g n intervlu, b), je g c) tké gb) g) l Hospitlovo prvidlo Vět l Hospitlovo prvidlo) Nechť pro funkce f, g pltí: ) + f) + g) nebo + g) +, f ) eistuje ) + g ) R Pk f) + g) f ) + g ) Důkz: pro + f) + g) : uvžujme > tkové, by f, g eistovly n, ) g, položme f) g) ; podle Cuchyovy věty pro intervl, eistují c, ), tj pro + je c +: f) g) f) f) g) g) f c ) + f g c ) ) + g ) Poznámky ) Podobně pro itu zlev či oboustrnnou ) L Hospitlovo prvidlo lze použít opkovně Příkldy ln+) ) l H + e ) l H e + + e 3) l H e l H e + + ln 4) + ln ) + / + l H / + / + ) 5) + + /) ep[ + ln + /)] ep [ ln+/) ] + / l H ep [ + /+/) )/ / ] ep[ + +/ ] ep e Poznámk Pokud it podílu derivcí neeistuje, nelze l Hospitlovo prvidlo použít, le neznmená to, že it sin podílu funkcí neeistuje: + omez +, le cos it podílu derivcí + neeistuje Poznámk L Hospitlovo prvidlo lze použít i pro výpočet it posloupností, pokud njdeme vhodnou funkci Npříkld n e n /n + e / Tylorův polynom Vět Tylorov) Nechť funkce f má spojité derivce ž do řádu n v,, f n+) eistuje v, ) Pk eistuje c, ) tk, že f) f) + f )! ) + f ) ) + +! + f n) ) ) n + f n+) c) n! n + )! )n+ Tylorův polynom funkce f v bodě řádu n T n ), zbytek v Lgrngeově tvru Poznámky ) Podobně pro, ) n : f) f) + f c) ) Lgrnge) 3) + h: f + h) f) + f )! h + 4) f n+) spojitá, blízko c blízko f n+) c) blízko f n+) ) T n+ přesnější

8 Důkz: T n ) f) T n) f ) T n n) ) f n) ) f) T n ) + M ) n+ gt) ft) T n t) Mt ) n+, t, Rolle n + )-krát: Příkld g) g) c, ): g c ) g ) c, c ): g c ) g ) c n, c n ): g n) c n ) g n) ) c, c n ): g n+) c) f n+) c) M n + )! M f n+) c) n + )! cos! + 4 4! 6 6! + sin 3 3! + 5 5! 7 7! + Poznámk Tylorův polynom sudé liché) funkce v bodě je funkce sudá lichá) Příkld Spočtěte číslo e s přesností 3, víte-li, že e < 3 f) e,, f k) ) e, f k) ) T n ) +! +! + + n n! e chyb c n+)! n+ 3 n+)! < 3 pro n 6 e f) T 6 ) +! +! + + 6!,78 5 chyb, 6, odhd chyby, 595 Průběh funkce Monotonie etrémy Vět o monotonii) Je-li funkce f spojitá v intervlu I má-li v kždém vnitřním bodě I derivci, pk: ) Je-li f > uvnitř I, pk f je rostoucí v I ) Je-li f < uvnitř I, pk f je klesjící v I 3) Je-li f uvnitř I, pk f je neklesjící v I 4) Je-li f uvnitř I, pk f je nerostoucí v I Důkz:, y I, < y Lgrnge: f) fy) f c) y), c, y) ) f) fy) < f) < fy) rostoucí ) 4) podobně Poznámky ) Je-li f n intervlu, pk f je konstntní ) Je-li f g n intervlu, pk f, g se liší o konstntu Příkld f) f ) ) + ) f > n, ), + ) f rostoucí n,,, + ) f < n, ) f klesjící n, Příkld f) 3 f ) 3 f > n, ),, + ) f rostoucí n,,, + ) rostoucí n R Tvrzení Je-li f ) >, pk eistuje okolí U bodu tk, že pro, y U, < < y, je f) < f) < fy) f je rostoucí v bodě ) Důkz: < f ) { + f) f), f) > f) vprvo f) f), f) < f) vlevo Poznámky ) f ) < f je klesjící v bodě ) Pro f ) se nic netvrdí Definice Funkce f má v bodě ostré lokální minimum ostré lokální mimum), jestliže pro některé prstencové okolí P bodu pltí f) > f) f) < f)) pro kždé P Poznámky ) Ostrý lokální etrém: ostré lok minimum nebo ostré lok mimum ) Neostré) lokální etrémy: neostré nerovnosti Vět Má-li funkce f v bodě lokální etrém, pk buď f ) neeistuje nebo f ) Důkz: f ) > rostoucí v není lokální etrém f ) < klesjící v není lokální etrém Příkld f) viz dříve) f ) 3 3, eistuje všude, nulová v ± f ) 3 ostré lokální mimum f) ostré lokální minimum Příkld f) f ) sign pro, f ) neeistuje f) ostré lokální minimum Příkld f) 3 f ) 3 eistuje všude, nulová v f) není lokální etrém Vět Nechť f ) ) Je-li f ) >, pk f má v ostré lokální minimum ) Je-li f ) <, pk f má v ostré lokální mimum Důkz: ) f ) > f rostoucí v f ) < f ) < f y) pro < < y v některém okolí f klesjící vlevo, rostoucí vprvo v ostré lok minimum ) podobně nebo přechodem k f Příkld f) viz dříve) f ) 3 3,, ±, f ) 6 f ) 6 < ostré lokální mimum f ) 6 > ostré lokální minimum

