Dynamika soustavy hmotných bodů. Posuvný a rotační pohyb tělesa.

Transkript

1 ynaka soustavy hotných bodů. Posuvný a otační pohyb těesa. ynaka,. přednáška ynaka soustavy hotných bodů, -střed hotnost, - zákadní věty dynaky soustavy hotných bodů. Posuvný pohyb - kneatka a dynaka. Rotační pohyb - kneatka a dynaka.

2 ynaka soustavy hotných bodů ynaka,. přednáška G, G, G 3 N, N G 3 G 3 pohyb 3 G,,, 3, 3, 3, 3 j j N N síy vnější G, N,, síy vntřní j extení ntení síy akční G, 3, 3, 3, 3 síy eakční jsou N,,, spojeny s vazbou síy pacovní G,, 3, 3, 3, 3 síy nepacovní N, N,,

3 ynaka soustavy hotných bodů ynaka,. přednáška 3 3 a 3 j G 3 j a G a a G N d Aebetův pncp Apkace d Aebetova pncpu v dynace soustavy hotných bodů se njak neší od apkace v dynace hotného bodu. Každéu bodu přřadíe d Aebetovu síu vekost a, pot sěu zychení. Pak sestavíe ovnce pseudostatcké ovnováhy. F + 0 yvntřní síy j - j (na schéatu zeené) jsou vždy v páu a navzáje se vyuší, v součtu pak zůstávají vnější (extení) síy. aozřejě usí být spněny oentové ovnce ovnováhy. F E + 0 F E + 0

4 ynaka soustavy hotných bodů 3 střed hotnost soustavy hotných bodů x y C C x x C y y C z z poohový vekto ynaka,. přednáška

5 ynaka soustavy hotných bodů ynaka,. přednáška 3 3 poohový vekto V aé postou (ve sovnání s ozěy Zeě), v něž ze gavtační zychení pokádat za neěnné (jak co do vekost, tak co do sěu), střed hotnost a těžště spývají v jeden bod. střed hotnost soustavy hotných bodů třed hotnost svou defncí přpoíná jný důežtý bod - těžště. o je defnováno jako působště výsednce tíhových s a ve výazech po souřadnce těžště je tedy navíc gavtační zychení g. Pokud je gavtační zychení ve všech bodech stejné, ůžee je v čtate ve jenovate vytknout a násedně vykátt. Výazy po souřadnce středu hotnost a těžště jsou pak shodné. Ve veké postou, v něž je gavtační zychení v každé bodě jné, jsou těžště a střed hotnost dva ůzné body V toto učební textu bude pctně uvažován aý posto, v něž oba tyto body spývají v jeden.

6 ynaka soustavy hotných bodů ynaka,. přednáška G F 3 pohyb G 3 3 F F G N N třed hotnost se pohybuje tak, jakoby v ně bya soustředěna hotnost a působy na něj vnější síy. F j + F j 0 vntřnísíy jsou vždy dvěv páu - stejně veké, opačněoentované věta o pohybu středu hotnost a C C C & & a a E Fj F j + F j součet s na jedno bodu 0 ( + ) E F F j F j + a součet s přes všechny body C a F E extení - vnější síy ntení - vntřní síy

7 ynaka soustavy hotných bodů ynaka,. přednáška G F 3 pohyb G 3 3 F F G N N V součtu přes všechny body se pusy páových (stejně vekých, opačně oentovaných) vntřních s navzáje odečtou. Zěna hybnost soustavy hotných bodů je ovna pusu vnějších s. věta o zěně hybnost soustavy hotných bodů p C Δ v C C C & & v v v Δ v Δp Δp t t E Δp F dt + F ( ) C ( ) Δp 0 t E F dt 0 0 dt

8 ynaka soustavy hotných bodů ynaka,. přednáška y P G F 3 pohyb G 3 3 F F x věta o zěně oentu hybnost soustavy hotných bodů L P L v G Zěna oentu hybnost soustavy hotných bodů je ovna pusu oentu vnějších s. N L L P _ M p P L P _ ΔL L P t M dt P 0 L () t P _ L v - oent hybnost k počátku P, P _ 0 + L - oent hybnost středu hotnost k počátku P, - oent hybnost bodů ke středu hotnost. E M

9 ynaka soustavy hotných bodů 3 G 3 G G N N F 3 F F K v E Δ Δ K F A E j j ( ) Δ Δ Δ K K E v E Δ + Δ Δ E K F F E Δ 3 Δ + Δ Δ E K F F E Δ Δ K F A E Δ Δ C K v E věta o zěně knetcké enege soustavy hotných bodů Zěna knetcké enege je ovna pác všech s (vnějších vntřních). Naozdí od pusu, páce vntřních s se navzáje neodečtou - každá sía působí na jné dáze. ynaka,. přednáška

