ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY"

Transkript

1 UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00

2 OBSAH: ÚVOD CO JE STATISTIKA? STATISTICKÁ DATA MĚŘENÍ A TYPY ŠKÁL... 7 POPISNÁ STATISTIKA.... ČETNOST, ROZDĚLENÍ ČETNOSTI, GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ.... CHARAKTERISTIKY POLOHY CHARAKTERISTIKY VARIABILITY DALŠÍ CHARAKTERISTIKY ROZDĚLENÍ POZOROVANÝCH HODNOT NĚKTERÉ TECHNIKY POPISNÉ STATISTIKY POPIS VZTAHU DVOU VELIČIN PŘÍKLAD STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ DAT ZÁKLADY POČTU PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÝ POKUS, NÁHODNÝ JEV A PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÁ VELIČINA A ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČIN PŘÍKLADY DISKRÉTNÍCH ROZDĚLENÍ PŘÍKLADY SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ O CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTĚ INDUKTIVNÍ STATISTIKA ZÁKLADNÍ POJMY STATISTICKÝ ODHAD TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ LITERATURA - KOMENTOVANÝ SEZNAM INTERAKTIVNÍ UČEBNICE PRO ZÁKLADNÍ KURS STATISTIKY: STATISTICKÉ TABULKY DISTRIBUČNÍ FUNKCE NORMOVANÉHO NORMÁLNÍHO ROZDĚLENÍ VYBRANÉ KVANTILY ROZDĚLENÍ CHÍ-KVADRÁT VYBRANÉ KVANTILY STUDENTOVA T-ROZDĚLENÍ VYBRANÉ KVANTILY FISHEROVA-SNEDECOROVA F-ROZDĚLENÍ... 3

3 Předmluva ke druhému vydáí Úpravy v tomto vydáí vycházejí ze zkušeostí v ěkolkaletém užíváí textu ve výuce. Byly vypuštěy ebo zjedodušey ěkteré úseky, které pro pochopeí základích pojmů ebyly ezbyté. Na ěkolka místech textu byly doplěy lustračí příklady a obrázky. Část kaptoly o testováí hypotéz o středí hodotě (dvouvýběrové a párové t-testy) byla přesuuta do předmětu Aalýza dat, který a předmět Základy matematcké statstky avazuje. Byla přdáa podkaptola.7 s příkladem využtí jedoduchých metod popsé statstky ve vyhodoceí dat o účost čtyř stochastckých algortmů a doplěo vysvětleí a příklady hledáí hodot dstrbučích fukcí a kvatlů pomocí fukcí v Excelu. Kromě toho byly odstraěy ěkteré drobé formálí a typografcké edostatky a byl aktualzová sezam lteratury, zejméa o české khy, učebí texty a elektrocké učebce, které vyšly v posledích létech a jsou vhodé jako doplňující lteratura. Tak sad toto ové upraveé vydáí bude pro studety příjemější a srozumtelější a bude dobrou pomůckou pro pochopeí základích prcpů statstky a jejch aplkac v aalýze dat. 3

4 Úvod Po prostudováí této kaptoly byste měl: vědět, čím se zabývá statstka a jaká data může zpracovávat, rozumět pojmům objekt, velča, datová matce, základí soubor, výběrový soubor, chápat rozdíl mez škálou omálí, ordálí, tervalovou a podílovou. Čas potřebý k prostudováí tohoto modulu je as hody.. Co je statstka? Slovo statstka má původ v mulost vzdáleé ěkolk století. Cítíme v ěm latský základ - status, tedy stav, a také stát - stav věcí veřejých. Nahlédemel do výkladového slovíku ebo do úvodích kaptol učebc statstky, dozvíme se, že "statstka se zabývá studem zákotostí hromadých jevů". Věta je to jstě pozoruhodá, ale epřpraveému čteář moho esděluje. Kromě toho se dočteme v učebcích, že pod pojmem statstka je většou míěa matematcká statstka, což je obor matematky, který se zabývá aplkacem teore pravděpodobost, (což je další obor matematky), a že matematcká statstka hledá správé metody usuzováí z eúplých údajů, zatížeých ještě avíc áhodým kolísáím. Vdíme, že je moho výzamů slova "statstka". Jedím z hlavích cílů tohoto předmětu a tohoto textu je vybudováí základů pro správé pochopeí výzamů slova "statstka" a pro využtí ěkterých statstckých metod pozáváí a chápáí světa, který ás obklopuje, tedy pro statstckou aalýzu dat. Aalýza je opakem sytézy, jak víme z křížovek. Také místo aalýza můžeme užívat české slovo rozbor. Zde můžete teto pojem chápat jako postup rozděleí velkého celku a takové součást, které ám te epřehledý celek pomáhají pochopt a porozumět mu. Data jsou zobrazeím jsté část reálého světa, často bývají vyjádřea číselě. Část světa můžeme zobrazovat růzou formou - jako fotograf, mapu, kresbu - to všecho jsou data. V tomto textu však daty budeme rozumět především zobrazeí do číselých hodot. Příklad -: Fotbalové mužstvo Baíku Ostrava jako jstý výsek z reálého světa může být zobrazeo třeba: skupovou fotografí - tu jstě oceí běžý faoušek, ebo sad ještě více mladá dáma hledající objekt hodý její pozorost, tabulkou, ve které bude u každého hráče zazameá věk, výška, váha, počet odehraých mut a vstřeleých braek v této sezóě, datum ukočeí smlouvy atd. Tato forma dat bude zřejmě užtečější pro realzačí tým zodpovědý za výko mužstva.. Ve statstcké aalýze rozumíme daty je druhou možost, tedy zobrazeí ve formě tabulky. 4

