ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY"

Transkript

1 UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00

2 OBSAH: ÚVOD CO JE STATISTIKA? STATISTICKÁ DATA MĚŘENÍ A TYPY ŠKÁL... 7 POPISNÁ STATISTIKA.... ČETNOST, ROZDĚLENÍ ČETNOSTI, GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ.... CHARAKTERISTIKY POLOHY CHARAKTERISTIKY VARIABILITY DALŠÍ CHARAKTERISTIKY ROZDĚLENÍ POZOROVANÝCH HODNOT NĚKTERÉ TECHNIKY POPISNÉ STATISTIKY POPIS VZTAHU DVOU VELIČIN PŘÍKLAD STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ DAT ZÁKLADY POČTU PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÝ POKUS, NÁHODNÝ JEV A PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÁ VELIČINA A ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH ROZDĚLENÍ PŘÍKLADY SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ O CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTĚ INDUKTIVNÍ STATISTIKA ZÁKLADNÍ POJMY STATISTICKÝ ODHAD TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ LITERATURA - KOMENTOVANÝ SEZNAM INTERAKTIVNÍ UČEBNICE PRO ZÁKLADNÍ KURS STATISTIKY: STATISTICKÉ TABULKY DISTRIBUČNÍ FUNKCE NORMOVANÉHO NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ VYBRANÉ KVANTILY ROZDĚLENÍ CHÍ-KVADRÁT VYBRANÉ KVANTILY STUDENTOVA T-ROZDĚLENÍ VYBRANÉ KVANTILY FISHEROVA-SNEDECOROVA F-ROZDĚLENÍ... 3

3 Předmluva ke druhému vydáí Úpravy v tomto vydáí vycházejí ze zkušeostí v ěkolkaletém užíváí textu ve výuce. Byly vypuštěy ebo zjedodušey ěkteré úseky, které pro pochopeí základích pojmů ebyly ezbyté. Na ěkolka místech textu byly doplěy lustračí příklady a obrázky. Část kaptoly o testováí hypotéz o středí hodotě (dvouvýběrové a párové t-testy) byla přesuuta do předmětu Aalýza dat, který a předmět Základy matematcké statstky avazuje. Byla přdáa podkaptola.7 s příkladem využtí jedoduchých metod popsé statstky ve vyhodoceí dat o účost čtyř stochastckých algortmů a doplěo vysvětleí a příklady hledáí hodot dstrbučích fukcí a kvatlů pomocí fukcí v Excelu. Kromě toho byly odstraěy ěkteré drobé formálí a typografcké edostatky a byl aktualzová sezam lteratury, zejméa o české khy, učebí texty a elektrocké učebce, které vyšly v posledích létech a jsou vhodé jako doplňující lteratura. Tak sad toto ové upraveé vydáí bude pro studety příjemější a srozumtelější a bude dobrou pomůckou pro pochopeí základích prcpů statstky a jejch aplkac v aalýze dat. 3

4 Úvod Po prostudováí této kaptoly byste měl: vědět, čím se zabývá statstka a jaká data může zpracovávat, rozumět pojmům objekt, velča, datová matce, základí soubor, výběrový soubor, chápat rozdíl mez škálou omálí, ordálí, tervalovou a podílovou. Čas potřebý k prostudováí tohoto modulu je as hody.. Co je statstka? Slovo statstka má původ v mulost vzdáleé ěkolk století. Cítíme v ěm latský základ - status, tedy stav, a také stát - stav věcí veřejých. Nahlédemel do výkladového slovíku ebo do úvodích kaptol učebc statstky, dozvíme se, že "statstka se zabývá studem zákotostí hromadých jevů". Věta je to jstě pozoruhodá, ale epřpraveému čteář moho esděluje. Kromě toho se dočteme v učebcích, že pod pojmem statstka je většou míěa matematcká statstka, což je obor matematky, který se zabývá aplkacem teore pravděpodobost, (což je další obor matematky), a že matematcká statstka hledá správé metody usuzováí z eúplých údajů, zatížeých ještě avíc áhodým kolísáím. Vdíme, že je moho výzamů slova "statstka". Jedím z hlavích cílů tohoto předmětu a tohoto textu je vybudováí základů pro správé pochopeí výzamů slova "statstka" a pro využtí ěkterých statstckých metod pozáváí a chápáí světa, který ás obklopuje, tedy pro statstckou aalýzu dat. Aalýza je opakem sytézy, jak víme z křížovek. Také místo aalýza můžeme užívat české slovo rozbor. Zde můžete teto pojem chápat jako postup rozděleí velkého celku a takové součást, které ám te epřehledý celek pomáhají pochopt a porozumět mu. Data jsou zobrazeím jsté část reálého světa, často bývají vyjádřea číselě. Část světa můžeme zobrazovat růzou formou - jako fotograf, mapu, kresbu - to všecho jsou data. V tomto textu však daty budeme rozumět především zobrazeí do číselých hodot. Příklad -: Fotbalové mužstvo Baíku Ostrava jako jstý výsek z reálého světa může být zobrazeo třeba: skupovou fotografí - tu jstě oceí běžý faoušek, ebo sad ještě více mladá dáma hledající objekt hodý její pozorost, tabulkou, ve které bude u každého hráče zazameá věk, výška, váha, počet odehraých mut a vstřeleých braek v této sezóě, datum ukočeí smlouvy atd. Tato forma dat bude zřejmě užtečější pro realzačí tým zodpovědý za výko mužstva.. Ve statstcké aalýze rozumíme daty je druhou možost, tedy zobrazeí ve formě tabulky. 4

