Dynamika tuhého tělesa

Transkript

1 Dnaika tuhého tělesa Pet Šidlof ECHNCKÁ UNVERZA V LBERC Fakulta echatonik, infoatik a eioboových studií ento ateiál vnikl v áci pojektu ESF CZ..7/../7.47 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření, kteý je spolufinancován Evopský sociální fonde a státní opočte ČR

2 Dnaika tuhého tělesa Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Pvní věta ipulsová F dp dt a t Zchlení těžiště Výslednice vnějších sil F A F B F C Celková hbnost soustav p pi Hotnost soustav i těžiště soustav se pohbuje jako b v ně bla soustředěná veškeá hotnost F : ákon achování hbnosti soustav (sážk těles,...)

3 Dnaika tuhého tělesa Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření anslační pohb tělesa Rchlosti všech bodů stejné řešení dnaik tanslačního pohbu tělesa je ekvivalentní dnaice HB Hbnost eleentu d: Hbnost tělesa: dp d v p v d v d v F dp dt hotnost tělesa chlost libovolného bodu (těžiště)

4 Dnaika tuhého tělesa 4 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Obecný (ovinný) pohb tělesa Rchlosti jednotlivých bodů tělesa ůné oklad vhlede k efeenčníu bodu A Z kineatik: vb v A a a B A ( ) ( ( ) Veee-li a efeenční bod A těžiště tělesa, ůžee chlení a A učit pvní vět ipulsové bývá řešit dnaiku otačního pohbu

5 Dnaika tuhého tělesa 5 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Duhá věta ipulsová Moent hbnosti hotného bodu: i p (vžd vhlede k nějakéu bodu např. počátku souřadné soustav) L i i - analogie hbnosti u tanslačního pohbu Celkový oent vnějších sil k bodu M dl dt Celková ěna oentu hbnosti soustav k téuž bodu L i p i M : ákon achování oentu hbnosti soustav (planetání echanika, kasobuslařk...)

6 Dnaika tuhého tělesa 6 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Kinetická enegie tělesa otujícího kole pevné os Kinetická enegie eleentu d: d d v v Kinetická enegie tělesa: d v d d o o oent setvačnosti o

7 Dnaika tuhého tělesa 7 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Rotace tuhého tělesa kole pevné os pohbový ákon Moent hbnosti eleentu d: dl dp Moent hbnosti tělesa: L dp v d ( ) d D případ ( ): v Z duhé vět ipulsové: d d M v d dt dt ( ) d M d dt d d dt d M o úhlové chlení oent setvačnosti o

8 Dnaika tuhého tělesa 8 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Moent setvačnosti o d - ekvivalent hot po otační pohb vs. Kteý setvačník dá větší páci otočit? Vlastnosti neáponý vžd vhlede k bodu (ose) v tabulkách vhlede k těžišti [] kg poloě setvačnosti: aditivní o o o s s

9 Dnaika tuhého tělesa 9 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Steineova věta o e oent setvačnosti vhlede k těžišti je iniální POZOR: o o

10 Dnaika tuhého tělesa Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Výpočet oentu setvačnosti o d V ρ dv o Katéský ssté Clindické souřadnice Sféické souřadnice ( x ) ρ V dx d d o V ρ d dφd o V ρ sinθ d dφdθ

11 Dnaika tuhého tělesa Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Příklad oent setvačnosti obuče Definice: d V ρ dv d R d R

12 Dnaika tuhého tělesa Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Příklad oent setvačnosti disku (válce) Definice: d V ρ dv R R ρ dv ρ π d h πρh V R πρh 4 4 R πr hρ 44 R d Dutý válec ( R ) R (aditivita)

13 Dnaika tuhého tělesa Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Příklad oent setvačnosti tče Definice: d V ρ dv ρl d ρ L L dx L / d ρ { L L L ρ L L x dx ρ L L 8

14 Dnaika tuhého tělesa 4 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Příklad 4 oent setvačnosti obdélníku (desk, kvádu) Definice: d V ρ dv V ρ 4ρh dv 4 a / b / b a 4ρh 8 ( b ) a a / b / ρ( x ) ( x ) dx d a b 8 h dx d ρhab a ( b )

