BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika"

Transkript

1 BIVŠ Pravděpodobost a statstka

2

3 Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz Statstcké metody svým obsahem a rozsahem odpovídají stadardům výuky základů statstky a vysokých školách ekoomckého zaměřeí Skrpta, která dostáváte do rukou výzamě rozšřují a prohlubují pozatky ze statstky získaé v kurzu statstky a bakalářském stup studa Skrpta jsou rozdělea do čtyř kaptol I kaptola se zabývá elemetárí popsou statstkou, obsahuje základí statstcké pojmy, metody popsu a charakterstky jedorozměrých statstckých souborů a její zalost je ezbytým základem př dalším studu statstky II kaptola je věováa metodám statstckého srováváí, a lze j zařadt ke statstckým metodám využtelým zejméa v ekoomcké oblast uvádí základí typy deů III kaptola obsahuje základy teore pravděpodobost, sezamuje s ejdůležtějším rozděleím áhodých velč a je ezbytým teoretckým základem pro IV kaptolu věovaou metodám statstcké dukce, kterou bychom mohl uvést také pod ázvem matematcká statstka Jsou zde vyložey základy teore odhadu a testováí statstckých hypotéz a uvedey základí jedovýběrové a dvouvýběrové parametrcké testy a eparametrcké testy hypotéz o rozděleí Výklad je kocpová tak, aby studet pochopl podstatu metod statstcké dukce a uměl v pra použít a terpretovat výsledky dalších testů, které ejsou ve skrptech uvedey Zalost prcpů teore odhadů a testováí statstckých hypotéz je ezbytá pro úspěšou aplkac aalytckých statstckých metod, s mž se sezámíte v kurzu Statstcké metody Pro lepší porozuměí vykládaé problematce jsou ve všech kaptolách u každého tematckého okruhu (v případě matematcké statstky u každého testu) uvedey řešeé příklady s terpretací získaých výsledků Příklady je uto chápat jako lustratví, jsou vědomě zjedodušeé, slouží především k pochopeí látky a výpočetích postupů Řešeí příkladů uvedeých v tetu je prováděo bez použtí počítače, větša statstckých programů ale obsahuje procedury potřebé k jejch provedeí (uvedeme alespoň SAS, STATGRAPHICS, SPPS, STATISTICA, S-Plus, apod), příklady lze řešt pomocí tabulkových kalkulátorů, apř MS EXCEL Ve srováí s předchozím učebím tetem Statstka a pravděpodobost určeém pro studety BIVŠ, jsou tato skrpta upravea a rozšířea tak, aby více vyhovovala potřebám studetů kombovaého studa U každé kaptoly jsou zařazey kotrolí otázky a příklady k procvčeí vysvětleé látky K příkladům jsou uvedey výsledky, v ěkterých případech postup řešeí U každé kaptoly je rověž uvede aglcko-český slovík základích statstckých pojmů a výrazů používaých v příslušé kaptole, eboť lze předpokládat, že př aplkac statstckých postupů v pra se studet setkají s počítačovým programy, v chž budou použty aglcké výrazy V přílohové část jsou přpojey základí statstcké tabulky Sezam lteratury uvádí vybraé české zahračí publkace, které je možo využít k doplěí a rozšířeí metod a postupů uvedeých ve skrptech Doc Ig Dagmar Blatá, CSc Úvod

4 Bakoví sttut vysoká škola Obsah I KAPITOLA ELEMENTÁRNÍ POPISNÁ STATISTIKA I Základí statstcké pojmy I Zpracováí hodot umercké proměé I3 Charakterstky jedorozměrých statstckých souborů I3 Charakterstky úrově hodot I3 Středí hodoty I3 Další charakterstky polohy I3 I33 Charakterstky varablty Charakterstky škmost a špčatost KONTROLNÍ OTÁZKY PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ VÝSLEDKY PŘÍKLADŮ ZÁKLADNÍ VÝRAZY II KAPITOLA STATISTICKÉ SROVNÁVÁNÍ II II Poměrá čísla Idey II II II3 Idvduálí dey Souhré dey Příklady používaých deů II3 Ide spotřebtelských ce a měřeí fl ace II3 Příklady používaých deů kurzů akcí KONTROLNÍ OTÁZKY PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ VÝSLEDKY PŘÍKLADŮ ZÁKLADNÍ VÝRAZY 4 Obsah

5 Pravděpodobost a statstka III KAPITOLA ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI III Úvod do teore pravděpodobost III III Def ce pravděpodobost Pravdla pro počítáí s pravděpodobostm III Pravdlo o ásobeí pravděpodobostí III Pravdlo o sčítáí pravděpodobostí III3 Úplá pravděpodobost III Náhodé velčy III Pops rozděleí áhodých velč III Dskrétí áhodé velčy III Spojté áhodé velčy III Charakterstky áhodých velč III Charakterstky dskrétích áhodých velč III Charakterstky spojtých áhodých velč III3 Některá rozděleí áhodých velč III3 Některá rozděleí espojtých áhodých velč III3 Některá rozděleí spojtých áhodých velč III4 Lmtí věty III4 Záko velkých čísel (ZVČ) III4 Cetrálí lmtí věta (CLV) KONTROLNÍ OTÁZKY ŘÍKLADY K PROCVIČENÍ VÝSLEDKY PŘÍKLADŮ ZÁKLADNÍ VÝRAZY IV KAPITOLA METODY STATISTICKÉ INDUKCE IV Výběrová zjšťováí IV Náhodé výběry IV Statstcké odhady IV Bodové odhady Obsah 5

