Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Transkript

1 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám o jých vlastostech populace (tvar rozděleí, závslost proměých ) se říká eparametrcké hypotézy. Zaměříme se a ěkteré z tzv. testů dobré shody. χ test dobré shody Volba ulové hypotézy Test dobré shody se používá ejčastěj pro ověřováí těchto hypotéz: a) H : Výběr pochází z populace, v íž jsou relatví četost jedotlvých varat rovy číslům ; ; (populace musí být roztřídtelá podle ějakého zaku do k skup),1, ;, k b) H : Výběr pochází z rozděleí určtého typu (apř. ormálí), jehož parametry jsou dáy (úplě specfkovaý model) c) H : Výběrový soubor pochází z rozděleí určtého typu (apř. ormálí) (eúplě specfkovaý model eověřujeme formace o parametrech rozděleí, parametry modelu odhadujeme) Volba testové statstky Jako testovou statstku volíme statstku G, která má pro dostatečý rozsah výběru asymptotcky rozděleí: k h1 T X G k 1,, k h1, kde je rozsah výběru, k je počet varat, h je počet odhadovaých parametrů modelu, jsou skutečé četost jedotlvých varat a π, jsou očekávaé relatví četost (tj. relatví četost, jchž by měly abýt jedotlvé varaty v případě, že je splěa ulová hypotéza)..π, jsou tedy očekávaé četost jedotlvých varat (tj. četost, jchž by měly abýt jedotlvé varaty v případě, že je splěa ulová hypotéza) a ( -.π, ) pak jsou odchylky očekávaých četostí od četostí skutečých. Za výběr dostatečého rozsahu považujeme výběr, pro ějž platí, že všechy očekávaé četost jsou vyšší ež 5 ( 5 ( = 1,,, k)) Výpočet p-value, Př tomto testu určujeme p-value jako: p value F ( ) 1 OBS

2 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1.1. Hodlo se 6 krát hrací kostkou a zazamealy se počty padlých ok... (číslo které padlo) (četost jeho výskytu) Je možé a základě příslušého testu a hladě výzamost 5% spolehlvě tvrdt, že kostka je "falešá", tj. že pravděpodobost všech čísel a kostce ejsou stejé? Řešeí: Musíme testovat, zda rozděleí počtu ok padlých a kostce je takové, že pravděpodobost všech možých hodot jsou 1/6. Pro teto test dobré shody doporučujeme použít χ test dobré shody (H je ve tvaru a) ): Volba ulové a alteratví hypotézy H : Pravděpodobost počtu ok a kostce je dáa ásledující tabulkou: (číslo které může padout) π, (ulová pravděpodobost jeho výskytu) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 H A : H, tj. pravděpodobost počtu ok a kostce je já ež je uvedeo ve výše uvedeé tabulce Volba testové statstky Rozsah výběru: = 6 Počet varat: k = 6 Počet odhadovaých parametrů: h =,,6 1 6,1,, Rozsah výběru je dostatečý proto, abychom mohl použít testovou statstku G,1 T X G k 1,, k h1 Výpočet pozorovaé hodoty OBS: (číslo které padlo) (četost jeho výskytu) π, (očekávaá četost jeho výskytu) OBS T X H G H Výpočet p-value: k, , 1 1 1,93 p value1 F ( OBS ) F OBS,93 F

3 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí,93, 5,93, 75,5 F (vz. Tabulka 3, počet stupňů volost je 5 (6-1)),51 F,5 p value,75 Rozhodutí: p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. elze tvrdt, že kostka je falešá. 1.. Výrobí frma odhaduje počet poruch určtého zařízeí během 1 hod pomocí Possoova rozděleí s parametrem 1,. Zaměstac zazameal pro kotrolu skutečé počty poruch celkem ve 15-t 1 hodových tervalech (výsledky jsou uvedey v tabulce). Ověřte čstým testem výzamost, zda má počet poruch daého zařízeí během 1 hod skutečě Possoovo rozděleí s parametrem λt=1,. počet poruch během 1 hod provozu počet pozorováí Řešeí: Musíme testovat, zda počet poruch daého zařízeí během 1 hod má skutečě Possoovo rozděleí s parametrem 1,. Pro teto test dobré shody doporučujeme použít χ test dobré shody (H je ve tvaru b) tj. jde o úplě specfkovaý model (víme jaký má být parametr rozděleí)): Defujme s áhodou velču X jako počet poruch daého zařízeí během 1 hod provozu. Volba ulové a alteratví hypotézy H : Počet poruch daého zařízeí během 1 hod (áhodá velča X) má Possoovo rozděleí s parametrem 1, H A : H, tj. počet poruch daého zařízeí během 1 hod (áhodá velča X) emá Possoovo rozděleí s parametrem λ=1, Volba testové statstky Rozsah výběru: = 15 Počet varat: k = 5 Počet odhadovaých parametrů: h = Pokud platí H, pak X (počet poruch během 1 hod) má Posooovo rozděleí se středí hodotou 1, (= λt). Na základě této formace můžeme určt ulové pravděpodobost π,., P X t t 1, 1,! e! e Zároveň s určíme očekávaé četost