9 Příkld f) 3 f ) 3,,, f ) 6 f ) kritérium nerozhodne, l e není Příkld f) 4 f ) 4 3,,,3, f) ostré lok minimum f ), f ) kritérium nerozhodne f 3) ) 4, f 3) ) f 4) ) 4, f 4) ) 4 > Poznámk Pro f ) f n ) ) : ) f n) ) > ostré lokální minimum, ) f n) ) < ostré lokální mimum Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá mim minim) buď v bodě, ve kterém má lokální mimum minimum), nebo v některém krjním bodě intervlu Důkz: etrém ve vnitřním bodě je lokální Poznámk Porovnáváme hodnoty v bodech, kde derivce není nebo je nulová, v krjních bodech intervlu, které do něj ptří Ověříme ity v neptřících krjních bodech Příkld f) + n, + ) f ) +, nemá derivci:, stcionární body:, f ), ptřící krjní body:, f ), neptřící krjní body: +, + f) +, min f f ), m f neeistuje Konveit, konkvit, inflení body Konveit: ) spojnice grfu nd grfem, ) grf nd tečnou, 3) směrnice sečen roste: Definice Funkce f je konvení n intervlu I, jestliže pro kždé, y, z I, < y < z, pltí fy) f) y fz) fy) z y konkávní pro, ryze konv pro <, ryze konk pro >) Vět Je-li f spojitá n intervlu I má-li vlstní druhou derivci všude uvnitř I, pk: ) Je-li f uvnitř I, pk f je konvení ) Je-li f uvnitř I, pk f je konkávní Důkz: ) < y < z: f je neklesjící, Lgrnge eistují c, y), d y, z): fy) f) y f c) f d) fz) fy) z y Poznámk Podobně pro ostré nerovnosti s ryze Poznámk Je-li f rostoucí klesjící, nerostoucí, neklesjící), pk f je ryze konvení ryze konkávní, konkávní, konvení) Definice Bod [, f)] je inflením bodem grfu funkce f funkce f má v bodě inflei), pokud je funkce f spojitá v bodě, eistuje f ) funkce f je n některém jednostrnném okolí ryze konvení n některém jednostrnném okolí ryze konkávní Vět ) Má-li f v inflei, pk f ) neeistuje nebo f ) ) Je-li f ), f ), pk f má v inflei Poznámk f ) f n) ), f n+) ) inflee v Příkld f) f ) 3 3, f ) 6, f ) 6, f ) je inflení bod nebo: f < pro <, f > pro > f) p + q Asymptoty Definice Asymptot grfu funkce f v bodě {± } je přímk o rovnici y p + q tková, že: ) f) p q Má-li funkce f v bodě R lespoň jednu jednostrnnou itu nevlstní, nzýváme přímku o rovnici symptotou grfu funkce f v bodě Příkld f) + Df) R \ {} ± f) ± je symptot v ± f) ) y je symptot v ± Tvrzení Funkce f má v {± } symptotu o rovnici y p + q právě tehdy, když f) p, ) f) p q Příkld f) sin f)/ sin nee s v + nee Příkld f) f)/ + s v + nee Příkld f) ln ln )/ l H) ln ) + s v + nee Příkld f) ± ± symptot f) + ) + f) symptot y + v + f) f) symptot y + v Poznámk p ± f ) l Hospitl), pokud e Příkld f) sin f) symptot y v + f ) cos sin cos nee

10 Shrnutí vyšetřování průběhu funkce ) f: definiční obor, spojitost, ity v krjních bodech Df), v bodech nespojitosti, symptoty, sudost, lichost, period ) f : monotonie, lokální) etrémy, obor hodnot, tečny grfu v krjních bodech Df), Df ), v bodech nespojitosti 3) f : konveit/konkvit, inflení body včetně tečen) 4) Grf Příkld f) Příkld f) +) Neurčitý integrál Definice Funkce F se nzývá primitivní funkce k funkci f n otevřeném intervlu I, jestliže F f n I Poznámky ) V krjních bodech lze jednostrnné derivce ) Lze zobecnit: n sjednocení intervlů; F f ž n konečnou či jinou) množinu 3) Ne všechny funkce mjí primitivní Vět vlstnost mezihodnoty pro derivci) Nechť f je derivcí F n intervlu I,, b I, f) < d < fb) Pk eistuje c mezi, b) tk, že fc) d Důkz: G) F ) d má vlstní derivci je spojitá nbývá minim v c G ) < < G b), tj c mezi, b) G c) fc) d Příkld sign není derivcí žádné funkce Vět Spojitá funkce n intervlu má primitivní funkci Poznámk Primitivní funkce k e eistuje, le nelze ji vyjádřit pomocí elementárních funkcí Vět ) Je-li F primitivní funkce k f n I, c R, pk F + c je primitivní funkce k f n I ) Jsou-li F, F primitivní funkce k f n I, pk F F je konstntní n I Důkz: ) F + c) F + F f ) F F ) F F f f F F je konstntní n I Poznámk N disjunktních intervlech mohou být konstnty různé Příkld f) sign, { + c, < F ) + c, > Definice Množinu všech primitivních funkcí k funkci f n I pokud lespoň jedn eistuje) nzýváme neurčitým integrálem f f f) d {F + c : c R} F + c Tvrzení d + + c, R pro N {} + > < ), Z \ { } d > pro R \ { } ln + c, >, < e d e + c, R sin d cos + c, R cos d sin + c, R d + rctg + c, R Vět linerit) Jsou-li F,, F n primitivní funkce k f,, f n n I, c,, c n R, pk c F + + c n F n je primitivní funkce k c f + + c n f n n I Důkz: c F + + c n F n ) c F + + c n F n c f + + c n f n Vět integrce per prtes) Nechť n intervlu I eistují u, v, u v Pk n I) uv uv u v Důkz: uv u v) u v + uv u v uv Příkld + ) sin d u + v sin u v cos + ) cos cos d + ) cos + sin + c, R Poznámk Podobně P ) e, P ) sin, P ) cos P polynom, ) Příkld I e sin d u e u e e cos + e cos d u e u e e cos + e sin I I e sin cos ) + c, R Poznámk Podobně e sin b, e cos b v sin v cos v cos v sin Příkld ln d ln d u ln v u v ln d ln ) + c,, ) Poznámk Podobně ln )

