ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY"

Transkript

1 UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00

2 OBSAH: ÚVOD CO JE STATISTIKA? STATISTICKÁ DATA MĚŘENÍ A TYPY ŠKÁL... 7 POPISNÁ STATISTIKA.... ČETNOST, ROZDĚLENÍ ČETNOSTI, GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ.... CHARAKTERISTIKY POLOHY CHARAKTERISTIKY VARIABILITY DALŠÍ CHARAKTERISTIKY ROZDĚLENÍ POZOROVANÝCH HODNOT NĚKTERÉ TECHNIKY POPISNÉ STATISTIKY POPIS VZTAHU DVOU VELIČIN PŘÍKLAD STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ DAT ZÁKLADY POČTU PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÝ POKUS, NÁHODNÝ JEV A PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÁ VELIČINA A ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH ROZDĚLENÍ PŘÍKLADY SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ O CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTĚ INDUKTIVNÍ STATISTIKA ZÁKLADNÍ POJMY STATISTICKÝ ODHAD TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ LITERATURA - KOMENTOVANÝ SEZNAM INTERAKTIVNÍ UČEBNICE PRO ZÁKLADNÍ KURS STATISTIKY: STATISTICKÉ TABULKY DISTRIBUČNÍ FUNKCE NORMOVANÉHO NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ VYBRANÉ KVANTILY ROZDĚLENÍ CHÍ-KVADRÁT VYBRANÉ KVANTILY STUDENTOVA T-ROZDĚLENÍ VYBRANÉ KVANTILY FISHEROVA-SNEDECOROVA F-ROZDĚLENÍ... 3

3 Předmluva ke druhému vydáí Úpravy v tomto vydáí vycházejí ze zkušeostí v ěkolkaletém užíváí textu ve výuce. Byly vypuštěy ebo zjedodušey ěkteré úseky, které pro pochopeí základích pojmů ebyly ezbyté. Na ěkolka místech textu byly doplěy lustračí příklady a obrázky. Část kaptoly o testováí hypotéz o středí hodotě (dvouvýběrové a párové t-testy) byla přesuuta do předmětu Aalýza dat, který a předmět Základy matematcké statstky avazuje. Byla přdáa podkaptola.7 s příkladem využtí jedoduchých metod popsé statstky ve vyhodoceí dat o účost čtyř stochastckých algortmů a doplěo vysvětleí a příklady hledáí hodot dstrbučích fukcí a kvatlů pomocí fukcí v Excelu. Kromě toho byly odstraěy ěkteré drobé formálí a typografcké edostatky a byl aktualzová sezam lteratury, zejméa o české khy, učebí texty a elektrocké učebce, které vyšly v posledích létech a jsou vhodé jako doplňující lteratura. Tak sad toto ové upraveé vydáí bude pro studety příjemější a srozumtelější a bude dobrou pomůckou pro pochopeí základích prcpů statstky a jejch aplkac v aalýze dat. 3

4 Úvod Po prostudováí této kaptoly byste měl: vědět, čím se zabývá statstka a jaká data může zpracovávat, rozumět pojmům objekt, velča, datová matce, základí soubor, výběrový soubor, chápat rozdíl mez škálou omálí, ordálí, tervalovou a podílovou. Čas potřebý k prostudováí tohoto modulu je as hody.. Co je statstka? Slovo statstka má původ v mulost vzdáleé ěkolk století. Cítíme v ěm latský základ - status, tedy stav, a také stát - stav věcí veřejých. Nahlédemel do výkladového slovíku ebo do úvodích kaptol učebc statstky, dozvíme se, že "statstka se zabývá studem zákotostí hromadých jevů". Věta je to jstě pozoruhodá, ale epřpraveému čteář moho esděluje. Kromě toho se dočteme v učebcích, že pod pojmem statstka je většou míěa matematcká statstka, což je obor matematky, který se zabývá aplkacem teore pravděpodobost, (což je další obor matematky), a že matematcká statstka hledá správé metody usuzováí z eúplých údajů, zatížeých ještě avíc áhodým kolísáím. Vdíme, že je moho výzamů slova "statstka". Jedím z hlavích cílů tohoto předmětu a tohoto textu je vybudováí základů pro správé pochopeí výzamů slova "statstka" a pro využtí ěkterých statstckých metod pozáváí a chápáí světa, který ás obklopuje, tedy pro statstckou aalýzu dat. Aalýza je opakem sytézy, jak víme z křížovek. Také místo aalýza můžeme užívat české slovo rozbor. Zde můžete teto pojem chápat jako postup rozděleí velkého celku a takové součást, které ám te epřehledý celek pomáhají pochopt a porozumět mu. Data jsou zobrazeím jsté část reálého světa, často bývají vyjádřea číselě. Část světa můžeme zobrazovat růzou formou - jako fotograf, mapu, kresbu - to všecho jsou data. V tomto textu však daty budeme rozumět především zobrazeí do číselých hodot. Příklad -: Fotbalové mužstvo Baíku Ostrava jako jstý výsek z reálého světa může být zobrazeo třeba: skupovou fotografí - tu jstě oceí běžý faoušek, ebo sad ještě více mladá dáma hledající objekt hodý její pozorost, tabulkou, ve které bude u každého hráče zazameá věk, výška, váha, počet odehraých mut a vstřeleých braek v této sezóě, datum ukočeí smlouvy atd. Tato forma dat bude zřejmě užtečější pro realzačí tým zodpovědý za výko mužstva.. Ve statstcké aalýze rozumíme daty je druhou možost, tedy zobrazeí ve formě tabulky. 4

