SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek"

Transkript

1 SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3

2 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN Mla Křápek, 3

3 Název Statstka Určeí Pro výuku oborů Účetctví a fačí řízeí podku, Marketg a maagemet v kombovaé formě studa a Soukromé vysoké škole ekoomcké Zojmo - 3. semestr Garat/autor Mgr. Mla Křápek Recezoval "[jméo a příjmeí recezeta včetě ak. ttulů]" Cíl Vymezeí cíle Sezámt čteáře se základím pojmy statstky a pravděpodobost. Ukázat jejch možé aplkace v pra. Dovedost a zalost získaé po studu tetu Čteář po prostudováí tohoto tetu bude zát hlaví pojmy statstky. Rozlšovat růzé charakterstky statstckých proměých a bude je správě používat a terpretovat. Také pochopí základí myšleky teore pravděpodobost a sezámí se s jejím využtím ve statstce. V posledích kaptolách pak získá zalost jak popsovat pravděpodobost spojtých velč a jakým způsobem s takovým pravděpodobostm můžeme pracovat a využívat je př predkc.

4 Obsah: ZÁKLADNÍ POJMY STATISTIKY...8. HROMADNÉ JEVY...8. STATISTICKÝ SOUBOR ZÁKLADNÍ A VÝBĚROVÝ SOUBOR STATISTICKÝ ZNAK....5 PROMĚNNÉ....6 STATISTICKÉ ŠETŘENÍ... ZÁKLADNÍ ZPRACOVÁNÍ STATISTICKÝCH DAT...4. ZPRACOVÁNÍ KATEGORIÁLNÍCH PROMĚNNÝCH Tabulka četostí Grafy a dagramy Mutablta...6. ZPRACOVÁNÍ NUMERICKÝCH PROMĚNNÝCH Prosté rozděleí četostí Grafcké zázorěí výsledků prostého rozděleí Itervalové rozděleí četost CHARAKTERISTIKY POLOHY PRŮMĚRY Artmetcký průměr Geometrcký průměr Harmocký průměr Kvadratcký průměr KVANTILY Výpočet kvatlů prostého rozděleí Odhad kvatlů tervalového rozděleí Přehled ázvů často používaých kvatlů Krabcový dagram CHARAKTERISTIKY VARIABILITY CHARAKTERISTIKY ABSOLUTNÍ VARIABILITY Varačí rozpětí Kvatlová rozpětí Rozptyl Směrodatá odchylka Průměrá odchylka Kvatlové odchylky CHARAKTERISTIKY RELATIVNÍ VARIABILITY Varačí koefcet Relatví průměrá odchylka CHARAKTERISTIKY KONCENTRACE ŠIKMOST ŠPIČATOST Koefcet špčatost...54

5 5.. Lorezova křvka LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST KOVARIANCE KORELAČNÍ KOEFICIENT INDEXNÍ ANALÝZA ABSOLUTNÍ POROVNÁVÁNÍ RELATIVNÍ POROVNÁVÁNÍ INDEXY Jedoduché dvduálí dey Složeé dvduálí dey Souhré dey ZÁKLADNÍ POJMY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÝ JEV OPERACE S NÁHODNÝMI JEVY DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI AXIOMATICKÁ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI KLASICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI GEOMETRICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI STATISTICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI...8 VLASTNOSTI PRAVDĚPODOBNOSTI PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST NEZÁVISLÉ NÁHODNÉ JEVY PRAVIDLO O SČÍTÁNÍ PRAVDĚPODOBNOSTÍ PRAVIDLO O NÁSOBENÍ PRAVDĚPODOBNOSTÍ ÚPLNÁ PRAVDĚPODOBNOST BAYESOVA VĚTA...9 NÁHODNÁ VELIČINA...9. ROZDĚLENÍ NÁHODNÉ VELIČINY...9. DISTRIBUČNÍ FUNKCE PRAVDĚPODOBNOSTNÍ FUNKCE HUSTOTA PRAVDĚPODOBNOSTI...96 CHARAKTERISTIKY NÁHODNÉ VELIČINY OBECNÉ MOMENTY Středí hodota.... CENTRÁLNÍ MOMENTY..... Rozptyl NORMOVANÉ MOMENTY Škmost Špčatost CHARAKTERISTIKY POLOHY CHARAKTERISTIKY VARIABILITY NÁHODNÝ VEKTOR SDRUŽENÁ DISTRIBUČNÍ FUNKCE SDRUŽENÁ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ FUNKCE...