11 Vět substituce) Nechť α, β) ϕ, b) f R, ϕ eistuje n α, β), f má primitivní funkci F n, b) ) f ϕt) ) ϕ t) dt F ϕt) ) + c ) Je-li ϕ : α, β) n, b) ryze monotonní eistuje-li primitivní funkce G k f ϕt) ) ϕ t) n α, β), pk f) d G ϕ ) ) + c Důkz: ) d dt F ϕt) ) F ϕt) ) ϕ t) f ϕt) ) ϕ t) ) F ϕt) ) je primitivní k f ϕt) ) ϕ t), eistuje c R tk, že Gt) + c F ϕt) ) Eistuje ϕ ), G ϕ ) ) + c F ϕ) ϕ ) ) F ) je primitivní k f Používáme v obou směrech) zápis: f) d ϕt) d ϕ t) dt f ϕt) ) ϕ t) dt Příkldy ) sin 3 t cos t dt sin t cos t dt d 3 d 4 4 +c 4 sin4 t + c, R ) sin t d cos t dt dt t + c rcsin + c,, ), t π, π ) Poznámky ) f+b) d + b t d dt F +b)+c ) ) f ) f) d f) t f ) d dt ln f) + c Integrce rcionálních funkcí Rozkld rcionální funkce Definice Rcionální lomená) funkce je podíl dvou polynomů Prciální částečné) zlomky jsou funkce ve tvru A ) n, A + B, A, B,, p, q R, n N, + p + q) n kde + p + q) nemá reálný kořen, tj p 4q < Poznámk V C jen první typ Vět Kždý nenulový polynom lze npst ve tvru ) k r ) kr +p +q ) l +p s +q s ) ls, kde r, s N {}, k,, k r, l,, l s N,,,, r, p,, p s, q,, q s R,,, r jsou různé reálné kořeny, +p i +q i i,, s) jsou různé nemjí reálné kořeny Vět Kždá rcionální funkce se dá jednoznčně) rozložit n součet polynomu prciálních zlomků Jmenovtelé těchto zlomků dělí jmenovtel dné rcionální funkce Postup: ) Částečné dělení polynom + ryze lomená funkce) ) Rozkld jmenovtele n součin kořenových činitelů ireducibilních kvdrtických polynomů 3) Rozepsání n prciální zlomky s neurčitými koeficienty 4) Určení koeficientů metod neurčitých koeficientů, zkrývcí prvidlo) Integrce prciálních zlomků ) kořenový činitel ve jmenovteli: d ) n t dt d dt t n ) ireducibilní polynom ve jmenovteli: A + B + p + q) n d A + p) + B Ap ) + p + q) n d ) v čitteli derivce ireducibilního polynomu: + p + p + q) n d + p + q t dt + p) d dt t n b) v čitteli konstnt: d + p + q) n d [ + p/) + q p /4)] n d q p /4) n ) ] n + pro n > uprvíme dt t + ) n +p/ t q p /4 d dt q p /4 q p /4) n / t dt + + ) n [ +p/ q p /4 dt t + ) n t t + ) n dt poslední integrál uprvíme per prtes u t v t t +) n u v n )t +) n t n)t + ) n dt n )t + ) n postupně snižujme mocninu Poznámk Dostneme rekurentní vzorec I n t n 3 n )t + + ) n n I n, n N \ {}, I rctg t + c

12 ) Re ) d ): Integrce dlších typů funkcí e t Re ) d ln t d t dt Rt) t dt R, t, + ) 4) R ), n +b c+d d, d bc : ) n +b R, n + b c+d t d c + d R t) d R t) dt R R t), t ) R t) dt ) Rln ) d ln t d dt Rt) dt 5) R, + b + c) d, : vytknutím, doplněním n čtverec lineární substitucí uprvíme n integrál ve tvru R, ± ± ), > Lze použít goniometrické, Eulerovy nebo hyperbolické substituce 3) Rsin, cos ) d: sin sin cos sin cos sin + cos tg tg + 5) R, ) d,, ): sin t, d cos t dt, π, π ); cos t, t cos cos sin cos sin sin + cos tg tg + tg Rsin, cos ) d t rctg t d t + dt t R t +, ) t t + t + dt π, π), t R 3) sudé mocniny : Rsin, cos, sin cos ) d R sin, cos ) Rsin, cos )) sin sin sin + cos tg tg + cos cos sin + cos tg + sin cos sin cos sin + cos tg tg + tg y Rsin, cos, sin cos ) d rctg t d t + dt π, π ), t R lichá v sin nebo v cos: cos t 3b) Rsin, cos ) sin d sin d dt sin t sin t 3c) Rsin, cos ) cos d cos d dt cos t 3d) sin n cos m d: pro liché m či n viz 3b), 3c); pro sudá m, n přechod k dvojnásobnému rgumentu cos t, d sin t dt, sin t, t, π); uprvíme + ) )/ + použijeme substituci pro typ 3) Eulerov substituce) 5b) R, ) d,, ),, + ): /sin t), d cos t)/sin t) dt, cos t)/ sin t, t π, ), t, π ); /cos t), d sin t)/cos t) dt, sin t)/ cos t, t π, π), t, π ); + t, R t), d R t) dt Eulerov substituce) cosh t, d sinh t dt, + sinh t, t, ), t, + ) 5c) R, + ) d, R: tg t, d /cos t dt, + /cos t, t π, π ); tg t, d /sin t dt, + /sin t, t, π); + + t, R t), d R t) dt Eulerov substituce) sinh t, d cosh t dt, + cosh t, t R Určitý integrál Definice Dělení intervlu, b je konečná množin D, b obshující, b Znčíme D {,, n }, < < < n b sin cos ), cos + cos )

