Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:"

Transkript

1 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám o jých vlastostech populace (tvar rozděleí, závslost proměých ) se říká eparametrcké hypotézy. Zaměříme se a ěkteré z tzv. testů dobré shody. χ test dobré shody Volba ulové hypotézy Test dobré shody se používá ejčastěj pro ověřováí těchto hypotéz: a) H : Výběr pochází z populace, v íž jsou relatví četost jedotlvých varat rovy číslům ; ; (populace musí být roztřídtelá podle ějakého zaku do k skup),1, ;, k b) H : Výběr pochází z rozděleí určtého typu (apř. ormálí), jehož parametry jsou dáy (úplě specfkovaý model) c) H : Výběrový soubor pochází z rozděleí určtého typu (apř. ormálí) (eúplě specfkovaý model eověřujeme formace o parametrech rozděleí, parametry modelu odhadujeme) Volba testové statstky Jako testovou statstku volíme statstku G, která má pro dostatečý rozsah výběru asymptotcky rozděleí: k h1 T X G k 1,, k h1, kde je rozsah výběru, k je počet varat, h je počet odhadovaých parametrů modelu, jsou skutečé četost jedotlvých varat a π, jsou očekávaé relatví četost (tj. relatví četost, jchž by měly abýt jedotlvé varaty v případě, že je splěa ulová hypotéza)..π, jsou tedy očekávaé četost jedotlvých varat (tj. četost, jchž by měly abýt jedotlvé varaty v případě, že je splěa ulová hypotéza) a ( -.π, ) pak jsou odchylky očekávaých četostí od četostí skutečých. Za výběr dostatečého rozsahu považujeme výběr, pro ějž platí, že všechy očekávaé četost jsou vyšší ež 5 ( 5 ( = 1,,, k)) Výpočet p-value, Př tomto testu určujeme p-value jako: p value F ( ) 1 OBS

2 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1.1. Hodlo se 6 krát hrací kostkou a zazamealy se počty padlých ok... (číslo které padlo) (četost jeho výskytu) Je možé a základě příslušého testu a hladě výzamost 5% spolehlvě tvrdt, že kostka je "falešá", tj. že pravděpodobost všech čísel a kostce ejsou stejé? Řešeí: Musíme testovat, zda rozděleí počtu ok padlých a kostce je takové, že pravděpodobost všech možých hodot jsou 1/6. Pro teto test dobré shody doporučujeme použít χ test dobré shody (H je ve tvaru a) ): Volba ulové a alteratví hypotézy H : Pravděpodobost počtu ok a kostce je dáa ásledující tabulkou: (číslo které může padout) π, (ulová pravděpodobost jeho výskytu) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 H A : H, tj. pravděpodobost počtu ok a kostce je já ež je uvedeo ve výše uvedeé tabulce Volba testové statstky Rozsah výběru: = 6 Počet varat: k = 6 Počet odhadovaých parametrů: h =,,6 1 6,1,, Rozsah výběru je dostatečý proto, abychom mohl použít testovou statstku G,1 T X G k 1,, k h1 Výpočet pozorovaé hodoty OBS: (číslo které padlo) (četost jeho výskytu) π, (očekávaá četost jeho výskytu) OBS T X H G H Výpočet p-value: k, , 1 1 1,93 p value1 F ( OBS ) F OBS,93 F

