U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n"

Transkript

1 MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o mplctím zobrazeí. 3.. Iverzí zobrazeí. V tomto odstavc formulueme větu o verzím zobrazeí. Věta 3. o verzím zobrazeí). Nechť f : U e spoté zobrazeí, spotě dferecovatelé v bodě U. Jestlže leárí zobrazeí Df ): e zomorfsmus, pak estue okolí V bodu tak, že moža W = f V) e okolí bodu y = f ) a zúžeí f : V W e homeomorfsmus. Iverzí zobrazeí f : W V e dferecovatelé v bodě y. Platí Df y ) Df ). 3..) Lemma 3.. Nechť f : U e spoté zobrazeí, spotě dferecovatelé v bodě U a takové, že Df ) = d. Pak estue okolí V bodu tak, že moža W = f V ) e okolí bodu y = f ) a zúžeí f : V W e homeomorfsmus. D ů k a z. Bez úmy a obecost předpokládeme, že zobrazeí f má Gâteauovu dervac v každém bodě možy U. Položme g= f d čl g ) = f ) pro každé U). Máme Dg ) = Df ) Dd ) = d d = 3..) vz věty. a.7). Máme tedy Dg ) =. 3..3) Podle předpokladu e zobrazeí f spotě dferecovatelé v bodě. Zobrazeí g e tedy rověž spotě dferecovatelé v bodě, což zameá, že zobrazeí Dg G : U L, ) e spoté v bodě. Estue tedy uzavřeá koule B se středem v bodě taková, že pro všechy eí prvky platí e Dg G ), det Df ). 3..4) Zvolme yí dva lbovolé body, B. Podle důsledku věty o středí hodotě. g ) g ) sup Dgy ) G y [, ], 3..5) což společě s 3..4) dává g ) g ). 3..6) Máme tedy

2 3 MATEMATICKÁ ANALÝZA III ebol g ) g ) = f ) f ) + = = ) f ) f )) f ) f ), f ) f ), 3..7) což dokazue, že zobrazeí f e a možě B ektví. Uvažme yí možu ffr B). Tato moža e kompaktí moža fr B e kompaktí a zobrazeí f spoté) a eobsahue bod y zobrazeí f e a koul B prosté a fr B). Estue tedy číslo d > takové, že pro každý prvek y ffr B) platí Položme yy d. 3..8) d W = B y ) a dokažme, že W ft B). Nechť y W e lbovolý bod. Defume fukc h : B předpsem ) = h ) = f ) y = f ) y 3..9). 3..) Tato fukce e spotá a v každém bodě uvtř možy B má Gâteauovu dervac. Ze spotost této fukce a z kompaktost možy B plye, že estue bod B, ve kterém fukce f má mmum. Bod leží určtě uvtř možy B: kdyby totž ležel a eí hrac, bylo by f ) y d to plye z 3..8)) a f ) y < d vz 3..9)), což by zamealo, že h ) < h ) a v fukce h emá mmum. A elkož t B a fukce h má v mmum, musí v tomto bodě mít všechy parcálí dervace ulové: ) Dh ) = pro každé {, K, }. Jelkož Dh ) = f ) y D f ) ) = 3..) a det Df ) 3..4), dostáváme, že f ) = y. Položme V = f W) t B. Právě sme ukázal, že zúžeí f : V W e bekce. Zbývá tedy dokázat, že zobrazeí f : W V e spoté. To ovšem sado plye ze vztahu f y ) f y ) y y, 3..) který pro lbovolé y, y W plye z 3..7). Tím e lemma dokázáo. Lemma 3.3. Nechť f : V W e bekce mez otevřeým možam v, dferecovatelá v bodě V a taková, že Df ) = d. Dále předpokládeme, že zobrazeí f e spoté v bodě y = f ). Pak zobrazeí f e dferecovatelé v bodě y a platí Df y ) = d. 3..3) D ů k a z. Pro lbovolý bod y W, y= f ), máme f y) f y ) d y y ) = f ) + f ) = = f ) f ) d ) = ε ), kde lm ε ) = vz větu. o dferecálu)). Dále, ) Toto tvrzeí e vcelku zřemé; dokážeme e však až v kaptole 5.