5 . Statstcká data Data jsou jstou formou zobrazeí výseku z reálého světa, který ás obklopuje. Statstckým daty budeme rozumět číselé zobrazeí takového výseku reálého světa, ve kterém se zobrazovaé objekty vyskytují hromadě, tz. že růzí jedc (objekty) patřící do stejé kategore, kterou umíme jasě určt, se objevují vícekrát. Příklad -: Několk příkladů výseků z reálého světa s hromadým výskytem objektů: a) ryby v přehradí ádrž Šace, b) jabloě v ovocé zahradě paa Nováka, c) občaé České republky k. ledu 008. Takové výseky z reálého světa, které zahrují více objektů majících ějakou společou vlastost, a tedy patří do stejé kategore, azýváme populace. Výše uvedeé příklady byly tedy příklady populací. Zobrazeím buď všech ebo je ěkterých objektů populace vzkají statstcká data. Ačkolv u každého z uvedeých příkladů ás budou zajímat zcela jé vlastost sledovaých objektů, třeba v příkladu -: a) druh, délka, hmotost, velkost šup apod., b) stáří stromu a úroda v loňském roce vyjádřeá v klogramech. Každé z těchto zobrazeí bude mít stejou strukturu, strukturu tabulky, ve které každý sloupec zameá jedu sledovaou vlastost (velču) a každý řádek odpovídá jedomu objektu. velča_ velča_... velča_ j... velča_p objekt_ x x x p objekt_ x x x p objekt_... x j objekt_ x x x p Tabulka -: Obvyklá struktura statstckých dat Uvtř tabulky jsou číselé hodoty velč zjštěé a každém ze sledovaých objektů. Každý sloupec tabulky může být adepsá jméem měřeé velčy, každý řádek lze ozačt tak, abychom jedozačě pozal, kterému objektu je teto řádek přřaze. 5

6 Příklad -3: Data z příkladu - b) - jabloě paa Nováka, má-l všech svých 5 jabloí ozačeo čísly a jsou-l sledováy dvě velčy, totž stáří jabloě a možství sklzeých jablek - mohou vypadat takto: jabloň stáří (roky) sklzeň (kg) Tabulka -: Příklad statstckých dat Tabulka je základí a ejčastější strukturou statstckých dat jako obrazu jsté část reálého světa. Její výhodou je to, že z í sado rozpozáme, čeho je obrazem. Nevýhodou může být její velký rozsah, a tím epřehledost, apř. tabulka z příkladu - c) by měla více ež deset mlóů řádků. Právě zpracováí formací z takových rozsáhlých tabulek do přehledější formy je jedím z úkolů statstcké aalýzy dat. Číselé hodoty uvtř tabulky tvoří datovou strukturu o řádcích a p sloupcích, která se v matematce azývá matce. Proto se ěkdy o datech v tabulce hovoří jako o datové matc. Sloupce tabulky jsme dosud ozačoval jako velčy. Někdy jsou však také ozačováy jako zak, proměá (aglcky varable) a v ěkterých vymezeých souvslostech celou řadou dalších ázvů. Podobě pro objekty exstuje možství syoym: jedec, (statstcké) dvduum, případ (aglcky case) atp. Protože však už rozumíme klíčovému koceptu, tj. statstckým datům ve struktuře tabulky, emůže ás tato adbytečá pestrost ázvosloví jak zmást. Je však uté rozlšovat jede velce podstatý rozdíl mez daty, která zobrazují všechy objekty z populace a daty, která zobrazují jeom část objektů populace. V případě, že data jsou obrazem celé populace, se tato data ozačují jako základí soubor. Aalýzou základího souboru můžeme získat přehleděj a úsporěj uspořádaý pops dat, a tím srozumtelější pops sledovaého výseku reálého světa, číselé hodoty parametrů populace. Takový postup ozačujeme jako popsou (deskrptví) statstku. Základí soubor eí vždy k dspozc. Třeba může být populace velce rozsáhlá a změřt všechy objekty je časově ebo fačě eúosé ebo je dokoce takové měřeí emožé. Např. měřeí je destruktví, jako je třeba tlaková zkouška chel a základí soubor můžeme získat je tím, že v měřícím lsu rozdrtíme všechy vyrobeé chly. Tím bychom sce získal základí soubor, ale př tom bychom zčl tu část reálého světa, kterou má zobrazovat, a formace ze základího souboru už by přestaly být zajímavé. 6

