ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

Transkript

1 UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00

2 OBSAH: ÚVOD CO JE STATISTIKA? STATISTICKÁ DATA MĚŘENÍ A TYPY ŠKÁL... 7 POPISNÁ STATISTIKA.... ČETNOST, ROZDĚLENÍ ČETNOSTI, GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ.... CHARAKTERISTIKY POLOHY CHARAKTERISTIKY VARIABILITY DALŠÍ CHARAKTERISTIKY ROZDĚLENÍ POZOROVANÝCH HODNOT NĚKTERÉ TECHNIKY POPISNÉ STATISTIKY POPIS VZTAHU DVOU VELIČIN PŘÍKLAD STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ DAT ZÁKLADY POČTU PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÝ POKUS, NÁHODNÝ JEV A PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÁ VELIČINA A ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH ROZDĚLENÍ PŘÍKLADY SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ O CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTĚ INDUKTIVNÍ STATISTIKA ZÁKLADNÍ POJMY STATISTICKÝ ODHAD TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ LITERATURA - KOMENTOVANÝ SEZNAM INTERAKTIVNÍ UČEBNICE PRO ZÁKLADNÍ KURS STATISTIKY: STATISTICKÉ TABULKY DISTRIBUČNÍ FUNKCE NORMOVANÉHO NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ VYBRANÉ KVANTILY ROZDĚLENÍ CHÍ-KVADRÁT VYBRANÉ KVANTILY STUDENTOVA T-ROZDĚLENÍ VYBRANÉ KVANTILY FISHEROVA-SNEDECOROVA F-ROZDĚLENÍ... 3

3 Předmluva ke druhému vydáí Úpravy v tomto vydáí vycházejí ze zkušeostí v ěkolkaletém užíváí textu ve výuce. Byly vypuštěy ebo zjedodušey ěkteré úseky, které pro pochopeí základích pojmů ebyly ezbyté. Na ěkolka místech textu byly doplěy lustračí příklady a obrázky. Část kaptoly o testováí hypotéz o středí hodotě (dvouvýběrové a párové t-testy) byla přesuuta do předmětu Aalýza dat, který a předmět Základy matematcké statstky avazuje. Byla přdáa podkaptola.7 s příkladem využtí jedoduchých metod popsé statstky ve vyhodoceí dat o účost čtyř stochastckých algortmů a doplěo vysvětleí a příklady hledáí hodot dstrbučích fukcí a kvatlů pomocí fukcí v Excelu. Kromě toho byly odstraěy ěkteré drobé formálí a typografcké edostatky a byl aktualzová sezam lteratury, zejméa o české khy, učebí texty a elektrocké učebce, které vyšly v posledích létech a jsou vhodé jako doplňující lteratura. Tak sad toto ové upraveé vydáí bude pro studety příjemější a srozumtelější a bude dobrou pomůckou pro pochopeí základích prcpů statstky a jejch aplkac v aalýze dat. 3

4 Úvod Po prostudováí této kaptoly byste měl: vědět, čím se zabývá statstka a jaká data může zpracovávat, rozumět pojmům objekt, velča, datová matce, základí soubor, výběrový soubor, chápat rozdíl mez škálou omálí, ordálí, tervalovou a podílovou. Čas potřebý k prostudováí tohoto modulu je as hody.. Co je statstka? Slovo statstka má původ v mulost vzdáleé ěkolk století. Cítíme v ěm latský základ - status, tedy stav, a také stát - stav věcí veřejých. Nahlédemel do výkladového slovíku ebo do úvodích kaptol učebc statstky, dozvíme se, že "statstka se zabývá studem zákotostí hromadých jevů". Věta je to jstě pozoruhodá, ale epřpraveému čteář moho esděluje. Kromě toho se dočteme v učebcích, že pod pojmem statstka je většou míěa matematcká statstka, což je obor matematky, který se zabývá aplkacem teore pravděpodobost, (což je další obor matematky), a že matematcká statstka hledá správé metody usuzováí z eúplých údajů, zatížeých ještě avíc áhodým kolísáím. Vdíme, že je moho výzamů slova "statstka". Jedím z hlavích cílů tohoto předmětu a tohoto textu je vybudováí základů pro správé pochopeí výzamů slova "statstka" a pro využtí ěkterých statstckých metod pozáváí a chápáí světa, který ás obklopuje, tedy pro statstckou aalýzu dat. Aalýza je opakem sytézy, jak víme z křížovek. Také místo aalýza můžeme užívat české slovo rozbor. Zde můžete teto pojem chápat jako postup rozděleí velkého celku a takové součást, které ám te epřehledý celek pomáhají pochopt a porozumět mu. Data jsou zobrazeím jsté část reálého světa, často bývají vyjádřea číselě. Část světa můžeme zobrazovat růzou formou - jako fotograf, mapu, kresbu - to všecho jsou data. V tomto textu však daty budeme rozumět především zobrazeí do číselých hodot. Příklad -: Fotbalové mužstvo Baíku Ostrava jako jstý výsek z reálého světa může být zobrazeo třeba: skupovou fotografí - tu jstě oceí běžý faoušek, ebo sad ještě více mladá dáma hledající objekt hodý její pozorost, tabulkou, ve které bude u každého hráče zazameá věk, výška, váha, počet odehraých mut a vstřeleých braek v této sezóě, datum ukočeí smlouvy atd. Tato forma dat bude zřejmě užtečější pro realzačí tým zodpovědý za výko mužstva.. Ve statstcké aalýze rozumíme daty je druhou možost, tedy zobrazeí ve formě tabulky. 4