6 3.3 SDRUŽENÁ HUSTOTA PRAVDĚPODOBNOSTI MARGINÁLNÍ FUNKCE...5

7 ÚVOD Statstka je věda, kterou každý z ás zá hlavě z médí, kde jsou ám každodeě předkládáy průzkumy oblby, průměré platy, hodoty flace a podobé údaje, které přímo vycházejí ze statstky a ldé, kteří statstce erozumí se poté dví, proč jsou tyto údaje tak odlšé od jejch skutečého žvota. Ovšem v deší společost se se statstkou setkáváme každý de a to mohem častěj ež s uvědomujeme. Ať už vyjdeme ze základích využtí, jako jsou apříklad popsy složeí a trvalvost výrobků, které deě kupujeme, ebo určováí výše platu zaměstavatelem tak, aby erskoval ztrátovost podku, až po ty složtější jako jsou vývoj ových výrobků a ověřováí jejch ezávadost a trvalvost, č správé dávkováí léčv pacetům, všude ajdeme určtou část statstky. Př správém porozuměí těmto pojmům ám tyto údaje, mohou poskytout ceé formace, pro člověka je tedy vhodé rozumět alespoň základím prcpům této vědy a tím také lépe porozumět fugováí společost, ve které žje. V ekoomckých vědách se statstka využívá také k predkováí budoucost a tím určováí výhodost růzých vestčích možostí a maažerských rozhodutí. K tomu slouží často velm drahé počítačové aplkace a ještě dražší sady formací, z chž tyto aplkace mohou azačovat pravděpodobý další vývoj. Maažer, který tyto prcpy pochopí ebo je alespoň dokáže efektvě využít, má samozřejmě ad ostatím výhodu.

8 ZÁKLADNÍ POJMY STATISTIKY CÍL Cílem kaptoly je sezámt čteáře se základím pojmy používaým v ostatích částech tetu. Vysvětlt rozdíly mez statstckým proměým. Popsat způsoby získáváí statstckých dat a upozort a možé chyby, jejchž výsledkem mohou být zkresleé výsledky. ČASOVÁ ZÁTĚŽ STUDIUM KAPITOLY: 6 mut PROCVIČOVÁNÍ: 5 mut Pojem statstka v současé době představuje:. Číselé a sloví údaje a jejch souhry o ejrůzějších hromadých jevech.. Čost spočívající v získáváí statstckých dat, jejch tříděí a zpracováí. 3. Vědu zabývající se zkoumáím statstckých zákotostí hromadých jevů a vývoj vědeckých metod sběru, zpracováí a aalyzováí dat.. Hromadé jevy Hromadé jevy jsou jevy vyskytující se mohokrát a mohou se stále opakovat. Hromadé jevy rozdělujeme a dva typy. Prvím typem jsou hromadé jevy spočívající v opakováí určtého pozorováí č měřeí stejého objektu. Důvodem může být úmysl zjstt skutečou hodotu pomocí průměru těchto epřesých měřeí, ebo také zkoumáí přesost zvoleého postupu měřeí č pozorováí. Druhým typem hromadých jevů je moža růzých podobých objektů, u chž zkoumáme určtou vlastost, kterou má každý z těchto objektů v růzé míře. Zajímá ás poté rozsah hodot této vlastost, ejčastější hodota, průměrá hodota apod. PŘÍKLAD Příkladem prvího typu, mohou být měřeí teploty v bytě v pravdelých tervalech, ebo počítáí počtu vozdel, které projedou určeou křžovatkou během de, pokud teto průzkum probíhá více dí. Druhým typem hromadých jevů může být apříklad výstupí kotrola výrobků, určováí složeí a doby trvalvost výrobků za účelem tsku etket, a podobě.. Statstcký soubor Př zkoumáí vlastostí je potřeba předem zvolt možu zkoumaých objektů. Tyto objekty mají celou řadu vlastostí, z chž ěkteré jsou růzé, ale ěkteré jsou u zvoleých objektů totožé. Právě podle totožých vlastostí můžeme určt, zda lbovolý objekt patří č epatří do zkoumaé možy. Statstckým souborem azýváme zkoumaou možu, u íž jsou přesě určey společé vlastost, a tím je jedozačě dáo, které objekty patří do zkoumaého souboru. PŘÍKLAD Možu dospělých osob můžeme defovat jako ld, kteří dosáhl 8 let věku. Pouhá defce pomocí spojeí dospělá osoba emusí být zcela jedozačá, eboť v růzých kulturách se defce dospělé osoby může lšt, proto je třeba pojem upřest buď počtem let, ebo určt podle kterých zákoů č zvyků budeme vlastost posuzovat. 8 S t r á k a