5 . Statstcká data Data jsou jstou formou zobrazeí výseku z reálého světa, který ás obklopuje. Statstckým daty budeme rozumět číselé zobrazeí takového výseku reálého světa, ve kterém se zobrazovaé objekty vyskytují hromadě, tz. že růzí jedc (objekty) patřící do stejé kategore, kterou umíme jasě určt, se objevují vícekrát. Příklad -: Několk příkladů výseků z reálého světa s hromadým výskytem objektů: a) ryby v přehradí ádrž Šace, b) jabloě v ovocé zahradě paa Nováka, c) občaé České republky k. ledu 008. Takové výseky z reálého světa, které zahrují více objektů majících ějakou společou vlastost, a tedy patří do stejé kategore, azýváme populace. Výše uvedeé příklady byly tedy příklady populací. Zobrazeím buď všech ebo je ěkterých objektů populace vzkají statstcká data. Ačkolv u každého z uvedeých příkladů ás budou zajímat zcela jé vlastost sledovaých objektů, třeba v příkladu -: a) druh, délka, hmotost, velkost šup apod., b) stáří stromu a úroda v loňském roce vyjádřeá v klogramech. Každé z těchto zobrazeí bude mít stejou strukturu, strukturu tabulky, ve které každý sloupec zameá jedu sledovaou vlastost (velču) a každý řádek odpovídá jedomu objektu. velča_ velča_... velča_ j... velča_p objekt_ x x x p objekt_ x x x p objekt_... x j objekt_ x x x p Tabulka -: Obvyklá struktura statstckých dat Uvtř tabulky jsou číselé hodoty velč zjštěé a každém ze sledovaých objektů. Každý sloupec tabulky může být adepsá jméem měřeé velčy, každý řádek lze ozačt tak, abychom jedozačě pozal, kterému objektu je teto řádek přřaze. 5

6 Příklad -3: Data z příkladu - b) - jabloě paa Nováka, má-l všech svých 5 jabloí ozačeo čísly a jsou-l sledováy dvě velčy, totž stáří jabloě a možství sklzeých jablek - mohou vypadat takto: jabloň stáří (roky) sklzeň (kg) Tabulka -: Příklad statstckých dat Tabulka je základí a ejčastější strukturou statstckých dat jako obrazu jsté část reálého světa. Její výhodou je to, že z í sado rozpozáme, čeho je obrazem. Nevýhodou může být její velký rozsah, a tím epřehledost, apř. tabulka z příkladu - c) by měla více ež deset mlóů řádků. Právě zpracováí formací z takových rozsáhlých tabulek do přehledější formy je jedím z úkolů statstcké aalýzy dat. Číselé hodoty uvtř tabulky tvoří datovou strukturu o řádcích a p sloupcích, která se v matematce azývá matce. Proto se ěkdy o datech v tabulce hovoří jako o datové matc. Sloupce tabulky jsme dosud ozačoval jako velčy. Někdy jsou však také ozačováy jako zak, proměá (aglcky varable) a v ěkterých vymezeých souvslostech celou řadou dalších ázvů. Podobě pro objekty exstuje možství syoym: jedec, (statstcké) dvduum, případ (aglcky case) atp. Protože však už rozumíme klíčovému koceptu, tj. statstckým datům ve struktuře tabulky, emůže ás tato adbytečá pestrost ázvosloví jak zmást. Je však uté rozlšovat jede velce podstatý rozdíl mez daty, která zobrazují všechy objekty z populace a daty, která zobrazují jeom část objektů populace. V případě, že data jsou obrazem celé populace, se tato data ozačují jako základí soubor. Aalýzou základího souboru můžeme získat přehleděj a úsporěj uspořádaý pops dat, a tím srozumtelější pops sledovaého výseku reálého světa, číselé hodoty parametrů populace. Takový postup ozačujeme jako popsou (deskrptví) statstku. Základí soubor eí vždy k dspozc. Třeba může být populace velce rozsáhlá a změřt všechy objekty je časově ebo fačě eúosé ebo je dokoce takové měřeí emožé. Např. měřeí je destruktví, jako je třeba tlaková zkouška chel a základí soubor můžeme získat je tím, že v měřícím lsu rozdrtíme všechy vyrobeé chly. Tím bychom sce získal základí soubor, ale př tom bychom zčl tu část reálého světa, kterou má zobrazovat, a formace ze základího souboru už by přestaly být zajímavé. 6