5 . Statstcká data Data jsou jstou formou zobrazeí výseku z reálého světa, který ás obklopuje. Statstckým daty budeme rozumět číselé zobrazeí takového výseku reálého světa, ve kterém se zobrazovaé objekty vyskytují hromadě, tz. že růzí jedc (objekty) patřící do stejé kategore, kterou umíme jasě určt, se objevují vícekrát. Příklad -: Několk příkladů výseků z reálého světa s hromadým výskytem objektů: a) ryby v přehradí ádrž Šace, b) jabloě v ovocé zahradě paa Nováka, c) občaé České republky k. ledu 008. Takové výseky z reálého světa, které zahrují více objektů majících ějakou společou vlastost, a tedy patří do stejé kategore, azýváme populace. Výše uvedeé příklady byly tedy příklady populací. Zobrazeím buď všech ebo je ěkterých objektů populace vzkají statstcká data. Ačkolv u každého z uvedeých příkladů ás budou zajímat zcela jé vlastost sledovaých objektů, třeba v příkladu -: a) druh, délka, hmotost, velkost šup apod., b) stáří stromu a úroda v loňském roce vyjádřeá v klogramech. Každé z těchto zobrazeí bude mít stejou strukturu, strukturu tabulky, ve které každý sloupec zameá jedu sledovaou vlastost (velču) a každý řádek odpovídá jedomu objektu. velča_ velča_... velča_ j... velča_p objekt_ x x x p objekt_ x x x p objekt_... x j objekt_ x x x p Tabulka -: Obvyklá struktura statstckých dat Uvtř tabulky jsou číselé hodoty velč zjštěé a každém ze sledovaých objektů. Každý sloupec tabulky může být adepsá jméem měřeé velčy, každý řádek lze ozačt tak, abychom jedozačě pozal, kterému objektu je teto řádek přřaze. 5

6 Příklad -3: Data z příkladu - b) - jabloě paa Nováka, má-l všech svých 5 jabloí ozačeo čísly a jsou-l sledováy dvě velčy, totž stáří jabloě a možství sklzeých jablek - mohou vypadat takto: jabloň stáří (roky) sklzeň (kg) Tabulka -: Příklad statstckých dat Tabulka je základí a ejčastější strukturou statstckých dat jako obrazu jsté část reálého světa. Její výhodou je to, že z í sado rozpozáme, čeho je obrazem. Nevýhodou může být její velký rozsah, a tím epřehledost, apř. tabulka z příkladu - c) by měla více ež deset mlóů řádků. Právě zpracováí formací z takových rozsáhlých tabulek do přehledější formy je jedím z úkolů statstcké aalýzy dat. Číselé hodoty uvtř tabulky tvoří datovou strukturu o řádcích a p sloupcích, která se v matematce azývá matce. Proto se ěkdy o datech v tabulce hovoří jako o datové matc. Sloupce tabulky jsme dosud ozačoval jako velčy. Někdy jsou však také ozačováy jako zak, proměá (aglcky varable) a v ěkterých vymezeých souvslostech celou řadou dalších ázvů. Podobě pro objekty exstuje možství syoym: jedec, (statstcké) dvduum, případ (aglcky case) atp. Protože však už rozumíme klíčovému koceptu, tj. statstckým datům ve struktuře tabulky, emůže ás tato adbytečá pestrost ázvosloví jak zmást. Je však uté rozlšovat jede velce podstatý rozdíl mez daty, která zobrazují všechy objekty z populace a daty, která zobrazují jeom část objektů populace. V případě, že data jsou obrazem celé populace, se tato data ozačují jako základí soubor. Aalýzou základího souboru můžeme získat přehleděj a úsporěj uspořádaý pops dat, a tím srozumtelější pops sledovaého výseku reálého světa, číselé hodoty parametrů populace. Takový postup ozačujeme jako popsou (deskrptví) statstku. Základí soubor eí vždy k dspozc. Třeba může být populace velce rozsáhlá a změřt všechy objekty je časově ebo fačě eúosé ebo je dokoce takové měřeí emožé. Např. měřeí je destruktví, jako je třeba tlaková zkouška chel a základí soubor můžeme získat je tím, že v měřícím lsu rozdrtíme všechy vyrobeé chly. Tím bychom sce získal základí soubor, ale př tom bychom zčl tu část reálého světa, kterou má zobrazovat, a formace ze základího souboru už by přestaly být zajímavé. 6

