Téma 2 Přímková a rovinná soustava sil

Transkript

1 Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma 2 Přímková a rová soustava sl Přímková soustava sl ový svazek sl Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Obecá rová soustava sl ová soustava rovoběžých sl Katedra stavebí mechaky Fakulta stavebí, VŠB - Techcká uverzta Ostrava

2 hmotý bod ax Soustavy sl a az F 3 F F 2 m o o 2 dokoale tuhá deska vější vazby vtří vazby b bz Téma č. Na osou kostrukc působí zvečí: a) zatížeí (apř. ápravové tlaky vozdel, skladovaé zboží, tíha stavebí kostrukce) - vstupí údaj pro řešeí kostrukce b) reakce ve vějších vazbách - předmět výpočtu Vější síly - zatížeí (prmárí) a reakce ve vějších vazbách (sekudárí), tvoří soustavu sl Řešeí soustav sl (tzv.geometre sl) - téma č.2 (přímkové a rové) a č. (prostorové). Některé obecé základí pojmy stavebí statky 2 / 49

3 Přímková soustava sl Dvě ebo více sl působí a tuhé těleso v témž paprsku. Síla v přímkové úloze určea pouze 2 údaj ( x a, P kladápř shodě smyslu síly se smyslem osy). Kluzé vektory ezáleží a polohách působšť jedotlvých sl, př výpočtu reakcí Vázaé vektory pevě určeá působště jedotlvých sl, př výpočtu vtřích sl Grafcké zázorěí a pops sl (a) (b) (c) Přímková soustav sl Zázorěí a pops přímkové soustavy sl Obr. 2.. / str. 9 3 / 49

4 Přímková soustava sl Úloha : Staoveí výsledce soustavy sl ( resultata ) Výsledce - síla, která má a těleso stejý úček jako celá soustava sl, s daou soustavou je ekvvaletí. U přímkové soustavy leží a stejém paprsku soustavy a je rova: P Zaméko výsledce udává smysl, elze určt působště kluzý vektor. Například : +x P P 2 P 3 P P 2 + P 3 Σ P Přímková soustav sl 4 / 49

5 Přímková soustava sl Úloha 2: Zjštěí, zda soustava je č eí v rovováze ovovážá soustava sl - výsledce je ulová. Nerovovážou soustavu sl lze uvést do rovováhy slou velkost, ale opačého smyslu. Například : P P 2 P 3 P P 2 + P 3 Σ P +x P 4 P P 2 P 3 P 4 +x P P 2 + P 3 P 4 0 Přímková soustav sl 5 / 49

6 ový svazek sl Dvě ebo více sl působí v rově se stejým působštěm v růzých směrech. Axom o rovoběžíku sl: Výsledce dvou sl o společém působšt je jedozačě určea úhlopříčkou rovoběžíku sl (a). Kosová věta: druhá moca stray trojúhelíka je rova součtu druhých moc zbývajících stra zmešeému o dvojásobý souč těchto stra a kosu úhlu jm sevřeého. P 2 P 2 + P + P P. P.cos P. P.cosϕ 2 2 o ( ϕ) Sová věta: poměr dvou stra trojúhelíka se rová poměru sů protlehlých úhlů. P2 P sϕ. sϕ sϕ2. sϕ (a) (b) Často případ (b): cos ϕ P s ϕ + P P P2 cos ϕ2 P 2 s ϕ2 P Skládáí sl ovoběžík sl Obr / str. 0 ový svazek sl 6 / 49

7 ový svazek sl Síla u rového svazku sl je určea pouze 2 údaj (působště je dáo): a) prostředctvím složek P z, P x velkost, směr smysl síly z rovoběžíku sl P P + 2 x P 2 z Px s γ cosα P cosγ sα Pz P α a γ směrové úhly platí: o 2 2 α + γ 90 cos α + cos γ Pro výpočet stačí... γ b) kladou velkostí P a směrovým úhlem γ P x P.s γ Pz P.cos γ ozklad síly a osové složky ový svazek sl Zadáí síly rového svazku Obr / str. 7 / 49