6 Bakoví sttut vysoká škola IV IV3 Itervalové odhady Odhady ěkterých parametrů základího souboru IV3 Odhad středí hodoty ormálího rozděleí μ IV3 Odhad relatví četost základího souboru (parametru alteratvího rozděleí) IV33 Odhad rozptylu základího souboru IV3 Testováí statstckých hypotéz IV3 IV3 Základí pojmy Testy hypotéz o parametrech rozděleí IV3 Test hypotézy o středí hodotě μ ormálího rozděleí IV3 Test hypotézy o rozptylu ormálího rozděleí IV33 Test hypotézy o parametru alteratvího rozděleí (test hypotézy o relatví četost) IV34 Testy hypotézy o rovost dvou středích hodot ezávslých výběrů IV35 Test hypotézy o rovost dvou rozptylů IV36 Testy rovost středích hodot dvou závslých výběrů IV33 Neparametrcké testy IV33 Neparametrcké testy o tvaru rozděleí (testy shody) KONTROLNÍ OTÁZKY PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ VÝSLEDKY PŘÍKLADŮ ZÁKLADNÍ VÝRAZY Sezam lteratury V Přílohy Statstcké tabulky 6 Obsah

7 Pravděpodobost a statstka I KAPITOLA ELEMENTÁRNÍ POPISNÁ STATISTIKA I Základí statstcké pojmy Statstka se zabývá hromadým jevy Hromadý jev je takový jev, který se může mohokrát opakovat a týká se skutečostí velkého počtu prvků Protkladem hromadého jevu je dvduálí jev, tj jedo pozorováí jedotlvého prvku Prvky, které sleduje statstka, se azývají statstcké jedotky Statstckou jedotkou může být osoba, věc, událost, orgazace apod Statstcká jedotka musí být jedozačě vymezea po stráce věcé, místí (prostorové) a časové Například statstckou jedotkou může být f rma zabývající se obchodováím s akcem, mající sídlo v ČR k 39 Souhr statstckých jedotek tvoří statstcký soubor Počet jedotek statstckého souboru vyjadřuje rozsah souboru U statstckých jedotek zkoumáme jejch vlastost, které charakterzují statstcké zaky Mírou vlastost statstckého zaku u každé jedotky statstckého souboru je hodota (sloví ebo číselá) daého zaku Pokud je hodota zaku shodá u všech jedotek souboru, mluvíme o detfkačím zaku Zaky, které abývají růzých obmě azýváme proměé Ty jsou pak hlavím předmětem statstckého zkoumáí Statstcký soubor všech statstckých jedotek, které jsou předmětem statstckého zkoumáí, se azývá základí soubor (populace) Jeho rozsah může být koečý ebo ekoečý, zpravdla je velký Proto se často provádí šetřeí je a část základího souboru vybraé ze základího souboru, které říkáme výběrový soubor Výsledky získaé z výběrového souboru pak slouží k úsudkům o celém základím souboru Nejčastější je tříděí statstckých zaků (proměých) a číselé a sloví Číselé (umercké, kvattatví) zaky jsou takové, jejchž varaty (hodoty) lze vyjádřt číselě Číselé zaky rozdělujeme a espojté (dskrétí) a spojté podle toho, jestl zak abývá obmě, které lze vyjádřt celým čísly (apř zámky ve škole, počet dětí v rodě) ebo jestl může v určtém tervalu abýt moha růzých hodot a lze jej vyjádřt reálým (apř výška mez 5 6 cm může abýt hodot růzých hodot pokud měříme s přesostí a cm, ale růzých hodot, pokud měříme s přesostí a mm apod) Nespojté číselé zaky tedy abývají pouze ěkterých celočíselých hodot v určtém tervalu, spojté mohou abývat v rámc určtého tervalu lbovolých hodot U slovího (kategorálího, kvaltatvího) zaku je možé jejch obměy vyjádřt je slově Pokud mohou abýt pouze dvou obmě, mluvíme o zaku alteratvím (apř pohlaví), může-l abýt více obmě, jedá se o zak možý (apř dosažeé vzděláí, rodý stav, typ dluhopsu) STATISTICKÉ TABULKY Tabulky patří k základím statstckým prostředkům Používají se ve všech fázích statstcké práce (zjšťováí, zpracováí, prezetace výsledků) Ve statstcké pra používáme tabulky prosté, skupové a kombačí Prosté tabulky obsahují etříděé statstcké údaje Prosté tabulky bývají zpravdla podkladem pro další zpracováí Tabulky skupové obsahují údaje tříděé podle jedoho zaku, kombačí tabulky jsou výsledkem tříděí podle dvou ebo více zaků Elemetárí popsá statstka 7