13 Definice Pro omezenou funkci f n, b dělení D intervlu, b zvádíme dolní horní integrální součet: Sf, D) Sf, D) n inf f i, i i i ) i n sup f i, i i i ) i Definice D je zjemnění D, jestliže D D Sf, D) Sf, D ) Sf, D ) Sf, D) Tvrzení Jsou-li D, D dělení intervlu, b, f omezená funkce n, b, pk b ) inf f Sf, D ) Sf, D ) b ) sup f Důkz: D {, b} b ) inf f Sf, D ) Sf, D ) Sf, D D ) Sf, D D ) Sf, D ) Sf, D ) b ) sup f Definice Je-li supremum dolních součtů rovno infimu horních součtů pro funkci f n, b, nzýváme tuto hodnotu určitým Riemnnovým) integrálem funkce f n, b Oznčení: b f, b f) d, R) b f) d dolní mez, b horní mez, f integrnd Poznámk D D {c, c,, c n }, c i i, i ) Sf, D ) n i fc i) i i ) σd ) m{ i i : i,, n} b f) d σd ) Sf, D ) Vět Pro omezenou funkci f n, b eistuje b f) d právě tehdy, když eistuje posloupnost D n ) n dělení intervlu, b tková, že Sf, D n) Sf, D n) n n V tkovém přípdě je integrál roven těmto itám Důkz: : eistuje D n) n: Sf, D n) n b f) d, eistuje D n) n: Sf, D n) n b f) d, Sf, D n) Sf, D n D n) Sf, D n D n) Sf, D n), D n D n) n je hledná posloupnost dělení; : sup D Sf, D) n Sf, D n ) n Sf, D n ) inf D Sf, D) sup D Sf, D), všude rovnosti Příkld b c d cb ) Sc, D n ) Sc, D n ) c n i i i ) cb ) Příkld d : D n {, n, n,, } Sf, D n ) n i i n n n n n Sf, D n ) n i i n n n +n n Příkld sign d : D n {, n, } Sf, D n ) n n n n n, Sf, D n ) Příkld d) d nee d) pro Q, jink ): Sf, D), Sf, D) Poznámk Hodnot Riemnnov integrálu nezáleží n hodnotách funkce v konečně mnoh bodech Hodnot obecnějšího Lebesgueov integrálu dělení v oboru hodnot) nezáleží n hodnotách ve spočetně mnoh bodech: L) d) d d Vět b f eistuje, pokud pltí některá z podmínek: ) f je spojitá funkce n, b ) f je monotonní funkce n, b Důkz: ) D n {, + b n,, b} Sf, D n ) n i f i ) b n Sf, D n ) n i f i) b n Sf, D n ) Sf, D n ) b n fb) f) n Vět Nechť b f, b g eistují, c R Pk: ) b f + g) b f + b g, ) b cf c b f, 3) je-li f g n, b, pk b f b g, 4) b f b f Důkz: ) inf{f) + g) : I} inf fi) + inf gi), Sf + g, D) Sf, D) + Sg, D), sup D Sf + g, D) b f + b g, podobně inf D Sf + g, D) b f + b g protože sup D Sf + g, D) inf D Sf + g, D), dostneme rovnosti; ) c : Scf, D) csf, D), Scf, d) csf, D), sup S f, D) sup Sf, D) inf Sf, d) b f, inf S f, D) inf Sf, D) sup Sf, d) b f; 3) Sf, D) Sg, D) sup{sf, D)} sup{sg, D)}; 4) f f f b f b f b f bez e) Poznámk Určitý integrál je lineární zobrzení n množině integrovtelných funkcí, b : R, b) R Vět Nechť < b < c Pk c f eistuje právě tehdy, když eistují b f c f V tkovém přípdě pltí b c f b f + c b f Důkz: D dělení, b, D dělení b, c, D D D je dělení, c obshující b, Sf, D ) + Sf, D ) Sf, D), Sf, D ) + Sf, D ) Sf, D), suprem infim dostneme jko vhodné ity: sup D Sf, D ) + sup D Sf, D ) sup D Sf, D), inf D Sf, D ) + inf D Sf, D ) inf D Sf, D) Poznámk Definujeme f, b f b f pro < b, formule ve výše uvedené větě pro všechn, b, c Poznámk Lze integrovt i funkce po částech spojité, tj které mjí jen konečně mnoho bodů nespojitosti v nich konečné jednostrnné ity Podobně pro po částech monotonní funkce)

14 Vět Nechť b ft) dt eistuje Pk funkce F ) ft) dt,, b má následující vlstnosti: ) je spojitá ) F ) f) pro kždý bod spojitosti funkce f Důkz: F je definován ditivit n definičním oboru) F +h) F ) +h ft) dt ft) dt +h ft) dt, ) f M n, b F +h) F ) +h ft) dt +h sign h ft) dt sign h +h M dt M h h ±), h ±) F + h) F ) ) ) h F + h) F ) f) +h h ft) dt +h h f) dt +h ) h ft) f) dt +h h ft) f) dt f spoj v : pro ε > je ft) f) < ε n okolí ) +h h ε dt h hε ε ) F ) h ±) h F + h) F ) f) Důsledek Funkce spojitá n intervlu má n tomto intervlu primitivní funkci Důkz: I, F ) ft) dt F ) F ) + ft) dt, d d ft) dt f) Poznámk Pro funkce po částech spojité jsou v bodech nespojitosti) jednostrnné derivce F rovny příslušným jednostrnným itám f Příkld f) sign F ) ft) dt F ) f) f ) F +) + f) f+) { dt, dt, } Vět Newtonov Leibnizov formule) Jestliže b f eistuje F je primitivní funkce k f n, b), pk b f) d F b ) F +) Důkz: eistují F +), F b ) R důkz viz skript) D {,,, n }, F b+) F ) n i F i ) F i ) ) F spoj, vlstní der, Lgrnge e c i i, i )) n i F c i ) i i ) n i fc i) i i ) Sf, D) F b) F ) Sf, D) sup Sf, D) F b) F ) inf Sf, D) Píšeme b f) d [F )]b Příkld d [ ] Příkld per prtes, průběžné doszování) π sin d u v sin u v cos [ cos ] π + π sin d π [ sin ] π π + ) π Příkldy substituce, přepočet mezí někdy stejné) ) + d + t d dt t dt 8 3, ) π sin cos d sin t cos d dt t dt Poznámk Newtonův integrál: N) b f) d F b ) F +) Eistuje-li Riemnnův i Newtonův integrál, jsou stejné Příkldy ) f) sign R) f) d, N) f) d nee ) f) e, R) f) d e, N) f) d e, F nelze dobře vyjádřit 3) f) / R) f) d nee, N) f) d [ ] 4) f) R) f) d nee, N) f) d [ ] Nevlstní integrál Definice Nechť f :, b) R < b + ) není omezená nebo, b) není omezený, d f eistuje pro kždý c c, d, b) Definujeme nevlstní integrál: b f) d c + e c f) d + d b d e f) d, pokud je výrz vprvo definován pro některé e, b) Je-li konečný, řekneme, že integrál konverguje Poznámk Výběr e není podsttný, pro e je: e c + c f e c + c f + e e f, d d d b f e d b e f e e f Příkldy ) d + [rctg ] π π ) π, konverguje ) 3) d [ln ], eistuje d + [ ln + ) ], neeistuje Příkld per prtes) e d u v e u v e [ e ) ] e ) + Příkld substituce) e / d / t d dt et dt [ e t] e

