BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika
|
|
- Zdeněk Liška
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 BIVŠ Pravděpodobost a statstka
2
3 Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz Statstcké metody svým obsahem a rozsahem odpovídají stadardům výuky základů statstky a vysokých školách ekoomckého zaměřeí Skrpta, která dostáváte do rukou výzamě rozšřují a prohlubují pozatky ze statstky získaé v kurzu statstky a bakalářském stup studa Skrpta jsou rozdělea do čtyř kaptol I kaptola se zabývá elemetárí popsou statstkou, obsahuje základí statstcké pojmy, metody popsu a charakterstky jedorozměrých statstckých souborů a její zalost je ezbytým základem př dalším studu statstky II kaptola je věováa metodám statstckého srováváí, a lze j zařadt ke statstckým metodám využtelým zejméa v ekoomcké oblast uvádí základí typy deů III kaptola obsahuje základy teore pravděpodobost, sezamuje s ejdůležtějším rozděleím áhodých velč a je ezbytým teoretckým základem pro IV kaptolu věovaou metodám statstcké dukce, kterou bychom mohl uvést také pod ázvem matematcká statstka Jsou zde vyložey základy teore odhadu a testováí statstckých hypotéz a uvedey základí jedovýběrové a dvouvýběrové parametrcké testy a eparametrcké testy hypotéz o rozděleí Výklad je kocpová tak, aby studet pochopl podstatu metod statstcké dukce a uměl v pra použít a terpretovat výsledky dalších testů, které ejsou ve skrptech uvedey Zalost prcpů teore odhadů a testováí statstckých hypotéz je ezbytá pro úspěšou aplkac aalytckých statstckých metod, s mž se sezámíte v kurzu Statstcké metody Pro lepší porozuměí vykládaé problematce jsou ve všech kaptolách u každého tematckého okruhu (v případě matematcké statstky u každého testu) uvedey řešeé příklady s terpretací získaých výsledků Příklady je uto chápat jako lustratví, jsou vědomě zjedodušeé, slouží především k pochopeí látky a výpočetích postupů Řešeí příkladů uvedeých v tetu je prováděo bez použtí počítače, větša statstckých programů ale obsahuje procedury potřebé k jejch provedeí (uvedeme alespoň SAS, STATGRAPHICS, SPPS, STATISTICA, S-Plus, apod), příklady lze řešt pomocí tabulkových kalkulátorů, apř MS EXCEL Ve srováí s předchozím učebím tetem Statstka a pravděpodobost určeém pro studety BIVŠ, jsou tato skrpta upravea a rozšířea tak, aby více vyhovovala potřebám studetů kombovaého studa U každé kaptoly jsou zařazey kotrolí otázky a příklady k procvčeí vysvětleé látky K příkladům jsou uvedey výsledky, v ěkterých případech postup řešeí U každé kaptoly je rověž uvede aglcko-český slovík základích statstckých pojmů a výrazů používaých v příslušé kaptole, eboť lze předpokládat, že př aplkac statstckých postupů v pra se studet setkají s počítačovým programy, v chž budou použty aglcké výrazy V přílohové část jsou přpojey základí statstcké tabulky Sezam lteratury uvádí vybraé české zahračí publkace, které je možo využít k doplěí a rozšířeí metod a postupů uvedeých ve skrptech Doc Ig Dagmar Blatá, CSc Úvod
4 Bakoví sttut vysoká škola Obsah I KAPITOLA ELEMENTÁRNÍ POPISNÁ STATISTIKA I Základí statstcké pojmy I Zpracováí hodot umercké proměé I3 Charakterstky jedorozměrých statstckých souborů I3 Charakterstky úrově hodot I3 Středí hodoty I3 Další charakterstky polohy I3 I33 Charakterstky varablty Charakterstky škmost a špčatost KONTROLNÍ OTÁZKY PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ VÝSLEDKY PŘÍKLADŮ ZÁKLADNÍ VÝRAZY II KAPITOLA STATISTICKÉ SROVNÁVÁNÍ II II Poměrá čísla Idey II II II3 Idvduálí dey Souhré dey Příklady používaých deů II3 Ide spotřebtelských ce a měřeí fl ace II3 Příklady používaých deů kurzů akcí KONTROLNÍ OTÁZKY PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ VÝSLEDKY PŘÍKLADŮ ZÁKLADNÍ VÝRAZY 4 Obsah
5 Pravděpodobost a statstka III KAPITOLA ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI III Úvod do teore pravděpodobost III III Def ce pravděpodobost Pravdla pro počítáí s pravděpodobostm III Pravdlo o ásobeí pravděpodobostí III Pravdlo o sčítáí pravděpodobostí III3 Úplá pravděpodobost III Náhodé velčy III Pops rozděleí áhodých velč III Dskrétí áhodé velčy III Spojté áhodé velčy III Charakterstky áhodých velč III Charakterstky dskrétích áhodých velč III Charakterstky spojtých áhodých velč III3 Některá rozděleí áhodých velč III3 Některá rozděleí espojtých áhodých velč III3 Některá rozděleí spojtých áhodých velč III4 Lmtí věty III4 Záko velkých čísel (ZVČ) III4 Cetrálí lmtí věta (CLV) KONTROLNÍ OTÁZKY ŘÍKLADY K PROCVIČENÍ VÝSLEDKY PŘÍKLADŮ ZÁKLADNÍ VÝRAZY IV KAPITOLA METODY STATISTICKÉ INDUKCE IV Výběrová zjšťováí IV Náhodé výběry IV Statstcké odhady IV Bodové odhady Obsah 5