3 3. INVEZNÍ A IMPLICITNÍ ZOBAZENÍ 3 3 ε ) = f y) f y ) ε f y) f y ))= f y) f y ) = yy ε f y) f y )). y y Jelkož lm y ε f y) f y ))= zobrazeí f e spoté v y ), stačí ukázat, že výraz f y) f y) yy e a ěakém okolí bodu y ohračeý. Tvrzeí pak bude vyplývat z věty. o dferecálu). Nechť V e okolí bodu takové, že pro každé V platí Pak ebol f ) f ) + > <. 3..4) f ) f ) + f ) f ) f ) f ) =, f ) f ) >. 3..5) Ozačme W okolí bodu y, pro ehož všechy prvky y platí f y) V. Pro lbovolý prvek y W a = f y) pak máme f y) f y ) y y Tím e lemma dokázáo. = f ) f ) <. 3..6) Nyí dokážeme dvě lemmata podobá lemmatům 3. a 3.3, avšak s oslabeým předpokladem o dervac zobrazeí f. Lemma 3.4. Nechť f : U e spoté zobrazeí, spotě dferecovatelé v bodě U. Jestlže leárí zobrazeí Df ): e zomorfsmus, pak estue okolí V bodu tak, že moža W = f V) e okolím bodu y = f ) a zúžeí f : V W e homeomorfsmus. D ů k a z. Ozačme l = Df ), y f = ) a položme f = l o f. Máme Df ) = D l o f) ) = Dl y ) odf ) = l ol = d. Na zobrazeí f tedy lze aplkovat lemma 3.. Platí f = f o l. Lemma 3.5. Nechť f : V W e bekce mez otevřeým možam v, dferecovatelá v bodě V a taková, že Df ): e zomorfsmus. Dále předpokládeme, že zobrazeí f e spoté v bodě y = f ). Pak zobrazeí f e dferecovatelé v bodě y a platí Df y ) Df ). 3..7) D ů k a z. Steě ako v důkazu předchozího lemmatu ozačme l = Df ) a položme f = l o f. Máme Df ) = d a podle lemmatu 3.3 Df y = ) d. Nyí f = f o l a Df y ) = D f ol ) y ) = Df ) odl y ) = d ol = l Tím e lemma dokázáo..

4 3 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA III D ů k a z v ě t y 3.. Plye z předchozích lemmat. Tvrzeí o dervac verzího zobrazeí vztah 3..)) lze také dokázat přímo, pomocí věty o dervac složeého zobrazeí.5. Platí totž d = Dd ) = D f o f) ) = Df y ) odf ). Odtud už vztah 3..) plye. Za pozámku stě také stoí, že dmeze defčího oboru a oboru hodot zobrazeí f ve větě 3. musí být steé; ak by totž emohl platt vztah 3..) to víme z leárí algebry). Teto závěr lze dalekosáhle zobect: sado lze apříklad ukázat, že žádá spotě dferecovatelá fukce f : eí bekce pokud e Df y, ) pro každé y, ) z ěaké otevřeé možy V, pak stačí uvážt zobrazeí gy, ) = f y, ), y) ). Předpokládáme-l ve větě o verzím zobrazeí avíc, že zobrazeí f e a možě U dferecovatelé, lze okolí V a W alézt tak, aby verzí zobrazeí f bylo dferecovatelé a okolí W a spotě dferecovatelé v bodě y. Pokuste se to dokázat. m m 3.. Věta o mplctím zobrazeí.měme zobrazeí f : U, dferecovatelé v bodě, y) U a ozačme l : a l : m m m leárí zobrazeí, defovaá předpsy l h) = Df, y) h, ), 3..) l h) = Df, y), h). Evdetě platí Df, y ) = l + l. 3..) Zobrazeím l a l se ěkdy říká parcálí dervace zobrazeí f v bodě, y ) zobecěého typu). Přestože my sme s teto termí vyhradl pro ý obekt, vdíme, že s ím velm úzce souvsí. m m Věta 3.6 o mplctím zobrazeí). Nechť f : U e spoté zobrazeí, spotě dferecovatelé v bodě, y) U takovém, že f, y ). Uvažme leárí zobrazeí l a l z 3..) a možu M = {, y) U f, y) = }. Jestlže zobrazeí l e zomorfsmus, pak estuí okolí V bodu, okolí V bodu y a zobrazeí g: V V tak, že moža M V V ) e rova grafu zobrazeí g. Zobrazeí g e v bodě dferecovatelé a platí Dg ) =l o l 3..3) m D ů k a z. Uvažme zobrazeí F: U, Fy, ) = f, y, )). Toto zobrazeí e spoté a U a spotě dferecovatelé v bodě, y ). Pro leárí zobrazeí DF, y ) m a lbovolý vektor h, h) platí DF, y ) h, h ) = h, Df, y ) h, h )) = h, l h ) + l h )), Toto zobrazeí e tedy zomorfsmus: verzí zobrazeí e totž dáo předpsem )) ) = DF, y ) u, u ) u, l u l u ). 3..4) Podle věty 3. tedy estuí okolí V bodu, y ), okolí W bodu, m ) a verzí zobrazeí F : W V. Bez úmy a obecost můžeme předpokládat, že moža V e rova souču dvou otevřeých mož: V = V V. Nyí pro V položme g ) pr F, ). 3..5) Nyí dokážeme, že zobrazeí g má požadovaé vlastost. Nechť y, ) M V V) Máme f, y)=, ebol Fy, ) =, ), což zameá, že g ) = pr F, ))= pr y, ) = y..