15 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Dnaika tuhého tělesa 5 Příklad 5 oent setvačnosti koule ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R 5 π π π x R 5 R 5 ρ πr 4 π 5 R ρ sinθ dθ dφ d ρ d d x d x d x d 44 Moent setvačnosti vhlede ke tře osá: x,,.. evidentně platí x

16 Dnaika tuhého tělesa 6 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Příklad 6 V jaké výšce h je třeba tefit táge kulečníkovou kouli, ab se pohbovala be falše (pětné či dopředné otace), tj. ab se odvalovala po plátně be pokluu? x Řešení:. Sestavení pohbových ovnic: F a g N ( R) F h x. K dispoici ovnice, 4 nenáé jedna ovnice chbí.. Be pokluu: vaba 4. Řešení ovnic ax R 7 h R 5

17 Dnaika tuhého tělesa 7 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Zákon achování enegie u otačního pohbu ( U ) ( U) Wn.. kinetická enegie posuvná otační Příklad: Jaký půběh á chlost a chlení hačk jojo, předpokládáe-li, že & / R? Řešení:. ZZE. vaba v gx v ax 4g ( x) x R ω. Zchlení: a dv dx R ( x) v g

18 Dnaika tuhého tělesa 8 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Vvážená a nevvážená otace ve D () Pohbové ovnice: F R t F n t R n a t a n M O Statick vvážená otace : eakce R t, R n v ose otáčení (tj. naáhání ložisek) je nulové chlení těžiště usí být při otaci nulové, ted těžiště usí ležet v ose otáčení

19 Dnaika tuhého tělesa 9 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Vvážená a nevvážená otace ve D () (statick) vvážená otace (statick) nevvážená otace a a t n a a t n e e osa otace v těžišti při volné otaci eakce v ose nulové osa otace io těžiště i při volné otaci vnikají v ose síl (eakce)

20 Dnaika tuhého tělesa Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Rotace ve D,, M, L... skalá D (ovinná otace)... skalá D (postoová otace),, M, L... vekto,, M ik... teno L L i ikk ik i k ( x) ( ) i i i eno oentu setvačnosti ik ( x jxδ j ik xixk )d V ik ( ) x x d d d ( x ) x d d d x d d ( x ) d setický teno v hlavních osách ik iodiagonální pvk deviační oent diagonální pvk hlavní oent setvačnosti

21 Dnaika tuhého tělesa Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Dnaick nevvážená otace Vvážená, nebo nevvážená otace? (tj. jsou ložiska při otaci dnaick naáhaná?) statick i dnaick vvážená otace při volné otaci nevnikají žádné eakční síl ani oent v ložiskách dnaick nevvážená otace přestože pocháí osa těžiště deviační oent io ovinu otace

22 Dnaika tuhého tělesa Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Odvoení deviačních oentů () Sě vektou otace: Definice: ik i ( ) x x d d d ( x ) x d d d x d d ( x ) d Ze setie tělesa:, ik

23 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Dnaika tuhého tělesa ( ) ( ) ( ) d M Odvoení deviačních oentů () Moent x k j i ( ) d a df dm Z kineatik: V naše případě: ( ) a ik, x,, ( ) ( ) x x x k j i ( ) k j i, ( ) ( ) x x x k j i d M d x M d x d x M při ovnoěné otaci ( ) nenulový oent M!

24 Dnaika tuhého tělesa 4 Reflexe požadavků půslu na výuku v oblasti autoatického říení a ěření Analogie příočaého a otačního pohbu Poloha x [] Rchlost v [/s] Zchlení a [/s ] Úhel φ [ad] Úhl. chlost ω [ad/s] Úhl. chlení [ad/s ] Hotnost [kg] Síla F [N] Hbnost p [kg /s] Moent setv. [kg. ] Moent M [N.] Moent hbn. L [kg. /s] Kineatika: Pohbová ovnice: Kinetická enegie: Páce: Hbnost: dx dv dφ dω v, a ω, dt dt dt dt dp dl F a M ( D ) dt dt v W F dx s p v W M dφ s L ( D)