Fraktálová komprese. Historie

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Fraktálová komprese. Historie"

Transkript

1 Fraktálová komprese Hstore Prví zmíky o tzv. fraktálové kompres jsem ašel kdys v bezvadé a dodes aktuálí kížce!! Grafcké formáty (Braslav Sobota, Já Mlá, akl. Kopp), kde však šlo spíše o adšeý úvod a pak příval matematckých vzorců, ze kterých se m ježly vlasy a hlavě (a to mám matematku rád). Dodatečě bylo řečeo, že fraktálová komprese může obrázky zredukovat ásobě lépe, ež třeba JPEG, a avíc přáší ezávslost a rozlšeí, tedy po zvětšeí obrázku edojde k "pxelac" a te bude stále ostrý. Plý zaujetí jsem pročesával teret hrubého času sad celý rok (možá víc) a za tu dobu ašel je ěkolk prací, ěkolk prográmků a velké možství růzých fragmetů. As 90% všech zdrojů eustále opakovalo totéž o vysokém kompresím poměru a ekoečém rozlšeí, takže pro me tato kompresí metoda ještě přbrala a tajemost. Frustrová jsem ašel skutečě je fragmety s ěkolka většou e moc dobře fukčí prográmky, přčemž jedý držtel patetu a fraktálovou kompres, společost Iterated Systems, přestala jako taková exstovat (polova zdrojů se odkazovala a stráku Bohužel, domovská stráka společost už je eávratě pryč). Ncméě jsem se dostal ke kze Yuvala Fshera: "Fractal Image Compresso, Theory ad Applcato", kde bylo vše velm podrobě probráo a dokoce byl přlože zdrojový kód určté mplemetace fraktálové komprese. Te byl apsá v jazyce Vala C pro Uxovou stac a tak me čekaly tř drtvé týdy trasformace do jazyka C# (!). Po astudováí a pochopeí ejdůležtějších kaptol a optmalzovaího kódu (ěkteré pasáže jsem četl sad stokrát, ež m došlo, jak se věc mají) jsem rád, že vám můžu představt fraktálovou kompres obrazu v českém materálu a se zaručeě fukčím softwarovým podkladem. Zdrojový kód původích programů ec.c a dec.c od Y. Fshera bylo aštěstí možé jakkolv šířt modfkovat bez svoleí autora. Itutvě zodpovím jede velm důležtý dotaz: "Proč se zabývat fraktálovou kompresí, když jde sce o zajímavou, ale pro praktckou aplkac e zrova populárí metodu?" Když pomu já možá využtí této metody (porováváí obrázků, zvětšováí bez změy rozlšeí,pokročlé odstraňováí šumu, odstraňováí JPEG artefaktů...), pokládá fraktálová komprese jakýs základ pro pozdější využtí (tedy e jako samostatá metoda, ale jako součást č ástroj ěčeho komplexějšího). Des se v multmédích uplatňují algortmy založeé a trasformacích podle bázových fukcí, ať už jsou to sové a kosové trasformace (ve stadardu JPEG), Karhue- Loéveho t. ebo obecě waveletová (vlková) trasformace (ve stadardu JPEG 2000). Všechy tyto metody odstraňují redudac z obrázku v ryzí podstatě stejým způsobem (aproxmací bázovým fukcem). Jak se zvyšuje kompresí poměr, roste ztráta a u všech zmíěých trasformačích algortmů dochází k rozostřováí obrázku. U fraktálové komprese k tomuto defektu edochází, ovšem ztrácejí se jé detaly (a ěkteré epřízvé fraktálí artefakty zase místo toho vzkají). Fraktálová komprese odebírá z obrázku druh redudace, kterému se říká soběpodobost, kdežto trasformačí metody prostě odebírají edůležté trasformačí koefcety a zjedodušují tak výstupí sgál. Tedy, pokud odebereme z obrázku oba typy redudace, jede založeý a frekvečí aalýze, druhý a soběpodobost, můžeme dosáhout kol kompromsu, ale fúze výhod a tedy lepších výsledků, ež u obou metod samostatě. Abychom však pochopl kocepc hybrdího algortmu spojujícího obě metody, musíme pochopt oba přístupy zvlášť. Hybrdí algortmy typu DCT-fraktálová komprese ebo wavelet-fraktálová komprese byly skutečě vypracováy - ovkou je apříklad algortmus FZW (Fractal Zerotree Wavelet), vlastě původí waveletový koder EZW (Embedded Zerotree Wavelet) vylepšeý o fraktálové kódováí, jehož autoř zmňují další možost takového vylepšeí vlkového kóderu SPIHT (Set Partog I Herarchcal Trees, který používá stadard JPEG 2000) a tím samotý SPIHT de-facto překoat. Úvahy a toto téma už však musejí být podložey poměrě rozsáhlým zalostm jak v počítačové grafce, tak v teor formace, proto akouseme je jedo chuté sousto tohoto obřího koláče. Ačkolv se fraktálová komprese občas zmňuje jako "relatvě ová metoda", je její zrod vzdále as tak stejě, jako zavedeí stadardu JPEG. Kocem osmdesátých let, kokrétě v roce 987 publkoval matematk Mchael Barsley své výsledky, kterých dosáhl jedou z mplemetací fraktálové komprese obrazu. Dosáhl velm zajímavých výsledků - tuším, že se u ěkterých obrázků dostal až a kompresí poměr :. Ale Barsleyho mplemetace měla ěkolk háčků. Jedak to byla euvěřtelá časová áročost jeho metody vycházející z potřeby masvího výpočetího výkou (ve výše zmíěém případě ho zajšťoval jede z ovějších superpočítačů Cray), kterou trpí ve větší č měší míře všechy fraktálí komprmačí metody, ale především utost přítomost člověka (dokoce kvalfkovaého člověka - proto teto problém dostal ázev: teorém graduovaého studeta). Jým slovy bylo potřeba a fraktálovou kompres každého obrázku zavolat graduovaého studeta, který problému rozuměl - v teorému se dokoce hovoří o zavřeých dveřích a studetově ěkolkahodové prác, as to má ěco do sebe. Tyto problémy tedy čl fraktálovou kompres epoužtelou. V čem byl problém? Každá kompresí metoda je založea a sížeí redudace (adbytečost) v datech. Neztrátové metody hledají apříklad delší sekvece stejých prvků, ebo statstcky redukují formac pro pops frekvetovaých prvků, za ceu delšího popsu těch méě častých. Co se týče ztrátové komprmace obrazu, jsou metody fraktálové komprese a JPEG v prcpu odlšé. JPEG vdí zbytečou formac ve fukcích vysokých frekvecí, které mají valý výzam pouze a ostrých hraách obrázku, ale jak jsou v dgtálí fotograf pro člověka praktcky evdtelé. Fraktálová