7 Někdy data tedy zobrazují je část objektů populace, avšak my bychom s rád učl obraz o celé populac, o jejích parametrech. Je to podobá stuace, jako když z ěkolka útržků fotografe s chceme udělat obraz o krajě, která byla zachycea a celé fotograf. Je zřejmé, že aše úspěšost v tomto úslí bude závset a tom, zda a útržcích budou přítomy všechy podstaté rysy krajy, a také a tom, zda budeme správě usuzovat (odhadovat) z jedotlvostí a vlastost celku. Ve statstcké aalýze se taková část populace azývá výběr a jeho zobrazeí do dat výběrový soubor. Z výběrového souboru samozřejmě emůžeme určt parametry populace, protože emáme o populac úplou formac, ale pouze odhady parametrů populace. Metody správého usuzováí z výběru a populac, kdy z formací o část usuzujeme a celek a ze specálího a obecé, ám poskytuje matematcká statstka. Postup se ozačuje jako statstcká dukce a aplkace takových metod se azývají duktví statstka. Pojmy, s mž jste se sezáml v této kaptole, lze přehledě shrout, jak je ukázáo v tabulce -3. Tabulka -3: Přehled pojmů týkajících se statstckých dat všechy objekty je část objektů realta populace výběr data základí soubor výběrový soubor charakterstky parametry odhady (parametrů) metody deskrptví statstka duktví statstka.3 Měřeí a typy škál K číselému vyjadřováí vlastostí (a tezty vlastostí) jedců, tedy ke kvatfkac, slouží růzé techky měřeí. Měřeím zjstíme pro jstý objekt číselou hodotu sledovaé velčy, tím vlastě vytvoříme obraz objektu a číselé ose. Pokud chceme pozávat reálý svět z jeho obrazů (většou se ám c lepšího eabízí), je jstě uté, aby svět byl zobrazová ezkresleě. Měřící procedury musí mít řadu jasě defovaých vlastostí, jako reprodukovatelost, ověřtelost atd. Výsledky měřeí se vyjadřují číselým hodotam měřící stupce, tzv. škály. Škálou jsou vymezey všechy možé hodoty, které měřeá velča může abývat. Podle typu škály jsou defováy vztahy mez hodotam a škále. Rozezáváme čtyř typy škál, a tedy čtyř druhy měřeých velč (zaků). Uvedeme je v pořadí od ejhrubější, posthující ejméě detalů, po ejjemější typ škály. Nomálí škála klasfkuje objekty do určtých předem vymezeých tříd č kategorí. Hodoty v omálí škále se dají vyjádřt slově a mez růzým hodotam eí defováo žádé uspořádáí. Pokud jsou hodoty omálí škály ěkdy ozačováy číselě, mějte a pamět, že toto číslo je pouze jakous zkrat- 7

8 kou (kódem) sloví hodoty *. O velčách měřeých v omálí škále hovoříme jako o omálích velčách. Příklad -4: V omálí škále se vyjadřují hodoty velč, jako jsou apř.: pohlaví (s možým hodotam mužské, žeské), barva očí (modrá, hědá, čerá), výsledek léčby (uzdrave, zemřel), árodost (česká, sloveská, polská, ěmecká,...). Ordálí (pořadová) škála umožňuje jedce podle sledovaé vlastost eje rozlšovat, ale také uspořádat ve smyslu vztahů "je větší", "je meší" ebo "předchází", "ásleduje", až by však byla schopa vyjádřt číselě vzdáleost mez větším a meším č mez předcházejícím a ásledujícím. Velčy měřeé v ordálích škálách se azývají ordálí velčy. Nomálí a ordálí velčy jsou souhrě ozačováy jako kategorálí. Příklad -5: V ordálí škále se měří zaky jako dosažeé vzděláí (základí, středí, vysokoškolské), prospěch ve školím předmětu (výborě, velm dobře, dobře, evyhověl), důstojcká hodost (podporučík, poručík, adporučík, kaptá,...), stav paceta (vyléče, remse, recdva), hodoceí fukce techckých zařízeí (stupě závažost poruchy jaderé elektráry), ohrožeí povodí (stupě povodňové aktvty), hodoceí postojů v socologckých průzkumech (škála má hodoty apř. souhlasím, spíše souhlasím, spíše esouhlasím, esouhlasím), četost výskytu (často, občas, zřídka, kdy), chuť vía ebo jé požvaty podle degustátora atd. Na ordálí škále se ěkdy měří velčy měřtelé kvattatvě jemějším škálam, pokud rozlšeí ordálí škálou postačuje, apř. postava člověka může být malá, středí ebo velká. Itervalová (rozdílová) škála avíc umožňuje staovt vzdáleost mez hodotam měřeé velčy. Je tedy oprot ordálí škále bohatší. Itervalová škála má defováu jedotku měřeí, avšak ula byla defováa s jstou lbovůlí. Dovoluje proto počítat s rozdíly aměřeých hodot, kolv s jejch podíly. Příklad -6: Typckou velčou měřeou v tervalové škále je teplota. Růzé teplotí škály (Celsova, Fahrehetova) mají růzě položeé uly (0 stupňů Celsa = 3 stupňů * Současé programy pro statstckou aalýzu dat většou evyžadují, aby data byla homogeí datová struktura, tedy matce s pouze číselým hodotam, a umí správě pracovat s daty, kde hodoty omálích velč jsou zakové řetězce. 8