8 Bakoví sttut vysoká škola Každá statstcká tabulka zpravdla obsahuje tyto základí prvky: ázev tabulky, hlavčku, legedu, pozámky, očíslováí sloupců a řádků, číselé pole, součtový řádek a součtový sloupec, jak je zřejmé z uvedeého vzoru Název tabulky Název legedy Hlavčka tabulky Součtový sloupec Legeda tabulky () () (3) (4) () () (políčko) (3) Součtový řádek (4) Název tabulky se umísťuje ad tabulku a musí výstžě vysthovat obsah tabulky Hlavčka vyjadřuje obsah sloupců, legeda pak obsah řádků Měré jedotky se uvádějí u jedotlvých ukazatelů ebo se mohou vztahovat k celé tabulce Pozámky doplňují obsah tabulky Ozačují se buď hvězdčkou ebo malým číslcem v tabulce a jejch vysvětleí je umístěo pod tabulkou Pozámky se vztahují buď k celému obsahu tabulky (obecé pozámky) ebo je k ěkteré její část (zvláští pozámky) Políčko je průkem řádku a sloupce Každé políčko statstcké tabulky má být vyplěo a to buď zjštěou (ebo vypočteou) hodotou ebo smluveou začkou Uvedeme alespoň ejpoužívaější začky používaé ve statstckých tabulkách: - (pomlčka) ozačuje ulový počet případů, (ula) ozačuje číselou hodotu meší ež polova jedotky, (ležatý křížek) udává, že záps by v daém místě eměl smysl (byl by elogcký), (tečka) v políčku ozačuje ezámý údaj Pokud je v součtovém řádku ebo v součtovém sloupc údaj v závorce, evyjadřuje součet, ale průměr hodot příslušého řádku ebo sloupce GRAFICKÉ ZOBRAZOVÁNÍ Graf cké zázorňováí je jede ze způsobů sdělováí výsledků statstckého zkoumáí Nejčastěj bývá doplňující přehledou formou výsledků vyjádřeých v tabulce Prot tabulce a slovímu vyjádřeí je jeho výhodou přehledost a ázorost, umožňuje rychlou oretac a má začý popularzačí a propagačí výzam Nevýhodou je meší podrobost a přesost zobrazeých výsledků Výzam grafckého zobrazováí se zvyšuje možostm používáí výpočetí techky, protože větša počítačových programů má graf cké zázorňováí sledovaých a aalyzovaých jevů Př graf ckém zobrazováí musíme dodržovat určté áležtost graf ckých prostředků Každý graf musí mít srozumtelý ázev vyjadřující jeho obsah Název grafu může být umístě ad, pod ebo méě často do obrázku, ale vždy tak, aby ezasahoval do grafu Často je třeba do grafu zařadt vysvětlvky, které blíže vysvětlí obsah jedotlvých částí grafu Ty zařazujeme do obrázku tak, aby bylo jasé, k čemu se vztahují Někdy s můžeme pomoc špkam, které míří k vysvětlovaé část V případě, kdy estuje větší počet vysvětlvek, umístíme je a jedo místo do tzv klíče Vždy ale musíme umístt vysvětlvky tak, aby ezasahovaly do grafu Zakreslujeme-l do grafu více formací (zaků), odlšujeme je růzým typy čar (plě, čárkovaě, čerchovaě, tečkovaě), růzým barvam ebo růzým šrafováím, začkam (tečky, křížky, hvězdčky apod) 8 Elemetárí popsá statstka