5 3. INVEZNÍ A IMPLICITNÍ ZOBAZENÍ 3 5 Naopak, pro lbovolé V máme )= )), f g, )) Fg, ) F,pr F, ). Přtom pr F, ) )=, což zameá a celkově, f, g )) )= F F, ) )=, ) f, g ))=. Zbývá tedy dokázat vztah 3..3). Podle 3..4) a 3..5) máme Dg ) u ) = pr DF, ) u, ) )= pr u, l ol u ))=l ol u ). Tím e celé tvrzeí dokázáo. O zobrazeí g z předchozí věty se ěkdy říká, že e mplctě defováo zobrazeím f. Podobě ako u věty o verzím zobrazeí, vztah 3..3) můžeme dokázat přímo, pomocí vztahu 3..): Víme, že pro každé V platí f, g ))=. 3..6) Dervací této rovce v bodě dostaeme l + l o Dg ) =, 3..7) což e ekvvaletí s 3..3). Teto způsob odvozováí dervace mplctího zobrazeí se často používá př praktckých výpočtech. Pro = m= lze vztah 3..3) přepsat do tvaru Df, y) g ) = Df, y). 3..8) Větu o mplctím zobrazeí sme vlastě dokázal ako poměrě edoduchý důsledek věty o verzím zobrazeí. Kdybychom dokázal bez použtí této věty, mohl bychom pak aopak větu o verzím zobrazeí dokázat pomocí věty o mplctím zobrazeí, a to pomocí vztahu f f )) =. 3..9) m m Dalším důsledkem věty o verzím zobrazeí e ásleduící tvrzeí: Nechť f : U e spoté zobrazeí, spotě dferecovatelé v bodě, y) U a takové, že leárí zobrazeí Df, y ) e surektví. Pak estue okolí W bodu f, y ) a zobrazeí g W m :, dferecovatelé v bodě f, y) tak, že f o g= d W. 3..) V důkazu tohoto tvrzeí se postupue steě ako v důkazu věty o mplctím zobrazeí a pak se položí gy ) = F, y). 3..) Uvedeé tvrzeí vlastě říká, že zobrazeí f má a ěakém okolí bodu f, y ) pravou verz. Podobé tvrzeí lze vyslovt o verz levé ak?).

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Elementární úvod do vyšší algebry

Elementární úvod do vyšší algebry Část III. Elemetárí úvod do vyšší algebry Mgr. Davd Zoul 202 2 Obsah Spektrum operátoru 7 Defce spektra operátoru 7 Defce spektrálího poloměru operátoru 7 Prví věta spektra 7 Druhá věta spektra Třetí věta

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

22 M-odhady za predpokladu eregular hustoty (4) x (y x b)! =: Uvazujme mozu S = fs s 2 ::: s k g kde <s <s 2 <:::s k <, a k prslusou mozu ::: k, prcem