8 Výsledce rového svazku sl Postup určeí výsledce rového svazku sl: P 2x P Například : +x a) určt složky P z, P x každé ze sl P P x P.s γ Pz P.cos b) vypočítat výsledce obou přímkových soustav sl v souřadcových osách γ P 2z P 2 +z P 2 x P x z P z x P P 2x +x c) určt velkost a směrový úhel výsledce rového svazku sl x z s γ x cosγ z z P 2z +z ový svazek sl 8 / 49

9 ovováha rového svazku sl Podmíky rovováhy rového svazku sl 0 x P x 0 z P z 0 Uvedeí rového svazku sl do rovováhy Například : P 3 P +x P 2 P 2 +z ový svazek sl 9 / 49

10 Řešeí: P Příklad 2. P.cosγ x P.s γ z P x P x z P z x z s γ x cosγ y Zadáí a výsledek příkladu 2. Obr / str. ový svazek sl 0 / 49

11 Výsledek: Příklad 2. Tabulkové řešeí P [kn] γ [ o ] cos γ s γ P x [kn] P z [kn] ,6428 0,7660 7,660 6, ,5000 0,8660 5,962-30, ,7660-0,6428-2,856-5,32 Σ 46,766-38, ( 46,766) + ( 38,893) 60,826kN 46,766 s γ 0, ,826 cosγ 38,893 60,826 0,6394 γ o 29,75 ový svazek sl / 49

12 Příklad 2.2 Zadáí Vypočítat P, P 2 tak, aby rový svazek sl byl v rovováze Řešeí: Dvě ezámé P, P 2 Dvě rovce podmíky rovováhy rového svazku sl x P x z P z 0 0 Pozámka: záporý výsledek smysl vypočítaé síly je opačý ež byl předpokládá př sestavováí podmíek rovováhy ový svazek sl Zadáí příkladu 2.2 Obr / str. 2 2 / 49

13 Grafcké řešeí rového svazku P 3 Cremoův obrazec Lug Cremoa ( ) P 4 P 2 P 2 P e P P +x P 3 P e P 4 +z Například : ový svazek sl 3 / 49

14 Využtí pozatků o rovém svazku Příhradová kostrukce, Pavlo V z r.2000, Brěské výstavště ový svazek sl 4 / 49

15 Využtí pozatků o rovém svazku Příhradová kostrukce, Pavlo V z r.2000, Brěské výstavště ový svazek sl 5 / 49

16 Využtí pozatků o rovém svazku Příhradová kostrukce, Pavlo V z r.2000, Brěské výstavště ový svazek sl 6 / 49

17 Statcký momet síly k bodu Mometový střed ameo síly - vzdáleost paprsku síly od mometového středu kolmce P Paprsek síly s +x +z p Absolutí hodota statckého mometu M s síly P k bodu s : ozměr Nm (knm) M s P. p Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově 7 / 49

18 Statcký momet síly k bodu Platí: a) statcký momet k s se eměí, posouvá-l se síla po svém paprsku b) posouvá-l se s po přímce rovoběžé s paprskem síly, statcký momet síly se k ěmu eměí (a) (b) (c) Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Statcký momet síly k bodu Obr / str. 3 8 / 49

19 Statcký momet síly k bodu Smysl otáčeí statckého mometu po ebo prot smyslu chodu hodových ručček Kladý smysl otáčeí statckého mometu prot smyslu chodu ručček př pohledu prot kladému směru třetí osy (a rovu xz prot y zepředu ) Zakresleí: a) kružcovým obloučkem se středem v s a špkou ve smyslu otáčeí b) vektorovou úsečkou v s kolmo k rově mometu s dvojtou špkou př pohledu prot špce momet otáčí prot smyslu chodu ručček (prot-prot) Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Zázorěí statckého mometu Obr / str. 3 9 / 49