9 Pravděpodobost a statstka I když počítače umožňují používáí růzých souřadc, ejběžější je používáí pravoúhlých souřadc Na vodorovou poloosu vyášíme ejčastěj časová období ebo obměy sledovaého zaku, a svslou poloosu hodoty sledovaého zaku ebo četost Na jedotlvých poloosách musí být vyzačey stupce Body a stupc ozačujeme krátkým čáram - kótam Vzdáleost mez jedotlvým body stupce azýváme délkou graf ckého tervalu Délka graf ckého tervalu v cm, která odpovídá jedotkovému číselému tervalu se azývá modul stupce Volba modulu je důležtá, eboť evhodou volbou modulu můžeme získat zkresleou představu o zázorňovaém jevu Moduly a obou osách emusí být stejé Musíme s ale uvědomt, že sko čáry se zvětšuje, zmešujeme-l modul délky a vodorové ose a současě jej zvětšujeme a svslé ose a aopak sko čáry je povlovější, zvětšujeme-l modul a vodorové ose a zmešujeme-l jej a svslé ose Itervaly a jedé stupc mají být stejě dlouhé Stupce většou číslujeme od uly, která je umístěa v průsečíku obou os Pokud máme údaje, které jsou hodě vzdáleé od uly, použjeme přerušeí stupce Grafů estuje ve statstce velké možství, popíšeme s je ty ejjedodušší, ejčastěj používaé, které obsahuje větša počítačových programů Estuje (a ěkteré počítačové programy abízejí) s celou řadu dalších růzých obmě jedotlvých typů grafů, které s yí popíšeme Jedím z ejčastěj používaých grafů je spojcový graf (v počítačových paketech většou ozačovaý Le charts) Je jím čára, která je složea z úseček, které spojují vždy dva body, odpovídající hodotám sledovaého zaku ve dvou za sebou ásledujících skupách ebo obdobích Spojcové grafy se používají ejčastěj ke sledováí vývoje v časových řadách (blíže v kurzu Statstcké metody) a k zobrazováí rozděleí četostí (vz dále v této kaptole) Ke zázorěí struktury (složeí) ebo ke srováí malého počtu jevů se používají sloupkové grafy (Barcharts) Sloupky jsou umístěé buď svsle ebo vodorově, mají stejou základu a růzou výšku K provedeí srováí s ějakým jým obdobím, bychom mohl vedle akresleých sloupků akreslt barevě ebo šrafováím odlšé sloupky ze srovávaého období Jý druh grafů používaý ke zázorěí struktury je kruhový ebol výsečový graf (Pecharts) Základem grafu je kruh zobrazující celek rozděleý a kruhové výseče odpovídající struktuře Jedotlvé výseče se pro přehledost ozačují růzým šrafováím ebo růzým barvam Změu ve složeí v časovém vývoj umoží zobrazt povrchové grafy (Compoet Le Charts) Pro graf cké zobrazeí územě rozložeých jevů se často používají mapy, v chž se růzým barvam, šrafováím, zakresleím obrázků růzé velkost apod zázorňuje velkost sledovaého zaku Grafům říkáme kartogramy ebo kartodagramy Počítače umožňují šroké používáí jých druhů grafů, apř schematckých obrázků (pktogramů), prostorových grafů apod S využtím ěkterých grafů se blíže sezámíme v dalších kaptolách Některé specelí grafy budou uvedey až u příslušé statstcké metod ve skrptech Metody statstcké aalýzy I Zpracováí hodot umercké proměé Statstcké zkoumáí lze rozdělt do tří etap, které a sebe bezprostředě avazují: statstcké zjšťováí (šetřeí), statstcké zpracováí a statstcké vyhodocováí (rozbor) Jako další etapa se ěkdy uvádí prezetace (publkováí) výsledků statstckého šetřeí V kurzu statstky se budeme zabývat především metodam zpracováí a vyhodocováí statstckých dat Cílem statstckého zpracováí je získat představu o vlastostech a souvslostech zkoumaých jevů Růzost povahy jevů a účelů jejch zkoumáí s vyžaduje použít ejrůzější metody a postupy statstckého zpracováí a rozboru Údajů, které získáme statstckým zjšťováím většou elze použít rovou k provedeí rozboru, eboť podávají epřehledou a euspořádaou formac o souboru statstckých jedotek Elemetárí popsá statstka 9

10 Bakoví sttut vysoká škola Důležtým, většou prvím krokem zpracováí získaých statstckých údajů je jejch tříděí Úkolem tříděí je vytvořeí stejorodých skup (tříd) statstckých jedotek podle obmě sledovaého statstckého zaku, kterému říkáme třídící zak Roztříděí souboru umoží pozat složeí zkoumaých jevů a odhalovat vzájemé vztahy a souvslost mez m Volba třídícího zaku vychází z potřeb kokrétího statstckého zkoumáí a je ejdůležtější otázkou tříděí Nesprávě provedeé tříděí může zcela zehodott další výsledky statstckého rozboru Třídící zak může být buď sloví (kvaltatví) ebo číselý (kvattatví) Pokud provádíme tříděí podle jedoho třídícího zaku, mluvíme o jedostupňovém ebo také prostém tříděí Tříděí podle více třídících zaků azýváme vícestupňové (kombačí) Vícestupňové tříděí umoží hlouběj pozat složeí a vzájemé vztahy Př větším počtu třídících zaků se ale tříděí stává epřehledé a ztrácí svou účost Proto je ejčastějším případem vícestupňového tříděí dvoustupňové tříděí Skupy vzklé roztříděím podle číselého zaku se azývají třídy, skupám vzklým př tříděí podle slovího zaku říkáme kategore Počet tříd vzklých př tříděí podle espojtého zaku je dá počtem obmě zkoumaého zaku V případě třídícího zaku spojtého (ebo espojtého s velkým počtem obmě) vytvoříme tervaly (skupy) hodot třídícího zaku Počet skup je potom daý počtem vytvořeých tervalů Počet skup je urče povahou zkoumaého jevu a účelem tříděí Itervaly je ejjedodušší volt stejě velké, ale v případech, kdy by tímto způsobem vzkly esourodé skupy, se používají tervaly estejé velkost (apř cey akcí a burze, příjmové skupy obyvatelstva) Hrace (meze) tervalů musí být vždy staovey tak, aby edošlo k ejasost, do kterého tervalu jedotlvé jedotky zařadt Četost Počtu jedotek, které jsou př tříděí zahruty do jedotlvých tříd ebo tervalů říkáme třídí (skupová) četost a ozačujeme j písmeem Celková četost je souhr skupových četostí () k k ozačuje počet skup (tervalů) Počet tervalů určíme ejjedodušej jako k tzv Sturgesova pravdla jako k = + 3,3 log ebo pomocí Strukturu souboru vyjadřují relatví četost p, které se získají jako podíl jedotlvých absolutích četostí k celkové četost (rozsahu souboru): (3) p přčemž platí k p Elemetárí popsá statstka