3 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí,93, 5,93, 75,5 F (vz. Tabulka 3, počet stupňů volost je 5 (6-1)),51 F,5 p value,75 Rozhodutí: p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. elze tvrdt, že kostka je falešá. 1.. Výrobí frma odhaduje počet poruch určtého zařízeí během 1 hod pomocí Possoova rozděleí s parametrem 1,. Zaměstac zazameal pro kotrolu skutečé počty poruch celkem ve 15-t 1 hodových tervalech (výsledky jsou uvedey v tabulce). Ověřte čstým testem výzamost, zda má počet poruch daého zařízeí během 1 hod skutečě Possoovo rozděleí s parametrem λt=1,. počet poruch během 1 hod provozu počet pozorováí Řešeí: Musíme testovat, zda počet poruch daého zařízeí během 1 hod má skutečě Possoovo rozděleí s parametrem 1,. Pro teto test dobré shody doporučujeme použít χ test dobré shody (H je ve tvaru b) tj. jde o úplě specfkovaý model (víme jaký má být parametr rozděleí)): Defujme s áhodou velču X jako počet poruch daého zařízeí během 1 hod provozu. Volba ulové a alteratví hypotézy H : Počet poruch daého zařízeí během 1 hod (áhodá velča X) má Possoovo rozděleí s parametrem 1, H A : H, tj. počet poruch daého zařízeí během 1 hod (áhodá velča X) emá Possoovo rozděleí s parametrem λ=1, Volba testové statstky Rozsah výběru: = 15 Počet varat: k = 5 Počet odhadovaých parametrů: h = Pokud platí H, pak X (počet poruch během 1 hod) má Posooovo rozděleí se středí hodotou 1, (= λt). Na základě této formace můžeme určt ulové pravděpodobost π,., P X t t 1, 1,! e! e Zároveň s určíme očekávaé četost

4 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí počet poruch během 1 hod provozu počet pozorováí π,,31,361,17,87,34.π, - očekávaé četost 45, 54, 3,6 13,1 5,1 Všechy očekávaé četost jsou větší ež 5, tudíž rozsah výběru je dostatečý proto, abychom mohl použít testovou statstku G T X G k 1,, k h1 Výpočet pozorovaé hodoty OBS: OBS T X H G Výpočet p-value: H k 1, 5 45, 48 54, 4 5,1 45,, 54, 5,1 3,13 H A : p value F ( ) 1 OBS 3,13 3,13, 5 1 F 3,13, 75 F OBS Rozhodutí: F,5 F (vz. Tabulka 3, počet stupňů volost = 5--1 = 4),5,5 p value,75 p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. emáme ámtek prot použtí Possoova rozděleí s parametrem 1, pro odhad počtu poruch daého zařízeí během 1 hod provozu (toto rozděleí je vhodým modelem pro počet poruch) Na dálc byly v průběhu ěkolka mut měřey časové odstupy [s] mez průjezdy jedotlvých vozdel. Zjštěé hodoty těchto odstupů jsou v další tabulce:,5 6,8 5, 9,8 4,,3 4, 1,9 8,7 7,7 5,9 5,3 8,4 3,6 9, 4,3,6 13, 5,4 8,6 4,,9 1,5 1,8 1,6 5,9 8,3 5, 6,9 5,1 1,3 6,4 6,5 5,7 3,6 4,8 4, 7,3 4,9 1,6 15, 5,3 4, 3,3 6, 4,6 1,6 1,9 1,5 11,1 4,3 5,5,1,9 3, 3,8 1, 1,5 8,6 4,4 6,8 5, 3, 8, 4, 4,7 7,3,3 1,9 1,9 4,6 6,4 5,3 3,9,4 1, 6, 4,3,6,7,,8 3,7 6,9,8 4,3 4,9 4,1 4,5 4,4 11,9 9, 5,6 4,8,8,1 4,3 1, 1,6,5, 1,3 1,8 1,6 3,8 3,1 1,6 4,9 1,8 3,9 3,4 1,6 4,5 5,8 6,9 1,8,6 6,8,5 1,9 3,1 1,8 1,6, 4,9 11, 1,6, 3,8 1,1 1,8 1,4 Otestujte čstým testem výzamost, zda lze časové odstupy mez vozdly považovat za áhodou velču s ormálím rozděleím