9 Fahreheta) a také rozdílé jedotky (jedotka Celsovy stupce =.8 jedotek Fahrehetovy stupce). Má-l těleso teplotu C stupňů Celsa, je zároveň teplé (3+.8 C) stupňů Fahreheta. Teploty dvou těles, lšících se o d stupňů Celsa, se zároveň lší o.8 d stupňů Fahreheta, bez ohledu a to, v které část stupce se tyto hodoty acházejí. Podíly teplot však tuto stálost ezachovávají. Např. dvojásobému zvýšeí teploty z 0 a 0 stupňů Celsa odpovídá ve stupc Fahrehetově zvýšeí.36 krát (z 50 a 68 stupňů), zatímco dvojásobému zvýšeí teploty z 0 a 40 stupňů Celsa odpovídá ve stupc Fahrehetově zvýšeí.53 krát (ze 68 a 04 stupě). Podílová škála zachovává eje rozdíly (tervaly) mez hodotam, ale také podíly hodot, eboť má ulu staoveu absolutě a jedozačě. Velčy měřeé v podílové škále mohou abývat pouze kladých hodot. Velčám měřeým v podílové škále se říká také kardálí velčy. Příklad -7: Podílovou škálou je apř. Kelvova teplotí stupce, v íž všechy aměřeé teploty jsou kladé, tzv. absolutí ula, tj. hodota 0º K je fyzkálě edosažtelá. V podílových škálách se měří apř. rozměry, objem a hmotost těles, kocetrace, kapacty, fyzkálí vlastost materálu, doba trváí ějakého děje, počet mkroorgasmů ve vzorku vody, počet elemetů ve vzorku krve atd. Velčy měřeé tervalovou ebo podílovou škálou se azývají metrcké. Př zpracováí metrckých dat většou tyto velčy považujeme za spojté, jako kdyby mohly abývat kteroukol hodotu z číselého tervalu daého škálou, když př praktckém měřeí tomu tak eí, vz výše uvedeé příklady, kdy hodota se určuje ačítáím, a tedy může být je celočíselá. Dokoce u velč, které prcpálě spojté jsou, jako délka ebo čas, musíme př praktckém měřeí volt koečou jedotku rozlšeí, takže tyto velčy se měří a dskrétí (espojté) škále. Přesto však př statstckém zpracováí většou můžeme užívat pro metrcké velčy postupy matematcky odvozeé pro velčy spojté. Pro omálí a ordálí velčy se aopak užívají techky odvozeé pro velčy dskrétí, tj. velčy abývající je určté od sebe vzdáleé hodoty. Obvykle takových možých hodot espojté velčy bývá je evelký počet. Shrutí Data jsou zobrazeím část reálého světa, většou jsou vyjádřea číselě. Základí soubor jsou data zobrazující celou populac. Jeho aalýzou získáme přehleděj uspořádaý pops dat. Takový postup se ozačuje jako popsá (deskrptví) statstka. Výběrový soubor jsou data zobrazující pouze část populace. Z výběrového souboru emůžeme určt parametry populace, pouze jejch odhady. Metody správého usuzováí z výběru a populac, poskytuje matematcká statstka. 9

10 K číselému vyjadřováí vlastostí jedců (objektů) slouží měřeí. Měřeím zjstíme pro jstý objekt číselou hodotu sledovaé velčy, tím vytvoříme obraz objektu a číselé ose. Škálou jsou vymezey všechy možé hodoty, které měřeá velča může abývat. Podle typu škály jsou defováy vztahy mez hodotam a škále. Nomálí škála klasfkuje objekty do určtých předem vymezeých kategorí. Mez růzým hodotam eí defováo žádé uspořádáí. O velčách měřeých v omálí škále hovoříme jako o omálích velčách. Ordálí (pořadová) škála umožňuje jedce podle sledovaé vlastost eje rozlšovat, ale také uspořádat ve smyslu vztahů "je větší", "je meší" ebo "předchází", "ásleduje", až by však byla schopa vyjádřt číselě vzdáleost mez větším a meším č mez předcházejícím a ásledujícím. Velčy měřeé v ordálích škálách se azývají ordálí velčy. Nomálí a ordálí velčy jsou souhrě ozačováy jako kategorálí. Itervalová škála umožňuje staovt vzdáleost mez hodotam měřeé velčy. Má defováu jedotku měřeí. Dovoluje počítat s rozdíly aměřeých hodot, kolv s jejch podíly. Podílová škála zachovává eje rozdíly (tervaly) mez hodotam, ale také podíly hodot, eboť má ulu staoveu absolutě a všechy aměřeé hodoty jsou kladé. Velčy měřeé tervalovou ebo podílovou škálou se azývají metrcké. Př zpracováí metrckých dat většou tyto velčy považujeme za spojté. Pro omálí a ordálí velčy se užívají techky pro velčy dskrétí. Kotrolí otázky:. Co je ejobvyklejší datová struktura v aalýze dat?. Jaký výzam mají v tabulce řádky a sloupce? 3. Charakterzujte pojmy základí soubor, výběrový soubor. 4. Vysvětlete rozdíl mez škálou omálí, ordálí, tervalovou a podílovou. Pojmy k zapamatováí: - statstcká data - objekt, velča - škála - základí soubor - výběrový soubor - deskrptví statstka - duktví statstka 0

