Téma 11 Prostorová soustava sil

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Téma 11 Prostorová soustava sil"

Transkript

1 Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra stavebí mechaky Fakulta stavebí, VŠB - Techcká uverzta Ostrava

2 Zadáí síly prostorového svazku sl Tř ebo více sl ( obecě ) působí v prostoru o společém působšt, paprsky sl eleží v téže rově. Síla u prostorového svazku sl je určea (působště je dáo): a) prostředctvím složek P x, P y, P z kladépř shodě jejch smyslů s kladým smysly souřadcových os b) kladou velkostí P a třem směrovým úhly α, β, γ (mez kladým polopaprskem síly a odpovídající kladou souřadcovou poloosou) Platí: a) b) c) d) α o 80 α β 90 + o α β 90 β Prostorový svazek sl o o 80 o β + γ 90 β γ o cos α + cos β + cos γ γ o 80 o α + γ 90 α γ o 90 Zadáí síly prostorového svazku, kvádr sl Obr. 3.. / str / 56

3 Pravdlo o kvádru sl V rově axom o rovoběžíku sl, v prostoru obdoba pravdlo o rovoběžostěu sl. Pokud jsou tř skládaé síly kolmé a rovoběžé se souřadcovým osam kvádr sl. Pravdlo o kvádru sl: Výsledce tří osových složek síly o společém působšt je jedozačě určea tělesovou úhlopříčkou kvádru sl. Platí: P P + P + 2 x 2 y P 2 z Px cosα P P cos β P y P Pz cosγ P x P.cosα Py P.cos β z P P.cosγ Prostorový svazek sl Zadáí síly prostorového svazku, kvádr sl Obr. 3.. / str / 56

4 Výsledce prostorového svazku sl Postup určeí výsledce prostorového svazku sl: a) určt (pokud eí zadáo) složky P x, P y, P z každé ze sl P P x P.cosα P y P.cos β z P b) vypočítat výsledce tří přímkových soustav sl v souřadcových osách y P y x P x P.cosγ z P z c) určt velkost výsledce prostorového svazku sl a její směrové kosy (úhly) P P + P + 2 x 2 y P 2 z Px cosα P d) za působště výsledce je považováo většou společé působště a svazku sl, může mít povahu volého vektoru Py cos β P Pz cosγ P Prostorový svazek sl 4 / 56

5 Příklad. Určeí výsledce prostorového svazku čtyř sl Zadáí sl P,P 2,P 3,P 4 : P [kn] α [ o ] β [ o ] γ [ o ] P x [kn] P y [kn] P z [kn] , ,000-6,000-20, , ,000 22,000 26,000 (a) (b) (c) (d) Prostorový svazek sl Zadáí příkladu. Obr / str / 56

6 Příklad. Tabulkový výpočet: cos α cos β cos γ P x [kn] P y [kn] P z [kn] 0,5299 0,3090 0, ,37,743 30, ,000-6,000-20, ,657-0,3090-0, ,705-3,906-32, ,000 22,000 26,000 Σ -2,58 3,837 3, ( 2,58) + ( 3,837) + ( 3,390) 5,556kN cosα 2,58 5,556 0,3884 α o 2,86 3,837 cos β 0,6905 5,556 β o 46,33 3,390 cos γ 0,60 5,556 Prostorový svazek sl γ o 52,40 Výsledek příkladu. Obr / str / 56

7 Podmíky rovováhy prostorového svazku sl ovováha prostorového svazku sl - výsledce je rova ule: 0 Platí v případě: x P x 0 y P y 0 z P z 0 Podmíky rovováhy prostorového svazku sl Prostorový svazek sl 7 / 56

8 Příklad.2 Určeí velkost tří sl P 5, P 6 a P 7, kterým se prostorový svazek sl z příkladu 3. doplí. Požadavek rovovážý stav. Zadáo: α [ o ] β [ o ] γ [ o ] cos α cos β cos γ ,8660 0,0000 0, ,0000 0,5000 0, ,5000-0,8660 0,0000 Prostorový svazek sl Výsledek příkladu. Obr / str. 26 Zadáí příkladu.2 Obr / str / 56