5 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Řešeí: Nechť: áhodá velča X je defováa jako časový odstup mez průjezdy jedotlvých vozdel. Volba ulové a alteratví hypotézy: H : H A : Časové odstupy mez průjezdy jedotlvých vozdel mají ormálí rozděleí. Časové odstupy mez průjezdy jedotlvých vozdel emají ormálí rozděleí. Volba testové statstky: Pokud se ám podaří splt předpoklady pro χ test dobré shody (, 5), můžeme řešt daý problém pomocí tohoto testu (H bude vyjádřeá ve verz c) eúplě specfkovaý model). Nejdříve odhademe parametry rozděleí (μ odhademe průměrem, σ odhademe výběrovou směrodatou odchylkou (ejlepší estraé bodové odhady)): Rozsah výběru: = 13 ˆ ,6 1 ˆ s 1 3,3 V dalším kroku musíme rozdělt data do rozumého počtu tervalů a ajít očekávaé četost pro příslušé tervaly. Na jejch základě rozhodeme, zda můžeme pro řešeí daého problému použít χ test dobré shody. Itervaly se volí většou pouze a základě vlastí úvahy. Sažíme se však dodržovat ěkolk pravdel: Pokud je to možé, dodržujeme kostatí šířku tervalu (třídy) Počet tervalů v rozumých mezích. Obvykle se považuje za vhodé volt 5 až 15 tervalů. Počet tervalů emá být a přílš malý (vede k hrubému, zjedodušeému pohledu a rozděleí pravděpodobost), a přílš velký (který dělá rozděleí pravděpodobost epřehledým). Itervaly emusí mít stejou šířku, avšak proto, abychom mohl použít χ test dobré shody, musí být očekávaé četost pro příslušé tervaly větší ež 5. Pokusíme se tedy rozdělt data do rozumého počtu tervalů, ajdeme očekávaé četost pro příslušé tervaly a pak data přerozdělíme tak, aby byla splěa podmíka pro použtí χ testu dobré shody. Jak spočítat očekávaé četost? Očekávaé četost:,

6 Ig. Marta Ltschmaová Očekávaé relatví četost: Statstka I., cvčeí, určíme jako pravděpodobost výskytu áhodé velčy X a příslušém tervalu (předpokládáme-l platost H, záme rozděleí X (parametry tohoto rozděleí jsme odhadl). Pravděpodobost, že áhodá velča s ormálím rozděleím ( N ˆ ; ˆ ) leží v -tém tervalu je: F F,, 1 kde je horí hrace tervalu a. Rozděleí do tervalů, příslušé očekávaé relatví četost a očekávaé četost Časový terval [s] 1 (; 1,5 ( 1,5; 1,8 3 ( 1,8;, 4 (,;, 5 5 (,5;,9 6 (,9; 3,6 7 ( 3,6; 4, 8 ( 4,; 4,4 9 ( 4,4; 4,9 1 ( 4,9; 5,8 11 ( 5,8; 6, 8 1 ( 6,8; 8,7 13,7; Počet pozorováí v časovém tervalu Očekávaé relatví četost, Očekávaé četost.,,174,9,4 3,,17,3,47 6,,41 5,4,78 1,3,47 6,,48 6,3,6 8,,16 14,,16 13,9,145 19, 8 11,17 14,1 Součet 13 1, Protože ormálí áhodá velča může abývat lbovolé hodoty z možy reálých čísel, volíme jsou dva krají tervaly pro potřeby testu rozšířey a: ; 1,5 8,7;. Platí-l H : X N 4,6; 3,3,1,13 P (, X - ;1,5 PX 1,5 F1,5 -,94 1-,94 1-,86,174 P 1,5 4,6 3,3 X 8,7; PX 8,7 1 F8, ,4 1-,893,17 8,7 4,6 3,

7 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Pohledem a očekávaé četost zjstíme, že jsme tervaly zvoll poměrě dobře pouze. a 3. tervalu přísluší očekávaé četost žší ež 5 (to odporuje použtelost χ testu dobré shody). Teto edostatek sado apravíme tím, že tyto tervaly sloučíme. Časový terval [s] 1 (; 1,5 ( 1,5;, 3 (,;, 5 4 (,5;,9 5 (,9; 3,6 6 ( 3,6; 4, 7 ( 4,; 4,4 8 ( 4,4; 4,9 9 ( 4,9; 5,8 1 ( 5,8; 6, 8 11 ( 6,8; 8,7 1,7; Počet pozorováí v časovém tervalu Očekávaé relatví četost, Očekávaé četost.,,174,9,41 5,4,47 6,,41 5,4,78 1,3,47 6,,48 6,3,6 8,,16 14,,16 13,9,145 19, 8 11,17 14,1 Součet X 13 1, Nyí jsou splěy předpoklady pro použtí χ testu dobré shody. Jako testovou statstku tedy volíme: k, T X G k h1 1, Výpočet pozorovaé hodoty OBS : OBS T X H G H k 1, 11,9 5, ,1,9, 5,4 14,1 59,7 Výpočet p-value: Počet varat: k = 1 Počet odhadovaých parametrů: h = p value1 F ( OBS ) F OBS 59,7 59,7, ,7, 1 F F (vz. Tabulka 3, počet stupňů volost = 1--1 = 9) 1 F

