1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

Transkript

1 Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v rově Jedím z pět parametrů tohoto rozděleí je korelačí koefcet jako charakterstka tezt závslost dvojce áhodých velč Po zavedeí podmíěých rozděleí dospějeme k podmíěým charakterstkám úrově a varalt Sdružeé regresí přímk ojasíme jako stop vrcholů podmíěých rozděleí (podmíěých středích hodot) v rově áhodých proměých Budeme se zaývat výpočtem výěrových charakterstk statstk z áhodého výěru z ormálího rozděleí v rově výěrového korelačího koefcetu a výěrových sdružeých regresích přímek dvourozměrý áhodý výěr; dvousložkový áhodý vektor; elpsa rozptlu; korelačí koefcet; kovarace; áhodý vektor; ormálí rozděleí v rově; podmíěá hustota; podmíěá středí hodota; regresí koefcet; regresí přímka; sdružeé regresí přímk Rozděleí pravděpodoost dvousložkového áhodého vektoru mohou ýt jejch rozdě- Pro dvojc áhodých velč (dvousložkový áhodý vektor) leí pravděpodoost popsáa: Každé z ch zcela samostatě a zolovaě pomocí ěkteré z fukcí rozděleí pravděpodoost: dstručí pravděpodoostí hustot které jsou fukcem jedé proměé (tak jak jsme je pozal v lekcích o áhodých velčách) a udeme je azývat margálím fukcem Oě společě pomocí ěkteré fukce rozděleí pravděpodoost která je fukcí dvou proměých tj F ( ) P( ) f ( ) Tto fukce se azývají sdružeé smultáí fukce Každé z ch soustavou tzv podmíěých fukcí z chž každá charakterzuje rozděleí pravděpodoost jedé áhodé velč za určtých podmíek kladeých a druhou velču Např pro dvě spojté velč jde o podmíěé hustot f ( ) resp f ( ) Už je ám zámo že zvláštím případem vztahu mez velčam je případ kd (apř pro spojté velč) f ( ) f ( ) f ( ) V tomto případě je-l jejch sdružeá hustota rova souču margálích hustot se jedá o ezávslé velč Podroěj se udeme případem dvojce spojtých áhodých velč zaývat v dalším odstavc o dvourozměrém ormálím rozděleí Musíme také začít rozlšovat očejé charakterstk (středí hodota rozptl aj) každé z velč a sstém podmíěých charakterstk Podmíěé středí hodot E ( ) E( ) měří úroveň vžd jedé z oou velč př splěí podmík kladeé a druhou velču Podoě apř podmíěé rozptl D ( ) D ( ) měří jejch varaltu Normálí rozděleí dvousložkového áhodého vektoru Normálí rozděleí dvou áhodých velč je rozděleí s celkem pět parametr které mají opět úzký vztah k charakterstkám každé z áhodých velč a (avíc) teztě jejch vzájemé závslost: Charakterstkam úrově (středím hodotam) jsou parametr µ µ 6

2 E ( ) µ E( ) µ Charakterstkam varalt (rozptl) jsou jsou směrodaté odchlk) D ( ) D ( ) (přčemž Korelačí koefcet Charakterstkou tezt závslost oou áhodých velč je pak korelačí koefcet ρ kde je kovarace velč Přtom platí ρ ρ + Kovarace spojté áhodé velč [ E( )][ E( )] f ( dd ) Hustota pravděpodoost ormálího rozděleí v rově je pravdelá zvoovtá plocha (vz or ) s vrcholem v odě o souřadcích µ µ a kde jsou opět parametr měřítka Vodorové řez touto plochou mají růzé tvar v závslost a hodotách a zejméa a hodotě korelačího koefcetu ρ Or Dvourozměré ormálí rozděleí Jsou-l ezávslé áhodé velč ( ρ 0 f ( ) f ( ) f ( ) ) jsou os řezů rovoěžé s osam oou áhodých velč a tvar stop řezu závsí a hodotách směrodatých odchlek Je-l avíc má stopa tvar kružce (vz or ) je-l jde o elpsu Jsou-l áhodé velč aopak závslé ( ρ 0 f ( ) f ( ) f ( ) ) mají řezé stop vžd tvar elps jejíž os jsou akloěé vůč o- sám áhodých velč tzv elpsa rozptlu Svírá-l hlaví osa elps s osam áhodých velč ostré úhl je ρ > 0 a mez velčam je poztví závslost (opět a or ) V opačém případě je ρ < 0 a mez velčam je egatví závslost 0r Kružce a elpsa rozptlu ρ 0 ρ > 0 7

