Téma 11 Prostorová soustava sil

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Téma 11 Prostorová soustava sil"

Transkript

1 Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra stavebí mechaky Fakulta stavebí, VŠB - Techcká uverzta Ostrava

2 Zadáí síly prostorového svazku sl Tř ebo více sl ( obecě ) působí v prostoru o společém působšt, paprsky sl eleží v téže rově. Síla u prostorového svazku sl je určea (působště je dáo): a) prostředctvím složek P x, P y, P z kladépř shodě jejch smyslů s kladým smysly souřadcových os b) kladou velkostí P a třem směrovým úhly α, β, γ (mez kladým polopaprskem síly a odpovídající kladou souřadcovou poloosou) Platí: a) b) c) d) α o 80 α β 90 + o α β 90 β Prostorový svazek sl o o 80 o β + γ 90 β γ o cos α + cos β + cos γ γ o 80 o α + γ 90 α γ o 90 Zadáí síly prostorového svazku, kvádr sl Obr. 3.. / str / 56

3 Pravdlo o kvádru sl V rově axom o rovoběžíku sl, v prostoru obdoba pravdlo o rovoběžostěu sl. Pokud jsou tř skládaé síly kolmé a rovoběžé se souřadcovým osam kvádr sl. Pravdlo o kvádru sl: Výsledce tří osových složek síly o společém působšt je jedozačě určea tělesovou úhlopříčkou kvádru sl. Platí: P P + P + 2 x 2 y P 2 z Px cosα P P cos β P y P Pz cosγ P x P.cosα Py P.cos β z P P.cosγ Prostorový svazek sl Zadáí síly prostorového svazku, kvádr sl Obr. 3.. / str / 56

4 Výsledce prostorového svazku sl Postup určeí výsledce prostorového svazku sl: a) určt (pokud eí zadáo) složky P x, P y, P z každé ze sl P P x P.cosα P y P.cos β z P b) vypočítat výsledce tří přímkových soustav sl v souřadcových osách y P y x P x P.cosγ z P z c) určt velkost výsledce prostorového svazku sl a její směrové kosy (úhly) P P + P + 2 x 2 y P 2 z Px cosα P d) za působště výsledce je považováo většou společé působště a svazku sl, může mít povahu volého vektoru Py cos β P Pz cosγ P Prostorový svazek sl 4 / 56

5 Příklad. Určeí výsledce prostorového svazku čtyř sl Zadáí sl P,P 2,P 3,P 4 : P [kn] α [ o ] β [ o ] γ [ o ] P x [kn] P y [kn] P z [kn] , ,000-6,000-20, , ,000 22,000 26,000 (a) (b) (c) (d) Prostorový svazek sl Zadáí příkladu. Obr / str / 56

6 Příklad. Tabulkový výpočet: cos α cos β cos γ P x [kn] P y [kn] P z [kn] 0,5299 0,3090 0, ,37,743 30, ,000-6,000-20, ,657-0,3090-0, ,705-3,906-32, ,000 22,000 26,000 Σ -2,58 3,837 3, ( 2,58) + ( 3,837) + ( 3,390) 5,556kN cosα 2,58 5,556 0,3884 α o 2,86 3,837 cos β 0,6905 5,556 β o 46,33 3,390 cos γ 0,60 5,556 Prostorový svazek sl γ o 52,40 Výsledek příkladu. Obr / str / 56

7 Podmíky rovováhy prostorového svazku sl ovováha prostorového svazku sl - výsledce je rova ule: 0 Platí v případě: x P x 0 y P y 0 z P z 0 Podmíky rovováhy prostorového svazku sl Prostorový svazek sl 7 / 56

8 Příklad.2 Určeí velkost tří sl P 5, P 6 a P 7, kterým se prostorový svazek sl z příkladu 3. doplí. Požadavek rovovážý stav. Zadáo: α [ o ] β [ o ] γ [ o ] cos α cos β cos γ ,8660 0,0000 0, ,0000 0,5000 0, ,5000-0,8660 0,0000 Prostorový svazek sl Výsledek příkladu. Obr / str. 26 Zadáí příkladu.2 Obr / str / 56

