T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č."

Transkript

1 Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a

2 EUROLAB Techcká zpráva /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek EUROLAB Techcal Report /006 Gude to the Evaluato of Measuremet Ucertaty for Quattatve Test Results Srpe 006 EUROLAB Techcký sekretarát - EUROLAB rue Gasto Bosser 7574 PARIS Cedex 5 FRANCE Telefo: Fax: e-mal: URL:

3 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek Redakčí pozámka Teto dokumet vychází z BAM-Letfade zur Ermttlug vo Messuscherhete be quattatve Prüfergebsse vydaém Isttutem pro výzkum materálů a pro zkoušeí (BAM), Německo [výzkumá zpráva 66, 004], který společě BAM a admstratví výbor EUROLAB schválly k překladu do aglčty a vydáí jako techckou zprávu EUROLAB. Původí dokumet byl vypracová jméem komse BAM pro maagemet kvalty (AQM) jako techcký poky pro podporu směrce BAM pro odhad a specfkac ejstoty výsledků zkoušek. Autor: Příspěvky: Překlad: Werer Hässelbarth Mafred Golze, Segfred Noack, Adreas Subarc-Lets Ngel Pye Úprava pro vydáí: Werer Hässelbarth a Mafred Golze Byly přjaty přpomíky Bertla Magussoa (SP, Švédsko), Pascala Laueya (LNE, Frace) jméem expertí skupy fracouzského EUROLAB pro ejstotu měřeí a Vtora Ramose (RELACRE, Portugalsko). Návrh techcké zprávy schváll techcký výbor EUROLAB pro zabezpečováí kvalty př zkoušeí (TCQA) a svém zasedáí koaém 8. květa 006 a geerálí shromážděí EUROLAB v Bors ve Švédsku de 6. květa 006. Pozámka překladatelů k českému překladu Termologe použtá v revdovaé verz tohoto překladu vychází ze zvyklostí používaých v českých překladech dokumetů o ejstotě měřeí (apř. odkaz 9) a zejméa z víceoborového kosezu dosažeého v roce 008 př přípravě překladu třetího vydáí Mezárodího metrologckého slovíku (Základí a všeobecé pojmy a přdružeé termíy) -VIM3 ( vz poz. 3 a str. 33). Zmíěý způsob používá jé české ekvvalety aglckých termíů, ež překlady techckých orem publkovaé dosud ČNI. Přeložl Mloslava Mužíková a Zbyěk Plzák EUROLAB-CZ, Praha 008 Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 3/48

4 Obsah Předmluva Defce Termíy spojeé s ejstotou měřeí Termíy spojeé s přesostí zkoušeí Základy Základí metrologcké termíy a pojmy Nová hledska v Pokyu pro vyjádřeí ejstoty měřeí Nová defce ejstoty měřeí Způsob A a způsob B staoveí složek ejstoty Stejé zpracováí všech složek ejstoty Rozšířeá ejstota Nejhorší možý odhad ejstoty měřeí Aalytcko-výpočetí staoveí ejstot měřeí Přehled Klasfkace ejstoty měřeí podle způsobu vyhodoceí Obecá metoda pro staoveí ejstoty Návod k používáí blací ejstot Nejhorší možý odhad Odhad ejstot měřeí pomocí valdace v laboratoř a z údajů o řízeí kvalty Obecě Postup z jedé položky Zjšťováí preczost Zjšťováí vychýleí Zacházeí se zjštěým vychýleím Postup z N položek (N ) Iterpolace Odhad ejstot měřeí pomocí údajů z mezlaboratorího porováí Mezlaboratorí porováí u valdace metody Mezlaboratorí porováí u zkoušeí způsoblost Mezlaboratorí porováí u certfkace referečích materálů Hybrdí stratege pro vyhodoceí ejstot měřeí Specfkace a dokumetace ejstoty měřeí... 3 Odkazy Příloha A. Často se vyskytující zdroje ejstoty A. Nejstota př leárí kalbrac A.. Obecě A.. Staoveí úseku a směrce A..3 Vyhodoceí ejstoty úseku a směrce A.3 Modelováí procesích kroků pomocí účost a přírůstků A.4 Numercké metody pro šířeí ejstoty... 4 A.4. Výpočet koečých dferecí... 4 A.4. Smulace Mote Carlo A.4.3 Software A.5 Nejstota průměrých hodot A.5. Obecě A.5. Korelace v rámc sére měřeí A.6 Vyhodoceí kovarací a korelačích koefcetů A.6. Obecě A.6. Šířeí ejstoty A.6.3 Paralelí měřeí A.6.4 Korelačí koefcety Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 4/48

5 Předmluva Po více ež deset letech od prví presetace ejstoty měřeí v komutě EUROLAB (kdy byl a symposu Eurolab ve Florec 994 představe GUM), je vyhodoceí ejstoty měřeí u výsledků zkoušek stále předmětem velkého zájmu e jeho prcp, ale uplatěí v deí prax. Pokud jde o otázky prcpu, je Poky pro vyjádřeí ejstoty měřeí, zámý jako GUM, uzává za prmárí dokumet o ejstotě měřeí př zkoušeí. Termí ejstota měřeí byl přjat pro používáí u výsledků všech druhů kvattatvích zkoušek a zásady GUM se plě uzávají. Př vlastím vyhodoceí ejstoty výsledků postupu (kvattatví) zkoušky, je však GUM často krtzová, že je epoužtelý. Teto dojem vděčí skutečost, že GUM téměř výhradě pojedává o jedom přístupu k vyhodoceí ejstoty: modelovém přístupu založeém a komplexím matematckém modelu postupu měřeí, kde každý příspěvek k ejstotě se váže a určeou vstupí velču, příspěvky k ejstotě se vyhodocují jedotlvě a slučují jako odmoca součtu čtverců. Teto přístup se proto často (chybě) ozačuje za přístup GUM pro vyhodoceí ejstoty. Ve skutečost přpouštějí zásady GUM celou škálu přístupů, ale tato skutečost byla překryta spoustou dokumetů a předášek vyzdvhujících modelový přístup jako ové paradgma pro zabezpečováí kvalty měřeí. Pouze edávo získaly větší pozorost emprcké přístupy. Ty jsou založey a zjšťováí celkové výkoost metody avržeém a prováděém tak, aby se zahruly vlvy tolka zdrojů ejstoty jak je to je možé. Údaje používaé v těchto přístupech jsou typcky precsost (precso) a vychýleí (bas), získaé z valdačích studí prováděých v laboratoř, řízeí kvalty, mezlaboratorích valdačích studí jedotlvých postupů ebo ze zkoušeí způsoblost. Tyto přístupy jsou plě v souladu s GUM za předpokladu, že se respektují jeho zásady. Eurolab se důsledě zasazoval za používáí emprckých přístupů jako platé a často praktčtější alteratvy k modelovému přístupu, a to vydáím techckých zpráv o ejstotě měřeí př zkoušeí. Prví z této sére (č. /00) je úvodí stať pro začátečíky. Ta se yí doplňuje o komplexí techcký poky pro zkušeé užvatele. Poskytuje ást jak modelového přístupu ebol přístupu zdola ahoru, který předpokládá úplý matematcký model procesu měřeí, tak emprckých přístupů ebol přístupů shora dolů založeých a údajích o celkové výkoost metody. Další techcká zpráva Eurolab, kterou vypracovává určeá skupa expertů, se bude zabývat porováím a kombací odhadů ejstot získaých těm hlavím přístupy, které jsou v současost k dspozc. Tato zpráva bude zahrovat soubor příkladů z růzých oblastí zkoušeí, kde se porovávají výsledky získaé použtím růzých přístupů a dskutují závěry z těchto porováváí. Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 5/48

