Literatura SETRVAČNÍKY A JEJICH APLIKACE. Obsah. [1] Brdička, M., Hladík, A.: Teoretická mechanika. Akademia, Praha 1987.

Transkript

1 teatua [1] Bdčka,., Hladík, A.: Teoetcká mechanka. Akadema, Paha [] Gonda, J.: Dnamka pe nženeov. Vdavatel stvo SAV, Batslava [3] Hoák, Z., Kupka, F., Šndelář, V.: Techncká fzka. SNT, Paha [4] Tkal, V.: echanka hmotných bodů a tuhého tělesa. Nakladatelství ČSAV, Paha [5] Vbíal, B.: otační pohb a setvačník. ozhled matematcko fzkální 48 (1969-7), s [6] Vbíal, B.: Setvačník. eták 18. očníku F, SPN, Paha 1976, s [7] Vbíal, B.: Základ teoetcké mechank,.díl. Gaudeamus, Hadec Kálové 199. [8] Vbíal, B.: Statka tuhého tělesa. Knhovnčka F č. 6. Vdavatelství AFY, Hadec Kálové [9] Vbíal, B.: Knematka a dnamka tuhého tělesa. Knhovnčka F č. 31. Vdavatelství AFY, Hadec Kálové [1] Vbíal, B.: Pecesní a nutační pohb střel. atematka a fzka ve škole 13 (198/83), s [11] Vanýsek, V.: Základ astonome a astofzk. Academa, Paha 198. SETVAČNÍKY A JEJICH APIKACE bsah Studjní tet po řeštele F a ostatní zájemce o fzku Bohuml Vbíal Úvod 1 Postoová otace tuhého tělesa kolem nehbného bodu Euleov úhl Knetcká enege otujícího tuhého tělesa Tenzo setvačnost oment hbnost Volné os esalova věta Pohb setvačníku 15.1 Setvačník a poblematka řešení jeho pohbu Volný setvačník Setvačník podobený působení momentu síl Pecese a nutace těžkého setvačníku Příklad pohbu setvačníku 3.1 Goskopcké jev u dopavních stojů v zatáčce Stablzace letu dsku a střel unsolání pecese Země amoova pecese Úloh 31 A. Řešené úloh 31 B. Neřešené úloh 37 Výsledk neřešených úloh 39 teatua 4 4 1

2 = konst. Vpočtěte goskopcký moment g a výslednou F sílu,kteou je kolo přtlačováno k desce. o o 1 F % o1 b. 37 b. 38 & 11. Goskopcký moment setvačníku v ámu Učete goskopcký moment a eakce v ložskách A, B, C, D závěsu podle ob. 38, kteé jsou vvolán setvačníkem tvau koule o poloměu ahmotnost m. Setvačník se otáčí kolem os o 1 úhlovou chlostí 1 aámkolem os o úhlovou chlostí. Hmotnost ámu zanedbejte, ω 1 ω. 1. Goskopcký moment u staconání tubín Staconání tubína je umístěna na ϕ = 6 sevení zeměpsné šířk, její oto má smě poledníku a vekto úhlové chlost její vlastní otace míří přesně k seveu (ob. 39). Učete smě a velkost goskopckého momentu, je-l ω = 314 ad s 1 a moment setvačnost otou J = 1 kg m ; ω z = 7,9 1 5 ad s 1. C A B 1 z o ϕ D 'b Postoová otace tuhého tělesa kolem nehbného bodu 1.1 Euleov úhl Zamezíme-l pohbu jednoho bodu tuhého tělesa, odebeeme mu z původních šest stupňů volnost tř stupně. Tělesu tak zůstanou tř stupně volnost a začne vkonávat postoovou otac kolem nehbného bodu, kteým pochází okamžtá osa otace. Příklad postoové otace tělesa je znázoněn na ob. 1. kamžtá osa otace o pochází bodem A, kteý je nehbný vůč zvolené necální vztažné soustavě,, z. Vekto okamžté úhlové chlost otace tělesa, kteý leží v ose o, je obecně funkcí času, tj. jeho velkost smě se ve zvolené necální soustavě mění. Je zřejmé, že vekto můžeme ozložt do tří vzájemně ůzných směů. Jeden z těchto oz- A z kladů je možný do směů ovnoběžných sosam,, z katézké soustav. Tento o ozklad na tř otace o úhlových chlostech,, z však není z hledska klas- zb. 1 fkace pohbu, kteé těleso vkonává, nejvýhodnější. Výhodný ozklad postoové otace na tř dílčí otace zavedl jž v polovně 18. století eonad Eule a příslušné úhl se po něm nazývají Euleov úhl. Zvolme s necální katézskou soustavu,, z, vůč níž budeme pohb tělesa popsovat. S tuhým otujícím tělesem pevně spojíme duhou katézskou soustavu,,z (ta jž nebude necální). Její počátek položíme do hmotného středu tělesa. Předpokládejme, že nehbným bodem bude pávě hmotný střed (to ovšem není nutná knematcká podmínka). Počátk, obou soustav ztotožníme a budeme předpokládat, že na počátku pohbu bude,, z z. Naším úkolem je popsat polohu soustav,, z po vkonání jsté otace tělesa pomocí Euleových úhlů, kteé se označují ϕ, ψ, ϑ. Zavedení Euleových úhlů s znázoníme na pohbu kuhového dsku, kteý nechť původně ležel v ovně =soustav,, z a kteý tojím otočením převedeme do výsledné poloh,, z s lbovolnou oentací os vzhledem k necální soustavě,, z. 38 3

3 g = πnvj 3 = 85 N m. moment setvačnost vzhledem k nehbné ose: J = m, (1) Goskopcký moment má smě adál spojující střed křvost tajektoe aboda, v němž se nachází letadlo. Jeho působením bude v této zatáčce letadlo těžké na nos. V levotočvé zatáčce se smě momentu g otočí a letadlo bude těžké na ocas. g A v b. 34 " v kde m je element hmotnost tuhého tělesa a je jeho vzdálenost od nehbné os. o Př otac kolem okamžté os o bude pops setvačných účnků tuhého tělesa složtější. Vjdeme ze vztahu po knetckou eneg tělesa v m E k = 1 m v, () kde chlost tého bodu vjádříme užtím Euleova vztahu b.4 v =, (3) přčemž velčn jsou zřejmé z ob. 4. chlost vjádříme v katézských složkách užtím ozpsu vektoového součnu pomocí detemnantu: j, k, v = = ω, ω, ω z,, z = = (ω z ω z (ω )+j z ω z )+k(ω ω )= = v + j v + kv z. (4) Uvědomíme-l s, že v = v + v + v z, dostaneme po dosazení do () vztah E k = 1 [ m (ω z ω z ) +(ω z ω z ) +(ω ω ) ] = = 1 m (ω z ω ω z z + ωz + ωz ω ω z z + ωz + + ω ω ω + ω ). Složk úhlové chlost neobsahují sčítací nde. ůžeme je poto vtknout před sumační znak. Po přeskupení členů dostaneme 36 5

