Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti"

Transkript

1 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto koečý (rozsah ozačujeme N) i ekoečý. Iformace o populaci získáváme prostředictvím statistického výzkumu (statistických studií). Rozlišujeme dva základí typy statistických studií - pokus a šetřeí. Při pokusu pláovitě měíme faktory a sledujeme jejich vliv. Typickým příkladem je komparativí experimet (kliický pokus), kdy sledovaé prvky rozdělíme do dvou skupi áhodě a každou skupiu vystavíme vlivu jiých faktorů (tzv. kotrolovaý pokus). Pokud avíc vyhodocující experimetátor ebo vyhodocující experimetátor i sledovaý subjekt eví, ve které skupiě je zařaze, jedá se o slepý pokus resp. dvojitě slepý pokus. V rámci šetřeí je výzkumý pracovík pouze pasivím pozorovatelem, který zasahuje co ejméě do průběhu šetřeí. Parametr populace (populačí charakteristika) je číselá charakteristika sledovaé vlastosti v populaci, apříklad průměrá výška desetiletých chlapců, variabilita doba léčeí kokrétího oemocěí a území ČR a podobě. Obvykle pokládáme teto parametr za pevé číslo, které je však obecě ezámé. Parametr obecě začíme Θ, pro ěkteré parametry je zavedeo kokrétí ozačeí µ, σ 2, ϕ,.... Výběr je koečá podmožia populace, kdy sledujeme a měříme požadovaé vlastosti pouze u ěkterých prvků populace. Výběr je vždy koečý (rozsah ozačujeme ) a pokud výběr dobře odráží strukturu celého zkoumaého souboru, azýváme jej reprezetativí výběr. Podle charakteru získáváí výběru prvků z populace rozlišujeme úplé šetřeí: sledujeme zaky všech prvků základího souboru; selektiví výběr; záměrý výběr: výběr se opírá o expertí staoviska ebo je ovlivě subjektivími hledisky experimetátora, přesost zobecňujících závěrů se opírá o expertí hledisko experimetátora a ikoliv o statistickou metodologii; áhodý výběr: prvky ze základího souboru vybíráme áhodě, ezávisle a úsudku experimetátora prostý áhodý výběr (simple radom sample) : provádí se růzými techikami losováí, které musí zaručit, aby každý prvek populace měl stejou možost být zařaze do výběru. Pokud jsou prvky populace jsou očíslováy, je možo provést výběr pomocí tabulek áhodých čísel. mechaický výběr: je založe a určitém, předem daém uspořádáí prvků populace, do výběrového souboru zařadíme všechy prvky, které jsou od sebe vzdáley o zvoleý výběrový krok, přičemž prví prvek vybereme prostým áhodým výběrem. Například 1