6 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek Teto dokumet poskytuje techcký ávod a vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek. V plém souladu se zásadam Pokyu pro vyjádřeí ejstoty měřeí (GUM), zahruje teto dokumet rověž alteratví přístupy k postupu zdola ahoru, založeému a komplexím matematckém modelu procesu měřeí, a který klade důraz GUM. Jedá se o přístupy shora dolů využívají údaje o celkové výkoost metody z mezlaboratorích porováí (mezlaboratorí valdace metod, zkoušeí způsoblost) a údaje z valdace prováděé v laboratoř a z řízeí kvalty (preczost, vychýleí). Doplěím jsou formace, které se týkají často se vyskytujících zdrojů ejstoty a problémů spojeých s hodoceím údajů vzkajících př odhadu ejstoty, ty jsou uvedey v přílohách.. Defce V tomto pokyu se používají termíy kvattatví zkouška a měřeí jako syoyma. Ze stejého důvodu a v souladu s příslušým ormam se budou předostě používat termíy měřeí, měřeá velča, objekt měřeí, výsledek měřeí a ejstota měřeí. Až by se změl základí výzam, mohou být tyto termíy ahrazey termíy zkouška, zkoušeá velča, zkoušeý předmět, výsledek zkoušky a ejstota výsledku. V celém tomto dokumetu se termí postup měřeí používá k ozačeí toho, co se často azývá metoda měřeí : postup založeý a specfkovaém způsobu měřeí vyvutém a valdovaém pro specfkovaé předměty měřeí a podmíky měřeí. Pouze dobře defovaý postup měřeí dovoluje přdružeou ejstotu měřeí uplatňovat pro měřeí prováděá v rámc specfkace.. Termíy spojeé s ejstotou měřeí Cílem měřeí (ebo jakéhokolv jého kvattatvího zjšťováí) je staovt odhad pravé hodoty měřeé velčy. Teto odhad, tj. výsledek měřeí, může být jedotlvou měřeou hodotou. Často se však výsledek měřeí získá z řady aměřeých hodot postupem statstckého vyhodoceí, apř. jako průměrá hodota. U každého postupu měřeí se musí vyjádřeí výsledku měřeí a vyhodoceí údajů jedozačě defovat. Použtí výsledků měřeí vyžaduje zalost přesost (accuracy), tz., musí být zám rozsah možé odchylky výsledku měřeí od pravé hodoty měřeé velčy. V metrolog se ejstota měřeí používá jako kvattatví míra přesost. Teto termí se rověž používá pro ejstotu výsledků kvattatvích zkoušek. Dále jsou uvedey výtahy tří defc ze základích termologckých dokumetů, které zdůrazňují růzá hledska ejstoty, přčemž jejch výzam je v podstatě stejý. Nejstota (měřeí) (ucertaty (of measuremet)) Parametr přdružeý k výsledku měřeí, který charakterzuje rozptýleí hodot, které by mohly být důvodě přsuzováy k měřeé velčě. (Zdroj: Mezárodí slovík základích a všeobecých termíů v metrolog) Pozámka k použtým českým termíům vz str. 3 Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 6/48

7 Nejstota (ucertaty) Parametr vyplývající z měřeí, který slouží spolu s výsledkem měřeí k charakterzováí rozsahu hodot pro pravou hodotu měřeé velčy. (Zdroj: DIN 39-) Nejstota výsledku (ucertaty of result) Odhadutá velča určeá k charakterzováí rozsahu hodot, který obsahuje referečí hodotu, kde referečí hodota může být podle defce ebo dohody buď pravou hodotou, ebo očekávaou hodotou. (Zdroj: DIN ) Následující termíy tvoří systém termíů Pokyu pro vyjádřeí ejstoty měřeí (GUM). Tyto termíy a jejch symboly defovaé v GUM se budou používat v celém tomto dokumetu. Stadardí ejstota (stadard ucertaty) (u) Nejstota výsledku měřeí vyjádřeá jako směrodatá odchylka. Kombovaá stadardí ejstota ( combed stadard ucertaty) (u) Stadardí ejstota výsledku měřeí, který byl získá z hodot odpovídajících ěkolka dalším velčám a je rova kladé hodotě druhé odmocy součtu výrazů, jmž jsou hodoty rozptylů ebo kovarací těchto dalších velč s přřazeou váhou tak, aby odrážely změy výsledku měřeí se změam těchto velč. Pozámka: V GUM jsou kombovaé stadardí ejstoty ozačey dexem u c. Toto ozačeí se zde ebude používat, eboť rozlšeí mez kombovaou a ekombovaou stadardí ejstotou emá př zkoušeí praktcký výzam. Rozšířeá ejstota (expaded ucertaty) (U) Velča staovující terval hodot zahrující výsledek měřeí, který může obsahovat velký podíl z rozděleí hodot, které by mohly být důvodě přřazey měřeé velčě. Koefcet rozšířeí (coverage factor) (k) Číselý čtel určeý k ásobeí (kombovaé) stadardí ejstoty s cílem získat rozšířeou ejstotu.. Termíy spojeé s přesostí zkoušeí Termíy v předchozí část jsou převážě ovým termíy z oblast metrologe a rozdíl od obecě přjatého systému termíů používaých v oblast zkoušeí a chemckých aalýz. Protože se teto systém termíů běžě používá, jsou základí termíy v této část sestavey ze základí termologcké ormy ISO O vzájemém vztahu mez těmto dvěma systémy termíů bude pojedáo v oddílu. Přesost (accuracy) Těsost shody mez výsledkem měřeí a přjatou referečí hodotou. Pravdvost (trueess) Těsost shody mez středí hodotou získaou z velké řady výsledků zkoušek a přjatou referečí hodotou. Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 7/48

8 Preczost (precso) Těsost shody mez ezávslým výsledky zkoušek za předem specfkovaých podmíek.. Základy. Základí metrologcké termíy a pojmy Termíy uvedeé tučým písmem jsou defováy v příslušých ormách. Pokud eí uvedeo jak, vycházejí termíy z Mezárodího slovíku základích a všeobecých termíů v metrolog (VIM),. vydáí z 994. V souladu s příslušým ormam se budou v této část výhradě používat termíy měřeí, měřeá velča, výsledek měřeí a ejstota měřeí. Až by se změl základí výzam, mohou být tyto termíy ahrazey termíy zkouška, zkušebí velča, výsledek zkoušky a ejstota výsledku. V ejjedodušším případě se měří pouze jeda měřeá velča, tz., předmětem měřeí je pouze jeda blíže určeá velča. Například to může být tlak páry daého vzorku vody př 0 ºC. Rozhodující je, aby byl úkol měřeí přesě defová specfkováím všech příslušých parametrů, apř. času, teploty ebo tlaku. Jestlže se měřeá velča daého úkolu měřeí tímto způsobem přesě defuje, je k í možo přřadt jedozačou hodotu, zvaou pravá hodota. Ideálí měřeí by mělo tuto pravou hodotu poskytout. Protože se však vždy musí pracovat se skutečým měřeím, exstuje mez výsledkem měřeí a pravou hodotou (ezámý) rozdíl azývaý chyba. Př opakovaých měřeí se obyčejě spíše epodaří získat pokaždé stejou hodotu, měřeí dávají více č méě avzájem těsé hodoty. Mohokrát opakovaým měřeím a grafckým zobrazeím četost, s jakou se hodota x objeví jako fukce x, by se získala křvka zvoového tvaru, která se může v moha případech přblížt takzvaému ormálímu rozděleí (vz obrázek.). Normálí rozděleí je charakterzováo dvěma parametry: parametrem polohy µ, který ozačuje polohu maxma, a směrodatou odchylkou σ, která vyjadřuje šířku křvky. Vzhledem k tomuto rozptýleí aměřeých hodot se měřeí, pokud je to možé a je to odůvoděé, provádějí ěkolkrát ( krát) a artmetcký průměr x jedotlvých hodot x se vypočte pomocí rovce (.). x = (.) x = ( x : artmetcký průměr; x : -tá aměřeá hodota; : počet měřeí, > ) Směrodatá (výběrová) odchylka s vypočteá z rovce (.) je mírou rozptýleí jedotlvých hodot, tj. šířky křvky a obrázku.. s = ( ) = x x (.) (s: výběrová směrodatá odchylka; x : artmetcký průměr; x : -tá aměřeá hodota; : počet měřeí, > ) Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 8/48