9 Příklad.2 Podmíky rovováhy prostorového svazku sl osa x : P cosα P.cosα + P.cosα x P x osa y : P5. cos β5 + P6.cos β6 + P7.cos β7 + y 0 P y 0 osa z : atcový záps P5. cosγ 5 + P6.cosγ 6 + P7.cosγ 7 + z 0 P z 0 cosα 5 cosα6 cosα P Obecě [ A ]{. x} { b} 7 5 x cos β5 cos β6 cos β7. P6 y cosγ 5 cosγ 6 cosγ 7 P7 z Podmíka: det[ A] 0 Číselé řešeí atce [A] 0,8660 0,0000 0,5000 0,0000 0,5000-0,8660 0,5000 0,8660 0,0000 Vektor {b} 2,58-3,837-3,390 Řešeí -vektor {x} kořey soustavy P 5 [kn],534 P 6 [kn] -4,80 P 7 [kn],659 záporá hodota, uto upravt směrové úhly Prostorový svazek sl 9 / 56

10 Kotrola: Příklad.2 P [kn] α [ o ] β [ o ] γ [ o ] P x [kn] P y [kn] P z [kn] , ,000-6,000-20, , ,000 22,000 26,000 5, , , cos α cos β cos γ P x [kn] P y [kn] P z [kn] 0,5299 0,3090 0, ,37,743 30, ,000-6,000-20, ,657-0,3090-0, ,705-3,906-32, ,000 22,000 26, ,8660 0,0000 0,5000,329 0,000 0, ,0000-0,5000-0,8660 0,000-2,400-4,57 7 0,5000-0,8660 0,0000 0,829 -,437 0,000 Prostorový svazek sl je v rovováze Σ 0,000 0,000 0,000 Prostorový svazek sl 0 / 56

11 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl / 56

12 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 2 / 56

13 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 3 / 56

14 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 4 / 56

15 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 5 / 56

16 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 6 / 56

17 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 7 / 56

18 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová kostrukce letští haly v Římě, foto: Doc. Ig. Alos atera, CSc., BA Prostorový svazek sl 8 / 56

19 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Kocertí a předášková hala pro 500 ldí Sbelus Hall, Laht, Fsko, osá kostrukce vstupí haly z lepeého lamelového dřeva ve tvaru stromů, foto: Doc. Ig. Atoí Lokaj, Ph.D. Prostorový svazek sl 9 / 56

20 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Kocertí a předášková hala pro 500 ldí Sbelus Hall, Laht, Fsko, osá kostrukce vstupí haly z lepeého lamelového dřeva ve tvaru stromů, foto: Doc. Ig. Atoí Lokaj, Ph.D. Prostorový svazek sl 20 / 56

21 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Kocertí a předášková hala pro 500 ldí Sbelus Hall, Laht, Fsko, osá kostrukce vstupí haly z lepeého lamelového dřeva ve tvaru stromů, foto: Doc. Ig. Atoí Lokaj, Ph.D. Prostorový svazek sl 2 / 56

22 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Kocertí a předášková hala pro 500 ldí Sbelus Hall, Laht, Fsko, osá kostrukce vstupí haly z lepeého lamelového dřeva ve tvaru stromů, foto: Doc. Ig. Atoí Lokaj, Ph.D. Prostorový svazek sl 22 / 56

23 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorový svazek sl Petříská rozhleda, Praha 23 / 56

24 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorový svazek sl Petříská rozhleda, Praha 24 / 56

25 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorový svazek sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce plaveckého stadóu v Brě, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer 25 / 56

26 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorový svazek sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce plaveckého stadóu v Brě, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer 26 / 56

27 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorový svazek sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce plaveckého stadóu v Brě, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer 27 / 56

28 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce zmího stadóu v Brě, deší zdevastovaý stav, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer Prostorový svazek sl 28 / 56

29 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce zmího stadóu v Brě, deší zdevastovaý stav, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer Prostorový svazek sl 29 / 56