11 Pravděpodobost a statstka Část souboru, která má varatu zaku meší ebo ejvýše rovou daé -té obměě, se azývá kumulatví absolutí četost daé -té obměy Kumulatví četost relatví udávají, jaká poměrá část souboru má varatu zaku meší ebo rovou daé obměě Kumulatví četost se vypočítají postupým ačítáím hodot od prví do -té obměy Tabulku rozděleí četostí udává ásledující tabulka Tabulka - Tabulka jedorozměrého rozděleí četostí Obměy Zaku Četost Kumulatví četost Absolutí Relatví Absolutí Relatví p p p p + p + p 3 3 p p + p + p 3 k k p k p Ke graf ckému zázorěí rozděleí četostí, můžeme použít ěkolk obvyklých typů grafů Hstogram rozděleí četostí se skládá z obdélíků s plocham přímo úměrým třídím četostem Itervaly tříd jsou zobrazey a horzotálí ose Polygo rozděleí četostí je graf vzklý spojeím cetrálích bodů jedotlvých vrcholů sousedích sloupců lomeou čarou Koláčový (výsečový) graf je rozděle a výseče reprezetující relatví četost jedotlvých tříd Příklad Máme k dspozc soubor studetů, sledovaý statstcký zak je zámka ze zkoušky Zkostruujte tabulku rozděleí četostí a graf cky je zázorěte Tabulka - Tabulka jedorozměrého rozděleí četostí zámek souboru studetů Obměy Zaku Četost Kumulatví četost Absolutí Relatví Absolutí Relatví p 7,545 7,545 38, ,5 3 4,377 96, ,73 X p Elemetárí popsá statstka

12 Bakoví sttut vysoká škola Obr - Hstogram zámek studetů Obr - Koláčový graf zámek studetů 5 4,73% 5,45% Cetost 3 X 37,7% ,55% I3 Charakterstky jedorozměrých statstckých souborů Roztříděím souboru podle hodot sledovaého statstckého zaku získáme zalost o obměách zaku a o jejch četostech (počtu jedotek) v jedotlvých skupách (třídách) Většou je tato formace edostatečá a je uto j doplt dalším vypočteým charakterstkam, které by zhuštěou formou popsaly celý soubor z hledska sledovaých zaků Někdy je takovou postačující formací součet hodot všech jedotek souboru, který ale epodává formac o úrov hodot, protože jeho velkost závsí a počtu sčítaých jedotek Kromě toho mohdy a emá smysl ěkteré údaje sčítat (apř věk osob, ceu výrobků apod) Lepší souhrou formac dá charakterstka, která vyjadřuje úroveň (polohu), kolem které se pohybují hodoty sledovaého ukazatele Takovou charakterstku azýváme středí hodota Mez středí hodoty patří průměry, modus a medá Mohou ale estovat soubory, které mají stejou středí hodotu, ale graf rozděleí četostí je zcela odlšý, eboť soubory se mohou lšt rozptýleostí jedotlvých hodot kolem středí hodoty ebo od sebe avzájem říkáme, že se lší varabltou Ale soubory se stejou polohou a varabltou se mohou podstatě lšt co do esouměrost rozděleí hodot zaku (což může být zřejmé z graf ckého zázorěí) v takovém případě mluvíme o růzé škmost Míry polohy, varablty a škmost je ale třeba doplt formací o míře kocetrace hodot kolem středí hodoty této míře budeme říkat špčatost Shreme-l výše uvedeé, můžeme kostatovat, že rozděleí hodot sledovaého statstckého zaku ve statstckém souboru lze charakterzovat z hledska: - polohy, - varablty, - škmost, - špčatost I3 I3 Charakterstky úrově hodot Středí hodoty Nejčastěj používaým středím hodotam jsou průměry Estuje jch ěkolk druhů a mají společé, že se vypočítávají ze všech hodot zkoumaého zaku u všech jedotek souboru Elemetárí popsá statstka

