Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti"

Transkript

1 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto koečý (rozsah ozačujeme N) i ekoečý. Iformace o populaci získáváme prostředictvím statistického výzkumu (statistických studií). Rozlišujeme dva základí typy statistických studií - pokus a šetřeí. Při pokusu pláovitě měíme faktory a sledujeme jejich vliv. Typickým příkladem je komparativí experimet (kliický pokus), kdy sledovaé prvky rozdělíme do dvou skupi áhodě a každou skupiu vystavíme vlivu jiých faktorů (tzv. kotrolovaý pokus). Pokud avíc vyhodocující experimetátor ebo vyhodocující experimetátor i sledovaý subjekt eví, ve které skupiě je zařaze, jedá se o slepý pokus resp. dvojitě slepý pokus. V rámci šetřeí je výzkumý pracovík pouze pasivím pozorovatelem, který zasahuje co ejméě do průběhu šetřeí. Parametr populace (populačí charakteristika) je číselá charakteristika sledovaé vlastosti v populaci, apříklad průměrá výška desetiletých chlapců, variabilita doba léčeí kokrétího oemocěí a území ČR a podobě. Obvykle pokládáme teto parametr za pevé číslo, které je však obecě ezámé. Parametr obecě začíme Θ, pro ěkteré parametry je zavedeo kokrétí ozačeí µ, σ 2, ϕ,.... Výběr je koečá podmožia populace, kdy sledujeme a měříme požadovaé vlastosti pouze u ěkterých prvků populace. Výběr je vždy koečý (rozsah ozačujeme ) a pokud výběr dobře odráží strukturu celého zkoumaého souboru, azýváme jej reprezetativí výběr. Podle charakteru získáváí výběru prvků z populace rozlišujeme úplé šetřeí: sledujeme zaky všech prvků základího souboru; selektiví výběr; záměrý výběr: výběr se opírá o expertí staoviska ebo je ovlivě subjektivími hledisky experimetátora, přesost zobecňujících závěrů se opírá o expertí hledisko experimetátora a ikoliv o statistickou metodologii; áhodý výběr: prvky ze základího souboru vybíráme áhodě, ezávisle a úsudku experimetátora prostý áhodý výběr (simple radom sample) : provádí se růzými techikami losováí, které musí zaručit, aby každý prvek populace měl stejou možost být zařaze do výběru. Pokud jsou prvky populace jsou očíslováy, je možo provést výběr pomocí tabulek áhodých čísel. mechaický výběr: je založe a určitém, předem daém uspořádáí prvků populace, do výběrového souboru zařadíme všechy prvky, které jsou od sebe vzdáley o zvoleý výběrový krok, přičemž prví prvek vybereme prostým áhodým výběrem. Například 1