2 z abecedě uspořádaé kartotéky pacietů u praktického lékaře vybíráme s krokem dvacet. Prví kartu vylosujeme mez prvími dvaceti kartami, třeba devátou. Musíme dát pozor, aby uspořádáí prvků esouviselo se sledovaým zakem. oblastí výběr (stratifikovaý): studovaá populace je rozdělea do dílčích oblastí. Oblasti jsou vytvořey tak, aby byly uvitř homogeí (ve sledovaých zacích se příliš eliší) a mezi sebou heterogeí (sledovaé zaky se začě liší). Při šetřeí a obyvatelstvu jsou oblasti vytvořey apř. územími celky, věkovými skupiami ebo socioekoomickým statutem. Z každé oblasti vybereme vzorek metodou prostého áhodého výběru ebo mechaického výběru. Proceto vybraých prvků z oblastí může být bud pro všechy oblasti stejé, ebo se mezi oblastmi liší. Někdy máme pádé důvody vybírat z ěkteré oblasti relativě méě prvků, apř. při zvýšeých fiačích ákladech a šetřeí ebo obtížé dostuposti údajů. Koečý výběrový soubor vytvoříme spojeím vzorků ze všech oblastí. skupiový výběr: Pro velké rozsahy populace eprovádíme áhodý výběr, tj. evybíráme jedotlivé osoby, ýbrž celé skupiy osob, které tvoří bud přirozeé ebo umělé agregáty. Tyto skupiy mohou být malé i větší (rodia, škola, závod, zdravotí obvod) ebo i začě rozsáhlé (obce, okresy). Je žádoucí, aby skupiy byly pokud možo stejě velké a osoby uvitř každé skupiy růzorodé. Dále se požaduje, aby variabilita mezi skupiami byla co ejmeší, což je tedy obráceě, ež je tomu u oblastího výběru. Když byl provede výběr skupi, lze dále pokračovat dvojím způsobem: bud vyšetříme vyčerpávajícím způsobem všechy osoby vybraých skupi, ebo zvolíme metodu vícestupňového výběru. vícestupňový výběr: je založe a existeci určitého hierarchického popisu prvků základího souboru. K těmto prvkům se postupě dostáváme přes vyšší výběrové jedotky, apříklad: města - bloky - domy - domácosti; okresy - závody - díly - zaměstaci. Každá výběrová jedotka je skupiou výběrových jedotek ižšího řádu. Postupě vybíráme jedotky prvího stupě (primárí jedotky), z ich potom jedotky druhého stupě (sekudárí jedotky), z ich jedotky třetího stupě atd., až dojdeme k základím jedotkám statistického šetřeí. Postupé výběry provádíme často metodou prostého áhodého výběru, lze však uplatit i výběr mechaický ebo oblastí. Vícestupňový výběr je vhodý v situacích, kdy úplá opora výběru eí dostupá před začátkem výběrového postupu. Jeho výhody jsou především ekoomického charakteru. cezorovaý výběr je výběr, kdy emáme k dispozici přesou hodotu sledovaé charakteristiky, ale máme iformaci, že hodota bude větší ež kokrétí číslo (cezorováí zprava) ebo meší ež kokrétí číslo (cezorováí zleva), apříklad sleduje dobu přežití a v okamžiku ukočeí experimetu víme, že paciet přežil více ež 5 let, ale evíme přesou dobu přežití. Data je souhr kokrétích číselých údajů, reálých čísel (výsledek opakovaých pokusů ebo šetřeí), které máme k dispozici. Jedá se vždy o koečý počet dat, rozsah dat je a jedotlivé údaje začíme x 1, x 2, x 3,..., x, pokud máme data seřazea podle velikosti, používáme začeí x (1), x (2), x (3),..., x (). Výběrová charakteristika (statistika) je pojem používaý pro číselou charakteristiku výběru, 2

3 apř. aritmetický průměr z aměřeých dat, výběrový rozptyl,.... Pro růzé výběry je hodota téže statistiky obvykle růzá. 1.2 Základí typy statistických dat Podle toho, jaký charakter mají zaky ve výběru ebo v populaci rozlišujeme růzé typy dat. Nejápadější je rozdíl mezi proměými vyjádřeými slově a proměými, jejichž hodoty jsou vyjádřey číselě. Tomuto odpovídá základí děleí a kvalitativí a kvatitativí data. Pro zpracováí obvykle přiřazujeme slovím proměým jejich číselý ekvivalet, pokud můžeme přiřadit číselou hodotu v libovolém pořadí, mluvíme o datech omiálích. Pokud přiřazeím čísel zároveň posloupost uspořádáme, mluvíme o ordiálích datech. kvalitativí omiálí biárí data (alterativí, dichotomická) - data abývají pouze dvou hodot typu ANO - NE ebo 0-1; kvalitativí omiálí data (víceškálové) - (kategoriálí data) data mají původě sloví charakter, při přiřazováí číselých charakteristik elze rozumým způsobem zavést do dat uspořádáí, typickým případem jsou data vyjadřující apř. bydliště, růzé barvy sledovaého objektu a podobě; kvalitativí ordiálí data - data mají původě sloví charakter a při převodu do číselé škály je přirozeým způsobem zavedeo uspořádáí, apříklad maximálí dosažeé vzděláí, hodoceí zámkami, vyjádřeí užitečosti a podobě; kvatitativí diskrétí data - itervalová stupice data mají přirozeou číselou charakteristiku, čísla zároveň vyjadřují uspořádáí v ámi zvoleém smyslu, zároveň se můžeme ptát o kolik je jede zak lepší ež druhý, svůj praktický výzam má tedy i veličia x i x j, v rámci itervalové stupice má ulová hodota pouze relativí charakter, apříklad ulová teplota; kvatitativí diskrétí data - poměrová stupice data mají přirozeou číselou charakteristiku, čísla zároveň vyjadřují uspořádáí v ámi zvoleém smyslu, zároveň se můžeme ptát kolikrát je hodota jedoho zaku jiá (lepší) ež hodota druhého zaku, svůj praktický výzam má tedy i veličia x i x j, v rámci poměrové stupice má kokrétí výzam ulová hodota, apříklad ulová hmotost, ulová rychlost, ulový počet výskytu sledovaého jevu; kvatitativí spojitá data - data mají přirozeou číselou charakteristiku, ale tato charakteristika může abývat ekoečého počtu hodot, ejčastěji vzikají tato data měřeím a vážeím objektů, zachyceím času a podobě; data s eúplou iformací - do této kategorie spadají data, o kterých víme apříklad pouze to, zda jsou pod detekčím limitem,ev. data cezorovaá časem, ev. data mající itervalový charakter (víme pouze to, že hodota proměé leží v itervalu) a podobě. 3