6 Bakoví sttut vysoká škola IV IV3 Itervalové odhady Odhady ěkterých parametrů základího souboru IV3 Odhad středí hodoty ormálího rozděleí μ IV3 Odhad relatví četost základího souboru (parametru alteratvího rozděleí) IV33 Odhad rozptylu základího souboru IV3 Testováí statstckých hypotéz IV3 IV3 Základí pojmy Testy hypotéz o parametrech rozděleí IV3 Test hypotézy o středí hodotě μ ormálího rozděleí IV3 Test hypotézy o rozptylu ormálího rozděleí IV33 Test hypotézy o parametru alteratvího rozděleí (test hypotézy o relatví četost) IV34 Testy hypotézy o rovost dvou středích hodot ezávslých výběrů IV35 Test hypotézy o rovost dvou rozptylů IV36 Testy rovost středích hodot dvou závslých výběrů IV33 Neparametrcké testy IV33 Neparametrcké testy o tvaru rozděleí (testy shody) KONTROLNÍ OTÁZKY PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ VÝSLEDKY PŘÍKLADŮ ZÁKLADNÍ VÝRAZY Sezam lteratury V Přílohy Statstcké tabulky 6 Obsah
7 Pravděpodobost a statstka I KAPITOLA ELEMENTÁRNÍ POPISNÁ STATISTIKA I Základí statstcké pojmy Statstka se zabývá hromadým jevy Hromadý jev je takový jev, který se může mohokrát opakovat a týká se skutečostí velkého počtu prvků Protkladem hromadého jevu je dvduálí jev, tj jedo pozorováí jedotlvého prvku Prvky, které sleduje statstka, se azývají statstcké jedotky Statstckou jedotkou může být osoba, věc, událost, orgazace apod Statstcká jedotka musí být jedozačě vymezea po stráce věcé, místí (prostorové) a časové Například statstckou jedotkou může být f rma zabývající se obchodováím s akcem, mající sídlo v ČR k 39 Souhr statstckých jedotek tvoří statstcký soubor Počet jedotek statstckého souboru vyjadřuje rozsah souboru U statstckých jedotek zkoumáme jejch vlastost, které charakterzují statstcké zaky Mírou vlastost statstckého zaku u každé jedotky statstckého souboru je hodota (sloví ebo číselá) daého zaku Pokud je hodota zaku shodá u všech jedotek souboru, mluvíme o detfkačím zaku Zaky, které abývají růzých obmě azýváme proměé Ty jsou pak hlavím předmětem statstckého zkoumáí Statstcký soubor všech statstckých jedotek, které jsou předmětem statstckého zkoumáí, se azývá základí soubor (populace) Jeho rozsah může být koečý ebo ekoečý, zpravdla je velký Proto se často provádí šetřeí je a část základího souboru vybraé ze základího souboru, které říkáme výběrový soubor Výsledky získaé z výběrového souboru pak slouží k úsudkům o celém základím souboru Nejčastější je tříděí statstckých zaků (proměých) a číselé a sloví Číselé (umercké, kvattatví) zaky jsou takové, jejchž varaty (hodoty) lze vyjádřt číselě Číselé zaky rozdělujeme a espojté (dskrétí) a spojté podle toho, jestl zak abývá obmě, které lze vyjádřt celým čísly (apř zámky ve škole, počet dětí v rodě) ebo jestl může v určtém tervalu abýt moha růzých hodot a lze jej vyjádřt reálým (apř výška mez 5 6 cm může abýt hodot růzých hodot pokud měříme s přesostí a cm, ale růzých hodot, pokud měříme s přesostí a mm apod) Nespojté číselé zaky tedy abývají pouze ěkterých celočíselých hodot v určtém tervalu, spojté mohou abývat v rámc určtého tervalu lbovolých hodot U slovího (kategorálího, kvaltatvího) zaku je možé jejch obměy vyjádřt je slově Pokud mohou abýt pouze dvou obmě, mluvíme o zaku alteratvím (apř pohlaví), může-l abýt více obmě, jedá se o zak možý (apř dosažeé vzděláí, rodý stav, typ dluhopsu) STATISTICKÉ TABULKY Tabulky patří k základím statstckým prostředkům Používají se ve všech fázích statstcké práce (zjšťováí, zpracováí, prezetace výsledků) Ve statstcké pra používáme tabulky prosté, skupové a kombačí Prosté tabulky obsahují etříděé statstcké údaje Prosté tabulky bývají zpravdla podkladem pro další zpracováí Tabulky skupové obsahují údaje tříděé podle jedoho zaku, kombačí tabulky jsou výsledkem tříděí podle dvou ebo více zaků Elemetárí popsá statstka 7
8 Bakoví sttut vysoká škola Každá statstcká tabulka zpravdla obsahuje tyto základí prvky: ázev tabulky, hlavčku, legedu, pozámky, očíslováí sloupců a řádků, číselé pole, součtový řádek a součtový sloupec, jak je zřejmé z uvedeého vzoru Název tabulky Název legedy Hlavčka tabulky Součtový sloupec Legeda tabulky () () (3) (4) () () (políčko) (3) Součtový řádek (4) Název tabulky se umísťuje ad tabulku a musí výstžě vysthovat obsah tabulky Hlavčka vyjadřuje obsah sloupců, legeda pak obsah řádků Měré jedotky se uvádějí u jedotlvých ukazatelů ebo se mohou vztahovat k celé tabulce Pozámky doplňují obsah tabulky Ozačují se buď hvězdčkou ebo malým číslcem v tabulce a jejch vysvětleí je umístěo pod tabulkou Pozámky se vztahují buď k celému obsahu tabulky (obecé pozámky) ebo je k ěkteré její část (zvláští pozámky) Políčko je průkem řádku a sloupce Každé políčko statstcké tabulky má být vyplěo a to buď zjštěou (ebo vypočteou) hodotou ebo smluveou začkou Uvedeme alespoň ejpoužívaější začky používaé ve statstckých tabulkách: - (pomlčka) ozačuje ulový počet případů, (ula) ozačuje číselou hodotu meší ež polova jedotky, (ležatý křížek) udává, že záps by v daém místě eměl smysl (byl by elogcký), (tečka) v políčku ozačuje ezámý údaj Pokud je v součtovém řádku ebo v součtovém