3 Doplňte orázek o případ ρ ; < ρ < 0 Sdružeé regresí přímk Svslé řez Gaussovou plochou vžd ve směru jedé z os áhodých velč odřezávají jedotlvá podmíěá rozděleí a jejch stop jsou jedotlvé podmíěé hustot f ( ) f ( ) Vrchol podmíěých rozděleí jsou podmíěé středí hodot (vz or 3) E ( ) µ + ρ ( µ ) E( ) µ + ρ ( µ ) Or 3 Podmíěá ormálí rozděleí Podmíěé středí hodot jsou leárím fukcem podmíek a azývají se sdružeé regresí přímk Jejch směrce β ρ β ρ jsou sdružeé regresí koefcet Regresí přímk ajdeme jako stop vrcholů podmíěých rozděleí v rově áhodých velč a můžeme je vdět a or 4 Or 4 Sdružeé regresí přímk E ( ) E ( ) E ( ) E ( ) ρ 0 ρ > 0 8

4 Doplňte orázek 4 o případ ρ ; < ρ < 0 Zatímco u ormálího rozděleí pokud ρ 0 jsou středí hodot podmíěých rozděleí leárím (regresím) fukcem podmíek jsou jejch rozptl ezávsle a podmíce kostatí a rov D ( ) D ( ) D ( ) D ( ) Příklad Určt sdružeé regresí přímk pro µ 50 µ ρ Řešeí: E ( ) 00 + ( 05) ( 50) ( 50) 0 0 E ( ) 50 + ( 05) ( 00) ( 00) 30 Např pro 60 je E ( ) 9 5 zatímco pro 0 je E ( ) 43 4 Ověřte že platí že souč směrc sdružeých regresích přímek je rove ρ Or 5 Graf sdružeých regresích přímek (k příkladu ) E ( ) E ( ) Na or 5 jsou zázorě vpočteé od a oou regresích přímkách Všměte s také průsečíku o- ou přímek Jeho souřadce odpovídají vrcholu dvourozměrého ormálího rozděleí µ 50 µ 00 3 Dvourozměrý áhodý výěr a statstk Dvourozměrý áhodý výěr o rozsahu je tvoře uspořádaým dvojcem áhodých vel- T č a jeho realzace je tvořea uspořádaým dvojcem číselých hodot [ ] Kromě jž z dřívějška zámých výěrových charakterstk (statstk) je výěrová kovarace COV COV ( )( ) a její realzace cov cov ( )( ) T 9

5 COV Bezrozměrý výěrový korelačí koefcet R R R kde VAR VAR R + měří teztu závslost uvtř áhodého výěru Určtému áhodému výěru přísluší realzace výěrového korelačího koefcetu r kde opět r + cov var var Výěrové regresí koefcet VAR VAR R B R jsou rozměré směr- VAR VAR ce sdružeých regresích přímek a jejch realzace Sdružeé regresí přímk sestavíme jako + B + B ( ) ( ) B var var r r var var a jejch realzace + ( ) + ( ) Teto tvar regresích přímek (který udeme používat adále) se ovkle ozačuje jako trasformovaý Do tzv směrcového tvaru převedeme přímk rozásoeím závork a pravé straě tj kde a ( ) + a + a jsou tzv asolutí čle ( ) + a + Př výpočtu r často praktck postupujeme podle výpočtových vzorců r Příklad Př zkoušeí traktoru l př áhodě voleých otáčkách motoru měře za turodmchadlem teplota vzduchu ve C a tlak v kpa Blo provedeo měřeí a hodot jsou shromáždě v taulce ( C) (kpa) Vpočteme teztu této závslost pomocí korelačího koefcetu a určíme rovce sdružeých regresích přímek pro vztah mez teplotou vzduchu ve C a tlakem v kpa Vpočteme z čehož 55 ; 7 ; var 86; var 66 3 a r ( )( ) 0