5 . Statstcká data Data jsou jstou formou zobrazeí výseku z reálého světa, který ás obklopuje. Statstckým daty budeme rozumět číselé zobrazeí takového výseku reálého světa, ve kterém se zobrazovaé objekty vyskytují hromadě, tz. že růzí jedc (objekty) patřící do stejé kategore, kterou umíme jasě určt, se objevují vícekrát. Příklad -: Několk příkladů výseků z reálého světa s hromadým výskytem objektů: a) ryby v přehradí ádrž Šace, b) jabloě v ovocé zahradě paa Nováka, c) občaé České republky k. ledu 008. Takové výseky z reálého světa, které zahrují více objektů majících ějakou společou vlastost, a tedy patří do stejé kategore, azýváme populace. Výše uvedeé příklady byly tedy příklady populací. Zobrazeím buď všech ebo je ěkterých objektů populace vzkají statstcká data. Ačkolv u každého z uvedeých příkladů ás budou zajímat zcela jé vlastost sledovaých objektů, třeba v příkladu -: a) druh, délka, hmotost, velkost šup apod., b) stáří stromu a úroda v loňském roce vyjádřeá v klogramech. Každé z těchto zobrazeí bude mít stejou strukturu, strukturu tabulky, ve které každý sloupec zameá jedu sledovaou vlastost (velču) a každý řádek odpovídá jedomu objektu. velča_ velča_... velča_ j... velča_p objekt_ x x x p objekt_ x x x p objekt_... x j objekt_ x x x p Tabulka -: Obvyklá struktura statstckých dat Uvtř tabulky jsou číselé hodoty velč zjštěé a každém ze sledovaých objektů. Každý sloupec tabulky může být adepsá jméem měřeé velčy, každý řádek lze ozačt tak, abychom jedozačě pozal, kterému objektu je teto řádek přřaze. 5

6 Příklad -3: Data z příkladu - b) - jabloě paa Nováka, má-l všech svých 5 jabloí ozačeo čísly a jsou-l sledováy dvě velčy, totž stáří jabloě a možství sklzeých jablek - mohou vypadat takto: jabloň stáří (roky) sklzeň (kg) Tabulka -: Příklad statstckých dat Tabulka je základí a ejčastější strukturou statstckých dat jako obrazu jsté část reálého světa. Její výhodou je to, že z í sado rozpozáme, čeho je obrazem. Nevýhodou může být její velký rozsah, a tím epřehledost, apř. tabulka z příkladu - c) by měla více ež deset mlóů řádků. Právě zpracováí formací z takových rozsáhlých tabulek do přehledější formy je jedím z úkolů statstcké aalýzy dat. Číselé hodoty uvtř tabulky tvoří datovou strukturu o řádcích a p sloupcích, která se v matematce azývá matce. Proto se ěkdy o datech v tabulce hovoří jako o datové matc. Sloupce tabulky jsme dosud ozačoval jako velčy. Někdy jsou však také ozačováy jako zak, proměá (aglcky varable) a v ěkterých vymezeých souvslostech celou řadou dalších ázvů. Podobě pro objekty exstuje možství syoym: jedec, (statstcké) dvduum, případ (aglcky case) atp. Protože však už rozumíme klíčovému koceptu, tj. statstckým datům ve struktuře tabulky, emůže ás tato adbytečá pestrost ázvosloví jak zmást. Je však uté rozlšovat jede velce podstatý rozdíl mez daty, která zobrazují všechy objekty z populace a daty, která zobrazují jeom část objektů populace. V případě, že data jsou obrazem celé populace, se tato data ozačují jako základí soubor. Aalýzou základího souboru můžeme získat přehleděj a úsporěj uspořádaý pops dat, a tím srozumtelější pops sledovaého výseku reálého světa, číselé hodoty parametrů populace. Takový postup ozačujeme jako popsou (deskrptví) statstku. Základí soubor eí vždy k dspozc. Třeba může být populace velce rozsáhlá a změřt všechy objekty je časově ebo fačě eúosé ebo je dokoce takové měřeí emožé. Např. měřeí je destruktví, jako je třeba tlaková zkouška chel a základí soubor můžeme získat je tím, že v měřícím lsu rozdrtíme všechy vyrobeé chly. Tím bychom sce získal základí soubor, ale př tom bychom zčl tu část reálého světa, kterou má zobrazovat, a formace ze základího souboru už by přestaly být zajímavé. 6