30 Ukázka využtí pozatků o prostorovém svazku sl Prostorová příhradová ocelová kostrukce zmího stadóu v Brě, deší zdevastovaý stav, autor osé kostrukce: Ig. Dr. Ferdad Lederer Prostorový svazek sl 30 / 56

31 Statcký momet síly k bodu v prostoru ova ρ proložea paprskem síly P a mometovým středem s, je lbovolě skloěa vůč souřadcovým osám. Pro statcký momet síly k bodu s v rově ρ platí pravdla pro rovou úlohu (poučky, zázorěí), kromě zamékové kovece (dvduálí pro každou úlohu). Platí: s P. p Začeí pomocí mometového vektoru, jehož paprsek o a paprsek síly tvoří pravoúhlé mmoběžé přímky. atematcký pops obtížý, vhodější pojem statckého mometu síly k ose o. Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Statcký momet síly k bodu v prostoru Obr / str / 56

32 Statcký momet síly k ose Statcký momet o síly P k ose o, kteráje kolmáa přtom mmoběžá vzhledem k paprsku síly, má absolutí hodotu dáu vzorcem: o P. p kde p je ejkratší délka příčky obou mmoběžých přímek. atematcký pops stále obtížý, proto se statcký momet určuje pomocí osových složek sl, vztažeých k souřadcovým osám. Úmluva prot-prot, vzdáleost p dáy souřadcem. Řešeí: P. z + P. y x y x y z z P. z P. x P. y + P. x z (každá složka síly vyvozuje statcký momet pouze ke dvěma osám, emá vlv a statcký momet k ose rovoběžé) Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru x y Statcké momety osových složek síly k souřadcovým osám Obr / str / 56

33 Příklad.3 Zadáo: souřadce působště a, složky síly P x a P z Předmět výpočtu: statcké momety x, y a z k souřadcovým osám Řešeí: x Pz ( 30)(.,4 ) 42kNm. y + y 50. Px. z Pz. x (,8 ) ( 30).2,3 2kNm z (,4 ) 70kNm Px. y Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Zadáí příkladu.3 Obr / str / 56

34 Dvojce sl v prostoru Defováa stejě jako u rové úlohy. Působí však v rově ρ, která je k souřadcovým osám lbovolě akloěa. Statcký momet dvojce sl v prostoru: Platí: a) je stejý ke všem bodům vyšetřovaého tuhého tělesa (a) b) se ezměí, pootočí-l se dvojce sl v ρ ebo posue-l se rovoběžě s ρ P. p (b) c) Dvojc sl lze ahradt statckým mometem v působšt mometu dvojce sl d) grafcké zázorěí stejé jako u rové úlohy, volý mometový vektor e) pracuje se se statckým momety v rovách rovoběžým se souřadcovým rovam (uverzálí zaméková kovece) Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Dvojce sl v prostoru Obr / str / 56

35 Skládáí statckých mometů Soustavu dvojc sl (jejch statckých mometů) tvoří ěkolk ( obecě m ) dvojc sl se statckým momety j (j,, m). Působí-l dvojce sl v téže rově ebo rovách rovoběžých lze algebracky sčítat, jak uto skládat s využtím kvádru sl. Působeí v souřadcových rovách Výsledý mometový vektor: + + j 2 jx 2 jy 2 jz Sklo dá směrovým úhly: cos λ j jx jx j j cos μ.cos λ Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru j j Opačá úloha rozklad: jy j.cos μ j jy j cosν jz j j jz.cosν j j Skládáí statckých mometů Obr / str / 56

36 Řešeí: ovoběžý posu síly v prostoru Společý úček síly F a statckého mometu lze vyjádřt rovoběžým posuutím síly F v rově ρ o vzdáleost d, aby ke svému původímu působšt vykazovala momet. d F Naopak: Je-l zadáa pouze síla F a v rově ρ se posue o vzdáleost d, uto přdat statcký momet opačého smyslu, ež jaký vyvozuje síla F po svém posuu k původímu působšt. Řešeí: F. d Příklad: Př posuu P x do počátku O (dvojí posuutí o z a y ) P. z Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru y x P. y z x Statcké momety osových složek síly k souřadcovým osám Obr / str / 56