2 komprese je založea a zmíěé soběpodobost, což je velm výzamá vlastost přírodích scé. JPEG komprese je rověž založea a algortmu, který pracuje v blocích, takže lépe vyjadřuje vztahy mez ejblžším pxely (resp. pxely v rámc). Na druhou strau se u fraktálové komprese počítá s růzě velkým bloky, které mohou být třebas a opačých straách obrázku (odborě se to azývá odstraňováí korelací a velkou vzdáleost). Fraktály a fraktáí geometre Fraktálová komprese se zakládá a fraktálech, a ty jsou defováy matematckým oborem fraktálí geometre. Jejím duchovím otcem je Beoît Madelbrot, který také zavedl slovo fraktál (vycházel z latského fractus = zlomt). Fraktály byly v podstatě zámé už v atckém řecku, ale pokusy o jejch matematcký pops se objevly až během prví světové války. Z této doby také pochází matematk Jula a jeho Julovy možy. Madelbrot (mmochodem Julův žák) se pokoušel tyto možy sjedodt v jede komplexí celek, což se mu podařlo - teto útvar se azývá Madelbrotova moža a je to as ejzámější fraktál: Madelbrotova moža Víckrát jsem zmíl termí moža - fraktálí geometre se jako ostatí geometre zabývá možam bodů v prostoru. Útvary z takových bodů jsou však klascké Eukledovské geometr czí. Eukledovská geometre je ta, kterou se učíme a základí a středí škole. Ta popsuje - stručě řečeo - útvary, které jsme schop akreslt pomocí pravítka (trojúhelíku s ryskou) a kružítka. Madelbrotov šlo však o to ajít vhodou geometr pro pops přírody (zabývá se apř. dstrbucí galaxí ebo modelováím zemských teréů). Kulaté a hraaté útvary z klascké geometre ajdete v přírodě spíše vzácěj (krystaly, plaety...), ovšem popsat ějak jedoduše Eukldovskou geometrí třeba strom ebo mrak, je vyloučeé. Útvary fraktálí geometre - fraktály, se často přírodím objektům velce přblžují. V Eukldovské geometr má každý útvar tzv. topologckou dmez. Bod má topologckou dmez ula, přímka jeda, čtverec č kruh dvě, krychle ebo koule tř a tak dále (ao, a sestrojeí hyperkrychle s ve čtyřrozměrém prostoru s pravítkem trojúhelíkem vystačíte) - topologcká dmeze je tedy ezáporé celé číslo. Fraktálí geometre zavádí ještě takzvaou Haussdorfovu-Besscovtchovu dmez, stručě dmez fraktálí. Jejím odvozeím se ebudu blíže zabývat, ale pokud je pro určtý útvar hodota této dmeze, která může být dokoce racoálí číslo (!), větší ež hodota dmeze topologcké, azývá se teto útvar fraktál. Může jít třeba o uzavřeou křvku ápadě přpomíající pobřeží ostrova. Uzavřeá křvka v Eukldovské geometr objímá ějaký útvar s koečým obsahem. Teto útvar má rověž koečý obvod (délka křvky). Fraktálí křvka je sce uzavřeá, ale přtom ekoečě dlouhá. Vzklý útvar má tedy koečý obsah, ale ekoečý obvod, což je zdálvě paradoxí. Je to dáo podstatou fraktálů - jejch ekoečou složtostí. Pokud s vezmeme metrové pravítko a obejdeme s ím pobřeží ostrova, dostaeme ějakou hodotu. Jestlže uděláme totéž s půlmetrovým pravítkem, aměříme logcky délku o ěco větší, protože už musíme obcházet meší balvay, které jsme předtím přešl jedím krokem. S postupým zmešováím pravítka (zvyšováím přesost) se dozvídáme, že délka pobřeží v závslost a délce pravítka se dá popsat expoecálí fukcí, která má lmtu v ekoeču. K tomuto závěru bychom bezpochyb došl u skutečého pobřeží (ao, pohybujeme se v teoretckém světě, sám epovažuj ekoeča za v realtě exstující). Fraktál je ekoečě složtý, ačkolv jeho pops je koečý (většou rovce ebo soustava rovc č jako trasformačí matce, jak se dozvíme pozděj). Často je teto pops docela jedoduchý - Madelbrotova moža je defováa krátkou rovcí o třech ezámých: - rovce Složtost vyplívá ze zmíěé soběpodobost (self-smlarty), což je podle mého ázoru způsob, jakým se přírodě daří vytvářet fascující útvary jako stromy a kaprady, ačkolv k jejch popsu stačí jedá molekula (DNA). Systémy terovaých fukcí

3 Místo toho, abychom tedy strom popsoval jako možu bodů v prostoru, je sažší vytvořt koře z ěhož vyraší dvě až tř větve, přčemž se teto postup rašeí aplkuje a každou vzkuvší větev. Schopost fraktálí geometre dobře popsat přírodí útvary sprovala Barsleyho ke zpracováí dgtálího obrazu. Nejspíš s řekl, že když lze jedoduchým popsem dostat složtý obrazec, proč pro složté obrazce eajít ějakým algortmem jedoduchý pops (slovem jedoduchý se myslí formačě kratší pops, ež jaký je třeba a surová rastrová data)? Touto otázkou lze uvést tzv. verzí problém, který je dodes evyřeše. Nabízí se však částečá řešeí, která lze realzovat a běžém PC. Pro alezeí odpověd je ejdříve třeba s vymezt vhodou třídu fraktálů, kterým se bude vstupí obrázek aproxmovat. Fraktály lze a počítač geerovat ěkolka způsoby osvědčeým způsoby, z chž ejvýzamějším pro kompres obrazu jsou IFS (Iterated Fucto Systems - systémy terovaých fukcí). IFS je soubor parametrů, které defují afí (leárí) kotraktv trasformace a jejch moža pak určuje výsledý fraktál. Ve dvou větách jsem teď zavedl ěkolk pojmů, které je třeba přblížt. Nejlepší příklad as uvedl Yuval Fscher, který geerováí fraktálů teratví (postupou) metodou přroval ke kopírce. Dejme tomu, že máme specálí kopírku, která obrázek a papíře zmeší, zkopíruje a určtá místa (aplkuje trasformace) a čstý papír a te vytske. To, co a vyštěém papíře uvdíme je výsledek prví terace - prvího průchodu. Když papír vyšlý z kopírky dáme zovu kopírovat, dostaeme pak výsledek druhé terace. Po provedeí ekoečého možství terací koverguje obraz a papíře do výsledého atraktoru a pak se už eměí. Atraktor je kýžeý fraktál, kterého jsme chtěl dosáhout. V prax emáme čas dělat ekoečě moho kopí vlastě stačí tolk, abychom s už přbývajících detalů epovšml, což je překvapvě brzy (po ěkolka teracích), protože zobrazovací zařízeí a aše oč mají koečé rozlšeí. Serpského trojúhelík (prvích šest terací) Na obrázcích je prvích šest terací př kostruováí fraktálu "Serpského trojúhelík(y)". Jedé, čím je teto fraktál popsá, jsou tř trasformace. Celý obrázek se zmeší a polovčí velkost a jeho tř kope se umístí do pyramdy, tak jak je to ve druhé terac. Tetýž postup se aplkuje opakovaě. V prax by se opakoval tak dlouho, až by byly trojúhelíčky tak malé, že by je reprezetovaly smoté pxely. Potom už emá smysl provádět další terace, protože se obrázek eměí. Z hledska kopírky je fraktálová komprese přesý opak. Pro daý obrázek máme ajít možu trasformací tak, aby kopírka těmto formacem vygeerovala atraktor co ejpodobější orgálu. Obrázek zakódovaý fraktálovou kompresí ese pouze formac o trasformacích, takže vůbec ezáleží a tom, jaký úvodí obrázek zvolíme (tj. jak potštěý papír do kopírky dáme). V prvím příkladě, kdy je vstupím obrázkem trojúhelík to vypadá, že z ěj je postupě vytěsňujeme prostor. Může však být použt jakýkolv útvar:

4 Prvích šest terací Serpského trojúhelíka s pozměěým vstupím obrázkem Další příklad dokazuje, že aplkací stejých pravdel se dostáváme ke stejému atraktoru, ačkolv vstupí obrázek je lbovolý. V obou příkladech by byly zapotřebí ještě tak dvě ebo tř terace, abychom se dostal a obvyklé rozlšeí obrazovky. Obrázky by byly z tohoto hledska shodé. Aby bylo zajštěo, že po aplkac trasformací bude obrázek kovergovat do chtěého atraktoru (všechy body budou aplkací trasformací putovat do jedoho, tzv. pevého bodu), musí být trasformace kotraktví (zmešující). Jým slovy: Kterékolv dva body se po aplkac jedé trasformace přblíží k sobě. To zameá, že větší bloky budeme trasformovat pouze a meší, přčemž s můžeme dovolt také jejch přetočeí (rotato), zkoseí (skew) a samozřejmě přesu (traslato). V prvích příkladech byly použty tř kotraktví trasformace, vždy šlo pouze o zmešeí (scale trasform) a přesu. Pops IFS Pro každý bod př aplkac afí trasformace platí tato rovce: což je vlastě totéž, jako bychom apsal: x a b x e W y = + c d y f, x y ( ) ( ) W x = ax + by + e W y = cx + dy + f Takto vypadá IFS ve zjedodušeé formě (pro čerobílé obrázky). Můžeme se pokust o fraktálovou kompres obrázku "Serpského trojúhelík", tedy aopak se zadaým obrázkem zjstt IFS. Vycházíme-l z tzv. Kolážovacího teorému (Collage theorem), můžeme zjedodušeě říct, že pokud ajdeme trasformac W pro obrázek B tak, že B a W(B) jsou velm podobé, pak atraktor W bude také velm podobý obrázku B. Fraktálová komprese spočívá ve vhodém rozložeí obrázku a epřekrývající se bloky, tz. jejch sjedoceí je celý obrázek. Pokud je každý z těchto bloků podobý celému obrázku, pak kombace získaých trasformací je IFS orgálu. Jým slovy, zakódováí obrázku do IFS spočívá v alezeí kotraktvích afích trasformací w, w2,... w, takže původí obrázek B je sjedoceím podobrázků. Přímá metoda vyhledáí IFS je praktcky použtelá pouze jako příklad, protože její realzace vyžaduje právě oo alezeí optmálí "koláže", tedy způsobu jak rozložt obrázek tak, aby jeho část byly co ejvíce podobé jemu samotému. Pokud bychom dokázal verzí problém vyřešt, zjstl bychom u Serpského trojúhelíka, že se skládá ze tří meších trojúhelíků. Jsou to epřekrývající se bloky a jejch sjedoceí dává dohromady celý obrázek. Zároveň je každý malý trojúhelík trasformací obrázku celého (jým slovy: Serpského trojúhelík je útvar složeý ze tří Serpského trojúhelíků poskládaých do pyramdy). Pokud můžeme ajít tyto trasformace, IFS je souborem trasformací pro Serpského trojúhelík. Začeme vrcholem trojúhelíka. Záme obecou rovc afí trasformace, takže víme, že je třeba odhledat šest ezámých: a, b, c, d, e a f. Nejprve je potřeba ajít odpovídající body původího Serpského trojúhelíka a vrcholu tohoto trojúhelíka. Jakmle je to jasé z ásledujícího obrázku, víme že bod (x, y) je trasformová a (x2', y2') a obdobě pro zbylé dva body (obrázek vle Odvozeí IFS Serpského trojúhelíka

5 V pravém obrázku jsou souřadce relatví vůč prvímu bodu (x, y). K získáí potřebých hodot tedy vede těchto šest rovc: ax + by + e = x ' ax + by + e = x ' ax + by + e = x ' cx + dy + f = y ' cx + dy + f = y ' cx + dy + f = y ' Za ezámé x,y dosadíme souřadce výzamých bodů a dopočítáme výsledé trasformace: Chaos Game (Hra chaosu) x x 0.5 = x x 0 = x x = w y y w2 y y w3 y y Zda jsou získaé údaje o trasformacích skutečě korektí, s lze ověřt jedím ze způsobů geerováí IFS fraktálů. Je to takzvaá hra chaosu (chaos game), lze se také setkak s ázvem algortmus áhodé procházky. Jde o velm jedoduchý algortmus. Máme-l afích trasformací w, w2,..., w. Tyto trasformace mají přřazey pravděpodobost p, p2,..., p, přčemž platí: p + p p = p > 0 =, 2,..., Můžeme tedy přřadt každé trasformac stejou pravděpodobost / (optmálí rozložeí pravděpodobostí je pro ty které fraktály růzé). Takto vypadá algortmus hry chaosu:. Nechť x = 0; y = Vyber k, které bude jedím z čísel,2,...,. 3. Aplkuj trasfromac wk a bod (x, y) pro získáí ového bodu (xew, yew). 4. Nechť x = xew; y = yew. 5. Nakresl bod (x, y). 6. Pokud eí dosaže předvoleý počet terací, vrať se ke kroku 2.

6 Čím více terací je provedeo, tím lépe je fraktál prokresle. Tady se ale jedá o průchody typu: akresl pxel, kdežto v prax se terací myslí progresví prokresleí celého obrázku (aplkace trasformací). Aby byl fraktál trochu vdtelý, je potřeba velké možství bodů. V uvedeém algortmu volíme áhodé trasformace a ty pak používáme k "odpíchutí" starého bodu a ovou pozc, která se opět stává zdrojovou lokací. Tímto způsobem jsem vytvořl jedu z vartat Slpleewortovy kaprady (zámé fraktály mívají moho ázvů, takže se můžeme setkat třeba s ázvem: "fraktálí kaprada" ebo dokoce "Barsleyho tráva"): + IFS varata Spleewortovy kaprady a její IFS Pro vygeerováí bylo použto bodů, což eí problém realzovat a výkoém PC (a Itel Celerou.33 GHz trvalo geerováí je as 2 sekudy př použtí GDI+). Další způsob geerováí IFS fraktálů je za pomoc polygou. Teto postup ezaručuje, že bude vytvoře fraktál (z hledska zadaých parametrů), ale výsledky jsou mohdy zajímavé. Teto postup popsal Barsley v roce 988 pod ázvem Chaos Game. Potřeba jsou dva parametry: a r. Malé udává počet stra mohoúhelíka (kde eí řečeo, že teto polygo musí být rovostraý, ale měl by být vypuklý - v případě jemého porušeí vzke stejý fraktál, pouze je deformovaý) a r udává zlomek vzáleost mez "cestujícím bodem" a pevým body (vrcholy polygou). Když chceme apříklad vygeerovat Serpského trojúhelík, bude = 3 a r = /2. Rozestavíme tř body tak jak chceme mít trojúhelík postaveý a cestující bod dáme kamkolv dovtř; zatím pomyslého trojúhelíka. Iterace se realzuje tak, že zvolíme áhodě jede z pevých bodů a ový bod se akreslí ěkam a spojc cestujícího bodu a zvoleého pevého bodu. Kam, to určuje parametr r. V případě Serpského trojúhelíka to bude do středu této úsečky. Zleva doprava a shora dolů , , , a bodů Serpského trojúhelíka Aplkace a obrázky Jak bylo řečeo, fraktál Serpského trojúhelík se kostruuje pomocí tří trasformací: Afí trasformace pro geerováí fraktálu Serpského trojúhelík