20 Statcký momet síly k bodu Statcký momet síly k zadaému mometovému středu je rove algebrackému součtu statckých mometů jejch osových složek k témuž mometovému středu. M s P. M + M + P. p ( p.sγ + p.cosγ ) P. p x sx sz P. p z x x z z Součet statckých mometů všech sl rového svazku k zadaému mometovému středu je rove statckému mometu výsledce svazku k témuž mometovému středu. Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Statcké momety síly a jejch složek Obr / str / 49

21 Příklad 2.3 Zadáo: působště a, síla P, mometový střed s Předmět výpočtu: statcký momet síly P ke středu s (a) Řešeí: p x z a z s (b) p z x a x s M + P. p sx sz x M P. p z x z M M + M s sx sz Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Zadáí a výsledek příkladu 2.3 Obr / str. 4 2 / 49

22 Dvojce sl Dvojce sl dvě stejě velké rovoběžé síly opačých smyslů. ameo dvojce sl vzdáleost p paprsků obou sl. P P Paprsek síly +z s p p 2 Dvojce sl vyvozuje a těleso pouze otáčvý úček ve své p rově, vyjádřeý statckým mometem M dvojce sl : M P. p +x Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově 22 / 49

23 Dvojce sl Pro statcký momet M dvojce sl platí: a) je stejý ke všem bodům (mometovým středům) tělesa b) ezměí se, posue-l se dvojce sl do jého místa ebo pootočí-l se oba paprsky (př zachováí délky p) c) eměí se př současém zmešováí p a zvětšováí P, P.p zůstává kostatí d) kladý smysl otáčeí stejý jako u statckého mometu síly e) více dvojc lze ahradt jedou výsledou dvojcí sl, je-l ulová rovováha Dvojce sl Obr / str. 5 Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově 23 / 49

24 Dvojce sl Patky ocelových sloupů statcké schéma Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově 24 / 49

25 Dvojce sl Patky ocelových sloupů výrobí dokumetace Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově 25 / 49

26 Dvojce sl Patky ocelových sloupů schéma Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově 26 / 49

27 Společý úček síly a dvojce sl Úček dvojce sl : M P. p Úček síly F : F. 0 0 M a Posue-l se F rovoběžě o vzdáleost d : Požadavek : posuout F o vzdáleost d, aby M a F. d F. d P. p Výsledek : (a) (b) d P. p F Společý úček síly a dvojce Obr. 2.. / str. 6 Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově 27 / 49

28 Příklad 2.4 Zadáo: působště a, síla F Předmět výpočtu: takový statcký momet M dvojce sl př posuutí F, aby otáčvý úček zůstal ezměě Řešeí: M F. a x a (a) (b) Přdaý statcký momet M dvojce sl musí být stejě velký, ale opačého smyslu, tj. kladého Zadáí a výsledek příkladu 2.4 Obr / str. 6 Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově 28 / 49

29 Obecá rová soustava sl Působí-l v téže rově dvě ebo více (obecě ) sl P o růzých působštích a růzých velkostech, směrech a smyslech. P P 2 P 4 +x P 3 +z Obecá rová soustava sl 29 / 49

30 Obecá rová soustava sl Působště každé síly a je zadáo dvojcí souřadc x a a z a, velkost, směr a smysl kterékolv síly P může být zadá 2 způsoby: a) prostředctvím složek P z, P x, velkost, směr smysl síly z rovoběžíku sl 2 P P + Px s γ cosα P b) kladou velkostí P a směrovým úhlem γ P.s γ P.cosγ x P 2 z Pz cosγ sα P x P z P Zadáí síly obecé rové soustavy Obr / str. 6 Obecá rová soustava sl 30 / 49

31 Výsledý úček obecé rové soustavy sl Postup: a) pro každou sílu P určt složky P x, P z b) každou složku P x posuout rovoběžě do osy x a do rovy soustavy přdat statcký momet M P. z P. z.sγ x x c) každou složku P z posuout rovoběžě do osy z a do rovy soustavy přdat statcký momet M P. x P. x.cosγ z d) určt výsledce x, z obou přímkových soustav sl z x P x z P z e) vypočítat výsledc a její směrový úhel γ x z f) získat výsledý statcký momet soustavy M s γ x cosγ y Obecá rová soustava sl M ( M + M ) + m x z j M j (M j případé zadaé statcké momety dvojc sl) 3 / 49