22 M-odhady za predpokladu eregular hustoty (4) x (y x b)! =: Uvazujme mozu S = fs s 2 ::: s k g kde <s <s 2 <:::s k <, a k prslusou mozu ::: k, prcem M-ODHADY ZAPREDPOKLADU NEREGUL ARNI HUSTOTY Ja SVATOS MFF UK, KPMS Abstract: Theory of M-estmators lear regresso model s well kow. Oe of the classcal regularty assumptos the lear model Y = + E s the exstece

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Časops pro pěstováí matematky a fysky Euge Buckj Pozámka k čláku O tegrac úplých dferecálů Časops pro pěstováí matematky a fysky, Vol. 72 (1947), No. 3, 131--136 Persstet URL: http://dml.cz/dmlcz/121554

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

ě

ě Á Č Ř ž ň Ů ň ů ň ů ý ň ů ý ň ň Ú ž ý Ý ů Í Ó ó ý Í ý Ú ě ý ě ť ó ž ě ž ě ý ú ý ú ž ý Ý ů ý ů ě ě ú ú ň ď ě ě Ú ý ý ě Á ž ě Ó ú š ě ě ů ý š ě ů ě ů ý š ž š ě Í ž ů š ě ů ě ú ěš š š š ě š Č š ó ě ú Í ě

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST Studjí obor (kód a ázev): -4-M/00 Strojíreství - - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště,

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1 Substituce Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 2 1 Algebra termů Předpokládáme, že je dán jazyk termů. L, definovali jsme množinu jeho Zavedeme některé užitečné

Více

Í ž Í Ý Ž Ž Č Ú Í Í Í Ž Ž Ď Ž Ť ž Ť

Í ž Í Ý Ž Ž Č Ú Í Í Í Ž Ž Ď Ž Ť ž Ť Ž Ž Ž Ř Ř Í ť Í Í Í ž Í Ý Ž Ž Č Ú Í Í Í Ž Ž Ď Ž Ť ž Ť ň Ž Ť Ž ž ť Ž Ž ť Ž ž ť Ž ť Í ž Ž Ž Ů ť Ž ž ž Ž ť ť Ž ť ť Ž Ž ť ž ž ž ť ť ž ž ť Ž ť Ž ž ť ť Í Ž Ž Ž ť Ž ť Ž ž Ž Í Ž Ž ž Ž Ů Í ť Ž Í ť Í Í Ž Í Č Č ž

Více

Ř Í Ě ŘÍ Í Ě É Ř Ť ž é ě ž ě Í é ě ž ú ě ě ě é é é ž é ě é é Ú ě é ú ě ž ě ě é ú ě ú ž é ž Ž é Ž Ž ť ž ú é ě Ž ě ž Ť ž ě ž ž ě ě é ě é Ž é ě é é ě é é

Ř Í Ě ŘÍ Í Ě É Ř Ť ž é ě ž ě Í é ě ž ú ě ě ě é é é ž é ě é é Ú ě é ú ě ž ě ě é ú ě ú ž é ž Ž é Ž Ž ť ž ú é ě Ž ě ž Ť ž ě ž ž ě ě é ě é Ž é ě é é ě é é ž Í ž š Š š Ř Ř Í š ě ě ě é Ž Í Í ě é Ž é ú ě ú ž é Ž Ú ě ě ě Š ě Í é ž š š Í é ě é ě é ě Ž ě ž ě Í š ě ě é Ř Ž ž ě ě é Ž Ř Í Ě ŘÍ Í Ě É Ř Ť ž é ě ž ě Í é ě ž ú ě ě ě é é é ž é ě é é Ú ě é ú ě ž ě ě é

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

Ý Ď Ž Ď Í ž ř Č Ď ž Á Č Ž Č Ž Č ř ž ř ř Č ř ř Ď

Ý Ď Ž Ď Í ž ř Č Ď ž Á Č Ž Č Ž Č ř ž ř ř Č ř ř Ď Ý Ď Ž Ď Í ž ř Č Ď ž Á Č Ž Č Ž Č ř ž ř ř Č ř ř Ď ř Ó Š Č ř Š ž Í ÝÝ Ž Č ř ř Ž Ú Č ř Č Č ť Ž Č ř Č Ď ť Ž Ď Č ř Ž Ž Č ž Č Í ť Č Č Í Č ď Č Á Ď Í ÍÍ Č Ž Ž Č Í Í Ž Ž Ž Ž Í Č Ý Ó Í Ž Í Ě Ž Í Ž Ý ř ď Ž Č ďž Í