9 Rozděleí průměrých hodot Rozděleí jedotlvých hodot Obrázek. Rozděleí jedotlvých aměřeých hodot x s parametry µ a σ a průměrých hodot x z měřeí, každá s parametry µ a σ. Jestlže se tyto sére měřeí, každá obsahující jedotlvých měřeí, mohokrát opakují a vypočtou se průměré hodoty a grafcky zázorí do dagramu jedotlvých hodot, získá se jé ormálí rozděleí se stejým parametrem polohy µ, ale meší šířkou (vz obrázek.). Směrodatá odchylka σ tohoto rozděleí je dáa vztahem: x σ σ x = (.3) ( σ : směrodatá odchylka průměrých hodot; σ: směrodatá odchylka jedotlvých hodot: x : počet aměřeých hodot pro výpočet průměrých hodot). Rozptýleí aměřeých hodot získaých za zdálvě stejých podmíek je výsledkem velkého možství eovladatelých vlvů z podmíek měřeí, jejchž úček se př opakováí měřeí měí. Odchylky aměřeých hodot od středí hodoty µ, kolísající mez kladým a záporým, jsou ozačováy jako áhodé chyby. Jestlže se projevují pouze áhodé chyby, µ se rová pravé hodotě měřeé velčy. Hodota µ by se získala jako průměrá hodota x, jestlže by se měřeí mohlo opakovat bez omezeí, protože směrodatá odchylka středí hodoty by se pak blížla k ule. V prax je však možý pouze omezeý počet opakováí měřeí, takže zůstává určté rozptýleí průměrých hodot a tudíž určtá ezalost o měřeé velčě, která se odhaduje ejstotou měřeí. Nejstota měřeí je defováa podle DIN 39- jako parametr získaý měřeím, který slouží spolu s výsledkem měřeí k charakterzováí rozsahu hodot pro pravou hodotu měřeé velčy. Kromě těchto áhodých chyb je obvykle třeba se rověž zabývat takzvaým systematckým chybam. Ty mají za ásledek, že střed rozděleí se posouvá od pravé hodoty v případě ekoečého počtu opakováí (vz obrázek.). Možé příčy áhodých a systematckých chyb jsou uvedey v příloze A.. Zjštěé systematcké chyby mají být pokud možo odstraěy ebo mmalzováy použtím vhodých korekcí, přčemž se k ejstotě korekcí přhléde př blac ejstoty. x Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 9/48

10 Četost Středí hodota Náhodá chyba Jedotlvá hodota Pravá hodota Systematcká chyba Obrázek. Naměřeé hodoty př současém výskytu áhodých a systematckých chyb Obrázek.3 zázorňuje, jak do výsledku měřeí a přdružeé ejstoty vstupují růzé druhy chyb měřeí Chyba měřeí Systematcká chyba měřeí Náhodá chyba měřeí Zámá systematcká chyba Nezámá systematcká chyba Korekce Rezduálí chyba Výsledek měřeí Nejstota měřeí Obrázek.3 Druhy chyb měřeí a jejch zohleděí př staoveí výsledku měřeí a přdružeé ejstoty (obrázek podle M. Hera, QZ 4 (996), 56) Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 0/48

11 . Přesost, pravdvost a preczost; model terčů Termíy přesost, pravdvost a preczost z ISO 3534-, defovaé v oddílu tohoto pokyu, se mohou používat k charakterzováí postupu měřeí ve vztahu k přdružeé ejstotě. Přesost charakterzuje jako zastřešující termí těsost shody mez výsledkem měřeí a pravou hodotou. Jestlže je ze sére měřeí k dspozc ěkolk výsledků měřeí pro stejou měřeou velču, může být přesost rozdělea a pravdvost a preczost, kde pravdvost se týká těsost shody mez středí hodotou a pravou hodotou, zatímco preczost se týká těsost shody mez jedotlvým hodotam avzájem (vz obrázek.4). Přesost (Accuracy) Pravdvost (Trueess) Preczost (Precso) Obrázek.4 Přesost jako zastřešující termí pro pravdvost a preczost Růzé možé kombace, které vyplývají ze správých ebo špatých a preczích aebo epreczích výsledků, mohou být ejlépe popsáy pomocí modelu terčů (obrázek.5). preczí a pravdvé epreczí ale pravdvé preczí ale špaté epreczí a špaté Obrázek.5 Model terčů pro zázorěí pravdvost a preczost. Střed terče představuje (ezámou) pravou hodotu. Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek /48

12 Odhady preczost jsou slě závslé a podmíkách, př chž se preczost zjšťuje. Proto se opakovatelost preczost, reprodukovatelost preczost a mezlehlá preczost lší podle podmíek opakovatelost, podmíek reprodukovatelost a mezlehlých podmíek. Podmíky opakovatelost zahrují: stejý postup měřeí, stejou laboratoř, stejou obsluhu, stejé vybaveí, opakováí v krátkých časových tervalech. Podmíky reprodukovatelost zahrují: stejý postup měřeí, růzé laboratoře, růzou obsluhu, růzé vybaveí. Podmíky opakovatelost a podmíky reprodukovatelost představují případy mmálí a maxmálí varablty podmíek u opakovaých měřeí. Podmíky mez těmto extrémím případy se azývají mezlehlé podmíky. Př použtí mezlehlých podmíek se musí přesě specfkovat, jaké faktory se měí a jaké jsou kostatí. Pro charakterzac vtrolaboratorí preczost postupů měřeí se používají apř. tyto podmíky: stejý postup měřeí, stejá laboratoř, růzá obsluha, stejé vybaveí (alteratvě: růzé vybaveí), opakováí v dlouhých časových tervalech. Teto specálí případ mezlehlých podmíek se často azývá vtrolaboratorí podmíky reprodukovatelost. Zatímco staovováí preczost postupu měřeí je docela jasé, je mohem obtížější vyšetřt pravdvost postupu měřeí, eboť pravá hodota měřeé velčy je v podstatě ezámá. Jedím z přístupů je užít postup měřeí u vhodých referečích objektů (etaloů, stadardů, ztělesěých měr, referečích materálů). Nebo vhodé objekty měřeí podrobt referečímu postupu souběžě s daým postupem měřeí. Hodota přsouzeá referečímu objektu ebo výsledek získaý referečím postupem se pak použjí jako referečí hodota, tj. jako odhad ezámé pravé hodoty, jejíž ejstota je zámá a dostatečě malá pro daý účel. Pravdvost se pak vztahuje k této referečí hodotě..3 Nová hledska v Pokyu pro vyjádřeí ejstoty měřeí Poky pro vyjádřeí ejstoty měřeí (GUM) předkládá poěkud jý áhled v porováí s tradčím přístupem a uvádí jedotý a praktcký postup jak staovt ejstotu, který bude dále vysvětle..3. Nová defce ejstoty měřeí Protože je pravá hodota deálí velča, která je v podstatě ezámá, byla pro termí ejstota měřeí vytvořea př vypracováváí GUM ová defce, která se jž eodkazuje a pravou hodotu. Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek /48