4 1.3 Výběrové charakteristiky pro jedorozměrá data Výběrové charakteristiky polohy aritmetický průměr x = x 1 + x x je jedoduchý, založeý a všech hodotách, lze ho lieárě trasformovat tj. pokud y i = ax i +b pro i = 1, 2,...,, pak y = ax + b aritmetický průměr x je citlivý a hrubé chyby (př. 8, 12, 15, 23, 1500 x = 311.6) V programu EXCEL používáme pro výpočet aritmetického průměru fukci PRŮMĚR(číslo1;číslo2;... ) resp. PRŮMĚR(oblast dat) v aglické verzi se jedá o fukci MEAN(oblast dat). Při použití těchto fukcí jsou buňky obsahující textové hodoty z výpočtu vyecháy. Naproti to mu fukce AVERAGEA(hodota1;hodota2;... ) vrátí aritmetický průměr hodot v sezamu argumetů (argumety musí být čísla, ázvy, matice ebo odkazy). K číslům je avíc ve výpočtu zahrut i text (vyhodoceo jako 0) a logické hodoty PRAVDA (vyhodoceo jako 1) a NEPRAVDA (vyhodoceo jako 0). Aritmetický průměr z vybraých hodot lze také vypočítat jako podíl součtu a počtu buěk odpovídající kritériu. Použijeme fukce SUMIF(oblast;kritéria;součet), kde oblast jsou buňky obsahující kriteriálí hodotu, kritéria jsou zvoleé podmíky a součet je oblast buěk, které sčítáme a pro určeí počtu použijeme fukci COUNTIF(oblast;kritérium). Př. SUMIF(A2:A5; > ;B2:B5) sečte hodoty v těch buňkách B2:B5, pro které hodota v příslušé buňce A2:A5 je větší ež geometrický průměr (pro kladé hodoty x i ) x G = x 1.x x je vhodý pro průměrou hodotu idexů i k Př.: Necht x 0, x 1,..., x udávají počet prodaých výrobků v i- tém časovém období. Vývoj prodeje charakterizujeme pomocí tzv. řetězových idexů i 1 = x 1, i 2 = x 2,..., i = x. x 0 x 1 x 1 Pak lze vyjádřit x = x 0 i 1 i 2 i. V Excelu použijeme fukci GEOMEAN(oblast dat). 4

5 harmoický průměr (pro kladé hodoty x i ) x H = x x 1 Příklad použití: Auto x 1 jede do kopce rychlosti v 1 a po stejé dráze z kopce rychlosti v 2. Jaká je jeho průměrá rychlost? Délku tratě ozačme d, dobu jízdy do kopce t 1 = d/v 1, dobu jízdy z kopce t 2 = d/v 2. 2d 2 Průměrá rychlost je = t 1 + t 2 v1 1 + v2 1 = v H V Excelu použijeme fukci HARMEAN(oblast dat). další průměry mají obecý charakter kvadratický průměr x K = průměr stupě α, pro α 0 vzájemé vztahy průměrů x x x 2 x α = ( 1 x α i ) 1/α x (1) x H x G x x K x () rovost platí právě tehdy, když jsou všechy prvky x i shodé x (1) x α x () x 1 = x H x 1 = x x 2 = x K lim x α = x G α 0 lim α x α = x (1) lim α + x α = x () mediá je taková hodota, že v případě, že uspořádáme data podle velikosti, je přesě polovia hodot meší ež mediá x a polovia hodot je větší ež mediá. Největší výhoda mediáu spočívá v jeho robustosti, pod tímto termíem rozumíme malou citlivost a odlehlá, případě chybá data. Pokud jsou data rozložea symetricky vzhledem k průměru a eobsahují odlehlá pozorováí, je mediá rove aritmetickému průměru. V Excelu použijeme fukci MEDIAN(oblast dat). 5