7 Někdy data tedy zobrazují je část objektů populace, avšak my bychom s rád učl obraz o celé populac, o jejích parametrech. Je to podobá stuace, jako když z ěkolka útržků fotografe s chceme udělat obraz o krajě, která byla zachycea a celé fotograf. Je zřejmé, že aše úspěšost v tomto úslí bude závset a tom, zda a útržcích budou přítomy všechy podstaté rysy krajy, a také a tom, zda budeme správě usuzovat (odhadovat) z jedotlvostí a vlastost celku. Ve statstcké aalýze se taková část populace azývá výběr a jeho zobrazeí do dat výběrový soubor. Z výběrového souboru samozřejmě emůžeme určt parametry populace, protože emáme o populac úplou formac, ale pouze odhady parametrů populace. Metody správého usuzováí z výběru a populac, kdy z formací o část usuzujeme a celek a ze specálího a obecé, ám poskytuje matematcká statstka. Postup se ozačuje jako statstcká dukce a aplkace takových metod se azývají duktví statstka. Pojmy, s mž jste se sezáml v této kaptole, lze přehledě shrout, jak je ukázáo v tabulce -3. Tabulka -3: Přehled pojmů týkajících se statstckých dat všechy objekty je část objektů realta populace výběr data základí soubor výběrový soubor charakterstky parametry odhady (parametrů) metody deskrptví statstka duktví statstka.3 Měřeí a typy škál K číselému vyjadřováí vlastostí (a tezty vlastostí) jedců, tedy ke kvatfkac, slouží růzé techky měřeí. Měřeím zjstíme pro jstý objekt číselou hodotu sledovaé velčy, tím vlastě vytvoříme obraz objektu a číselé ose. Pokud chceme pozávat reálý svět z jeho obrazů (většou se ám c lepšího eabízí), je jstě uté, aby svět byl zobrazová ezkresleě. Měřící procedury musí mít řadu jasě defovaých vlastostí, jako reprodukovatelost, ověřtelost atd. Výsledky měřeí se vyjadřují číselým hodotam měřící stupce, tzv. škály. Škálou jsou vymezey všechy možé hodoty, které měřeá velča může abývat. Podle typu škály jsou defováy vztahy mez hodotam a škále. Rozezáváme čtyř typy škál, a tedy čtyř druhy měřeých velč (zaků). Uvedeme je v pořadí od ejhrubější, posthující ejméě detalů, po ejjemější typ škály. Nomálí škála klasfkuje objekty do určtých předem vymezeých tříd č kategorí. Hodoty v omálí škále se dají vyjádřt slově a mez růzým hodotam eí defováo žádé uspořádáí. Pokud jsou hodoty omálí škály ěkdy ozačováy číselě, mějte a pamět, že toto číslo je pouze jakous zkrat- 7

8 kou (kódem) sloví hodoty *. O velčách měřeých v omálí škále hovoříme jako o omálích velčách. Příklad -4: V omálí škále se vyjadřují hodoty velč, jako jsou apř.: pohlaví (s možým hodotam mužské, žeské), barva očí (modrá, hědá, čerá), výsledek léčby (uzdrave, zemřel), árodost (česká, sloveská, polská, ěmecká,...). Ordálí (pořadová) škála umožňuje jedce podle sledovaé vlastost eje rozlšovat, ale také uspořádat ve smyslu vztahů "je větší", "je meší" ebo "předchází", "ásleduje", až by však byla schopa vyjádřt číselě vzdáleost mez větším a meším č mez předcházejícím a ásledujícím. Velčy měřeé v ordálích škálách se azývají ordálí velčy. Nomálí a ordálí velčy jsou souhrě ozačováy jako kategorálí. Příklad -5: V ordálí škále se měří zaky jako dosažeé vzděláí (základí, středí, vysokoškolské), prospěch ve školím předmětu (výborě, velm dobře, dobře, evyhověl), důstojcká hodost (podporučík, poručík, adporučík, kaptá,...), stav paceta (vyléče, remse, recdva), hodoceí fukce techckých zařízeí (stupě závažost poruchy jaderé elektráry), ohrožeí povodí (stupě povodňové aktvty), hodoceí postojů v socologckých průzkumech (škála má hodoty apř. souhlasím, spíše souhlasím, spíše esouhlasím, esouhlasím), četost výskytu (často, občas, zřídka, kdy), chuť vía ebo jé požvaty podle degustátora atd. Na ordálí škále se ěkdy měří velčy měřtelé kvattatvě jemějším škálam, pokud rozlšeí ordálí škálou postačuje, apř. postava člověka může být malá, středí ebo velká. Itervalová (rozdílová) škála avíc umožňuje staovt vzdáleost mez hodotam měřeé velčy. Je tedy oprot ordálí škále bohatší. Itervalová škála má defováu jedotku měřeí, avšak ula byla defováa s jstou lbovůlí. Dovoluje proto počítat s rozdíly aměřeých hodot, kolv s jejch podíly. Příklad -6: Typckou velčou měřeou v tervalové škále je teplota. Růzé teplotí škály (Celsova, Fahrehetova) mají růzě položeé uly (0 stupňů Celsa = 3 stupňů * Současé programy pro statstckou aalýzu dat většou evyžadují, aby data byla homogeí datová struktura, tedy matce s pouze číselým hodotam, a umí správě pracovat s daty, kde hodoty omálích velč jsou zakové řetězce. 8