7 Někdy data tedy zobrazují je část objektů populace, avšak my bychom s rád učl obraz o celé populac, o jejích parametrech. Je to podobá stuace, jako když z ěkolka útržků fotografe s chceme udělat obraz o krajě, která byla zachycea a celé fotograf. Je zřejmé, že aše úspěšost v tomto úslí bude závset a tom, zda a útržcích budou přítomy všechy podstaté rysy krajy, a také a tom, zda budeme správě usuzovat (odhadovat) z jedotlvostí a vlastost celku. Ve statstcké aalýze se taková část populace azývá výběr a jeho zobrazeí do dat výběrový soubor. Z výběrového souboru samozřejmě emůžeme určt parametry populace, protože emáme o populac úplou formac, ale pouze odhady parametrů populace. Metody správého usuzováí z výběru a populac, kdy z formací o část usuzujeme a celek a ze specálího a obecé, ám poskytuje matematcká statstka. Postup se ozačuje jako statstcká dukce a aplkace takových metod se azývají duktví statstka. Pojmy, s mž jste se sezáml v této kaptole, lze přehledě shrout, jak je ukázáo v tabulce -3. Tabulka -3: Přehled pojmů týkajících se statstckých dat všechy objekty je část objektů realta populace výběr data základí soubor výběrový soubor charakterstky parametry odhady (parametrů) metody deskrptví statstka duktví statstka.3 Měřeí a typy škál K číselému vyjadřováí vlastostí (a tezty vlastostí) jedců, tedy ke kvatfkac, slouží růzé techky měřeí. Měřeím zjstíme pro jstý objekt číselou hodotu sledovaé velčy, tím vlastě vytvoříme obraz objektu a číselé ose. Pokud chceme pozávat reálý svět z jeho obrazů (většou se ám c lepšího eabízí), je jstě uté, aby svět byl zobrazová ezkresleě. Měřící procedury musí mít řadu jasě defovaých vlastostí, jako reprodukovatelost, ověřtelost atd. Výsledky měřeí se vyjadřují číselým hodotam měřící stupce, tzv. škály. Škálou jsou vymezey všechy možé hodoty, které měřeá velča může abývat. Podle typu škály jsou defováy vztahy mez hodotam a škále. Rozezáváme čtyř typy škál, a tedy čtyř druhy měřeých velč (zaků). Uvedeme je v pořadí od ejhrubější, posthující ejméě detalů, po ejjemější typ škály. Nomálí škála klasfkuje objekty do určtých předem vymezeých tříd č kategorí. Hodoty v omálí škále se dají vyjádřt slově a mez růzým hodotam eí defováo žádé uspořádáí. Pokud jsou hodoty omálí škály ěkdy ozačováy číselě, mějte a pamět, že toto číslo je pouze jakous zkrat- 7

8 kou (kódem) sloví hodoty *. O velčách měřeých v omálí škále hovoříme jako o omálích velčách. Příklad -4: V omálí škále se vyjadřují hodoty velč, jako jsou apř.: pohlaví (s možým hodotam mužské, žeské), barva očí (modrá, hědá, čerá), výsledek léčby (uzdrave, zemřel), árodost (česká, sloveská, polská, ěmecká,...). Ordálí (pořadová) škála umožňuje jedce podle sledovaé vlastost eje rozlšovat, ale také uspořádat ve smyslu vztahů "je větší", "je meší" ebo "předchází", "ásleduje", až by však byla schopa vyjádřt číselě vzdáleost mez větším a meším č mez předcházejícím a ásledujícím. Velčy měřeé v ordálích škálách se azývají ordálí velčy. Nomálí a ordálí velčy jsou souhrě ozačováy jako kategorálí. Příklad -5: V ordálí škále se měří zaky jako dosažeé vzděláí (základí, středí, vysokoškolské), prospěch ve školím předmětu (výborě, velm dobře, dobře, evyhověl), důstojcká hodost (podporučík, poručík, adporučík, kaptá,...), stav paceta (vyléče, remse, recdva), hodoceí fukce techckých zařízeí (stupě závažost poruchy jaderé elektráry), ohrožeí povodí (stupě povodňové aktvty), hodoceí postojů v socologckých průzkumech (škála má hodoty apř. souhlasím, spíše souhlasím, spíše esouhlasím, esouhlasím), četost výskytu (často, občas, zřídka, kdy), chuť vía ebo jé požvaty podle degustátora atd. Na ordálí škále se ěkdy měří velčy měřtelé kvattatvě jemějším škálam, pokud rozlšeí ordálí škálou postačuje, apř. postava člověka může být malá, středí ebo velká. Itervalová (rozdílová) škála avíc umožňuje staovt vzdáleost mez hodotam měřeé velčy. Je tedy oprot ordálí škále bohatší. Itervalová škála má defováu jedotku měřeí, avšak ula byla defováa s jstou lbovůlí. Dovoluje proto počítat s rozdíly aměřeých hodot, kolv s jejch podíly. Příklad -6: Typckou velčou měřeou v tervalové škále je teplota. Růzé teplotí škály (Celsova, Fahrehetova) mají růzě položeé uly (0 stupňů Celsa = 3 stupňů * Současé programy pro statstckou aalýzu dat většou evyžadují, aby data byla homogeí datová struktura, tedy matce s pouze číselým hodotam, a umí správě pracovat s daty, kde hodoty omálích velč jsou zakové řetězce. 8