13 Pravděpodobost a statstka Nejjedodušší a ejpoužívaější je artmetcký průměr, který umožňuje porovávat údaje o srovatelém ukazatel v růzých souborech ebo u růzých jedotek Artmetcký průměr vypočítáme jako součet hodot zaku všech jedotek souboru děleý jejch počtem Například artmetcký průměr počtu f lálek u čtyř f rem ve městě, které jsou,3,,, vypočítáme [(+3++)/4] =,75 Vypočítaý průměr charakterzuje úroveň počtu f lálek a emusí mít hodotu, kterou by ěkterá f rma ěkdy mohla mít Takto vypočítaý průměr azýváme prostý artmetcký průměr Používáme ho, když máme k dspozc eroztříděý soubor hodot Artmetcký průměr ozačujeme (čteme s pruhem) a můžeme ho vypočítat podle vzorce (4) Když se obměy hodot sledovaého zaku ve statstckém souboru opakují, můžeme provést roztříděí jedotek do tříd (ebo tervalů) a zjstt četost jedotlvých obmě Četost zaků azýváme váhy, protože vyjadřují váhu jedotlvých skup a celkovém souboru Průměru budeme říkat vážeý artmetcký průměr a vypočítáme ho podle vzorce: k (5) k k Vyskytují-l se hodoty v k růzých varatách s relatvím četostm p, potom def ujeme vážeý artmetcký průměr jako k (6) k p k Máme-l hodoty sledovaého zaku rozděleé do tervalů, pak artmetcký průměr všech hodot vypočítáme pomocí dílčích průměrů jedotlvých skup (skupových průměrů) podle vzorce k (7) k k Pokud ezáme jedotlvé hodoty uvtř skup (tervalů), musíme použít přblžý výpočet, v ěmž místo hodot použjeme ve vzorc (7) středy tervalů U otevřeých tervalů buď počítáme se stejou délkou tervalů jako u ostatích tervalů ebo pokud jedotlvé hodoty záme, použjeme prostředí hodotu tohoto tervalu (medá) Elemetárí popsá statstka 3

14 Bakoví sttut vysoká škola Protože je artmetcký průměr ejpoužívaějším průměrem, sezámíme se s jeho základím vlastostm: Součet odchylek jedotlvých hodot od artmetckého průměru je rove ule (8) Artmetcký průměr kostaty je rove této kostatě (9) k k 3 Přpočteme-l ke každé hodotě tutéž kostatu, artmetcký průměr hodot se zvýší o tuto kostatu () k k 4 Vyásobíme-l všechy hodoty stejou kostatou k, artmetcký průměr se zvýší k-krát () k k 6 Artmetcký průměr se ezměí, vyásobíme-l všechy váhy stejou kostatou k Uvedeé vlastost s ukážeme a jedoduchém příkladu Příklad Tř zaměstac obdržel odměu 4, 8 a 9 Kč Průměrě tedy dostal každý z ch 7 Kč Rozdíly jejch hotovost od celkového průměru jsou -3, + a +, součet je ula Za dobré výkoy dostal všch přdáo ještě 5 Kč Měl yí 9, 3 a 4 Kč, průměrě tedy Kč, což je o 5 Kč více ež předtím Kdyby dostal každý dvojásobek své částky, měl by 8, 6 a 8 Kč, to je v průměru 4 Kč, tedy dvakrát více Kromě artmetckého průměru se ve statstce používají jé druhy průměrů, které mají ale smysl používat vždy pouze ve specf ckých stuacích Geometrcký průměr se počítá odlšě ež artmetcký průměr U artmetckého průměru jsme hodoty sčítal a děll jejch počtem, př výpočtu geometrckého průměru jedotlvé hodoty ásobíme a odmocňujeme takovou odmocou, kolk je jedotek Geometrcký průměr je tedy def ová jako tá odmoca souču všech hodot: (), resp ve vážeém tvaru (3) k G G Nejčastější používáí geometrckého průměru je př výpočtu průměrého koef cetu růstu za sledovaé období k k 4 Elemetárí popsá statstka

15 Pravděpodobost a statstka Harmocký průměr je def ová jako počet jedotek děleý součtem převráceých hodot Jeho použtí je tedy omezeo a případy, kde má smysl převráceá hodota ukazatele Nejčastěj se používá př výpočtu průměré rychlost, průměré pracost apod Prostý harmocký průměr je defová (4) h, vážeý harmocký průměr (5) h k k k k k Příklad 3 Pět pracovc zpracovává stejý formulář, každá a to potřebuje jou dobu Vypočtete průměrou dobu a zpracováí formuláře Potřebé údaje výpočty jsou v tabulce 3 Tabulka 3 - Výpočet průměré doby a zpracováí formuláře pracovce Doba zpracováí m/ks Rozhodá doba m Počet ks za rozhodou Dobu 6 m ks/6 m Pokud bychom použl k výpočtu artmetcký průměr, dostal bychom esprávý výsledek 4 m 5 Úlohu bychom mohl řešt logckou úvahou bez zalost harmockého průměru: Každé pracovc poskyteme stejou dobu (tzv rozhodou dobu, apř 6 mut) a vypočítáme počet zpracovaých dokumetů za tuto dobu Pak průměrou dobu a zpracováí jedoho formuláře vypočítáme jako artmetcký průměr , 45 m Výpočet přímo použtím harmockého průměru podle vzorce (4): h , 45 m Elemetárí popsá statstka 5