9 Příklad.2 Podmíky rovováhy prostorového svazku sl osa x : P cosα P.cosα + P.cosα x P x osa y : P5. cos β5 + P6.cos β6 + P7.cos β7 + y 0 P y 0 osa z : atcový záps P5. cosγ 5 + P6.cosγ 6 + P7.cosγ 7 + z 0 P z 0 cosα 5 cosα6 cosα P Obecě [ A ]{. x} { b} 7 5 x cos β5 cos β6 cos β7. P6 y cosγ 5 cosγ 6 cosγ 7 P7 z Podmíka: det[ A] 0 Číselé řešeí atce [A] 0,8660 0,0000 0,5000 0,0000 0,5000-0,8660 0,5000 0,8660 0,0000 Vektor {b} 2,58-3,837-3,390 Řešeí -vektor {x} kořey soustavy P 5 [kn],534 P 6 [kn] -4,80 P 7 [kn],659 záporá hodota, uto upravt směrové úhly Prostorový svazek sl 9 / 56

10 Kotrola: Příklad.2 P [kn] α [ o ] β [ o ] γ [ o ] P x [kn] P y [kn] P z [kn] , ,000-6,000-20, , ,000 22,000 26,000 5, , , cos α cos β cos γ P x [kn] P y [kn] P z [kn] 0,5299 0,3090 0, ,37,743 30, ,000-6,000-20, ,657-0,3090-0, ,705-3,906-32, ,000 22,000 26, ,8660 0,0000 0,5000,329 0,000 0, ,0000-0,5000-0,8660 0,000-2,400-4,57 7 0,5000-0,8660 0,0000 0,829 -,437 0,000 Prostorový svazek sl je v rovováze Σ 0,000 0,000 0,000 Prostorový svazek sl 0 / 56

11 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl / 56

12 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 2 / 56

13 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 3 / 56

14 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 4 / 56

15 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 5 / 56

16 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 6 / 56

17 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 7 / 56

18 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 8 / 56

19 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Kocertí a předášková hala pro 500 ldí Sbelus Hall, Laht, Fsko, osá kostrukce vstupí haly z lepeého lamelového dřeva ve tvaru stromů, foto: Doc. Ig. Atoí Lokaj, Ph.D. Prostorový svazek sl 9 / 56

20 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Kocertí a předášková hala pro 500 ldí Sbelus Hall, Laht, Fsko, osá kostrukce vstupí haly z lepeého lamelového dřeva ve tvaru stromů, foto: Doc. Ig. Atoí Lokaj, Ph.D. Prostorový svazek sl 20 / 56

21 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Kocertí a předášková hala pro 500 ldí Sbelus Hall, Laht, Fsko, osá kostrukce vstupí haly z lepeého lamelového dřeva ve tvaru stromů, foto: Doc. Ig. Atoí Lokaj, Ph.D. Prostorový svazek sl 2 / 56

22 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Kocertí a předášková hala pro 500 ldí Sbelus Hall, Laht, Fsko, osá kostrukce vstupí haly z lepeého lamelového dřeva ve tvaru stromů, foto: Doc. Ig. Atoí Lokaj, Ph.D. Prostorový svazek sl 22 / 56

23 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorový svazek sl Petříská rozhleda, Praha 23 / 56

24 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorový svazek sl Petříská rozhleda, Praha 24 / 56

25 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorový svazek sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce plaveckého stadóu v Brě, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer 25 / 56

26 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorový svazek sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce plaveckého stadóu v Brě, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer 26 / 56

27 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorový svazek sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce plaveckého stadóu v Brě, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer 27 / 56

28 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce zmího stadóu v Brě, deší zdevastovaý stav, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer Prostorový svazek sl 28 / 56

29 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce zmího stadóu v Brě, deší zdevastovaý stav, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer Prostorový svazek sl 29 / 56

30 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce zmího stadóu v Brě, deší zdevastovaý stav, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer Prostorový svazek sl 30 / 56

31 Statcký momet síly k bodu v prostoru ova ρ proložea paprskem síly P a mometovým středem s, je lbovolě skloěa vůč souřadcovým osám. Pro statcký momet síly k bodu s v rově ρ platí pravdla pro rovou úlohu (poučky, zázorěí), kromě zamékové kovece (dvduálí pro každou úlohu). Platí: s P. p Začeí pomocí mometového vektoru, jehož paprsek o a paprsek síly tvoří pravoúhlé mmoběžé přímky. atematcký pops obtížý, vhodější pojem statckého mometu síly k ose o. Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Statcký momet síly k bodu v prostoru Obr / str / 56