11 Popsá statstka Tato kaptola je poměrě obsáhlá, proto se dělí do více částí. K prostudováí celé této kaptoly budete potřebovat as 0- hod. Studum vám ulehčí četé lustratví příklady. K této kaptole se váže prví korespodečí úkol.. Četost, rozděleí četost, grafcké zázorěí Cíl: Po prostudováí této část kaptoly byste měl umět: chápat rozdíly mez absolutí a relatví četostí, chápat, co je kumulatví četost, grafcky zázort rozděleí četost. Průvodce studem: Čas potřebý k prostudováí základího učva této část je as 4 hody. Nejprve se zabývejme dskrétím velčam. Příklad. -: Pozorováím hízd jstého druhu ptáků ve vymezeé lokaltě byly zjštěy ásledující počty mláďat v jedotlvých hízdech, tj. hodoty x, j =,,, : 3, 4, 3, 5,, 3, 4,, 3, 5, 3, 4,, 5, 3, 3, 3, 4, 5,,,, 3, 3, 4, 4,3, 3, 4, 4 Uvedeá řada 30 čísel obsahuje všechy pozorovaé formace, ale jejch vímáí je dost obtížé. Porovaé údaje však můžeme sado zpřehledt. Uspořádejme data do ásledující tabulky, kde je pořadové číslo, tj. dex řádku tabulky, x je pozorovaá hodota, je počet hodot x. * Tab. -. Absolutí četost hodot * x Celkem = 30 Tabulka obsahuje všechy formace jako řada čísel ve výše uvedeém příkladu (s výjmkou pořadí, ve kterém byly hodoty zazameáy), ale je pro vímáí podstatě sadější. Navíc formace z tab. - můžeme sado vyjádřt grafcky, apř. tak, že pro každou hodotu x * zázoríme hodotu výškou sloupečku (obr. -). * j

12 Četost Počet mláďat Obr. -: Sloupcový graf (bar plot) Někdy se užívají pro grafcké zázorěí četost také výsečové grafy (pe plots), v chž je četost zázorěa plochou kruhové výseče (obr. -). Tyto grafy mají v oblbě zejméa ovář, v barevých varatách vypadají efektě. Jsou však méě formatví ež sloupcové grafy, a proto se pokud možo jejch užíváí v serózích prezetacích vyhěte Obr. -: Výsečový graf četost počtu mláďat Hodoty azýváme absolutím četostm. Přívlastek absolutí bývá často * vyechává, takže slyšíme-l četost, chápeme to jako počet hodot x zjštěý v datech, tedy absolutí četost. Vdíme, že celkový počet všech pozorovaých údajů je rozděle (rozlože) mez jedotlvé dskrétí pozorovaé hodoty. Můžeme tedy hovořt o rozděleí četost. Platí trválí vztah = k =, kde k je počet růzých hodot x zjštěých v datech. V uvedeém příkladu je k = 4. Tab. - můžeme yí dále rozšířt - vz tab. -.

13 Tab. -: Relatví a kumulatví četost * x f N F 6 6/30 = /30 = /30 = /30 = Celkem 30 30/30 = Tím jsme se dostal k dalším možostem vyjadřováí četostí. Symbol f ozačuje relatví četost defovaou jako f =, * což představuje podíl počtu hodot x v celkovém počtu všech pozorovaých hodot. Ve sloupečku N jsou kumulatví absolutí četost, ve sloupečku F pak kumulatví relatví četost. Relatví kumulatví četost F je defováa jako podíl všech hodot x j *, pro které platí x x. Spočítá se tak, že sečteme všechy relatví četost až do řádku. Formálě to můžeme zapsat F = j= f j. Je zřejmé, že f = F F. Aalogcké vztahy platí pro absolutí kumulatví N četost. Platí, že F =. Graf relatvích četostí je podobý grafu absolutích četostí, jedá odlšost je v měřítku svslé osy - vz obr. -3. j Procetae Počet mláďat Obr. -3: Sloupcový graf relatvích četostí v procetech Opět vdíme, že relatví četost jsou rozděley mez jedotlvé pozorovaé hodoty, oa jedčka a řádku Celkem v tab. -, která je součtem relatvích četostí, je rozložea podle podílu pozorovaých hodot. Užtečost relatvích četostí ukážeme dále, vz př. -. 3

14 Příklad -: V jé lokaltě byly pozorováy tyto počty mláďat: * x Celkem = 60 Porovejte rozložeí četostí mláďat v obou lokaltách. Pokud bychom zůstal u grafckého zázorěí absolutích četostí, dostaeme graf a obr. -4. Četost se zřetelě lší, ale je teto závěr správý? Četost Počet mláďat Obr. -4: Absolutí četost - srováí dvou skup Procetae Počet mláďat Obr. -5: Relatví četost v procetech - srováí dvou skup Porováme-l relatví četost, dostaeme graf a obr. -5. Vdíme, že rozložeí četostí v obou lokaltách je velm podobé. Prozatím se spokojíme s tímto subjektvím dojmem. Zda velm podobé rozděleí četostí zameá praktcky stejé rozděleí četostí, emůžeme prostředky popsé statstky objektvě 4

