8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

Transkript

1 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo - 8 -

2 Výklad: Kapitolu o pojitých rozděleích věujeme třem důležitým rozděleím acházejícím uplatěí zejméa při odhadech a tetováí tatitických hypotéz. 8. χ rozděleí Mějme ezávilé áhodé veličiy Z ; Z ;... ; Z, z ichž každá má ormovaé ormálí rozděleí. Pak oučet čtverců těchto áhodých veliči má rozděleí (chí-kvadrát) tupi voloti (degree of freedom, DF). Z i i To, že má áhodá veličia rozděleí ozačujeme: Počet tupňů voloti tedy ozačuje počet čítaých ezávilých áhodých veliči a je jediým parametrem tohoto rozděleí. Zároveň je defiice rozděleí zřejmé, že áhodá veličia tímto rozděleím může abývat pouze kladých hodot. Hutotu pravděpodoboti v obecém tvaru (pro tupňů voloti) ebudeme pro začou komplikovaot vztahu uvádět. Středí hodota: E Rozptyl: D 00p%-í kvatily: Pro ěkterá výzamá p (0,0; 0,05; 0,0;...) a pro ěkterá jou kvatily rozděleí tabelováy (viz. příloha Tabulka 3). Běžě lze také kvatily tohoto rozděleí taovit pomocí tatitického oftware. Grafické zázorěí hutoty pravděpodoboti pro růzé tupě voloti - 9 -

3 8.. Vlatoti rozděleí χ. Pro ezávilé áhodé veličiy rozděleím e dá dokázat, že jejich oučet má opět rozděleí a počet tupňů voloti je rove oučtu tupňů voloti jedotlivých veliči v oučtu. Nechť i, i i, pak i.. Pokud áhodé veličiy,,..., mají ormálí rozděleí N(µ, ) a jou avzájem ezávilé, pak výběrový rozptyl vyáobeý (-) a vyděleý má rozděleí. (Plye to bezprotředě z toho, že teto výraz e dá převét a oučet čtverců (-) áhodých veliči rozděleím N(0,)) i i Důkaz: ( i x) ( i x) ( ) i i i i x, Pomocí dalších úprav (zdlouhavé), které vedou a ahrazeí průměru tředí hodotou, bychom zjitili, že: ( ) i i Z i i (Nahrazeí průměru tředí hodotou vede a ztrátu jedoho tupě voloti.) Tuto kutečot můžeme tručě zapat takto: 8.. Použití rozděleí χ ( ). Vlatoti, že: ( ) (výběrový rozptyl vyáobeý (-) a vyděleý má rozděleí ) e využívá při tetováí toho, zda rozptyl základího ouboru ormálím rozděleím je rove σ. (viz. Tetováí hypotéz). rozděleí e používá pro ověřeí ezáviloti kategoriálích proměých (tet ezáviloti v kombiačí tabulce) 3. Pokud tetujeme, zda áhodé veličiy (aměřeá data) pocházejí z určitého rozděleí, můžeme také úpěchem použít chí-kvadrát rozděleí. Teto tet je zám pod ázvem "tet dobré hody"

4 Řešeý příklad: Odvoďte ditribučí fukci a hutotu pravděpodoboti áhodé veličiy, která má rozděleí jedím tupěm voloti. Řešeí: Z Z N 0; Náhodá veličia je fukcí áhodé veličiy Z a proto budeme při hledáí její ditribučí fukce dále potupovat již zámým způobem (pouze vezmeme v úvahu, že áhodá veličia rozděleím abývá pouze kladých hodot): pro x 0 : F x P x PZ x P x Z x x x x x pro x 0 : F x 0 x t x t x e dt e dt 0 Hutotu pravděpodoboti pak určíme jedoduše jako derivaci ditribučí fukce: 0 f x df dx x x x x 0 x x e x x 0 x 0 Výklad: 8. Studetovo t rozděleí Uvažujme dvě ezávilé áhodé veličiy Z a. Náhodá veličia Z má ormovaé ormálí rozděleí, áhodá veličia má rozděleí χ tupi voloti. Potom áhodá veličia t; - -

5 T Z má Studetovo t rozděleí tupi voloti. Počet tupňů voloti je jediý parametr tohoto rozděleí. Pro (vyoký počet tupňů voloti, v praxi pro >30) e Studetovo t rozděleí blíží ormovaému ormálímu rozděleí. Hutotu pravděpodoboti ebudeme ai v tomto případě pro její ložitot uvádět. Středí hodota: E ( ) 0 T Rozptyl: T D 00p%-í kvatily - t p : Pro vybraá p a pro vybraé tupě voloti jou 00p%-í kvatily tabelováy (viz. příloha Tabulka ). Většiou je tato tabelace provedea pouze pro p<0,5. Kvatily t p pro p>0,5 zíkáme pomocí vztahu: t t p p Běžě e při určováí kvatilů využívá rověž tatitický oftware. Grafické zázorěí hutoty pravděpodoboti pro růzé tupě voloti 8.. Vlatoti Studetova t rozděleí Náhodá veličia defiováa jako: - -