9 Fahreheta) a také rozdílé jedotky (jedotka Celsovy stupce =.8 jedotek Fahrehetovy stupce). Má-l těleso teplotu C stupňů Celsa, je zároveň teplé (3+.8 C) stupňů Fahreheta. Teploty dvou těles, lšících se o d stupňů Celsa, se zároveň lší o.8 d stupňů Fahreheta, bez ohledu a to, v které část stupce se tyto hodoty acházejí. Podíly teplot však tuto stálost ezachovávají. Např. dvojásobému zvýšeí teploty z 0 a 0 stupňů Celsa odpovídá ve stupc Fahrehetově zvýšeí.36 krát (z 50 a 68 stupňů), zatímco dvojásobému zvýšeí teploty z 0 a 40 stupňů Celsa odpovídá ve stupc Fahrehetově zvýšeí.53 krát (ze 68 a 04 stupě). Podílová škála zachovává eje rozdíly (tervaly) mez hodotam, ale také podíly hodot, eboť má ulu staoveu absolutě a jedozačě. Velčy měřeé v podílové škále mohou abývat pouze kladých hodot. Velčám měřeým v podílové škále se říká také kardálí velčy. Příklad -7: Podílovou škálou je apř. Kelvova teplotí stupce, v íž všechy aměřeé teploty jsou kladé, tzv. absolutí ula, tj. hodota 0º K je fyzkálě edosažtelá. V podílových škálách se měří apř. rozměry, objem a hmotost těles, kocetrace, kapacty, fyzkálí vlastost materálu, doba trváí ějakého děje, počet mkroorgasmů ve vzorku vody, počet elemetů ve vzorku krve atd. Velčy měřeé tervalovou ebo podílovou škálou se azývají metrcké. Př zpracováí metrckých dat většou tyto velčy považujeme za spojté, jako kdyby mohly abývat kteroukol hodotu z číselého tervalu daého škálou, když př praktckém měřeí tomu tak eí, vz výše uvedeé příklady, kdy hodota se určuje ačítáím, a tedy může být je celočíselá. Dokoce u velč, které prcpálě spojté jsou, jako délka ebo čas, musíme př praktckém měřeí volt koečou jedotku rozlšeí, takže tyto velčy se měří a dskrétí (espojté) škále. Přesto však př statstckém zpracováí většou můžeme užívat pro metrcké velčy postupy matematcky odvozeé pro velčy spojté. Pro omálí a ordálí velčy se aopak užívají techky odvozeé pro velčy dskrétí, tj. velčy abývající je určté od sebe vzdáleé hodoty. Obvykle takových možých hodot espojté velčy bývá je evelký počet. Shrutí Data jsou zobrazeím část reálého světa, většou jsou vyjádřea číselě. Základí soubor jsou data zobrazující celou populac. Jeho aalýzou získáme přehleděj uspořádaý pops dat. Takový postup se ozačuje jako popsá (deskrptví) statstka. Výběrový soubor jsou data zobrazující pouze část populace. Z výběrového souboru emůžeme určt parametry populace, pouze jejch odhady. Metody správého usuzováí z výběru a populac, poskytuje matematcká statstka. 9

10 K číselému vyjadřováí vlastostí jedců (objektů) slouží měřeí. Měřeím zjstíme pro jstý objekt číselou hodotu sledovaé velčy, tím vytvoříme obraz objektu a číselé ose. Škálou jsou vymezey všechy možé hodoty, které měřeá velča může abývat. Podle typu škály jsou defováy vztahy mez hodotam a škále. Nomálí škála klasfkuje objekty do určtých předem vymezeých kategorí. Mez růzým hodotam eí defováo žádé uspořádáí. O velčách měřeých v omálí škále hovoříme jako o omálích velčách. Ordálí (pořadová) škála umožňuje jedce podle sledovaé vlastost eje rozlšovat, ale také uspořádat ve smyslu vztahů "je větší", "je meší" ebo "předchází", "ásleduje", až by však byla schopa vyjádřt číselě vzdáleost mez větším a meším č mez předcházejícím a ásledujícím. Velčy měřeé v ordálích škálách se azývají ordálí velčy. Nomálí a ordálí velčy jsou souhrě ozačováy jako kategorálí. Itervalová škála umožňuje staovt vzdáleost mez hodotam měřeé velčy. Má defováu jedotku měřeí. Dovoluje počítat s rozdíly aměřeých hodot, kolv s jejch podíly. Podílová škála zachovává eje rozdíly (tervaly) mez hodotam, ale také podíly hodot, eboť má ulu staoveu absolutě a všechy aměřeé hodoty jsou kladé. Velčy měřeé tervalovou ebo podílovou škálou se azývají metrcké. Př zpracováí metrckých dat většou tyto velčy považujeme za spojté. Pro omálí a ordálí velčy se užívají techky pro velčy dskrétí. Kotrolí otázky:. Co je ejobvyklejší datová struktura v aalýze dat?. Jaký výzam mají v tabulce řádky a sloupce? 3. Charakterzujte pojmy základí soubor, výběrový soubor. 4. Vysvětlete rozdíl mez škálou omálí, ordálí, tervalovou a podílovou. Pojmy k zapamatováí: - statstcká data - objekt, velča - škála - základí soubor - výběrový soubor - deskrptví statstka - duktví statstka 0