2 z abecedě uspořádaé kartotéky pacietů u praktického lékaře vybíráme s krokem dvacet. Prví kartu vylosujeme mez prvími dvaceti kartami, třeba devátou. Musíme dát pozor, aby uspořádáí prvků esouviselo se sledovaým zakem. oblastí výběr (stratifikovaý): studovaá populace je rozdělea do dílčích oblastí. Oblasti jsou vytvořey tak, aby byly uvitř homogeí (ve sledovaých zacích se příliš eliší) a mezi sebou heterogeí (sledovaé zaky se začě liší). Při šetřeí a obyvatelstvu jsou oblasti vytvořey apř. územími celky, věkovými skupiami ebo socioekoomickým statutem. Z každé oblasti vybereme vzorek metodou prostého áhodého výběru ebo mechaického výběru. Proceto vybraých prvků z oblastí může být bud pro všechy oblasti stejé, ebo se mezi oblastmi liší. Někdy máme pádé důvody vybírat z ěkteré oblasti relativě méě prvků, apř. při zvýšeých fiačích ákladech a šetřeí ebo obtížé dostuposti údajů. Koečý výběrový soubor vytvoříme spojeím vzorků ze všech oblastí. skupiový výběr: Pro velké rozsahy populace eprovádíme áhodý výběr, tj. evybíráme jedotlivé osoby, ýbrž celé skupiy osob, které tvoří bud přirozeé ebo umělé agregáty. Tyto skupiy mohou být malé i větší (rodia, škola, závod, zdravotí obvod) ebo i začě rozsáhlé (obce, okresy). Je žádoucí, aby skupiy byly pokud možo stejě velké a osoby uvitř každé skupiy růzorodé. Dále se požaduje, aby variabilita mezi skupiami byla co ejmeší, což je tedy obráceě, ež je tomu u oblastího výběru. Když byl provede výběr skupi, lze dále pokračovat dvojím způsobem: bud vyšetříme vyčerpávajícím způsobem všechy osoby vybraých skupi, ebo zvolíme metodu vícestupňového výběru. vícestupňový výběr: je založe a existeci určitého hierarchického popisu prvků základího souboru. K těmto prvkům se postupě dostáváme přes vyšší výběrové jedotky, apříklad: města - bloky - domy - domácosti; okresy - závody - díly - zaměstaci. Každá výběrová jedotka je skupiou výběrových jedotek ižšího řádu. Postupě vybíráme jedotky prvího stupě (primárí jedotky), z ich potom jedotky druhého stupě (sekudárí jedotky), z ich jedotky třetího stupě atd., až dojdeme k základím jedotkám statistického šetřeí. Postupé výběry provádíme často metodou prostého áhodého výběru, lze však uplatit i výběr mechaický ebo oblastí. Vícestupňový výběr je vhodý v situacích, kdy úplá opora výběru eí dostupá před začátkem výběrového postupu. Jeho výhody jsou především ekoomického charakteru. cezorovaý výběr je výběr, kdy emáme k dispozici přesou hodotu sledovaé charakteristiky, ale máme iformaci, že hodota bude větší ež kokrétí číslo (cezorováí zprava) ebo meší ež kokrétí číslo (cezorováí zleva), apříklad sleduje dobu přežití a v okamžiku ukočeí experimetu víme, že paciet přežil více ež 5 let, ale evíme přesou dobu přežití. Data je souhr kokrétích číselých údajů, reálých čísel (výsledek opakovaých pokusů ebo šetřeí), které máme k dispozici. Jedá se vždy o koečý počet dat, rozsah dat je a jedotlivé údaje začíme x 1, x 2, x 3,..., x, pokud máme data seřazea podle velikosti, používáme začeí x (1), x (2), x (3),..., x (). Výběrová charakteristika (statistika) je pojem používaý pro číselou charakteristiku výběru, 2