6 modus ejčetější hodota, tj. hodota, která se v souboru dat opakuje ejvícekrát, tato charakteristika emá výzamější uplatěí a poskytuje ám pouze doplňkové iformace o souboru dat. V Excelu použijeme fukci MODE(oblast dat). kvatily, kvartily, decily Zobecěím pojmu mediá dostaeme pojem α-procetí kvatil. α-procetí kvatil Q α je taková hodota, že v případě, že uspořádáme data podle velikosti, je α procet hodot meší ež kvatil Q α a 100 α procet hodot je větší ež kvatil. Hodotu Q 25 azýváme dolí kvartil, hodota Q 50 je mediá, hodotu Q 75 azýváme horí kvartil, aalogicky hodoty Q 10 resp.q 90 a Q 1 resp. Q 99 azýváme dolí (horí) decil a dolí (horí) percil. V Excelu použijeme fukce, které pracují s pořadím hodot buěk. Fukce RANK(číslo;oblast;pořadí) vrací hodotu pořadí číslo v rámci buěk ozačeých oblast dat, podle hodoty pořadí se jedá o pořadí ve smyslu sestupém (hodota 0 ebo ezadáo) ebo ve smyslu vzestupém (jakákoliv hodota růzá od uly). Př. RANK(A4;A1:A20;1) 3, odpovídá stavu, kdy hodota v buňce A4 vzhledem k hodotám v buňkách A1:A20 je třetí ejmeší. Pokud se v rámci dat ěkteré hodoty opakují, má hodota RANK eceločíselý charakter. Iverzí fukce k RANK jsou fukce LARGE(oblast;k) a SMALL(oblast;k), která vrací k-tou ejvětší (resp. ejmeší) hodotu z dat v oblasti dat. Speciálě LARGE(oblast;1)=SMALL(oblast;) je maximálí hodota z dat v oblasti a LARGE(oblast;)=SMALL(oblast;1) je miimálí hodota v oblasti. Pokud potřebujeme určit pořadí hodoty čísla vyjádřeé procetuálí částí oblasti, použijeme fukci PERCENTRANK(oblast;x;desetiy), kde v případě, že číslo eodpovídá žádé hodotě v oblasti, použije program iterpolaci. Hodota desetiy uvádí počet desetiých míst, které bereme v úvahu - stadardě 3. Př. PERCENTRANK(A1:A20;B4;3) 0.12, odpovídá stavu, kdy 12% hodot v buňkách A1:A20 je meší ež hodota v buňce B4. Iverzí fukcí k fukci PERCENTIL je fukce PERCENTIL(oblast;k), která vrací k-procetí kvatil (v českém Ecxelu je používá překlad percetil) z oblasti. Opět tato fukce pracuje s iterpolací. Tedy PERCENTIL(oblast,k)=Q k Př. Pokud v buňkách A1:A4 jsou hodoty 1,2,3,4, pak PERCENTIL(A1:A4;0,3) vrací hodotu 30-ti procetího kvatilu po iterpolaci, tj. PERCENTIL(A1:A4;0,3) 1.9 zameá, že 30% hodot v oblasti A1:A4 je meší ež 1.9. Speciálím případem fukce PERCENTIL je fukce QUARTIL(oblast;kvartil), 6

7 kde QUARTIL(oblast;0)=Q 0 je miimálí hodota, QUARTIL(oblast;1)=Q 25 je dolí kvartil, QUARTIL(oblast;2)=Q 50 je mediá, QUARTIL(oblast;3)=Q 75 je horí kvartil a QUARTIL(oblast;4)=Q 100 je maximálí hodota Výběrové charakteristiky variability rozptyl spočítáme pomocí vztahu σ 2 = 1 (x i x) 2, kde x je aritmetický průměr. Jedá se vlastě o průměrou kvadratickou odchylku hodot od aritmetického průměru a jeho fyzikálí rozměr je základí jedotka a druhou. Stejě jako aritmetický průměr je rozptyl citlivý a odlehlá pozorováí. výpočetí tvar rozptylu s 2 = 1 x 2 i (x) 2 echt a, b R a položme y i = ax i + b pro i = 1, 2,...,, pak s 2 y = a 2 s 2 x fukce S(a) = 1 (x i a) 2 abývá svého miima v bodě a = x Samuelsoova erovost: max x i x s 1 i s y = a s x V Excelu použijeme fukci VAR(oblast dat) případě VARPA(oblast dat), pokud chceme zahrout též buňky s logickou hodotou a buňky s textem. výběrový rozptyl výběrový rozptyl počítáme pomocí vztahu s 2 = 1 1 (x i x) 2, resp. s 2 = 1 σ2. Výběrový rozptyl má stejý výzam jako rozptyl, ale lepší statistické vlastosti, proto je v rámci dalších statistických metod používaější. V Excelu použijeme fukci VAR.VÝBĚR(oblast dat) případě VARA(oblast dat), pokud chceme zahrout též buňky s logickou hodotou a buňky s textem. 7