11 Popsá statstka Tato kaptola je poměrě obsáhlá, proto se dělí do více částí. K prostudováí celé této kaptoly budete potřebovat as 0- hod. Studum vám ulehčí četé lustratví příklady. K této kaptole se váže prví korespodečí úkol.. Četost, rozděleí četost, grafcké zázorěí Cíl: Po prostudováí této část kaptoly byste měl umět: chápat rozdíly mez absolutí a relatví četostí, chápat, co je kumulatví četost, grafcky zázort rozděleí četost. Průvodce studem: Čas potřebý k prostudováí základího učva této část je as 4 hody. Nejprve se zabývejme dskrétím velčam. Příklad. -: Pozorováím hízd jstého druhu ptáků ve vymezeé lokaltě byly zjštěy ásledující počty mláďat v jedotlvých hízdech, tj. hodoty x, j =,,, : 3, 4, 3, 5,, 3, 4,, 3, 5, 3, 4,, 5, 3, 3, 3, 4, 5,,,, 3, 3, 4, 4,3, 3, 4, 4 Uvedeá řada 30 čísel obsahuje všechy pozorovaé formace, ale jejch vímáí je dost obtížé. Porovaé údaje však můžeme sado zpřehledt. Uspořádejme data do ásledující tabulky, kde je pořadové číslo, tj. dex řádku tabulky, x je pozorovaá hodota, je počet hodot x. * Tab. -. Absolutí četost hodot * x Celkem = 30 Tabulka obsahuje všechy formace jako řada čísel ve výše uvedeém příkladu (s výjmkou pořadí, ve kterém byly hodoty zazameáy), ale je pro vímáí podstatě sadější. Navíc formace z tab. - můžeme sado vyjádřt grafcky, apř. tak, že pro každou hodotu x * zázoríme hodotu výškou sloupečku (obr. -). * j

12 Četost Počet mláďat Obr. -: Sloupcový graf (bar plot) Někdy se užívají pro grafcké zázorěí četost také výsečové grafy (pe plots), v chž je četost zázorěa plochou kruhové výseče (obr. -). Tyto grafy mají v oblbě zejméa ovář, v barevých varatách vypadají efektě. Jsou však méě formatví ež sloupcové grafy, a proto se pokud možo jejch užíváí v serózích prezetacích vyhěte Obr. -: Výsečový graf četost počtu mláďat Hodoty azýváme absolutím četostm. Přívlastek absolutí bývá často * vyechává, takže slyšíme-l četost, chápeme to jako počet hodot x zjštěý v datech, tedy absolutí četost. Vdíme, že celkový počet všech pozorovaých údajů je rozděle (rozlože) mez jedotlvé dskrétí pozorovaé hodoty. Můžeme tedy hovořt o rozděleí četost. Platí trválí vztah = k =, kde k je počet růzých hodot x zjštěých v datech. V uvedeém příkladu je k = 4. Tab. - můžeme yí dále rozšířt - vz tab. -.

13 Tab. -: Relatví a kumulatví četost * x f N F 6 6/30 = /30 = /30 = /30 = Celkem 30 30/30 = Tím jsme se dostal k dalším možostem vyjadřováí četostí. Symbol f ozačuje relatví četost defovaou jako f =, * což představuje podíl počtu hodot x v celkovém počtu všech pozorovaých hodot. Ve sloupečku N jsou kumulatví absolutí četost, ve sloupečku F pak kumulatví relatví četost. Relatví kumulatví četost F je defováa jako podíl všech hodot x j *, pro které platí x x. Spočítá se tak, že sečteme všechy relatví četost až do řádku. Formálě to můžeme zapsat F = j= f j. Je zřejmé, že f = F F. Aalogcké vztahy platí pro absolutí kumulatví N četost. Platí, že F =. Graf relatvích četostí je podobý grafu absolutích četostí, jedá odlšost je v měřítku svslé osy - vz obr. -3. j Procetae Počet mláďat Obr. -3: Sloupcový graf relatvích četostí v procetech Opět vdíme, že relatví četost jsou rozděley mez jedotlvé pozorovaé hodoty, oa jedčka a řádku Celkem v tab. -, která je součtem relatvích četostí, je rozložea podle podílu pozorovaých hodot. Užtečost relatvích četostí ukážeme dále, vz př. -. 3