sloupc údaj v závorce, evyjadřuje součet, ale průměr hodot příslušého řádku ebo sloupce GRAFICKÉ ZOBRAZOVÁNÍ Graf cké zázorňováí je jede ze způsobů sdělováí výsledků statstckého zkoumáí Nejčastěj bývá doplňující přehledou formou výsledků vyjádřeých v tabulce Prot tabulce a slovímu vyjádřeí je jeho výhodou přehledost a ázorost, umožňuje rychlou oretac a má začý popularzačí a propagačí výzam Nevýhodou je meší podrobost a přesost zobrazeých výsledků Výzam grafckého zobrazováí se zvyšuje možostm používáí výpočetí techky, protože větša počítačových programů má graf cké zázorňováí sledovaých a aalyzovaých jevů Př graf ckém zobrazováí musíme dodržovat určté áležtost graf ckých prostředků Každý graf musí mít srozumtelý ázev vyjadřující jeho obsah Název grafu může být umístě ad, pod ebo méě často do obrázku, ale vždy tak, aby ezasahoval do grafu Často je třeba do grafu zařadt vysvětlvky, které blíže vysvětlí obsah jedotlvých částí grafu Ty zařazujeme do obrázku tak, aby bylo jasé, k čemu se vztahují Někdy s můžeme pomoc špkam, které míří k vysvětlovaé část V případě, kdy estuje větší počet vysvětlvek, umístíme je a jedo místo do tzv klíče Vždy ale musíme umístt vysvětlvky tak, aby ezasahovaly do grafu Zakreslujeme-l do grafu více formací (zaků), odlšujeme je růzým typy čar (plě, čárkovaě, čerchovaě, tečkovaě), růzým barvam ebo růzým šrafováím, začkam (tečky, křížky, hvězdčky apod) 8 Elemetárí popsá statstka
9 Pravděpodobost a statstka I když počítače umožňují používáí růzých souřadc, ejběžější je používáí pravoúhlých souřadc Na vodorovou poloosu vyášíme ejčastěj časová období ebo obměy sledovaého zaku, a svslou poloosu hodoty sledovaého zaku ebo četost Na jedotlvých poloosách musí být vyzačey stupce Body a stupc ozačujeme krátkým čáram - kótam Vzdáleost mez jedotlvým body stupce azýváme délkou graf ckého tervalu Délka graf ckého tervalu v cm, která odpovídá jedotkovému číselému tervalu se azývá modul stupce Volba modulu je důležtá, eboť evhodou volbou modulu můžeme získat zkresleou představu o zázorňovaém jevu Moduly a obou osách emusí být stejé Musíme s ale uvědomt, že sko čáry se zvětšuje, zmešujeme-l modul délky a vodorové ose a současě jej zvětšujeme a svslé ose a aopak sko čáry je povlovější, zvětšujeme-l modul a vodorové ose a zmešujeme-l jej a svslé ose Itervaly a jedé stupc mají být stejě dlouhé Stupce většou číslujeme od uly, která je umístěa v průsečíku obou os Pokud máme údaje, které jsou hodě vzdáleé od uly, použjeme přerušeí stupce Grafů estuje ve statstce velké možství, popíšeme s je ty ejjedodušší, ejčastěj používaé, které obsahuje větša počítačových programů Estuje (a ěkteré počítačové programy abízejí) s celou řadu dalších růzých obmě jedotlvých typů grafů, které s yí popíšeme Jedím z ejčastěj používaých grafů je spojcový graf (v počítačových paketech většou ozačovaý Le charts) Je jím čára, která je složea z úseček, které spojují vždy dva body, odpovídající hodotám sledovaého zaku ve dvou za sebou ásledujících skupách ebo obdobích Spojcové grafy se používají ejčastěj ke sledováí vývoje v časových řadách (blíže v kurzu Statstcké metody) a k zobrazováí rozděleí četostí (vz dále v této kaptole) Ke zázorěí struktury (složeí) ebo ke srováí malého počtu jevů se používají sloupkové grafy (Barcharts) Sloupky jsou umístěé buď svsle ebo vodorově, mají stejou základu a růzou výšku K provedeí srováí s ějakým jým obdobím, bychom mohl vedle akresleých sloupků akreslt barevě ebo šrafováím odlšé sloupky ze srovávaého období Jý druh grafů používaý ke zázorěí struktury je kruhový ebol výsečový graf (Pecharts) Základem grafu je kruh zobrazující celek rozděleý a kruhové výseče odpovídající struktuře Jedotlvé výseče se pro přehledost ozačují růzým šrafováím ebo růzým barvam Změu ve složeí v časovém vývoj umoží zobrazt povrchové grafy (Compoet Le Charts) Pro graf cké zobrazeí územě rozložeých jevů se často používají mapy, v chž se růzým barvam, šrafováím, zakresleím obrázků růzé velkost apod zázorňuje velkost sledovaého zaku Grafům říkáme kartogramy ebo kartodagramy Počítače umožňují šroké používáí jých druhů grafů, apř schematckých obrázků (pktogramů), prostorových grafů apod S využtím ěkterých grafů se blíže sezámíme v dalších kaptolách Některé specelí grafy budou uvedey až u příslušé statstcké metod ve skrptech Metody statstcké aalýzy I Zpracováí hodot umercké proměé Statstcké zkoumáí lze rozdělt do tří etap, které a sebe bezprostředě avazují: statstcké zjšťováí (šetřeí), statstcké zpracováí a statstcké vyhodocováí (rozbor) Jako další etapa se ěkdy uvádí prezetace (publkováí) výsledků statstckého šetřeí V kurzu statstky se budeme zabývat především metodam zpracováí a vyhodocováí statstckých dat Cílem statstckého zpracováí je získat představu o vlastostech a souvslostech zkoumaých jevů Růzost povahy jevů a účelů jejch zkoumáí s vyžaduje použít ejrůzější metody a postupy statstckého zpracováí a rozboru Údajů, které získáme statstckým zjšťováím většou elze použít rovou k provedeí rozboru, eboť podávají epřehledou a euspořádaou formac o souboru statstckých jedotek Elemetárí popsá statstka 9