10 ynaka soustavy hotných bodů ynaka,. přednáška F 3 j 3 Δ 3 věta o zěně knetcké enege soustavy hotných bodů E K v j G G 3 F F N N Δ Δ G ΔE K ΔE ΔE K K Δ ( ) v A E F Δ Δ Knetckou eneg soustavy hotných bodů ze (podobně jako oent hybnost) vyjádřt jako součet knetcké enege hotnost ceé soustavy, soustředěné do středu hotnost, a knetcké enege otace hotných bodů okoo středu hotnost. ato teze bývá obvyke označována jako tzv. Köngova věta. postupe vyšetřování pohybu ozkade na posuv ve sěu pohybu jstého zvoeného bodu a otac okoo tohoto bodu se seznáíe pozděj. Nazvee jej zákadní ozkad. F + ΔE F K Δ

11 Pohyb těesa ynaka,. přednáška posuvný pohyb otační pohyb obecný ovnný pohyb posuvný pohyb ovnný pohyb : Všechny body těesa se pohybují v navzáje ovnoběžných ovnách. postoový pohyb sfécký pohyb šoubový pohyb obecný postoový pohyb

12 Pohyb těesa ynaka,. přednáška posuvný pohyb Žádná příka těesa neění svůj sě.

13 Pohyb těesa ynaka,. přednáška Jedna příka těesa neění svou poohu. otační pohyb

14 Pohyb těesa ynaka,. přednáška obecný ovnný pohyb

15 Pohyb těesa ynaka,. přednáška Žádná příka těesa neění svůj sě. posuvný pohyb

16 Pohyb těesa ynaka,. přednáška Jeden bod těesa neění svou poohu. sfécký pohyb

17 Pohyb těesa ynaka,. přednáška Jeden bod těesa neění svou poohu. sfécký pohyb

18 Pohyb těesa ynaka,. přednáška ěeso otuje okoo osy a současně se posouvá ve sěu této osy. otace šoubový pohyb posuv

19 Pohyb těesa ynaka,. přednáška obecný postoový pohyb

20 posuvný pohyb otační pohyb obecný ovnný pohyb posuvný pohyb sfécký pohyb šoubový pohyb obecný postoový pohyb Pohyb těesa ovnný pohyb postoový pohyb ynaka,. přednáška Jakýkov pohyb těesa je jeden z těchto 6 typů pohybu.

21 Posuvný pohyb. ynaka,. přednáška Žádná příka těesa neění svůj sě. y,, 3 stupně vonost η A x,y,z - pevný (nehybný) souřadný systé; počátek P P ζ Ω ξ ξ,η,ζ - těesový souřadný systé - pevně spojený s těese; počátek Ω x ξ//x, η//y, ζ//z z A - běžný bod těesa

22 Posuvný pohyb. Žádná příka těesa neění svůj sě. y,, 3 stupně vonost A ynaka,. přednáška Ω + AΩ P A Ω ζ η Ω AΩ A ξ A - poohový vekto bodu A vůč xyz Ω - poohový vekto bodu Ω vůč xyz, pooha těesa v postou z x AΩ - poohový vekto bodu A vůč ξηζ, pooha bodu A uvntř těesa

23 Posuvný pohyb. Žádná příka těesa neění svůj sě. y,, 3 stupně vonost P A Ω ζ η Ω AΩ A ξ A v A v A ynaka,. přednáška Ω + AΩ devace pode času & & & 0 v Ω + A Ω A Ω & A Ω z Poohový vekto AΩ á vekost a sě. Vekost je konstantní s ohede na nedefoovatenost těesa -těeso se neůže potáhnout, patí vždy (po absoutně tuhé těeso). ě je konstantní s ohede na defnc posuvného pohybu - patí pouze po posuvný pohyb. x

24 Posuvný pohyb. Žádná příka těesa neění svůj sě. y,, 3 stupně vonost z P A Ω ζ η Ω AΩ A ξ x A v a A v A Ω + AΩ A a A ynaka,. přednáška devace pode času & & & 0 v Ω + A Ω A Ω & A Ω Všechny body se pohybují po stejné tajekto, stejnou ychostí, se stejný zychení. devace pode času v& A v& Ω a Ω a Ω

25 Posuvný pohyb. Žádná příka těesa neění svůj sě. ynaka,. přednáška Pohyb posuvný příočaý. Všechny body se pohybují po stejné tajekto, stejnou ychostí, se stejný zychení.