9 Fahreheta) a také rozdílé jedotky (jedotka Celsovy stupce =.8 jedotek Fahrehetovy stupce). Má-l těleso teplotu C stupňů Celsa, je zároveň teplé (3+.8 C) stupňů Fahreheta. Teploty dvou těles, lšících se o d stupňů Celsa, se zároveň lší o.8 d stupňů Fahreheta, bez ohledu a to, v které část stupce se tyto hodoty acházejí. Podíly teplot však tuto stálost ezachovávají. Např. dvojásobému zvýšeí teploty z 0 a 0 stupňů Celsa odpovídá ve stupc Fahrehetově zvýšeí.36 krát (z 50 a 68 stupňů), zatímco dvojásobému zvýšeí teploty z 0 a 40 stupňů Celsa odpovídá ve stupc Fahrehetově zvýšeí.53 krát (ze 68 a 04 stupě). Podílová škála zachovává eje rozdíly (tervaly) mez hodotam, ale také podíly hodot, eboť má ulu staoveu absolutě a jedozačě. Velčy měřeé v podílové škále mohou abývat pouze kladých hodot. Velčám měřeým v podílové škále se říká také kardálí velčy. Příklad -7: Podílovou škálou je apř. Kelvova teplotí stupce, v íž všechy aměřeé teploty jsou kladé, tzv. absolutí ula, tj. hodota 0º K je fyzkálě edosažtelá. V podílových škálách se měří apř. rozměry, objem a hmotost těles, kocetrace, kapacty, fyzkálí vlastost materálu, doba trváí ějakého děje, počet mkroorgasmů ve vzorku vody, počet elemetů ve vzorku krve atd. Velčy měřeé tervalovou ebo podílovou škálou se azývají metrcké. Př zpracováí metrckých dat většou tyto velčy považujeme za spojté, jako kdyby mohly abývat kteroukol hodotu z číselého tervalu daého škálou, když př praktckém měřeí tomu tak eí, vz výše uvedeé příklady, kdy hodota se určuje ačítáím, a tedy může být je celočíselá. Dokoce u velč, které prcpálě spojté jsou, jako délka ebo čas, musíme př praktckém měřeí volt koečou jedotku rozlšeí, takže tyto velčy se měří a dskrétí (espojté) škále. Přesto však př statstckém zpracováí většou můžeme užívat pro metrcké velčy postupy matematcky odvozeé pro velčy spojté. Pro omálí a ordálí velčy se aopak užívají techky odvozeé pro velčy dskrétí, tj. velčy abývající je určté od sebe vzdáleé hodoty. Obvykle takových možých hodot espojté velčy bývá je evelký počet. Shrutí Data jsou zobrazeím část reálého světa, většou jsou vyjádřea číselě. Základí soubor jsou data zobrazující celou populac. Jeho aalýzou získáme přehleděj uspořádaý pops dat. Takový postup se ozačuje jako popsá (deskrptví) statstka. Výběrový soubor jsou data zobrazující pouze část populace. Z výběrového souboru emůžeme určt parametry populace, pouze jejch odhady. Metody správého usuzováí z výběru a populac, poskytuje matematcká statstka. 9