37 Příklad.4 Předmět výpočtu: statcké momety x, y a z k souřadcovým osám, vyvolaé rovoběžým posuem sl P x, P y a P z do počátku souřadcové soustavy (Příklad.3). Řešeí: x Pz. y +42kNm y z (a) Px z. z P. x 2kNm Px. y +70kNm (b) Zadáí příkladu.3 Obr / str. 30 Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Výsledek příkladu.4 Obr / str / 56

38 Obecá prostorová soustava sl Působí-l a těleso obecě sl P (,, ), jejchž růzá působště ebo paprsky eleží v téže rově. Součástí mohou být statcké momety dvojc sl (j,, m) v obecě růzých rovách. Zadáí sl: souřadce působště síly x a, y a, z a, velkost, směr a smysl stejě jako u prostorového svazku sl. Zadáí statckých mometů: obdobě jako síla, vz obr.3.8. Zadáí síly prostorového svazku Obr. 3.. / str. 25 Obecá prostorová soustava sl Skládáí statckých mometů Obr / str / 56

39 Postup: Výsledý úček obecé prostorové soustavy sl a) pro každou sílu P určt složky P x, P y, P z b) určt osové složky výsledce x, y, z x P x y P y z P z c) vypočítat velkost výsledce a její směrové úhly, působště v počátku x 2 y 2 z cosα x cos β y cosγ d) všechy složky sl P x, P y, P z přemístt do počátku O, určt statcké momety x, y a z, otáčející kolem souřadcových os (vz příklad 3.4) e) vypočítat algebracké součty pravoúhlých složek mometů, způsobeých přesuy sl x x y y z z z Obecá prostorová soustava sl 39 / 56

40 Postup: Výsledý úček obecé prostorové soustavy sl f) pro každý zadaý momet j vypočítat jeho složky jx, jy a jz v souřadcových rovách jx j.cos λ j jy j.cos μ j jz j.cosν j g) sečíst složky zadaých mometů s momety způsobeým přesuy sl a určt pravoúhlé složky výsledého statckého mometu m x jx + j x m y jy + j y m z jz + j z h) vypočítat (pomocí pravdla o kvádru sl) výsledý statcký momet a směrové úhly jeho vektorové úsečky x 2 y 2 z cos λ x cos μ y cosν z Obecá prostorová soustava sl 40 / 56

41 Výsledý úček obecé prostorové soustavy sl Výsledý úček obecé prostorové soustavy lze vyjádřt: a) šestcí objektů: třem složkam x, y, z slové výsledce a třem složkam x, y, z výsledého statckého mometu, ejčastější způsob b) dvěma objekty: výsledcí a výsledým statckým mometem, tzv. bvektor ebo dyama, používá se zřídkakdy pro obtížost matematckého zápsu c) tzv. šroubem, mometový vektor lze rozložt a složku ležící v paprsku a složku kolmou k, která se může ahradt rovoběžým posuem o vzdáleost d do cetrálí osy prostorové soustavy sl c, evyužívá se pro svou svízelost. Obecá prostorová soustava sl Bvektor Obr / str. 33 Šroub Obr. 3.. / str / 56

42 Příklad.5 Zadáo: síly P a P 2 P [kn] α [ o ] β [ o ] γ [ o ] cos α cos β cos γ P x [kn] P y [kn] P z [kn] ,754 0,4695 0,608 0,646 7,840 22,869 24,55 2 6,000-0,000-8,000 Σ 33,840 2,869 6,55 (a) (b) Obecá prostorová soustava sl Zadáí příkladu.5 Obr / str / 56

43 Příklad.5 Zadáo: statcký momet j j [knm] λ [ o ] μ [ o ] ν [ o ] cos α cos β cos γ jx [knm] jy [knm] jz [knm] ,707 0,707 0, ,426 42,426 0,000 (c) Obecá prostorová soustava sl Zadáí příkladu.5 Obr / str / 56