7 Někdy data tedy zobrazují je část objektů populace, avšak my bychom s rád učl obraz o celé populac, o jejích parametrech. Je to podobá stuace, jako když z ěkolka útržků fotografe s chceme udělat obraz o krajě, která byla zachycea a celé fotograf. Je zřejmé, že aše úspěšost v tomto úslí bude závset a tom, zda a útržcích budou přítomy všechy podstaté rysy krajy, a také a tom, zda budeme správě usuzovat (odhadovat) z jedotlvostí a vlastost celku. Ve statstcké aalýze se taková část populace azývá výběr a jeho zobrazeí do dat výběrový soubor. Z výběrového souboru samozřejmě emůžeme určt parametry populace, protože emáme o populac úplou formac, ale pouze odhady parametrů populace. Metody správého usuzováí z výběru a populac, kdy z formací o část usuzujeme a celek a ze specálího a obecé, ám poskytuje matematcká statstka. Postup se ozačuje jako statstcká dukce a aplkace takových metod se azývají duktví statstka. Pojmy, s mž jste se sezáml v této kaptole, lze přehledě shrout, jak je ukázáo v tabulce -3. Tabulka -3: Přehled pojmů týkajících se statstckých dat všechy objekty je část objektů realta populace výběr data základí soubor výběrový soubor charakterstky parametry odhady (parametrů) metody deskrptví statstka duktví statstka.3 Měřeí a typy škál K číselému vyjadřováí vlastostí (a tezty vlastostí) jedců, tedy ke kvatfkac, slouží růzé techky měřeí. Měřeím zjstíme pro jstý objekt číselou hodotu sledovaé velčy, tím vlastě vytvoříme obraz objektu a číselé ose. Pokud chceme pozávat reálý svět z jeho obrazů (většou se ám c lepšího eabízí), je jstě uté, aby svět byl zobrazová ezkresleě. Měřící procedury musí mít řadu jasě defovaých vlastostí, jako reprodukovatelost, ověřtelost atd. Výsledky měřeí se vyjadřují číselým hodotam měřící stupce, tzv. škály. Škálou jsou vymezey všechy možé hodoty, které měřeá velča může abývat. Podle typu škály jsou defováy vztahy mez hodotam a škále. Rozezáváme čtyř typy škál, a tedy čtyř druhy měřeých velč (zaků). Uvedeme je v pořadí od ejhrubější, posthující ejméě detalů, po ejjemější typ škály. Nomálí škála klasfkuje objekty do určtých předem vymezeých tříd č kategorí. Hodoty v omálí škále se dají vyjádřt slově a mez růzým hodotam eí defováo žádé uspořádáí. Pokud jsou hodoty omálí škály ěkdy ozačováy číselě, mějte a pamět, že toto číslo je pouze jakous zkrat- 7

8 kou (kódem) sloví hodoty *. O velčách měřeých v omálí škále hovoříme jako o omálích velčách. Příklad -4: V omálí škále se vyjadřují hodoty velč, jako jsou apř.: pohlaví (s možým hodotam mužské, žeské), barva očí (modrá, hědá, čerá), výsledek léčby (uzdrave, zemřel), árodost (česká, sloveská, polská, ěmecká,...). Ordálí (pořadová) škála umožňuje jedce podle sledovaé vlastost eje rozlšovat, ale také uspořádat ve smyslu vztahů "je větší", "je meší" ebo "předchází", "ásleduje", až by však byla schopa vyjádřt číselě vzdáleost mez větším a meším č mez předcházejícím a ásledujícím. Velčy měřeé v ordálích škálách se azývají ordálí velčy. Nomálí a ordálí velčy jsou souhrě ozačováy jako kategorálí. Příklad -5: V ordálí škále se měří zaky jako dosažeé vzděláí (základí, středí, vysokoškolské), prospěch ve školím předmětu (výborě, velm dobře, dobře, evyhověl), důstojcká hodost (podporučík, poručík, adporučík, kaptá,...), stav paceta (vyléče, remse, recdva), hodoceí fukce techckých zařízeí (stupě závažost poruchy jaderé elektráry), ohrožeí povodí (stupě povodňové aktvty), hodoceí postojů v socologckých průzkumech (škála má hodoty apř. souhlasím, spíše souhlasím, spíše esouhlasím, esouhlasím), četost výskytu (často, občas, zřídka, kdy), chuť vía ebo jé požvaty podle degustátora atd. Na ordálí škále se ěkdy měří velčy měřtelé kvattatvě jemějším škálam, pokud rozlšeí ordálí škálou postačuje, apř. postava člověka může být malá, středí ebo velká. Itervalová (rozdílová) škála avíc umožňuje staovt vzdáleost mez hodotam měřeé velčy. Je tedy oprot ordálí škále bohatší. Itervalová škála má defováu jedotku měřeí, avšak ula byla defováa s jstou lbovůlí. Dovoluje proto počítat s rozdíly aměřeých hodot, kolv s jejch podíly. Příklad -6: Typckou velčou měřeou v tervalové škále je teplota. Růzé teplotí škály (Celsova, Fahrehetova) mají růzě položeé uly (0 stupňů Celsa = 3 stupňů * Současé programy pro statstckou aalýzu dat většou evyžadují, aby data byla homogeí datová struktura, tedy matce s pouze číselým hodotam, a umí správě pracovat s daty, kde hodoty omálích velč jsou zakové řetězce. 8