15 rozhodout. K tomu potřebujeme zát jé techky, kterým se budeme zabývat v kaptole 4 a také v dalším semestru. O trochu složtější je stuace, kdy se zabýváme rozděleím četostí v souvslost se spojtou velčou - vz př. -3. Příklad -3: Hmotost okurek (v gramech) posbíraých z pokusého záhou byla ásledující: Jaké je rozděleí četostí? Naměřeé údaje můžeme grafcky zázort a číselé ose jako tzv. dagram rozptýleí - obr. -6: Obr. -6: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - dagram rozptýleí Vdíme, že v tervalu mez ejmeší a ejvětší porovaou hodotou jsou aměřeé hodoty růzě husté, s ejvětší hustotou v ašem případě kolem prostředku tervalu, ale graf a obr. -6 přílš přehledý eí, apř. emůžeme rozlšt, zda vyzačeý bod a číselé ose zameá jedu č více aměřeých hodot. Mírého zlepšeí dosáheme tím, že aměřeé body místo a číselou osu zázoríme do obdélíku, ve kterém výšku zobrazovaého bodu volíme áhodě. Dostaeme tak rozmítutý dagram rozptýleí (dot plot)- obr. -7: Obr. -7: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - rozmítutý dagram rozptýleí Ale zobrazeé rozděleí četostí stále eí dost ázoré. Nabízí se však další jedoduchý postup: Vyzačt a číselé ose hrace tervalů, vz obr. -8, a zjstt četost hodot v každém tervalu Obr. -8: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - tervaly 5

16 Dostaeme tak k tervalů (tříd), každý terval má šířku h, dolí hrac l, horí hrac u a svůj střed c. Z obr. -8 je zřejmé, že platí trválí vztahy l + u h h h = u l, c = = l + = u, pro =,,..., k a l = u pro =,3,, k Prozatím jsme se ezabýval tím, jak volt počet a hrace tervalů a kam patří aměřeá hodota, která leží přesě a hrac dvou tervalů. U dskrétí velčy jsme tyto problémy eměl, zde u spojté velčy musíme tato svá subjektví přáí vyslovt, chceme-l aměřeá data rozdělt do tříd podle příslušost k tervalům. Většou se šířka všech tervalů volí shodá, tz. h = h pro =,,, k. Pak hovoříme o ekvdstatím rozděleí tříd (tervalů). Počet tervalů by eměl být a přílš malý (jede terval evypoví o rozděleí četost aměřeých hodot c, dva tervaly málo), a přílš velký (četost aměřeých hodot v tervalech by byly malé a tedy přílš slě ovlvěy áhodým kolísáím). Většou je vhodé volt počet tervalů k ěkde mez 5 a 0 s přhlédutím k počtu aměřeých hodot. V lteratuře lze alézt růzé vztahy, které umožňují určt vhodý počet tervalů, apř. k = + log ( ) + 3,3 log ( ), 0 kde log ( ) zameá logartmus př základu, log 0 ( ) je dekadcký logartmus. Naměřeá hodota ležící a hrac tervalů by mohla být zařazea do kteréhokol z obou sousedících tervalů. Větša programových prostředků, které ám pomáhají třídí uspořádáí dat pohodlěj realzovat, zařazuje hračí bod do levého tervalu, tedy do -tého tervalu patří všechy aměřeé hodoty x j, pro které platí l < x j u. Z obr. -8 pak vdíme, že dolí hrace prvího tervalu l musí být alespoň o trochu meší ež ejmeší pozorovaá hodota x m, tedy l = xm ε, ε > 0. Podobě horí hrace posledího tervalu u k může (ale emusí) být větší ež x max, uk = xmax + ε, ε 0. Pak šířku tervalu h určíme podle vztahu h = u k l k = x + ε ( xm ε ) k max Hodoty ε, ε se většou sažíme volt tak, aby hrace tervalu byly co ejzaokrouhleější číselé hodoty. Předchozí poěkud zdlouhavé odstavce popsovaly jedoduchá přjatelá pravdla k řešeí problémů spojeých s rozděleím hodot spojté velčy do tříd. Nyí se koečě můžeme vrátt k dořešeí příkladu -3. Počet tervalů je k = + 3, 3 log ( 9) 6. Dostaeme tedy ásledující tabulku: 0 6

17 Tab. -3: Data z příkladu -3 uspořádaá do tříd l u c f Celkem Iformac z tab. -3 můžeme přehledě zobrazt grafcky. Pokud prot středům tervalu c vyeseme odpovídající četost a body spojíme úsečkou, dostaeme četostí polygo - obr. -9. č e t o s t hmotost Obr. -9: Četostí polygo Zobrazíme-l četost v tervalech l, u vodorovým úsečkam a vyzačíme sloupce pod těmto úsečkam, dostaeme hstogram, vz obr. -0. Pozor: Pokud ke kresbě hstogramu užjeme Excel, položka Hstogram v doplňku Aalýza dat, dostaeme graf, ve kterém hstogram eí akresle bezvadě. Hstogram zobrazuje rozděleí hodot spojté velčy, proto sloupce emají být odděley mezeram. proto před zařazeím hstogramu do prezetace výsledků je třeba obrázek patřčě upravt. 7

18 abs.čet Hmotost Obr. -0: Hstogram Všměme s také, jak tvar hstogramu je závslý a zvoleém počtu tříd (6 tříd a obr. -0, 5 tříd a obr. -). Hstogram je ejčastěj používaý prostředek pro pops rozděleí četostí hodot spojté velčy. V grafech a obr. -9 až - jsme místo absolutích četostí mohl užít relatví četost f. Tvar grafů by optcky samozřejmě zůstal stejý, jedá odlšost by byla v měřítku svslé osy. Zovu přpomeňme souvslost tvaru hstogramu s hustotou aměřeých hodot zobrazeých a číselé ose. Čím vyšší počet bodů v tervalu (tedy čím je větší jejch hustota), tím je vyšší sloupeček hstogramu - vz obr. -, a kterém je kromě hstogramu rozmítutý dagram rozptýleí: Abs. cetost Hmotost Obr. -: Hstogram a dagram rozptýleí 8