4 4. Působení příčné síl na setvačník g Na vzpřímený setvačník o F hmotnost m oztočený úhlovou chlostí kolem os smete, vzhledem k níž má moment setvačnost J, působíme po m, J F kátkou dobu Δt slou ovnoběžnou l T sosou (ob. 31). Popšte chování setvačníku, tj. vpočtěte úhel Δϑ, okteý l se za Δt odchýlí jeho osa, a popšte pohb, kteý poté bude setvačník vkonávat. b. z 31 sa setvačníku se odchýlí v ovně = odos o úhel Δϑ =actg Δt FlΔt Jω a setvačník současně začne vkonávat pecesní pohb s úhlovou chlostí (33): Ω = mgl Jω. sa setvačníku bude opsovat kužel o vcholovém úhlu Δϑ úhlovou chlostí, jejíž velkost na tomto úhlu nezávsí. 5. Pecese dsku na amen Homogenní dsk o hmotnost m a poloměu je otočně uložen na amen zanedbatelné hmotnost v sestavě podle ob. 3. Dsk oztočíme velkou úhlovou chlostí kolem os smete. Popšte pohb, kteý bude dsk vkonávat. Na dsk působí moment tíhové síl o velkost = mg. otující dsk, jehož moment hbnost má velkost = Jω = m ω, bude vkonávat peces okolo os s úhlovou chlostí o velkost Ω = = g ω. 34 g m b. 3 z + b. 5 m z Např. u momentu setvačnost J zz se podle výazu (8) vsktuje člen ( + ), kteý je podle ob. 5 duhou mocnnou vzdálenost bodu m od os z. Je zřejmé, že moment setvačnost mohou mít jen kladnou hodnotu. statní velčn J pq, po p q, kteé neleží v hlavní dagonále a mají smíšené koefcent, se nazývají devační moment. Jsou vztažen vžd ke dvěma ůzným osám. Platí po ně J pq = J qp ajsou ted smetcké vzhledem k hlavní dagonále. Tenzo setvačnost má ted jen šest nezávslých složek. Devační moment mohou nabývat kladných, záponých a ted nulových hodnot. V každém tělese lze ted vžd najít tojc vzájemně kolmých os,, z, nehbných k tělesu, vzhledem k nmž všechn devační moment vmzí. Ted tansfomací os,, z do poloh,, z lze převést tenzo setvačnost do tvau J pq = J 1,,, J,,, J 3, (13) kde J 1 = J, J = J, J 3 = J zz se nazývají hlavní moment setvačnost a příslušné os,, z hlavní os setvačnost. eží-l počátek vztažných soustav v hmotném středu tělesa hovoříme o hlavních centálních momentech setvačnost aohlavních centálních osách setvačnost. Estují-l v homogenním tělese os souměnost, jsou vžd hlavním centálním osam setvačnost. Tak u homogenní koule jsou všechn os, kteé pocházejí jejím středem, hlavní centální os. Stejný výsledek platí po homogenní kchl, kdž zde všechn os pocházející jejím středem nejsou osam geometcké souměnost (je to dáno tím, že všechn tř hlavní moment setvačnost vzhledem k osám kolmým ke stěnám kchle jsou stejné J 1 = J = J 3 = ma /6). Všechn os vznačené číslcem 1,, 3 v tabulce na st. 8, 9 v tetu [9] (s výjmkou pvního zde uvedeného případu) jsou hlavním centálním osam a moment J 1, J, J 3 hlavním centálním moment setvačnost. Po zavedení složek tenzou setvačnost (6) až (11) můžeme knetckou eneg (4) zapsat výazem E k = 1 J ω + 1 J ω + 1 J zzω z + J ω ω + J z ω ω z + J z ω ω z. (14) 7

5 J = (m) J zz = dm =μ 3 (m) J = J = π ( + )dm =μ 3 (m) =μ 3 [ sn ϕ dϕ = μ 3 ϕ 1 ] π sn ϕ =μπ 3 = 1 m, π π (sn ϕ +1 cosϕ +cos ϕ)dϕ = ( cosϕ)dϕ =4μπ 3 =m, } {{ } π dm =μ 3 π π sn ϕ(1 cos ϕ)dϕ = =μ 3 (sn ϕ 1 sn ϕ)dϕ =4μ 3 = π m, } {{ } J z = J z = J z = J z =, potože z =.. oztáčení setvačníku třecí spojkou Na dvou hřídelích jsou namontován setvačník 1,, přčemž hří- 1 dele mohou být spojen postřednctvím třecí spojk S (ob. 3). Př ozpojené spojce je nejpve oztočen setvačník 1 tak, že má n 1 = 3 otáček za mnutu. Setvačník je na počátku v kldu. Poté je postřednctvím třecí spojk přpojen duhý hřídel a setvačník se Sb. 3 začne postupně zchlovat, až se oba setvačník budou otáčet stejnou úhlovou chlostí a soustava hřídelů bude mít n 1 = 18 otáček za mnutu. Pvní setvačník s hřídelem má moment setvačnost J 1 =6,kg m. 3 J = (m) J zz = (m) J = J = dm = m l cos α l ( + )dm = m l (m) l ξ dξ = 1 3 ml cos α, ξ dξ = 1 3 ml, dm = m l l sn α cos α J z = J z = J z = J z =, potože z =. 1.4 oment hbnost ξ dξ = 1 6 ml sn α, oment hbnost tuhého tělesa jsme v [9] defnoval výazem = p = m v, (17) povedl jsme jeho výpočet po otac tělesa kolem nehbné os a dostal jsme výaz J =. (18) Př výpočtu momentu hbnost př otac tělesa kolem nehbného bodu dosadíme do v (17) za Euleův vztah (3) a povedeme ozps vznklého dvojného vektoového součnu a (b podle vzoce b(a c) c(b a c) = ). Tak postupně dostaneme = m ( )= m [( ) ( )] = = m [( + + z ) (ω + ω + ω z z )], (19) kde jsme skalání součn vektoů, vjádřl postřednctvím jejch katézských složek. oment hbnost je ted vekto, jehož katézské složk mají velkost = ω m ( + z ) ω m ω z m z, = ω m + ω m ( + z ) ω z m z, z = ω m z ω m z + ω z m ( + ). 9

6 3.4 amoova pecese S goskopckým efekt se setkáváme v atomstce. Na závě tohoto tetu s poto zjednodušeně vsvětlíme tutu aplkac mechank. Elekton v atomu má v učtém stavu obtální moment hbnost a spn, tj. vlastní moment hbnost a odpovídající magnetcké moment. Dostane-l se atom do vnějšího magnetckého pole o ndukc B, vznká Zeemanův jev ozštěpení někteých spektálních ča v optckém spektu. Podle hubé mechanstcké představ lze tento jev objasnt pecesním pohbem ovn, v níž leží tajektoe, kteou koná elekton v coulombovském elektostatckém pol jáda. Elektonu na učté tajekto (ob. 7) přísluší moment hbnost = =m e w a také magnetcký moment m = ew,kdem e je hmotnost elektonu, e elementání náboj a w plošná chlost elektonu. Z hledska goskopckého efektu lze tajekto považovat za elementání poudovou smčku, jíž přísluší magnetcký moment m, a také moment hbnost. Jak se odvozuje v elektomagnetsmu, bude na n v pol ndukce B působt moment slové dvojce = B, m kteý je kolmý k oběma m vektoům B, a tudíž k. Působením momentu bude elektonovátajektoe konat peces, kteá je zcela analogcká peces těžkého setvačníku (čl..4).po výpočet úhlové chlost pecese užjeme esalov vět. Podle ní platí sn ϑ = = m B sn ϑ, nebol m e sn ϑ e w = B sn w ϑ. Po ϑ dostaneme amoovu úhlovou chlost Ω = eb. m e B ϑ m b. 7 V kvantové fzce pojem tajektoe elektonu ztácí význam a poto an představu o magnetckém momentu nelze vázat na představu o lneáním poudu. Avšak, tak lze dokázat, že Zeemanův jev lze objasnt pecesním pohbem vektou obtálního momentu hbnost a také pecesním pohbem spnu kolem vektou B = konst. Přtom velkost půmětu momentu hbnost spnu s do směu vektou B se zachovává, a pecese pobíhá ovněž s amoovou úhlovou chlostí Ω = eb m e. amoovou pecesí se vsvětlují damagnetcké vlastnost látek (magnetk). Pak knetcká enege E k = 1 ( J ω + J ω m ) = 8 (6 + )ω. b) oment hbnost soustav má složk, kteé vpočítáme ze vztahů (), (1), (). Nebol 1.5 Volné os = m ω, = m 4 ( +4 )ω, z =. Nejpve pojednáme o podmínkách, př kteých bude tuhé těleso v homogenním tíhovém pol v ovnováze, bude-l otočné kolem nějaké nehbné os. ozeznáváme dvojí ovnováhu: statckou a dnamckou. Ab těleso blo ve statcké ovnováze, musí osa otace zřejmě pocházet těžštěm, jnak b šlo o kvadlo. Pak těleso př lbovolném pozvolném otočení zůstane v kldu, potože moment tíhových sl vzhledem k těžšt je nulový. Tíhovou sílu, kteá působí na těleso, kompenzují eakce vvolané jeho uložením v ložskách. Je-l těleso v ovnováze statcké, nemusí být př otac ještě v ovnováze dnamcké. Př otac tělesa začnou na jeho element působt setvačné síl, kteé souvsejí s úhlovou chlostí a s úhlovým zchlením. Př ovnoměné otac jsou to odstředvé síl (ob. 9). F o b. 9 T F o b. 1 o Jejch působení kompenzují opět ložska přídavným eakcem, kteé nejen zvšují opotřebení ložsek, ale vzhledem k poměnnost směu svého působení z F z α m z α F F 3 11