32 Statcký momet síly k ose Statcký momet o síly P k ose o, kteráje kolmáa přtom mmoběžá vzhledem k paprsku síly, má absolutí hodotu dáu vzorcem: o P. p kde p je ejkratší délka příčky obou mmoběžých přímek. atematcký pops stále obtížý, proto se statcký momet určuje pomocí osových složek sl, vztažeých k souřadcovým osám. Úmluva prot-prot, vzdáleost p dáy souřadcem. Řešeí: P. z + P. y x y x y z z P. z P. x P. y + P. x z (každá složka síly vyvozuje statcký momet pouze ke dvěma osám, emá vlv a statcký momet k ose rovoběžé) Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru x y Statcké momety osových složek síly k souřadcovým osám Obr / str / 56

33 Příklad.3 Zadáo: souřadce působště a, složky síly P x a P z Předmět výpočtu: statcké momety x, y a z k souřadcovým osám Řešeí: x Pz ( 30)(.,4 ) 42kNm. y + y 50. Px. z Pz. x (,8 ) ( 30).2,3 2kNm z (,4 ) 70kNm Px. y Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Zadáí příkladu.3 Obr / str / 56

34 Dvojce sl v prostoru Defováa stejě jako u rové úlohy. Působí však v rově ρ, která je k souřadcovým osám lbovolě akloěa. Statcký momet dvojce sl v prostoru: Platí: a) je stejý ke všem bodům vyšetřovaého tuhého tělesa (a) b) se ezměí, pootočí-l se dvojce sl v ρ ebo posue-l se rovoběžě s ρ P. p (b) c) Dvojc sl lze ahradt statckým mometem v působšt mometu dvojce sl d) grafcké zázorěí stejé jako u rové úlohy, volý mometový vektor e) pracuje se se statckým momety v rovách rovoběžým se souřadcovým rovam (uverzálí zaméková kovece) Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Dvojce sl v prostoru Obr / str / 56

35 Skládáí statckých mometů Soustavu dvojc sl (jejch statckých mometů) tvoří ěkolk ( obecě m ) dvojc sl se statckým momety j (j,, m). Působí-l dvojce sl v téže rově ebo rovách rovoběžých lze algebracky sčítat, jak uto skládat s využtím kvádru sl. Působeí v souřadcových rovách Výsledý mometový vektor: + + j 2 jx 2 jy 2 jz Sklo dá směrovým úhly: cos λ j jx jx j j cos μ.cos λ Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru j j Opačá úloha rozklad: jy j.cos μ j jy j cosν jz j j jz.cosν j j Skládáí statckých mometů Obr / str / 56

36 Řešeí: ovoběžý posu síly v prostoru Společý úček síly F a statckého mometu lze vyjádřt rovoběžým posuutím síly F v rově ρ o vzdáleost d, aby ke svému původímu působšt vykazovala momet. d F Naopak: Je-l zadáa pouze síla F a v rově ρ se posue o vzdáleost d, uto přdat statcký momet opačého smyslu, ež jaký vyvozuje síla F po svém posuu k původímu působšt. Řešeí: F. d Příklad: Př posuu P x do počátku O (dvojí posuutí o z a y ) P. z Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru y x P. y z x Statcké momety osových složek síly k souřadcovým osám Obr / str / 56

37 Příklad.4 Předmět výpočtu: statcké momety x, y a z k souřadcovým osám, vyvolaé rovoběžým posuem sl P x, P y a P z do počátku souřadcové soustavy (Příklad.3). Řešeí: x Pz. y +42kNm y z (a) Px z. z P. x 2kNm Px. y +70kNm (b) Zadáí příkladu.3 Obr / str. 30 Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Výsledek příkladu.4 Obr / str / 56

38 Obecá prostorová soustava sl Působí-l a těleso obecě sl P (,, ), jejchž růzá působště ebo paprsky eleží v téže rově. Součástí mohou být statcké momety dvojc sl (j,, m) v obecě růzých rovách. Zadáí sl: souřadce působště síly x a, y a, z a, velkost, směr a smysl stejě jako u prostorového svazku sl. Zadáí statckých mometů: obdobě jako síla, vz obr.3.8. Zadáí síly prostorového svazku Obr. 3.. / str. 25 Obecá prostorová soustava sl Skládáí statckých mometů Obr / str / 56