10 Bakoví sttut vysoká škola Důležtým, většou prvím krokem zpracováí získaých statstckých údajů je jejch tříděí Úkolem tříděí je vytvořeí stejorodých skup (tříd) statstckých jedotek podle obmě sledovaého statstckého zaku, kterému říkáme třídící zak Roztříděí souboru umoží pozat složeí zkoumaých jevů a odhalovat vzájemé vztahy a souvslost mez m Volba třídícího zaku vychází z potřeb kokrétího statstckého zkoumáí a je ejdůležtější otázkou tříděí Nesprávě provedeé tříděí může zcela zehodott další výsledky statstckého rozboru Třídící zak může být buď sloví (kvaltatví) ebo číselý (kvattatví) Pokud provádíme tříděí podle jedoho třídícího zaku, mluvíme o jedostupňovém ebo také prostém tříděí Tříděí podle více třídících zaků azýváme vícestupňové (kombačí) Vícestupňové tříděí umoží hlouběj pozat složeí a vzájemé vztahy Př větším počtu třídících zaků se ale tříděí stává epřehledé a ztrácí svou účost Proto je ejčastějším případem vícestupňového tříděí dvoustupňové tříděí Skupy vzklé roztříděím podle číselého zaku se azývají třídy, skupám vzklým př tříděí podle slovího zaku říkáme kategore Počet tříd vzklých př tříděí podle espojtého zaku je dá počtem obmě zkoumaého zaku V případě třídícího zaku spojtého (ebo espojtého s velkým počtem obmě) vytvoříme tervaly (skupy) hodot třídícího zaku Počet skup je potom daý počtem vytvořeých tervalů Počet skup je urče povahou zkoumaého jevu a účelem tříděí Itervaly je ejjedodušší volt stejě velké, ale v případech, kdy by tímto způsobem vzkly esourodé skupy, se používají tervaly estejé velkost (apř cey akcí a burze, příjmové skupy obyvatelstva) Hrace (meze) tervalů musí být vždy staovey tak, aby edošlo k ejasost, do kterého tervalu jedotlvé jedotky zařadt Četost Počtu jedotek, které jsou př tříděí zahruty do jedotlvých tříd ebo tervalů říkáme třídí (skupová) četost a ozačujeme j písmeem Celková četost je souhr skupových četostí () k k ozačuje počet skup (tervalů) Počet tervalů určíme ejjedodušej jako k tzv Sturgesova pravdla jako k = + 3,3 log ebo pomocí Strukturu souboru vyjadřují relatví četost p, které se získají jako podíl jedotlvých absolutích četostí k celkové četost (rozsahu souboru): (3) p přčemž platí k p Elemetárí popsá statstka
11 Pravděpodobost a statstka Část souboru, která má varatu zaku meší ebo ejvýše rovou daé -té obměě, se azývá kumulatví absolutí četost daé -té obměy Kumulatví četost relatví udávají, jaká poměrá část souboru má varatu zaku meší ebo rovou daé obměě Kumulatví četost se vypočítají postupým ačítáím hodot od prví do -té obměy Tabulku rozděleí četostí udává ásledující tabulka Tabulka - Tabulka jedorozměrého rozděleí četostí Obměy Zaku Četost Kumulatví četost Absolutí Relatví Absolutí Relatví p p p p + p + p 3 3 p p + p + p 3 k k p k p Ke graf ckému zázorěí rozděleí četostí, můžeme použít ěkolk obvyklých typů grafů Hstogram rozděleí četostí se skládá z obdélíků s plocham přímo úměrým třídím četostem Itervaly tříd jsou zobrazey a horzotálí ose Polygo rozděleí četostí je graf vzklý spojeím cetrálích bodů jedotlvých vrcholů sousedích sloupců lomeou čarou Koláčový (výsečový) graf je rozděle a výseče reprezetující relatví četost jedotlvých tříd Příklad Máme k dspozc soubor studetů, sledovaý statstcký zak je zámka ze zkoušky Zkostruujte tabulku rozděleí četostí a graf cky je zázorěte Tabulka - Tabulka jedorozměrého rozděleí četostí zámek souboru studetů Obměy Zaku Četost Kumulatví četost Absolutí Relatví Absolutí Relatví p 7,545 7,545 38, ,5 3 4,377 96, ,73 X p Elemetárí popsá statstka
12 Bakoví sttut vysoká škola Obr - Hstogram zámek studetů Obr - Koláčový graf zámek studetů 5 4,73% 5,45% Cetost 3 X 37,7% ,55% I3 Charakterstky jedorozměrých statstckých souborů Roztříděím souboru podle hodot sledovaého statstckého zaku získáme zalost o obměách zaku a o jejch četostech (počtu jedotek) v jedotlvých skupách (třídách) Většou je tato formace edostatečá a je uto j doplt dalším vypočteým charakterstkam, které by zhuštěou formou popsaly celý soubor z hledska sledovaých zaků Někdy je takovou postačující formací součet hodot všech jedotek souboru, který ale epodává formac o úrov hodot, protože jeho velkost závsí a počtu sčítaých jedotek Kromě toho mohdy a emá smysl ěkteré údaje sčítat (apř věk osob, ceu výrobků apod) Lepší souhrou formac dá charakterstka, která vyjadřuje úroveň (polohu), kolem které se pohybují hodoty sledovaého ukazatele Takovou charakterstku azýváme středí hodota Mez středí hodoty patří průměry, modus a medá Mohou ale estovat soubory, které mají stejou středí hodotu, ale graf rozděleí četostí je zcela odlšý, eboť soubory se mohou lšt rozptýleostí jedotlvých hodot kolem středí