13 Nejstota měřeí Parametr, přdružeý k výsledku měřeí, který charakterzuje rozptýleí hodot, jež mohou být odůvoděě přsuzováy k měřeé velčě. Tato defce, podroběj objasěá v GUM, v příloze D, byla jž zahruta do. vydáí Mezárodího slovíku základích a všeobecých termíů v metrolog (VIM). Rozsah hodot pro měřeou velču typcky představuje hodoty získaé za podmíek opakovatelost (vz výše), ale může rověž zahrovat hodoty získaé za podmíek reprodukovatelost, apř. jou obsluhou, v jé laboratoř ebo jým postupem měřeí, které zahrují vychýleí (bas) mez obsluham, laboratořem a postupy měřeí. Rozdíly ve zpracováí údajů (apř. korekce zjštěých vychýleí, srov. obrázek.3) mohou kromě toho rověž přspět k tomuto rozptýleí. Také měřeá velča emusí být defováa tak přesě, aby k í mohla být přsouzea jedá pravá hodota. Pokud se eukáže, že růzé hodoty získaé expermetálě ebo odvozeé výpočtem ebo teoretcky jsou esprávé, musí být všechy přřazey k měřeé velčě. Nejstota je míra šířky rozsahu odvozeého z těchto údajů a spolu s příslušou středí hodotou jako výsledkem měřeí popsuje úroveň zalostí o měřeé velčě. Vzhledem k ašm omezeým zalostem je docela možé, že díky chybějícím složkám je taková ejstota podhodoceá. Přes teto poěkud odlšý pohled eexstuje žádá základí eshoda mez GUM a tradčím formulacem ejstoty..3.. Způsob A a způsob B staoveí složek ejstoty V GUM jsou složky ejstoty roztříděy podle jejch metod staoveí způsobem A a způsobem B: Způsob A: Způsob B: Vyhodoceí pomocí statstcké aalýzy sére měřeí Vyhodoceí pomocí jých prostředků ež statstckou aalýzou sére měřeí Tato klasfkace bude objasěa v oddílu 3.. Má jstý vztah k rozlšováí mez složkam ejstoty vyplývajícím z áhodých vlvů a složkam ejstoty vyplývajícím ze systematckých vlvů, ale exstují mez těmto klasfkacem podstaté rozdíly. Pokud jde o předložeou metodolog, GUM erozlšuje mez složkam ejstoty, které pocházejí ze systematckých vlvů a složkam ejstoty, které jsou výsledkem áhodých vlvů. Předpokládá se však, že, pokud to bude možé, se zjštěé systematcké chyby buď odstraí techckým prostředky, ebo opraví výpočtem. Př blac ejstot pak zůstává složka, která dokládá ejstotu vyplývající z jakéhokolv takové čost. GUM předkládá jedoté zpracováí pro všechy složky ejstoty (vz oddíl.3.3). Důvodem je, že pro chybu mající vztah k daé složce ejstoty eí jedozačě defová systematcký ebo áhodý charakter, ale závsí to a skutečém případu. A tak se chyba vycházející z áhodých vlvů stává systematckou chybou, jestlže se výsledek měřeí váší jako vstupí do dalšího měřeí. Příklad: Kocetrace radoaktvího zotopu v referečím stadardu (etalou) byla staovea měřeím radoaktvty. Pro jedoduchost lze předpokládat, že se př tomto měřeí vyskytou výhradě áhodé odchylky. Jestlže se pak ve vzorku staoví ezámý obsah dalším měřeím a základě porováí s tímto referečím stadardem (etaloem), ovlvňuje jeho chyba stejým způsobem všechy výsledky těchto měřeí, a tudíž způsobuje systematckou chybu. Naopak se systematcké chyby způsobeé laboratoří př prováděí specfckých měřeí stávají áhodým chybam, jestlže výsledky velkého počtu laboratoří, které vykazují růzé Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 3/48

14 systematcké chyby, shromažďují př mezlaboratorím porováváí a jsou shruty do směrodaté odchylky reprodukovatelost u zkoumaého postupu měřeí..3.3 Stejé zpracováí všech složek ejstoty Př výpočtu kombovaé stadardí ejstoty se zachází se všem složkam ejstoty stejě. Úplé pojedáí a odůvoděí tohoto postupu uvádí příloha E GUM. Tradčím způsobem byly složky ejstoty vyplývající z áhodých vlvů a složky ejstoty vyplývající ze systematckých vlvů (zkráceě: áhodé složky a systematcké složky) ejčastěj zpracováy růzým způsobem a to: áhodé složky byly sloučey formou odmocy součtu čtverců (podle rovce (3.) v oddílu 3.3), zatímco systematcké složky byly sloučey leárě (rovcí (3.6) v oddílu 3.4). Tyto dva součty pak byly sloučey leárě. Záměrem bylo získat kozervatví odhad ejstoty, tj. vyhout se za všech okolostí podhodoceé ejstotě. Pak byla evetuálě výsledkem adměrá ejstota. Příklad: Staoveí ejstoty měřeí poskytlo hodoty 3 a jako áhodé složky a a 4 jako systematcké složky (v lbovolých jedotkách). Podle GUM jsou všechy tyto složky sloučey formou odmocy součtu čtverců (srov. oddíl 3.3, rovc (3.)): u = = = 33 = 5,74 Jestlže se však systematcké složky sloučí leárě, dostae se u, = = = 9,6 tj. poměrě začě vyšší hodota pro ejstotu. V rámc GUM se ochraa prot podhodoceí ejstoty dosahuje výběrem vhodého koefcetu rozšířeí pro rozšířeou ejstotu (vz oddíl 3.3). Kromě toho jsou za určtých okolostí odhady stadardí ejstoty pro ejhorší možý případ přjatelé, apř. př porováí s mezí specfkace (vz pozámky v oddílu.4 a 3.5)..3.4 Rozšířeá ejstota Jedou z možostí jak uvádět ejstotu měřeí podle GUM je rozšířeá ejstota U(y) = k u(y) tj. souč stadardí ejstoty u(y) a příslušého koefcetu rozšířeí k. Te poskyte terval, takzvaý kofdečí terval y U(y) Y y + U(y) (y: výsledek měřeí; Y: hodota měřeé velčy; U: rozšířeá ejstota), u ěhož lze očekávat, že zahre pravou hodotu Y měřeé velčy př defovaé pravděpodobost p (apř. p = 95 %). Z hledska GUM obsahuje teto terval poměrou část p všech hodot, které mohou být přsouzey měřeé velčě. Výpočet kofdečího tervalu předpokládá zalost rozděleí pravděpodobost měřeých hodot. Vzhledem k tomu, že tato podmíka je obyčejě pouze edostatečě splěa, avrhuje se v GUM z těchto důvodů výběr koefcetu rozšířeí mez a 3. Doporučuje se stadardí hodota k =, která přblžě odpovídá kofdečí úrov p 95 %. V každém případě musí být koefcet k výslově uvede tak, aby se stadardí ejstota mohla získat zpětě. Statstcky fudovaější postup pro staoveí koefcetu rozšířeí lze alézt v GUM, v příloze G. Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 4/48