8 variačí rozpětí R = x () x (1) je rozdíl mezi maximálí a miimálí hodotou dat s 2 R2 4 ( ) x(1) + x () (k důkazu použiji vlastosti fukce S(x) S a 2 x i x (1) + x () 2 R 2 ) variačí rozpětí je vyjádřeo v jedotkách x i V Excelu použijeme pro alezeí maxima a miima fukce MAX(oblast dat) a MIN(oblast dat). kvartilové rozpětí je ejpoužívaější charakteristika variability, která epracuje s aritmetickým průměrem a je tedy robusí, tj. eí citlivá a odlehlá pozorováí. Kvartilové rozpětí určíme jedoduše jako rozdíl horího a dolího kvartilu R Q = Q 75 Q 25. Obdobě je defiováé decilové rozpětí R D = Q 90 Q 10 a variačí rozpětí R = Q 100 Q 0 = x () x (1) = max(x) mi(x). V Excelu použijeme pro alezeí horího kvartilu fukci QUARTIL(oblast dat;3) a pro alezeí hodot dolího kvartilu fukci QUARTIL(oblast dat;2). směrodatá odchylka a výběrová směrodatá odchylka je určea jako odmocia z rozptylu, začíme ji s. Nejčastěji je používáa výběrová směrodatá odchylka odvozeá z výběrového rozptylu. Fyzikálí rozměr směrodaté odchylky odpovídá fyzikálímu rozměru zpracovávaých dat. V Excelu použijeme fukci SMODCH(oblast dat) - odmocia z VAR, případě STDEVA(oblast dat)- odmocia z VARPA ebo ejlépe SMODCH.VÝBĚR(oblast dat) - odmocia z VAR.VÝBĚR. 8

9 variačí koeficiet použijeme pokud potřebujeme porovat variabilitu dvou souborů, které mají rozdílý aritmetický průměr. Variačí koeficiet spočítáme podle vztahu v = s x. koeficiet kvartilové variace je CQV = Q 3 Q 1 Q 3 + Q 1 průměrá absolutí odchylka je další z charakteristik variability, které zmírňuje vliv odlehlých hodot. Nejvíce používáy jsou průměrá absolutí odchylka od aritmetického průměru d x = 1 x i x a průměrá absolutí odchylka od mediáu d x = 1 x i x. V Excelu použijeme fukci PRŮMODCHYLKA(oblast dat) pro průměrou absolutí odchylku od aritmetického průměru Další výběrové charakteristiky obecé a cetrálí momety obecý momet k-tého řádu m k = 1 cetrálí momet k-tého řádu m k = 1 x k i (x i x) k momet kolem bodu a k-tého řádu m k (a) = 1 (x i a) k absolutí momet kolem bodu a k-tého řádu m abs k (a) = 1 m k = k j=0 speciálě platí ( ) k ( 1) j ( x ) j m k j j m 3 = m 3 3 m 2x + 2 ( x ) 3 x i a k m 4 = m 4 4 m 3x + 6 m 2 ( x ) 2 3 ( x ) 4 9

10 šikmost je charakteristika, která ám pomáhá rozhodout o shodě ašich dat s modelem ormálího rozděleí z hlediska symetrie kolem průměru x. Pomocí obecých mometů lze šikmost vyjádřit jako α 3 = m 3 s 3. Nejčastěji počítáme šikmost podle vztahu α 3 = ( 1)( 2) ( ) 3 xi x. s Pokud je šikmost dat kladá, jsou data vychýleá ke kladým hodotám, pokud je hodota šikmosti záporá, jsou data vychýleá k záporým hodotám. V Excelu použijeme fukci SKEW(oblast dat) Obrázek 1: Šikmost kladá a záporá špičatost je charakteristika, která se zaměřuje a strmost dat v porováí s modelem ormálího rozděleí. Pomocí obecých mometů lze špičatost vyjádřit jako a 4 = m 4 s 4 ebo počítáme koeficiet špičatosti a 4 = m 4 s 4 3. Pokud je koeficiet špičatosti dat kladý, jsou data strmější oproti ormálímu rozděleí, pokud je hodota koeficietu špičatosti záporá, mají data plošší charakter. V Excelu použijeme fukci KURT(oblast dat) 10