10 K číselému vyjadřováí vlastostí jedců (objektů) slouží měřeí. Měřeím zjstíme pro jstý objekt číselou hodotu sledovaé velčy, tím vytvoříme obraz objektu a číselé ose. Škálou jsou vymezey všechy možé hodoty, které měřeá velča může abývat. Podle typu škály jsou defováy vztahy mez hodotam a škále. Nomálí škála klasfkuje objekty do určtých předem vymezeých kategorí. Mez růzým hodotam eí defováo žádé uspořádáí. O velčách měřeých v omálí škále hovoříme jako o omálích velčách. Ordálí (pořadová) škála umožňuje jedce podle sledovaé vlastost eje rozlšovat, ale také uspořádat ve smyslu vztahů "je větší", "je meší" ebo "předchází", "ásleduje", až by však byla schopa vyjádřt číselě vzdáleost mez větším a meším č mez předcházejícím a ásledujícím. Velčy měřeé v ordálích škálách se azývají ordálí velčy. Nomálí a ordálí velčy jsou souhrě ozačováy jako kategorálí. Itervalová škála umožňuje staovt vzdáleost mez hodotam měřeé velčy. Má defováu jedotku měřeí. Dovoluje počítat s rozdíly aměřeých hodot, kolv s jejch podíly. Podílová škála zachovává eje rozdíly (tervaly) mez hodotam, ale také podíly hodot, eboť má ulu staoveu absolutě a všechy aměřeé hodoty jsou kladé. Velčy měřeé tervalovou ebo podílovou škálou se azývají metrcké. Př zpracováí metrckých dat většou tyto velčy považujeme za spojté. Pro omálí a ordálí velčy se užívají techky pro velčy dskrétí. Kotrolí otázky:. Co je ejobvyklejší datová struktura v aalýze dat?. Jaký výzam mají v tabulce řádky a sloupce? 3. Charakterzujte pojmy základí soubor, výběrový soubor. 4. Vysvětlete rozdíl mez škálou omálí, ordálí, tervalovou a podílovou. Pojmy k zapamatováí: - statstcká data - objekt, velča - škála - základí soubor - výběrový soubor - deskrptví statstka - duktví statstka 0

11 Popsá statstka Tato kaptola je poměrě obsáhlá, proto se dělí do více částí. K prostudováí celé této kaptoly budete potřebovat as 0- hod. Studum vám ulehčí četé lustratví příklady. K této kaptole se váže prví korespodečí úkol.. Četost, rozděleí četost, grafcké zázorěí Cíl: Po prostudováí této část kaptoly byste měl umět: chápat rozdíly mez absolutí a relatví četostí, chápat, co je kumulatví četost, grafcky zázort rozděleí četost. Průvodce studem: Čas potřebý k prostudováí základího učva této část je as 4 hody. Nejprve se zabývejme dskrétím velčam. Příklad. -: Pozorováím hízd jstého druhu ptáků ve vymezeé lokaltě byly zjštěy ásledující počty mláďat v jedotlvých hízdech, tj. hodoty x, j =,,, : 3, 4, 3, 5,, 3, 4,, 3, 5, 3, 4,, 5, 3, 3, 3, 4, 5,,,, 3, 3, 4, 4,3, 3, 4, 4 Uvedeá řada 30 čísel obsahuje všechy pozorovaé formace, ale jejch vímáí je dost obtížé. Porovaé údaje však můžeme sado zpřehledt. Uspořádejme data do ásledující tabulky, kde je pořadové číslo, tj. dex řádku tabulky, x je pozorovaá hodota, je počet hodot x. * Tab. -. Absolutí četost hodot * x Celkem = 30 Tabulka obsahuje všechy formace jako řada čísel ve výše uvedeém příkladu (s výjmkou pořadí, ve kterém byly hodoty zazameáy), ale je pro vímáí podstatě sadější. Navíc formace z tab. - můžeme sado vyjádřt grafcky, apř. tak, že pro každou hodotu x * zázoríme hodotu výškou sloupečku (obr. -). * j

12 Četost Počet mláďat Obr. -: Sloupcový graf (bar plot) Někdy se užívají pro grafcké zázorěí četost také výsečové grafy (pe plots), v chž je četost zázorěa plochou kruhové výseče (obr. -). Tyto grafy mají v oblbě zejméa ovář, v barevých varatách vypadají efektě. Jsou však méě formatví ež sloupcové grafy, a proto se pokud možo jejch užíváí v serózích prezetacích vyhěte Obr. -: Výsečový graf četost počtu mláďat Hodoty azýváme absolutím četostm. Přívlastek absolutí bývá často * vyechává, takže slyšíme-l četost, chápeme to jako počet hodot x zjštěý v datech, tedy absolutí četost. Vdíme, že celkový počet všech pozorovaých údajů je rozděle (rozlože) mez jedotlvé dskrétí pozorovaé hodoty. Můžeme tedy hovořt o rozděleí četost. Platí trválí vztah = k =, kde k je počet růzých hodot x zjštěých v datech. V uvedeém příkladu je k = 4. Tab. - můžeme yí dále rozšířt - vz tab. -.