44 Příklad.5 Předmět výpočtu: výsledý úček obecé prostorové soustavy sl Postup výpočtu: a) Výpočet osových složek výsledce zadaých sl P [kn] α [ o ] β [ o ] γ [ o ] cos α cos β cos γ P x [kn] P y [kn] P z [kn] ,754 0,4695 0,608 0,646 7,840 22,869 24,55 2 6,000-0,000-8,000 Σ 33,840 2,869 6,55 b) Výpočet mometových složek způsobeých přeložeím sl x [m] y [m] z [m] x [knm] y [knm] z [knm] 2,8,4 0,8 6,076-54,470 39, ,6 -, 7,800 8,400 5,600 Σ 33,876-36,070 44,657 c) Výpočet složek zadaého mometu j j [knm] λ [ o ] μ [ o ] ν [ o ] cos α cos β cos γ jx [knm] jy [knm] jz [knm] ,707 0,707 0, ,426 42,426 0,000 Obecá prostorová soustava sl 44 / 56

45 Příklad.5 d) Výpočet složek výsledého mometu a vyjádřeí výsledého účku pomocí šestce objektů x [kn] y [kn] z [kn] x [knm] y [knm] z [knm] 33,840 2,869 6,55-8,55 6,356 44,657 Výsledý úček lze rověž pomocí bvektoru: x 2 y 2 z cosα x cos β y cosγ z x 2 y 2 z cos λ x cos μ Obecá prostorová soustava sl y cosν z Výsledek příkladu.5 Obr / str / 56

46 Podmíky rovováhy obecé prostorové soustavy sl Obecá prostorová soustava sl je v rovováze, je-l splěo 6 podmíek rovováhy, zajšťující ulovou hodotu výsledce (0) a ulovou hodotu výsledého statckého mometu ( 0). 3 slové podmíky x P x 0 y P y 0 z P z 0 3 mometové podmíky m x jx + x 0 y jy + y 0 z jz + z 0 j m j m j Obecá prostorová soustava sl 46 / 56

47 Příklad.6 Předmět výpočtu: Určeí velkost tří sl P, P 2 a P 3, a tří statckých mometů, 2 a 3, kterým se doplí soustava sl z příkladu.5. Požadavek rovovážý stav. Výsledý úček soustavy z příkladu.5 x [kn] y [kn] z [kn] x [knm] y [knm] z [knm] 33,840 2,869 6,55-8,55 6,356 44,657 Výsledek příkladu.5 Obr / str. 34 Obecá prostorová soustava sl Zadáí příkladu.6 Obr / str / 56

48 Příklad.6 Řešeí: uplatt jedotlvé podmíky rovováhy ve vhodém pořadí a) slová podmíka ve směru osy y: y + P 0 2 P 2 b) slová podmíka ve směru osy x: o x + P3.cos 60 0 P 3 c) slová podmíka ve směru osy z: o z + P + P3.cos 30 0 P Obecá prostorová soustava sl Zadáí příkladu.6 Obr / str / 56

49 Příklad.6 o d) mometová podmíka k ose x: x 3 + P3.cos30.3,3 0 3 e) mometová podmíka k ose y: f) mometová podmíka k ose z:. o y 2 P 2,8 P3.cos30.6, o z + P2 2,8 P3.cos60.3,3 0 Pozámka: záporé hodoty výsledků zameají, že skutečé smysly sl a mometů jsou opačé ež předpokládaé Obecá prostorová soustava sl Zadáí příkladu.6 Obr / str / 56

50 Prostorová soustava rovoběžých sl Jsou-l paprsky tří ebo více (obecě ) sl P (,, ) rovoběžé a eleží v téže rově. Pokud jsou síly svslé (rovoběžé se souřadcovou osou z), pak každá síla musí mít zadáo působště a (x a, y a, z a ), velkost a smysl (zamékem). Souřadce x a, y a jsou zároveň ramey svslých sl vůč vodorovým souřadcovým osám. Prostorová soustava rovoběžých sl Zadaá síla a výsledce prostorové soustavy rovoběžých sl Obr / str / 56