16 Bakoví sttut vysoká škola Příklad 4 Výpočet průměré rychlost: Auto jede vzdáleost 3 km Prvých km rychlostí 3 km/hod, druhých km rychlostí 8 km/hod a posledích km rychlostí km/hod km rychlostí 3 km/hod m km 8 km/hod 7,5 m km km/ hod6 m km 33,5 m= 33,5/6 =,5583 hod Výpočet pomocí artmetckého průměru: 3, ,73 km/hod Přímý výpočet pomocí harmockého průměru: h 3 3, ,73 km/hod 3 8 Mez uvedeým třem typy průměrů počítaým ze stejých dat, platí erovost (6) Hlaví evýhodou průměrů jako charakterstk polohy je jejch ctlvost a odlehlá pozorováí Z toho důvodu byly kostruováy jé charakterstky ve saze elmovat tuto evýhodu I3 Další charakterstky polohy Medá je hodota prostředí jedotky souboru uspořádaého podle velkost sledovaého zaku Medá ozačujeme ~ ( s vlovkou) Př jeho výpočtu musíme ejdříve všechy jedotky seřadt od ejmeší po ejvětší a ajít tu, která rozdělí soubor a polovy V případě lchého počtu jedotek, je medá přímo hodota prostředí jedotky, pokud je počet jedotek sudý, ajdeme dvě prostředí jedotky a medá vypočítáme jako artmetcký průměr jejch hodot Modus je ejčetější hodota souboru Modus začíme ˆ ( se stříškou) Obecě se mohou vyskytovat soubory, u chž modus eestuje, eboť je v souboru více vrcholů (vícemodálí soubory) Srováí středích hodot Průměry jsou vypočtey ze všech hodot souboru Modus a medá charakterzují typcké hodoty souboru a ezávsí a všech hodotách souboru To může být ěkdy výhodou, protože ejsou ovlvěy hodotam, které se hodě odlšují od ostatích (takovým hodotám říkáme odlehlá pozorováí) a výpočet průměru by mohly zkreslt Příklad 5 Př sledováí počtu dopravích ehod ve městě během týde byly zjštěy údaje: 3, 5,, 36, 7, 5, 9 Modus je 5 ehod, medá také 5, ale artmetcký průměr je 9,57 Průměr byl ovlvě výskytem hromadé haváre ve čtvrtek a epopsuje ejlépe typckou dopraví stuac ve městě 6 Elemetárí popsá statstka

17 Pravděpodobost a statstka Kvatly jsou hodoty zaků, které rozdělují soubor v určtém procetím poměru; p% kvatl p je hodota umerckého zaku, který odděluje p% jedotek s ejžším hodotam sledovaého zaku Z této def ce plye, že medá je 5% kvatl ( ~ = ~ ) Mez další používaé kvatly patří kvartly, 5 decly a percetly Dolí kvartl ~ odděluje 5 % ejžších hodot zaku, horí kvartl ~ 5 75 potom 75 % ejžších hodot Podobě jsou def ováy decly ~, ~,, ~ a percetly 9 ~, ~,, ~ 99 Pořadí jedotky, jejíž hodotou je p% kvatl určíme podle vzorce (7) p zp, 5 K přehledému zázorěí kvatlů, průměru, rozsahu hodot souboru (případě odlehlých pozorováí) lze použít krabcový graf (Bo-ad-Whskers Plot) Příklad 6 Vypočítejte základí charakterstky polohy zámek souboru studetů z příkladu Tabulka 4 - Potřebé hodoty k výpočtu charakterstk souboru zámek studetů Obměy zaku Četost Kumulatví četost výpočetí sloupec absolutí relatví absolutí relatví p 7,545 7, , , ,377 96, ,73, 56, 7 p 7, 477, modus = 3 medá ~ (55) (56) 3 dolí kvartl z 5 5, 5 8 ~ 5 horí kvartl z 75 75, ~ 75 3 Elemetárí popsá statstka 7