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty

Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty Jeokrterálí rozoováí za rzka a estoty U eokrterálíc úlo e vžy pouze eo krtérum optmalty, a to buď maxmalzačí ebo mmalzačí. araty rozoováí sou zaáy mplctě - pomíkam, které musí být splěy (vz úloy leárío

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304 935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

š ř ž ů ř š ů ř Ž ř é Č ř ř ú Č ř ř ř é Č ř é ý é ýš ú Ť ý Í Ž Ž ú ú ň é ř Ž ř ů Ž ú ř Ž Ž ř ů ú ú Ž Ž ů ř é Č é é ž š é é ž š ř ř ř

š ř ž ů ř š ů ř Ž ř é Č ř ř ú Č ř ř ř é Č ř é ý é ýš ú Ť ý Í Ž Ž ú ú ň é ř Ž ř ů Ž ú ř Ž Ž ř ů ú ú Ž Ž ů ř é Č é é ž š é é ž š ř ř ř Í ý é ř ž ů š ř ý ý Č é ý ň š Č Č Ž Č ú é š é ý Š Í ř Ž ř Č Č ř ý ú Ž é ý š Ž ř é Č Ý ú ř é ý Ž Č ř ř é š ř ž ů ř š ů ř Ž ř é Č ř ř ú Č ř ř ř é Č ř é ý é ýš ú Ť ý Í Ž Ž ú ú ň é ř Ž ř ů Ž ú ř Ž Ž ř ů ú

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti . Úvod do základích pojmů teore pravděpodobost. Úvodí pojmy Větša exaktích věd zobrazuje své výsledky rgorózě tj. výsledky jsou získáváy a základě přesých formulí a jsou jejch terpretací. Příkladem je

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

ý ý é Í ě ý ý ý ě é ě é ů ěž ě ě ě ýú ě ó ě Í ý ý ě ý Ú ý š ý ž ž ý ž Ú é ú ú ú ú ú ýš ý é ý é

ý ý é Í ě ý ý ý ě é ě é ů ěž ě ě ě ýú ě ó ě Í ý ý ě ý Ú ý š ý ž ž ý ž Ú é ú ú ú ú ú ýš ý é ý é ýú é Č ý Ř Č Á ě ý ů ý ě ě ý Í ě ě ě ú ý ů ý ů ý ě ý ů é ý ý é Í ě ý ý ý ě é ě é ů ěž ě ě ě ýú ě ó ě Í ý ý ě ý Ú ý š ý ž ž ý ž Ú é ú ú ú ú ú ýš ý é ý é Í é é é ú ě š ú ý ý ě é ě ý š Č ě ýš ý ů ň ď š Í

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Derivace hustot a. Kapitola Diferenciální operátory divergence a. (rotace)

Derivace hustot a. Kapitola Diferenciální operátory divergence a. (rotace) [2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 10 Derivace hustot a itegrálí věty Nyí avážeme a látku vyložeou v kapitole 5. Zde byly zavedey itegrovatelé hustoty, hustotí duál a defiovali

Více

ř ř ě é ř é é Í é Í šť ý é ý ú ů ě ě š úí ř ů Í é Í šť ý ř é Í é šť ý ý ý úí ů ě ř é ž ž é ý é ě ý Í é šť ý é Íé Í ý ý ú ů ě ě š ú ř Í ř é é ě ř é Í é

ř ř ě é ř é é Í é Í šť ý é ý ú ů ě ě š úí ř ů Í é Í šť ý ř é Í é šť ý ý ý úí ů ě ř é ž ž é ý é ě ý Í é šť ý é Íé Í ý ý ú ů ě ě š ú ř Í ř é é ě ř é Í é ř é ř Í šť Č ň ř ý ě ř ž ž é Č ř ú ě ý ř ž ž ě ě é ě ž Í š ž ě ř ř ě ž é ř ě ě ý ž ě š ž š ý ý ě ž ý ř é ž ě ů é ě š é é é é ý é é ě ěž ě Í ě ř ě š ž ě ř ř ě ž é é ě ě š ř ů ř ř ě é ř é é Í é Í šť ý é

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více