19 Hstogramy ám umožňují prezetovat rozděleí četostí hodot spojté velčy přehledou a sado vímatelou formou - srovej epřehledou řadu čísel v zadáí př. -3 a hstogram a obr. -0 ebo -. Jak už to však v žvotě chodí, zpravdla tím, že ěco získáme, většou ěco ztrácíme. Zpracováím aměřeých hodot do tříd (tab. -3) ztrácíme formac o tom, jak jsou data rozdělea uvtř tervalů. Např. data v tervalech a obr. - a, b vedou ke stejé četost = 6 a v obou případech je tato šestce aměřeých bodů reprezetováa středem tervalu c, což v případě b eí ejpříhodější reprezetat. l c u l c u a) přblžě symetrcké b) slě esymetrcké Obr. -: Rozděleí hodot uvtř tervalů Naštěstí stuace a obr. -b představuje krajost velm esymetrckého rozděleí hodot uvtř tervalu, o které můžeme doufat, že se v emprckých datech evyskytuje přílš často. Na závěr tohoto odstavce ještě potěšující pozámka: Popsaé zpracováí dat do tervalů a jejch grafcké zázorěí formou hstogramů možá vyvolává představu epřměřeé pracost a časové áročost. Máme však k dspozc celou řadu programových prostředků (tabulkové procesory, statstcké programy), které tuto čost velm usadňují a zalost získaé v tomto odstavc by měly usadt jejch ovládáí a porozuměí výsledkům. Shrutí: Pozorovaá data lze zpřehledt uspořádáím do tabulky četostí. Iformace z tabulky můžeme vyjádřt grafcky. Absolutí četost je počet hodot * x, zjštěý v datech. Počet všech pozorovaých údajů je rozděle (rozlože) mez jedotlvé dskrétí pozorovaé hodoty, hovoříme o rozděleí četost. * Relatví četost f je podíl počtu hodot x z celkového počtu všech pozorovaých hodot. Rozděleí spojté velčy můžeme zobrazt hstogramem. Kotrolí otázky:. Vysvětlete pojmy absolutí a relatví četost.. Lze z výšky sloupců hstogramu pozat, kde je hustota aměřeých hodot a číselé ose větší a kde je ízká? Pojmy k zapamatováí: - četost absolutí a relatví - kumulatví četost - sloupcový graf - hustota aměřeých hodot - hstogram 9

20 . Charakterstky polohy Cíl: Po prostudováí této část kaptoly byste měl vědět: co to je charakterstka polohy, základí vlastost artmetckého průměru, další charakterstky polohy, jako medá, modus, co je to kvatl, co je uřezávaý průměr, co je geometrcký průměr a kdy se používá. Průvodce studem: Čas potřebý k prostudováí základího učva této část as 3 hody Charakterstkou polohy rozumíme takovou číselou hodotu, která vysthuje umístěí pozorovaých hodot a číselé ose. Z pohledu a obr. -6 je zřejmé, že to bude ějaké číslo z tervalu x, x. Otázkou je, které číslo z tohoto m tervalu ejlépe charakterzuje polohu pozorovaých hodot a číselé ose a jakým postupem ho určt. Jeda z možostí je polohu dat charakterzovat jejch těžštěm - vz obr. -3. max Obr. -3: Průměr je poloha těžště aměřeých hodot Každou z aměřeých hodot s můžeme představt jako závaží jedotkové hmotost umístěé a dvojzvraté páce v místě, které odpovídá aměřeé hodotě, a hledáme polohu bodu, kolem kterého je tato páka v rovováze. Takovou charakterstkou polohy je průměr (artmetcký průměr), x x = = x (-) Průměr x je taková hodota, která má tu vlastost, že součet odchylek aměřeých hodot od průměru je rove ule (vyjádřeí rovováhy a obr součet mometů se rová ule), ( x x) = 0 = Důkaz: ( x x) = x x = x x = 0. = = = = 0