39 Postup: Výsledý úček obecé prostorové soustavy sl a) pro každou sílu P určt složky P x, P y, P z b) určt osové složky výsledce x, y, z x P x y P y z P z c) vypočítat velkost výsledce a její směrové úhly, působště v počátku x 2 y 2 z cosα x cos β y cosγ d) všechy složky sl P x, P y, P z přemístt do počátku O, určt statcké momety x, y a z, otáčející kolem souřadcových os (vz příklad 3.4) e) vypočítat algebracké součty pravoúhlých složek mometů, způsobeých přesuy sl x x y y z z z Obecá prostorová soustava sl 39 / 56

40 Postup: Výsledý úček obecé prostorové soustavy sl f) pro každý zadaý momet j vypočítat jeho složky jx, jy a jz v souřadcových rovách jx j.cos λ j jy j.cos μ j jz j.cosν j g) sečíst složky zadaých mometů s momety způsobeým přesuy sl a určt pravoúhlé složky výsledého statckého mometu m x jx + j x m y jy + j y m z jz + j z h) vypočítat (pomocí pravdla o kvádru sl) výsledý statcký momet a směrové úhly jeho vektorové úsečky x 2 y 2 z cos λ x cos μ y cosν z Obecá prostorová soustava sl 40 / 56

41 Výsledý úček obecé prostorové soustavy sl Výsledý úček obecé prostorové soustavy lze vyjádřt: a) šestcí objektů: třem složkam x, y, z slové výsledce a třem složkam x, y, z výsledého statckého mometu, ejčastější způsob b) dvěma objekty: výsledcí a výsledým statckým mometem, tzv. bvektor ebo dyama, používá se zřídkakdy pro obtížost matematckého zápsu c) tzv. šroubem, mometový vektor lze rozložt a složku ležící v paprsku a složku kolmou k, která se může ahradt rovoběžým posuem o vzdáleost d do cetrálí osy prostorové soustavy sl c, evyužívá se pro svou svízelost. Obecá prostorová soustava sl Bvektor Obr / str. 33 Šroub Obr. 3.. / str / 56

42 Příklad.5 Zadáo: síly P a P 2 P [kn] α [ o ] β [ o ] γ [ o ] cos α cos β cos γ P x [kn] P y [kn] P z [kn] ,754 0,4695 0,608 0,646 7,840 22,869 24,55 2 6,000-0,000-8,000 Σ 33,840 2,869 6,55 (a) (b) Obecá prostorová soustava sl Zadáí příkladu.5 Obr / str / 56

43 Příklad.5 Zadáo: statcký momet j j [knm] λ [ o ] μ [ o ] ν [ o ] cos α cos β cos γ jx [knm] jy [knm] jz [knm] ,707 0,707 0, ,426 42,426 0,000 (c) Obecá prostorová soustava sl Zadáí příkladu.5 Obr / str / 56

44 Příklad.5 Předmět výpočtu: výsledý úček obecé prostorové soustavy sl Postup výpočtu: a) Výpočet osových složek výsledce zadaých sl P [kn] α [ o ] β [ o ] γ [ o ] cos α cos β cos γ P x [kn] P y [kn] P z [kn] ,754 0,4695 0,608 0,646 7,840 22,869 24,55 2 6,000-0,000-8,000 Σ 33,840 2,869 6,55 b) Výpočet mometových složek způsobeých přeložeím sl x [m] y [m] z [m] x [knm] y [knm] z [knm] 2,8,4 0,8 6,076-54,470 39, ,6 -, 7,800 8,400 5,600 Σ 33,876-36,070 44,657 c) Výpočet složek zadaého mometu j j [knm] λ [ o ] μ [ o ] ν [ o ] cos α cos β cos γ jx [knm] jy [knm] jz [knm] ,707 0,707 0, ,426 42,426 0,000 Obecá prostorová soustava sl 44 / 56

45 Příklad.5 d) Výpočet složek výsledého mometu a vyjádřeí výsledého účku pomocí šestce objektů x [kn] y [kn] z [kn] x [knm] y [knm] z [knm] 33,840 2,869 6,55-8,55 6,356 44,657 Výsledý úček lze rověž pomocí bvektoru: x 2 y 2 z cosα x cos β y cosγ z x 2 y 2 z cos λ x cos μ Obecá prostorová soustava sl y cosν z Výsledek příkladu.5 Obr / str / 56