4 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí počet poruch během 1 hod provozu počet pozorováí π,,31,361,17,87,34.π, - očekávaé četost 45, 54, 3,6 13,1 5,1 Všechy očekávaé četost jsou větší ež 5, tudíž rozsah výběru je dostatečý proto, abychom mohl použít testovou statstku G T X G k 1,, k h1 Výpočet pozorovaé hodoty OBS: OBS T X H G Výpočet p-value: H k 1, 5 45, 48 54, 4 5,1 45,, 54, 5,1 3,13 H A : p value F ( ) 1 OBS 3,13 3,13, 5 1 F 3,13, 75 F OBS Rozhodutí: F,5 F (vz. Tabulka 3, počet stupňů volost = 5--1 = 4),5,5 p value,75 p value,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. emáme ámtek prot použtí Possoova rozděleí s parametrem 1, pro odhad počtu poruch daého zařízeí během 1 hod provozu (toto rozděleí je vhodým modelem pro počet poruch) Na dálc byly v průběhu ěkolka mut měřey časové odstupy [s] mez průjezdy jedotlvých vozdel. Zjštěé hodoty těchto odstupů jsou v další tabulce:,5 6,8 5, 9,8 4,,3 4, 1,9 8,7 7,7 5,9 5,3 8,4 3,6 9, 4,3,6 13, 5,4 8,6 4,,9 1,5 1,8 1,6 5,9 8,3 5, 6,9 5,1 1,3 6,4 6,5 5,7 3,6 4,8 4, 7,3 4,9 1,6 15, 5,3 4, 3,3 6, 4,6 1,6 1,9 1,5 11,1 4,3 5,5,1,9 3, 3,8 1, 1,5 8,6 4,4 6,8 5, 3, 8, 4, 4,7 7,3,3 1,9 1,9 4,6 6,4 5,3 3,9,4 1, 6, 4,3,6,7,,8 3,7 6,9,8 4,3 4,9 4,1 4,5 4,4 11,9 9, 5,6 4,8,8,1 4,3 1, 1,6,5, 1,3 1,8 1,6 3,8 3,1 1,6 4,9 1,8 3,9 3,4 1,6 4,5 5,8 6,9 1,8,6 6,8,5 1,9 3,1 1,8 1,6, 4,9 11, 1,6, 3,8 1,1 1,8 1,4 Otestujte čstým testem výzamost, zda lze časové odstupy mez vozdly považovat za áhodou velču s ormálím rozděleím