3 apř. aritmetický průměr z aměřeých dat, výběrový rozptyl,.... Pro růzé výběry je hodota téže statistiky obvykle růzá. 1.2 Základí typy statistických dat Podle toho, jaký charakter mají zaky ve výběru ebo v populaci rozlišujeme růzé typy dat. Nejápadější je rozdíl mezi proměými vyjádřeými slově a proměými, jejichž hodoty jsou vyjádřey číselě. Tomuto odpovídá základí děleí a kvalitativí a kvatitativí data. Pro zpracováí obvykle přiřazujeme slovím proměým jejich číselý ekvivalet, pokud můžeme přiřadit číselou hodotu v libovolém pořadí, mluvíme o datech omiálích. Pokud přiřazeím čísel zároveň posloupost uspořádáme, mluvíme o ordiálích datech. kvalitativí omiálí biárí data (alterativí, dichotomická) - data abývají pouze dvou hodot typu ANO - NE ebo 0-1; kvalitativí omiálí data (víceškálové) - (kategoriálí data) data mají původě sloví charakter, při přiřazováí číselých charakteristik elze rozumým způsobem zavést do dat uspořádáí, typickým případem jsou data vyjadřující apř. bydliště, růzé barvy sledovaého objektu a podobě; kvalitativí ordiálí data - data mají původě sloví charakter a při převodu do číselé škály je přirozeým způsobem zavedeo uspořádáí, apříklad maximálí dosažeé vzděláí, hodoceí zámkami, vyjádřeí užitečosti a podobě; kvatitativí diskrétí data - itervalová stupice data mají přirozeou číselou charakteristiku, čísla zároveň vyjadřují uspořádáí v ámi zvoleém smyslu, zároveň se můžeme ptát o kolik je jede zak lepší ež druhý, svůj praktický výzam má tedy i veličia x i x j, v rámci itervalové stupice má ulová hodota pouze relativí charakter, apříklad ulová teplota; kvatitativí diskrétí data - poměrová stupice data mají přirozeou číselou charakteristiku, čísla zároveň vyjadřují uspořádáí v ámi zvoleém smyslu, zároveň se můžeme ptát kolikrát je hodota jedoho zaku jiá (lepší) ež hodota druhého zaku, svůj praktický výzam má tedy i veličia x i x j, v rámci poměrové stupice má kokrétí výzam ulová hodota, apříklad ulová hmotost, ulová rychlost, ulový počet výskytu sledovaého jevu; kvatitativí spojitá data - data mají přirozeou číselou charakteristiku, ale tato charakteristika může abývat ekoečého počtu hodot, ejčastěji vzikají tato data měřeím a vážeím objektů, zachyceím času a podobě; data s eúplou iformací - do této kategorie spadají data, o kterých víme apříklad pouze to, zda jsou pod detekčím limitem,ev. data cezorovaá časem, ev. data mající itervalový charakter (víme pouze to, že hodota proměé leží v itervalu) a podobě. 3

4 1.3 Výběrové charakteristiky pro jedorozměrá data Výběrové charakteristiky polohy aritmetický průměr x = x 1 + x x je jedoduchý, založeý a všech hodotách, lze ho lieárě trasformovat tj. pokud y i = ax i +b pro i = 1, 2,...,, pak y = ax + b aritmetický průměr x je citlivý a hrubé chyby (př. 8, 12, 15, 23, 1500 x = 311.6) V programu EXCEL používáme pro výpočet aritmetického průměru fukci PRŮMĚR(číslo1;číslo2;... ) resp. PRŮMĚR(oblast dat) v aglické verzi se jedá o fukci MEAN(oblast dat). Při použití těchto fukcí jsou buňky obsahující textové hodoty z výpočtu vyecháy. Naproti to mu fukce AVERAGEA(hodota1;hodota2;... ) vrátí aritmetický průměr hodot v sezamu argumetů (argumety musí být čísla, ázvy, matice ebo odkazy). K číslům je avíc ve výpočtu zahrut i text (vyhodoceo jako 0) a logické hodoty PRAVDA (vyhodoceo jako 1) a NEPRAVDA (vyhodoceo jako 0). Aritmetický průměr z vybraých hodot lze také vypočítat jako podíl součtu a počtu buěk odpovídající kritériu. Použijeme fukce SUMIF(oblast;kritéria;součet), kde oblast jsou buňky obsahující kriteriálí hodotu, kritéria jsou zvoleé podmíky a součet je oblast buěk, které sčítáme a pro určeí počtu použijeme fukci COUNTIF(oblast;kritérium). Př. SUMIF(A2:A5; > ;B2:B5) sečte hodoty v těch buňkách B2:B5, pro které hodota v příslušé buňce A2:A5 je větší ež geometrický průměr (pro kladé hodoty x i ) x G = x 1.x x je vhodý pro průměrou hodotu idexů i k Př.: Necht x 0, x 1,..., x udávají počet prodaých výrobků v i- tém časovém období. Vývoj prodeje charakterizujeme pomocí tzv. řetězových idexů i 1 = x 1, i 2 = x 2,..., i = x. x 0 x 1 x 1 Pak lze vyjádřit x = x 0 i 1 i 2 i. V Excelu použijeme fukci GEOMEAN(oblast dat). 4