7 Když geerujeme fraktál teratvím postupem, aplkujeme trasformac W a obrázek f. Prví terace je tedy W(f), druhá W(W(f)), třetí W(W(W(f))) a tak dále. U fraktálové komprese se trasformace provádí z větších bloků do meších - říkáme že větší bloky mapujeme: Trasformace aplkovaé a obrázek Větší bloky se mohou překrývat, meší kolv, což budeme probírat v dalším díle př mplemetac prvího (prmtvího) koderu. Pro každý meší blok se hledá co možá ejpodobější větší blok (aby se zajstla kotraktvta). Takové álezy soběpodobost mohou vypadat ásledově: Soběpodobé oblast v obrázku Lea Stejě jako př geerováí fraktálů můžeme použít opravdu jakýkolv vstupí obrázek a a te aplkovat terace. Výstupí kvalta obrázku závsí především a míře podobost mez malým a velkým bloky. Tím, že se kompresí metoda zakládá a fraktálech, dědí zakódovaé obrázky taky zajímavou vlastost, tedy lze je dekódovat a lbovolém rozlšeí bez ztráty detalu. Fraktálové obrázky mají stejě daleko od rastrové vektorové grafky ( když mají v podstatě blíže k vektorům), zavádí tedy úplě ové odvětví počítačové grafky s moha praktckým aplkacem. Prmtví kóder a báz PIFS Vlastost fraktálové komprmace Komprese obrazu pomocí IFS je výpočetě áročý úkol, aopak dekódováí je velm rychlé. Jde tedy o slě asymetrcký proces. Sad teto důvod eumožl větší rozšířeí této kompresí metody (je však třeba říc, že byly představey rychlé metody, apříklad sttut v aglckém Bathu představl tzv. BFT - Bath Fractal Trasform, zajímavé práce o aplkac FK v multmédích vypracoval Joh Komek a dobře optmalzovaý algortmus fugoval v programu Fractal Imager od Iterated Systems, pokoušející se prorazt před stadardem JPEG). Druhým důvodem by mohla být ejstá kvalta obrazu. Metodou fraktálové komprese je vhodější kódovat spíše přírodí sceére, ež teréry. Ačkolv je větša dgtálích fotografí právě z exteréru, dávají výrobc předost stadardu JPEG, který je v obou zmíěých ohledech flexblější. Žádý z exstujících grafckých formátů, kromě estadardzovaého formátu FIF (Fractal Image Format od Iterated Systems) a STN (STNG od Altamry, yí vlastěé spol. LzardTech) eposkytuje ezávslost a rozlšeí. JPEG obrázek můžeme dekódovat pouze ve stejém rozlšeí, v jakém byl kódová. Pokud ho zvětšíme, budě trpět pxelací (tj. pxely jako čtvercové body se roztáhou a skutečě vdtelé čtverce) ebo po vyhlazeí terpolací bude rozmazaý. Obrázek kódovaý pomocí jedé z metod fraktálové komprese je defová možou trasformací a je tedy podle defce fraktál. To ale zameá, že ho lze doekoeča zvětšovat a kdy eztratíme detaly. Ve skutečost fraktálová komprese skutečě přáší ezávslost a rozlšeí, ale detaly získaé př zvětšeí jsou umělé - dopočítaé. Podobě jako se u JPEG ztráta projevuje vlěím u hra a blokovtostí, trpí obrázky kódovaé fraktálovou kompresí růzým typem blokových artefaktů (podle použté metody) a vykreslováím eexstujících detalů. S použtím postprocessgových vyhlazovacích algortmů lze ovšem teto ešvar apravt a příosem jsou pak ostré, téměř spojté hray skoro

8 jako ve vektorovém obrázku. Tuto vlastost fraktálové komprese využla spol. Altamra ve svém poměrě dost drahém softwaru Geue Fractals pro zvětšováí obrázků. PIFS - Parttoed Iterated Fucto Systems Původí Barsleyho metoda hledáí IFS pro celý obrázek byla áročá a vyžadovala asstec operátora. Barsleyho žák, Araud Jacqu, však přšel s metodou sce o ěco slabší co do kompresího poměru, zato však zcela soběstačou. Její podtstatou je vyhledávat IFS trasformace pouze pro část obrázku. Všechy ásledující metody patří pod tuto obecější vrstvu, ať už dělí obrázek a stejé, ebo růzě velké a růzě tvarovaé bloky. Hledaá trasformace obrázku je tedy sjedoceím trasformací částí obrázku: = = ( ) W w f Nesporou skutečostí zůstává, že fraktálová komprese je ztrátová metoda, což lze pro daý obrázek f aproxmovaý trasformací W zapsat jako: ( ) ( ) f W f w f = V ejprmtvější verz fraktálového kóderu je obrázek rozděle a malé epřekrývající se bloky, tzv. rages (oblastí bloky), které mají většou velkost 8x8 pxelů. V ěkerých pracech se fraktálová komprese přpodobňuje k tzv. vektorové kvatzac, což je blízce příbuzá metoda; proto se rage bloky občas azývají vektory. Jejch sjedoceím je celý obrázek f. Kromě rage bloků pracuje fraktálí kóder ještě s předem defovaou možou doméových bloků, které by se měl (ale emusejí) více č méě překrývat. Doméové bloky (domas - doméy) jsou větší ež rage bloky, většou mají 6x6 pxelů, což dává kotraktví faktor 2 (protože doméové bloky jsou dvakrát větší). Fraktálí kóder hledá pro každý oblastí blok co možá ejblžší doméový blok. Slovem ejblžší se však emyslí číselá vzdáleost mez souřadcem rage a doma bloku, ale vzdáleost mez hodotam pxelů, tedy podobost obou bloků. Úkolem fraktálího kóderu je potom ajít možu trasformací, kterým amapujeme doméové bloky do oblastích. Kotraktví faktor musí být větší ež jeda, což je zajštěo dvojásobou velkostí domé oprot oblastím blokům. Každý bod obrázku má tedy krom své polohy daé souřadcem x,y také úroveň světlost, kterou můžeme terpretovat hodotou a ose z. Do původí IFS se tedy musí započítat třetí souřadce, takže v koečém efektu budou z-ovou souřadc každého bodu trasformovat dvě hodoty. Je to jasový posu (offset - o) a škálovací faktor (scale - s) pro úpravu kotrastu. = x a b 0 x e w y c d 0 y f = + z 0 0 s z o Teto pops je pouze symbolcký, exstuje řada lepších modelů, kterým se zde ebudeme zabývat. Pro porováí doméového a oblastího bloku musejí být oba bloky stejě velké, čehož se docílí zmešeím doméového bloku a polovu. Toto zmešeí lze mplemetovat dvěma jedoduchým způsoby. Jedím je podvzorkováí (subsamplg), kdy stačí číst je jedu hodotu a ostatích s evšímat. Tato metoda je rychlá, ale e tak kvaltí jako určeí půměru hodot čtyř pxelů pro získáí hodoty pxelu ve zmešeém bloku. Tato metoda se azývá průměrováí (averagg). Je o ěco pomalejší, protože je potřeba provádět sčítáí a děleí, avšak přáší kvaltější výsledky (řešeí problému s opakovaým průměrováím bude vyložeo př mplemetac prvího "vážého" fraktálího kóderu). Když je doméový blok zmešeý, porová se s oblastím blokem. Rozdílost těchto bloků určuje středí kvadratcká odchylka (RMSE - Root Mea Square Error). Hodoty pxelů v doméě jsou a, v oblastím bloku b. Pro zámé hodoty posuů jasu a kotrastu (získáy metodou ejmeších čtverců) dostaeme mmálí odchylku RMS. = ( ) 2 RMSE = sa + o b