32 Výsledý úček obecé rové soustavy sl Lze formulovat trojím způsobem: a) osovým složkam výsledce x, z v souřadcových osách a výsledým statckým mometem M b) výsledcí v počátku a výsledým statckým mometem M (a) (b) (c) Obecá rová soustava sl Tř způsoby zázorěí výsledého účku obecé rové soustavy sl Obr / str / 49

33 Výsledý úček obecé rové soustavy sl Lze formulovat trojím způsobem: c) výsledcí d, posuutí o d tak, aby úček.d byl stejý jako M d M M + z. x 0 M x M x. z 0 z M z x (a) (b) (c) Obecá rová soustava sl Tř způsoby zázorěí výsledého účku obecé rové soustavy sl Obr / str / 49

34 Příklad 2.5 Zadáo: působště a, síly P Předmět výpočtu: výsledý úček soustavy sl Zadáí příkladu 2.5 Obr / str. 8 Obecá rová soustava sl 34 / 49

35 Příklad 2.5 Tabulkové řešeí x [m] z [m] P [kn] γ [ o ] cos γ s γ P x [kn] P z [kn] M x [knm] M z [knm] 2,0 2, ,5000 0, ,64-20,000 79,674 40, ,5-3,3-35,000 30,000 5,500-75, ,6-2, ,3420-0, ,75 27,362 20,49 43,779 Σ -75,534 37, ,665 8,779 Σ 44,444 Obecá rová soustava sl 35 / 49

36 Příklad výsledky d x z M M 2 ( 75,534) + ( 37,362) 84,269kN s γ 75,534 84,269 M x z 44,444 84,269 44,444 37,362 4,98m Obecá rová soustava sl,093m 44,444 5,487m 75, , ,362 cos γ 0, ,269 γ o 63,68 (a) (c) (b) (a) osové složky výsledce a výsledý statcký momet; (b) výsledce procházející počátkem a výsledý statcký momet; (c) rovoběžě posuutá výsledce a úseky, které její paprsek vytíá a souřadcových osách. Výsledky příkladu 2.5 Obr / str / 49

37 Vargoova mometová věta Zadáo: obecá rová soustava sl P a m statckých mometů dvojc sl M j. Vypočteo: výsledce d. Platí: Perre Vargo ( ) Statcký momet výsledce obecé rové soustavy k lbovolému mometovému středu v rově soustavy se rová algebrackému součtu všech statckých mometů sl soustavy k témuž mometovému středu a všech statckých mometů dvojc sl. Vargoova věta Matematcky: d. p P. p + m j M j Obecá rová soustava sl 37 / 49

38 Podmíky rovováhy obecé rové soustavy sl V rovováze tehdy, když je ulová ( x a z ) a M. 3 podmíky rovováhy (2 slové, mometová): x P x 0 z P z 0 M ( M x + M z ) + M j 0 j Mometová podmíka musí platt k lbovolému mometovému středu s M s ( P. p + P. p ) + M [ P.( z z ) + P.( x x )] + M 0 j x sx z sz j m Užívaé jsou také 3 mometové podmíky ke třem lbovolým mometovým středům, které esmí ležet v jedé přímce M 0 M 0 0 x s z s j V praktckých aplkacích často uto sestavt 2 mometové podmíky ke dvěma mometovým středům a, b. Ty se doplňují třetí podmíkou: a) 0 pokud je spojce a, b vodorová b) x z 0 pokud je spojce a, b svslá c) 0 ebo 0 ebo 0 x z ab pokud je spojce a, b škmá Obecá rová soustava sl 38 / 49 a m m b j M c M a M b 0 0 (uto rozkládat)

39 Podmíky rovováhy obecé rové soustavy sl Například : P P 2 a,x a b b b,x x M a 0 0 a,z 2 l b,z P 2 2 M b 0 P P 2 l s 2 P s M s 0 M s2 0 M s3 0 a a b b s 3 c z M a M b a a,z a,x Obecá rová soustava sl 39 / 49