9 Fahreheta) a také rozdílé jedotky (jedotka Celsovy stupce =.8 jedotek Fahrehetovy stupce). Má-l těleso teplotu C stupňů Celsa, je zároveň teplé (3+.8 C) stupňů Fahreheta. Teploty dvou těles, lšících se o d stupňů Celsa, se zároveň lší o.8 d stupňů Fahreheta, bez ohledu a to, v které část stupce se tyto hodoty acházejí. Podíly teplot však tuto stálost ezachovávají. Např. dvojásobému zvýšeí teploty z 0 a 0 stupňů Celsa odpovídá ve stupc Fahrehetově zvýšeí.36 krát (z 50 a 68 stupňů), zatímco dvojásobému zvýšeí teploty z 0 a 40 stupňů Celsa odpovídá ve stupc Fahrehetově zvýšeí.53 krát (ze 68 a 04 stupě). Podílová škála zachovává eje rozdíly (tervaly) mez hodotam, ale také podíly hodot, eboť má ulu staoveu absolutě a jedozačě. Velčy měřeé v podílové škále mohou abývat pouze kladých hodot. Velčám měřeým v podílové škále se říká také kardálí velčy. Příklad -7: Podílovou škálou je apř. Kelvova teplotí stupce, v íž všechy aměřeé teploty jsou kladé, tzv. absolutí ula, tj. hodota 0º K je fyzkálě edosažtelá. V podílových škálách se měří apř. rozměry, objem a hmotost těles, kocetrace, kapacty, fyzkálí vlastost materálu, doba trváí ějakého děje, počet mkroorgasmů ve vzorku vody, počet elemetů ve vzorku krve atd. Velčy měřeé tervalovou ebo podílovou škálou se azývají metrcké. Př zpracováí metrckých dat většou tyto velčy považujeme za spojté, jako kdyby mohly abývat kteroukol hodotu z číselého tervalu daého škálou, když př praktckém měřeí tomu tak eí, vz výše uvedeé příklady, kdy hodota se určuje ačítáím, a tedy může být je celočíselá. Dokoce u velč, které prcpálě spojté jsou, jako délka ebo čas, musíme př praktckém měřeí volt koečou jedotku rozlšeí, takže tyto velčy se měří a dskrétí (espojté) škále. Přesto však př statstckém zpracováí většou můžeme užívat pro metrcké velčy postupy matematcky odvozeé pro velčy spojté. Pro omálí a ordálí velčy se aopak užívají techky odvozeé pro velčy dskrétí, tj. velčy abývající je určté od sebe vzdáleé hodoty. Obvykle takových možých hodot espojté velčy bývá je evelký počet. Shrutí Data jsou zobrazeím část reálého světa, většou jsou vyjádřea číselě. Základí soubor jsou data zobrazující celou populac. Jeho aalýzou získáme přehleděj uspořádaý pops dat. Takový postup se ozačuje jako popsá (deskrptví) statstka. Výběrový soubor jsou data zobrazující pouze část populace. Z výběrového souboru emůžeme určt parametry populace, pouze jejch odhady. Metody správého usuzováí z výběru a populac, poskytuje matematcká statstka. 9

10 K číselému vyjadřováí vlastostí jedců (objektů) slouží měřeí. Měřeím zjstíme pro jstý objekt číselou hodotu sledovaé velčy, tím vytvoříme obraz objektu a číselé ose. Škálou jsou vymezey všechy možé hodoty, které měřeá velča může abývat. Podle typu škály jsou defováy vztahy mez hodotam a škále. Nomálí škála klasfkuje objekty do určtých předem vymezeých kategorí. Mez růzým hodotam eí defováo žádé uspořádáí. O velčách měřeých v omálí škále hovoříme jako o omálích velčách. Ordálí (pořadová) škála umožňuje jedce podle sledovaé vlastost eje rozlšovat, ale také uspořádat ve smyslu vztahů "je větší", "je meší" ebo "předchází", "ásleduje", až by však byla schopa vyjádřt číselě vzdáleost mez větším a meším č mez předcházejícím a ásledujícím. Velčy měřeé v ordálích škálách se azývají ordálí velčy. Nomálí a ordálí velčy jsou souhrě ozačováy jako kategorálí. Itervalová škála umožňuje staovt vzdáleost mez hodotam měřeé velčy. Má defováu jedotku měřeí. Dovoluje počítat s rozdíly aměřeých hodot, kolv s jejch podíly. Podílová škála zachovává eje rozdíly (tervaly) mez hodotam, ale také podíly hodot, eboť má ulu staoveu absolutě a všechy aměřeé hodoty jsou kladé. Velčy měřeé tervalovou ebo podílovou škálou se azývají metrcké. Př zpracováí metrckých dat většou tyto velčy považujeme za spojté. Pro omálí a ordálí velčy se užívají techky pro velčy dskrétí. Kotrolí otázky:. Co je ejobvyklejší datová struktura v aalýze dat?. Jaký výzam mají v tabulce řádky a sloupce? 3. Charakterzujte pojmy základí soubor, výběrový soubor. 4. Vysvětlete rozdíl mez škálou omálí, ordálí, tervalovou a podílovou. Pojmy k zapamatováí: - statstcká data - objekt, velča - škála - základí soubor - výběrový soubor - deskrptví statstka - duktví statstka 0