7 Velkost úhlové chlost pecesního pohbu ted nezávsí na úhlu ϑ (po velké ϑ b však střela ztatla v důsledku změn aeodnamckých poměů stabltu). Doba jedné otáčk je T p = π Ω = π mv 9, po počet otáčet pecesního pohbu během letu střel dostáváme n = t. T p Číselně: T p =1,48 s, n=43, unsolání pecese Země Země je velký setvačník. Její pohb po přblžně elptcké tajekto eklptce je řízen gavtačním polem Slunce a ušen gavtačním polem blízkého ěsíce. Potože Země má přblžně tva zploštělého elpsodu a potože její osa není kolmá k ovně eklptk an k ovně měsíční tajektoe, nepochází výslednce gavtačních sl od působení Slunce a ěsíce hmotným středem S Země. Tento fakt s můžeme vsvětlt tak, že do elpsodu Země vepíšeme koul podle ob. 6. ke Slunc F 1 >F F 1 S F ovna eklptk ϑ b. 6 Pak na část zblého pstence, kteá je blíže ke Slunc, působí větší přtažlvá F síla 1 než přtažlvá F síla působící na jeho vzdálenější část. V důsledku toho vznkne po přenosu sl do hmotného středu S moment slové dvojce. Jeho velkost se př pohbu Země mění. Největší je v době zmního slunovatu (poloha je naznačena na ob. 6) a letního slunovatu. Naopak je nulový v době janí a podzmní ovnodennost. oment vvolává základní solání pecesní pohb Země, jehož úhlová chlost se mění v důsledku poměnnost. Potože smě míří na opačnou stanu ovn eklptk než úhlová chlost vlastní otace Země (tento smě udává vekto ), hovoříme o potběžné peces. Velkost smě výsledného ušvého momentu poněkud ovlvňuje skutečnost, že kolem Země obíhá ěsíc, jehož elptcká tajektoe leží v ovně, musí být hlavní osou setvačnost. Těleso bude ted v dnamcké ovnováze, kdž bude otovat podle jedné ze tří hlavních centálních os setvačnost. Tto os se nazývají volné os. ožska, do kteých osu otace ukládáme, pak zachcují jen tíhové síl působící na těleso v homogenním tíhovém pol. Kdb se dnamck vvážené těleso nacházelo v beztížném stavu, blo b zatížení ložsek nulové. Jednoduchým pokusem lze ukázat, že u tělesa, u něhož J 1 J J 3, nejsou a) b) všechn volné os v tělese ovnocenné. Zavěsíme-l např. na osu odstředvého stoje tčku postřednctvím ohebného vlákna bude př pomalé otac (ob. 11a) otovat podle svslé os. Př zvětšování otáček se osa otace odchýlí od svslého směu a př vsokých otáčkách se nastaví do vodoovné ovn (ob. 11b). I kdž udělíme tčce mpuls, abchom tento stav změnl, vací se tčka do vodoovné ovn. Stablně otuje kolem hlavní centální os, b. 11 vzhledem k níž má největší moment setvačnost. Teoetcký ozbo ukazuje (vz např. [4], st. 58), že u tělesa, kteé má po hlavní moment setvačnost tř ůzné hodnot J 1 >J >J 3 je stablní otace nejen kolem hlavní centální os, vzhledem k níž má největší moment J 1, ale vzhledem k hlavní centální ose, vzhledem k níž má nejmenší moment J 3. otace kolem os, vzhledem k níž má moment J, je lablní. 1.6 esalova věta becnou pohbovou ovncí tuhého tělesa př jeho otačním pohbu je duhá mpulsová věta: d dt =, (3) podle níž je časová změna momentu hbnost tělesa vzhledem k lbovolnému pevnému bodu ovna výslednému momentu vnějších sl vzhledem k témuž bodu. Aplkace této vět na řešení otace tělesa kolem nehbné os je postá a bla řešena v tetu [9]. Jednoduchost spočívá v tom, že moment hbnost se počítá podle vztahu = J, kde J je po danou osu otace konstanta. Stejně jednoduše se řeší otace tělesa kolem jedné z volných os. Př postoové otac tělesa kolem pevného bodu nastávají př obecném použtí ovnce (3) komplkace v tom, že osa otace se vůč uvažované necální 8 13

8 Přeneseme-l tuto sílu do těžště musíme přpojt moment dvojce,. Tento moment způsobí peces, takže tácek vžený levou ukou se bude stáčet vpavo. F Složka v síl působí jako vztlaková síla. Pohb dsku je podobný, jen pecese v důsledku velkého momentu hbnost a elatvně malého momentu není tak výazná. Vztlaková F síla v nadnáší dsk (zmenšuje ted účnek tíhové síl) a zejména v sestupné část balstcké křvk podlužuje délku vhu. Potože vztlaková síla je neustále kolmá k ovně kotouče (dsku) a kotouč se v důsledku pecese natáčí, vznká odchlka v pohbu na tu stanu, na kteou se natáčí. U střel se této odchlce říká devace (temnologck b však blo spávnější hovořt o devac). b) Střela Ve vojenství je vužto vlastností setvačníku ke stablzac pohbu hlavňových střel, kteým se v hlavn uděluje otace, a tím moment hbnost. Zapohbu působí na střelu odpo vzduchu, jehož působště C je mmo těžště směem ke špc střel (ob. 5). Síla dává k těžšt T moment kolmý k ovně položené osou střel a tečnou k tajekto pohbu. Působením tohoto momentu bude střela vkonávat pecesní pohb. V důsledku tření vzduchu o povch otující střel, kteé je největší na čelní nápoové staně střel, vznká další moment síl, kteý zmenšuje nutační úhel ϑ. Působením tohoto momentu sleduje osa střel stále tečnu k balstcké dáze střel a dopadá tak na cíl špcí. Ve vakuu (např. na ěsíc) b naopak osa střel zachovávala smě os hlavně a dopadla b na cíl dnem, což b neblo z hledska účnku střel žádoucí. d T l C v ϑ 5 Kvanttatvní řešení naznačeného poblému je složté. Jde o nalezení optmálního vztahu mez velkostí momentu hbnost a velkostí momentu síl. oment hbnost se dá po danou střelu a její úsťovou chlost ovlvnt její úhlovou chlostí, tj. stoupáním závtů v hlavn. oment síl se dá ovlvnt především polohou působště C síl vůč těžšt T střel. Toho se Pohb setvačníku.1 Setvačník a poblematka řešení jeho pohbu Setvačníkem (goskopem) nazýváme ve fzce a v technce tuhé homogenní osově souměné (otační) těleso s velkým momentem setvačnost vzhledem k ose souměnost, kteá je současně hlavní centální osou setvačnost a také volnou osou, vzhledem k níž je otace tohoto tělesa stablní. Setvačník se oztáčejí vzhledem k ose souměnost na vsoké otáčk (u technckých setvačníků bývá počet otáček až 5 mn 1 ). Tím získávají velkou knetckou eneg (Jω /) a velký moment hbnost (J). Vlastnost, že otující setvačník je nostelem velké knetcké enege, se vužívá ke zovnoměnění chodu stojů, např. výbušných motoů. Takový setvačník ovšem otuje kolem pevné os a řešení jeho pohbu v necální vztažné soustavě je jednoduché. Zajímavý po nás bude setvačník, u něhož bude v necální soustavě pevný jen jeden bod. Tímto bodem může být buď hmotný střed (těžště) anebo jný bod os souměnost. Takový setvačník bude vkonávat postoový otační pohb, o kteém v článku 1.1 víme, že jej můžeme ozložt na vlastní otac, na peces a na nutac. Jak jsme jž uvedl v předchozím článku, k přesnému řešení pohbu setvačníku je zapotřebí řešt soustavu tří Euleových dnamckých ovnc, kteé jsou dfeencálním ovncem pvního řádu po tř neznámé úhlové chlost. Jejch obecné řešení není známo. se v mnulost podařlo mmo obecný případ tzv. bezslového setvačníku ještě jen po pět zvláštních případů smetckého těžkého setvačníku, z nchž nejznámější je setvačník uské matematčk Son Kovalevské z V tomto případě jde o těžký setvačník, u něhož J 1 = J =J 3, přčemž bod uchcení (esp. bod podepření) leží na ose smetcké pod těžštěm, kteé se nachází v půsečíku hlavních os 1, (řešení vz např. v [4], st. 614). V tomto tetu bude podáno přblžné řešení pohbu smetckého homogenního setvačníku, kteé spočívá v předpokladu, že setvačník bude oztočen kolem volné os os smete, vzhledem k níž má největší moment setvačnost. K této ose mu bude udělen velký moment hbnost. oment síl, působící na setvačník, vvolá jen takovou peces, případně nutac, že lze zanedbat příspěvk k momentu hbnost od pecesních a nutačních pohbů, kteé setvačník koná vzhledem k jným osám. Tento předpoklad je u technckých setvačníků splněn dostatečně přesně, potože se tto setvačník otáčejí velkým úhlovým chlostm a mají velké moment setvačnost vzhledem k ose otace. K přblžnému řešení pohbu setvačníku s výhodou vužjeme esalovu větu b.