9 a b a b s = = = = 2 2 = = a a o = b s a = = Platí potom vztah pro výpočet RMSE: RMSE = 2 2 b + s s a 2 ab + 2o a + o o 2 b = = = = = Může astat zvláští případ, kdy: 2 a a = 0 = = Teto případ je třeba odchytt, jak eí vztah pro jasový posu defová (děleí ulou). Hodoty s, o jsou v tomto případě: s = 0 2 o = = S těmto formacem jsme jž schop vypočítat odchylku RMS pro každý pár oblast-doméa. Prohlédáváí všech domé, tedy metoda těžké hrubé síly (heavy brute force) je pro běžé PC časově áročé (ěkdy se tato metoda azývá také trefě: Naví algortmus), proto se obvykle prohlédávají je ěkteré doméy. Jedou z možostí je astavt určtý práh chyby RMS. Program bude pro každý rage blok hledat tak dlouho, dokud earazí a doméu s dostatečě malou chybou RMS. Další možostí je prohledávat doméy ve sprále, ebo v rámc ějaké mřížky. Prví testovací algortmy jsou postavey tak, že zkoušejí určtý počet áhodých domé. Z daého počtu pokusů je vybrá te, který přesl ejmeší chybu RMS. Pro lepší výsledky hledáí se a doméové bloky zmešeé a velkost oblastích bloků aplkují růzé trasformace sestávající s překlápěí a rotací. Obvykle se počítá s osm trasformacem př každém porováí: : detta (žádá trasformace) 2: otočeí kolem středí vertkálí osy bloku 3: otočeí kolem středí horzotálí osy bloku 4: otočeí kolem prví dagoály bloku 5: otočeí kolem druhé dagoály bloku 6: otočeí kolem středu bloku o 90 prot směru hodových ručček 7: otočeí kolem středu bloku o 80 prot směru hodových ručček 8: otočeí kolem středu bloku o 90 po směru hodových ručček Dekódováí Narozdíl od kódováí je aproxmace původího obrázku z trasformací velm rychlé. Pro každý oblastí blok je alezea vhodá trasformace, takže př velkost obrázku 256x256 pxelů a velkost oblastího bloku 8x8 pxelů máme celkem 024 trasformací. Ty jsou popsáy souřadcem doméy a dvěma hodotam pro barevé trasformace. Jeda terace se provádí v rámc jedé btmapy, přčemž ezáleží a tom, jaká data už btmapa obsahuje. Obecě ejrychlejší kovergece se dosahuje použtím čstě šedé btmapy (z hledska metody ejmeších čtverců má šedý pxel ejmeší vzdáleost od všech ostatích barev pxelů), také je možé použít třeba zvětšeu áhledového obrázku, pokud je dostupý. Procházíme oblastí bloky stejě jako př kódováí, ale záme už příslušé trasformace, takže stačí ačíst doméový blok a zámých souřadcích, zmešt ho a b

10 aplkovat barevé trasformace. To se dělá tak, že hodotu každého pxelu (teztu) vyásobíme škálovacím faktorem s a přčteme jasový posu o. Exstují rychlejší metody, ež mapovat jedotlvé doméové bloky do oblastích, které budou uvedey pozděj, pro jedoduchou mplemetac stačí použít toto schéma. Př každé terac se zvýší rozlšeí dekódovaého obrázku. Po prvím průchodu by měl mít podle aší představy ejdetalější bloky velkost bloků oblastích, tedy 8x8 pxelů, ovšem doméové bloky se překrývají, takže př dekódováí obrázku budou v žších částech obrázku detalější oblast ež ve vyšších částech (eplatí to, pokud používáme avíc jede pomocý obrázek). Zmešeý doméový blok se stae součástí jého doméového bloku, který se př jé trasformac zase mapuje, čímž se zvyšuje detal. Nejméě detalí bloky v prvím řádku oblastích bloků mají velkost právě 8x8, př druhém průchodu můžeme počítat s velkostí 4x4 a tak dále, takže pro dekódováí obrázku a stejém rozlšeí, v jakém byl kódová, je ovykle třeba 4 až 5 terací, ovšem vhodější je provádět průchody tak dlouho, až ebude zazameáa v obrázku žádá změa. Dekódováí a vyšším ebo žším rozlšeí zameá jý počet potřebých průchodů; čím vyšší rozlšeí, tím více. Pokud chceme obrázek dekódovat a dvojásobém rozlšeí. Musíme rověž zdvojásobt velkost oblastích a doméových bloků. Kotraktví faktor tedy zůstavá kostatí. Výsledky Orgálí obrázek (Lea), velkost 256x256 pxelů Náhodá volba doméy př 28 pokusech, prví 4 terace

11 Náhodé volby doméy př 000 pokusech, prví 4 terace Lehká hrubá síla (doméové bloky se epřekrývají => 256 porováí pro každý obl. blok), prvích 5 terací Fraktálí artefakty Protože obrázek zakódovaý fraktálově a je sám podle defce fraktál, lze ho stejě jako jé fraktály zvětšovat doekoeča bez ztráty detalu. To je a fraktálovém kódováí velm zajímavá vlastost, ale detaly, které uvdíme př zvětšeí ejsou rozhodě těm detaly, které bychom hledal. Pokud stotsíckrát zvětšíme tvář Ley a testovacím obrázku, euvdíme atomy jejího oblčeje, ale fraktálí, jak také dopočítaé detaly. Pro příklad lze použít malý obrázek o velkost 6x6 pxelů, který zvětšíme 2x (32x32 bodů), 4x (64x64), 8x (28x28) a 6x (256x256). Velkost oblastích bloků je 2x2, doméové bloky mají velkost 4x4. Po získáí trasformačích formací můžeme obrázek dekódovat a růzých rozlšeích, ale ačkolv se vždy prokreslí do detalů, ejsou tyto detaly přílš příosé.