5 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Řešeí: Nechť: áhodá velča X je defováa jako časový odstup mez průjezdy jedotlvých vozdel. Volba ulové a alteratví hypotézy: H : H A : Časové odstupy mez průjezdy jedotlvých vozdel mají ormálí rozděleí. Časové odstupy mez průjezdy jedotlvých vozdel emají ormálí rozděleí. Volba testové statstky: Pokud se ám podaří splt předpoklady pro χ test dobré shody (, 5), můžeme řešt daý problém pomocí tohoto testu (H bude vyjádřeá ve verz c) eúplě specfkovaý model). Nejdříve odhademe parametry rozděleí (μ odhademe průměrem, σ odhademe výběrovou směrodatou odchylkou (ejlepší estraé bodové odhady)): Rozsah výběru: = 13 ˆ ,6 1 ˆ s 1 3,3 V dalším kroku musíme rozdělt data do rozumého počtu tervalů a ajít očekávaé četost pro příslušé tervaly. Na jejch základě rozhodeme, zda můžeme pro řešeí daého problému použít χ test dobré shody. Itervaly se volí většou pouze a základě vlastí úvahy. Sažíme se však dodržovat ěkolk pravdel: Pokud je to možé, dodržujeme kostatí šířku tervalu (třídy) Počet tervalů v rozumých mezích. Obvykle se považuje za vhodé volt 5 až 15 tervalů. Počet tervalů emá být a přílš malý (vede k hrubému, zjedodušeému pohledu a rozděleí pravděpodobost), a přílš velký (který dělá rozděleí pravděpodobost epřehledým). Itervaly emusí mít stejou šířku, avšak proto, abychom mohl použít χ test dobré shody, musí být očekávaé četost pro příslušé tervaly větší ež 5. Pokusíme se tedy rozdělt data do rozumého počtu tervalů, ajdeme očekávaé četost pro příslušé tervaly a pak data přerozdělíme tak, aby byla splěa podmíka pro použtí χ testu dobré shody. Jak spočítat očekávaé četost? Očekávaé četost:,

6 Ig. Marta Ltschmaová Očekávaé relatví četost: Statstka I., cvčeí, určíme jako pravděpodobost výskytu áhodé velčy X a příslušém tervalu (předpokládáme-l platost H, záme rozděleí X (parametry tohoto rozděleí jsme odhadl). Pravděpodobost, že áhodá velča s ormálím rozděleím ( N ˆ ; ˆ ) leží v -tém tervalu je: F F,, 1 kde je horí hrace tervalu a. Rozděleí do tervalů, příslušé očekávaé relatví četost a očekávaé četost Časový terval [s] 1 (; 1,5 ( 1,5; 1,8 3 ( 1,8;, 4 (,;, 5 5 (,5;,9 6 (,9; 3,6 7 ( 3,6; 4, 8 ( 4,; 4,4 9 ( 4,4; 4,9 1 ( 4,9; 5,8 11 ( 5,8; 6, 8 1 ( 6,8; 8,7 13,7; Počet pozorováí v časovém tervalu Očekávaé relatví četost, Očekávaé četost.,,174,9,4 3,,17,3,47 6,,41 5,4,78 1,3,47 6,,48 6,3,6 8,,16 14,,16 13,9,145 19, 8 11,17 14,1 Součet 13 1, Protože ormálí áhodá velča může abývat lbovolé hodoty z možy reálých čísel, volíme jsou dva krají tervaly pro potřeby testu rozšířey a: ; 1,5 8,7;. Platí-l H : X N 4,6; 3,3,1,13 P (, X - ;1,5 PX 1,5 F1,5 -,94 1-,94 1-,86,174 P 1,5 4,6 3,3 X 8,7; PX 8,7 1 F8, ,4 1-,893,17 8,7 4,6 3,

7 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Pohledem a očekávaé četost zjstíme, že jsme tervaly zvoll poměrě dobře pouze. a 3. tervalu přísluší očekávaé četost žší ež 5 (to odporuje použtelost χ testu dobré shody). Teto edostatek sado apravíme tím, že tyto tervaly sloučíme. Časový terval [s] 1 (; 1,5 ( 1,5;, 3 (,;, 5 4 (,5;,9 5 (,9; 3,6 6 ( 3,6; 4, 7 ( 4,; 4,4 8 ( 4,4; 4,9 9 ( 4,9; 5,8 1 ( 5,8; 6, 8 11 ( 6,8; 8,7 1,7; Počet pozorováí v časovém tervalu Očekávaé relatví četost, Očekávaé četost.,,174,9,41 5,4,47 6,,41 5,4,78 1,3,47 6,,48 6,3,6 8,,16 14,,16 13,9,145 19, 8 11,17 14,1 Součet X 13 1, Nyí jsou splěy předpoklady pro použtí χ testu dobré shody. Jako testovou statstku tedy volíme: k, T X G k h1 1, Výpočet pozorovaé hodoty OBS : OBS T X H G H k 1, 11,9 5, ,1,9, 5,4 14,1 59,7 Výpočet p-value: Počet varat: k = 1 Počet odhadovaých parametrů: h = p value1 F ( OBS ) F OBS 59,7 59,7, ,7, 1 F F (vz. Tabulka 3, počet stupňů volost = 1--1 = 9) 1 F