21 Další vlastost průměru x je to, že suma čtverců (druhých moc) odchylek od průměru je mmálí, tj. suma čtverců odchylek od jé číselé hodoty je větší. Důkaz: Nechť a 0. Pak x + a x. Spočítejme tedy součet čtverců odchylek od čísla x + a : [ x ( x + a )] = ( x x ) a = ( x x ) a ( x x ) + a = = = = = ( x x ) a ( x x ) + a = ( x x ) + a = = Jelkož a je vždycky kladé, je tedy součet čtverců odchylek od průměru mmálí. Jsou-l data uspořádáa v tabulce spolu s četostm (vz odst..), pak průměr můžeme sado spočítat jako x k * k * x fx = =, (-) = = kde je celkový počet aměřeých hodot = k =, k je počet avzájem růzých aměřeých hodot v případě dskrétí velčy ebo počet tervalů v případě spojté velčy (v obou případech je k počet řádků v tabulce četostí) * a jsou absolutí, f relatví četost hodot x v datech. O průměru počítaém podle (-) hovoříme jako o vážeém průměru. Každá hodota je vážea svou četostí, tedy čím větší četost, tím větší vlv a hodotu průměru. Pozorý čteář s jstě povšmul, že v případě, kdy tabulka četostí vzkla uspořádáím hodot spojté velčy do k tervalů, se mohou hodoty průměru * spočítaé podle vztahu (-) a (-) lšt. Do (-) za x dosazujeme hodotu středu -tého tervalu, tedy c, a jak víme, tato hodota emusí být vždy dobrým reprezetatem hodot patřících do -tého tervalu. Podmíkou k tomu, aby vážeý průměr počítaý podle vztahu (-) byl rove průměru (-), tedy přesý, je, aby x = c k = = Naštěstí u většy emprckých dat je rozděleí hodot uvtř tervalu zhruba rovoměré, takže uvedeý vztah bývá splě s dostatečou přesostí a vážeý průměr spočítaý podle (-) se od správé hodoty průměru podle (-) lší epodstatě. Průměr je vhodá charakterstka polohy tehdy, když je pro ás zajímavý součet aměřeých hodot. Příklad -4: Je-l průměrá mzda 6 zaměstaců frmy Kč, pak celková měsíčí vyplaceá částka čí 6 x = Kč. Průměr je však velce ctlvý a odlehlé hodoty (odlehlá hodota je hodota velm vzdáleá od průměru). Představte s, že v předchozím příkladu byly mzdy ašch zaměstaců 7 000, 8 000, 9 000, 000, 000, Pak průměr opravdu je charakterstkou mzdy zaměstaců, když žádý z ch tuto průměr-

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC Jří HŘEBÍČEK, Mchal HEJČ, Jaa SOUKOPOVÁ ECO-Maagemet,

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Fraktálová komprese. Historie

Fraktálová komprese. Historie Fraktálová komprese Hstore Prví zmíky o tzv. fraktálové kompres jsem ašel kdys v bezvadé a dodes aktuálí kížce!! Grafcké formáty (Braslav Sobota, Já Mlá, akl. Kopp), kde však šlo spíše o adšeý úvod a pak

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

Poznámky k tématu Korelace a jednoduchá lineární regrese (Téma není ve skriptech)

Poznámky k tématu Korelace a jednoduchá lineární regrese (Téma není ve skriptech) Pozámk k tématu Koelace a jedoduchá leáí egee (Téma eí ve kptech) Mějme data, ),...,(, ), kteá jou áhodým výběem z ějaké populace. Data ted pokládáme za ezávlé ealzace dvojce áhodých velč ( X, Y ). Půmě

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko dáliced3 a rychlostí silice R3 Praha Tábor České Budějovice Rakousko w w obsah základí iformace 3 dálice D3 a rychlostí silice R3 PrahaTáborČeské BudějoviceRakousko 3 > základí iformace 4 > čleěí dálice

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Vyšší odborná škola informačních služeb v Praze. Lukáš Kleňha

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Vyšší odborná škola informačních služeb v Praze. Lukáš Kleňha Vysoká škola ekoomcká v Praze Fakulta formatky a statstky Vyšší odborá škola formačích služeb v Praze Lukáš Kleňha egresí aalýza acetovy rogrese o rví hostalzac s CHOPN 0 Prohlášeí Prohlašuj, že jsem

Více

1 STATISTICKÁ ŠETŘENÍ

1 STATISTICKÁ ŠETŘENÍ STATISTICKÁ ŠETŘENÍ Záladem aždého tattcého zoumáí jou údaje (data). Lze je zíat v záadě dvěma způoby. Buď je převzít z ějaého zdroje ebo je am zjtt. Seudárí data údaje, teré převezmeme z růzých zdrojů;

Více

VÍCEKRITERIÁLNÍ ANALÝZA VARIANT ZA JISTOTY

VÍCEKRITERIÁLNÍ ANALÝZA VARIANT ZA JISTOTY VÍCEKRITERIÁLNÍ ANALÝZA VARIANT ZA JISTOTY Záklaí pom Rozhoutí výběr eé ebo více varat z mož všech přípustých varat. Rozhoovatel subekt, který má za úkol učt rozhoutí. V úlohách vícekrterálí aalýz varat

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

Téma 3: Popisná statistika

Téma 3: Popisná statistika Popá tatta Téma : Popá tatta Předáša 7 Záladí tattcé pojmy Pojem a úoly tatty Statta je věda, teá e zabývá zíáváím, zpacováím a aalýzou dat po potřeby ozhodováí. Zoumá tav a vývoj homadých jevů a vztahů

Více

Beta faktor a ekvitní prémie z cizího trhu: přenositelnost a statistická spolehlivost

Beta faktor a ekvitní prémie z cizího trhu: přenositelnost a statistická spolehlivost Beta fakto a ekvtí péme z czího thu: přeostelost a statstcká spolehlvost Veze 15. 4. 014 chal Dvořák Abstakt Cílem textu je lustovat že český buzoví th eobsahuje dostatečý počet ttulů ke koektímu staoveí

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Téma 5: Analýza závislostí

Téma 5: Analýza závislostí Aalýza závlotí Téma 5: Aalýza závlotí Předáša 5 Závlot mez ev Záladí pom Předmětem této aptol ude zoumáí závlotí ouvlotí mez dvěma a více ev. Jedá e o proutí do vztahů mez ledovaým ev a tím přlížeí tzv.

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více