6 má Studetovo t rozděleí (-) tupi voloti. t Odvozeí bude provedeo v áledujícím Průvodci tudiem. 8.. Použití Studetova t rozděleí Studetovo t rozděleí má široké uplatěí. Uvedeme alepoň ěkteré možoti použití.. Užívá e k tetováí hypotéz o tředí hodotě áhodého výběru, pokud je rozptyl ezámý. Mělo by platit, že teto áhodý výběr pochází z ormálího rozděleí, ale teto předpoklad je většiou alepoň přibližě plě, jak dále pozáme.. Užívá e k tetováí hypotéz o hodě tředích hodot dvou áhodých výběrů, e tejými předpoklady jako v předcházejícím případě - avíc muí být tyto výběry ezávilé. 3. Rozděleí je vhodým protředkem pro aalýzu výledků regreí aalýzy. Průvodce tudiem: Původ ázvu Studetovo má zajímavou hitorii. Irký tatitik W. S. Goet poprvé publikoval toto rozděleí aoymě pod peudoymem "Studet", protože jeho zamětavatel, pivovar Guie v Dubliu, zakázal vým zamětacům publikovat pod vým vlatím jméem z obavy, že kokurece by odhalila tajemtví jejich exceletího piva. Ve vém původím čláku, Goet použil ozačeí "t" pro voji tatitiku. Odtud Studetovo t rozděleí pravděpodoboti. Na práci Goeta avázalo možtví dalších tatitiků; jmeujme alepoň R. A. Fihera, jehož jméo můžeme ajít téměř ve všech měrech dalšího vývoje tatitiky. Náledující odvozeí je opět určeo zájemcům o matematické pozadí používaých vztahů. t Odvozeí vlatotí, že: Pokud áhodé veličiy,,..., mají ormálí rozděleí N(µ, ) a jou avzájem ezávilé, pak lze ado ukázat (viz. Cetrálí limití věta), že N(, ) a dále po tadardizaci (traformaci ormálí a ormovaou ormálí áhodou veličiu) platí: - 3 -

7 - 4 - (0,) N Dále víme, že: ) ( Protože Studetova áhodá veličia je defiováa jako: Z T Proto: Z T Jako áhodé veličiy Z a tedy mějme: ) ( ; Z Pak: ) ( t Po úpravě: ) ( t

8 Výklad: 8.3 Fiherovo-Sedecorovo rozděleí - F rozděleí Poledím pojitým rozděleím, kterým e budeme zabývat, je F rozděleí. Mějme dvě ezávilé áhodé veličiy m a. Obě mají rozděleí chí-kvadrát. Prví z ich má počet tupňů voloti m, druhá má počet tupňů voloti (obecě mají růzý počet tupňů voloti). Pak áhodá veličia F m,; m F m, m má Fiherovo-Sedecorovo rozděleí o m a tupích voloti. Toto rozděleí má tedy dva parametry- a m. Ai v tomto případě ebudeme uvádět vztah pro hutotu pravděpodoboti (začě ložitý). Středí hodota: EF Rozptyl: D 00p%-í kvatily - F p : m, m ) ( ) ( 4) ( Fm, Pro praktické aplikace jou pro vybraé pravděpodoboti (p>0,5) a vybraé tupě voloti a m tabelováy kvatily F p (viz. příloha Tabulka 4). Pro p>0,5 e kvatily F p určí ze vztahu: Fp F m, p Grafické zobrazeí hutoty pravděpodoboti pro růzé hodoty m a - 5 -

9 8.3. Vlatoti Ficherova-Sedecorova rozděleí Je zřejmé použití tohoto rozděleí jako rozděleí výběrových rozptylů dvou ezávilých áhodých vektorů, e tejou měrodatou odchylkou Nechť máme dva áhodé vektory: ; j j N(, ); N(, ); j =, j =, S ; S jou áhodé veličiy defiovaé jako: S j i i j j j ; S Pak: S S F, 8.3. Použití Ficherova-Sedecorova rozděleí Toto rozděleí má opět široké uplatěí, především při hodoceí výledků tatitických aalýz. Používá e především:. k tetu o hodoti rozptylů dvou áhodých výběrů. k tetům o hodě tředích hodot pro více áhodých výběrů, v aalýze rozptylu. 3. k tetům v regreí aalýze

10 Shrutí: Spojitá rozděleí, kterými jme e v této kapitole ezámili acházejí uplatěí zejméa při odhadech a tetováí tatitických hypotéz. Jejich 00p%-í kvatily jou pro vybraé p a vybraé parametry tabelováy Název rozděleí Defiice NV daým rozděleím Z i i Parametry Vlatoti ( ) Studetovo Ficherovo-Sedecorovo T F Z t m S m F m,, S, m Otázky. Defiujte áhodé veličiy:, Studetovu a Ficher-Sedecorovu (prokažte orietaci v tabulkách kvatilů těchto rozděleí) - 7 -