51 Výsledce prostorové soustavy rovoběžých sl Postup př určováí výsledého účku prostorové soustavy rovoběžých sl: a) vypočítat velkost výsledce b) určt polohu výsledce d pomocí Vargoovy věty y. x P. x x P y. P. x y x. y x. P. y P. y Výsledý úček lze vyjádřt: a) výsledcí v počátku a x, y b) výsledcí d a paprsku procházejícím bodem x, y (vz obrázek 3.4.) Prostorová soustava rovoběžých sl Zadaá síla a výsledce prostorové soustavy rovoběžých sl Obr / str / 56

52 Příklad.7 Předmět výpočtu: výsledý úček prostorové soustavy rovoběžých sl P až P 4 Tabulkové řešeí: P [kn] x [m] y [m] P. y [knm] - P. x [knm] 30 0,0 0, ,4 0, ,6, ,0, Σ 50 Σ Souřadce paprsku výsledce d : x y 226,507m 50 y x 84,227m 50 Prostorová soustava rovoběžých sl 52 / 56

53 Podmíky rovováhy prostorové soustavy rovoběžých sl Prostorová soustava rovoběžých sl je v rovováze, jsou-l splěy 3 podmíky rovováhy, zajšťující ulovou hodotu výsledce (0) a ulovou hodotu obou složek x, y výsledého statckého mometu k souřadcovým osám x, y. slová podmíka P 0 2 mometové podmíky x m P. y j 0 y m y P. x j 0 Prostorová soustava rovoběžých sl 53 / 56

54 Statcký střed v prostoru Předpoklad vyšetřovaá soustava rovoběžých sl v prostoru má eulovou hodotu výsledce ( 0) a síly P mají svá působště o souřadcích x, y, z. Vyšetřovaá soustava rovoběžých sl v prostoru se otáčí tak, že paprsky zůstávají stále rovoběžé, síly P kolem svých působšť, výsledce d kolem pevého bodu s statckého středu prostorové soustavy rovoběžých sl. Cíl řešeí určeí souřadc x s, y s, z s statckého středu. Velkost výsledce P souřadce s (z Vargoovy věty) x Prostorová soustava rovoběžých sl y z... P. x P. y P. z Statcký střed v prostoru Obr / str / 56

55 Příklad.8 Předmět výpočtu: souřadce statckého středu s prostorové soustavy rovoběžých sl P až P 4 Tabulkové řešeí: P [kn] x [m] y [m] z [m] P. x [knm] P. y [knm] P. z [knm] 20 0,8-0,6 0, ,6,2-0, ,0,8 -, , -,4, Σ 00 Σ Souřadce statckého středu: x y z. P. x. P. y. P. z ,62m 3,32m 2,30m Prostorová soustava rovoběžých sl 55 / 56

56 Okruhy problémů k ústí část zkoušky. Podmíky rovováhy prostorového svazku sl 2. Podmíky rovováhy obecé prostorové soustavy sl 3. Statcký střed prostorové soustavy rovoběžých sl Podklady ke zkoušce 56 / 56

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

TĚŽIŠTĚ A STABILITA. Těžiště tělesa = bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech jeho hmotných bodů, ať těleso natáčíme jakkoli

TĚŽIŠTĚ A STABILITA. Těžiště tělesa = bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech jeho hmotných bodů, ať těleso natáčíme jakkoli SAIKA - těžště ĚŽIŠĚ A SABILIA ěžště tělesa bod, kterým stále prochází výsledce tíhových sl všech jeho hmotých bodů, ať těleso atáčíme jakkol bod, ke kterému astává rovováha mometů způsobeých tíhou jedotlvých

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

Stabilita svahu Mechanika hornin a zemin - cvičení 05

Stabilita svahu Mechanika hornin a zemin - cvičení 05 Iovace studjího oboru eotechka reg. č. CZ..07/2.2.00/28.0009 Stablta svahu Mechaka hor a zem - cvčeí 05 Iovace studjího oboru eotechka reg. č. CZ..07/2.2.00/28.0009 Slové metody (metody mezí rovováhy)

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST Studjí obor (kód a ázev): -4-M/00 Strojíreství - - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště,