8 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí p - value,1 Rozhodutí: p value,1 Zamítáme ulovou hypotézu, tz. že aměřeé časové odstupy elze považovat za výběr z ormálího rozděleí. Řešeí ve Statgraphcsu: Nejdříve data zadáme do Statgraphcsu (pod ázvem Odstupy), resp. použjeme jž vytvořeý soubor Dalce.sf3. Chceme-l ověřt, zda data podléhají ormálímu rozděleí (ejčastěj se vyskytující požadavek a test dobré shody), zvolíme meu Descrbe\Dstrbutos\Dstrbuto Fttg (Ucesored Data) Jako Data zadáme testovaé hodoty, tj. Odstupy. V levém dolím tetovém okě alezeme výsledky testu χ dobré shody (Pearsoova testu). Zjštěé výsledky se lší od výsledků, které jsme získal př ručím výpočtu, eboť ve Statgraphcsu bylo zvoleo jé rozčleěí do tříd. Koečý výsledek je však stejý. Rozhodutí: p value,1 Zamítáme ulovou hypotézu, tz. že aměřeé časové odstupy elze považovat za výběr z ormálího rozděleí

9 F(), Fo() Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Kolmogorovův Smrovův test pro 1 výběr Kolmogorovův Smrovův test se používá k ověřeí hypotézy, že pořízeý výběr pochází z rozděleí se spojtou dstrbučí fukcí F(). F() musí být úplě specfkovaá. V případě výběru malého rozsahu, dáváme tomuto testu předost před χ testem dobré shody. Výhody Kolmogorovova - Smrovova test oprot χ testu dobré shody: větší síla testu 1 emá omezující podmíky vychází z jedotlvých pozorováí a kolv u údajů setříděých do skup (edochází ke ztrátě formace obsažeé ve výběru) Volba ulové a alteratví hypotézy F F H : H A : H kde F() je dstrbučí fukce rozděleí, z ěhož áhodý výběr pochází (teoretcká dstrbučí fukce) Volba testové statstky T X (včetě ulového rozděleí) Uvažujme vzestupě uspořádaý áhodý výběr ze spojtého rozděleí: 1,,, Jako testové krtérum použjeme statstku D, jejíž výzačé kvatly jsou tabelováy. Testová statstka D je defováa jako mamálí odchylka teoretcké a emprcké dstrbučí fukce. T * * * X D sup F F ma D, D, D, 1 ma 1, * kde D F, F pro 1,,, Staoveí D 1, 1,,8,6,4, D, , Dále postupujeme stadardě podle čstého testu výzamost. Výpočet p-value Př tomto testu určujeme p-value jako: p value F ( ) 1 OBS

10 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1.4. V tabulce je 1 čísel geerovaých jako hodoty rozděleí N (19;,7 ). Ověřte Kolmogorovovým Smrovovým testem, zda geerovaé hodoty pocházejí z předpokládaého rozděleí. Geerovaé 19,73 19,18 19,34 19,38 19,7 19,15 19,473 17,66,19 18,77 hodoty Řešeí: Volba ulové a alteratví hypotézy: H : F F, kde F () je dstrbučí fukce ormálího rozděleí o parametrech μ = 19, σ =,7. (ebol: data pocházejí z N (19;,7 )) H A : Data epocházejí z N (19;,7 ) Volba testové statstky: T * * * X D sup F F ma D, D, D 1 ma 1, * kde D F, F pro 1,,, Výpočet pozorovaé hodoty OBS (MS Ecel): Seřazeé (-1)/ / F ( () ) D pro D pro hodoty () Pořadí () / (-1)/ 17,66 1,,1,3,7,3,7 18,77,1,,35,15,5,5 19,38 3,,3,5,,3,3 19,15 4,3,4,56,16,6,6 19,18 5,4,5,56,6,16,16 19,34 6,5,6,63,3,13,13 19,7 7,6,7,65,5,15,15 19,473 8,7,8,75,5,5,5 19,73 9,8,9,85,5,5,5,19 1,9 1,,96,4,6,6 D * Výpočet p-value: OBS =,3 value1 F,3,3, 9,3,1 p F OBS F OBS F (vz. Tabulka 5, = 1) 1 F p value,