5 harmoický průměr (pro kladé hodoty x i ) x H = x x 1 Příklad použití: Auto x 1 jede do kopce rychlosti v 1 a po stejé dráze z kopce rychlosti v 2. Jaká je jeho průměrá rychlost? Délku tratě ozačme d, dobu jízdy do kopce t 1 = d/v 1, dobu jízdy z kopce t 2 = d/v 2. 2d 2 Průměrá rychlost je = t 1 + t 2 v1 1 + v2 1 = v H V Excelu použijeme fukci HARMEAN(oblast dat). další průměry mají obecý charakter kvadratický průměr x K = průměr stupě α, pro α 0 vzájemé vztahy průměrů x x x 2 x α = ( 1 x α i ) 1/α x (1) x H x G x x K x () rovost platí právě tehdy, když jsou všechy prvky x i shodé x (1) x α x () x 1 = x H x 1 = x x 2 = x K lim x α = x G α 0 lim α x α = x (1) lim α + x α = x () mediá je taková hodota, že v případě, že uspořádáme data podle velikosti, je přesě polovia hodot meší ež mediá x a polovia hodot je větší ež mediá. Největší výhoda mediáu spočívá v jeho robustosti, pod tímto termíem rozumíme malou citlivost a odlehlá, případě chybá data. Pokud jsou data rozložea symetricky vzhledem k průměru a eobsahují odlehlá pozorováí, je mediá rove aritmetickému průměru. V Excelu použijeme fukci MEDIAN(oblast dat). 5

6 modus ejčetější hodota, tj. hodota, která se v souboru dat opakuje ejvícekrát, tato charakteristika emá výzamější uplatěí a poskytuje ám pouze doplňkové iformace o souboru dat. V Excelu použijeme fukci MODE(oblast dat). kvatily, kvartily, decily Zobecěím pojmu mediá dostaeme pojem α-procetí kvatil. α-procetí kvatil Q α je taková hodota, že v případě, že uspořádáme data podle velikosti, je α procet hodot meší ež kvatil Q α a 100 α procet hodot je větší ež kvatil. Hodotu Q 25 azýváme dolí kvartil, hodota Q 50 je mediá, hodotu Q 75 azýváme horí kvartil, aalogicky hodoty Q 10 resp.q 90 a Q 1 resp. Q 99 azýváme dolí (horí) decil a dolí (horí) percil. V Excelu použijeme fukce, které pracují s pořadím hodot buěk. Fukce RANK(číslo;oblast;pořadí) vrací hodotu pořadí číslo v rámci buěk ozačeých oblast dat, podle hodoty pořadí se jedá o pořadí ve smyslu sestupém (hodota 0 ebo ezadáo) ebo ve smyslu vzestupém (jakákoliv hodota růzá od uly). Př. RANK(A4;A1:A20;1) 3, odpovídá stavu, kdy hodota v buňce A4 vzhledem k hodotám v buňkách A1:A20 je třetí ejmeší. Pokud se v rámci dat ěkteré hodoty opakují, má hodota RANK eceločíselý charakter. Iverzí fukce k RANK jsou fukce LARGE(oblast;k) a SMALL(oblast;k), která vrací k-tou ejvětší (resp. ejmeší) hodotu z dat v oblasti dat. Speciálě LARGE(oblast;1)=SMALL(oblast;) je maximálí hodota z dat v oblasti a LARGE(oblast;)=SMALL(oblast;1) je miimálí hodota v oblasti. Pokud potřebujeme určit pořadí hodoty čísla vyjádřeé procetuálí částí oblasti, použijeme fukci PERCENTRANK(oblast;x;desetiy), kde v případě, že číslo eodpovídá žádé hodotě v oblasti, použije program iterpolaci. Hodota desetiy uvádí počet desetiých míst, které bereme v úvahu - stadardě 3. Př. PERCENTRANK(A1:A20;B4;3) 0.12, odpovídá stavu, kdy 12% hodot v buňkách A1:A20 je meší ež hodota v buňce B4. Iverzí fukcí k fukci PERCENTIL je fukce PERCENTIL(oblast;k), která vrací k-procetí kvatil (v českém Ecxelu je používá překlad percetil) z oblasti. Opět tato fukce pracuje s iterpolací. Tedy PERCENTIL(oblast,k)=Q k Př. Pokud v buňkách A1:A4 jsou hodoty 1,2,3,4, pak PERCENTIL(A1:A4;0,3) vrací hodotu 30-ti procetího kvatilu po iterpolaci, tj. PERCENTIL(A1:A4;0,3) 1.9 zameá, že 30% hodot v oblasti A1:A4 je meší ež 1.9. Speciálím případem fukce PERCENTIL je fukce QUARTIL(oblast;kvartil), 6