Více

6. PŘEDNÁŠKA LETNÍ 2010

6. PŘEDNÁŠKA LETNÍ 2010 6. PŘEDNÁŠKA LETNÍ 00 Vsoká škola báňskb ská Techcká uverzta Ostrava Horcko-geologck geologcká fakulta Isttut geodéze a důld lího ěř ěřctví II Ig. Haa Staňková, Ph.D. 6. Určov ováí plošých obsahů Určov

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzt N Rybíčku, 746 0 Opv DENNÍ STUDIUM Alytcká geoetre Té 5.: Shodá zobrzeí Defce 5.. Zobrzeí f eukldovského prostoru E do eukldovského prostoru E se zývá shodé (zoetrcké),

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil 3.3.3 Rová soustava s a oetů s Předpoady Všechy síy soustavy eží v edé rově. Všechy oety sou oé a tuto rovu. *) Souřadý systé voíe ta, že rova - e totožá s rovou s. y O *) Po.: Sový oet ůžee ahradt dvocí

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Projekt realizovaný na SPŠ Nové Město nad Metují. s finanční podporou v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Královéhradeckého kraje

Projekt realizovaný na SPŠ Nové Město nad Metují. s finanční podporou v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Královéhradeckého kraje Projekt realoaý a SPŠ Noé Město ad Metují s fačí podporou Operačím programu Vdělááí pro kokureceschopost Králoéhradeckého kraje Modul - Techcké předměty Ig. Ja Jemelík - fukčí soustay součástí, které slouží

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

obsah obsah... 5 Přehled veličin... 7

obsah obsah... 5 Přehled veličin... 7 Obsah 5 obsah obsah... 5 Přehled veliči... 7 Úvodem... 9 Předmluva... 10 1 Úvod do mechaiky... 11 1.1 ozděleí mechaiky... 11 1.2 Základí pojmy... 11 1.2.1 O pohybu a prostoru v mechaice... 11 1.2.2 Hmota...

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso 3.3 Soustav s a sových oetů soustava s a oetů sesupeí s a oetů s působících a těeso váští případ: svae s (paps všech s soustav se potíají v jedo bodě) soustava ovoběžých s (paps všech s soustav jsou aváje

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT ANALÝZA A KLASIFIKACE DA prof. Ig. Jří Holčík, CSc. INVESICE Isttut DO bostatstky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE pokračováí Isttut bostatstky a aalýz (SUPPOR VECOR MACHINE SVM) SEPARABILNÍ

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1.

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1. Katedra obecé eletrotechiy Faulta eletrotechiy a iformatiy, VŠB - TU Ostrava EERGETIKA U ŘÍZEÝCH EEKTRICKÝCH POHOŮ Předmět : Rozvody eletricé eergie v dolech a lomech. Úvod: Světový tred z hledisa eletricé

Více

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5 Fakula srojího ižeýrsví VUT v Brě Úsav kosruováí KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody Předáška 5 Čelí soukolí se šikmými zuby hp://www.audiforum.l/ Moderaio is bes, ad o avoid all exremes. PLUTARCHOS Čelí soukolí

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 8

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 8 akulta strojího ižeýrství VUT v Brě Ústav kostruováí KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody Předáška 8 Šeková soukolí http://www.survivigworldsteam.com/ Kdo sleduje dějiy filosofie a přírodích věd, zjistí, že ejvětší

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

stručná osnova jarní semestr podzimní semestr

stručná osnova jarní semestr podzimní semestr Brýlová optika stručá osova jarí semestr základy geometrické optiky pro brýlovou optiku Gullstradovo schématické oko, další modely, otoreceptory oka, vizus, optotypy myopie, hypermetropie, aakie a jejich

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti.