26 Posuvný pohyb. Žádná příka těesa neění svůj sě. ynaka,. přednáška Pohyb posuvný kuhový. R Všechny body se pohybují po stejné tajekto, stejnou ychostí, se stejný zychení.

27 Posuvný pohyb. Žádná příka těesa neění svůj sě. ynaka,. přednáška Pohyb posuvný cykodní. Všechny body se pohybují po stejné tajekto, stejnou ychostí, se stejný zychení.

28 Posuvný pohyb - dynaka. a F ynaka,. přednáška Pohybová ovnce posuvného pohybu těesa je shodná s pohybovou ovncí hotného bodu. Všechny body těesa ají stejné zychení.

29 Posuvný pohyb - dynaka. Poznáka k ovncí ovnováhy : po soustavu s s ůzný působště usí být saozřejě spněna oentová ovnce ovnováhy. dg d d dg G d dg d dg íhová sía G je výsedncí nekonečně noha eeentáních tíhových s dg. Eeentání tíhová sía dgd g. Gavtační zychení g á ve všech bodech stejnou vekost sě. d d a d ynaka,. přednáška d a d a + 0 F d Aebetův pncp á stejnou podobu jako u hotného bodu. d d a d a Vznká otázka kde eží působště d Aebetovy síy. Aebetova sía je výsedncí nekonečně noha eeentáních d Aebetových s d. Eeentání d Aebetova sía dd a. Zychení a á ve všech bodech stejnou vekost sě.

30 Posuvný pohyb - dynaka. Poznáka k ovncí ovnováhy : po soustavu s s ůzný působště usí být saozřejě spněna oentová ovnce ovnováhy. dg d d dg G d dg d dg d a + 0 F d Aebetův pncp á stejnou podobu jako u hotného bodu. d a d d a d d d a d a Vznká otázka kde eží působště d Aebetovy síy. Z anaoge ez ozožení eeentáních tíhových s dg a eeentáních d Aebetových s d vypývá : Aebetova sía působí v těžšt. ynaka,. přednáška pávně působí ve středu hotnost. Je- těeso aé (ve sovnání se Zeí), je gavtační zychení g ve všech bodech těesa shodné. třed hotnost a těžště pak spývají v jeden bod.

31 G Posuvný pohyb - dynaka. a F pohybová ovnce A φ φ a t ω ω0 B a t G A b C G cos φ ε g cos φ g ε cos φ dω g ω cos φ dφ g ωdω cos φdφ φ g ωdω cos φdφ φ0 ω g ω φ ω0 sn [ ] [ ] φ φ 0 b B g ( ) ω0 + ( sn φ sn φ0 ) ω φ v ynaka,. přednáška Za účee sestavení (a násedného řešení) pohybové ovnce ze těeso nahadt hotný bode... kteýkov - všechny body se pohybují po stejné tajekto stejnou ychostí a se stejný zychení. ( φ) ω( φ) ω0 + g ( sn φ sn φ0 )

32 Posuvný pohyb - dynaka. d Aebetův pncp o těžště zavedee d Aebetovu síu - tečnou a noáovou sožku. t n a a ω t n + ω g cos φ 0 g G A b C ( sn φ sn φ ) b 0 B y x ynaka,. přednáška t n a + 0 F A B C C G Ze tří ovnc ovnováhy vyřešíe : ) pohybovou ovnc, ) eakční síy. F x 0 F y 0 M 0 ε g cos φ C K K

33 Posuvný pohyb - dynaka. a F A b B ynaka,. přednáška a + 0 F b C G Po sestavení (a násedné řešení) pohybové ovnce ze hotu soustředt do jednoho bodu a řešt pohyb hotného bodu. Po řešení s (nejčastěj eakcí) je třeba počítat s ozěy těesa a uvažovat soustavu s s ůzný působště. Aebetovu síu pak zavádíe do těžště.