46 Podmíky rovováhy obecé prostorové soustavy sl Obecá prostorová soustava sl je v rovováze, je-l splěo 6 podmíek rovováhy, zajšťující ulovou hodotu výsledce (0) a ulovou hodotu výsledého statckého mometu ( 0). 3 slové podmíky x P x 0 y P y 0 z P z 0 3 mometové podmíky m x jx + x 0 y jy + y 0 z jz + z 0 j m j m j Obecá prostorová soustava sl 46 / 56

47 Příklad.6 Předmět výpočtu: Určeí velkost tří sl P, P 2 a P 3, a tří statckých mometů, 2 a 3, kterým se doplí soustava sl z příkladu.5. Požadavek rovovážý stav. Výsledý úček soustavy z příkladu.5 x [kn] y [kn] z [kn] x [knm] y [knm] z [knm] 33,840 2,869 6,55-8,55 6,356 44,657 Výsledek příkladu.5 Obr / str. 34 Obecá prostorová soustava sl Zadáí příkladu.6 Obr / str / 56

48 Příklad.6 Řešeí: uplatt jedotlvé podmíky rovováhy ve vhodém pořadí a) slová podmíka ve směru osy y: y + P 0 2 P 2 b) slová podmíka ve směru osy x: o x + P3.cos 60 0 P 3 c) slová podmíka ve směru osy z: o z + P + P3.cos 30 0 P Obecá prostorová soustava sl Zadáí příkladu.6 Obr / str / 56

49 Příklad.6 o d) mometová podmíka k ose x: x 3 + P3.cos30.3,3 0 3 e) mometová podmíka k ose y: f) mometová podmíka k ose z:. o y 2 P 2,8 P3.cos30.6, o z + P2 2,8 P3.cos60.3,3 0 Pozámka: záporé hodoty výsledků zameají, že skutečé smysly sl a mometů jsou opačé ež předpokládaé Obecá prostorová soustava sl Zadáí příkladu.6 Obr / str / 56

50 Prostorová soustava rovoběžých sl Jsou-l paprsky tří ebo více (obecě ) sl P (,, ) rovoběžé a eleží v téže rově. Pokud jsou síly svslé (rovoběžé se souřadcovou osou z), pak každá síla musí mít zadáo působště a (x a, y a, z a ), velkost a smysl (zamékem). Souřadce x a, y a jsou zároveň ramey svslých sl vůč vodorovým souřadcovým osám. Prostorová soustava rovoběžých sl Zadaá síla a výsledce prostorové soustavy rovoběžých sl Obr / str / 56

51 Výsledce prostorové soustavy rovoběžých sl Postup př určováí výsledého účku prostorové soustavy rovoběžých sl: a) vypočítat velkost výsledce b) určt polohu výsledce d pomocí Vargoovy věty y. x P. x x P y. P. x y x. y x. P. y P. y Výsledý úček lze vyjádřt: a) výsledcí v počátku a x, y b) výsledcí d a paprsku procházejícím bodem x, y (vz obrázek 3.4.) Prostorová soustava rovoběžých sl Zadaá síla a výsledce prostorové soustavy rovoběžých sl Obr / str / 56

52 Příklad.7 Předmět výpočtu: výsledý úček prostorové soustavy rovoběžých sl P až P 4 Tabulkové řešeí: P [kn] x [m] y [m] P. y [knm] - P. x [knm] 30 0,0 0, ,4 0, ,6, ,0, Σ 50 Σ Souřadce paprsku výsledce d : x y 226,507m 50 y x 84,227m 50 Prostorová soustava rovoběžých sl 52 / 56

53 Podmíky rovováhy prostorové soustavy rovoběžých sl Prostorová soustava rovoběžých sl je v rovováze, jsou-l splěy 3 podmíky rovováhy, zajšťující ulovou hodotu výsledce (0) a ulovou hodotu obou složek x, y výsledého statckého mometu k souřadcovým osám x, y. slová podmíka P 0 2 mometové podmíky x m P. y j 0 y m y P. x j 0 Prostorová soustava rovoběžých sl 53 / 56