9 Prvky statstckého souboru azýváme statstcké jedotky. Počet statstckých jedotek statstckého souboru se azývá rozsah statstckého souboru. Rozsah statstckého souboru může být koečý, což ovšem ezameá, že jsme schop zjstt kokrétí hodotu, ale také může být ekoečý. PŘÍKLAD Počet studetů v učebě př prví předášce předmětu Statstka I, je koečý a teto počet můžeme sado zjstt. Počet osob, které dosáhly 8 let věku v tomto okamžku, je jstě také koečý, ale ejsme schop určt teto počet. Naopak př zkoumáí určté vlastost u vyráběých výrobků po celou dobu probíhající výroby, eí možé tuto vlastost změřt, eboť stále vzkají další objekty ze zvoleého statstckého souboru a rozsah tohoto souboru v tuto chvíl považujeme za ekoečý. Podobě je pro ás ekoečý statstcký soubor obsahující možství srážek za de, které získává meteorologcká stace..3 Základí a výběrový soubor Základí soubor, populace - je takový statstcký soubor, ve kterém pozáí ěkterých vlastostí tohoto souboru je cílem statstckého zkoumáí. Pokud je základí soubor velm rozsáhlý, eí praktcky uskutečtelé zkoumáí každé statstcké jedotky. PŘÍKLAD Zjšťováí ázorů a úpravu áměstí všech obyvatel města, jstě by takový průzkum byl možý, ovšem jeho časové fačí áklady by byly obrovské. Proto se obvykle volí sazší způsob jak určt způsob úpravy. Určí se apříklad ěkolk možostí od růzých archtektů a poté řešíme pouze výběr jedé z těchto varat. Někdy takové zkoumáí a eí možé, zvláště v případě kdy zjšťováí potřebých údajů vede k fyzckému zčeí statstcké jedotky, v takových případech jsou ze základího souboru vybráy je ěkteré statstcké jedotky, které jsou dále podrobey zkoumáí. Jedá se hlavě o destruktví testy, které zkoumaou jedotku zehodotí, tak že eí možé její další prodej, č užíváí, ebo je určtým způsobem ztíže. PŘÍKLAD Měřeí doby prohořeí u stavebího materálu, č určováí kvalty vía ochutáváím jsou příklady statstckých zjšťováí, které eí možé provádět a celém základím souboru. Pokud bychom ochutal všechy lahve vía, které vyrobíme, ebylo by co prodávat. Vybraou možu statstckých jedotek ze základího souboru azýváme výběrový soubor. Výběrový soubor by měl být co ejlepším reprezetatem základího souboru. Výběr vhodého souboru je ejpodstatější částí průzkumu, chybým postupem je možé získat zcela zkresleé údaje. Chybý výběr může být eúmyslý, kdy zkoumající a základě chybějících údajů č zkušeostí chybě určl výběrový soubor. Také může jít o úmyslý chybý výběr, čímž může zkoumající díky správému odhadu, uměle zkreslt výsledky zkoumáí ve svůj prospěch. Je tedy vhodé co ejpřesěj popsat postup vybíráí, aby bylo zřejmé, že byl zvole správý postup. Máme dva způsoby výběru statstckých jedotek:. Záměrý výběr - odborík a základě zalostí vybere statstcké jedotky tak, aby věrě reprezetovaly základí soubor.. Náhodý výběr - výběr je přeechá áhodě, losováí, tabulka áhodých čísel, systematcký výběr a podobě PŘÍKLAD 9 S t r á k a

10 Př předvolebích průzkumech se často objevují růzé předpověd výsledků. Protože tyto průzkumy probíhají pomocí dotazováí ldí a ulc je jstě velm důležté v kterou deí hodu a ve které část města bude dotazováí probíhat. V ulc před ejdražším obchody a hotely budou výsledky jstě zcela jé ež př dotazováí u východu z velké továry..4 Statstcký zak Statstcký zak - údaj o určté vlastost každé statstcké jedotky uvažovaého statstckého souboru. Počet hodot tohoto zaku odpovídá rozsahu statstckého souboru. Hodota statstckého zaku, pozorováí - je ozačeí stupě uvažovaé vlastost u každé jedotlvé statstcké jedotky. Každá statstcká jedotka statstckého souboru má jedu hodotu tohoto zaku. Statstcký zak může abývat růzého počtu obmě (varat). Podle jejch počtu je rozdělujeme:. Shodé - teto zak obsahuje pouze jedu obměu. Všechy statstcké jedotky mají tedy hodotu tohoto zaku totožou. Statstcký zak abývající pouze jedé varaty se azývá detfkačí statstcký zak.. Proměé - jedá se o statstcké zaky abývající více ež jedé obměy. Tyto zaky jsou právě ty, které jsou předmětem statstckého zkoumáí..5 Proměé Proměé rozdělujeme. Kategorálí (kvaltatví) - Jedá se o statstcké zaky určeé slově. Rozdělují se a omálí a pořadové... Nomálí proměé jsou takové, kde sloví určeí edává žádou další formac o pořadí těchto zaků... Pořadové proměé jsou takové, u kterých hodoty eudávají je základí formac, ale také udávají pořadí, dle kterého můžeme výsledky srovávat.. Numercké (kvattatví, měřtelé, metrcké) proměé- Jedá se o statstcké zaky určeé číselě. U jedotlvých výsledků tedy můžeme určt eje pořadí, ale taky můžeme srovávat o kolk je jeda statstcká jedotka více ež druhá. Numercké proměé rozdělujeme a dskrétí a spojté... Dskrétí (espojté) proměé a daém tervalu abývají pouze zolovaých číselých hodot. Nejčastěj se jedá o přrozeá ebo celá čísla... Spojté (kotuálí) proměé - Na daém tervalu může abývat lbovolých reálých hodot. S t r á k a