hodoty ebo od sebe avzájem říkáme, že se lší varabltou Ale soubory se stejou polohou a varabltou se mohou podstatě lšt co do esouměrost rozděleí hodot zaku (což může být zřejmé z graf ckého zázorěí) v takovém případě mluvíme o růzé škmost Míry polohy, varablty a škmost je ale třeba doplt formací o míře kocetrace hodot kolem středí hodoty této míře budeme říkat špčatost Shreme-l výše uvedeé, můžeme kostatovat, že rozděleí hodot sledovaého statstckého zaku ve statstckém souboru lze charakterzovat z hledska: - polohy, - varablty, - škmost, - špčatost I3 I3 Charakterstky úrově hodot Středí hodoty Nejčastěj používaým středím hodotam jsou průměry Estuje jch ěkolk druhů a mají společé, že se vypočítávají ze všech hodot zkoumaého zaku u všech jedotek souboru Elemetárí popsá statstka
13 Pravděpodobost a statstka Nejjedodušší a ejpoužívaější je artmetcký průměr, který umožňuje porovávat údaje o srovatelém ukazatel v růzých souborech ebo u růzých jedotek Artmetcký průměr vypočítáme jako součet hodot zaku všech jedotek souboru děleý jejch počtem Například artmetcký průměr počtu f lálek u čtyř f rem ve městě, které jsou,3,,, vypočítáme [(+3++)/4] =,75 Vypočítaý průměr charakterzuje úroveň počtu f lálek a emusí mít hodotu, kterou by ěkterá f rma ěkdy mohla mít Takto vypočítaý průměr azýváme prostý artmetcký průměr Používáme ho, když máme k dspozc eroztříděý soubor hodot Artmetcký průměr ozačujeme (čteme s pruhem) a můžeme ho vypočítat podle vzorce (4) Když se obměy hodot sledovaého zaku ve statstckém souboru opakují, můžeme provést roztříděí jedotek do tříd (ebo tervalů) a zjstt četost jedotlvých obmě Četost zaků azýváme váhy, protože vyjadřují váhu jedotlvých skup a celkovém souboru Průměru budeme říkat vážeý artmetcký průměr a vypočítáme ho podle vzorce: k (5) k k Vyskytují-l se hodoty v k růzých varatách s relatvím četostm p, potom def ujeme vážeý artmetcký průměr jako k (6) k p k Máme-l hodoty sledovaého zaku rozděleé do tervalů, pak artmetcký průměr všech hodot vypočítáme pomocí dílčích průměrů jedotlvých skup (skupových průměrů) podle vzorce k (7) k k Pokud ezáme jedotlvé hodoty uvtř skup (tervalů), musíme použít přblžý výpočet, v ěmž místo hodot použjeme ve vzorc (7) středy tervalů U otevřeých tervalů buď počítáme se stejou délkou tervalů jako u ostatích tervalů ebo pokud jedotlvé hodoty záme, použjeme prostředí hodotu tohoto tervalu (medá) Elemetárí popsá statstka 3
14 Bakoví sttut vysoká škola Protože je artmetcký průměr ejpoužívaějším průměrem, sezámíme se s jeho základím vlastostm: Součet odchylek jedotlvých hodot od artmetckého průměru je rove ule (8) Artmetcký průměr kostaty je rove této kostatě (9) k k 3 Přpočteme-l ke každé hodotě tutéž kostatu, artmetcký průměr hodot se zvýší o tuto kostatu () k k 4 Vyásobíme-l všechy hodoty stejou kostatou k, artmetcký průměr se zvýší k-krát () k k 6 Artmetcký průměr se ezměí, vyásobíme-l všechy váhy stejou kostatou k Uvedeé vlastost s ukážeme a jedoduchém příkladu Příklad Tř zaměstac obdržel odměu 4, 8 a 9 Kč Průměrě tedy dostal každý z ch 7 Kč Rozdíly jejch hotovost od celkového průměru jsou -3, + a +, součet je ula Za dobré výkoy dostal všch přdáo ještě 5 Kč Měl yí 9, 3 a 4 Kč, průměrě tedy Kč, což je o 5 Kč více ež předtím Kdyby dostal každý dvojásobek své částky, měl by 8, 6 a 8 Kč, to je v průměru 4 Kč, tedy dvakrát více Kromě artmetckého průměru se ve statstce používají jé druhy průměrů, které mají ale smysl používat vždy pouze ve specf ckých stuacích Geometrcký průměr se počítá odlšě ež artmetcký průměr U artmetckého průměru jsme hodoty sčítal a děll jejch počtem, př výpočtu geometrckého průměru jedotlvé hodoty ásobíme a odmocňujeme takovou odmocou, kolk je jedotek Geometrcký průměr je tedy def ová jako tá odmoca souču všech hodot: (), resp ve vážeém tvaru (3) k G G Nejčastější používáí geometrckého průměru je př výpočtu průměrého koef cetu růstu za sledovaé období k k 4 Elemetárí popsá statstka
15 Pravděpodobost a statstka Harmocký průměr je def ová jako počet jedotek děleý součtem převráceých hodot Jeho použtí je tedy omezeo a případy, kde má smysl převráceá hodota ukazatele Nejčastěj se používá př výpočtu průměré rychlost, průměré pracost apod Prostý harmocký průměr je defová (4) h, vážeý harmocký průměr (5) h k k k k k Příklad 3 Pět pracovc zpracovává stejý formulář, každá a to potřebuje jou dobu Vypočtete průměrou dobu a zpracováí formuláře Potřebé údaje výpočty jsou v tabulce 3 Tabulka 3 - Výpočet průměré doby a zpracováí formuláře pracovce Doba zpracováí m/ks Rozhodá doba m Počet ks za rozhodou Dobu 6 m ks/6 m Pokud bychom použl k výpočtu artmetcký průměr, dostal bychom esprávý výsledek 4 m 5 Úlohu bychom mohl řešt logckou úvahou bez zalost harmockého průměru: Každé pracovc poskyteme stejou dobu (tzv rozhodou dobu, apř 6 mut) a vypočítáme počet zpracovaých dokumetů za tuto dobu Pak průměrou dobu a zpracováí jedoho formuláře vypočítáme jako artmetcký průměr , 45 m Výpočet přímo použtím harmockého průměru podle vzorce (4): h , 45 m Elemetárí popsá statstka 5