34 Rotační pohyb. ynaka,. přednáška Jedna příka těesa neění svou poohu (osa otace). o každý bod se pohybuje po kužnc o pooěu R stupeň vonost ω, ε φ úhe natočení dφ ω, ε φ ω φ& úhová ychost dt dω d φ ε ω & & φ úhové zychení dt dt ( dω d ω ) ε ω a dφ dφ t v s φ R a n poohový vekto v ω R v ω R φ, ω, ε v obvodová ychost a t εr a t ε a t tečné zychení a n ω R a n ω v a n noáové zychení

35 Rotační pohyb - dynaka. V dynace nevystačíe s pohybovou ovncí a F ω, ε hotného bodu! d Aebetův pncp a t a n d d n d t nahazení sové soustavy Z těesa vybeee hotový eeent d. ou přřadíe tečné a noáové zychení a t a a n. Zavedee eeentání d Aebetovy síy d t a d n (tečnou a noáovou). Povedee ekvvaentní nahazení sové soustavy nekonečně noha eeentáních d Aebetových d d M t n d a d a t n t + d ε d ω ( d d ) n M ynaka,. přednáška d t ε d d ε d s jednou sou a oente. oent setvačnost [kg ]

36 Rotační pohyb - dynaka. ynaka,. přednáška t n a n a t M ω, ε, - hotnost těesa -oent setvačnost ke středu otace ω - úhová ychost ε - úhové zychení a t - zychení těžště, tečná sožka a n - zychení těžště, noáová sožka - vzdáenost těžště od středu otace M t n ε a a t n ε ω výsedný sový účnek (působště ve středu otace!) výsedný oentový účnek dopňkový (d Aebetův) oent M působí pot sěu úhového zychení ε. dopňkové (d Aebetovy) síy t a n působí pot sěu zychení těžště a t a a n.

37 Rotační pohyb - dynaka. ynaka,. přednáška y akční síy (zatížení) R x eakce M R y t n n t ε a a ω, ε dopňkové účnky t n M ε ω dopňková (d Aebetova) sía -tečná a noáová sožka dopňkový (d Aebetův) oent x řešení eakcí z ovnc ovnováhy F F x y M pohybová ovnce ε M R R x y K K včetně dopňkových s! neobsahuje eakce an dopňkové síy včetně dopňkového oentu neobsahuje dopňkový oent

38 Rotační pohyb - dynaka. ynaka,. přednáška akční síy (zatížení) ω, ε pohybová ovnce ε M - oent setvačnost [kg ] ε - úhové zychení [ad/s ] ΣM -součet oentů vnějších s ke středu otace [N ]

39 Rotační pohyb - dynaka. v ω d E K knetcká enege de K d ynaka,. přednáška d v E K d v ( ω) ω ( ω) d E K ω Z těesa vybeee hotový eeent d. ou přřadíe ychost v a knetckou eneg de K. Knetckou eneg těesa učíe ntegování přes ceé těeso. oent setvačnost

40 anaoge ez posuvný a otační pohybe ynaka,. přednáška posuvný pohyb otační pohyb Z poovnání kneatky a dynaky posuvného a otačního pohybu vypývá anaoge (podobnost) ez oběa pohyby. ato anaoge spočívá v to, že jednotvý fyzkání večná, vztahující se k posuvnéu pohybu, odpovídají jné večny, vztahující se k otačníu pohybu. Vztahy ez n pak jsou shodné. Jestže ve vztazích, týkajících se posuvného pohybu, nahadíe jedny večny duhý, dostanee anaogcké vztahy, týkající se otačního pohybu.

41 anaoge ez posuvný a otační pohybe ynaka,. přednáška posuvný pohyb otační pohyb dáha s, x,... [, ] ~ úhe φ [ad, ] ychost v v s& [/s] ~ úhová ychost ω ω φ& [ad/s] zychení a [/s ] ~ úhové dv zychení a v& & s v ds ε ε [ad/s ] dω ω & && φ ω dφ v s a t + a t v 0 + příkad - ovnoěně zychený pohyb v 0 t + s 0 ~ ~ ω ε t + ω φ ε t 0 + ω 0 t + φ 0

42 anaoge ez posuvný a otační pohybe ynaka,. přednáška posuvný pohyb otační pohyb sía hotnost pohybová ovnce dopňková sía F, G,... [N] ~ oent síy M [N ] [kg] ~ oent setvačnost a F ~ pohybová ovnce ε [kg ] M dopňkový a ~ ε oent M

43 anaoge ez posuvný a otační pohybe hybnost hoty pus síy zěna hybnost knetcká enege páce výkon posuvný pohyb hybnost otační pohyb p v ~ oent [kg /s] L ω t F dt 0 Δp p p0 E K v [N s] [J] ~ ~ ~ pus oentu M zěna oentu hybnost knetcká enege t M dt 0 ΔL E K L [kg /s] [N s] L0 M ω A d s [N ] ~ páce A M dφ P F v [W] ~ výkon P M ω zěna knetcká enege Δ E EK EK0 K ynaka,. přednáška A [J] [N ] [W] [J ~ N ]