12 fraktálí zoom dodávající fktví detaly Teto educh lze však celkem úspěšě vyhladt pomocí postprocessgových metod. Větša zlomů a dskotut, a které je oko velm ctlvé, se projevuje a rozhraích jedotlvých rage bloků, proto se vyhlazováí realzuje metodou vážeého průměru (weghted average), ke které se ještě vrátím. Tím vyhladíme ejepříjemější fraktálí artefakty a obrázek s přtom může zachovat relatvě ostré hray, které by př použtí jých fltrů pro zvětšováí zůstaly rozmazaé. Můžeme se podívat a srováí růzých fltrů pro převzorkováí (resamplg) obrázku do jého rozlšeí. prosté zvětšeí (Box fltr), zvětšeí s kubckou terpolací ShortCut PhotoZoom.095, Geue Fractals PrtPro 3.5, PIFS Meší obrázek obsahuje méě formace a pokud ho zvětšíme, musíme pro zostřeí ějakou formac dodat. Př jedoduché terpolac považujeme pxely za body a vzklé mezery mez m př zvětšeí prokreslíme barevým přechody. Tím se ovšem pořád ezbavíme "čtveratého" dojmu. Jý fltr zase obrázek dostatečě vyhladí, aby ebyly vdět žádé čtverečky, ale výsledkem je celkem rozostřeý obraz. Jak je vdět, pěkých výsledků bylo dosažeo bkubckým fltrem. Předposledí ukázka je vytvořea za pomoc komerčího softwaru Geue Fractals PrtPro (pro ukázku verze 3.5 Tral). Spol. LzardTech vyvýjející teto software abízí skvělé obrázky př zvětšeí a 500% oprot orgálu. Vhodý zvětšovací algortmus by tedy měl umět dopočítat detaly v podobě ostrých přechodů a textur, přtom by však měl být schopý odfltrovat ežádoucí artefakty. Geue Fractals teto problém řeší vyhlazeím fraktálu přes waveletovou (vlkovou) trasformac. Posledí obrázek je upraveý výsledek Parttoed IFS algormtu. Úprava spočívala v rozmazáí obrázku geerovaého trasformacem pomocí gaussovského rozostřeí s poloměrem 4 (oprot waveletům prmtví, ale lustratví způsob). Teto obrázek se ještě prolul s bkubcky zvětšeou maturou v poměru 7:3. Pokročlý kóder a báz QPIFS (Quadtree Parttoed Iterated Fucto Systems) Výhodou tohoto algortmu oprot "aví" metodě je vyšší rychlost a efektvta. Zrychleí je docíleo pomocí optmalzací, které by bylo možé aplkovat a původí metodu pracující ve stejě velkých (uform) blocích, avšak př žším prahu tolerace má tato metoda jasě avrch. Některé část obrázku (většou homogeí oblast ebo delší barevé přechody) je vhodé uzavřít do větších bloků a takto ušetřeé místo využít a detalí oblast, které budou v meších blocích. Vysvětleí, proč malé bloky přášejí vyšší přesost může být velm jedoduché. Je mohem sazší ajít doméový blok 4x4 pxely velký, který je dostatečě podobý oblastímu bloku o velkost 2x2 pxely, ež ajít takovou shodu pro dva velké bloky (více pxelů - meší pravděpodobost shody).

13 Děleí obrázku kvadratovým stromem V kvadratovém stromu mohou z každého uzlu vycházet čtyř hray. Kořeem tohoto stromu je obrázek sám a větveí se terpretuje děleím částí obrázku a čtyř stejé část (kvadraty). U stromu s můžeme avolt apříklad mmálí a maxmálí hloubku prohledáváí, resp. mmálí a maxmálí velkost rage bloků. Začíá se u kořee stromu, tedy u celého obrázku, který postupě dělíme, až se dostaeme a maxmálí povoleou velkost bloku (resp. mmálí hloubku stromu). Celý obrázek emůžeme považovat za oblastí blok, protože k ěmu eexstuje žádý takový doméový blok, aby výsledé zobrazeí bylo kotraktví. Jým slovy je celý obrázek ta ejvětší dostupá doméa. Mmálě je tedy potřeba provést alespoň jedo děleí. Každý ze čtyř vzklých bloků podrobíme porováváí s doméam. V těch blocích, kde jsme eašl žádou doméu s odchylkou splňující zadaý toleračí práh (RMS tolerace), se provede rozděleí a algortmus může pokračovat rekurzvě. Klasfkace domé Podle pravdel z klasfkace domé můžeme každý doméový blok zařadt do jedé ze tří základích tříd podle uspořádáí světlost kvadratů a jedé z 24 podtříd podle varace. Exstují jé typy klasfkačích schémat, kterým se však ebudeme zabývat. Kvůl optmalzac výpočtu je potřeba zavést klasfkac doméových bloků, které se budou pro te který oblastí blok prohledávat. Je totž důležté ajít shody pro ejvětší doméové bloky. Yuval Fsher ve své prác rozděluje doméové khovy a tř skupy: D, D2 a D3 (pro kódováí se používá jeda z ch). Prví má zastoupeí všech typů domé přblžě rove. Druhá doméová khova obsahuje spíše více velkých domé a méě meších. A koečě třetí khova má více meších, a méě větších domé. Čtvercové doméové bloky jsou umístěy tak, že levý horí roh každé doméy je umístě a mřížce defovaé paremtrem l (lattce), který určuje rozteč mřížky pro jedotlvé skupy domé: D - má mřížku s pevou roztečí, která je rova l D2 - má mřížku, jejíž rozteč je rova velkost doméy děleé l. Proto je zde více meších domé ež větších D3 - má mřížku určeou jako výše, je s opačým vztahem rozteč-velkost. Největší doméy mají rozteč mřížky rovu velkost ejmeší doméy děleé l a aopak. Nejáročější částí algortmu je porováváí oblastích a doméových bloků. Během kódováí klasfkujeme oblastí blok a te porováváme pouze s doméam ve stejé (ebo podobé) skupě. To vede ke začé redukc utých srováí, rověž co se týče započítáí rotací a překlápěí doméového bloku, jak bude vysvětleo íže. V koečém efektu se počítají pouze dvě upořádáí pxelů doméy. Čtvercový podobrázek je ejprve rozděle a čtyř část v pořadí: levá horí, pravá horí, levá spodí, pravá spodí. Pro každý kvadrat spočítáme hodoty úměré průměru (A - average) a rozdílu (V - varace). Jestlže hodoty pxelů v kvadratu jsou r, r,..., r, 2 pak průměr a rozdíl vypočítáme jako A = rj j= ( ) 2 2 V = r A j j= Čtvercový pod-obrázek je vždy možé oretovat tak, aby světlost kvadratů byla rozložea jedé z těchto tří pozc:

14 Světlost kvadratu zameá průměrou hodotu pxelů v ěm. Zařazeí do základí třídy potom odvodíme logckým vztahy: Hlaví třída : A A A A Hlaví třída 2: A A A A Hlaví třída 3: A A A A Každá z těchto 3 hlavích tříd sestává z 24 podtříd, které zameají 24 uspořádáí pro V: Zařazeí čtvercového podobrázku do podtřídy podle varace vyplye ze vztahů: V V V V { } =, 2,3, 4 = N = 4! = 24 Celkem tedy máme 3x24 = 72 tříd. Když dojde k tomu, že hodota s je záporá, uspořádáí tříd výše se měí. Tedy, každá doméa je klasfkováa ve dvou oretacích, jeda pro kladé s a druhá pro záporé s. Z hledska leárí regrese metodou ejmeších čtverců je odvozeí hodot s, o vlastě odvozeím koefcetů leárí fukce popsující přímku, která ejlépe prolíá (ftuje) světlost pxelů v bloku. Jelkož jsou tyto hodoty pxelů ezáporé (0-255), většou získáme rověž kladé parametry s, o. Může však astat případ, kdy jsou hodoty pxelů uspořádáy sestupě, takže škálovací faktor s bude záporý (offset o musí být kladý, aby alespoň část přímky ležela ad osou) a změí se sklo přímky. V ašem algortmu se potom porováí realzuje vertováím světlost kvadratů (ejsvětlejší se stae ejtmavším a obdobě). Vytvořeí pomocých btmap Další "trk", který vede ke zásobeí rychlost kódováí je vytvořeí čtyř pomocých btmap, které dovolí přeskočt opakovaé průměrováí hodot pxelů. Jedá se o krok, kdy zmešujeme doméu tak, aby velkostě odpovídala oblastímu bloku pro porováí. Exstují dva efektví způsoby, jak zmešt doméový blok v poměru :2. Prví je rychlý, ale méě kvaltí, azývá se podvzorkováí (subsamplg). Na každou čtveřc pxelů doméového bloku přpade jede pxel oblastího bloku. Př podvzorkováí z této čtveřce vybereme právě jede pxel a ostatích s evšímáme. Teto jede pxel je ozače za bod ve zmešeé doméě. Podvzorkováí je však ejekvaltější způsob zmešováí, protože př polovčím zmešeí bere ohled je a :4 obrázku, může tedy vyechat důležté detaly. Na lustrac jsou vzaty z orgálu (obrázek vlevo) čtverečky velkost 2x2 pxely (čtveřce), přčemž je každý ze čtyř pxelů přřaze jé zmešeé btmapě. Všechy tyto čtyř btmapy jsou zmešey stejou metodou (podvzorkováí), je s tím rozdílem, že byl použt jý pxel a jejch sestaveí z původí čtveřce.