16 Bakoví sttut vysoká škola Příklad 4 Výpočet průměré rychlost: Auto jede vzdáleost 3 km Prvých km rychlostí 3 km/hod, druhých km rychlostí 8 km/hod a posledích km rychlostí km/hod km rychlostí 3 km/hod m km 8 km/hod 7,5 m km km/ hod6 m km 33,5 m= 33,5/6 =,5583 hod Výpočet pomocí artmetckého průměru: 3, ,73 km/hod Přímý výpočet pomocí harmockého průměru: h 3 3, ,73 km/hod 3 8 Mez uvedeým třem typy průměrů počítaým ze stejých dat, platí erovost (6) Hlaví evýhodou průměrů jako charakterstk polohy je jejch ctlvost a odlehlá pozorováí Z toho důvodu byly kostruováy jé charakterstky ve saze elmovat tuto evýhodu I3 Další charakterstky polohy Medá je hodota prostředí jedotky souboru uspořádaého podle velkost sledovaého zaku Medá ozačujeme ~ ( s vlovkou) Př jeho výpočtu musíme ejdříve všechy jedotky seřadt od ejmeší po ejvětší a ajít tu, která rozdělí soubor a polovy V případě lchého počtu jedotek, je medá přímo hodota prostředí jedotky, pokud je počet jedotek sudý, ajdeme dvě prostředí jedotky a medá vypočítáme jako artmetcký průměr jejch hodot Modus je ejčetější hodota souboru Modus začíme ˆ ( se stříškou) Obecě se mohou vyskytovat soubory, u chž modus eestuje, eboť je v souboru více vrcholů (vícemodálí soubory) Srováí středích hodot Průměry jsou vypočtey ze všech hodot souboru Modus a medá charakterzují typcké hodoty souboru a ezávsí a všech hodotách souboru To může být ěkdy výhodou, protože ejsou ovlvěy hodotam, které se hodě odlšují od ostatích (takovým hodotám říkáme odlehlá pozorováí) a výpočet průměru by mohly zkreslt Příklad 5 Př sledováí počtu dopravích ehod ve městě během týde byly zjštěy údaje: 3, 5,, 36, 7, 5, 9 Modus je 5 ehod, medá také 5, ale artmetcký průměr je 9,57 Průměr byl ovlvě výskytem hromadé haváre ve čtvrtek a epopsuje ejlépe typckou dopraví stuac ve městě 6 Elemetárí popsá statstka
17 Pravděpodobost a statstka Kvatly jsou hodoty zaků, které rozdělují soubor v určtém procetím poměru; p% kvatl p je hodota umerckého zaku, který odděluje p% jedotek s ejžším hodotam sledovaého zaku Z této def ce plye, že medá je 5% kvatl ( ~ = ~ ) Mez další používaé kvatly patří kvartly, 5 decly a percetly Dolí kvartl ~ odděluje 5 % ejžších hodot zaku, horí kvartl ~ 5 75 potom 75 % ejžších hodot Podobě jsou def ováy decly ~, ~,, ~ a percetly 9 ~, ~,, ~ 99 Pořadí jedotky, jejíž hodotou je p% kvatl určíme podle vzorce (7) p zp, 5 K přehledému zázorěí kvatlů, průměru, rozsahu hodot souboru (případě odlehlých pozorováí) lze použít krabcový graf (Bo-ad-Whskers Plot) Příklad 6 Vypočítejte základí charakterstky polohy zámek souboru studetů z příkladu Tabulka 4 - Potřebé hodoty k výpočtu charakterstk souboru zámek studetů Obměy zaku Četost Kumulatví četost výpočetí sloupec absolutí relatví absolutí relatví p 7,545 7, , , ,377 96, ,73, 56, 7 p 7, 477, modus = 3 medá ~ (55) (56) 3 dolí kvartl z 5 5, 5 8 ~ 5 horí kvartl z 75 75, ~ 75 3 Elemetárí popsá statstka 7
18 Bakoví sttut vysoká škola Obr 3 - Krabcový graf zámek studetů,5,5 3 3,5 4 X Na Obr 3 je zobraze krabcový graf rozděleí zámek Levá hraa krabce zázorňuje dolí kvartl, pravá hraa pak horí kvartl, tlustá čára uprostřed vyzačuje medá, zaméko + hodotu artmetckého průměru I3 Charakterstky varablty Artmetcký průměr ebo já středí hodota může dobře charakterzovat úroveň hodot ve stejorodém souboru Pokud se ale hodoty v souboru od sebe odlšují, eí samotá formace o středí hodotě postačující a je třeba j doplt Například máme údaje o věku sedm studetů a sedmčleé rody s dětm: věk studetů: 9, 9,,,,, věk rody: 6, 35, 3, 7, 5,, Artmetcký průměr věku obou souborů je stejý ( =), ale soubory se výrazě odlšují z hledska stejorodost hodot Skupa žáků je z hledska věku zjevě stejorodějším souborem ež roda Odlšost jedotek od sebe avzájem ebo od ějaké středí hodoty azýváme varablta (ěkdy se používá ázev mělvost hodot) Na prví pohled vdíme, že mělvost věku v rodě je větší ež u skupy žáků Mělvost můžeme měřt růzým míram varablty Nejjedodušší mírou mělvost je varačí rozpětí, které vypočítáme jako rozdíl ejvětší a ejmeší hodoty v souboru (8) R = ma - m Varačí rozpětí věku skupy žáků je roky, varačí rozpětí věku rody je 59 let Velkost varačího rozpětí je edokoalou míry varablty, protože závsí pouze a dvou okrajových hodotách a může být ovlvěa výskytem jedé etrémí hodoty, která se výrazě odlšuje od všech ostatích Tuto evýhodu odstraňuje apř mezkvartlové rozpětí, def ovaé jako rozdíl horího a dolího kvartlu: (9) ~ M 5 ~ Elemetárí popsá statstka