9 Příklad 3 Goskopcký moment u paníku Paník je opatřen tubínou s osou v podélné ose lodě (sovnej s ob. 1). Vpočtěte velkost goskopckého momentu g a velkost celkové tlakové F síl 1 v předním ložsku F a v zadním ložsku, koná-l paník manévovací otáčení vpavo úhlovou chlostí ω v =,5 ad s 1. oto má hmotnost m =18,5 1 3 kg, moment setvačnost J = 1 kg m a jeho těžště je upostřed ozpětí l =5, m ložsek; otáčk otou jsou n = 54 mn 1. Podobné řešení necháváme na čtenář a uvádíme jen výsledk: g = πnjω v 3 =, N m, F 1 = mg + g =9, N, l F = mg g =8,5 1 4 N. l b) Dvojstopá vozdla Chceme-l dvojstopým vozdlem (automoblem) zabočt např. vlevo, musíme postřednctvím ří- v v zení působt na kola momentem síl v (ob. ). Podle duhé mpulsové F vět však tento moment bude mít tendenc způso- o bt peces úhlovou chlostí. Bude vklápět vozdlo ze zatáčk goskopckým momentem g b. podle (35). Goskopcký účnek kol v zatáčce je ted nepříznvý a spolu s odstředvým F slam o zmenšuje stabltu dvojstopého vozdla v zatáčce, neboť působí vzhledem k bodu dotku kola s vozovkou klopným momentem síl. c) Jednostopá vozdla Základem jednostopého vozdla je kutálející se kolo, kteé př pohbu má vedle hbnost = ještě moment p hbnost mv = J. Vkloněním kola ze svslé ovn F o malý úhel ϑ (vz ob. 3a) vznkne působením tíhové síl G mg = moment G, kteý pootáčí moment hbnost ve směu G (ob. 3b), tj. ve vodoovném směu. g Vlastnost volného setvačníku zachovávat smě volné os, kolem níž jej oztočíme, se vužívá v letectví u ndkačních a stablzačních přístojů, jako je např. umělý hozont ndkující polohu letadla v mlze, zatáčkomě, setvačníkový kompas a tzv. automatcký plot, kteý slouží k automatckému řízení a ke stablzac kuzu letu letadla. Dále v aketové technce k řízení pohbu aket a u tanku ke stablzac poloh hlavně kanónu př střelbě za jízd v teénu. U hlavňových střel se stablzace jejch pohbu dosahuje tím, že se jím př pohbu v hlavn udělí otace. Ke stablzac jejch letu v postou přspívají dále dva pecesní pohb vvolané odpoem postředí. Těmto vlvům bude věnován odst. b) v čl. 3.. Stálost směu os otujícího setvačníku je také základem stablt pohbu jednostopých vozdel (jízdního kola a motocklu)..3 Setvačník podobený působení momentu síl Uvažujme setvačník z mnulého článku, o kteém jsme předpokládal, že bl oztočen přesně podle os souměnost, ted tak, že osa setvačníku splývá se směem momentu hbnost = J. Působí-l na setvačník vnější moment síl, můžeme jej ozložt do směu os setvačníku a do kolmce na osu. Všmněme s odděleně účnků těchto složek. a) oment síl působí v ose setvačníku Bude-l moment síl působt v ose setvačníku ovlvní pouze velkost momentu hbnost setvačníku, a tím velkost úhlové chlost setvačníku. Tento moment ted setvačník oztáčí nebo bzdí. Nechť v okamžku t =, kd začne moment velkost působt v ose, má setvačník počáteční moment hbnost o velkost = Jω. Pak podle duhé mpulsové vět (3) bude platt = Jω = + t dt, nebol ω = ω + t J dt. Bude-l = konst., bude se otace ovnoměně zchlovat (esp. zpomalovat); je to analoge ovnoměně zchleného (zpomaleného) pohbu hmotného bodu. b) oment síl působící kolmo k ose setvačníku Nechť nní působí kolmo na osu setvačníku (ob. 15) F síla = konst., kteá vzhledem k těžšt T vvolá moment = konst.. mezíme se na přblžné řešení za předpokladu, že poměně malý moment změní v kátkém časovém ntevalu Δt původní moment oδ hbnost tak, Δ ab. kteou s lze představt jako valení kužele spojeneého se setvačníkem po vntřní (popřípadě po vnější) ploše pevného kužele podobněj vz např. [1],[]. 4 17