11 Obrázek : Rozděleí statstckých proměých podle typu PŘÍKLAD Proměá, která udává druh bydleí zkoumaé rody (dům, vlastí byt, ájemí byt) je omálí. Nemůžeme určt které bydleí je ejlepší a které ejhorší. Koloka vzděláí udává pořadí, eboť můžeme říc, že vysokoškolské vzděláí je více ež středoškolské, už z toho důvodu, že te kdo dosáhe vysokoškolského vzděláí, musí mít dokočeou středí školu. Počet dětí, výše ájmu jsou hodoty dskrétí proměé, protože u každého čísla můžeme určt ásledující hodotu. Hustota měřeé tekuty ebo přesý čas zkoumaé událost jsou spojté velčy, když výsledky mohou být ěkdy považováy za dskrétí, ovšem je třeba s uvědomt, že určeí ásledíka eí obecě možé, ale závsí a přesost měřícího přístroje. Některé sloví proměé můžeme převádět a číselé, abychom mohl lépe využít statstckých postupů. U těchto převodů je ovšem uté postupovat velm opatrě. Nejdůležtější je vhodě určt rozdíly mez jedotlvým údaj. Rozděleí a spojté a dskrétí proměé může být ěkdy relatví, velm záleží a přesé defc proměé. PŘÍKLAD Statstcká proměá věk může abývat růzých reálých hodot, eboť komu eí přesě let, ale spíše,53... roku a je tedy spojtá. Zatímco proměá věk v dokočeých letech je dskrétí. Proměé také rozdělujeme podle možství varat:. Alteratví proměé abývají dvou varat, které se vylučují.. Možé proměé abývají více ež dvou varat Sloví alteratví proměé ěkdy převádíme a číselé tak, že jedu možost ozačíme hodotou a druhou hodotou. Těmto proměým poté říkáme ulajedčkové proměé..6 Statstcké šetřeí Pojmem statstcké šetřeí (zjšťováí) rozumíme získáváí hodot zkoumaých statstckých jedotek. Součástí statstckého šetřeí jsou také postupy takového šetřeí, které je třeba u provedeého statstckého šetřeí důkladě zdokumetovat a popsat. S t r á k a

12 Statstcká šetřeí se rozdělují:. Vyčerpávající - jedá se o taková statstcká šetřeí, př kterých zjšťujeme hodoty zkoumaých proměých u všech statstckých jedotek. a. Úplé vyčerpávající šetřeí - jedá se o takové šetřeí, kdy se ám podařlo prošetřt všechy statstcké jedotky, které měly být prošetřey. Toto šetřeí ám dává přesé podklady pro výpočet charakterstk základího souboru. b. Neúplé vyčerpávající statstcké šetřeí - je takové šetřeí, ve kterém se ám epodařlo prošetřt všechy statstcké jedotky. Neúplost se dá v ěkterých případech tolerovat, jestlže byl počet eprozkoumaých statstckých jedotek vzhledem k rozsahu základího souboru velm malý.. Nevyčerpávající- jedá se o taková šetřeí, u chž se předem počítá s tím, že ebudou prošetřey všechy jedotky, ale je vybraá část. Teto způsob šetřeí bývá utý v případě, kdy zkoumáím dochází k poškozeí č zčeí statstcké jedotky. Také je mohem méě fačě áročý. Nevýhodou ovšem je, že eposkytuje přesé údaje o charakterstkách celého základího souboru. a. Reprezetatví evyčerpávající statstcké šetřeí - jedá se o šetřeí, kdy byly zkoumaé statstcké jedotky vhodě vybráy a výsledé charakterstky se dají zobect tak, že odpovídají hodotám v celém základím souboru. b. Nereprezetatví evyčerpávající statstcké šetřeí - je šetřeí, kdy byl výběrový soubor zvole evhodě, a výsledky eodpovídají základímu souboru. Příkladem postupu, který je obvykle ereprezetatví, je aketa. PŘÍKLAD Šetřeí mez všem pracovíky podku, které probíhá formou rozhovoru s každým pracovíkem, je příkladem úplého vyčerpávajícího statstckého šetřeí, za předpokladu, že se žádému ze zaměstaců epodařlo tomuto rozhovoru vyhout. Sčítáí ldu, domů a bytů by bylo také úplé vyčerpávající šetřeí, eboť původí úmysl je získat odpověd od všech obyvatel, ovšem z důvodu, kdy ěkteří ejsou ochot za ceu sakcí teto formulář vyplt, eí tohoto cíle dosažeo. Jedá se tedy o eúplé vyčerpávající statstcké šetřeí a eúplost je možé tolerovat eboť z celkového počtu formulářů je počet těch, které ejsou vyplěy mmálí. Zkoumáí doby trvalvost vyráběých potrav je zcela jstě evyčerpávající, eí možé všechy výrobky echat zkazt, abychom určl, jakou dobu trvalvost měly. Aby se ovšem jedalo o reprezetatví šetřeí, eí možé otestovat jedu sér výrobků a stejé výsledky udávat u ostatích sérí. Správý postup by byl testovat vždy ěkolk áhodě vybraých výrobků každé sére, pak se jedá o reprezetatví evyčerpávající statstcké šetřeí. V případě když s majtel webových stráek, zabývajících se výstavbou a prodejem fotovoltackých elektráre, dá a své stráky aketu s otázkou, zda respodet souhlasí se sížeím výkupí sazby elektřy z těchto elektráre, a výsledky akety bude poté terpretovat, tak, že daé proceto ldí v ČR esouhlasí se sížeím cey, je postup jstě esprávý. Daé webové stráky obvykle avštíví ldé, kteří tuto výstavbu pláují a tak je samozřejmé, že se sížeím cey ebudou souhlast, a tím s sžovat vlastí zsk. Naopak ldé, kteří by se sížeím souhlasl, takové stráky obvykle epotřebují vyhledávat a a aketu tedy eodpoví. Jedá se tedy o ereprezetatví evyčerpávající statstcké šetřeí. Statstcká data rozdělujeme také podle způsobu jejch získáí:. Prmárí data - Jedá se o formace, které jsme získal sam pomocí měřeí, č dotazováí kokrétích osob, jchž se statstcké zjšťováí týká.. Sekudárí data - Jsou formace, které jsme získal z jého zdroje, apř. statstcké ročeky. Jedá se o častější způsob získáváí dat. Podle času získáí poté používáme rozděleí:. Rozhodý okamžk - časový momet, který je určující pro zahrutí č ezahrutí statstckých jedotek do statstckého souboru a pro zachyceí okamžkových statstckých zaků. Okamžkový statstcký zak je zak, jehož hodota se určuje u všech statstckých S t r á k a