14 Příklad -: V jé lokaltě byly pozorováy tyto počty mláďat: * x Celkem = 60 Porovejte rozložeí četostí mláďat v obou lokaltách. Pokud bychom zůstal u grafckého zázorěí absolutích četostí, dostaeme graf a obr. -4. Četost se zřetelě lší, ale je teto závěr správý? Četost Počet mláďat Obr. -4: Absolutí četost - srováí dvou skup Procetae Počet mláďat Obr. -5: Relatví četost v procetech - srováí dvou skup Porováme-l relatví četost, dostaeme graf a obr. -5. Vdíme, že rozložeí četostí v obou lokaltách je velm podobé. Prozatím se spokojíme s tímto subjektvím dojmem. Zda velm podobé rozděleí četostí zameá praktcky stejé rozděleí četostí, emůžeme prostředky popsé statstky objektvě 4

15 rozhodout. K tomu potřebujeme zát jé techky, kterým se budeme zabývat v kaptole 4 a také v dalším semestru. O trochu složtější je stuace, kdy se zabýváme rozděleím četostí v souvslost se spojtou velčou - vz př. -3. Příklad -3: Hmotost okurek (v gramech) posbíraých z pokusého záhou byla ásledující: Jaké je rozděleí četostí? Naměřeé údaje můžeme grafcky zázort a číselé ose jako tzv. dagram rozptýleí - obr. -6: Obr. -6: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - dagram rozptýleí Vdíme, že v tervalu mez ejmeší a ejvětší porovaou hodotou jsou aměřeé hodoty růzě husté, s ejvětší hustotou v ašem případě kolem prostředku tervalu, ale graf a obr. -6 přílš přehledý eí, apř. emůžeme rozlšt, zda vyzačeý bod a číselé ose zameá jedu č více aměřeých hodot. Mírého zlepšeí dosáheme tím, že aměřeé body místo a číselou osu zázoríme do obdélíku, ve kterém výšku zobrazovaého bodu volíme áhodě. Dostaeme tak rozmítutý dagram rozptýleí (dot plot)- obr. -7: Obr. -7: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - rozmítutý dagram rozptýleí Ale zobrazeé rozděleí četostí stále eí dost ázoré. Nabízí se však další jedoduchý postup: Vyzačt a číselé ose hrace tervalů, vz obr. -8, a zjstt četost hodot v každém tervalu Obr. -8: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - tervaly 5

16 Dostaeme tak k tervalů (tříd), každý terval má šířku h, dolí hrac l, horí hrac u a svůj střed c. Z obr. -8 je zřejmé, že platí trválí vztahy l + u h h h = u l, c = = l + = u, pro =,,..., k a l = u pro =,3,, k Prozatím jsme se ezabýval tím, jak volt počet a hrace tervalů a kam patří aměřeá hodota, která leží přesě a hrac dvou tervalů. U dskrétí velčy jsme tyto problémy eměl, zde u spojté velčy musíme tato svá subjektví přáí vyslovt, chceme-l aměřeá data rozdělt do tříd podle příslušost k tervalům. Většou se šířka všech tervalů volí shodá, tz. h = h pro =,,, k. Pak hovoříme o ekvdstatím rozděleí tříd (tervalů). Počet tervalů by eměl být a přílš malý (jede terval evypoví o rozděleí četost aměřeých hodot c, dva tervaly málo), a přílš velký (četost aměřeých hodot v tervalech by byly malé a tedy přílš slě ovlvěy áhodým kolísáím). Většou je vhodé volt počet tervalů k ěkde mez 5 a 0 s přhlédutím k počtu aměřeých hodot. V lteratuře lze alézt růzé vztahy, které umožňují určt vhodý počet tervalů, apř. k = + log ( ) + 3,3 log ( ), 0 kde log ( ) zameá logartmus př základu, log 0 ( ) je dekadcký logartmus. Naměřeá hodota ležící a hrac tervalů by mohla být zařazea do kteréhokol z obou sousedících tervalů. Větša programových prostředků, které ám pomáhají třídí uspořádáí dat pohodlěj realzovat, zařazuje hračí bod do levého tervalu, tedy do -tého tervalu patří všechy aměřeé hodoty x j, pro které platí l < x j u. Z obr. -8 pak vdíme, že dolí hrace prvího tervalu l musí být alespoň o trochu meší ež ejmeší pozorovaá hodota x m, tedy l = xm ε, ε > 0. Podobě horí hrace posledího tervalu u k může (ale emusí) být větší ež x max, uk = xmax + ε, ε 0. Pak šířku tervalu h určíme podle vztahu h = u k l k = x + ε ( xm ε ) k max Hodoty ε, ε se většou sažíme volt tak, aby hrace tervalu byly co ejzaokrouhleější číselé hodoty. Předchozí poěkud zdlouhavé odstavce popsovaly jedoduchá přjatelá pravdla k řešeí problémů spojeých s rozděleím hodot spojté velčy do tříd. Nyí se koečě můžeme vrátt k dořešeí příkladu -3. Počet tervalů je k = + 3, 3 log ( 9) 6. Dostaeme tedy ásledující tabulku: 0 6