10 3 Příklad pohbu setvačníku 3.1 Goskopcké jev u dopavních stojů v zatáčce Nezbtnou součástí dopavních stojů jsou otující část. U pozemních stojů jsou to především kola; u letadel, lodí a aket jsou to zpavdla oto tubín a kompesoů. Z fzkálního hledska představují tto otující část setvačník. Př změně směu pohbu (v zatáčce) se poto musí nutně pojevovat goskopcké (setvačníkové) jev, kteé nelze zanedbat. Jako příklad na pohb setvačníku v techncké pa uvedeme přehled těchto jevů u jednotlvých tpů dopavních stojů. a) etadlo, loď, aketa odení tp těchto stojů mají zpavdla tubínu a kompeso, jejchž oto mají osu v podélné ose stoje. Výklad povedeme na případě poudového letadla (ob. ). oment hbnost oztočených otoů označíme. Chceme-l změnt smě pohbu stoje, musíme mu pomocí komdel vnutt na jstou dobu otační pohb (hovoříme o vnuceném pohbu). Chceme-l např. zatočt vlevo, musí na stoj působt moment síl v (na ob. míří vzhůu kolmo k nákesně). Tento moment však po dobu svého působení vvolá pecesní pohb úhlovou chlostí, přčemž podle (3) platí mez uvedeným velčnam vztah v =. (34) Je zřejmé, že př zatáčce vlevo se bude zvedat předek letounu; letadlo bude těžké na ocas. Př zatáčce vpavo bude naopak těžké na nos. Podobně se chová loď aketa. Tento jev s můžeme snadno demonstovat na klasckém vsavač pachu (doutníkového tvau). Vnutíme-l mu otac kolem os v kolmé na podélnou osu sklopí se nám př jedné oentac tohoto pohbu předek vsavače a př duhé oentac zadek b. vsavače. Nní popíšeme goskopcký jev př vnuceném otáčení kvanttatvně. Nechť otáčejícímu otou (setvačníku) o momentu hbnost vnucujeme otac např. vlevo úhlovou chlostí v působením momentu síl v (ob. 1). Kdb tento oto bl volným tělesem (neuloženým v ložskách) sklápěla b se osa otou do směu vektou v tak, že podle esalov vět b chlost koncového bodu vektou bla ovna v a vznkla b pecese p úhlovou chlostí. Pokud úhlové chlost z vlastní otace Země (a jných planet) je přblžně stejná jako smě a oentace úhlové chlost jejího obtálního pohbu (ob. 17). S 17 J g F mg b..4 Pecese a nutace těžkého setvačníku Názvem těžký setvačník se označuje otující goskop v tíhovém pol uchcený v bodě mmo jeho těžště. ůže jít o setvačník ξ podepřený v bodě pod těžš- těm T podle ob. 18. sn ϑ Setvačník oztočme úhlovou chlostí ψ A kolem volné os ξ os otační smete = odkloněné od svslé os o úhel ϑ ϑ ( <ϑ π ), kteý se nazývá nutační úhel. Tím mu udělíme moment hbnost = J. Tíhová síla G = působí T vzhledem k bodu momentem o velkost = mgl sn ϑ, kde m je hmotnost setvačníku a l vzdálenost bodů.oment, T zřejmě působí kolmo k ovně vmezené svslcí a osou ξ setvačníku. Podle esalov vět moment vchýlí koncový bod A vektou momentu hbnost ve směu. Stejněsevchýlíosaξ setvačníku. Tím se současně změní také smě vektou, kteý zůstává stále kolmý k ose ξ. Poces změn je spojtý a bod A bude opsovat kužnc. Tento pohb setvačníku se nazývá pecese. Úhlovouchlost = pecesního pohbu, kde je pecesní úhel, učíme užtím esalov vět. Bod A bude vkonávat ovnoměný pohb z Z l b. 18 F G 19

11 d)w po kužnc o poloměu sn ϑ = Jωsn ϑ (vz ob. 18) chlostí o velkost = mgl sn ϑ. Analogck vztahu v = po chlost platí mez vekto,, vztah =. (3) Po velkost tohoto součnu dostaneme mgl sn ϑ = ΩJωsn ϑ. dtud (ϑ ) úhlová chlost pecesního pohbu U výsledného pohbu v podstatě jde o skládání dvou kuhových pohbů, kteé opsuje učtý bod os setvačníku. Křvka, kteou tento bod opsuje, je ted epckloda. ůže být občejná (ob. 19b), podloužená (ob. 19c) nebo zkácená (ob. 19d). Přtom pevnou kužnc bude epezentovat kužnce, kteou opsuje uvažovaný bod os př čsté peces. Vtvořující kužnce, kteá se odvaluje po kužnc pevné, je dána vlastní nutací. Celkový pohb, kteý vkonává tento setvačník, se ovněž označuje jako pseudoegulání pecese. Ω = mgl Jω. (33) Je zřejmé, že tato úhlová chlost nezávsí na nutačním úhlu ϑ,tedna odklonu os ξ od svslce. Změní-l vekto znaménko, oztočíme-l ted setvačník v opačném směu, a nezmění-l se moment, změní se zřejmě znaménko úhlové chlost. Pecesní pohb potom pobíhá v opačném směu. Předložené řešení neuvažuje s příspěvkem pecesního pohbu k momentu hbnost. JevšakdostatečněpřesnépoΩ ω. Skutečný pohb setvačníku je složtější. Působěním ůzných ušvých momentů sl, např. př dotku os setvačníku s podložkou (nebo po udělení příčného mpulsu Δt), udělíme setvačníku další otac kolem jné os než je volná osa. Pak osa setvačníku jž nebude opsovat plášť pecesního kužele s ϑ = konst. (ob. 19a). Nutační úhel ϑ se bude cklck měnt a vznklý přídavný pohb se nazývá nutace. a) b) c) ϑ ξ b. 19 1

12 Pak podle (3) platí Δ Δ = Δt dt = Δt. F Působí-l síla např. v ovně nákesn (ob. 15), F bude moment působt kolmo z nákesn. V témže směu se změní moment o Δ. sa setvačníku se pak nastaví do směu výsledného momentu hbnost. Účnek síl T je ted takový, že F se osa setvačníku sklápí do směu momentu vvolaného slou (ted kolmo ke F směu pů- sobení síl, esp. do směu F os vnucované F b.15 slou ). c) Vlv vnější otace na otující setvačník oztočíme-l setvačník vzhledem k jeho ose smete a osu uvedeme do otačního (obtálního) pohbu kolem os ovnoběžné s osou vlastní otace setvačníku ve stejné oentac jako setvačník (ob. 16a), nenastane změna v pohbu setvačníku setvačník je ve stablní poloze. Jakmle však obátíme oentac vnější otace (ob. 16b), obátí se osa setvačníku (má-l možnost) o 18 setvačník je v lablní poloze. Tento jev lze vsvětlt užtím duhé mpulsové vět. Je-l moment, potřebný k uvedení do obtálního pohbu, oentován opačně než vekto, vznkne tendence k překlopení tohoto vektou. oto uložíme do ložsek 1, tak je tomuto pohbu sce zabáněno, avšak oto působí na ložska F slam g, kteé jsou vvolán goskopckým momentem g. Tento moment učíme ze vztahu, kteý je analogcký vztahu (34). Ab vznkla pecese úhlovou chlostí ω v musel b podle esalov vět působt moment síl g, po kteý analogck (34) platí nebol g = v, g = v J = v. (35) Velkost goskopckého momentu je g = ω v sn ϑ = Jωω v sn ϑ. (36) Jeho smě nejlépe učíme pavdlem Žukovského: Je-l setvačník nucen vkonávat pecesní pohb, pak vznká goskopcký moment, kteý se snaží nejkatší cestou otočt osu otace setvačníku (vekto ) do směu os vnuceného pohbu. Goskopcký moment můžeme vjádřt ještě ve tvau l F g = J v, kde F g jsou přídavné síl, kteým působí osa otou na ložsko a l je ameno těchto sl. Jelkož síl F g jsou kolmé na osu, můžeme po jejch velkost psát F g = Jωω v l sn ϑ. (37) p t v 1 ϑ T g b. l F g F g v g v b. 16a b. 16b 1 Popsaný jev můžeme snadno demonstovat setvačníkem v Cadanově závěsu. Na základě tohoto jevu můžeme také vsvětlt, poč smě a oentace 18 3