7 kde QUARTIL(oblast;0)=Q 0 je miimálí hodota, QUARTIL(oblast;1)=Q 25 je dolí kvartil, QUARTIL(oblast;2)=Q 50 je mediá, QUARTIL(oblast;3)=Q 75 je horí kvartil a QUARTIL(oblast;4)=Q 100 je maximálí hodota Výběrové charakteristiky variability rozptyl spočítáme pomocí vztahu σ 2 = 1 (x i x) 2, kde x je aritmetický průměr. Jedá se vlastě o průměrou kvadratickou odchylku hodot od aritmetického průměru a jeho fyzikálí rozměr je základí jedotka a druhou. Stejě jako aritmetický průměr je rozptyl citlivý a odlehlá pozorováí. výpočetí tvar rozptylu s 2 = 1 x 2 i (x) 2 echt a, b R a položme y i = ax i + b pro i = 1, 2,...,, pak s 2 y = a 2 s 2 x fukce S(a) = 1 (x i a) 2 abývá svého miima v bodě a = x Samuelsoova erovost: max x i x s 1 i s y = a s x V Excelu použijeme fukci VAR(oblast dat) případě VARPA(oblast dat), pokud chceme zahrout též buňky s logickou hodotou a buňky s textem. výběrový rozptyl výběrový rozptyl počítáme pomocí vztahu s 2 = 1 1 (x i x) 2, resp. s 2 = 1 σ2. Výběrový rozptyl má stejý výzam jako rozptyl, ale lepší statistické vlastosti, proto je v rámci dalších statistických metod používaější. V Excelu použijeme fukci VAR.VÝBĚR(oblast dat) případě VARA(oblast dat), pokud chceme zahrout též buňky s logickou hodotou a buňky s textem. 7

8 variačí rozpětí R = x () x (1) je rozdíl mezi maximálí a miimálí hodotou dat s 2 R2 4 ( ) x(1) + x () (k důkazu použiji vlastosti fukce S(x) S a 2 x i x (1) + x () 2 R 2 ) variačí rozpětí je vyjádřeo v jedotkách x i V Excelu použijeme pro alezeí maxima a miima fukce MAX(oblast dat) a MIN(oblast dat). kvartilové rozpětí je ejpoužívaější charakteristika variability, která epracuje s aritmetickým průměrem a je tedy robusí, tj. eí citlivá a odlehlá pozorováí. Kvartilové rozpětí určíme jedoduše jako rozdíl horího a dolího kvartilu R Q = Q 75 Q 25. Obdobě je defiováé decilové rozpětí R D = Q 90 Q 10 a variačí rozpětí R = Q 100 Q 0 = x () x (1) = max(x) mi(x). V Excelu použijeme pro alezeí horího kvartilu fukci QUARTIL(oblast dat;3) a pro alezeí hodot dolího kvartilu fukci QUARTIL(oblast dat;2). směrodatá odchylka a výběrová směrodatá odchylka je určea jako odmocia z rozptylu, začíme ji s. Nejčastěji je používáa výběrová směrodatá odchylka odvozeá z výběrového rozptylu. Fyzikálí rozměr směrodaté odchylky odpovídá fyzikálímu rozměru zpracovávaých dat. V Excelu použijeme fukci SMODCH(oblast dat) - odmocia z VAR, případě STDEVA(oblast dat)- odmocia z VARPA ebo ejlépe SMODCH.VÝBĚR(oblast dat) - odmocia z VAR.VÝBĚR. 8