17 Tab. -3: Data z příkladu -3 uspořádaá do tříd l u c f Celkem Iformac z tab. -3 můžeme přehledě zobrazt grafcky. Pokud prot středům tervalu c vyeseme odpovídající četost a body spojíme úsečkou, dostaeme četostí polygo - obr. -9. č e t o s t hmotost Obr. -9: Četostí polygo Zobrazíme-l četost v tervalech l, u vodorovým úsečkam a vyzačíme sloupce pod těmto úsečkam, dostaeme hstogram, vz obr. -0. Pozor: Pokud ke kresbě hstogramu užjeme Excel, položka Hstogram v doplňku Aalýza dat, dostaeme graf, ve kterém hstogram eí akresle bezvadě. Hstogram zobrazuje rozděleí hodot spojté velčy, proto sloupce emají být odděley mezeram. proto před zařazeím hstogramu do prezetace výsledků je třeba obrázek patřčě upravt. 7

18 abs.čet Hmotost Obr. -0: Hstogram Všměme s také, jak tvar hstogramu je závslý a zvoleém počtu tříd (6 tříd a obr. -0, 5 tříd a obr. -). Hstogram je ejčastěj používaý prostředek pro pops rozděleí četostí hodot spojté velčy. V grafech a obr. -9 až - jsme místo absolutích četostí mohl užít relatví četost f. Tvar grafů by optcky samozřejmě zůstal stejý, jedá odlšost by byla v měřítku svslé osy. Zovu přpomeňme souvslost tvaru hstogramu s hustotou aměřeých hodot zobrazeých a číselé ose. Čím vyšší počet bodů v tervalu (tedy čím je větší jejch hustota), tím je vyšší sloupeček hstogramu - vz obr. -, a kterém je kromě hstogramu rozmítutý dagram rozptýleí: Abs. cetost Hmotost Obr. -: Hstogram a dagram rozptýleí 8

19 Hstogramy ám umožňují prezetovat rozděleí četostí hodot spojté velčy přehledou a sado vímatelou formou - srovej epřehledou řadu čísel v zadáí př. -3 a hstogram a obr. -0 ebo -. Jak už to však v žvotě chodí, zpravdla tím, že ěco získáme, většou ěco ztrácíme. Zpracováím aměřeých hodot do tříd (tab. -3) ztrácíme formac o tom, jak jsou data rozdělea uvtř tervalů. Např. data v tervalech a obr. - a, b vedou ke stejé četost = 6 a v obou případech je tato šestce aměřeých bodů reprezetováa středem tervalu c, což v případě b eí ejpříhodější reprezetat. l c u l c u a) přblžě symetrcké b) slě esymetrcké Obr. -: Rozděleí hodot uvtř tervalů Naštěstí stuace a obr. -b představuje krajost velm esymetrckého rozděleí hodot uvtř tervalu, o které můžeme doufat, že se v emprckých datech evyskytuje přílš často. Na závěr tohoto odstavce ještě potěšující pozámka: Popsaé zpracováí dat do tervalů a jejch grafcké zázorěí formou hstogramů možá vyvolává představu epřměřeé pracost a časové áročost. Máme však k dspozc celou řadu programových prostředků (tabulkové procesory, statstcké programy), které tuto čost velm usadňují a zalost získaé v tomto odstavc by měly usadt jejch ovládáí a porozuměí výsledkům. Shrutí: Pozorovaá data lze zpřehledt uspořádáím do tabulky četostí. Iformace z tabulky můžeme vyjádřt grafcky. Absolutí četost je počet hodot * x, zjštěý v datech. Počet všech pozorovaých údajů je rozděle (rozlože) mez jedotlvé dskrétí pozorovaé hodoty, hovoříme o rozděleí četost. * Relatví četost f je podíl počtu hodot x z celkového počtu všech pozorovaých hodot. Rozděleí spojté velčy můžeme zobrazt hstogramem. Kotrolí otázky:. Vysvětlete pojmy absolutí a relatví četost.. Lze z výšky sloupců hstogramu pozat, kde je hustota aměřeých hodot a číselé ose větší a kde je ízká? Pojmy k zapamatováí: - četost absolutí a relatví - kumulatví četost - sloupcový graf - hustota aměřeých hodot - hstogram 9