1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti.. Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné osy rotace kvádru v souřadné soustavě dané hlavními

Více

Obr. Z1 Schéma tlačné stanice

Obr. Z1 Schéma tlačné stanice Části a mechaismy strojů III Předmět : 34750/0 Části a mechaismy strojů III Cvičí : Doc Ig Jiří Havlík, PhD Ročík : avazující Školí rok : 00 0 Semestr : zimí Zadáí cvičeí Navrhěte a kostrukčě zracujte

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

7.1.3 Vzdálenost bodů

7.1.3 Vzdálenost bodů 7.. Vzdálenost bodů Předpoklady: 70 Př. : Urči vzdálenost bodů A [ ;] a B [ 5;] obecný vzorec pro vzdálenost bodů A[ a ; a ] a [ ; ]. Na základě řešení příkladu se pokus sestavit B b b. y A[;] B[5;] Z

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI s-tého STUPNĚ. Daniela Bittnerová

ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI s-tého STUPNĚ. Daniela Bittnerová The Mthemtc Educto to the t Cetury Project Proceedg of the Itertol Coferece The Decdble d the Udecdble Mthemtc Educto Bro, Czech Republc, September 00 ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI -TÉHO STUPNĚ Del Btterová

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

BSI. Trámové botky s vnitřními křidélky Trojrozměrná spojovací deska z uhlíkové oceli s galvanickým zinkováním BSI - 01 ÚČINNÉ ODKLONĚNÝ OHYB

BSI. Trámové botky s vnitřními křidélky Trojrozměrná spojovací deska z uhlíkové oceli s galvanickým zinkováním BSI - 01 ÚČINNÉ ODKLONĚNÝ OHYB SI Trámové botky s vitřími křidélky Trojrozměrá spojovací deska z uhlíkové oceli s galvaickým zikováím ÚČINNÉ Stadardizovaý, certifikovaý, rychlý a ekoomický systém OLASTI POUŽITÍ Smykové spoje dřevo-dřevo,

Více

Výslednice, rovnováha silové soustavy.

Výslednice, rovnováha silové soustavy. Výslednce, ovnováha slové soustavy. Základy mechanky, 2. přednáška Obsah přednášky : výslednce a ovnováha slové soustavy, ovnce ovnováhy, postoová slová soustava Doba studa : as 1,5 hodny Cíl přednášky

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK VZDĚLÁVACÍ OBLAST: VZDĚLÁVACÍ OBOR: PŘEDMĚT: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA MATEMATIKA - 4. ROČNÍK Téma, učivo Rozvíjené kompetence, očekávané výstupy Mezipředmětové vztahy Poznámky Opakování ze

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Veličiny charakterizující geometrii ploch

Veličiny charakterizující geometrii ploch Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

Katedra elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava

Katedra elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava Katedra elektrotechiky Fakulta elektrotechiky a iformatiky, VŠB - TU Ostrava 10. STŘÍDAVÉ STROJE Obsah 1. Asychroí stroje 1. Výzam a použití asychroích strojů 1.2 Pricip čiosti a provedeí asychroího motoru.

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

Kritické otáčky - kritický počet otáček souhlasí s počtem kmitů

Kritické otáčky - kritický počet otáček souhlasí s počtem kmitů Hřídele a čepy Nosé hřídele - ehybé - uložeí laové kladky R l Mo max (F * l)/4 - otočé - áprava vozidel R Pohybové hřídele - přeášejí otáčivý pohyb i kroutící momet Rozděleí - plé - drážkové (apř. 6 drážek)

Více

Základní škola Náchod Plhov: ŠVP Klíče k životu

Základní škola Náchod Plhov: ŠVP Klíče k životu VZDĚLÁVACÍ OBLAST: VZDĚLÁVACÍ OBOR: PŘEDMĚT: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA MATEMATIKA 5. ROČNÍK Téma, učivo Rozvíjené kompetence, očekávané výstupy Mezipředmětové vztahy Opakování a aktivizace

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

TEMATICKÝ,časový PLÁN vyučovací předmět : matematika ročník: 5. Školní rok_2014/2015 vyučující: Lenka Šťovíčková. Zařazená průřezová témata OSV OSV

TEMATICKÝ,časový PLÁN vyučovací předmět : matematika ročník: 5. Školní rok_2014/2015 vyučující: Lenka Šťovíčková. Zařazená průřezová témata OSV OSV Školní rok_2014/2015 vyučující: Lenka Šťovíčková Září Opakuje početní výkony a uplatňuje komutativní, asociativní a distributivní zákon v praxi. G.:narýsuje přímku, polopřímku, kolmici, rovnoběžky, různoběžky.

Více