9 variačí koeficiet použijeme pokud potřebujeme porovat variabilitu dvou souborů, které mají rozdílý aritmetický průměr. Variačí koeficiet spočítáme podle vztahu v = s x. koeficiet kvartilové variace je CQV = Q 3 Q 1 Q 3 + Q 1 průměrá absolutí odchylka je další z charakteristik variability, které zmírňuje vliv odlehlých hodot. Nejvíce používáy jsou průměrá absolutí odchylka od aritmetického průměru d x = 1 x i x a průměrá absolutí odchylka od mediáu d x = 1 x i x. V Excelu použijeme fukci PRŮMODCHYLKA(oblast dat) pro průměrou absolutí odchylku od aritmetického průměru Další výběrové charakteristiky obecé a cetrálí momety obecý momet k-tého řádu m k = 1 cetrálí momet k-tého řádu m k = 1 x k i (x i x) k momet kolem bodu a k-tého řádu m k (a) = 1 (x i a) k absolutí momet kolem bodu a k-tého řádu m abs k (a) = 1 m k = k j=0 speciálě platí ( ) k ( 1) j ( x ) j m k j j m 3 = m 3 3 m 2x + 2 ( x ) 3 x i a k m 4 = m 4 4 m 3x + 6 m 2 ( x ) 2 3 ( x ) 4 9

10 šikmost je charakteristika, která ám pomáhá rozhodout o shodě ašich dat s modelem ormálího rozděleí z hlediska symetrie kolem průměru x. Pomocí obecých mometů lze šikmost vyjádřit jako α 3 = m 3 s 3. Nejčastěji počítáme šikmost podle vztahu α 3 = ( 1)( 2) ( ) 3 xi x. s Pokud je šikmost dat kladá, jsou data vychýleá ke kladým hodotám, pokud je hodota šikmosti záporá, jsou data vychýleá k záporým hodotám. V Excelu použijeme fukci SKEW(oblast dat) Obrázek 1: Šikmost kladá a záporá špičatost je charakteristika, která se zaměřuje a strmost dat v porováí s modelem ormálího rozděleí. Pomocí obecých mometů lze špičatost vyjádřit jako a 4 = m 4 s 4 ebo počítáme koeficiet špičatosti a 4 = m 4 s 4 3. Pokud je koeficiet špičatosti dat kladý, jsou data strmější oproti ormálímu rozděleí, pokud je hodota koeficietu špičatosti záporá, mají data plošší charakter. V Excelu použijeme fukci KURT(oblast dat) 10

11 Obrázek 2: Špičatost kladá a záporá 1.4 Výběrové charakteristiky pro třídě rozděleá data V případě, že data mají itervalový charakter, mluvíme o třídě rozděleých datech. V takovýchto situacích máme k dispozici iformace o itervalech (třídách) a počtu dat z výběru, které se achází v daé třídě. Typickým příkladem je rozděleí tříd podle věku, podle dojezdové vzdáleosti a podobě. Pokud potřebujeme sami rozdělit data do jedotlivých tříd, můžeme počet tříd k určit apříklad pomocí Sturgesova pravidla k log. Ukázka třídě rozděleých dat, kde kromě četosti je k dispozici též iformace o represetatech jedotlivých tříd (průměr ve třídě) a variabilitě uvitř jedotlivých tříd (směrodatá odchylka). Třída Hraice Tabulka 1: Třídě rozděleá data Četost Rel. četost Průměr Rozptyl Sm. odchylka j p j = j / x j s 2 j s j 1 ( ; ( 2; ( 1.5; ( 1; ( 0.5; ( 0; ( 0.5; ( 1; ( 1.5; ( 2; Celkem