20 . Charakterstky polohy Cíl: Po prostudováí této část kaptoly byste měl vědět: co to je charakterstka polohy, základí vlastost artmetckého průměru, další charakterstky polohy, jako medá, modus, co je to kvatl, co je uřezávaý průměr, co je geometrcký průměr a kdy se používá. Průvodce studem: Čas potřebý k prostudováí základího učva této část as 3 hody Charakterstkou polohy rozumíme takovou číselou hodotu, která vysthuje umístěí pozorovaých hodot a číselé ose. Z pohledu a obr. -6 je zřejmé, že to bude ějaké číslo z tervalu x, x. Otázkou je, které číslo z tohoto m tervalu ejlépe charakterzuje polohu pozorovaých hodot a číselé ose a jakým postupem ho určt. Jeda z možostí je polohu dat charakterzovat jejch těžštěm - vz obr. -3. max Obr. -3: Průměr je poloha těžště aměřeých hodot Každou z aměřeých hodot s můžeme představt jako závaží jedotkové hmotost umístěé a dvojzvraté páce v místě, které odpovídá aměřeé hodotě, a hledáme polohu bodu, kolem kterého je tato páka v rovováze. Takovou charakterstkou polohy je průměr (artmetcký průměr), x x = = x (-) Průměr x je taková hodota, která má tu vlastost, že součet odchylek aměřeých hodot od průměru je rove ule (vyjádřeí rovováhy a obr součet mometů se rová ule), ( x x) = 0 = Důkaz: ( x x) = x x = x x = 0. = = = = 0

21 Další vlastost průměru x je to, že suma čtverců (druhých moc) odchylek od průměru je mmálí, tj. suma čtverců odchylek od jé číselé hodoty je větší. Důkaz: Nechť a 0. Pak x + a x. Spočítejme tedy součet čtverců odchylek od čísla x + a : [ x ( x + a )] = ( x x ) a = ( x x ) a ( x x ) + a = = = = = ( x x ) a ( x x ) + a = ( x x ) + a = = Jelkož a je vždycky kladé, je tedy součet čtverců odchylek od průměru mmálí. Jsou-l data uspořádáa v tabulce spolu s četostm (vz odst..), pak průměr můžeme sado spočítat jako x k * k * x fx = =, (-) = = kde je celkový počet aměřeých hodot = k =, k je počet avzájem růzých aměřeých hodot v případě dskrétí velčy ebo počet tervalů v případě spojté velčy (v obou případech je k počet řádků v tabulce četostí) * a jsou absolutí, f relatví četost hodot x v datech. O průměru počítaém podle (-) hovoříme jako o vážeém průměru. Každá hodota je vážea svou četostí, tedy čím větší četost, tím větší vlv a hodotu průměru. Pozorý čteář s jstě povšmul, že v případě, kdy tabulka četostí vzkla uspořádáím hodot spojté velčy do k tervalů, se mohou hodoty průměru * spočítaé podle vztahu (-) a (-) lšt. Do (-) za x dosazujeme hodotu středu -tého tervalu, tedy c, a jak víme, tato hodota emusí být vždy dobrým reprezetatem hodot patřících do -tého tervalu. Podmíkou k tomu, aby vážeý průměr počítaý podle vztahu (-) byl rove průměru (-), tedy přesý, je, aby x = c k = = Naštěstí u většy emprckých dat je rozděleí hodot uvtř tervalu zhruba rovoměré, takže uvedeý vztah bývá splě s dostatečou přesostí a vážeý průměr spočítaý podle (-) se od správé hodoty průměru podle (-) lší epodstatě. Průměr je vhodá charakterstka polohy tehdy, když je pro ás zajímavý součet aměřeých hodot. Příklad -4: Je-l průměrá mzda 6 zaměstaců frmy Kč, pak celková měsíčí vyplaceá částka čí 6 x = Kč. Průměr je však velce ctlvý a odlehlé hodoty (odlehlá hodota je hodota velm vzdáleá od průměru). Představte s, že v předchozím příkladu byly mzdy ašch zaměstaců 7 000, 8 000, 9 000, 000, 000, Pak průměr opravdu je charakterstkou mzdy zaměstaců, když žádý z ch tuto průměr-

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Úvod do teorie měření

Úvod do teorie měření Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304 935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

9. Základní statistické pojmy.

9. Základní statistické pojmy. 9. Základí statstcké pojmy. Úvodí formace Statstka je často představováa jako pouhý sběr čísel ebo jm podobých údajů. Původí výzam toho slova skutečě souvsí se sběrem formací o státu ( z latského status

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Momenty a momentové charakteristiky

Momenty a momentové charakteristiky Lekce 3 Momety a mometové charaktertky Pokud jme e v předešlém výkladu zmňoval o ěkteré tattcké charaktertce, zpravdla jme rověž uváděl, zda j řadíme mez více ebo méě důležté. A byly to právě artmetcký

Více

1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH. as ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít

1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH. as ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH as ke studu kaptoly: mut Cíl: Po prostudováí této kaptoly budete umt použít základí pojmy eploratorí (popsé) statstky typy datových promých statstcké charakterstky a grafckou

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více