8 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí p - value,1 Rozhodutí: p value,1 Zamítáme ulovou hypotézu, tz. že aměřeé časové odstupy elze považovat za výběr z ormálího rozděleí. Řešeí ve Statgraphcsu: Nejdříve data zadáme do Statgraphcsu (pod ázvem Odstupy), resp. použjeme jž vytvořeý soubor Dalce.sf3. Chceme-l ověřt, zda data podléhají ormálímu rozděleí (ejčastěj se vyskytující požadavek a test dobré shody), zvolíme meu Descrbe\Dstrbutos\Dstrbuto Fttg (Ucesored Data) Jako Data zadáme testovaé hodoty, tj. Odstupy. V levém dolím tetovém okě alezeme výsledky testu χ dobré shody (Pearsoova testu). Zjštěé výsledky se lší od výsledků, které jsme získal př ručím výpočtu, eboť ve Statgraphcsu bylo zvoleo jé rozčleěí do tříd. Koečý výsledek je však stejý. Rozhodutí: p value,1 Zamítáme ulovou hypotézu, tz. že aměřeé časové odstupy elze považovat za výběr z ormálího rozděleí

9 F(), Fo() Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Kolmogorovův Smrovův test pro 1 výběr Kolmogorovův Smrovův test se používá k ověřeí hypotézy, že pořízeý výběr pochází z rozděleí se spojtou dstrbučí fukcí F(). F() musí být úplě specfkovaá. V případě výběru malého rozsahu, dáváme tomuto testu předost před χ testem dobré shody. Výhody Kolmogorovova - Smrovova test oprot χ testu dobré shody: větší síla testu 1 emá omezující podmíky vychází z jedotlvých pozorováí a kolv u údajů setříděých do skup (edochází ke ztrátě formace obsažeé ve výběru) Volba ulové a alteratví hypotézy F F H : H A : H kde F() je dstrbučí fukce rozděleí, z ěhož áhodý výběr pochází (teoretcká dstrbučí fukce) Volba testové statstky T X (včetě ulového rozděleí) Uvažujme vzestupě uspořádaý áhodý výběr ze spojtého rozděleí: 1,,, Jako testové krtérum použjeme statstku D, jejíž výzačé kvatly jsou tabelováy. Testová statstka D je defováa jako mamálí odchylka teoretcké a emprcké dstrbučí fukce. T * * * X D sup F F ma D, D, D, 1 ma 1, * kde D F, F pro 1,,, Staoveí D 1, 1,,8,6,4, D, , Dále postupujeme stadardě podle čstého testu výzamost. Výpočet p-value Př tomto testu určujeme p-value jako: p value F ( ) 1 OBS

10 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1.4. V tabulce je 1 čísel geerovaých jako hodoty rozděleí N (19;,7 ). Ověřte Kolmogorovovým Smrovovým testem, zda geerovaé hodoty pocházejí z předpokládaého rozděleí. Geerovaé 19,73 19,18 19,34 19,38 19,7 19,15 19,473 17,66,19 18,77 hodoty Řešeí: Volba ulové a alteratví hypotézy: H : F F, kde F () je dstrbučí fukce ormálího rozděleí o parametrech μ = 19, σ =,7. (ebol: data pocházejí z N (19;,7 )) H A : Data epocházejí z N (19;,7 ) Volba testové statstky: T * * * X D sup F F ma D, D, D 1 ma 1, * kde D F, F pro 1,,, Výpočet pozorovaé hodoty OBS (MS Ecel): Seřazeé (-1)/ / F ( () ) D pro D pro hodoty () Pořadí () / (-1)/ 17,66 1,,1,3,7,3,7 18,77,1,,35,15,5,5 19,38 3,,3,5,,3,3 19,15 4,3,4,56,16,6,6 19,18 5,4,5,56,6,16,16 19,34 6,5,6,63,3,13,13 19,7 7,6,7,65,5,15,15 19,473 8,7,8,75,5,5,5 19,73 9,8,9,85,5,5,5,19 1,9 1,,96,4,6,6 D * Výpočet p-value: OBS =,3 value1 F,3,3, 9,3,1 p F OBS F OBS F (vz. Tabulka 5, = 1) 1 F p value,