12 Průměr pro třídě rozděleá data spočteme podle vztahu x = k j=1 x j j = k x j p j, kde x j je reprezetat j té třídy (průměr v j té třídě), j je četost prvků v j té třídě, k = j je celkový počet prvků ve výběru, k je počet tříd. j=1 j=1 Rozptyl pro třídě rozděleá data spočteme podle vztahu ( k s 2 = 1 k ( j 1) s 2 j + j (x j x) ), 2 1 j=1 j=1 kde x j je průměr j té třídy, j je četost prvků v j té třídě, = ve výběru, s 2 j je rozptyl v j té třídě a k je počet tříd. k j je celkový počet prvků j=1 12

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová Máme dotazíy. A co dál? Martia Litschmaová. Úvod S dotazíy se setáváme běžě. Vídáme je v oviách, v časopisech, jsou součásti evaluačích zpráv (sebehodoceí šol, ), výzumých zpráv, Využívají se v sociologii,

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

SML33 / SMM33 / SMN3. Multifunkční měřící přístroje Návod k obsluze. Firmware 3.0 / 2013

SML33 / SMM33 / SMN3. Multifunkční měřící přístroje Návod k obsluze. Firmware 3.0 / 2013 KMB systems, s.r.o. Dr. M. Horákové 559, 460 06 Liberec 7, Czech Republic tel. +420 485 30 34, fax +420 482 736 896 email : kmb@kmb.cz, iteret : www.kmb.cz SML33 / SMM33 / SMN3 Multifukčí měřící přístroje

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

Symptomatická léčba urgentní inkontinence a/nebo zvýšené frekvence močení a urgence u pacientů se syndromem hyperaktivního močového měchýře.

Symptomatická léčba urgentní inkontinence a/nebo zvýšené frekvence močení a urgence u pacientů se syndromem hyperaktivního močového měchýře. Sp.z.sukls118965/2013 a k sukls118966/2013 SOUHRN ÚDAJŮ O PŘÍPRAVKU 1. NÁZEV PŘÍPRAVKU Solifeaci Actavis 5 mg Solifeaci Actavis 10 mg potahovaé tablety 2. KVALITATIVNÍ A KVANTITATIVNÍ SLOŽENÍ Solifeaci

Více

pro systémy POCT analytických dat a tedy jejich vzájemn jemné kompatibility rodním Osnova sdělení Zásadní důvody provádění EHK

pro systémy POCT analytických dat a tedy jejich vzájemn jemné kompatibility rodním Osnova sdělení Zásadní důvody provádění EHK Exterí hodoceí kvality pro systémy POCT (apř. staoveí CRP, HbA 1c...) Josef Kratochvíla, Marek Budia SEKK Pardubice Iteret: http://www.sekk.cz e-mail: sekk@sekk.cz Telefo: 466 530 230 Fax: 466 530 824

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

Informační systémy o platu a služebním příjmu zahrnují:

Informační systémy o platu a služebním příjmu zahrnují: Katalog datových prvků a dalších položek používaých v Iformačích systémech o platu a služebím příjmu (ISPSP) verze 2014-6 16. 4. 2014 ISPSP Iformačí systémy o platu a služebím příjmu zahrují: ISP Iformačí

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

Patří slovo BUSINESS do zdravotnictví?. 23. 6. 2005

Patří slovo BUSINESS do zdravotnictví?. 23. 6. 2005 Patří slovo BUSINESS do zdravotictví?. 23. 6. 2005 Společost Deloitte Společost Deloitte v České republice má více ež 550 zaměstaců a kaceláře v Praze a Olomouci. Naše česká pobočka je součástí aší regioálí

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí

2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí . Měřeí základích optických vlastostí materiálů idex lomu a disperze propustost, absorpce kvalita optických prostředí .1. Měřeí idexu lomu a disperze Sellmeierův vztah i ( ) = 1+ i B C i Coruův vzorec

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více