54 Statcký střed v prostoru Předpoklad vyšetřovaá soustava rovoběžých sl v prostoru má eulovou hodotu výsledce ( 0) a síly P mají svá působště o souřadcích x, y, z. Vyšetřovaá soustava rovoběžých sl v prostoru se otáčí tak, že paprsky zůstávají stále rovoběžé, síly P kolem svých působšť, výsledce d kolem pevého bodu s statckého středu prostorové soustavy rovoběžých sl. Cíl řešeí určeí souřadc x s, y s, z s statckého středu. Velkost výsledce P souřadce s (z Vargoovy věty) x Prostorová soustava rovoběžých sl y z... P. x P. y P. z Statcký střed v prostoru Obr / str / 56

55 Příklad.8 Předmět výpočtu: souřadce statckého středu s prostorové soustavy rovoběžých sl P až P 4 Tabulkové řešeí: P [kn] x [m] y [m] z [m] P. x [knm] P. y [knm] P. z [knm] 20 0,8-0,6 0, ,6,2-0, ,0,8 -, , -,4, Σ 00 Σ Souřadce statckého středu: x y z. P. x. P. y. P. z ,62m 3,32m 2,30m Prostorová soustava rovoběžých sl 55 / 56

56 Okruhy problémů k ústí část zkoušky. Podmíky rovováhy prostorového svazku sl 2. Podmíky rovováhy obecé prostorové soustavy sl 3. Statcký střed prostorové soustavy rovoběžých sl Podklady ke zkoušce 56 / 56

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil 3.3.3 Rová soustava s a oetů s Předpoady Všechy síy soustavy eží v edé rově. Všechy oety sou oé a tuto rovu. *) Souřadý systé voíe ta, že rova - e totožá s rovou s. y O *) Po.: Sový oet ůžee ahradt dvocí

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso 3.3 Soustav s a sových oetů soustava s a oetů sesupeí s a oetů s působících a těeso váští případ: svae s (paps všech s soustav se potíají v jedo bodě) soustava ovoběžých s (paps všech s soustav jsou aváje

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace.

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace. STUDUM OTÁčENÍ TUHÉHO TěLESA TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 1. Pracovní úkol (1) Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. (2) Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

DOPRAVNÍ STAVBY A KONSTRUKCE

DOPRAVNÍ STAVBY A KONSTRUKCE 0o Dopraví stavb a kostrukce 0o DOPRVNÍ STVBY KONSTRUKCE Rozsah výuk: 7 týdů * hod/týde 4 hodi cvičeí hodia obsah cvičeí Úvod; podmík pro uděleí zápočtu Používaé orm Přehled průřezů používaých ve stavebích

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Přímková a rovinná soustava sil

Přímková a rovinná soustava sil STAVEBNÍ STATIKA Ing. Lenka Lausová LH 47/1 tel. 59 73 136 římková a ovinná soustava sil lenka.lausova@vsb.c http://fast1.vsb.c/lausova Základní pojmy: Jednotková kužnice 1) Souřadný systém 1 sin potilehlá

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň

5.2.1. Matematika pro 2. stupeň 5.2.1. Matematika pro 2. stupeň Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6., 8. a 9. ročníku 4 hodiny

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed.

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed. Přirozená čísla Desetinná čísla IX. X. Přirozená čísla opakování všech početních výkonů, zobrazení čísel na číselné ose, porovnávání a zaokrouhlování čísel. Metody- slovní, názorně demonstrační a grafická.

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 2. VNITŘNÍ SÍLY PRUTU 2.1 Úvod * Jak konstrukce přenáší atížení do vaeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány? * Modelování (jednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 1 Prut: konstrukční prvek,

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m . Když od neznámého čísla odečtete 54, výsledek vydělíte 3 a následně přičtete 6, získáte číslo 9. Jaká je hodnota tohoto neznámého čísla? (A) 0 (B) 03 (C) 93 (D) 89 2. Na úsečce SV, jejíž délka je 3 cm,

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 6. ročník J.Coufalová : Matematika pro 6.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko,J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 6.ročník ZŠ (Prometheus)

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

Matematika 1.ročník str. učivo -témata číslo a početní operace geometrie Závislosti, vztahy a práce s daty

Matematika 1.ročník str. učivo -témata číslo a početní operace geometrie Závislosti, vztahy a práce s daty Matematika 1.ročník str. učivo -témata číslo a početní operace geometrie Závislosti, vztahy a práce s daty přirozená čísla 1 až 5 správně čte daná čísla vyhledává je na číselné ose řadí čísla lineárně

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více