15 Příklad: V protokolu o zkoušce se udává rozšířeá ejstota U =,48 s koefcetem rozšířeí k =. Z toho se stadardí ejstota u získá jako: U,48 u = = = 5,74 k.4 Nejhorší možý odhad ejstoty měřeí Odhady ejstoty měřeí pro ejhorší možý případ mohou být předmětem zájmu, jestlže apříklad míra ejstoty měřeí hraje pro další zjšťováí pouze podřadou úlohu ebo jestlže se má kotrolovat shoda s určtým mezím hodotam ebo specfkacem. V tomto případě a rozdíl od prcpu kvadratckého sčítáí jsou příspěvky k ejstotě výsledku sečtey leárě a v případě potřeby mohou být maxmálí chyby rověž použty místo stadardích ejstot (vz oddíl 3.5, rovc (3.6) a (3.7)), což vede ke zjedodušeému staoveí ejstoty měřeí. 3 Aalytcko-výpočetí staoveí ejstot měřeí 3. Přehled Aalytcko-výpočetí staoveí ejstoty měřeí představuje obvykle složtý postup. Zahruje mohé kroky, které se mají dodržet, a vyžaduje zvážeí moha hledsek. Níže uvedeý souhr hlavích složek poskytuje přehled procesích kroků a souvsejících hledsek, které jsou pak popsáy v dalších oddílech. Nezbytý předpoklad: systematcké vlvy pokud jsou zámé jsou elmováy ebo korgováy. Všechy důležté zdroje ejstoty se detfkují a zazameají. Odhadou se příspěvky jedotlvých zdrojů ejstoty k ejstotě výsledku a roztřídí a výzamé a evýzamé. Nevýzamé příspěvky k ejstotě se zaedbají. Vytříděé (výzamé) příspěvky ejstoty se kvatfkují jako stadardí ejstoty (směrodaté odchylky). Následující metody jsou rovoceé: statstcké vyhodoceí sére měřeí (způsob A vyhodoceí) a odhad založeý a alteratvím postupu (způsob B vyhodoceí). Příspěvky ejstoty se přezkoumají a korelace. V případě potřeby se korelace kvatfkují jako kovarace. Příspěvky ejstoty se sloučí pomocí kvadratckého sčítáí; v případě potřeby se zahrou kovarace. Pro uvedeí výsledku se kombovaá stadardí ejstota vyásobí vhodým koefcetem rozšířeí (obvykle k = ). Pokud se staovuje odhad ejstoty pro ejhorší možý případ, sečtou se příspěvky k ejstotě leárě: kovarace se vyechá. Nejstota měřeí se obvykle estaovuje dvduálě pro jedotlvé výsledky měřeí, ale jako parametr pro daý postup měřeí. Te se pak použje pro všechy objekty měřeí a všechy podmíky měřeí, které se vzaly v úvahu př staoveí ejstoty měřeí. Proto je uto před použtím ejstoty v každém případě zkotrolovat, zda objekt měřeí a podmíky měřeí vyhovují specfkac použté př staoveí ejstoty měřeí. Jestlže ejsou výzamé složky ejstoty aplkace vzaty v úvahu v procesí ejstotě, pak je často vhodé přjmout procesí ejstotu jako složku ejstoty měřeí a chybějící příspěvky k ejstotě dodat. Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 5/48

16 Př staovováí ejstoty měřeí se má uvažovat s poměrem ákladů a užtku. Je apříklad lépe staovt všechy výzamé příspěvky k ejstotě s přjatelou přesostí amísto staoveí jedotlvých příspěvků k ejstotě s extrémí přesostí, zatímco jé se odhadou pouze přblžě ebo zcela opomeou. 3. Klasfkace ejstoty měřeí podle způsobu vyhodoceí Podle GUM (vz oddíl.3) se všechy ejstoty vyjádří směrodatým odchylkam ezávsle a tom, zda vycházejí z áhodých ebo systematckých vlvů. Pro staoveí takové směrodaté odchylky exstují v podstatě dva růzé postupy. Kovečí postup (způsob A vyhodoceí) je založe a předpokladu pravděpodobostího rozděleí áhodého kolísáí výsledků měřeí. Odhady směrodaté odchylky tohoto rozděleí se získají opakovaým měřeím a statstckou aalýzou aměřeých hodot (sére měřeí). Alteratví postup (způsob B vyhodoceí) se převážě používá u odhadu ejstot, které jsou způsobey systematckým vlvy. Používá důvodě předpokládaá rozděleí pravděpodobost, která odráží dostupé formace o příslušých velčách, a směrodatou odchylku těchto rozděleí. V GUM jsou defováy dvě třídy vyhodoceí ejstoty takto: Způsob A: Vyhodoceí pomocí statstcké aalýzy sére měřeí Způsob B: Vyhodoceí pomocí jých prostředků ež statstckou aalýzou sére měřeí Typckým příkladem způsobu A vyhodoceí je staoveí odhadu směrodaté odchylky σ předpokládaého ormálího rozděleí. Jestlže x, x,, x jsou výsledky opakovaých měřeí příslušé velčy, pak výběrová směrodatá odchylka s sére měřeí { x, x,, x } se může použít jako odhad směrodaté odchylky σ tohoto ormálího rozděleí. kde: s = = ( x x) (3.) x = x = (3.) Př absec systematckých chyb je vhodým odhadem hodoty měřeé velčy (artmetcký) průměr x sére měřeí { x, x,, x }. Stadardí ejstota u( x ) tohoto výsledku je dáa vztahem s u( x) = (3.3) Lze-l předpokládat, že v příslušém rozsahu měřeí vykazuje postup měřeí absec vychýleí a s kostatí statstcký rozptyl, pak výběrová směrodatá odchylka sére měřeí { x, x,, x } se může rověž použít jako odhad stadardí ejstoty výsledků dalších měřeí v rámc tohoto rozsahu měřeí. Zde je třeba zvážt, zda je výsledek jedou aměřeou hodotou, ebo průměrem ěkolka a sobě ezávslých aměřeých hodot. U jedé hodoty je stadardí ejstota rova s, zatímco u (artmetckého) průměru m hodot se stadardí ejstota rová s m. Pozámka: Koefcet se u směrodaté odchylky průměru jedotlvých hodot použje pouze a jedotlvé hodoty avzájem ezávslé. Vzrůst preczost je meší u jedotlvých hodot, které jsou a sobě závslé (ásledkem korelovaých chyb), vz příloha A. 5. Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 6/48

17 Typckým případem způsobu B vyhodoceí je trasformace maxmálí/mmálí specfkace do stadardí ejstoty. Předpokládejme, že u hodoty (referečí hodoty) přsouzeé referečímu materálu jsou zámé pouze mmálí hodota x m a maxmálí hodota x max. Jestlže jsou všechy hodoty v tomto tervalu stejě pravděpodobým kaddáty a pravou hodotu, může se středí hodota a směrodatá odchylka pravoúhlého rozděleí s hracem x m a x max použít pro referečí hodotu x a její stadardí odchylku u(x). (x max + x m ) x = (3.4) (x max + x m ) u(x) = (3.5) Jestlže však exstuje důvod domívat se, že hodoty ve středu tervalu jsou pravděpodobější ež hodoty a hracích, pak se může zvolt apř. symetrcké trojúhelíkové rozděleí s hracem x m a x max amísto rozděleí pravoúhlého (rovoměrého rozděleí). To poskytuje (x max + x m ) x = (3.6) (x max x m ) u(x) = (3.7) 4 Tyto a jé příklady způsobu B vyhodoceí jsou obsažey v oddílech 4.3 a 4.4 GUM. Pozámka: Až doedáva se k vyhodocováí ejstot většou používaly výhradě postupy způsobu A. Protože tyto postupy ejsou všeobecě použtelé, často ebyly výzamé složky ejstot vzaty v úvahu správě ebo dokoce vůbec e. Zavedeí postupů způsobu B slouží k ápravě tohoto edostatku a k sazšímu využtí odborých zalostí pro odhad složek ejstoty. Obecě se ejstota výsledku měřeí skládá z ěkolka složek, z chž část byla vyhodocea postupem způsobu A, já část postupem způsobu B. Proto je klasfkace podle způsobu A ebo způsobu B použtelá obvykle pouze u jedotlvých složek ejstoty. 3.3 Obecá metoda pro staoveí ejstoty Nejstota výsledku měřeí obvykle sestává z ěkolka složek. Staoveí ejstoty měřeí je tudíž obvykle rověž složtý postup, který obsahuje ěkolk kroků. Tato část popsuje řadu obecě použtelých kroků. Formulace, které jsou zde zvoleé, se vztahují k postupům měřeí, ale mohou se sado přeést a zkušebí postupy aebo aalytcké postupy. Často se vyskytující zdroje ejstoty a příslušé způsoby zpracováí dat jsou popsáy v příloze. Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 7/48