13 jedotek k určtému daému okamžku. Př. Počet obyvatel bytu k.... Rozhodá doba - časové období, během kterého dochází ke zkoumáí. Je vymeze dvěma časovým okamžky. Teto terval je potřebý v případě tervalových statstckých zaků. Jedá se o zaky, jejch hodota se v průběhu doby měí. Počátek výpočtu je prví terval a koečý terval určuje koec výpočtu. Př. Počet zákazíků za měsíc březe. Čstý zsk v posledích dvou dech. PŘÍKLAD Počet všech obyvatel bytu k půloc.. je údaj získaý v rozhodý okamžk. Počet zákazíků za měsíc dube je údaj získaý v rozhodé době mez půlocí de 3. březa a půlocí de 3. duba. ÚLOHA Určete, jaký typ proměé obsahuje ásledující hodoty: a) Váhu ákladích vozdel projíždějících kotrolovaým úsekem. b) Počet prodaých výrobků jedotlvým obchodím zástupc v průběhu de. c) Odpověd a otázku Kolkrát ročě jezdíte s rodou a dovoleou?, pokud měl respodet a výběr z možostí vůbec, jedou, ěkolkrát ročě. d) Údaje vyplěé zájemc o zaměstáí v koloce posledí zaměstavatel. e) Počet let prae v daém oboru. f) Spotřeba vozdel zaregstrovaých v ČR v roce. 3 S t r á k a

14 ZÁKLADNÍ ZPRACOVÁNÍ STATISTICKÝCH DAT CÍL Cílem kaptoly je sezámt čteáře se základím statstckým výpočty, které využíváme př zpracováí získaých údajů. Statstcké výpočty budou rozdílé v závslost a povaze získaých údajů a čteář bude vede k tomu, aby správě rozlšl, které postupy použít. Budou popsáy způsoby zobrazeí dat v tabulkách rozděleí, a také růzá grafcká zobrazeí získaých výsledků. ČASOVÁ ZÁTĚŽ STUDIUM KAPITOLY: mut PROCVIČOVÁNÍ: mut Před tím, ež můžeme získaé údaje zpracovat, musíme určt typ proměé. Dle popsu v předchozí kaptole rozhodujeme mez kategorálí proměou a umerckou proměou. Toto rozděleí je založeo je a tom, zda získaé hodoty tvoří čísla, č tet. Př použtí dotazíku je častým výsledkem terval hodot. Teto terval poté považujeme za umerckou proměou a zpracujeme j pomocí tervalového rozděleí četost, ovšem přesější výsledky vždy dostaeme v případě, že získáme přesou hodotu.. Zpracováí kategorálích proměých Hodoty kategorálí proměé jsou sloví údaje. Tyto údaje abývají určtého počtu obmě. Počet obmě ozačme k a počet zkoumaých statstckých jedotek ozačíme. Jedotlvé obměy ozačíme a, kde,,...,k... Tabulka četostí Absolutí četost začí počet výskytů jedotlvých obmě a začíme j, pro,,...,k. Ozačeí tedy určuje, u kolka statstckých jedotek se vyskytuje hodota a, a podobě u ostatích deů. Pro absolutí četost platí rovost k Tato rovost je vhodá pro kotrolu výpočtů. Tedy po výpočtu absolutích četostí všech obmě, můžeme pomocí této rovce sado ověřt, zda edošlo k chybě. Relatví četost p určuje, u jaké část základího souboru obsahuje zkoumaá proměá obměu a. Po vyásobeí získáme teto údaj v procetech. Relatví četost vypočítáme z rozsahu statstckého souboru a absolutí četost pomocí vzorce P Pro relatví četost platí, že součet relatvích četostí všech obmě je rove. p p p + k Tato rovost je opět vhodá k ověřeí správost výpočtu. Vzhledem k tomu že hodoty relatvích četostí vzkají pomocí děleí a tak je velm často musí zaokrouhlt. Je tedy možé, že zaokrouhleí způsobí chybu v součtu. Pokud je v takovém případě hodota součtu velm blízká, považujeme j za správou a do tabulky píšeme. Př zpracováí dat sloví proměé je potřeba vytvořt tabulku rozděleí četostí. 4 S t r á k a