11 Obrázek 2: Špičatost kladá a záporá 1.4 Výběrové charakteristiky pro třídě rozděleá data V případě, že data mají itervalový charakter, mluvíme o třídě rozděleých datech. V takovýchto situacích máme k dispozici iformace o itervalech (třídách) a počtu dat z výběru, které se achází v daé třídě. Typickým příkladem je rozděleí tříd podle věku, podle dojezdové vzdáleosti a podobě. Pokud potřebujeme sami rozdělit data do jedotlivých tříd, můžeme počet tříd k určit apříklad pomocí Sturgesova pravidla k log. Ukázka třídě rozděleých dat, kde kromě četosti je k dispozici též iformace o represetatech jedotlivých tříd (průměr ve třídě) a variabilitě uvitř jedotlivých tříd (směrodatá odchylka). Třída Hraice Tabulka 1: Třídě rozděleá data Četost Rel. četost Průměr Rozptyl Sm. odchylka j p j = j / x j s 2 j s j 1 ( ; ( 2; ( 1.5; ( 1; ( 0.5; ( 0; ( 0.5; ( 1; ( 1.5; ( 2; Celkem

12 Průměr pro třídě rozděleá data spočteme podle vztahu x = k j=1 x j j = k x j p j, kde x j je reprezetat j té třídy (průměr v j té třídě), j je četost prvků v j té třídě, k = j je celkový počet prvků ve výběru, k je počet tříd. j=1 j=1 Rozptyl pro třídě rozděleá data spočteme podle vztahu ( k s 2 = 1 k ( j 1) s 2 j + j (x j x) ), 2 1 j=1 j=1 kde x j je průměr j té třídy, j je četost prvků v j té třídě, = ve výběru, s 2 j je rozptyl v j té třídě a k je počet tříd. k j je celkový počet prvků j=1 12

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz Obsah Úvod... 5 Základí pojmy... 7. Tříděí dat... 7. Míry úrově polohy... 8.3 Míry variability... 8 Počet pravděpodobosti.... Průik a sjedoceí jevů.... Náhodá veličia... 6.3 Rozděleí áhodé veličiy... 8

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB 6 VĚSTNÍK MZ ČR ČÁSTKA 4 METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB Miisterstvo zdravotictví vydává podle 80 odst., písm. a)

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 2. část. Ing. Danuše Mlčková

Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 2. část. Ing. Danuše Mlčková Středí průmslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. část Ig. Dauše Mlčková Úvod Tet avazuje a. část, je urče pro studet. až 4. ročíku středích průmslových škol se zaměřeí a geodézii. Jedá se o přepracovaou

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Rožovský, J., Litschma, T. (ed): Semiář Extrémy počasí a podebí, Bro,. březa 4, ISBN 8-8669-2- Marie Budíková, Ladislav Budík Summary Aalysis of precipitatio maxima ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Database of

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma 3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho

Více

Optické vlastnosti atmosféry, rekonstrukce optického signálu degradovaného průchodem atmosférou

Optické vlastnosti atmosféry, rekonstrukce optického signálu degradovaného průchodem atmosférou INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Optické vlastosti atmosféry, rekostrukce optického sigálu degradovaého průchodem atmosférou Učebí texty k semiáři Autor: Dr. Ig. Zdeěk Řehoř UO Bro) Datum: 22. 10. 2010

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Pojem času ve finančním rozhodování podniku

Pojem času ve finančním rozhodování podniku Pojem času ve fiačím rozhodováí podiku 1.1. Výzam faktoru času a základí metody jeho vyjádřeí Fiačí rozhodováí podiku je ovlivěo časem. Peěží prostředky získaé des mají větší hodotu ež tytéž peíze získaé

Více

Modul Strategie. 2006... MTJ Service

Modul Strategie. 2006... MTJ Service Představeí obsahuje dvě základí součásti, a to maažerskou (pláováí cash-flow, rozšířeé statistiky) a pracoví (řešeí work-flow). Základem maažerské oblasti je pláováí cash-flow (pláováí fiačího toku firmou).

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více