11 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Rozhodutí: p value,1 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. elze tvrdt, že získaá data epodléhají ormálímu rozděleí s parametry μ = 19, σ =,7. Řešeí ve Statgraphcsu: Statgraphcs používá Kolmogorovův Smrovův test automatcky pro eúplě specfkovaý výběr, tj. eumožňuje zadat požadovaé parametry teoretckého rozděleí. Opět zadáme data do Statgraphcsu, tetokrát pod obecým ázvem Data, resp. použjeme jž vytvořeý soubor K_S_test.sf3. Opět zvolíme meu Descrbe\Dstrbutos\Dstrbuto Fttg (Ucesored Data) Jako Data zadáme testovaé hodoty, tj. Data. V levém dolím rohu ajdeme v tetovém výstupu výsledky Kolmogorovova-Smrovova testu (všměme s, že Statgraphcs detfkoval ízký počet pozorováí v souboru a tudíž evygeeroval χ test dobré shody). Kolmogorovovu-Smrovovu testovou statstku lze vdět a grafu, který srovává skutečou a teoretckou dstrbučí fukc. Teto graf vygeerujeme klkeme-l a kou Graphcal Opto a zaškrteme položku Quatle Plot

12 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Graphcal Opto Rozhodutí: p value,1 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. elze tvrdt, že získaá data epodléhají ormálímu rozděleí. Test ezávslost v kotgečí tabulce Testy ezávslost v kotgečí tabulce řadíme mez tzv. aalýzu kategorálích dat. Kotgečí tabulka vzká setříděím prvků populace podle varat dvou kategorálích zaků. Grafckou obdobou kotgečí tabulky je mozakový graf. Teto graf se skládá z obdélíků, jejchž stray jsou úměré příslušým margálím relatvím četostem. Pro ověřeí ezávslost áhodých velč X a Y (ezávslost v kombačí tabulce) používáme test, který je založe a porováváí emprckých (pozorovaých) četostí s četostm teoretckým, tj. takovým, které bychom očekával v případě ezávslost. Test Testová statstka Χ test ezávslost v kotgečí tabulce m j G j 1 j 1 j Nulové rozděleí m

13 Ig. Marta Ltschmaová Yatesova korekce četost) (pro ízké očekávaé McNemarův test (test shody rozděleí v čtyřpolí tab.) G m 1 j1 j G Statstka I., cvčeí j j, 5 m Pro dferecovaý přístup v persoálí poltce potřebuje vedeí podku vědět, zda spokojeost v prác závsí a tom, jedá-l se o pražský závod č závody mmopražské. Výsledky šetřeí jsou v ásledující tabulce. Zobrazte data pomocí mozakového grafu a a základě testu ezávslost v kombačí tabulce rozhoděte o závslost spokojeost v zaměstáí a umístěí podku. Stupeň spokojeost Místo Praha Vekov Velm spokoje 15 4 Spíše spokoje 5 13 Spíše espokoje 5 1 Velm espokoje 1 Řešeí: Nejdříve s data zázoríme pomocí mozakového grafu, k čemuž potřebujeme zát margálí relatví četost: Nyí můžeme sestrojt mozakový graf. Na svslou osu budeme vyášet ezávsle proměou tj. umístěí podku. Mozakový graf proto bude tvoře dvěma řadam obdélíků (Praha, Mmo Prahu), přčemž řada odpovídající hodotě Praha bude mít šířku odpovídající 33,33% a řada odpovídající hodotě Mmo Prahu bude mít šířku odpovídající 66,67%. (Tz., z celkové výšky mozakového grafu bude řada odpovídající hodotě Praha zabírat 33,33%, ). Závsle proměá (Stupeň spokojeost) abývá 4 hodot, proto bude každý řádek mozakového grafu tvoře čtyřm obdélíky příslušých délek (apř. obdélík odpovídající řádku Praha a stup spokojeost velm spokoje bude mít délku odpovídající 15% celkové délky mozakového grafu)