6 alteratvě alteratvě Všměte s že zároveň platí r Kromě toho s můžeme všmout že r mají zásadě stejá zaméka (rozhoduje zaméko kovarace) Je-l cov 0 aývá korelačí koefcet oě směrce ulové hodot Všměte s že z kostrukce jedotlvých vzorců skutečě vplývá že směrce sdružeých regresích přímek z prcpu emohou mít růzá zaméka a emůže ýt jeda směrce ulová a druhá eulová Sdružeé regresí přímk se ted realzoval ve tvaru ( 55) ( 7) Sdružeé regresí přímk umožňují př zámé hodotě jedé velč staovt očekávaou hodotu druhé velč Teto odhad je tím spolehlvější čím líže je korelačí koefcet jedé z oou svých krajích hodot Po vzoru or 5 proveďte grafcké zázorěí vpočteých sdružeých regresích přímek! Povšměte s souřadc průsečíku těchto přímek Doplňte do grafu aměřeé hodot Přímk převeďte do směrcového tvaru Kolk čí očekávaá hodota tlaku př teplotě 80 C? Kolk čí očekávaá teplota př tlaku 0 kpa? Vpočtěte a ukažte v grafu ( ) Zatímco korelačí koefcet je ezrozměrý a ereaguje a leárí trasformac hodot směrce sdružeých regresích přímek jsou rozměré velč a reagují a leárí trasformac Rozměr rozměr je (u ašeho příkladu kokrétě kpa a C) Pro sdružeý regresí koe- rozměr fcet je tomu aopak Příklad 3 Bude-l teplota místo v Celsových stupích měřea ve F ( F 8 C+3) korelačí koefcet se ezměí ale prví z oou přímek ude mít rovc [ ( ) ] 8 86 tj ( 3) Určete Zopakujte s reakc charakterstk úrově a varalt áhodé velč (datového souoru) a leárí trasformac rovc sdružeé regresí přímk (teplota je opět v F) ( ) Příklad 4 Bl sledová tetýž vztah mez teplotou ve C ( ) a tlakem v kpa ( ) Z provedeých 0 měřeí př áhodě zvoleých otáčkách motoru l staove tto potřeé hodot 54; 4836; 8; 7790; 077

7 Proveďte veškeré výpočt po vzoru příkladu ( 3) Tetokrát výjmečě uvádíme hlaví výsledk které udeme opakovaě používat v dalších dvou lekcích: r ; 09455; Σ Jedím z pět parametrů sdružeého ormálího rozděleí v rově je korelačí koefcet Korelačí koefcet měří teztu závslost dvojce ormálě rozděleých áhodých velč je defová jako kovarace děleá součem směrodatých odchlek a aývá hodot v tervalu od do + 3 Stop vrcholů podmíěých rozděleí v rově áhodých velč jsou sdružeé regresí přímk které měří průěh závslost 4 Směrce sdružeých regresích přímek se azývají regresí koefcet 5 Korelačí koefcet a sdružeé regresí přímk jsou rověž výěrovým charakterstkam statstkam které lze staovt pro dvourozměrý áhodý výěr 6 Kokrétímu áhodému výěru pak odpovídají číselé hodot realzace těchto statstk 7 Klíčovou rol sehrává hodota a zaméko kovarace které předurčují vztah mez vpočteým hodotam korelačího koefcetu a s- družeým regresím koefcet ( ) Pro Pro ( ) ( 7) kotrola (zaokrouhleo) ( 3) Nejdůležtější výsledk jsou uvede přímo u příkladu Rozhoděte které z dále uvedeých dvojc mohou a které emohou ýt sdružeým regresím přímkam Pokud ao určete korelačí koefcet a přímk grafck zázorěte Pokud e zdůvoděte kde je cha 0 0( 0) 0 06( 0) 0 0( 0) 0 09( + 0) 0 + 0( 0) 0 09( 0) ( 0) ( 0) 0 ( 0) Sdružé regresí přímk z předchozího úkolu převeďte do směrcového tvaru