40 Příklad 2.6 Zadáo Působště a směrové úhly sl, velkost síly P 4 Předmět výpočtu a řešeí Velkost sl P, P 2 a P 3, které zajstí soustavě sl rovováhu s využtím těchto podmíek rovováhy: M a 0 P 3 x 0 P 2 M b 0 P z 0 Kotrola Obecá rová soustava sl Zadáí příkladu 2.6 Obr / str / 49

41 ová soustava rovoběžých sl Působí-l v téže rově dvě ebo více (obecě ) rovoběžých sl P. P P 2 P 3 +x P 4 +z ová soustava rovoběžých sl 4 / 49

42 ová soustava rovoběžých sl Působště a každé síly P je zadáo dvojcí souřadc x a a z a, (u volých vektorů stačí pouze souřadce) Síla je zadáa velkostí (kladou ebo záporou podle smyslu síly) ová soustava rovoběžých sl ová soustava rovoběžých sl Obr / str / 49

43 Výsledý úček rové soustavy rovoběžých sl a) velkost výsledce P kladá velkost smysl výsledce se shoduje s kladým smyslem souřadcové osy z b) poloha paprsku výsledce M d. d M. P. p P. p z Vargoovy mometové věty k mometovému středu (ejčastěj k počátku), d, p kladé ve smyslu kladé osy x, má povahu volého vektoru ve svém paprsku Výsledý úček může být vyjádře: a) výsledcí, procházející mometovým středem a statckým mometem M b) výsledcí d, která je posuuta do paprsku vzdáleost d od počátku ová soustava rovoběžých sl 43 / 49

44 Příklad 2.7 Zadáo Působště, směry a velkost čtyř svslých sl Předmět výpočtu Velkost výsledce a poloha jejího paprsku Řešeí P 20kN M. d P. p 45kNm d M 3,758m ová soustava rovoběžých sl Zadáí a výsledek příkladu 2.7 Obr / str / 49

45 Podmíky rovováhy rové soustavy rovoběžých sl V rovováze tehdy, když je ulová a M. 2 podmíky rovováhy ( slová, mometová): P 0 M M P. p 0 Lze použít rověž 2 mometové podmíky ke dvěma mometovým středům a, b, které eleží a přímce rovoběžé s paprsky sl. M a P. pa 0 M b P. pb 0 M a M b 0 0 b,z a,z a P P 2 2 b Například : z 0 Kotrola a,z l b,z ová soustava rovoběžých sl 45 / 49

46 Příklad 2.8 Zadáo Souřadce x, velkost sl P 2 a P 3. Předmět výpočtu a řešeí Velkost sl P a P 4, které zajstí soustavě sl rovováhu s využtím těchto podmíek rovováhy: M a 0 P 4 M b 0 P z 0 Kotrola ová soustava rovoběžých sl Zadáí příkladu 2.8 Obr / str / 49

47 Statcký střed rové soustavy rovoběžých sl a) Předpoklad řešeí: b) U působšť sl P uto zadat obě souřadce x a a z a. Postup: a) Určt polohu svslého paprsku výsledce d od svslých sl (x s ) b) 0 Určt polohu vodorového paprsku výsledce d od sl, které byly otočey o 90 o prot směru hodových ručček (z s ) M d z s. d M ová soustava rovoběžých sl P. z. P. z Statcký střed v rově Obr / str / 49

48 Statcký střed rové soustavy rovoběžých sl Využtí: výpočet těžště hmotých rových čar a hmotých rových obrazců - téma č.9 Například : x x T P P T[x T,z T ] z T z +x +z ová soustava rovoběžých sl 48 / 49

49 Okruhy problémů k ústí část zkoušky. Podmíky rovováhy rového svazku sl 2. Statcký momet síly k bodu v rové úloze 3. Vargoova mometová věta 4. Podmíky rovováhy obecé rové soustavy sl 5. Podmíky rovováhy rové soustavy rovoběžých sl 6. Statcký střed rové soustavy rovoběžých sl Podklady ke zkoušce 49 / 49