44 geoete hot ynaka,. přednáška d oent setvačnost d tenká obuč konst d d

45 geoete hot ynaka,. přednáška d oent setvačnost d d x d d dx d dx x dx 0 x dx 0 x dx pzatcká tyč otující okoo osy, pocházející konce tyče x

46 d d geoete hot oent setvačnost x d dx d dx d dx x dx x / / / / x / / pzatcká tyč otující okoo osy, pocházející střede tyče x dx d ynaka,. přednáška

47 geoete hot ynaka,. přednáška oent setvačnost d d h d ρdv ρd h ρ ( π d) h R váec otující okoo své osy π d d

48 geoete hot ynaka,. přednáška h váec otující okoo své osy R R R d R R 0 0 d oent setvačnost d d ρdv ρd h ρ ( π d) h ρ V h π R h d π d h d π R h R 3 d R 4 4 R 0 R R 4 4 R

49 e + oent setvačnost k posunuté ose e teneova věta geoete hot d e α α + cos e e ( ) α + d e e d cos α + d e d e d cos α + d e d e d cos e 0 cos(α) d -oent setvačnost k ose pocházející těžště (těžštní osa), -oent setvačnost k ovnoběžně posunuté ose.

50 geoete hot tenká kuhová deska 4 a b x b _ tenká obdéníková deska x z y ( ) z b a + _ y a _ a ( ) 3 4 a + váec 0 3 kuže jehan a b ( ) 0 b a + koue 5 ynaka,. přednáška

51 geoete hot fení teatua ynaka,. přednáška

52 geoete hot fení teatua ynaka,. přednáška

53 geoete hot 3 CA odeování ynaka,. přednáška PRN MA PROPERE AOCAE WH HE CURRENLY ELECE VOLUME OAL NUMBER OF VOLUME ELECE (OU OF EFNE) *********************************************** UMMAON OF ALL ELECE VOLUME OAL VOLUME 0.537E+08 OAL MA 0.996E-0 CENER OF MA: XC E-03 YC ZC *** MOMEN OF NERA *** ABOU ORGN ABOU CENER OF MA PRNCPAL XX YY ZZ XY E E-03 YZ E E-04 ZX E E-04 PRNCPAL ORENAON VECOR (X,Y,Z): (HXY HYZ HZX 0.000)

54 geoete hot ynaka,. přednáška G 4 tenká obuč φ 4

55 dopňkové účnky - postoová sová soustava ynaka,. přednáška M ω ω x y d n R d t ω z o t n ω, ε M d d t n d εr d ω R d ( d + d ) nahazení sové soustavy t n

56 dopňkové účnky - postoová sová soustava ynaka,. přednáška M ω ω x x φ t n a a t n εe ω e y y M x φ n t at M z M y a n x e ω devační oenty setvačnost ω, ε z o M M M x y z xz yz z ε ε + ε yz xz ω ω x z d yz d xz yz

57 dopňkové účnky - postoová sová soustava ynaka,. přednáška M ω ω φ y y x x φ M x M y n t at R 6 ovnc ovnováhy M z a n x e ω R z o ω, ε Fx Fy Fz Mx My Mz včetně n včetně t včetně M x včetně M y včetně M z

58 dopňkové účnky - postoová sová soustava ynaka,. přednáška M ω ω φ y y x x φ M x M y n t at M z a n R R x e ω, ε ω z o 6 ovnc ovnováhy... 5 eakcí + pohybová ovnce Fx Fy Fz Mx My Mz ε R R R R R Ax Ay Bx By Bz????? M

59 dopňkové účnky - postoová sová soustava ynaka,. přednáška M ω ω těeso je statcky vyvážené dynacky nevyvážené těeso je statcky vyvážené dynacky vyvážené M ω těeso je statcky nevyvážené dynacky nevyvážené devační oenty setvačnost xz yz x z d yz d

60 dopňkové účnky - postoová sová soustava b x a x ynaka,. přednáška b a -a z -a z -b těeso je statcky vyvážené dynacky nevyvážené b těeso je statcky vyvážené dynacky vyvážené xz a b + ( a) ( b) a b ( a) b 0 xz a b + devační oenty setvačnost xz yz x z d yz d

61 dopňkové účnky - postoová sová soustava ynaka,. přednáška δ x xz x z d d ds s d ds x s snδ d ds z s cos δ z / xz s snδscos δ ds / xz xz xz xz snδcosδ snδcosδ snδcos δ snδcos δ / s / ds [ ] 3 / 3 s / [( ) ( ) ] [ + ] 8 8 xz snδcos δ