13 T T. Volný setvačník Volným (bezslovým, astatckým) setvačníkem nazýváme goskop, u nejž moment vnějších působících sl je nulový. Nepůsobí-l na setvačník jné síl než tíhové, bude volným, kdž bude podepřen v těžšt (tzv. awellův setvačník na ob. 13) anebo kdž os, kolem nchž se může otáčet, pocházejí těžštěm T, esp. hmotným středem (setvačník v Cadanově závěsu na ob. 14). 3 1 Kolo tak začne vkonávat vedle posuvného a otačního pohbu ještě pecesní pohb. Je zřejmé, že př náklonu kola např. vlevo dojde k jeho stáčení také vlevo. Vátíme-l kolo zpět do svslé ovn, pecese (a tím zatáčení) ustane. Jízdní kolo a motockl je ted v zatáčce stablní. Př řízení kola řdítk působíme na kolo momentem sl v,kteýmuvnucuje otac. Stuace je analogcká jako na ob. ; vznká ted goskopcký moment g. V pa zpavdla kombnujeme řízení bcklu a motocklu nakloněním s řízením řídítk. a) b) g S G ϑ F G F G S b. 3 b. 13 b. 14 U volného setvačníku je =. oztočíme-l jej kolem jedné volné os, kteá je osou smete, je = J. Pak podle duhé mpulsové vět (3) platí a tudíž d dt = = J = konst. (31) je vekto stálé velkost a stálého směu. Potože př otac kolem volné os mají vekto, stejný smě, shodný se směem os smete setvačníku, zachovává osa volného setvačníku v postou (přesněj řečeno v necální vztažné soustavě) stálý smě. 1 1 Pokud volnému setvačníku neudělíme otac úhlovou chlostí 1 jen vzhledem k jedné hlavní centální ose, nýbž další otac úhlovou chlostí vzhledem k jné hlavní centální ose např. tak, že klepneme na vntřní kuh Cadanova závěsu bude pohb setvačníku podstatně složtější. Po výsledný moment hbnost bude stále platt =konst., avšak výsledná úhlová chlost konst. sa setvačníku bude vkonávat tzv egulání peces, 3. Stablzace letu dsku a střel a) Dsk Ab pohb dsku bl stablní a délka vhu co největší, vhá jej spotovec tak, že mu udělí na počátku pohbu otac kolem os souměnost. Dsk se ted chová jako setvačník. Goskopské jev př pohbu dsku (a podobně střel) s nejsnáze můžeme vsvětlt a demonstovat na pohbu lepenkového kotouče (papíového pvního tácku). Vhneme-l kotouč levou ukou, bude př pohledu shoa otovat v kladném směu (tj. pot směu hodnových učček). Za pohbu na něj bude působt odpo o výslednc.působště není v důsledku aeodnamckých poměů v těžšt T,nýbžvbodě C ve směu pohbu před ním (ob. 4). F vt C b

14 soustavě pohbuje. Neustále se přtom mění hodnota složek tenzou setvačnost (1). Poto eonad Eule jž tansfomoval pohbovou ovnc (3) na nenecální soustavu pevně spojenou s tělesem. Výhoda je v tom, že vůč této soustavě jsou složk tenzou setvačnost jž konstantní. Pacuje se přtom s hlavním moment setvačnost. soustav příslušných tří skaláních dfeencálních ovnc, nazývaných Euleov dnamcké ovnce, je velm náočné a je zcela mmo možnost tohoto tetu (vz např. [1], [], [4]). Po přblžné řešení postoové otace tuhého tělesa se s výhodou používá geometcké ntepetace duhé mpulsové vět (3), kteou navhl Fancouz ésal. Tva výazu (3) je analogcký výazu d dt =, v kteý defnuje chlost hmotného bodu. Vekto je ted analogcký vektou avekto je analogcký vektou. ovnost v d/dt = naznačuje, že vekto je míou chlost změn vektou. Nebol chlost koncového bodu vektou momentu hbnost tělesa je ovna výslednému momentu sl, kteý na těleso působí. Tato geometcká podoba duhé mpulsové vět se nazývá esalova věta. Podle této vět se ted koncový bod vektou (ob. 1) posune za časový nteval dt d = dt o = d dt a změněný moment hbnost bude = + +d dt. á-l moment síl smě vektou mění se jen velkost +d, a potože př otac kolem jedné volné os je = J, kde J =konst., mění se jen velkost úhlové chlost. Je-l naopak stále kolmý k, mění se jen smě, atímsmě. b. 1 dosahuje vhodnou konstukcí pláště střel, zejména její přední částí, kteá má tva ogvalu. Podobnější analýzu pecesního a nutačního pohbu střel lze nalézt v článku [1]. Příklad 4 Knetcká enege a pecese střel Střela áže (tj. vnějšího půměu) d = 1 mm a hmotnost m =3, kgbla vstřelena z hlavně kanónu počáteční (tzv. úsťovou) chlostí v = 9 m s 1. V hlavn bla střele udělena otace tak, že se střela zařezávala do závtu o stoupání s =3d. V důsledku kmtu hlavně př výstřelu se osa střel odchýlla od tečn k dáze o malý úhel ϑ. Ve vzduchu bude na střelu působt síla odpou vzduch o velkost =, 1 3 N ve směu ovnoběžném s tečnou k tajekto, a to v působšt C vzdáleném o l =1,5d od těžstě (vz ob. 5). Vpočtěte: a) celkovou počáteční knetckou eneg střel, b) kolk otáček pecesního pohbu sřela vkoná, je-l doba letu střel t = 64,1 s a budeme-l předpokládat = konst. Př výpočtu momentu stevačnost považujte střelu zjednodušeně za válec. a) Po celkovou počáteční knetckou eneg střel platí E k = 1 (mv + Jω ), kde J = 1 m ( d ) a ω = π T, přčemž T je doba potřebná k jedné otáčce střel v hlavn, tj. k poběhnutí závtu výšk s. Platí ted s = v T = πv ω, ztoho ω = πv s Pak po dosazení do hořejšího vztahu dostaneme [ E k = 1 mv 1+ 1 = πv 15d. ( ) ] π =1, 1 7 J=1, J. 3 b) Střela bude vkonávat pecesní pohb úhlovou chlostí (33). Velkost momentu síl je = l sn ϑ =1,5d sn ϑ, velkost momentu hbnost je = Jω = πmv d 1. Po dosazení do výazu (33) dostáváme Ω = 18 π. mv 14 7