15 Rozdíly ve výřezech z těchto btmap v detalu jsou a úrov ztráty, která vzke př použtí podvzorkováí. Druhá a kvaltější metoda pro zmešováí je průměrováí (averagg). U fraktálového kódováí je porováváí oblastích a doméových bloků ejopakovaější část algortmu, př které je třeba doméy eustále zmešovat a úroveň oblastích bloků. U metody podvzorkováí je výhodé, že lze data číst přímo z původího obrázku, avšak za ceu určté ztráty. Pokud chceme dosáhout vyšší kvalty kódováí, je už procesor odsouze počítat průměry hodot každé čtveřce pxelů, což se časově velm protáhe. Protože se však oblastí bloky porovávají dokola se stejým doméam (platí to samozřejmě v případě klasfkace domé, je je jch a každý oblastí blok o ěco méě), průměrují se opakovaě stejé čtveřce pxelů, což je plýtváí výkoem. Pro kódovaý obrázek přtom stačí vytvořt čtyř pomocé btmapy, každá o polovčí velkost, přčemž bude možé průměré hodoty číst přímo z ch. Tím dosáheme praktcky stejého výkou, jako u podvzorkováí, př zvýšeí kvalty kódováí. Zprvu se může zdát, že stačí průměrováím zmešt pouze orgálí btmapu a z í vše vyčíst. Pokud bychom se však tohoto úkou dopustl, zase bychom přšl o 3/4 potřebých formací obrázku, jako př podvzorkováí. Čtvercové bloky o velkost 2x2 pxely z orgálího, které zmešujeme a jede pxel, se epřekrývají, takže jejch souřadce jsou [0,0], [2,0], [4,0], [6, 24] Pokud má doméový blok sudé souřadce bude každý bod její zmešey obsaže v pomocé btmapě. Pokud bude mít doméový blok lché souřadce, bude potřeba udělat průměr čtverečku, který má v orgálí btmapě souřadce apř. [, ] a te už v pomocé zmešeé btmapě započítá eí. Ve skutečost máme celkem čtyř pomocé btmapy protože počítáme se čtyřm kombacem souřadc (sudá - sudá, lchá - sudá, sudá - lchá, lchá - lchá). Opět se může askytou myšleka, proč tak epoužít je jedu pomocou btmapu, která by obsahovala průměry všech čtverečků - sudých lchých. Tato btmapa by měla oba rozměry o jeda meší (pxely pravého a spodího okraje eí s čím zprůměrovat, avšak pro kóder ejsou samy o sobě zapotřebí) a skutečě c ebráí použít je jedu. V kódovacím algortmu bychom však musel dopočítávat souřadce toho kterého bodu, podle sudost ebo lchost souřadc doméy. To s sebou samozřejmě přáší vyšší výpočetí áročost. Podle souřadc doméy tedy vybereme jedu ze čtyř pomocých btmap a pxely zmešey vyčeteme bez problémů odsud. Níže vdíme stejý detal z každé btmapy. Důležté je, že hodota každého pxelu je "pozameáa" hodotam pxelů z okolích tří pozc, takže jsou rozdíly postupé, kolv árazové. x Program a jeho parametry Původí programy Ec a Dec se ovládaly z příkazového řádku, což je pro testováí trochu epohodlé. Vytvořl jsem proto jedoduché GUI, kde astavíte parametry a spustíte kódováí. To probíhá kvůl vysoké výpočetí áročost jako separátí vláko a pozadí a v jeho průběhu vdí užvatel děleí obrázku stejě jako procetuálí stav, takže s sado udělá obrázek o áročost a zbývajícím čase. Přesto emůžeme očekávat, že když bude

16 prvích 20% trvat 2 sekudy, zbytek potrvá 5x tolk. Čas kódováí se edá přesě odhadout a závsí a astaveých parametrech a místí komplextě obrázku. V levé část spodího paelu astavujeme parametry komprese. Nepsal jsem už dummy proofg, tedy hezky česky: blbuvzdorost, proto pozor a zadáváí esmyslých parametrů. Nejdůležtějším parametrem je "RMS tolerace", která určuje práh pro porováváí: čím vyšší hodota, tím žší kvalta a vyšší komprese. Další koloky ozačeé "Mmum tree depth" a "Maxmum tree depth" začí, v jakém tervalu se má koder ořt do stromu. Mmálí hloubka může abývat hodot -8, stejětak maxmálí hloubka - avšak musí platt: maxmum > mmum. Hloubka zameá oblastí blok o velkost 256x256, 2 potom 28x28 a tak dále až do hloubky 8 (bloky 2x2). Meší už emají smysl, protože by fraktálová terpretace překračovala velkost původího obrázku, byla by porušea kotraktvta a tak by edošlo ke kompres (ba aopak). Tř typy doméových khove (0,, 2) jsem vysvětll výše, doporučuj použít typ 0, protože vyvažuje velké a malé bloky. Parametr rozteče mřížky (lattce spacg) se dává, 2 ebo 4, jak emá smysl dávat více, pro vyšší kvaltu je lepší spíše zvýšt hodotu toleračího prahu. Údaje maxmálí (absolutí) hodoty scalg factoru (škálovacího faktoru, krerý může být záporý) stejě tak počet přděleých btů pro teto faktor a offset (jasový posu) mají výzam př kvatfkac údajů a kokrétí počet btů a případý výstup do souboru. Tyto hodoty byly zjštěy po moha pokusech jako optmálí. Rozvovací abídka s prohledáváím tříd umožňuje procházet př srováích rage-doma doméy jých tříd, ež do jakých patří oblastí blok. Př volbě "fullclass search" prohledáme tř další třídy (odvozeé podle světlost kvadratů), př "subclass search" potom 24 tříd (odvozeých podle varace). Můžeme zvolt procházeí všech tříd (both), ale potom ztrácí klasfkace a výzamu a algortmus je velm pomalý (stejě jako př volbě evhodé doméové khovy). Dvě zaškrtávací políčka umožňují astavt možost akceptováí záporých škálovacích faktorů (mírě pomalejší algortmus - vyšší kvalta) a průběžého zobrazováí děleí obrázku. Po dokočeí kódováí (které spustíte tlačítkem Ecode a přerušíte tlačítkem Stop) můžete provést terac kleputím a tlačítko Iterate. Po ěkolka teracích zkoverguje obrázek vpravo do výsledého atraktoru, který se podle staoveých parametrů více č méě podobá orgálu. Tlačítkem Clear attractor vymažete pravý obrázek, avšak trasformačí data zůstávájí v pamět, proto můžete testovat terace a jém cálím obrázku (kotextové meu vám po kleputí pravým tlačítkem a te který obrázek abíde ěkolk možostí, k dspozc jsou 2 orgálí obrázky a 4 jako výchozí pro aplkac dekomprese). Tlačítko Set defaults astaví všechy parametry a výchozí hodoty. Tlačítko Postprocess provádí vyhlazeí atraktoru od epěkých blokových artefaktů, tlačítkem Save uložíte zkomprmovaý obrázek a tlačítkem Zoom přepíáte rozlšeí (de facto velkost) rekostruovaého obrázku podle faktorů, 2, 3, 4 a tak dokola. Pokud program pracuje a pozadí, ovládací prvky jsou vysvíceé, tak pozáte, že pracuje. Výstup původího programu je do souboru, moje modfkace ukládá trasformace do stromové struktury z tříd (class místo datového typu struct jsem epoužl je tak z plezíru, kód se struct evím proč ebylo možé ačíst v samostaté assembly pro fraktálový kodek, a kterém pracuj). Dekodér se achází ve stejém souboru, jako kóder. Te převádí stromovou strukturu do jedorozměrého pole (opět ArrayLst) a trasformace tak jak jsou v pol aplkuje a dekódovaý obrázek (dekódováí tedy emusí být rekurzví). "Zploštěí" (flatte) stromové struktury se provádí po každé terac pouze z ttulu testovacího programu, jak stačí metodu FlatteTrasforms() provést je jedou a metodu ApplyTrasforms() potom tolkrát, kolk terací s přejeme. Výsledky Výhodou použtí zmíěých optmalzací (ty, které ebyly zmíěy, hovoří samy za sebe v testovacím programu) je možé kódovat větší obrázky, ačkolv se testovací program omezuje a velkost 52x52 bodů. Orgálí obrázek Lea (52x52 pxelů) a jeho rozděleí př tolerac e = 4.0