15 Vět ) Jestliže f g n, b), f je po částech spojitá b g konverguje, pk konverguje i b f ) Jestliže f g n, b) b f +, pk b g + Příkldy [ln ] { ), d [ ] , < + +, > [ln ] {, d [ ] + + +, > + +, < Tvrzení Nechť P, Q jsou polynomy, Q nemá v, + ) kořeny Pk P ) Q) d konverguje právě tehdy, když st Q st P + Důkz: n st P st Q P ) Q) n A R \ {}, BÚNO A > eistuje b >, tk, že An < P ) Q) < 3 An 3 b b An konv pro n <, b P ) Q) P ) Q) Příkld P ) Q) n A, 3 A) pro > b An pro n konv právě pro n <, tj n d konv, d + Příkld Lplceov trnsformce) Nechť funkce f :, + ) R je po částech spojitá má omezený eponenciální růst, tj eistují konstnty K, R tk, že ft) K e t Lplceovým obrzem funkce f je funkce F dná předpisem F p) Definován pro p > Re p > ): ft) e pt K e p)t ft) e pt dt K e p)t dt [ K p e p)t] K p Příkld funkce gm) Γ) t e t dt K p ) Integrál konverguje pro > : t e t t t dt konverguje pro >, tj > zvolme n, t e t t n e t t n e t dt per prtes) [P n t) e t ] P n ) e konverguje ) Γ) e t dt [ e t ] ) 3) Γ + ) t e t dt u t v e t u t v e t [ t e t] + t e t dt Γ) 4) Γn) n )Γn ) n )! Γ) n )! Aplikce určitého integrálu Definice Střední hodnot funkce f n intervlu, b je b pokud integrál konverguje b f) d, Příkld Střídvé npětí ut) U sin πt T okmžitý výkon pt) R u t) U R sin πt T má n odporu R Jeho střední hodnot npříkld n intervlu, T ) je U R což pro stejnosměrný proud odpovídá npětí U e U efektivní npětí střídvého proudu) Vět o střední hodnotě) Spojitá spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá své střední hodnoty Důkz: b ) min f, b b f) d b ) m f, b min f, b b f) d m f, b b f nbývá všech hodnot mezi min f, b m f, b Vět Nechť funkce f g jsou po částech spojité n, b Obsh plochy {[, y] : < < b, f) y g)} je b g) f) ) d Důkz pro spojitou f n uzvřeném intervlu): Eistují D f,n ) n: Sf, D f,n ), Sf, D f,n ) n b f, D g,n ) n: Sg, D g,n ), Sg, D g,n ) n b g, pro dělení D n D f,n D g,n : Sg, D n ) Sf, D n ) P Sg, D n ) Sf, D n ) b g f) P b g f) Příkld Obsh plochy omezené elipsou /) +y/b) je 4 b /) d πb Vět Nechť funkce f má po částech spojitou derivci n, b) Délk grfu funkce f je b + [f )] d Důkz pro uzvřený intervl, pk ity): supremum it) lineárních lomených proimcí ld) n i i i ) + [f i ) f i )] n i i i ) + [f c i ) i i )] n i + [f c i )] i i ), c i i, i ) S + f ), D) ld) S + f ), D) b + f ) sup ld) b + f ) Příkld Délk stroidy /r) /3 + y/r) /3 je 4 r + [r /3 /3 ) 3/ ) ] d 6r

16 Vět Nechť funkce f je po částech spojitá n, b) Objem těles {[, y, z] : < b <, y + z f )} je π b f ) d Důkz pro uzvřený intervl, pk ity): Sπf, D) V Sπf, D) π b f V π b f Příkld Objem kužele f) r v n, v ) je π v r /v d 3 πr v Příkld Objem koule f) r n r, r ) je π r r ) d 4 3 πr3 Vět Nechť funkce f má po částech spojitou derivci n, b) Obsh plochy vzniklé rotcí grfu f kolem osy je π b f) + [f )] d Důkz náznk pro uzvřený intervl): supremum proimcí komolými kuželi plášť kužele: πs πr/s π πrs π sin α r komolý kužel: π sin α r r ) π r+r s SD) n i π fc i) i i ) + [f i ) f i )] n i π fc i) + [f c i )] i i ) π b f + f ) Příkld Obsh sféry f) r n r, r ) je π r r r + ) r d 4πr Souřdnice těžiště v rovině: Fyzikální plikce I Numerická integrce b f) d,, b R Použijeme vhodný odhd střední hodnoty vážený průměr funkčních hodnot) w f ) + + w k f k ), kde i, b jsou uzly w i jsou váhy w + + w k ) Dostneme I b ) w f ) + + w k f k ) ) Uzly volíme vhodně kde známe funkční hodnoty, ekvidistntně, ), váhy volíme tk, by byl co největší řád metody přsná integrce polynomiální interpolce), budou se pk integrovt přesně všechny polynomy menšího stupně V odhdech vystupují M n m,b f n) ) Gussov metod Optimální volb uzlů, rozmístěny symetricky podle středu intervlu, b, váhy v symetrických uzlech jsou stejné Konkrétní hodnoty lze njít v litertuře obvykle pro,, n který se, b dá převést lineární substitucí) Řád metody je dvojnásobek počtu uzlů Příkldy: k řád uzly váhy odhd chyby M b ) 3 /4 +b 4 ± b 3 M 4 b ) 5 /43 Newtonovy Cotesovy metody Uzly ekvidistntně, buď včetně krjních bodů, b uzvřená metod) nebo bez nich otevřená metod) Váhy jsou pěkná rcionální čísl, v uzlech symetrických podle středu stejné Řád metody je nejmenší sudé číslo, které je větší nebo rovno počtu uzlů Poznámk Newtonov Cotesov metod pro jeden uzel tedy otevřená) je Gussov metod pro jeden uzel T M y m y T M m Složené metody Vět Momenty lineárních útvrů: M y λ M λ b b + [f )] d, f) + [f )] d Vět Momenty plošných útvrů f ): M y σ M σ b b f) d, f ) d Poznámk Pro plochu o obshu P pltí y T V πp, kde V je objem těles vzniklého rotcí dné plochy kolem osy Při zvětšování počtu uzlů nemusí Newtonov Cotesov metod konvergovt k hodnotě integrálu Chyb závisí n hodnotách derivce příslušného řádu integrovné funkce, t se může zvětšovt Konvergenci zjistí složené metody: intervl, b rozdělíme n n podintervlů délek b )/n h s krjními body < < < n b n kždém z nich použijeme zvolenou metodu Výpočty zlepšujeme zvětšováním n Obdélníková metod používá otevřenou Newtonovu Cotesovu metodu pro jeden uzel váh je ) Součtem přes všechny podintervly dostneme Rh) h [ f + ) + + f n + n )] Vět Nechť f má n, b spojitou druhou derivci Pk I Rh) M 4 b )h, M m,b f )