19 Pravděpodobost a statstka Vhodější mírou varablty jsou míry, jejchž velkost závsí a hodotách všech jedotek souboru Uvedeme s průměrou odchylku a rozptyl Průměrá odchylka se vypočítá jako artmetcký průměr odchylek všech hodot od artmetckého průměru, přčemž se epřhlíží ke zamékům těchto odchylek (bereme absolutí hodoty) () d d V případě, když máme soubor roztříděý do skup, musíme vypočítat vážeou průměrou odchylku () d k k k k Nejčastěj používaou mírou varablty je rozptyl, který ozačujeme Rozptyl je defová jako artmetcký průměr čtvercových odchylek jedotlvých hodot pozorováí od artmetckého průměru: s () s Počítáme-l ze souboru roztříděého do skup, pak použjeme vážeý rozptyl (3) s k k resp k Protože je rozptyl vyjádře ve čtvercích (druhých mocách) měřcích jedotek, používá se často druhá odmoca z rozptylu, která se azývá směrodatá odchylka a začí se s (4) s s s Mohdy je výhodé použít tzv výpočtového tvaru vzorce rozptylu Elemetárí popsá statstka 9
20 Bakoví sttut vysoká škola (5) s k k k k Uvedeme s také základí vlastost rozptylu Jsou-l všechy hodoty souboru stejé, rozptyl je ulový Zvětšíme-l všechy hodoty souboru o kostatu k, rozptyl se ezměí 3 Vyásobíme-l všechy hodoty souboru kostatou k, rozptyl se zvýší k krát 4 Rozklad rozptylu Skládá-l se soubor z k dílčích souborů (skup) s četostm, se skupovým průměry a skupovým rozptyly s, pak můžeme celkový rozptyl s rozložt a součet dvou rozptylů, z chž jede charakterzuje varabltu mez skupam a druhý varabltu uvtř skup: (6) s k k k k kde s s s s s s, vyjadřuje celkový rozptyl hodot sledovaého zaku, se azývá rozptyl skupových průměrů (charakterzuje varabltu mez skupam) je průměr skupových rozptylů (charakterzuje varabltu uvtř skup) Příklad 7 Soubor jedotek je rozděle do 3 skup se skupovým četostm, 3 a 6 jedotek V každé skupě byly vypočtey pro hodoty sledovaého zaku X skupové průměry a skupové rozptyly Celkový rozptyl hodot zaku X celého souboru jedotek pak vypočteme použtím rozkladu rozptylu (vzorec (5)) Potřebé výpočty jsou uvedey v tabulce 5 Tabulka 5 - Výpočet celkového rozptylu pomocí rozkladu rozptylu Skupa s s ( ) ) Elemetárí popsá statstka
Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj
VíceMendelova univerzita v Brně Statistika projekt
Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4
Více4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností
4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
VíceTento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i
: ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru
VíceNejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceTéma 6: Indexy a diference
dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
Vícea další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.
Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu
Vícejsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x
Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém
VíceSOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek
SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN
VíceElementární zpracování statistického souboru
Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad
. Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé
Více9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost
Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
VíceTest dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám
VíceStatistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).
Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
VíceÚvod do korelační a regresní analýzy
Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou
Více[ jednotky ] Chyby měření
Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá
Více11. Popisná statistika
. Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př
VíceP1: Úvod do experimentálních metod
P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Více1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků
1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
VíceS1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák
SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk
Více3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.
3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet
VícePřednáška č. 2 náhodné veličiny
Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
VíceAPLIKOVANÁ STATISTIKA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4
VíceVY_52_INOVACE_J 05 01
Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí
VíceChyby přímých měření. Úvod
Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,
VíceZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY
UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Více, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle
Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,
Více1. Základy měření neelektrických veličin
. Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost
Více10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR
Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách
VíceStřední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1
Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VícePřednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění
Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě
Více1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru
Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v
VícePopisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem
Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme
VíceLABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:
Více1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor
1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VícePODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů
Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
VíceMod(x) = 2, Med(x) = = 2
Pracoví list č.. Při zjišťováí počtu ezletilých dětí ve třiceti vybraých rodiách byly získáy tyto výsledky:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Uspořádejte získaé údaje do tabulky rozděleí četostí a vyjádřete
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
Více2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE
STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů
VíceSpolehlivost a diagnostika
Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore
Více1.1 Definice a základní pojmy
Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých
VíceStatistické charakteristiky (míry)
Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty
Více13 Popisná statistika
13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický
VíceUNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy
UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceSoustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru.
Soutava mometů Momety (Obecé, cetrálí a ormovaé) Do ytému mometových charatert patří ty ejdůležtější artmetcý průměr (mometová míra úrově) a rozptyl (mometová úroveň varablty). Obecý momet -tého tupě:
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím
VíceTéma 11 Prostorová soustava sil
Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra
VíceSTATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK
STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.
VíceČeské vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika
České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35
VíceStatistika - vícerozměrné metody
Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceÚvod do teorie měření
Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých
Více8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor
8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě
VíceZáklady statistiky. Petr Kladivo
mm Základy statstky Petr Kladvo Uverzta Palackého v Olomouc Přírodovědecká fakulta Základy statstky Petr Kladvo Olomouc 03 Opoet: RNDr. Šárka Brychtová, Ph.D. RNDr. Mloš Fňukal, Ph.D. Mgr. Petr Zemáek,
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceT e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.
Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB
Více1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMĚNNÝCH. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít
EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMĚNNÝCH Čas ke studu kaptoly: mut Cíl: Po prostudováí této kaptoly budete umět použít základí pojmy eploratorí (popsé) statstky typy datových proměých statstcké charakterstky a
VíceNáhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost
S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem
Více12. Neparametrické hypotézy
. Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,
VíceVýukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí
Více2. Vícekriteriální a cílové programování
2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě
VíceStatistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc
Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se
Více9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304
935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad
VíceChyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné
CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou
Více6. P o p i s n á s t a t i s t i k a
6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
VíceSTATISTIKA. Základní pojmy
Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci
VícePŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR
PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
Více- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.
MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceČasová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad
Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
Více9. Základní statistické pojmy.
9. Základí statstcké pojmy. Úvodí formace Statstka je často představováa jako pouhý sběr čísel ebo jm podobých údajů. Původí výzam toho slova skutečě souvsí se sběrem formací o státu ( z latského status
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více