PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

Transkript

1 SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák

2 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc F, ϑ. Předpokládejme, že áme tvar dstrbučí fukce víme jaké má roděleí a eáme parametr ϑ. Na ákladě měřeí pokusů chceme odhadou eámý parametr ϑ. Provedeme pokusů měřeí. Výsledky těchto pokusů jsou popsáy áhodým výběrem,, a jeho realací,,. Opět předpokládáme, že složky áhodého vektoru jsou eávslé a mají stejé roděleí jako áhodá proměá. Odhad parametru ϑ budeme provádět pomocí vhodé statstky,, a její realace. T t T,,

3 Bodové a tervalové odhady Požadavek a vybraé statstky je, aby byly estraé, kostetí a pokud možo ejlepší estraé. Budeme využívat hlavě statstky: výběrový průměr: vývěrový roptyl modfkovaý: Výběrový koefcet korelace: SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák S,, Y S S Y K Y R

4 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Typy odhadů: Bodový eámý parametr ϑ se sažíme odhadout jedím číslem bodem. Itervalový pro eámý parametr ϑ se sažíme ajít terval.

5 Nechť je áhodá proměá,,y je áhodý vektor. Pak - realace vývěrového průměru je bodový odhad E, - realace vývěrového roptylu modfkovaého je bodový odhad D, - realace vývěrového koefcetu korelace je bodový odhad ρ, Y. Bodové odhady SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák s y y y y r

6 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Itervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc F, ϑ. Iterval spolehlvost kofdečí terval pro parametr ϑ se spolehlvostí - α α 0, je dvojce statstk T, T pro které platí: Itervalový odhad parametru ϑ se spolehlvostí - α α 0, je terval, kde t t je realací statstky T T. t,t P T T Požadavek a tervalový odhad: - pravděpodobost - α byla co ejvětší - terval byl co ejmeší Roumý komproms pravděpodobost 90%, 95%, 99% t.j. α = 0., 0.05, 0.0 Bodový odhad je tervalový odhad se spolehlvostí 0..

7 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Itervalové odhady Itervalové odhady pro α = 0., 0.05, 0.0

8 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Itervalové odhady Itervalové odhady pro α = 0.05 a pro růou délku áhodého výběru

9 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady pro Bomcké roděleí Nechť je áhodá proměá, která má Bomcké roděleí B,p. Neámý parametr je p pravděpodobost úspěchu př jedom pokuse. Pokus je úspěšý, pokud áhodě vybraý prvek má sledovaou vlastost. Provedeme -měřeí -pokusů. Nechť je áhodý výběr, kde pro realac -té složky platí: =0, pokud vybraý prvek emá sledovaou vlastost a =, pokud vybraý prvek má sledovaou vlastost. Oačme. Pak realace výběrového průměru je a tedy bodový odhad parametru p je.,, p

10 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady pro Bomcké roděleí Př tervalovém odhadu parametru p se využívá apromace Bomckého roděleí Normálím roděleím. Pro >30 je tervalový odhad parametru p: u ; u kde u -α/ je - α - kvatl ormovaého ormálího roděleí.

11 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady pro Bomcké roděleí Příklad: Hodíte 00 kostkou. 6 vám padla 0. Spočtěte bodový a tervalový odhad pro α =0,05 pravděpodobost padutí 6. Příklad: Straa YZ echá udělat průkum její voltelost. Vybraá agetura udělá průkum u repreetatvího vorku obyvatelstva. Osloví 07 respodetů. Z ch 8 by daou strau vollo. Spočtěte bodový a tervalový odhad pro α =0,05 volebího výsledku stray.

12 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady pro Normálí roděleí Nechť je áhodá proměá, která má Normálí roděleí Nμ, σ. Neámé parametry jsou: μ, σ Př bodovém odhadu budeme vycháet výběrového průměru a výběrového roptylu: Nechť, S je výběrový průměr a výběrový roptyl. Pak platí: S je ejlepší estraý kostetí odhad parametru E = μ je ejlepší estraý kostetí odhad parametru D = σ Bodové odhady: s s

13 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady pro Normálí roděleí Nechť je áhodá proměá, která má Normálí roděleí Nμ, σ. Itervalový odhad parametru μ: s t ; t s kde t -α/ volost. je - α/ - kvatl Studetova roděleí s k=- stup Itervalový odhad parametru σ : kde /, / stup volost. s s ; je - α/ α/ - kvatl Pearsoova roděleí s k=-

14 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady pro Normálí roděleí Příklad: Př výrobě byla provedea kotrola výrobků. Bylo vybráo =3 výrobků a bylo a ch provedeo měřeí. Dostal jsme statstcký soubor a ěj byly spočítáy charakterstky statstckého souboru: s = 3,5 =,3. Za předpokladu, že se jedá o výběr ormálího roděleí, spočtěte bodový a tervalová odhad pro α =0,05 středí hodoty a roptylu.

15 Bodové a tervalové odhady pro Normálí roděleí Nechť,Y je áhodý vektor, který má Normálí roděleí N μ, σ. Chceme odhadou korelac složek áhodého vektoru. Bodový odhad je realace výběrového koefcet korelace:, Y SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák y y y y r

16 Bodové a tervalové odhady pro Normálí roděleí Nechť,Y je áhodý vektor, který má Normálí roděleí N μ, σ. Chceme odhadou korelac složek áhodého vektoru. Itervalový odhad pro 0: kde kde u -α/ je - α - kvatl ormovaého ormálího roděleí,, Y SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák ; tgh tgh 3 u w 3 u w l r r r w e e e e e e tgh

17 SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady pro Normálí roděleí Příklad: Na VUT byl provádě výkum, da spolu souvsí telgece a velkost choddla. Bylo vybráo = 87 studetů a po měřeí jejch telgece a choddlo vyšla hodota korelace: y y r = - 0,3 y y Za předpokladu, že se jedá o výběr ormálího roděleí, spočtěte bodový a tervalový odhad pro α =0,05 ávslost telgece a velkost choddla.