17 Důkz: Uvžujme intervl,, + )/ Podle Tylorovy věty je f) f ) + f ) ) + f c ) ) pro některý bod c, ) Chyb integrce je f) d h f ) f) f ) ) d f ) ) d + f c ) } ) d {{ } f c ) ) d M ) d t d dt M h/ [ ] t t 3 h/ dt M 3 M 4 h3 h/ Stejný odhd je n osttních podintervlech, je tedy I Rh) M 4 h3 n M 4 b )h Lichoběžníková metod používá uzvřenou Newtonovu Cotesovu metodu pro uzly váhy jsou /) Součtem přes všechny podintervly dostneme T h) h [ f) + f ) + f ) + + f n ) + fb)] Tvrzení Nechť P je lineární interpolce funkce f se spojitou druhou derivcí n intervlu, tj P je lineární funkce, P ) f ), P ) f )) Pk pro kždé, je M m, f ) ) f) P ) M ) ) Důkz: Pro {, } dokzovná nerovnost pltí Pro {, } uvžujme funkci F t) ft) P t) f) P ) ) t )t ) ) ) Funkce F má tři nulové body,, Podle Rolleovy věty má F dv nulové body v, ) opět podle Rolleovy věty má F nulový bod c, ) Je tedy F c ) f c ) f) P ) ) ) ) f) P ) f c ) ) ), f) P ) M ) ) Poznámk Nechť f má spojitou derivci řádu n + n intervlu, b, P je její polynomiální interpolce stupně nejvýše n v různých bodech,, n, b Pk pro kždé, b je M n+ m,b f n+) ) ) f) P ) M n+ n + )! ) n ) Vět Nechť f má n, b spojitou druhou derivci Pk I T h) M b )h, M m,b f ) Důkz: Uvžujme intervl,, + )/ Podle předcházejícího tvrzení je ) f) P ) d f) P ) d M ) ) d t d dt M h/ ) [ h h h/ 4 t dt M 4 t ] h/ 3 t3 ) h 3 M 8 h3 M 4 h3 Stejný odhd je n osttních podintervlech, je tedy I T h) M h3 n M b )h Poznámk Odhd chyby obdélníkové metody je dvkrát menší než u lichoběžníkové metody, přestože se používjí horší polynomy Využívá se totiž střed intervlu, což odpovídá proimci tečnou Při použití třeb levého) krjního bodu intervlu bychom dostli horší metodu řádu Simpsonov metod používá uzvřenou Newtonovu Cotesovu metodu pro 3 uzly, rozděluje tedy kždý podintervl n dv Pro lepší srovnání oznčme n sudý) počet všech tkto vzniklých podintervlů délek b )/n h s krjními body <, < n b Hodnoty vh dostneme integrcí kvdrtické interpolce Interpolční polynom uzly, k se dá vyjádřit jko kombince Lgrngeových polynomů právě v jednom uzlu hodnot, v osttních ): t ) t k ) P t) f ) ) k ) + t )t ) t k ) + f ) ) ) k ) f k ) t ) t k ) k ) k k ) Pro kvdrtickou interpolci n, dostneme P ) d ) ht d h dt h P t) dt [ tt ) h f ) ) ) dt + f ) + f ) t + )t ) dt ) ] t + )t dt h[ 3 f ) f ) + 3 f )] Sečtením přes dvojice podintervlů dostneme Sh) h 3 [f )+4 f )+ f )+ +4 f n )+f n )]