18 Krok : Specfkace měřeé velčy a postupu měřeí V tomto kroku se specfkuje velča, y, která se má měřt, a postup staoveí její hodoty. Kromě skutečého měřeí obsahuje teto postup všechy přípravé kroky, apř. odběr vzorků a přípravu vzorků, podmíky, které se musejí během přípravy a měřeí dodržet, zpracováí údajů. Krok : Defce vstupích velč, detfkace zdrojů ejstoty V tomto kroku se defují vstupí velčy x ( =,, N), a chž závsí výsledek. Základem pro to je detfkace všech potecálích zdrojů ejstoty výsledku (vz oddíl A. přílohy). Vstupí velčy se defují tak, aby zahruly vlv všech podstatých zdrojů ejstoty. Vstupím velčam mohou být: základí měřeé velčy cílové velčy, apř. hmotost a objem, pokud se staovuje hustota jako jejch podíl; parametry, tj. velčy, které ejsou předmětem měřeí, ale ovlvňují výsledek; apř. tlak a teplota vzorku př měřeí objemu; referečí velčy, tj. velčy použté pro kalbrac ebo korekc systematckých chyb, apř. hodoty vyjádřeé etaloy ebo referečím materály; charakterstky pro vstupí/výstupí průběh jedotlvých kroků celkového postupu měřeí, apř. efektvost postupů přípravy vzorků, korekčí koefcety pro zjštěá vychýleí, parametry kalbračí křvky atd.; jé velčy použté během vyhodocováí, pro ěž jsou údaje převzaty z lteratury, apř. přírodí kostaty ebo materálové charakterstky. Nejstoty vstupích velč jsou zdroj ejstoty výsledků měřeí. Vlv každého zdroje ejstoty se může aopak popsat pomocí vhodých vstupích velč (apř. účostí ebo korekčím koefcetem). Takový pops se předpokládá v ásledujícím. Pro teto účel se musí vstupí velčy defovat tak, aby zahrovaly vlvy všech zdrojů ejstoty. Rověž se doporučuje užtí vývojových dagramů.. O použtí účost, korekčích koefcetů a podobě jako vstupích velč pro modelováí procesích kroků pojedává oddíl A. 3 přílohy. Shruto, úkolem v rámc tohoto kroku je vypracovat matematcký model postupu celého měřeí y = F(x, x,., x N ), tj. rovc ebo algortmus, které popsují výsledek měřeí jako fukc všech relevatích vstupích velč. Krok 3: Staoveí výzamých zdrojů ejstoty V tomto kroku se posoudí, zda příos detfkovaých zdrojů ejstoty k ejstotě výsledku je výzamý. Pro to se vypočte přblžě příspěvek vstupí velčy k ejstotě jako souč hrubého odhadu stadardí ejstoty přdružeé k této velčě (apř. s přhlédutím k varabltě, kterou lze za daých podmíek očekávat) a ctlvost, s íž výsledek a vstupí velčě závsí. Jestlže se dva příspěvky lší v poměru /5, pak je možo meší příspěvek ve srováí s větším příspěvkem zaedbat. Pozámka: U kvadratckého sčítáí přspívá stadardí ejstota, která je meší v poměru /p, přblžě /(p ) částí větší stadardí ejstoty ke kombovaé ejstotě výsledku. U p = 5 představuje tato část přblžě %. Malé příspěvky k ejstotě však emohou být zaedbáy, jestlže se objeví ve větším počtu, ebo jestlže exstují korelace, které vyžadují leárí sčítáí příspěvků k ejstotě amísto kvadratckého sčítáí. Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 8/48

19 Krok 4: Kvatfkováí výzamých zdrojů ejstoty V tomto kroku se kvatfkují příspěvky výzamých zdrojů ejstoty prostředctvím přdružeých vstupích velč x ( =,, N). Pro každou z ch se staoví stadardí ejstota u(x ) (v závslost a dostupých expermetálích údajích), a to buď jako směrodatá odchylka hodot sére měřeí (způsob A vyhodoceí), ebo jako směrodatá odchylka důvodě předpokládaého rozděleí pravděpodobost (způsob B vyhodoceí), apř. pravoúhlého rozděleí mez expermetálě staoveým extrémím hodotam. Pozámka: Způsob A vyhodoceí má zdálvou výhodu větší objektvty. Výběrové směrodaté odchylky velm krátké sére měřeí, které jsou v prax zcela obvyklé, však poskytují tak epřesé odhady stadardích ejstot, že odhad založeý a odborých zkušeostech (způsob B vyhodoceí) může mít předost. Například pro výběrovou směrodatou odchylku z pět hodot obáší relatví směrodatá odchylka přblžě 36 % a u deset hodot je to ještě 4 %. Toto platí pro hodoty odvozeé pro ormálího rozděleí; př odchylkách od ormálího rozděleí mohou ejstoty odhadů ejstot být dokoce horší. Kromě toho se u vstupích velč x staoví koefcety ctlvost c. Tyto koefcety vyjadřují, jak se výsledek y = F(x, x,., x N ) měí s kolísáím x. Jsou dáy dervacem c F = (3.8) x V případě modelu výsledku y z jedoduchých fukcí (součty, součy atd.) mohou se dervace získat dferecálím výpočtem. Jestlže jsou fukce modelu složtější, mohou se místo dervací použít číselě vypočteé dferečí podíly (vz příloha A.4). Jestlže emůže být vlv vstupí velčy x popsá modelem, použjí se místo toho expermetálě staoveé dferečí podíly Δy c = (3.9) Δx Příspěvek ejstoty vstupí velčy x ke kombovaé stadardí ejstotě výsledku y se získá jako souč u = c u(x ) tedy stadardí ejstoty u(x ) a koefcetu ctlvost c. Krok 5: Uvažováí korelací Tímto krokem se ejprve prověří, zda exstují korelace mez příspěvky k ejstotě. Tyto korelace vzkají, pokud jsou chyby dvou vstupích velč x a x k závslé jeda a druhé a projevují se buď souhlasě, ebo opačě. Korelace se mohou očekávat, jestlže příslušé vstupí velčy závsí avzájem ebo obě a třetí velčě. To se může týkat velč samotých ebo postupů staovováí jejch hodot. Příklad: Korelace exstuje, jestlže se použje stejý stadard (etalo) pro kalbrac dvou růzých měřeí ebo jestlže se dva odměré roztoky přpraví rozředěím ze stejého výchozího roztoku. Chyba stadardu pak ve stejém směru ovlví výsledky obou měřeí. Rověž tak chyba ve složeí výchozího odměrého roztoku podobě ovlví kocetrac obou odměrých roztoků. V podstatě se korelacím máme v co ejvětší možé míře vyhout. To zameá, že se mají používat především ezávslé vstupí velčy a ezávslé postupy pro staoveí jejch hodot. Jestlže to eí možé, musejí se korelace kvatfkovat vhodým kovaracem a vzít v úvahu př výpočtu kombovaé stadardí ejstoty výsledku. Korelace přspívají ke kombovaé stadardí ejstotě výsledku y jako součy u k = c c k u(x, x k ) kovarace u(x, x k ) a příslušých koefcetů ctlvost c a c k. Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 9/48