11 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Rozhodutí: p value,1 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. elze tvrdt, že získaá data epodléhají ormálímu rozděleí s parametry μ = 19, σ =,7. Řešeí ve Statgraphcsu: Statgraphcs používá Kolmogorovův Smrovův test automatcky pro eúplě specfkovaý výběr, tj. eumožňuje zadat požadovaé parametry teoretckého rozděleí. Opět zadáme data do Statgraphcsu, tetokrát pod obecým ázvem Data, resp. použjeme jž vytvořeý soubor K_S_test.sf3. Opět zvolíme meu Descrbe\Dstrbutos\Dstrbuto Fttg (Ucesored Data) Jako Data zadáme testovaé hodoty, tj. Data. V levém dolím rohu ajdeme v tetovém výstupu výsledky Kolmogorovova-Smrovova testu (všměme s, že Statgraphcs detfkoval ízký počet pozorováí v souboru a tudíž evygeeroval χ test dobré shody). Kolmogorovovu-Smrovovu testovou statstku lze vdět a grafu, který srovává skutečou a teoretckou dstrbučí fukc. Teto graf vygeerujeme klkeme-l a kou Graphcal Opto a zaškrteme položku Quatle Plot

12 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Graphcal Opto Rozhodutí: p value,1 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. elze tvrdt, že získaá data epodléhají ormálímu rozděleí. Test ezávslost v kotgečí tabulce Testy ezávslost v kotgečí tabulce řadíme mez tzv. aalýzu kategorálích dat. Kotgečí tabulka vzká setříděím prvků populace podle varat dvou kategorálích zaků. Grafckou obdobou kotgečí tabulky je mozakový graf. Teto graf se skládá z obdélíků, jejchž stray jsou úměré příslušým margálím relatvím četostem. Pro ověřeí ezávslost áhodých velč X a Y (ezávslost v kombačí tabulce) používáme test, který je založe a porováváí emprckých (pozorovaých) četostí s četostm teoretckým, tj. takovým, které bychom očekával v případě ezávslost. Test Testová statstka Χ test ezávslost v kotgečí tabulce m j G j 1 j 1 j Nulové rozděleí m

13 Ig. Marta Ltschmaová Yatesova korekce četost) (pro ízké očekávaé McNemarův test (test shody rozděleí v čtyřpolí tab.) G m 1 j1 j G Statstka I., cvčeí j j, 5 m Pro dferecovaý přístup v persoálí poltce potřebuje vedeí podku vědět, zda spokojeost v prác závsí a tom, jedá-l se o pražský závod č závody mmopražské. Výsledky šetřeí jsou v ásledující tabulce. Zobrazte data pomocí mozakového grafu a a základě testu ezávslost v kombačí tabulce rozhoděte o závslost spokojeost v zaměstáí a umístěí podku. Stupeň spokojeost Místo Praha Vekov Velm spokoje 15 4 Spíše spokoje 5 13 Spíše espokoje 5 1 Velm espokoje 1 Řešeí: Nejdříve s data zázoríme pomocí mozakového grafu, k čemuž potřebujeme zát margálí relatví četost: Nyí můžeme sestrojt mozakový graf. Na svslou osu budeme vyášet ezávsle proměou tj. umístěí podku. Mozakový graf proto bude tvoře dvěma řadam obdélíků (Praha, Mmo Prahu), přčemž řada odpovídající hodotě Praha bude mít šířku odpovídající 33,33% a řada odpovídající hodotě Mmo Prahu bude mít šířku odpovídající 66,67%. (Tz., z celkové výšky mozakového grafu bude řada odpovídající hodotě Praha zabírat 33,33%, ). Závsle proměá (Stupeň spokojeost) abývá 4 hodot, proto bude každý řádek mozakového grafu tvoře čtyřm obdélíky příslušých délek (apř. obdélík odpovídající řádku Praha a stup spokojeost velm spokoje bude mít délku odpovídající 15% celkové délky mozakového grafu)