15 Obměa proměé Absolutí Četost Relatví a a p p a k k p k k Celkem p + p pk Tabulka I: Tabulka četostí kategorálí proměé V ěkterých případech můžeme u pořadových kategorálích proměých postupovat podobě, jako by se jedalo o dskrétí proměou a tak vypočítat kumulatví četost, které se obvykle počítají u umerckých proměých. Je potřeba obměy této proměé seřadt vzestupě (sestupě) podle jejch hodot... Grafy a dagramy Grafy a dagramy používáme pro přehledější zobrazeí výsledků. To je vhodé zvláště v případech, kdy máme velké možství obmě a tabulka je tedy velm rozsáhlá. Nejčastěj používáme sloupkové dagramy. U těchto dagramů jsou jedotlvé obměy vyzačey sloupc, které jsou stejě šroké, a výška těchto sloupců začí počet statstckých jedotek, u kterých sledovaá proměá abývá daých hodot. Obměu, jejíž absolutí relatví četost je vzhledem ke svému okolí ejvětší, azýváme modus ebo také vrchol. Také je možé u těchto grafů prohodt osy a získáme řádkové dagramy, které často mohou být kompaktější. Obrázek : Sloupcový a řádkový dagram Dalším užívaým typem grafů jsou plošé grafy. Pomocí těchto grafů se zobrazují relatví četost. U těchto grafů platí, že obsah zvoleého geometrckého obrazce tvoří % a jedotlvě vyzačeé část určují relatví četost jedotlvých obmě zkoumaé proměé. Z plošých grafů ejčastěj potkáváme výsečové grafy. 5 S t r á k a

16 Obrázek 3: Výsečový a plošý graf V případech, kdy proměá abývá tak velkého možství obmě, ebo kdy každá obměa abývá pouze velm malé absolutí četost, a dagram by z těchto důvodů byl epřehledý ebo by evypovídal o vlastostech základího souboru, můžeme ěkteré obměy, které jsou s vzájemě podobé spojt v jedu. V této ově vzklé obměě získáme vyšší absolutí četost a pomocí ěkolka spojeí můžeme sížt počet zobrazovaých údajů a rozumou mez. Př tomto spojováí je ovšem dbát a přesý pops sloučeých obmě a také spojovat je ty obměy, které jsou s velm blízké, jak bychom mohl dostat graf, který spíše zamlží formace o základím souboru, ež že by je přehledě zobrazl...3 Mutablta Mutablta začí rozdílost sledovaé kategorálí proměé, určujeme j pomocí míry mutablty. Míra mutablty ám pomůže číselě určt, jak rozdílé hodoty zvoleé kategorálí proměé mají prvky zkoumaého statstckého souboru. Míra mutablty abývá hodot od do a začí podíl počtu dvojc s růzou obměou k počtu všech dvojc. Je možé j také udávat v procetech. Míra mutablty ám vlastě v procetech říká, kolk dvojc prvků má růzou hodotu kategorálí proměé. Míru mutablty M ejlépe vypočítáme pomocí tohoto vzorce: M ( k ) Pokud je míra mutablty rova ule, pak mají všechy prvky statstckého souboru stejou hodotu zkoumaé proměé, tedy teto statstcký zak je shodý. Naopak pokud je míra mutablty rova jedé, pak má každý prvek jou hodotu tohoto zaku. 6 S t r á k a