17 dekódováí obrázku Lea (shora dolů) po, 2, 3, 4, 5 a 0 teracích, původí obrázek byla čerá plocha

18 rozděleí obrázku Lea př tolerac e = 8.0

19 Dekódováí obrázku Lea Fraktálí zoom S optmalzovaou metodou fraktálové komprese můžeme dosáhout kvaltí rekostrukce obrázku a čtyřásobém rozlšeí, kdy př prostém zvětšeí dojde k markatí pxelac a př jé ež fraktálí terpolac zase k rozostřeí obrázku. Další zvětšováí už odhalí zmíěé fraktálí artefakty, ovšem můžeme s pomoc proložeím obrázku terpolovaou zvětšeou (ejlepší výsledky pro zvětšováí má bkubcký fltr, pro zmešováí fltr Laczos). Proložeí dvou obrázků, tedy průměrováí jejch odpovídajících pxelů (tetokrát stačí prostý artmetcký průměr) je lepší ež rozmazáí čstě fraktálí zvětšey, protože se v decetější formě zachovají chtěé ostré parte. V ukázkách je použto čstě fraktálí dekódováí. dekódováí část obrázku Lea př růzém rozlšeí, zleva: 64x64, 28x28, 256x256 pxelů

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

ztrátová odstraňuje zbytečné informace z obrazu. Různé druhy ztrátových kompresních metod se liší podle druhu odstraněných zbytečných informací.

ztrátová odstraňuje zbytečné informace z obrazu. Různé druhy ztrátových kompresních metod se liší podle druhu odstraněných zbytečných informací. Základní rozdělení Obecně každá ztrátová kompresní metoda je založena na odstraňování nadbytečných dat. Rozdělení kompresních metod obrazu: neztrátová -např. hledá delší sekvence stejných prvků nebo statisticky

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC Jří HŘEBÍČEK, Mchal HEJČ, Jaa SOUKOPOVÁ ECO-Maagemet,

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Prezentace maturitního projektu na předmět informatika Software pro tvorbu papírových modelů

Prezentace maturitního projektu na předmět informatika Software pro tvorbu papírových modelů Prezetace maturitího projektu a předmět iformatika Software pro tvorbu papírových modelů Adam Domiec 22. květa 200 Abstrakt Teto dokumet je o počítačovém programu pro ávrh papírových modelů. Popisuje jej

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

Více

4. Strojové učení. 4.1 Základní pojmy

4. Strojové učení. 4.1 Základní pojmy 4. Stroové učeí 4. Základí pomy Důležtou vlastostí žvých orgasmů e schopost přzpůsobovat se měícím se podmíkám (adaptovat se), evetuálě se učt a základě vlastích zkušeostí. Schopost učt se bývá ěkdy dokoce

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

4. KRUHOVÁ KONVOLUCE, RYCHLÁ FOURIEROVA TRANSFORMACE (FFT) A SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA SIGNÁLŮ

4. KRUHOVÁ KONVOLUCE, RYCHLÁ FOURIEROVA TRANSFORMACE (FFT) A SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA SIGNÁLŮ 4. KRUHOVÁ KOVOLUCE, RYCHLÁ FOURIEROVA TRASFORMACE FFT A SEKTRÁLÍ AALÝZA SIGÁLŮ Kruová cylcá ovoluce Ryclá Fourerova trasformace Aplace DFT a aalogové sgály, frevečí aalýza perodcýc aalogovýc sgálů s využtím

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

Instalační manuál inels Home Control

Instalační manuál inels Home Control OBSAH 1) Úvod... 3 2) Kofigurace chytré krabičky... 3 3) Nahráí aplikace do TV... 3 4) Nastaveí IP adresy do TV... 4 5) Nastaveí chytré krabičky pomocí SmartTV aplikace... 4 5.1) Půdorys (floorpla)...

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST Studjí obor (kód a ázev): -4-M/00 Strojíreství - - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště,

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

FLUORIMETRIE. Jan Fähnrich. Obecné základy

FLUORIMETRIE. Jan Fähnrich. Obecné základy FLUORIMETRIE Ja Fährch Obecé základ Fluormetre je aaltcká metoda vužívající schopost ěkterých látek vsílat (emtovat) po předchozím převedeí do vzbuzeého (exctovaého) stavu fluorescečí zářeí v ultrafalové

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Rozhodovací stromy. Úloha klasifikace objektů do tříd. Top down induction of decision trees (TDIDT) - metoda divide and conquer (rozděl a panuj)

Rozhodovací stromy. Úloha klasifikace objektů do tříd. Top down induction of decision trees (TDIDT) - metoda divide and conquer (rozděl a panuj) Rozhodovací stromy Úloha klasifikace objektů do tříd. Top dow iductio of decisio trees (TDIDT) - metoda divide ad coquer (rozděl a pauj) metoda specializace v prostoru hypotéz stromů (postup shora dolů,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

VŠB Technická univerzita Ostrava DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK

VŠB Technická univerzita Ostrava DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK VŠB Techcká uverzta Ostrava Fakulta elektrotechky a formatky DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK Dzertačí práce Studjí obor: Školtel: Doktoradka: Výpočetí a aplkovaá matematka

Více

7.Vybrané aplikace optimalizačních modelů

7.Vybrané aplikace optimalizačních modelů 7.Vybraé aplkace optmalzačích modelů V této kaptole se budeme věovat dvěma typům úloh, pro echž řešeí se využívaí optmalzačí prcpy. Jedá se o modely aalýzy obalu dat, které se využívaí pro hodoceí relatví

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více