11 Popsá statstka Tato kaptola je poměrě obsáhlá, proto se dělí do více částí. K prostudováí celé této kaptoly budete potřebovat as 0- hod. Studum vám ulehčí četé lustratví příklady. K této kaptole se váže prví korespodečí úkol.. Četost, rozděleí četost, grafcké zázorěí Cíl: Po prostudováí této část kaptoly byste měl umět: chápat rozdíly mez absolutí a relatví četostí, chápat, co je kumulatví četost, grafcky zázort rozděleí četost. Průvodce studem: Čas potřebý k prostudováí základího učva této část je as 4 hody. Nejprve se zabývejme dskrétím velčam. Příklad. -: Pozorováím hízd jstého druhu ptáků ve vymezeé lokaltě byly zjštěy ásledující počty mláďat v jedotlvých hízdech, tj. hodoty x, j =,,, : 3, 4, 3, 5,, 3, 4,, 3, 5, 3, 4,, 5, 3, 3, 3, 4, 5,,,, 3, 3, 4, 4,3, 3, 4, 4 Uvedeá řada 30 čísel obsahuje všechy pozorovaé formace, ale jejch vímáí je dost obtížé. Porovaé údaje však můžeme sado zpřehledt. Uspořádejme data do ásledující tabulky, kde je pořadové číslo, tj. dex řádku tabulky, x je pozorovaá hodota, je počet hodot x. * Tab. -. Absolutí četost hodot * x Celkem = 30 Tabulka obsahuje všechy formace jako řada čísel ve výše uvedeém příkladu (s výjmkou pořadí, ve kterém byly hodoty zazameáy), ale je pro vímáí podstatě sadější. Navíc formace z tab. - můžeme sado vyjádřt grafcky, apř. tak, že pro každou hodotu x * zázoríme hodotu výškou sloupečku (obr. -). * j

12 Četost Počet mláďat Obr. -: Sloupcový graf (bar plot) Někdy se užívají pro grafcké zázorěí četost také výsečové grafy (pe plots), v chž je četost zázorěa plochou kruhové výseče (obr. -). Tyto grafy mají v oblbě zejméa ovář, v barevých varatách vypadají efektě. Jsou však méě formatví ež sloupcové grafy, a proto se pokud možo jejch užíváí v serózích prezetacích vyhěte Obr. -: Výsečový graf četost počtu mláďat Hodoty azýváme absolutím četostm. Přívlastek absolutí bývá často * vyechává, takže slyšíme-l četost, chápeme to jako počet hodot x zjštěý v datech, tedy absolutí četost. Vdíme, že celkový počet všech pozorovaých údajů je rozděle (rozlože) mez jedotlvé dskrétí pozorovaé hodoty. Můžeme tedy hovořt o rozděleí četost. Platí trválí vztah = k =, kde k je počet růzých hodot x zjštěých v datech. V uvedeém příkladu je k = 4. Tab. - můžeme yí dále rozšířt - vz tab. -.

13 Tab. -: Relatví a kumulatví četost * x f N F 6 6/30 = /30 = /30 = /30 = Celkem 30 30/30 = Tím jsme se dostal k dalším možostem vyjadřováí četostí. Symbol f ozačuje relatví četost defovaou jako f =, * což představuje podíl počtu hodot x v celkovém počtu všech pozorovaých hodot. Ve sloupečku N jsou kumulatví absolutí četost, ve sloupečku F pak kumulatví relatví četost. Relatví kumulatví četost F je defováa jako podíl všech hodot x j *, pro které platí x x. Spočítá se tak, že sečteme všechy relatví četost až do řádku. Formálě to můžeme zapsat F = j= f j. Je zřejmé, že f = F F. Aalogcké vztahy platí pro absolutí kumulatví N četost. Platí, že F =. Graf relatvích četostí je podobý grafu absolutích četostí, jedá odlšost je v měřítku svslé osy - vz obr. -3. j Procetae Počet mláďat Obr. -3: Sloupcový graf relatvích četostí v procetech Opět vdíme, že relatví četost jsou rozděley mez jedotlvé pozorovaé hodoty, oa jedčka a řádku Celkem v tab. -, která je součtem relatvích četostí, je rozložea podle podílu pozorovaých hodot. Užtečost relatvích četostí ukážeme dále, vz př. -. 3

14 Příklad -: V jé lokaltě byly pozorováy tyto počty mláďat: * x Celkem = 60 Porovejte rozložeí četostí mláďat v obou lokaltách. Pokud bychom zůstal u grafckého zázorěí absolutích četostí, dostaeme graf a obr. -4. Četost se zřetelě lší, ale je teto závěr správý? Četost Počet mláďat Obr. -4: Absolutí četost - srováí dvou skup Procetae Počet mláďat Obr. -5: Relatví četost v procetech - srováí dvou skup Porováme-l relatví četost, dostaeme graf a obr. -5. Vdíme, že rozložeí četostí v obou lokaltách je velm podobé. Prozatím se spokojíme s tímto subjektvím dojmem. Zda velm podobé rozděleí četostí zameá praktcky stejé rozděleí četostí, emůžeme prostředky popsé statstky objektvě 4