13 Tab. -: Relatví a kumulatví četost * x f N F 6 6/30 = /30 = /30 = /30 = Celkem 30 30/30 = Tím jsme se dostal k dalším možostem vyjadřováí četostí. Symbol f ozačuje relatví četost defovaou jako f =, * což představuje podíl počtu hodot x v celkovém počtu všech pozorovaých hodot. Ve sloupečku N jsou kumulatví absolutí četost, ve sloupečku F pak kumulatví relatví četost. Relatví kumulatví četost F je defováa jako podíl všech hodot x j *, pro které platí x x. Spočítá se tak, že sečteme všechy relatví četost až do řádku. Formálě to můžeme zapsat F = j= f j. Je zřejmé, že f = F F. Aalogcké vztahy platí pro absolutí kumulatví N četost. Platí, že F =. Graf relatvích četostí je podobý grafu absolutích četostí, jedá odlšost je v měřítku svslé osy - vz obr. -3. j Procetae Počet mláďat Obr. -3: Sloupcový graf relatvích četostí v procetech Opět vdíme, že relatví četost jsou rozděley mez jedotlvé pozorovaé hodoty, oa jedčka a řádku Celkem v tab. -, která je součtem relatvích četostí, je rozložea podle podílu pozorovaých hodot. Užtečost relatvích četostí ukážeme dále, vz př. -. 3

14 Příklad -: V jé lokaltě byly pozorováy tyto počty mláďat: * x Celkem = 60 Porovejte rozložeí četostí mláďat v obou lokaltách. Pokud bychom zůstal u grafckého zázorěí absolutích četostí, dostaeme graf a obr. -4. Četost se zřetelě lší, ale je teto závěr správý? Četost Počet mláďat Obr. -4: Absolutí četost - srováí dvou skup Procetae Počet mláďat Obr. -5: Relatví četost v procetech - srováí dvou skup Porováme-l relatví četost, dostaeme graf a obr. -5. Vdíme, že rozložeí četostí v obou lokaltách je velm podobé. Prozatím se spokojíme s tímto subjektvím dojmem. Zda velm podobé rozděleí četostí zameá praktcky stejé rozděleí četostí, emůžeme prostředky popsé statstky objektvě 4

15 rozhodout. K tomu potřebujeme zát jé techky, kterým se budeme zabývat v kaptole 4 a také v dalším semestru. O trochu složtější je stuace, kdy se zabýváme rozděleím četostí v souvslost se spojtou velčou - vz př. -3. Příklad -3: Hmotost okurek (v gramech) posbíraých z pokusého záhou byla ásledující: Jaké je rozděleí četostí? Naměřeé údaje můžeme grafcky zázort a číselé ose jako tzv. dagram rozptýleí - obr. -6: Obr. -6: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - dagram rozptýleí Vdíme, že v tervalu mez ejmeší a ejvětší porovaou hodotou jsou aměřeé hodoty růzě husté, s ejvětší hustotou v ašem případě kolem prostředku tervalu, ale graf a obr. -6 přílš přehledý eí, apř. emůžeme rozlšt, zda vyzačeý bod a číselé ose zameá jedu č více aměřeých hodot. Mírého zlepšeí dosáheme tím, že aměřeé body místo a číselou osu zázoríme do obdélíku, ve kterém výšku zobrazovaého bodu volíme áhodě. Dostaeme tak rozmítutý dagram rozptýleí (dot plot)- obr. -7: Obr. -7: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - rozmítutý dagram rozptýleí Ale zobrazeé rozděleí četostí stále eí dost ázoré. Nabízí se však další jedoduchý postup: Vyzačt a číselé ose hrace tervalů, vz obr. -8, a zjstt četost hodot v každém tervalu Obr. -8: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - tervaly 5

16 Dostaeme tak k tervalů (tříd), každý terval má šířku h, dolí hrac l, horí hrac u a svůj střed c. Z obr. -8 je zřejmé, že platí trválí vztahy l + u h h h = u l, c = = l + = u, pro =,,..., k a l = u pro =,3,, k Prozatím jsme se ezabýval tím, jak volt počet a hrace tervalů a kam patří aměřeá hodota, která leží přesě a hrac dvou tervalů. U dskrétí velčy jsme tyto problémy eměl, zde u spojté velčy musíme tato svá subjektví přáí vyslovt, chceme-l aměřeá data rozdělt do tříd podle příslušost k tervalům. Většou se šířka všech tervalů volí shodá, tz. h = h pro =,,, k. Pak hovoříme o ekvdstatím rozděleí tříd (tervalů). Počet tervalů by eměl být a přílš malý (jede terval evypoví o rozděleí četost aměřeých hodot c, dva tervaly málo), a přílš velký (četost aměřeých hodot v tervalech by byly malé a tedy přílš slě ovlvěy áhodým kolísáím). Většou je vhodé volt počet tervalů k ěkde mez 5 a 0 s přhlédutím k počtu aměřeých hodot. V lteratuře lze alézt růzé vztahy, které umožňují určt vhodý počet tervalů, apř. k = + log ( ) + 3,3 log ( ), 0 kde log ( ) zameá logartmus př základu, log 0 ( ) je dekadcký logartmus. Naměřeá hodota ležící a hrac tervalů by mohla být zařazea do kteréhokol z obou sousedících tervalů. Větša programových prostředků, které ám pomáhají třídí uspořádáí dat pohodlěj realzovat, zařazuje hračí bod do levého tervalu, tedy do -tého tervalu patří všechy aměřeé hodoty x j, pro které platí l < x j u. Z obr. -8 pak vdíme, že dolí hrace prvího tervalu l musí být alespoň o trochu meší ež ejmeší pozorovaá hodota x m, tedy l = xm ε, ε > 0. Podobě horí hrace posledího tervalu u k může (ale emusí) být větší ež x max, uk = xmax + ε, ε 0. Pak šířku tervalu h určíme podle vztahu h = u k l k = x + ε ( xm ε ) k max Hodoty ε, ε se většou sažíme volt tak, aby hrace tervalu byly co ejzaokrouhleější číselé hodoty. Předchozí poěkud zdlouhavé odstavce popsovaly jedoduchá přjatelá pravdla k řešeí problémů spojeých s rozděleím hodot spojté velčy do tříd. Nyí se koečě můžeme vrátt k dořešeí příkladu -3. Počet tervalů je k = + 3, 3 log ( 9) 6. Dostaeme tedy ásledující tabulku: 0 6