15 např. vvolávají nekldný chod stojů. Ab těleso blo v dnamcké ovnováze musí být nulový moment všech sl, ted sl setvačných. Hledejme nní podmínk, kteé musí být splněn po ovnováhu tělesa př otac. Po jednoduchost budeme předpokládat ovnoměnou otac kolem os necální vztažné soustav (ob. 1). Pak na element m působí ve vztažné soustavě spojené s tělesem odstředvé síl, kteé mají velkost F = m ω. Po katézské souřadnce těchto sl v uvažované poloze tělesa platí F = F cos α = m ω, (3) F =, (4) F z = F sn α = m ω z. (5) Po jejch výslednce sumací přes celé těleso dostaneme F = ω m,f =,F z = ω m z. Vjádříme-l tto výsledk užtím souřadnc hmotného středu (sovnej s (11) v [9]) dostaneme F = ω m S,F =,F z = ω mz S, (6) kde m je celková hmotnost tělesa. Ab všechn tto síl bl nulové, musí být S = S = z S =, ted osa otace musí pocházet hmotným středem. Ab těleso blo v ovnováze, musí být výsledný moment odstředvých sl kosám,, z nulový. Po moment sl (3) a (5) platí = F z = ω m z = ω J z, (7) = z F F z = ω (J z J z )=, (8) z = F = ω m = ω J. (9) I kdž bude osa otace pocházet hmotným středem bude na těleso v obecném případě působt moment sl o složkách (7), (9), kteý bude mít tendenc způsobt odklon devac otační os od původního směu. Ab tomu tak neblo musí být devační moment J,J z nulové. Př otac např. kolem os bchom dostal ještě podmínku J z =. Shneme-l výsledk, dostal jsme F z podmínk = požadavek, že osa otace musí být centální osou a z podmínk = požadavek, že vedle toho kteá je vzhledem k ovně eklptk skloněna o 5 9. Gavtační vlv ěsíce je nezanedbatelný a pojevuje se tím, že moduluje moment. Tomáza následek, že se k základnímu solánímu pecesnímu pohbu supeponuje duhotný lunání pecesní pohb a výsledkem je lunsolání pecese, u níž se mění nutační úhel ϑ; vznká ted nutační pohb. Peoda solání pecese je as 5 75 let, je to tzv platónský ok. Střední hodnota nutačního úhlu je ϑ =3 7, peoda lunání pecese (nutační peoda) je 18,61 oku. Peodcké změn nutačního úhlu jsou velm malé, neboť zemská osa opsuje kolem své střední poloh nutační elpsu, jejíž velká poloosa je 9,1 a malá poloosa 6,86 [11]. unsolání pecese (esp. její astonomcké důsledk) bla známa jž staověkému astonomov Hpachov z Nkae v oce 14 př.k. Sovnával astonomcké souřadnce hvězd ze svých měření s výsledk měření svých předchůdců a zjstl, že eklptkální délk hvězd vzostl. Fzkálně se tento jev podařlo vsvětlt až Newtonov na základě jeho zákona všeobecné gavtace. Přímým astonomckým důsledkem lunsolání pecese jsou postupné změn poloh hvězd př oentac podle noční obloh. Nní seve učujeme podle známé hvězd Polák, po staé Egpťan kolem. 6 př.k. bla nejblžší jasnou hvězdou u světového pólu hvězda Thuban v souhvězdí Daka. V důsledku lunsolání pecese se pozvolna mění poloha hvězd vůč ovníkové souřadncové soustavě duhého duhu (spojené s janím bodem). Zemská osa bude směřovat nejblíže k Poláce v oce 115, kd její odklon od směu k Poláce bude jen 1. V oce 14 1 bude oentačním bodem po světový pól hvězda Vega v souhvězdí, kolem. 1 to bude opět Thuban. Poláka se ke světovému pólu znovu přblíží kolem. 8. unsolání pecese má ovšem závažnější důsledk. Př pohbu Země po eklptcké tajekto dochází ke střídání očních období v závslost na úhlu, kteý svíá zemská osa se spojncí středů Země a Slunce. Toto střídání očních období se neopakuje přesně s peodou oběhu středu Země po eklptcké tajekto (tato peoda se nazývá sdecký ok). V důsledku lunsolání pecese je za jeden platónský ok (tj. za 5 75 sdeckých oků) o jeden cklus očních období více než oběhů po eklptcké tajekto. Poblém časování očních období komplkuje ještě skutečnost, že sklon ovn eklptcké tajektoe Země se v důsledku gavtačního působení ostatních planet nepatně mění v současné době se zmenšnuje o,47 za ok, přčemž účnek tohoto pohbu poněkud zmenšuje vlv lunsolání pecese na střídání očních období. Poblém se astonomck vřešl zavedením janího bodu jako poloh Slunce na eklptce (tj. na tajekto zdánlvého očního pohbu Slunce po obloze), v níž se nachází v okamžku janí ovnodennost. Přesněj je to půsečík eklptk se světovým ovníkem, v němž se Slunce nachází př janí ovnodennost. Tento okamžk je astonomcký počátek jaa. V důsledku popsaných pecesních pohbů není poloha janího bodu pevná, nýbž tento bod jde vstříc Slunc o 5,58 za ok (tento údaj platl po ok 1974). Poto je doba mez dvěma půchod Slunce janím bodem, tzv. topcký ok, v půměu as o mnut katší než sdecký ok. 1 9

16 Vjádříme-l tto výsledk užtím složek tenzou setvačnost (6) až (11) dostaneme přehledné vztah = I ω + I ω + I z ω z, () = I ω + I ω + I z ω z, (1) z = I z ω + I z ω + I zz ω z. () Bude-l volné tuhé těleso otovat kolem jedné z hlavních os edukuje se výpočet momentu hbnost na vztah (18). Příklad Knetcká enege a moment hbnost dsku Tenký dsk o hmotnost m a poloměu, kteý je otočně uložen na amen o poloměu, jehož hmotnost zanedbáme, se dokonale odvaluje po vodoovné ovně (ob. 8). m Je dáno. Po okamžk, kd přechází přes kladnou poloosu, v- počtěte: z a) Knetckou eneg soustav. b) Složk,, z momentu hbnost soustav. b. 8 a) Knetcká enege je dána vztahem (14). Nejpve učíme složk vektou úhlové chlost. Z daného = učíme velkost vužtím podmínk dokonalého odvalování dsku nebol ω = ω. Současně z =, potože pavý úhel mez amenem a osou otáčení je neměnný. Z toho důvodu není nutné po výpočet enege a momentu hbnost počítat t složk tenzou setvačnost, jejchž nde obsahuje písmenko z. Soustava je smetcká k ose, poto moment setvačnost k této ose je hlavním momentem setvačnost a os,, z jsou hlavním osam setvačnost. Zřejmě platí 4 Úloh A. Řešené úloh 1. Složk tenzou momentu setvačnost zalomeného hřídele Vpočítejte složk tenzou setvačnost zalomeného hřídele, kteý je uložen v ložskách A, B (ob 8). Hmotnost hřídele je m, polomě půlkužnc je. b. 8 Hřídel sestává ze dvou částí; z každé vjmeme element o poloze ϕ (ob. 9). Souřadnce elementů: = sn ϕ, = sn ϕ, = (1 cos ϕ), = (1 cos ϕ), z =, z =, dm = μdϕ. Délková hustota hmotnost je μ = m π. Složk tenzou setvačnost: J = (m) dm =μ 3 π (1 cos ϕ) dϕ =μ 3 dm π A B dϕ ϕ dϕ ϕ b. 9 dm (1 cosϕ+cos ϕ)dϕ = [ =μ 3 ϕ snϕ + ϕ + 1 ] π 4 sn ϕ =3μπ 3 = 3 m, J = J 1 = 1 m, J = J = 1 4 m + m, J = J =. 1 31

17 Pokud ozložíme úhlovou chlost do směu hlavních os na složk,, z bude knetcká enege E k = 1 (J 1ω + J ω + J 3 ω z ). (15) á-l smě někteé hlavní os setvačnost dostaneme známý vztah E k = 1 Jω, (16) kde J je příslušný moment setvačnost. Příklad 1 Složk tenzou setvačnost tče Vpočtěte složk tenzou setvačnost tenké homogenní tče o hmotnost m a délce l, kteá je stuována v ovně z = podle ob. 6. Složk tenzou setvačnost počítejte k osám naznačené katézské soustav. z l α b. 6 b. 7 Z tče vjmeme element dξ v obecné poloze ξ od počátku. Jeho souřadnce jsou (ob. 7) = ξ cos α, = ξ sn α, z =. Po hmotnost elementu platí z dm = m l dξ. ξ α dξ Vpočtěte: a) Jaký je moment setvačnost J duhého setvačníku s hřídelem. b) Kolk mechancké enege ΔE k soustava ztatla př spojení. a) Platí zákon zachování momentu hbnost dtud J 1 ω 1 =(J 1 + J )ω 1. ( ) ( ) ω1 n1 J = J 1 1 = J 1 1 =4,kg m. ω 1 n 1 b) ΔE k = 1 J 1ω 1 1 (J 1 + J )ω 1 = 1 3. Volně otáčvá tč ( π 3 ) n 1 (n 1 n 1)J 1 = 118 kj. Tenká homogenní tč o délce l a hmotnost m se volně otáčí po vodoovné dokonale hladké ovně úhlovou chlostí kolem svého středu. Zachtímel náhle jeden konec tče, začne se tč otáčet kolem tohoto konce. Vpočtěte úhlovou chlost, kteou se tč nní bude otáčet, a kolk mechancké enege ΔE k př této změně ztatí. Zákon zachování momentu hbnost: J ω = Jω, Ztáta mechancké enege: 1 1 ml ω = 1 3 ml ω ω = ω 4. ΔE k = 1 ml 1 ω 1 ml 3 ω = 1 ml 1 ω 1 ml ω 3 16 = ml ω. 3 Složk tenzou setvačnost jsou J = dm = m l sn α l ξ dξ = 1 3 ml sn α, (m) 8 33