18 Vět Nechť f má n, b spojitou čtvrtou derivci Pk I Sh) M 4 8 b )h4, M 4 m,b f 4) ) Poznámk Simpsonov metod je řádu 4 je tedy přesná i pro polynomy stupně 3 Richrdsonov etrpolce Pro metodu F řádu p konvergující k F ) je F h) F ) + h p + Oh q ), kde R, q N, q > p Symbol Oh q ) oznčuje funkci, která se v okolí chová nejhůře jko násobek h q, tdy zhrnuje chyby řádu většího než p) Uvžujme h >, k > proložme body [h p, F h)] [kh) p, F kh)] přímku: P ) F h) + Richrdsonov etrpolce je F ) P ) F h) + F kh) F h) k p )h p h p ) F h) F kh) k p F h) Vět Nechť F h) F ) + h p + Oh q ), p, g N, p < q Pk F h) F ) + Oh q ) Důkz: Využijeme Ok p h q ) Oh q ), Oh q ) ± Oh q ) Oh q ), Oh q )/k p ) Oh q ): F kh) F ) + k p h p + Oh q ) F h) F ) + h p + Oh q ) + kp )h p + Oh q ) k p F ) + Oh q ) Příkldy Pro k dostáváme chyby jsou právě sudých řádů) ) R h) Rh) + 3 Rh) Rh) řádu 4, ) T h) T h) + 3 T h) T h) Sh) řádu 4, ) S h) Sh) + 5 Sh) Sh) řádu 6 Protože potřebujeme hodnotu metody v h, potřebujeme pro obdélníkovou lichoběžníkovou metodu sudá n, pro Simpsonovu metodu n dělitelná 4 Poznámky ) Odstrníme chybu nejnižšího řádu ) Přičítná hodnot dobře odhduje chybu, což můžeme použít v iterčním postupu: spočteme pro n pro Simpsonovu metodu pro n ); opkovně zdvojnásobujeme počet podintervlů n pro obdélníkovou Simpsonovu metodu stčí počítt hodnoty jen v nových bodech) odhdujeme chybu, dokud nedosáhneme poždovné přesnosti Rombergov metod Zčínáme s lichoběžníkovou metodou, při zdvojnásobování počtu podintervlů dopočítáme všechny dostupné Richrdsonovy etrpolce v trojúhelníkovém schemtu T h) T h ) T h ) T h 4 ) T h 4 ) T h 4 ) T h 8 ) T h 8 ) T h 8 ) T 3 h 8 ) sledujeme výsledky n digonále V k-tém sloupci je metod řádu k Příkld Spočtěte e / / π d s přesností ε 6 Pro obdélníkovou, lichoběžníkovou Simpsonovu metodu můžeme využít odhdy chyb, ve kterých přepíšeme h b )/n M m, M 4 m ε > M b ) 3 4n R ε > M b ) 3 n T ε > M 4b ) 5 8n 4 S, e / ) π π, e / ) π 3 π M b ) n R > 3 4ε M b ) n T > 3 ε n S > 4 M4 b ) 5 8ε Skutečné chyby jsou zbytečně mlé: metod R T S n chyb ,9 n R 9 8,3 n T 83 7, n S 8 Iterční postupy s využitím Richrdsonovy etrpolce k odhdu chyby poměrně přesný): lichoběžníková metod n hodnot odhd chyby chyb, , , , , , , , 6 9 8, , 35 89, , , 78 88, , , 9 695, , , 4 93, , , 3, 3 56, , 38, 38 Simpsonov metod n hodnot odhd chyby chyb, , , , 57, 74 8, , 67, 66 Porovnání metod podle počtu nutných hodnot funkce: metod R T S Rombergov Gussov dělení hodnot

19 Diferenciální rovnice řádu Obyčejná) diferenciální rovnice řádu : F t,, ) Řešitelná pro derivci: ft, ) Řešení n intervlu I: funkce : I R tková, že pro kždé t I je t) f t, t)) Mimální řešení : neeistuje řešení n větším intervlu Cuchyov úloh: nvíc počáteční podmínk t ) ft, ), t ) Vět Je-li f spojitá funkce n I J I, J otevřené intervly), t I, J, pk ft, ), t ), má řešení n intervlu I I obshujícím t Je-li nvíc f y lokálně omezená n I J, pk je toto řešení jednoznčné Poznámk Postčují podmínky pro vybrné přípdy: ft, ) f spojitá f f lok om gt) h) g, h spojité gt) h ) g, h spojité t) + bt), b spojité t) spojitá Poznámk I je mimální tkový, že grf řešení se zství o hrnici I J nebo o svislou symptotu Seprovtelné diferenciální rovnice řádu gt) h) Vět Nechť g je spojitá funkce n intervlu I t, h je spojitá funkce n intervlu J Pk gt) h), t ), má řešení n intervlu I I obshujícím t Je-li nvíc h spojitá n J, pk je toto řešení jednoznčné Předpokldy: g spojitá n intervlu I, h spojitá n intervlu J ) h ) t), t I je stcionární řešení ) h) t) gt) h t) ) t) h t) ) dt gt) dt d h) gt) dt H ) Gt) + c t) 3) počáteční podmínk: dopočítt c nebo t) dy t hy) gu) du t Obecný postup: ) Mimální intervly spojitosti g I) ) Stcionární řešení t), t I pro h ) 3) Mimální intervly spojitosti nenulovosti h J) 4) Pro t, ) I J, eistuje řešení uvnitř I J Příkld λ, ) gt) λ, h), h ) spoj n R e jedn; stcionární řešení: t), t R nevyhovuje); nestcionární řešení: d dt λ d λ dt ln λt + ln c c ) c e λt t) c e λt pro počáteční podmínku: c e λ, tj c, t) e λt, t R Příkld t, ) ), b) ) 3 gt) t, spojitá n, ),, + ), h), h ) spojité n R, eistence jednoznčnost; stcionární řešení:,3 t) ±, t, ),,4 t) ±, t, + ) nevyhovují); nestcionární řešení: d dt t dt d t ln + ln t + ln c c ) + ct + ct t) + ct ct pro počáteční podmínky: ) +c c b) 3 c/ +c/, tj c, t) t +t, tj c, t) t +t, t, + );, t, ) Příkld 3 /3 gt), h) 3 /3 spojité n R eistence, nvíc h ) /3 spojitá n R \ {} jedn pro ; stcionární řešení: t), t R; nestcionární řešení: d dt 3/3 3 /3 d dt /3 t c t) t c) 3, t, c), t c, + ) Řešení se v bodech nejednoznčnosti djí spojovt, obecné řešení je t c) 3, t c, c,d t), t c, d), c d + t d) 3, t d,