17 Tab. -3: Data z příkladu -3 uspořádaá do tříd l u c f Celkem Iformac z tab. -3 můžeme přehledě zobrazt grafcky. Pokud prot středům tervalu c vyeseme odpovídající četost a body spojíme úsečkou, dostaeme četostí polygo - obr. -9. č e t o s t hmotost Obr. -9: Četostí polygo Zobrazíme-l četost v tervalech l, u vodorovým úsečkam a vyzačíme sloupce pod těmto úsečkam, dostaeme hstogram, vz obr. -0. Pozor: Pokud ke kresbě hstogramu užjeme Excel, položka Hstogram v doplňku Aalýza dat, dostaeme graf, ve kterém hstogram eí akresle bezvadě. Hstogram zobrazuje rozděleí hodot spojté velčy, proto sloupce emají být odděley mezeram. proto před zařazeím hstogramu do prezetace výsledků je třeba obrázek patřčě upravt. 7

18 abs.čet Hmotost Obr. -0: Hstogram Všměme s také, jak tvar hstogramu je závslý a zvoleém počtu tříd (6 tříd a obr. -0, 5 tříd a obr. -). Hstogram je ejčastěj používaý prostředek pro pops rozděleí četostí hodot spojté velčy. V grafech a obr. -9 až - jsme místo absolutích četostí mohl užít relatví četost f. Tvar grafů by optcky samozřejmě zůstal stejý, jedá odlšost by byla v měřítku svslé osy. Zovu přpomeňme souvslost tvaru hstogramu s hustotou aměřeých hodot zobrazeých a číselé ose. Čím vyšší počet bodů v tervalu (tedy čím je větší jejch hustota), tím je vyšší sloupeček hstogramu - vz obr. -, a kterém je kromě hstogramu rozmítutý dagram rozptýleí: Abs. cetost Hmotost Obr. -: Hstogram a dagram rozptýleí 8

19 Hstogramy ám umožňují prezetovat rozděleí četostí hodot spojté velčy přehledou a sado vímatelou formou - srovej epřehledou řadu čísel v zadáí př. -3 a hstogram a obr. -0 ebo -. Jak už to však v žvotě chodí, zpravdla tím, že ěco získáme, většou ěco ztrácíme. Zpracováím aměřeých hodot do tříd (tab. -3) ztrácíme formac o tom, jak jsou data rozdělea uvtř tervalů. Např. data v tervalech a obr. - a, b vedou ke stejé četost = 6 a v obou případech je tato šestce aměřeých bodů reprezetováa středem tervalu c, což v případě b eí ejpříhodější reprezetat. l c u l c u a) přblžě symetrcké b) slě esymetrcké Obr. -: Rozděleí hodot uvtř tervalů Naštěstí stuace a obr. -b představuje krajost velm esymetrckého rozděleí hodot uvtř tervalu, o které můžeme doufat, že se v emprckých datech evyskytuje přílš často. Na závěr tohoto odstavce ještě potěšující pozámka: Popsaé zpracováí dat do tervalů a jejch grafcké zázorěí formou hstogramů možá vyvolává představu epřměřeé pracost a časové áročost. Máme však k dspozc celou řadu programových prostředků (tabulkové procesory, statstcké programy), které tuto čost velm usadňují a zalost získaé v tomto odstavc by měly usadt jejch ovládáí a porozuměí výsledkům. Shrutí: Pozorovaá data lze zpřehledt uspořádáím do tabulky četostí. Iformace z tabulky můžeme vyjádřt grafcky. Absolutí četost je počet hodot * x, zjštěý v datech. Počet všech pozorovaých údajů je rozděle (rozlože) mez jedotlvé dskrétí pozorovaé hodoty, hovoříme o rozděleí četost. * Relatví četost f je podíl počtu hodot x z celkového počtu všech pozorovaých hodot. Rozděleí spojté velčy můžeme zobrazt hstogramem. Kotrolí otázky:. Vysvětlete pojmy absolutí a relatví četost.. Lze z výšky sloupců hstogramu pozat, kde je hustota aměřeých hodot a číselé ose větší a kde je ízká? Pojmy k zapamatováí: - četost absolutí a relatví - kumulatví četost - sloupcový graf - hustota aměřeých hodot - hstogram 9