17 PŘÍKLAD. Př aketě jsme se ptal 45 osob a druh jejch bydleí. Mez možostm 5 obmě. Výsledky máme zobrazeé v tabulce. Vhodým způsobem zpracujte tuto proměou. Číslo domácost Druh bydleí Řešeí: Proměá je zřejmě kategorálí (sloví), musíme tedy rozhodout, zda je omálí, ebo pořadová. Pořadová by byla v případě, kdy se dá vytvořt jedozačé pořadí těchto obmě. V tomto případě to ovšem eí možé, ejsme schop říc, jestl je lepší bydlet ve vlastím domě ebo v proajatém bytě, protože každému může vyhovovat já z abízeých možostí. Jedá se tedy o kategorálí proměou a a ás v jakém pořadí obměy zapíšeme do tabulky četostí. Nyí musíme spočítat, kolkrát se ve výsledcích objevují růzé obměy, a tyto počty zapíšeme do sloupce absolutích četostí. V posledím řádku ověříme, zda je součet rove počtu zkoumaých statstckých jedotek. Poté vypočítáme relatví četost a v posledím řádku opět ověříme správost, tak získáme ásledující tabulku. Obměa proměé Číslo domácost Tabulka četostí Četost Absolutí Druh bydleí Číslo domácost Relatví Dům vlastí 7,378 Dům podájem 4,89 Byt vlastí 6,356 Byt podájem 5, Jak 3,67 Druh bydleí Dům vlastí 6 Byt vlastí 3 Byt vlastí Dům ájem 7 Jak 3 Dům vlastí 3 Dům vlastí 8 Dům vlastí 33 Dům vlastí 4 Byt vlastí 9 Dům vlastí 34 Dům vlastí 5 Byt vlastí Byt ájem 35 Byt vlastí 6 Dům vlastí Dům ájem 36 Jak 7 Byt ájem Byt vlastí 37 Dům ájem 8 Byt ájem 3 Dům vlastí 38 Byt vlastí 9 Jak 4 Byt vlastí 39 Dům vlastí Byt ájem 5 Dům vlastí 4 Byt vlastí Dům vlastí 6 Byt vlastí 4 Dům ájem Jak 7 Byt vlastí 4 Dům vlastí 3 Byt ájem 8 Byt vlastí 43 Byt vlastí 4 Dům vlastí 9 Dům vlastí 44 Dům vlastí 5 Dům vlastí 3 Byt vlastí 45 Byt vlastí 7 S t r á k a

18 Celkem 45 Dále vytvoříme sloupcové dagramy, jede vychází z absolutích četostí a druhý z relatvích četostí. V pra ovšem stačí vytvořt jede z těchto grafů, protože jak vdíme, oba vypadají totožě a lší se pouze podle popsků a ose y. U této proměé také prozkoumáme mutabltu 45 M ( ), Sledovaý statstcký soubor má výrazou mutabltu. Víme tedy, že 7% dvojc sestaveých z osob ašeho statstckého souboru má odlšý typ bydleí. ÚLOHA. Hodoty v tabulce udávají odpověd a otázku Jezdíte a zahračí dovoleou?. Proveďte vyhodoceí této proměé. Vytvořte tabulku ao ao ao ao epravdelě ao e ao ao ao četostí, vypočítejte mutabltu a ao ao epravdelě ao epravdelě pomocí vhodého grafu zobrazte tyto údaje. ao ao ao ao e ao epravdelě ao ao ao. Zpracováí umerckých proměých Př zpracováí umerckých proměých musíme rozhodout, zda se jedá o dskrétí č spojtou proměou. Pokud je proměá dskrétí a obsahuje pouze malé možství obmě, můžeme použít prosté rozděleí četostí velm podobě jako v případě kategorálí proměé. Určeí pojmu "malé možství obmě" je často dskutablí, závsí vždy eje a počtu obmě, ale také a rozsahu zkoumaého souboru. V případě, že proměá obsahuje velké možství obmě ebo se jedá o proměou spojtou, využíváme k jejímu zpracováí tervalové rozděleí četostí... Prosté rozděleí četostí Pokud využíváme prosté rozděleí četostí, postupujeme podobě jako v případě kategorálích proměých. Rozdíl je v tom, že obměy se uspořádají podle velkostí a poté můžeme počítat kumulatví absolutí a kumulatví relatví četost. Počet obmě ozačme k jedotlvé obměy ozačíme, kde,,...,k. Rozsah statstckého souboru začíme. Ozačeí obmě je odlšé od ozačeí obmě kategorálí proměé, důvodem je, že zak se obvykle používá pro číselou proměou v matematce. 8 S t r á k a