20 O staoveí kovarací krátce pojedává oddíl A. 6 přílohy a podroběj GUM a DIN Následující případ má sadé řešeí a postačuje k moha účelům: Dvě vstupí velčy x a x k závsí a stejé velčě z. Kovarace x a x k je pak u(x, x k ) = ( x / z )( x k / z )u(z). Zde u(z) je stadardí ejstota z, zatímco ( x / z ) a ( x k / z ) jsou koefcety ctlvost pro závslost velč x a x k a z. Jestlže obě vstupí velčy závsí a ěkolka společých velčách, pak kovarace je součtem příslušých součů. Krok 6: Výpočet kombovaé stadardí ejstoty V tomto kroku se slučují příspěvky staoveé v předchozích krocích do stadardí ejstoty výsledku. V ejobecější verz, tj. pokud se uvažují korelace mez všem vstupím velčam, se provádí sloučeí podle vztahu: N = N N u(y) = u + u (3.0) Detalěj tato rovce zí u(y) k = k= + N N= N F = u(x ) + x = = k= + F F x x k u(x, x k ) (3.) Ve většě aplkací žádé korelace mez vstupím velčam ejsou ebo příspěvek korelací lze zaedbat. Pak se rovce (3.) zredukuje a N F u(y) = u(x ) (3.) = x Stadardí ejstota výsledku u(y) se získá jako kladá odmoca součtu čtverců vypočteá z rovce (3.) ebo (3.). Pozámka: Rovce (3.) je obvyklým tvarem Gaussova zákoa šířeí chyb u ekorelovaých chyb. Rovce (3.) je jeho zobecěím zahrujícím korelace. Obě rovce jsou založey a rozvoj výsledku v mocou řadu odchylek vstupích velč od jejch staoveých hodot, který je zkráce až a leárí výraz. Jestlže se projevují elearty, může být tato přblžá hodota edostatečá. V tomto případě se musí zahrout buď další po sobě jdoucí čley řady (vyšší mocy odchylek), ebo se musí použít jé metody vyhodoceí (číselá smulace atd., vz příloha A. 4.). Jestlže je možo vztah mez výsledkem y a vstupím velčam x vyjádřt jedoduchým vzorc, mohou se koefcety ctlvost staovt dferecálím výpočtem. Příklad: U součtů y = ax + bx a rozdílů y = ax bx u(y) = a u(x ) + b u(x ) U součů y = cx x a podílů y = cx /x u(y) y u(x) = x u(x ) + x Ve všech ostatích případech je vhodější aproxmovat koefcety ctlvost metodou koečých dferecí. Oba tyto výpočty a sloučeí pomocí kvadratckého sčítáí se mohou vhoděj provést použtím tabulkového edtoru, vz oddíl A. 4.. Kovarace u(x, x k ) v rovc (3.) jsou těsě spjaty se stadardím ejstotam příslušých vstupích velč takto: u(x,x k ) = r(x,x k ) u(x ) u(x k ) (3.3) Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 0/48

21 Zde r(x,x k ) je takzvaý korelačí koefcet; jeho hodota je mez - a. Hodota vyjadřuje, že vstupí velčy kolísají souhlasě, zatímco - vyjadřuje, že kolísají atagostcky, hodota 0 vyjadřuje absec korelace. Jestlže vykazují všechy vstupí velčy úplou korelac (r = ), kombovaá stadardí ejstota je leárím součtem příspěvků k ejstotě u(y) = u. V případě zcela ekorelovaých vstupích velč jsou příspěvky k ejstotě sečtey kvadratcky jako u(y) = u. Výsledkem kvadratckého sčítáí jsou obvykle meší hodoty u kombovaé stadardí ejstoty u(y) ež výsledkem leárího sčítáí. Proto se může leárí sčítáí použít u ejhoršího možého odhadu kombovaých stadardích ejstot, bez ověřováí a korelace. Leárí sčítáí eí vhodým postupem pro staoveí ejstot, které se mají použít jako vstupí údaje pro staoveí ejstoty jých velč, protože obvykle kombovaou stadardí ejstotu adhodocuje. Krok 7: Defováí koefcetů rozšířeí Nejstotu výsledku lze uvádět alteratvě buď jako stadardí ejstotu u(y), ebo jako rozšířeou ejstotu U(y) = k u(y), tj. jako souč stadardí ejstoty a vhodě zvoleého koefcetu rozšířeí. Rozšířeá ejstota se volí s cílem defovat rozsah, u kterého se očekává, že bude s vysokou pravděpodobostí obsahovat pravou hodotu výsledku. Pokud ejsou závažé důvody pro jou volbu, má se zvolt pro k hodota mez a 3; jako stadardí se doporučuje hodota k =. Jestlže jsou k dspozc dostatečé zalost o rozděleí pravděpodobost výsledku, pak se může k vypočítat jako kofdečí koefcet a daé kofdečí úrov. Pro teto účel se doporučuje kofdečí úroveň 0,95 (95 %). Pro takový výpočet je zapotřebí zát počet efektvích stupňů volost. Mohou se vypočítat ze stadardích ejstot a stupňů volost rozděleí hodot vstupích velč, vz GUM, oddíl G Návod k používáí blací ejstot Aalytcko-výpočetí staoveí ejstoty měřeí založeé a podrobé blac ejstot je vhodé zejméa pro postupy měřeí s šrokým rozsahem aplkací, tj. se začou růzostí objektů měřeí a podmíek měřeí. Pak se vyplatí saha sestavt podrobou blac ejstot, v íž se vypočítává ejstota měřeí jako fukce závažých ovlvňujících velč zejméa vlastostí objektů měřeí a podmíek měřeí. Pro postupy měřeí s omezeým rozsahem aplkací objekty měřeí s malým rozsahem varací, stadardzovaé podmíky měřeí jsou dobrou alteratvou postupy popsaé v oddílech 4 a 5 pro odhad ejstoty měřeí z údajů valdace prováděé v laboratoř a údajů z mezlaboratorího porováí. Blace ejstot jsou ceým dagostckým ástroj př vývoj a optmalzac postupů měřeí. K tomuto účelu je obzvláště vhodý tvar rovce (3.0) (pro zjedodušeí bez korelací): N u = (3.4) u(y) = Čley rozptylu u /u(y) vyjadřují, které ovlvňující velčy přspívají ke kombovaé ejstotě výsledku měřeí výzamě a které ovlvňující velčy přspívají pouze okrajově. Vyplatí se tedy pouze ámaha vyaložeá a zvýšeí přesost u velč s výzamým vlvem, zatímco u velč s okrajovým vlvem by to byla ámaha zbytečá. Jý užtečý tvar základí rovce pro šířeí ejstoty (pro zjedodušeí bez korelací) je ásledující: Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek /48

22 u(y) y = N = d u(x ) x kde c.x d = (3.5) y Koefcety d vyjadřují, jak slě ovlvňuje relatví ejstota ovlvňující velčy relatví ejstotu výsledku. 3.5 Nejhorší možý odhad Cílem postupu popsaého v oddílu 3.3 je staovt ejstotu měřeí s přměřeou přesostí. Předmětem zájmu však může v jedotlvých případech být ejhorší možý odhad (tj. a horí hrac) amísto přesé hodoty ejstoty měřeí, apř. jestlže výzam ejstoty měřeí hraje pouze podřadou úlohu př dalším použtí výsledku ebo jestlže se má zajstt shoda s daým specfkacem ebo mezím hodotam. Postup ejhoršího možého odhadu ejstoty měřeí popsaý v oddílu 3.3 může být zjedoduše takto: Příspěvky vstupích velč k ejstotě u = c u(x ) se leárě sečtou; korelačí příspěvky u k = c c k u(x,x k ) se opomeou. V příspěvcích vstupích velč k ejstotě u = c u(x ) se mohou místo stadardích ejstot u(x ) použít maxmálí hodoty evetuálích chyb x. Těmto zjedodušeím se získají ásledující dvě rovce, které se mohou alteratvě použít pro výpočet ejhorších možých odhadů ejstoty měřeí. Δy max N F = x = u(x ) (3.6) N F Δy = Δx max (3.7) max x = Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek /48