20 Příkld seprce: ln e d dt ln e e d ln t dt integrály nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí Příkld t +, ) gt) + t, spojitá n, ),, + ), h), h ) ) spojité, ),, + ), e jedn; stcionární řešení:, t), t, ), t, + ) nevyhovují); nestcionární řešení: d dt t + dt + d t ln + ln t + c pro poč podmínku: + c, tj c t >, < ), t) ln t) + ) ln t, je dán implicitně; lze počítt derivce v : t) t t) + t) ) t) t t) + t) + t t) ) t) ) 3 Lineární diferenciální rovnice řádu t) + bt) Vět Nechť, b jsou spojité funkce n intervlu I t, R Pk t) + bt), t ), má právě jedno řešení n intervlu I Předpokldy:, b spojité n intervlu I Přidružená) homogenní rovnice: t) Vět ) Jsou-li, řešení LDR, pk je řešení přidružené homogenní DR ) Je-li ˆ řešení LDR řešení přidružené homogenní DR, pk ˆ + je řešení dné LDR 3) Jsou-li, řešení pro funkce b, b, pk + je řešení pro funkci b + b princip superpozice) Důkz: t) t) ) t) t) t) t) + bt) t) t) + bt) ) t) t) t) ) ˆt) + t) ) ˆ t) + t) t) ˆt) + bt) + t) t) t) ˆt) + t) ) + bt) t) + t) ) t) + t) t) t) + b t) + t) t) + b t) ) t) t) + t) ) + b t) + b t) ) Obecné řešení: t) t) + ˆt), kde je obecné řešení přidružené homogenní rovnice ˆ je jedno prtikulární ) řešení původní rovnice Poznámk Předcházející vět je důsledkem linerity zobrzení D : t) t) t) t) LDR lze pk přepst do tvru D) b Speciálně množin řešení homogenní rovnice je jádro tohoto zobrzení, tkže tvoří lineární prostor Vět Množin řešení homogenní lineární diferenciální rovnice řádu tvoří lineární prostor dimenze Homogenní rovnice je seprovtelná Stcionární řešení je t), t I Nestcionární řešení njdeme seprcí: t) t) t) t) t) dt t) dt Oznčme A primitivní funkci k, integrční konstntu vyjádříme ve tvru ln c pro c : ln t) At) + ln c t) c e At) t) nemění znménko jednoznčnost stcionárního řešení), znménko může být zhrnuto v konstntě c: t) c e At) Stcionární řešení dostneme, pokud připustíme c Obecné řešení je t) c e At), t I, c R) Množin řešení tedy tvoří lineární prostor dimenze Příkld t, ) t) t spojitá n, ), + ) e jedn; t) t) dt dt t ln t) ln t + ln c t) c t t) c t pro počáteční podmínku: c, tj c, t) t, t, + ) Prtikulární řešení nehomogenní rovnice njdeme metodou vrice konstnty: obecné řešení přidružené homogenní rovnice má tvr t) c e At), prtikulární řešení hledáme ve tvru ˆt) ct) e At) Dosdíme do LDR vyjádříme ct): c t) e At) + ct) e At) t) t) ct) e At) + bt) c t) bt) e At)

21 Stčí spočítt jednu primitivní funkci, npříkld tu, která ná v t hodnotu : ct) t ˆt) e At) t t) e At) t t bu) e Au) du t bu) e Au) du t bu) e Au) du + c e At) pro počáteční podmínku t ) : e At) + c e At) c e At) t) e At) t t bu) e Au) du } {{ } pro bt), t ) + e At) At) } {{ } pro bt), t ) Sndno ověříme, že to je řešení n celém intervlu I Poznámk Řešení LDR řádu lze vyjádřit ve tvru součtu prtikulárního řešení pro nulovou počáteční podmínku řešení přidružené homogenní DR pro dnou počáteční podmínku Příkld t +, ) t) t spojitá n, ), + ), bt) spojitá n R eistence jednoznčnost n, ), + ); řešení přidružené homogenní rovnice: t) c t viz výše); prtikulární řešení ve tvru ˆt) ct) t : c t) t + ct) t ) ct) t + c t) t ct) t Příkld t + t, ) t) t, bt) t spojité n R e jedn n R; řešení přidružené homogenní rovnice: t) t t) t) t) dt t dt ln t) t + ln c t) c e t / t) c e t / prtikulární řešení ve tvru ˆt) ct) e t / : c t) e t / + ct) e t /, t t ct) e t / + t c t) t e t / ct) e t / ˆt) ct) e t / t) ˆt) + t) + c e t / pro počáteční podmínku: + ce, tj c, t) + e t /, t R Poznámk Výše uvedená rovnice je tké seprovtelná: t +) Řešení seprcí by bylo jednodušší nemuseli bychom počítt primitivní funkci k funkci t e t / tu jsme mohli spočítt pomocí substituce z t /) Příkld t t+ + t t+ t t+ ), ) je diferenciální rovnice řádu, která je lineární i seprovtelná Pokud ji budeme řešit jko LDR, dostneme ve vrici konstnty integrál z funkce t t+) e t, který bychom hledli dost komplikovně Řešení seprcí je podsttně jednodušší ˆt) ct) t t t) ˆt) + t) t + c t pro počáteční podmínku: + c, tj c 3, t) t + 3, t, + ) t Obecný postup: ) Obecné řešení přidružené homogenní rovnice seprcí proměnných: t) c t) ) Prtikulární řešení metodou vrice konstnty: ˆt) ct) t), obecné řešení je pk t) ˆt) + t) 3) Určení konstnty doszením přípdné) počáteční podmínky Numerické řešení diferenciálních rovnic řádu ft, ), ), t, b n N h b )/n krok diskretizce t i t + ih, i {,,, n} i numerické řešení v t i, i {,,, n} k-kroková metod: i se spočte z k předcházejících hodnot zčíná od výpočtu k, předcházející hodnoty i se spočtou vhodnou nejvýše i-krokovou metodou) globální diskretizční ) chyb v t i : t i ) i lokální diskretizční chyb v t i : i t i ) i, kde i je řešení pro počáteční podmínku t i ) i i > ) Metod je řádu lespoň) p: chyb je Oh p ) pro jednokrokové metody to znmená, že lokální diskretizční chyb je Oh p+ )) Poznámk Zokrouhlovcí chyby mohou pro velmi mlá h výsledek znehodnotit

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ). v 8--7 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky, doplnění it, suprem/infim, řezy R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl:

Více

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ). Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky úseček, doplnění limit, suprem, infim, des rozvoj:,, Z, n {,, 9} pro n N R \ Q ircionální

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál) Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010 právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/

Více

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu 10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4

Více

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ

Více

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné 1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2

Více

6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.

6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }. 6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.

Více

5.5 Elementární funkce

5.5 Elementární funkce 5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

8. cvičení z Matematiky 2

8. cvičení z Matematiky 2 8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I. KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1 9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi

Více

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R. 5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4

Více

Větu o spojitosti a jejich užití

Větu o spojitosti a jejich užití 0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

je daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.

je daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f. MATEMATICKÁ ANALÝZA INTEGRÁLNÍ POČET PŘEDNÁŠEJÍCÍ ALEŠ NEKVINDA. Přednášk Oznčme R = R {, } jko v minulém semestru. V tomto semestru se budeme zbývt opčným úkonem k derivování. Primitivní funkce. Definice.

Více