15 rozhodout. K tomu potřebujeme zát jé techky, kterým se budeme zabývat v kaptole 4 a také v dalším semestru. O trochu složtější je stuace, kdy se zabýváme rozděleím četostí v souvslost se spojtou velčou - vz př. -3. Příklad -3: Hmotost okurek (v gramech) posbíraých z pokusého záhou byla ásledující: Jaké je rozděleí četostí? Naměřeé údaje můžeme grafcky zázort a číselé ose jako tzv. dagram rozptýleí - obr. -6: Obr. -6: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - dagram rozptýleí Vdíme, že v tervalu mez ejmeší a ejvětší porovaou hodotou jsou aměřeé hodoty růzě husté, s ejvětší hustotou v ašem případě kolem prostředku tervalu, ale graf a obr. -6 přílš přehledý eí, apř. emůžeme rozlšt, zda vyzačeý bod a číselé ose zameá jedu č více aměřeých hodot. Mírého zlepšeí dosáheme tím, že aměřeé body místo a číselou osu zázoríme do obdélíku, ve kterém výšku zobrazovaého bodu volíme áhodě. Dostaeme tak rozmítutý dagram rozptýleí (dot plot)- obr. -7: Obr. -7: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - rozmítutý dagram rozptýleí Ale zobrazeé rozděleí četostí stále eí dost ázoré. Nabízí se však další jedoduchý postup: Vyzačt a číselé ose hrace tervalů, vz obr. -8, a zjstt četost hodot v každém tervalu Obr. -8: Zázorěí aměřeých hodot spojté velčy - tervaly 5

16 Dostaeme tak k tervalů (tříd), každý terval má šířku h, dolí hrac l, horí hrac u a svůj střed c. Z obr. -8 je zřejmé, že platí trválí vztahy l + u h h h = u l, c = = l + = u, pro =,,..., k a l = u pro =,3,, k Prozatím jsme se ezabýval tím, jak volt počet a hrace tervalů a kam patří aměřeá hodota, která leží přesě a hrac dvou tervalů. U dskrétí velčy jsme tyto problémy eměl, zde u spojté velčy musíme tato svá subjektví přáí vyslovt, chceme-l aměřeá data rozdělt do tříd podle příslušost k tervalům. Většou se šířka všech tervalů volí shodá, tz. h = h pro =,,, k. Pak hovoříme o ekvdstatím rozděleí tříd (tervalů). Počet tervalů by eměl být a přílš malý (jede terval evypoví o rozděleí četost aměřeých hodot c, dva tervaly málo), a přílš velký (četost aměřeých hodot v tervalech by byly malé a tedy přílš slě ovlvěy áhodým kolísáím). Většou je vhodé volt počet tervalů k ěkde mez 5 a 0 s přhlédutím k počtu aměřeých hodot. V lteratuře lze alézt růzé vztahy, které umožňují určt vhodý počet tervalů, apř. k = + log ( ) + 3,3 log ( ), 0 kde log ( ) zameá logartmus př základu, log 0 ( ) je dekadcký logartmus. Naměřeá hodota ležící a hrac tervalů by mohla být zařazea do kteréhokol z obou sousedících tervalů. Větša programových prostředků, které ám pomáhají třídí uspořádáí dat pohodlěj realzovat, zařazuje hračí bod do levého tervalu, tedy do -tého tervalu patří všechy aměřeé hodoty x j, pro které platí l < x j u. Z obr. -8 pak vdíme, že dolí hrace prvího tervalu l musí být alespoň o trochu meší ež ejmeší pozorovaá hodota x m, tedy l = xm ε, ε > 0. Podobě horí hrace posledího tervalu u k může (ale emusí) být větší ež x max, uk = xmax + ε, ε 0. Pak šířku tervalu h určíme podle vztahu h = u k l k = x + ε ( xm ε ) k max Hodoty ε, ε se většou sažíme volt tak, aby hrace tervalu byly co ejzaokrouhleější číselé hodoty. Předchozí poěkud zdlouhavé odstavce popsovaly jedoduchá přjatelá pravdla k řešeí problémů spojeých s rozděleím hodot spojté velčy do tříd. Nyí se koečě můžeme vrátt k dořešeí příkladu -3. Počet tervalů je k = + 3, 3 log ( 9) 6. Dostaeme tedy ásledující tabulku: 0 6

17 Tab. -3: Data z příkladu -3 uspořádaá do tříd l u c f Celkem Iformac z tab. -3 můžeme přehledě zobrazt grafcky. Pokud prot středům tervalu c vyeseme odpovídající četost a body spojíme úsečkou, dostaeme četostí polygo - obr. -9. č e t o s t hmotost Obr. -9: Četostí polygo Zobrazíme-l četost v tervalech l, u vodorovým úsečkam a vyzačíme sloupce pod těmto úsečkam, dostaeme hstogram, vz obr. -0. Pozor: Pokud ke kresbě hstogramu užjeme Excel, položka Hstogram v doplňku Aalýza dat, dostaeme graf, ve kterém hstogram eí akresle bezvadě. Hstogram zobrazuje rozděleí hodot spojté velčy, proto sloupce emají být odděley mezeram. proto před zařazeím hstogramu do prezetace výsledků je třeba obrázek patřčě upravt. 7