23 4. Odhad ejstot měřeí pomocí valdace v laboratoř a z údajů o řízeí kvalty 4. Obecě Přímá metoda staoveí ejstoty měřeí spočívá v použtí postupu měřeí a příslušé referečí objekty (etaloy, stadardy, ztělesěé míry, referečí materály) a porováí výsledků získaých za podmíek vtrolaboratorí reprodukovatelost (vz oddíl.) se zámým referečím hodotam. Varata, která do začé míry dodržuje stejou zásadu, spočívá v použtí postupu měřeí souběžě s referečím postupem a vhodých objektech měřeí a porováí výsledků vyhodocovaého postupu s výsledky referečího postupu. V obou varatách se ejstota měřeí staoví podle základí zásady přesost = pravdvost + preczost z charakterstckých hodot pravdvost (odhady vychýleí) a charakterstckých hodot preczost (odhady áhodé varablty). Postup popsaý íže sestává z těchto kroků: zjšťováí preczost; zjšťováí pravdvost (vychýleí); korekce vychýleí (jestlže je výzamé); staoveí ejstoty měřeí (včetě korekčích čleů). V oddílu 4. je popsá ejjedodušší případ používající jede samostatý referečí objekt. Jestlže je z techckých důvodů zapotřebí více ež jede referečí objekt, apř. pro staoveí ejstoty pro šroký rozsah měřeí, pak zde popsaý postup by se měl přměřeě rozšířt. Postupy vhodé pro teto účel jsou popsáy v oddílu 4.3. Zjšťováí preczost a vychýleí postupu měřeí se provádí pravdelě (a avíc pokud je to potřeba). Je důležté zajstt, aby údaje ze současého šetřeí byly srovatelé s údaj z předchozích zjšťováí: Jestlže jsou údaje avzájem slučtelé, mohou se sloučt s cílem zlepšt statstcký základ příslušých odhadutých hodot (průměré odchylky, míry průměré výtěžost a jejch směrodaté odchylky). Jak se může porováí údajů použít jako dagostcký ástroj k řešeí zjštěých esrovalostí. Proto se má měřeí referečích objektů vždy provádět a vyhodocovat stejým způsobem bez korekcí staoveých předem. 4. Postup z jedé položky Následě popsaý postup lze použít pouze tehdy, jestlže lze oprávěě předpokládat, že výsledek získaý a daém referečím objektu je možo považovat za reprezetatví položku pro celý rozsah měřeí (jým slovy pro všechy objekty měřeí a/ebo měřcí úkoly). Jak se buď musí rozsah měřeí příslušě omezt, ebo se použje postup opírající se o více položek popsaý v oddílu 4.3. Referečí objekt se bude měřt opakovaě (alespoň = 6 krát) za takových podmíek vtrolaboratorí reprodukovatelost laboratoře (vz oddíl.), které odpovídají podmíkám běžého provozu. Pro taková měřeí, se v dalším používají tyto velčy: Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 3/48

24 x ref u(x ref ) x meas referečí hodota měřeé velčy; stadardí ejstota referečí hodoty; aměřeá hodota získaá zkoumaým postupem měřeí; x meas průměrá hodota z aměřeých hodot x meas ; s meas směrodatá odchylka aměřeých hodot x meas ; středí odchylka ( = x meas Q míra průměré výtěžost (Q = x meas - x ref ) od referečí hodoty; / x ref ) referečí hodoty. V prvím kroku je uto zjstt, zda směrodatá odchylka sére měřeí je slučtelá s dříve staoveým a sledovaým směrodatým odchylkam postupu měřeí (oddíl 4..). Následě se průměrá hodota výsledků měřeí porová s referečí hodotou s cílem zjstt evetuálí vychýleí. Zjštěé vychýleí se posoudí jako epřjatelé, výzamé, ale přjatelé ebo evýzamé (oddíl 4..). Podle výsledků posouzeí se určí další vhodý postup (oddíl 4..3): Výsledek Nepřjatelý Výzamý ale přjatelý Nevýzamý Opatřeí Přezkoušejte a změňte postup měřeí, aby se odstralo/ sížlo vychýleí Použjte korekc vychýleí ebo zaveďte dodatečý příspěvek k ejstotě zohledňující ekorgovaé vychýle Tabulka 3. Výsledky a opatřeí, pokud jde o vychýleí Zaveďte dodatečý příspěvek k ejstotě zohledňující ekorgovaé vychýleí Výsledkem zkoumáí je odhad ejstoty postupu měřeí (včetě korekcí, je-l to vhodé) (oddíl 4..3). 4.. Zjšťováí preczost Předběžé zjšťováí preczost postupu měřeí se provádí za podmíek vtrolaboratorí reprodukovatelost (vz oddíl.), které mají odpovídat podmíkám běžého provozu. To se může provést užtím směrodaté odchylky získaé z pravdelých měřeí a vhodém objektu měřeí (regulačí dagram preczost) ebo vhodě sdružeé směrodaté odchylky, pokud je zahruto ěkolk objektů měřeí ebo ěkolk měřcích přístrojů. Tato preczost se pak azývá procesí preczostí. U sdružeé směrodaté odchylky se použje ozačeí procesí směrodatá odchylka se symbolem s v. Pozámka: Sloučeí (sdružeí) dvou směrodatých odchylek se provede takto: s ( = )s + ( )s + Zde jsou a počty aměřeých hodot, z chž byly vypočtey s a s. Směrodatá odchylka s meas sére měřeí a referečím objektu by měla souhlast se směrodatou odchylkou s v postupu ebo alespoň s meas emá být výzamě větší ež s V. V případě pochybostí to lze prověřt pomocí F-testu. Pozámka: F-testem se prověří, zda se dvě směrodaté odchylky výzamě lší. Za tím účelem se druhá moca podílu větší a meší ze dvou směrodatých odchylek Techcká zpráva EUROLAB /006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek 4/48

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

VY_52_INOVACE_J 05 01

VY_52_INOVACE_J 05 01 Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky). Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

Úvod do teorie měření

Úvod do teorie měření Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 8 Pavel Třasák ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Výstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy

Výstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy Paralelí soustava Vstup a a Výstup a Vstup a Výstup a a obrázek : Blokové schéma a graf paralelí soustavy paralelí soustava je v bezporuchovém stavu je-l v bezporuchovém stavu prvek (tzv. adbytečé spojeí

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Metodika projektů generujících příjmy

Metodika projektů generujících příjmy Příloha: 9 Metodka projektů geerujících příjmy Účost: 23. 1. 2009 Verze č. 6.0 1. Výchozí podmíky - Obecá pravdla Postup u projektů geerujících příjmy vychází z čláku 55 Obecého ařízeí č. 1083/2006 a vyplývá

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb

Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měřeí kvality Služeb Dodavatel a Objedatel se dohodli a ahrazeí Přílohy C - Systém měřeí kvality Služeb Obchodích podmíek Smlouvy o službách touto Přílohou

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH USTÁLENÉ POUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KOYTECH ovoměré prouděí Charakterstka:. Hloubka vod v kortě, průtočá plocha a průřezová rchlost jsou v každém příčém řezu kostatí.. Čára eerge, vodí hlada a do korta jsou

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT ANALÝZA A KLASIFIKACE DA prof. Ig. Jří Holčík, CSc. INVESICE Isttut DO bostatstky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE pokračováí Isttut bostatstky a aalýz (SUPPOR VECOR MACHINE SVM) SEPARABILNÍ

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Lineární a adaptivní zpracovní dat. 5. Lineární filtrace: FIR, IIR

Lineární a adaptivní zpracovní dat. 5. Lineární filtrace: FIR, IIR Leárí a adaptví zpracoví dat 5. Leárí fltrace: FIR, IIR Dael Schwarz Ivestce do rozvoje vzděláváí Opakováí 2 Co je to fltrace? Co je to fltr? A jak ho popsujeme? Jaký je vztah Z trasformace a Fourerovy

Více

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304 935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad

Více

Přednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs.

Přednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs. Předáška V. Úvod do teore odhadu Pojmy a prcpy teore odhadu Nestraé odhady Metoda mamálí věrohodost Průměr vs. medá Opakováí výběrová dstrbučí fukce Sestrojíme výběrovou dstrbučí fukc pro výšku a váhu

Více

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB 6 VĚSTNÍK MZ ČR ČÁSTKA 4 METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB Miisterstvo zdravotictví vydává podle 80 odst., písm. a)

Více

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC Jří HŘEBÍČEK, Mchal HEJČ, Jaa SOUKOPOVÁ ECO-Maagemet,

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Momenty a momentové charakteristiky

Momenty a momentové charakteristiky Lekce 3 Momety a mometové charaktertky Pokud jme e v předešlém výkladu zmňoval o ěkteré tattcké charaktertce, zpravdla jme rověž uváděl, zda j řadíme mez více ebo méě důležté. A byly to právě artmetcký

Více