14 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Všměte s, že čletost grafu je způsobea zejméa odlšý procetem spíše espokojeých zaměstaců. Rozhodutí o závslost provedeme a základě testu ezávslost v kombačí tabulce. Volba ulové a alteratví hypotézy: H : H A : Spokojeost v prác ezávsí a umístěí závodu. Spokojeost v prác závsí a umístěí závodu. Volba testové statstky: Předpoklady testu: T m j j G m1 ( X ) 1 j1 j 1 Nuto ověřt, zda očekávaé četost eklesly pod a zda alespoň 8% z ch je větších ež 5. Nejdříve s tedy z pozorovaých četostí určíme četost margálí a pomocí ch pak četost očekávaé. Výpočet margálích a očekávaých četostí: Stupeň spokojeost Místo Σ Praha Vekov Velm spokoje Spíše spokoje Spíše espokoje Velm espokoje 1 3 Σ 1 3. Stupeň spokojeost Velm spokoje Spíše spokoje Spíše espokoje Velm espokoje. j Očekávaé četost : j Místo Praha Vekov ,3 36, , 1, ,7 3, ,,

15 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Všechy očekávaé četost jsou větší ež 5. Výpočet pozorovaé hodoty: OBS T( X ) m j j 1518,3 5 6,, H G 1 j1 j 18,3 6,, 7, Výpočet p-value: m 4, počet stupňů volost = p value1 F ( OBS ) F ( 7,),999 (vz. Tabulka 3, počet stupňů volost = 3) 1 F (7,),1 p value,1 Rozhodutí: P- value <,1, proto zamítáme ulovou hypotézu ve prospěch alteratvy, tj. spokojeost v prác závsí a umístěí závodu. Řešeí ve Statgraphcsu: Nejdříve data zadáme do Statgraphcsu, resp. použjeme vytvořeý datový soubor Spokojeost.sf3. Pozor, ezávsle proměou zadáváme jako kategorálí, závsle proměou zadáváme jako hlavčky sloupců. Pro testováí závslost v kotgečí tabulce použjeme proceduru Descrbe\Categorcal Data\Cotgecy Tables Jako Colums zadáme závsle proměou, tj. hodoty zadaé jako hlavčky sloupců. Nezávsle proměou zadáme jako Labels

16 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Grafcký výstup této procedury, mozakový graf, ajdeme v pravém dolím rohu. Klkemel a kou Tabular Optos, můžeme zaškrtutím pole Frequecy Tables získat příslušou kotgečí tabulku. V kotgečí tabulce ajdeme sdružeé četost, sdružeé relatví četost, margálí četost a margálí relatví četost. Provedeme-l RC a kotgečí tabulku, zvolíme meu Pae Optos a zaškrtutím příslušých polí můžeme tabulku doplt o očekávaé četost (Epected Frequeces), rozdíly mez pozorovaým a očekávaým četostm (Devatos) a sčítace testové statstky χ (Ch-Squared Values)

17 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí V rozšířeé kotgečí tabulce ověříme předpoklady testu. V ašem případě jsou všechy očekávaé četost (epected frequecy) větší ež 5, tz. že předpoklady testu jsou splěy. Výsledky testu závslost v kotgečí tabulce (hodotu testové statstky, p-value) ajdeme v tetových výstupech v část Ch-Square Test: Rozhodutí: P- value <,1, proto zamítáme ulovou hypotézu ve prospěch alteratvy, tj. spokojeost v prác závsí a umístěí závodu Byla vybráa skupa 1 řdčů, kteří měl za úkol projet se svým vozdly áročou uzavřeou trať. Potom po požtí alkoholu dostal stejý úkol. Má se zjstt, zda požtí alkoholu ovlvňuje pravděpodobost správého projetí trat. Je tedy třeba rozhodout, zda se počet úspěšých řdčů před podáím alkoholu (jchž bylo 8) výzamě lší od počtu úspěšých řdčů po požtí alkoholu (jchž pak bylo je 6). Výsledky epermetu jsou shruty v ásledující tabulce: Před požtím alkoholu Po požtí alkoholu Bez chyby Chybě Celkem Bez chyby Chybě 15 5 Celkem Řešeí: Jde o závslé proměé (stejé osoby prováděly pokus před a po ), použjeme tedy MCNemarův test. Nulová hypotéza: Alteratví hypotéza: Proceto úspěšých řdčů ezávsí a podáí alkoholu. Proceto úspěšých řdčů závsí a podáí alkoholu. Ověřeí předpokladu testu: Výpočet pozorovaé hodoty: 1 1 Výpočet p-value: Rozhodutí: Zamítáme ulovou hypotézu, alkohol ovlvňuje úspěšost řdčů

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu.