18 abs.čet Hmotost Obr. -0: Hstogram Všměme s také, jak tvar hstogramu je závslý a zvoleém počtu tříd (6 tříd a obr. -0, 5 tříd a obr. -). Hstogram je ejčastěj používaý prostředek pro pops rozděleí četostí hodot spojté velčy. V grafech a obr. -9 až - jsme místo absolutích četostí mohl užít relatví četost f. Tvar grafů by optcky samozřejmě zůstal stejý, jedá odlšost by byla v měřítku svslé osy. Zovu přpomeňme souvslost tvaru hstogramu s hustotou aměřeých hodot zobrazeých a číselé ose. Čím vyšší počet bodů v tervalu (tedy čím je větší jejch hustota), tím je vyšší sloupeček hstogramu - vz obr. -, a kterém je kromě hstogramu rozmítutý dagram rozptýleí: Abs. cetost Hmotost Obr. -: Hstogram a dagram rozptýleí 8

19 Hstogramy ám umožňují prezetovat rozděleí četostí hodot spojté velčy přehledou a sado vímatelou formou - srovej epřehledou řadu čísel v zadáí př. -3 a hstogram a obr. -0 ebo -. Jak už to však v žvotě chodí, zpravdla tím, že ěco získáme, většou ěco ztrácíme. Zpracováím aměřeých hodot do tříd (tab. -3) ztrácíme formac o tom, jak jsou data rozdělea uvtř tervalů. Např. data v tervalech a obr. - a, b vedou ke stejé četost = 6 a v obou případech je tato šestce aměřeých bodů reprezetováa středem tervalu c, což v případě b eí ejpříhodější reprezetat. l c u l c u a) přblžě symetrcké b) slě esymetrcké Obr. -: Rozděleí hodot uvtř tervalů Naštěstí stuace a obr. -b představuje krajost velm esymetrckého rozděleí hodot uvtř tervalu, o které můžeme doufat, že se v emprckých datech evyskytuje přílš často. Na závěr tohoto odstavce ještě potěšující pozámka: Popsaé zpracováí dat do tervalů a jejch grafcké zázorěí formou hstogramů možá vyvolává představu epřměřeé pracost a časové áročost. Máme však k dspozc celou řadu programových prostředků (tabulkové procesory, statstcké programy), které tuto čost velm usadňují a zalost získaé v tomto odstavc by měly usadt jejch ovládáí a porozuměí výsledkům. Shrutí: Pozorovaá data lze zpřehledt uspořádáím do tabulky četostí. Iformace z tabulky můžeme vyjádřt grafcky. Absolutí četost je počet hodot * x, zjštěý v datech. Počet všech pozorovaých údajů je rozděle (rozlože) mez jedotlvé dskrétí pozorovaé hodoty, hovoříme o rozděleí četost. * Relatví četost f je podíl počtu hodot x z celkového počtu všech pozorovaých hodot. Rozděleí spojté velčy můžeme zobrazt hstogramem. Kotrolí otázky:. Vysvětlete pojmy absolutí a relatví četost.. Lze z výšky sloupců hstogramu pozat, kde je hustota aměřeých hodot a číselé ose větší a kde je ízká? Pojmy k zapamatováí: - četost absolutí a relatví - kumulatví četost - sloupcový graf - hustota aměřeých hodot - hstogram 9

20 . Charakterstky polohy Cíl: Po prostudováí této část kaptoly byste měl vědět: co to je charakterstka polohy, základí vlastost artmetckého průměru, další charakterstky polohy, jako medá, modus, co je to kvatl, co je uřezávaý průměr, co je geometrcký průměr a kdy se používá. Průvodce studem: Čas potřebý k prostudováí základího učva této část as 3 hody Charakterstkou polohy rozumíme takovou číselou hodotu, která vysthuje umístěí pozorovaých hodot a číselé ose. Z pohledu a obr. -6 je zřejmé, že to bude ějaké číslo z tervalu x, x. Otázkou je, které číslo z tohoto m tervalu ejlépe charakterzuje polohu pozorovaých hodot a číselé ose a jakým postupem ho určt. Jeda z možostí je polohu dat charakterzovat jejch těžštěm - vz obr. -3. max Obr. -3: Průměr je poloha těžště aměřeých hodot Každou z aměřeých hodot s můžeme představt jako závaží jedotkové hmotost umístěé a dvojzvraté páce v místě, které odpovídá aměřeé hodotě, a hledáme polohu bodu, kolem kterého je tato páka v rovováze. Takovou charakterstkou polohy je průměr (artmetcký průměr), x x = = x (-) Průměr x je taková hodota, která má tu vlastost, že součet odchylek aměřeých hodot od průměru je rove ule (vyjádřeí rovováhy a obr součet mometů se rová ule), ( x x) = 0 = Důkaz: ( x x) = x x = x x = 0. = = = = 0