18 E k = 1 ω m ( + z )+ 1 ω m ( + z )+ 1 ω z m ( + ) ω ω m ω ω z m z ω ω z m z. (5) Výsledek po knetckou eneg bude možné zapsat ve fomálně jednodušším tvau po zavedení velčn, kteé chaaktezují ozložení hmotnost v tělese vzhledem k okamžté poloze os otace. Tto velčn jsou složkam tenzou setvačnost. 1.3 Tenzo setvačnost Ve výazu (5) vstupují člen se sumací přes celé těleso, kteé závsejí na ozložení hmotnost vzhledem k uvažované poloze os otace a jsou ted míou setvačných účnků tuhého tělesa př jeho postoové oentac. Přjmeme po ně označení J = m ( + z ), (6) J = m ( + z ), (7) 6. Goskopcký moment setvačníku v ámu Setvačník ve tvau válcového dsku o poloměu a hmotnost m se otáčí úhlovou chlostí ω 1 v úhlopříčce čtvecového ámu zanedbatelné hmotnost podle ob. 33. ám se otáčí kolem svslé os úhlovou chlostí ω. Učete goskopcký moment a eakce v ložskách A, B, kteé jím budou vvolán. B Po goskopcký moment podle (35) platí g J = 1, kde J = 1 m. Velkost goskopckého momentu je ted g = 1 m ω 1 ω sn α = 4 m ω 1 ω. Vekto g je kolmý k ámu a v dané poloze ámu míří před nákesnu. eakce A = B, kteé jej v ložskách kompenzují, leží v ovně nákesn a mají velkost l α A!b m J zz = m ( + ), (8) A = B = 4l m ω 1 ω. J = J = J z = J z = m, (9) m z, (1) J z = J z = m z. (11) Těchto devět velčn tvoří složk obecnější velčn, kteá chaaktezuje setvačné účnk tělesa př obecné otac a kteá se nazývá tenzo setvačnost. ze je přehledně uspořádat do matce J pq = J, J, J z J, J, J z, (1) J z, J z, J zz kde p, q =,, z. Velčn J,J,J zz, ležící v hlavní dagonále matce, se nazývají moment setvačnost k osám uvažované katézské soustav. 7. Goskopcký moment u letadla točné část leteckého motou včetně vtule mají moment setvačnost J = 5 kg m.vtuleseotáčín = 4 otáčkam za mnutu. Vpočtěte goskopcký moment g působící na letadlo, kteé polétá chlostí v = 45 km/h pavotočvou zatáčku po vodoovné kužnc o poloměu = 8 m. Jaký účnek bude mít tento moment, kdž se vtule z pohledu plota otáčí ve směu otace hodnových učček? Goskopcký moment učíme pomocí vztahů: g = J v, ω = πn 3, ω v = v, v, kde v je úhlová chlost vnucené otace (ob. 34). Velkost goskopckého momentu ted je 6 35

19 B. Neřešené úloh z z 1 ψb. 1 ϑ ψ ϕ z z 1 z (uzlová přímka) 1 8. Pecese setvačníku na amen Setvačník ve tvau válcového dsku o poloměu = 1 mm a hmotnost m =1, kg otující s úhlovou chlostí ω = 314 ad s 1 zavěsíme v tíhovém pol na vloženém amen délk a = 75 mm a zanedbatelné hmotnost postřednctvím ntě podle ob. 35. Setvačník začne vkonávat peces. Vpočtěte nejkatší dobu, za kteou osa setvačníku zaujme opět výchozí polohu. g 1 ;b. 3 Pvní otočení povedeme kolem os o úhel ψ (ob. ), přčemž osa z, původně totožná s z, přejde do poloh z 1 aosa, původně totožná s, do poloh 1. Duhé otočení dsku vkonáme kolem nové os z 1, tzv. uzlové přímk, o úhel ϑ (ob. 3). Přtom osa 1 přejde do poloh aosa, původně totožná s, do konečné poloh. Třetí otočení povedeme kolem této os o úhel ϕ, př němž osa přejde do konečné poloh aosaz 1 do konečné poloh z (ob. 3). V ob. 3 jsou znázoněn ovněž úhlové chlost,,, kteé popsují chlost změn Euleových úhlů ϕ, ψ, ϑ a kteé leží v osách příslušných otočení. Euleov úhl jsou důležté zejména po pops pohbu setvačníku, odtud také dostal názv: ϕ...úhel vlastní otace, ψ...pecesní úhel, ϑ...nutační úhel. Závěem lze shnout, že otac tělesa kolem nehbného bodu okamžtou úhlovou chlostí lze ozložt na tř otace buď kolem os katézké soustav nebo kolem os Euleových úhlů v souladu s ovností = + + z = Knetcká enege otujícího tuhého tělesa V tetu [9] jsme pojednal o otac tuhého tělesa vzhledem k nehbné ose, přčemž jako míu setvačných účnků tělesa př této otac jsme zavedl velčnu m g a # a Δm b. 35 b. 36 $ 9. Pecese setvačníku v Cadanově závěsu Bezslový setvačník o momentu setvačnost J, otáčejícíseúhlovouch- lostí 1, je uložen v Cadanově závěsu podle ob. 36. ovnováhu poušíme tím, že na osu setvačníku do vzdálenost a od středu umístíme závaží o hmotnost Δm. sa setvačníku svíá se svslou osou úhel β. Učete úhlovou chlost vznklé pecese, zanedbáte-l hmotnost Cadanova závěsu atřenívložskách. 1. Goskopcký moment u kolového mlýna Kolový mlýn sestává z válcového kola o hmotnsot m, kteéseodvalujepo vodoovné desce (ob. 37). Kolo je otočně uloženo na amen o 1 délk a zanedbatelné hmotnost, kteé se otáčí kolem svslé os o úhlovou chlostí β J 4 37

20 Úvod Předložený studjní tet navazuje na dřívější tet [8], [9], kteé bl věnován statce, knematce a dnamce tuhého tělesa. V tetu [9] jsme se vedle obecných zákonů mechank tuhého tělesa zabýval převážně jen jeho otačním pohbem kolem nehbné os a obecným ovnným pohbem. Předložený tet ozšřuje tto poznatk o mechanku postoového pohbu tělesa kolem nehbného bodu a zabývá se především pohbem setvačníku. Předpokládá znalost tetu [9] anebo znalost základů dnamk tuhého tělesa. Poznatk o pohbu setvačníku jsou nejen zajímavé, ale důležté po aplkace v jných oblastech fzk (např. amoova pecese v atomstce), v astonom (lunsolání pecese Země), v technce (např. goskopcké jev u dopavních postředků), ve vojenství (stablzace letu střel) a ve spotu (let dsku). Ve středolškolském učvu fzk je věnováno dnamce otačního pohbu tuhéhotělesamálomístaaopostoovémpohbutělesaaosetvačnícíchse nehovoří téměř vůbec. Důvod jsou především ddaktcké jde o obtížnou pat mechank. Nakonec přesné řešení obecného pohbu setvačníku pohbovým dfeencálním ovncem není známo s výjmkou několka zvláštních případů. Předložený studjní tet podává komě několka ozšířujících poznatků o dnamce tuhého tělesa přblžnou teo setvačníku, kteá však je dostatečně přesná u technckých setvačníků (goskopů). Je zde také podán výklad někteých aplkací teoe setvačníků. Výklad je doplněn řešeným příklad a úloham s uvedeným výsledk jejch řešení. Tet je učen zájemcům o fzku z řad středoškolských vsokoškolských studentů a učtelům fzk. Po řeštele fzkální olmpád kat. A, pokud je zařazen v daném soutěžním oce tet k postudování na téma SETVAČNÍKY, je část předloženého tetu ve článcích 1.6,.1,.,.3,.4 a 3.1 povnný tet k postudování. statní tet se dopoučuje ovněž postudovat. Výsledk neřešených úloh 8. T = πm ω ag 9. ω = Δmgsn β Jω 1 =16,1 s 1. Goskopcký moment je kolmý k nákesně, míří za n a má velkost g = 1 ( mω. Přítlačná síla F = m g + Ω ). 11. Goskopcký moment g J = 1 je kolmý k nákesně a míří za n. Jeho velkost je g = 5 m ω 1 ω. eakce A = B a C = D leží v ovně nákesn a mají stejnou velkost A = B = C = D = m ω 1 ω Goskopcký moment směřuje podle ovnoběžk na východ a má velkost g = Jωω z sn ϕ =,38 N m. 39