20 . Charakterstky polohy Cíl: Po prostudováí této část kaptoly byste měl vědět: co to je charakterstka polohy, základí vlastost artmetckého průměru, další charakterstky polohy, jako medá, modus, co je to kvatl, co je uřezávaý průměr, co je geometrcký průměr a kdy se používá. Průvodce studem: Čas potřebý k prostudováí základího učva této část as 3 hody Charakterstkou polohy rozumíme takovou číselou hodotu, která vysthuje umístěí pozorovaých hodot a číselé ose. Z pohledu a obr. -6 je zřejmé, že to bude ějaké číslo z tervalu x, x. Otázkou je, které číslo z tohoto m tervalu ejlépe charakterzuje polohu pozorovaých hodot a číselé ose a jakým postupem ho určt. Jeda z možostí je polohu dat charakterzovat jejch těžštěm - vz obr. -3. max Obr. -3: Průměr je poloha těžště aměřeých hodot Každou z aměřeých hodot s můžeme představt jako závaží jedotkové hmotost umístěé a dvojzvraté páce v místě, které odpovídá aměřeé hodotě, a hledáme polohu bodu, kolem kterého je tato páka v rovováze. Takovou charakterstkou polohy je průměr (artmetcký průměr), x x = = x (-) Průměr x je taková hodota, která má tu vlastost, že součet odchylek aměřeých hodot od průměru je rove ule (vyjádřeí rovováhy a obr součet mometů se rová ule), ( x x) = 0 = Důkaz: ( x x) = x x = x x = 0. = = = = 0

21 Další vlastost průměru x je to, že suma čtverců (druhých moc) odchylek od průměru je mmálí, tj. suma čtverců odchylek od jé číselé hodoty je větší. Důkaz: Nechť a 0. Pak x + a x. Spočítejme tedy součet čtverců odchylek od čísla x + a : [ x ( x + a )] = ( x x ) a = ( x x ) a ( x x ) + a = = = = = ( x x ) a ( x x ) + a = ( x x ) + a = = Jelkož a je vždycky kladé, je tedy součet čtverců odchylek od průměru mmálí. Jsou-l data uspořádáa v tabulce spolu s četostm (vz odst..), pak průměr můžeme sado spočítat jako x k * k * x fx = =, (-) = = kde je celkový počet aměřeých hodot = k =, k je počet avzájem růzých aměřeých hodot v případě dskrétí velčy ebo počet tervalů v případě spojté velčy (v obou případech je k počet řádků v tabulce četostí) * a jsou absolutí, f relatví četost hodot x v datech. O průměru počítaém podle (-) hovoříme jako o vážeém průměru. Každá hodota je vážea svou četostí, tedy čím větší četost, tím větší vlv a hodotu průměru. Pozorý čteář s jstě povšmul, že v případě, kdy tabulka četostí vzkla uspořádáím hodot spojté velčy do k tervalů, se mohou hodoty průměru * spočítaé podle vztahu (-) a (-) lšt. Do (-) za x dosazujeme hodotu středu -tého tervalu, tedy c, a jak víme, tato hodota emusí být vždy dobrým reprezetatem hodot patřících do -tého tervalu. Podmíkou k tomu, aby vážeý průměr počítaý podle vztahu (-) byl rove průměru (-), tedy přesý, je, aby x = c k = = Naštěstí u většy emprckých dat je rozděleí hodot uvtř tervalu zhruba rovoměré, takže uvedeý vztah bývá splě s dostatečou přesostí a vážeý průměr spočítaý podle (-) se od správé hodoty průměru podle (-) lší epodstatě. Průměr je vhodá charakterstka polohy tehdy, když je pro ás zajímavý součet aměřeých hodot. Příklad -4: Je-l průměrá mzda 6 zaměstaců frmy Kč, pak celková měsíčí vyplaceá částka čí 6 x = Kč. Průměr je však velce ctlvý a odlehlé hodoty (odlehlá hodota je hodota velm vzdáleá od průměru). Představte s, že v předchozím příkladu byly mzdy ašch zaměstaců 7 000, 8 000, 9 000, 000, 000, Pak průměr opravdu je charakterstkou mzdy zaměstaců, když žádý z ch tuto průměr-