21 Další vlastost průměru x je to, že suma čtverců (druhých moc) odchylek od průměru je mmálí, tj. suma čtverců odchylek od jé číselé hodoty je větší. Důkaz: Nechť a 0. Pak x + a x. Spočítejme tedy součet čtverců odchylek od čísla x + a : [ x ( x + a )] = ( x x ) a = ( x x ) a ( x x ) + a = = = = = ( x x ) a ( x x ) + a = ( x x ) + a = = Jelkož a je vždycky kladé, je tedy součet čtverců odchylek od průměru mmálí. Jsou-l data uspořádáa v tabulce spolu s četostm (vz odst..), pak průměr můžeme sado spočítat jako x k * k * x fx = =, (-) = = kde je celkový počet aměřeých hodot = k =, k je počet avzájem růzých aměřeých hodot v případě dskrétí velčy ebo počet tervalů v případě spojté velčy (v obou případech je k počet řádků v tabulce četostí) * a jsou absolutí, f relatví četost hodot x v datech. O průměru počítaém podle (-) hovoříme jako o vážeém průměru. Každá hodota je vážea svou četostí, tedy čím větší četost, tím větší vlv a hodotu průměru. Pozorý čteář s jstě povšmul, že v případě, kdy tabulka četostí vzkla uspořádáím hodot spojté velčy do k tervalů, se mohou hodoty průměru * spočítaé podle vztahu (-) a (-) lšt. Do (-) za x dosazujeme hodotu středu -tého tervalu, tedy c, a jak víme, tato hodota emusí být vždy dobrým reprezetatem hodot patřících do -tého tervalu. Podmíkou k tomu, aby vážeý průměr počítaý podle vztahu (-) byl rove průměru (-), tedy přesý, je, aby x = c k = = Naštěstí u většy emprckých dat je rozděleí hodot uvtř tervalu zhruba rovoměré, takže uvedeý vztah bývá splě s dostatečou přesostí a vážeý průměr spočítaý podle (-) se od správé hodoty průměru podle (-) lší epodstatě. Průměr je vhodá charakterstka polohy tehdy, když je pro ás zajímavý součet aměřeých hodot. Příklad -4: Je-l průměrá mzda 6 zaměstaců frmy Kč, pak celková měsíčí vyplaceá částka čí 6 x = Kč. Průměr je však velce ctlvý a odlehlé hodoty (odlehlá hodota je hodota velm vzdáleá od průměru). Představte s, že v předchozím příkladu byly mzdy ašch zaměstaců 7 000, 8 000, 9 000, 000, 000, Pak průměr opravdu je charakterstkou mzdy zaměstaců, když žádý z ch tuto průměr-

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH. as ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít

1 EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH. as ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít EXPLORATORNÍ ANALÝZA PROMNNÝCH as ke studu kaptoly: mut Cíl: Po prostudováí této kaptoly budete umt použít základí pojmy eploratorí (popsé) statstky typy datových promých statstcké charakterstky a grafckou

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

4. Strojové učení. 4.1 Základní pojmy

4. Strojové učení. 4.1 Základní pojmy 4. Stroové učeí 4. Základí pomy Důležtou vlastostí žvých orgasmů e schopost přzpůsobovat se měícím se podmíkám (adaptovat se), evetuálě se učt a základě vlastích zkušeostí. Schopost učt se bývá ěkdy dokoce

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

C V I Č E N Í 4 1. Představení firmy Splintex Czech 2. Vlastnosti skla a skloviny 3. Aditivita 4. Příklady výpočtů

C V I Č E N Í 4 1. Představení firmy Splintex Czech 2. Vlastnosti skla a skloviny 3. Aditivita 4. Příklady výpočtů Techologe skla 00/03 C V I Č E N Í 4. Představeí rmy pltex Czech. Vlastost skla a sklovy 3. Adtvta 4. Příklady výpočtů Hospodářská akulta. Představeí rmy pltex Czech a.s. [,] Frma pltex Czech je součástí

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu.

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu. Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cveí 4 JEDNODUCHÁ LINEÁRNÍ REGRESE asto chceme prozkoumat vztah mez dvma velam, kde jeda z ch, tzv. ezávsle promá x, má ovlvovat druhou, tzv. závsle promou Y. edpokládá

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.)

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.) Aktvta Semář základů tattky a workhop (Prof. Ig. Mla Palát, CSc., Ig. Krta Somerlíková, Ph.D.) Stattcké tříděí Základí metoda tattckého zpracováí. Sekupováí hodot proměé, které jou z hledka klafkačího

Více

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC Jří HŘEBÍČEK, Mchal HEJČ, Jaa SOUKOPOVÁ ECO-Maagemet,

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

VŠB Technická univerzita Ostrava DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK

VŠB Technická univerzita Ostrava DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK VŠB Techcká uverzta Ostrava Fakulta elektrotechky a formatky DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO HODNOCENÍ CHIRURGICKÝCH RIZIK Dzertačí práce Studjí obor: Školtel: Doktoradka: Výpočetí a aplkovaá matematka

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST Studjí obor (kód a ázev): -4-M/00 Strojíreství - - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště,

Více

Statistické zpracování dat

Statistické zpracování dat Bakoví sttut vysoká škola Praha Katedra IT Statstcké zpracováí dat Bakalářská práce Autor: Ja Culka Iformačí techologe, Maaţer projektů Vedoucí práce: Mgr. Olga Procházková Praha Červe, 00 Prohlášeí: Prohlašuj,

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více