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu. Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cveí 4 JEDNODUCHÁ LINEÁRNÍ REGRESE asto chceme prozkoumat vztah mez dvma velam, kde jeda z ch, tzv. ezávsle promá x, má ovlvovat druhou, tzv. závsle promou Y. edpokládá

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určté předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ HYPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

HYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem.

HYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem. HYPTEČNÍ ÚVĚR Spláceí úvěru stejým splátkam - kostatí auta ÚLHA 1: Mladý maželský pár s dostačujícím příjmy (tz. a získáí hypotéčího úvěru) se rozhodl postavt s meší rodý domek. Podle předběžé kalkulace

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Statistické zpracování dat

Statistické zpracování dat Bakoví sttut vysoká škola Praha Katedra IT Statstcké zpracováí dat Bakalářská práce Autor: Ja Culka Iformačí techologe, Maaţer projektů Vedoucí práce: Mgr. Olga Procházková Praha Červe, 00 Prohlášeí: Prohlašuj,

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží

Více

FLUORIMETRIE. Jan Fähnrich. Obecné základy

FLUORIMETRIE. Jan Fähnrich. Obecné základy FLUORIMETRIE Ja Fährch Obecé základ Fluormetre je aaltcká metoda vužívající schopost ěkterých látek vsílat (emtovat) po předchozím převedeí do vzbuzeého (exctovaého) stavu fluorescečí zářeí v ultrafalové

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

C V I Č E N Í 4 1. Představení firmy Splintex Czech 2. Vlastnosti skla a skloviny 3. Aditivita 4. Příklady výpočtů

C V I Č E N Í 4 1. Představení firmy Splintex Czech 2. Vlastnosti skla a skloviny 3. Aditivita 4. Příklady výpočtů Techologe skla 00/03 C V I Č E N Í 4. Představeí rmy pltex Czech. Vlastost skla a sklovy 3. Adtvta 4. Příklady výpočtů Hospodářská akulta. Představeí rmy pltex Czech a.s. [,] Frma pltex Czech je součástí

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

VY_52_INOVACE_J 05 01

VY_52_INOVACE_J 05 01 Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí

Více

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk

Více

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.)

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.) Aktvta Semář základů tattky a workhop (Prof. Ig. Mla Palát, CSc., Ig. Krta Somerlíková, Ph.D.) Stattcké tříděí Základí metoda tattckého zpracováí. Sekupováí hodot proměé, které jou z hledka klafkačího

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Jednotlivé mezivýsledky, získané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematicky zaznamenávány v tabulce ANOVA. Prmrný tverec. volnosti SS B.

Jednotlivé mezivýsledky, získané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematicky zaznamenávány v tabulce ANOVA. Prmrný tverec. volnosti SS B. Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení ANOVA Rozšíením dvouvýbrových test pro stední hodnoty je analýza rozptylu nebol ANOVA, terá umožuje srovnávat nol stedních hodnot nezávslých náhodných výbr. Analýza

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Domácí práce z p edm tu D01M6F Statistika

Domácí práce z p edm tu D01M6F Statistika eské vysoké u eí techcké Fakulta Elektrotechcká Domácí práce z p edm tu D0M6F Statstka Test dobré shody Bradá Marek 4.ro ík Ak. rok 004/00, LS M6F Test dobré shody Obsah Zadáí...3 Hypotéza...3 3 Zj t é

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém

Více

Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní

Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní Uverzta Pardubce Fakulta ekoomcko-správí Regresí aalýza vývoje mě Vsegrádské čtyřky vůč euru od roku 993 Pavel Šálek Bakalářská práce 00 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatě. Veškeré lterárí

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů)

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů) VYBRANÉ TESTY NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ TESTY DOBRÉ SHODY Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení test dobré shody Očekávané četnosti, alespoň 80% očekávaných četností >5 ( ) (p

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více