18 Bakoví sttut vysoká škola Obr 3 - Krabcový graf zámek studetů,5,5 3 3,5 4 X Na Obr 3 je zobraze krabcový graf rozděleí zámek Levá hraa krabce zázorňuje dolí kvartl, pravá hraa pak horí kvartl, tlustá čára uprostřed vyzačuje medá, zaméko + hodotu artmetckého průměru I3 Charakterstky varablty Artmetcký průměr ebo já středí hodota může dobře charakterzovat úroveň hodot ve stejorodém souboru Pokud se ale hodoty v souboru od sebe odlšují, eí samotá formace o středí hodotě postačující a je třeba j doplt Například máme údaje o věku sedm studetů a sedmčleé rody s dětm: věk studetů: 9, 9,,,,, věk rody: 6, 35, 3, 7, 5,, Artmetcký průměr věku obou souborů je stejý ( =), ale soubory se výrazě odlšují z hledska stejorodost hodot Skupa žáků je z hledska věku zjevě stejorodějším souborem ež roda Odlšost jedotek od sebe avzájem ebo od ějaké středí hodoty azýváme varablta (ěkdy se používá ázev mělvost hodot) Na prví pohled vdíme, že mělvost věku v rodě je větší ež u skupy žáků Mělvost můžeme měřt růzým míram varablty Nejjedodušší mírou mělvost je varačí rozpětí, které vypočítáme jako rozdíl ejvětší a ejmeší hodoty v souboru (8) R = ma - m Varačí rozpětí věku skupy žáků je roky, varačí rozpětí věku rody je 59 let Velkost varačího rozpětí je edokoalou míry varablty, protože závsí pouze a dvou okrajových hodotách a může být ovlvěa výskytem jedé etrémí hodoty, která se výrazě odlšuje od všech ostatích Tuto evýhodu odstraňuje apř mezkvartlové rozpětí, def ovaé jako rozdíl horího a dolího kvartlu: (9) ~ M 5 ~ Elemetárí popsá statstka

19 Pravděpodobost a statstka Vhodější mírou varablty jsou míry, jejchž velkost závsí a hodotách všech jedotek souboru Uvedeme s průměrou odchylku a rozptyl Průměrá odchylka se vypočítá jako artmetcký průměr odchylek všech hodot od artmetckého průměru, přčemž se epřhlíží ke zamékům těchto odchylek (bereme absolutí hodoty) () d d V případě, když máme soubor roztříděý do skup, musíme vypočítat vážeou průměrou odchylku () d k k k k Nejčastěj používaou mírou varablty je rozptyl, který ozačujeme Rozptyl je defová jako artmetcký průměr čtvercových odchylek jedotlvých hodot pozorováí od artmetckého průměru: s () s Počítáme-l ze souboru roztříděého do skup, pak použjeme vážeý rozptyl (3) s k k resp k Protože je rozptyl vyjádře ve čtvercích (druhých mocách) měřcích jedotek, používá se často druhá odmoca z rozptylu, která se azývá směrodatá odchylka a začí se s (4) s s s Mohdy je výhodé použít tzv výpočtového tvaru vzorce rozptylu Elemetárí popsá statstka 9

20 Bakoví sttut vysoká škola (5) s k k k k Uvedeme s také základí vlastost rozptylu Jsou-l všechy hodoty souboru stejé, rozptyl je ulový Zvětšíme-l všechy hodoty souboru o kostatu k, rozptyl se ezměí 3 Vyásobíme-l všechy hodoty souboru kostatou k, rozptyl se zvýší k krát 4 Rozklad rozptylu Skládá-l se soubor z k dílčích souborů (skup) s četostm, se skupovým průměry a skupovým rozptyly s, pak můžeme celkový rozptyl s rozložt a součet dvou rozptylů, z chž jede charakterzuje varabltu mez skupam a druhý varabltu uvtř skup: (6) s k k k k kde s s s s s s, vyjadřuje celkový rozptyl hodot sledovaého zaku, se azývá rozptyl skupových průměrů (charakterzuje varabltu mez skupam) je průměr skupových rozptylů (charakterzuje varabltu uvtř skup) Příklad 7 Soubor jedotek je rozděle do 3 skup se skupovým četostm, 3 a 6 jedotek V každé skupě byly vypočtey pro hodoty sledovaého zaku X skupové průměry a skupové rozptyly Celkový rozptyl hodot zaku X celého souboru jedotek pak vypočteme použtím rozkladu rozptylu (vzorec (5)) Potřebé výpočty jsou uvedey v tabulce 5 Tabulka 5 - Výpočet celkového rozptylu pomocí rozkladu rozptylu Skupa s s ( ) ) Elemetárí popsá statstka

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Statistické charakteristiky (míry)

Statistické charakteristiky (míry) Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Úvod do teorie měření

Úvod do teorie měření Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304 935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

9. Základní statistické pojmy.

9. Základní statistické pojmy. 9. Základí statstcké pojmy. Úvodí formace Statstka je často představováa jako pouhý sběr čísel ebo jm podobých údajů. Původí výzam toho slova skutečě souvsí se sběrem formací o státu ( z latského status

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Statistické zpracování dat

Statistické zpracování dat Bakoví sttut vysoká škola Praha Katedra IT Statstcké zpracováí dat Bakalářská práce Autor: Ja Culka Iformačí techologe, Maaţer projektů Vedoucí práce: Mgr. Olga Procházková Praha Červe, 00 Prohlášeí: Prohlašuj,

Více

Momenty a momentové charakteristiky

Momenty a momentové charakteristiky Lekce 3 Momety a mometové charaktertky Pokud jme e v předešlém výkladu zmňoval o ěkteré tattcké charaktertce, zpravdla jme rověž uváděl, zda j řadíme mez více ebo méě důležté. A byly to právě artmetcký

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více