14 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Všměte s, že čletost grafu je způsobea zejméa odlšý procetem spíše espokojeých zaměstaců. Rozhodutí o závslost provedeme a základě testu ezávslost v kombačí tabulce. Volba ulové a alteratví hypotézy: H : H A : Spokojeost v prác ezávsí a umístěí závodu. Spokojeost v prác závsí a umístěí závodu. Volba testové statstky: Předpoklady testu: T m j j G m1 ( X ) 1 j1 j 1 Nuto ověřt, zda očekávaé četost eklesly pod a zda alespoň 8% z ch je větších ež 5. Nejdříve s tedy z pozorovaých četostí určíme četost margálí a pomocí ch pak četost očekávaé. Výpočet margálích a očekávaých četostí: Stupeň spokojeost Místo Σ Praha Vekov Velm spokoje Spíše spokoje Spíše espokoje Velm espokoje 1 3 Σ 1 3. Stupeň spokojeost Velm spokoje Spíše spokoje Spíše espokoje Velm espokoje. j Očekávaé četost : j Místo Praha Vekov ,3 36, , 1, ,7 3, ,,

15 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Všechy očekávaé četost jsou větší ež 5. Výpočet pozorovaé hodoty: OBS T( X ) m j j 1518,3 5 6,, H G 1 j1 j 18,3 6,, 7, Výpočet p-value: m 4, počet stupňů volost = p value1 F ( OBS ) F ( 7,),999 (vz. Tabulka 3, počet stupňů volost = 3) 1 F (7,),1 p value,1 Rozhodutí: P- value <,1, proto zamítáme ulovou hypotézu ve prospěch alteratvy, tj. spokojeost v prác závsí a umístěí závodu. Řešeí ve Statgraphcsu: Nejdříve data zadáme do Statgraphcsu, resp. použjeme vytvořeý datový soubor Spokojeost.sf3. Pozor, ezávsle proměou zadáváme jako kategorálí, závsle proměou zadáváme jako hlavčky sloupců. Pro testováí závslost v kotgečí tabulce použjeme proceduru Descrbe\Categorcal Data\Cotgecy Tables Jako Colums zadáme závsle proměou, tj. hodoty zadaé jako hlavčky sloupců. Nezávsle proměou zadáme jako Labels

16 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí Grafcký výstup této procedury, mozakový graf, ajdeme v pravém dolím rohu. Klkemel a kou Tabular Optos, můžeme zaškrtutím pole Frequecy Tables získat příslušou kotgečí tabulku. V kotgečí tabulce ajdeme sdružeé četost, sdružeé relatví četost, margálí četost a margálí relatví četost. Provedeme-l RC a kotgečí tabulku, zvolíme meu Pae Optos a zaškrtutím příslušých polí můžeme tabulku doplt o očekávaé četost (Epected Frequeces), rozdíly mez pozorovaým a očekávaým četostm (Devatos) a sčítace testové statstky χ (Ch-Squared Values)

17 Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí V rozšířeé kotgečí tabulce ověříme předpoklady testu. V ašem případě jsou všechy očekávaé četost (epected frequecy) větší ež 5, tz. že předpoklady testu jsou splěy. Výsledky testu závslost v kotgečí tabulce (hodotu testové statstky, p-value) ajdeme v tetových výstupech v část Ch-Square Test: Rozhodutí: P- value <,1, proto zamítáme ulovou hypotézu ve prospěch alteratvy, tj. spokojeost v prác závsí a umístěí závodu Byla vybráa skupa 1 řdčů, kteří měl za úkol projet se svým vozdly áročou uzavřeou trať. Potom po požtí alkoholu dostal stejý úkol. Má se zjstt, zda požtí alkoholu ovlvňuje pravděpodobost správého projetí trat. Je tedy třeba rozhodout, zda se počet úspěšých řdčů před podáím alkoholu (jchž bylo 8) výzamě lší od počtu úspěšých řdčů po požtí alkoholu (jchž pak bylo je 6). Výsledky epermetu jsou shruty v ásledující tabulce: Před požtím alkoholu Po požtí alkoholu Bez chyby Chybě Celkem Bez chyby Chybě 15 5 Celkem Řešeí: Jde o závslé proměé (stejé osoby prováděly pokus před a po ), použjeme tedy MCNemarův test. Nulová hypotéza: Alteratví hypotéza: Proceto úspěšých řdčů ezávsí a podáí alkoholu. Proceto úspěšých řdčů závsí a podáí alkoholu. Ověřeí předpokladu testu: Výpočet pozorovaé hodoty: 1 1 Výpočet p-value: Rozhodutí: Zamítáme ulovou hypotézu, alkohol ovlvňuje úspěšost řdčů