19 Absolutí četost začí počet výskytů jedotlvých obmě a začíme j, pro,,...,k. Ozačeí tedy určuje u kolka statstckých jedotek se vyskytuje hodota a podobě to platí pro ostatí obměy. Opět platí rovost k, kterou můžeme použít k ověřeí správostí výpočtu. Relatví četost p určuje, u jaké část základího souboru obsahuje zkoumaá proměá obměu. Po vyásobeí získáme teto údaj v procetech. Relatví četost vypočítáme z rozsahu statstckého souboru a absolutí četost pomocí vzorce Pro relatví četost platí: p p p + k p Tuto vlastost relatvích četostí opět použjeme k ověřeí správost výpočtu. Tyto vypočítávaé údaje vkládáme do tabulky rozděleí četostí, obdobě jako př zpracováí kategorálích proměých. Tabulku poté doplíme o další dva sloupce, kumulatví absolutí četost a kumulatví relatví četost. Kumulatví absolutí četost N - udává u kolka statstckých jedotek byla zkoumaá proměá meší ebo stejá jako. Vzorec pro výpočet absolutí kumulatví četost je: j N j U obměy je kumulatví absolutí četost stejá jako absolutí četost tedy. Obecě platí, že kumulatví četost ejrychlej spočítáme, když k absolutí četost přčteme kumulovaou absolutí četost o řádek výše. Hodota kumulovaé absolutí četost posledí obměy k musí být rova. Tímto způsobem s opět ověříme správost výpočtů. Kumulatví relatví četost P - udává jaký poměr statstckých jedotek má zkoumaou proměou rovu ebo meší ež zvoleá hodota. Výpočet je totožý jako v případě kumulatví absolutí četost, je využívá relatví četost amísto absolutí. P p j Posledí řádek zde musí obsahovat hodotu. Pokud počítáme kumulatví relatví četost podle vzorce, může se stát, že součet bude blízko. Důvodem může být zaokrouhlováí hodot relatvích četostí, které k výpočtům používáme. V takovém případě je lepší vypočítat kumulatví relatví četost pomocí hodot kumulatvích absolutích četostí. Kumulatví relatví četost pak získáme jako poměr mez kumulatví absolutí četostí a rozsahem N statstckého souboru. P. j 9 S t r á k a

20 Obměa proměé Četost Kumulatví četost Absolutí Relatví Absolutí Relatví p N N P p N N + N P k k p N k N k + k k k P k Nk Celkem Tabulka II: Tabulka prostého rozděleí četost.. Grafcké zázorěí výsledků prostého rozděleí V případech kdy, využíváme prostého rozděleí, můžeme hodoty grafcky zobrazt stejým způsoby jako v případech kategorálích proměých, tedy sloupcový č plošý graf. Mohem lepších výsledků ale dosáheme, pokud sestrojíme polygo četostí ebo součtovou křvku. Polygo četostí získáme vyeseím četostí jedotlvých obmě do kartézské soustavy souřadc. Na osu vyeseme jedotlvé obměy,,..., k. Do tohoto grafu poté zobrazíme body určující četost jedotlvých obmě. Tyto četost mohou být jak absolutí tak relatví. Absolutí ám poté zobrazí přesé počty aměřeých obmě, relatví zobrazují poměr. Výsledá křvka je stejá, a ezávsí a tom, zda použjeme absolutí ebo relatví četost, změí se je popsky osy y. Pokud bychom chtěl do jedoho grafu zobrazt výsledky dvou růzých průzkumů o růzém počtu statstckých jedotek, je vhodější použít relatví četost. V případě, kdy použjeme absolutí četost zakreslíme body (, ),(, ),...,( k, k ). V případě využtí relatvích četostí zakreslíme body (,p ),(,p ),...,( k,p k ). Sousedí body poté spojíme úsečkou a a osu y můžeme vyést alespoň ěkteré hodoty četostí tak, aby byl graf co ejpřehledější. S t r á k a Obrázek 4: Polygo četost Obměu, jejíž absolutí relatví hodota je vzhledem ke svému okolí ejvětší, azýváme modus ebo také vrchol. Pokud bychom teto graf bral jako fukc pak by vlastě modus byl místem

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH. as ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít

1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH. as ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH as ke studu kaptoly: mut Cíl: Po prostudováí této kaptoly budete umt použít základí pojmy eploratorí (popsé) statstky typy datových promých statstcké charakterstky a grafckou

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST Studjí obor (kód a ázev): -4-M/00 Strojíreství - - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště,

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Pojem času ve finančním rozhodování podniku

Pojem času ve finančním rozhodování podniku Pojem času ve fiačím rozhodováí podiku 1.1. Výzam faktoru času a základí metody jeho vyjádřeí Fiačí rozhodováí podiku je ovlivěo časem. Peěží prostředky získaé des mají větší hodotu ež tytéž peíze získaé

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC Jří HŘEBÍČEK, Mchal HEJČ, Jaa SOUKOPOVÁ ECO-Maagemet,

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

SPOŘENÍ. Spoření krátkodobé

SPOŘENÍ. Spoření krátkodobé SPOŘENÍ Krátkodobé- doba spořeí epřesáhe jedo úrokové období (obvykle 1 rok). Úroky jsou přpsováy a koc doby spořeí. Jedotlvé složky jsou úročey a základě jedoduchého úročeí. Dlouhodobé doba spořeí bude

Více

Statistické zpracování dat

Statistické zpracování dat Bakoví sttut vysoká škola Praha Katedra IT Statstcké zpracováí dat Bakalářská práce Autor: Ja Culka Iformačí techologe, Maaţer projektů Vedoucí práce: Mgr. Olga Procházková Praha Červe, 00 Prohlášeí: Prohlašuj,

Více