11. STUDIUM JEVŮ GEOMETRICKÉ A VLNOVÉ OPTIKY POMOCÍ CENTIMETROVÝCH VLN

Transkript

1 8 11. STUDIUM JEVŮ GEOMETRICKÉ A VLNOVÉ OPTIKY POMOCÍ CENTIMETROVÝCH VLN Měřicí potřeby: 1) Guova dioda s vysílací trychtýřovou atéou ) apájecí zdroj pro Guovu diodu 3) přijímací atéa 4) polovodičová dioda jako detektor 5) voltmetr 6) příslušeství pro měřeí odrazu, lomu, iterferece atd. Obecá část: Záko odrazu a záko lomu (Sellův) patří k základím zákoům geometrické (paprskové) optiky. Oba lze odvodit z Fermatova pricipu: Světlo se šíří z jedoho bodu prostoru do druhého po takové dráze, aby doba potřebá k jejímu proběhutí byla extrémí buď kratší ebo delší ež u jakékoli sousedí dráhy. Dopadá-li paprsek a rozhraí dvou prostředí, dělí se a paprsek odražeý a paprsek lomeý (prošlý). Mezi úhlem dopadu α a úhlem odrazu α resp. úhlem lomu β platí vztahy: 1 α = α (záko odrazu), (1) siα c = = 1 (záko lomu), () si β 1 c kde i je idex lomu prostředí defiovaý jako poměr rychlosti šířeí světla ve vakuu a rychlosti šířeí v daém prostředí c i. (Často je jedím prostředím vzduch, pro který Obr. 1 Odraz a lom =& 1) pro případ > 1 Některé optické jevy elze vysvětlit v rámci geometrické optiky, která je založea a ezávislosti paprsků. Mezi ejzámější patří ohyb a iterferece. K jejich vysvětleí je potřeba obecější, vlové teorie, kterou zavedl Ch. Huyges v roce Světlo se šíří ve formě vl, které se ve vakuu pohybují kostatí rychlostí c 0 =& m.s 1 a které jsou matematicky popsáy reálou fukcí u(r,t) azývaou vlová fukce. Velmi často se pro popis používá harmoická roviá vla. V jedorozměrém případě (apř. šířeí vl podél osy x) ji lze zapsat jako u(x,t) = A cos(πν (t ± x/c) + ϕ), kde A je amplituda vly, ν je frekvece, c je rychlost šířeí vl a ϕ je počátečí fáze. Vlová délka takovéto vly je pak c λ = = ct, kde T je perioda. ν Skládáím dvou či více vl pak může dojít k výše uvedeým jevům, kdy itezita světla eí součtem itezit jedotlivých vl, ale závisí a rozdílu fází jedotlivých vl a vykazuje typické střídáí maxim a miim. Aby byly tyto jevy

2 pozorovatelé (tj. časově stálé), je třeba aby teto vzájemý fázový posu byl kostatí. Takové vly ozačujeme jako koheretí. Podmíka koherece je jedoduše splěa při skládáí vl, které pocházejí z jedoho zdroje. Uveďme zde dva typické případy, které využívají odrazu vl: 1) Při dopadu vlěí a odrazou plochu vziká vlěí odražeé, které se skládá s vlěím dopadajícím za vziku stojatého vlěí. To je charakterizováo existecí kmite a uzlů, tedy míst, která kmitají s maximálí resp. miimálí amplitudou. Vzdáleost dvou sousedích kmite (či uzlů) je rova poloviě vlové délky. ) Dopadá-li postupé vlěí o vlové délce λ 1 a tekou vrstvu vhodého prostředí o tloušťce d, částečě se odráží a částečě prochází tekou 1'' '' vrstvou (obr. ). Itezita odražeého vlěí je 1 určea optickým dráhovým rozdílem δ paprsků 1 a : 3 d 1' ' Obr. Iterferece a teké vrstvě δ = d 1 si α (3) a poměry idexů lomu jedotlivých prostředí. Dopadá-li a tekou vrstvu bílé světlo, jsou podmíky pro maxima resp. miima splěy pouze pro určité vlové délky (barvy). (Takto vzikají apř. barvy olejových skvr a vodě, barvy a mýdlových bubliách atp.) Všechy až dosud uvedeé jevy jsou obvykle pozorováy při použití viditelého světla. To je ovšem úzký obor elektromagetického vlěí o vlových délkách přibližě od 400 m do 760 m. Přejdeme-li k Rötgeovu (RTG) zářeí, tedy k mohem kratším vlovým délkám (řádově agströmy, 1 Å = m ), lze studovat jevy difrakce a krystalech pevých látek. V krystalické mřížce jsou atomy pravidelě rozmístěy v rovoběžých roviách. Soustavu takovýchto rovi charakterizujeme meziroviou vzdáleostí d a azýváme ji osovou atomových rovi. Dopadá-li zářeí o vlové délce λ a krystal, pozorujeme maximum itezity ve směrech, které jsou dáy Braggovou rovicí, d siϑ = λ ( = 1,,3,... celé ). (4) Úhel ϑ se azývá Braggův úhel (jeho dvojásobek difrakčí úhel) a a rozdíl od optiky, kde se úhly měří od ormály roviy rozhraí, udává odklo paprsků od roviy atomů (viz obr. 3). Protože situace je aalogická odrazu a roviém rozhraí, mluví se často (e úplě správě) o reflexi a atomových roviách ebo Braggově reflexi, i když fyzikálě se jedá o difrakčí (ohybový) jev. Jedotlivé zesíleé paprsky se azývají maxima ebo reflexe. Číslo se azývá řád maxima (reflexe). 83

3 =DC+CE=d si B (hkl) (010) D C d E d1 d d 3 (00) (030) (010) Při proměřováí skutečých krystalových mřížek pomocí RTG zářeí ezáme obvykle čísla, patřící k aměřeým úhlům ϑ. Proto se při dalších výpočtech pokládají rova jedé ( = 1) a představujeme si, že v krystalu jsou přítomy další fiktiví roviy s polovičí, třetiovou, čtvrtiovou, atd. meziroviou vzdáleostí, ež je vzdáleost základí (d 1 a obr. 1). Polohy jedotlivých reflexích rovi se popisují tzv. Millerovými idexy (hkl) (viz další úloha: Debyeova-Scherrerova metoda určeí jemé struktury materiálu, obr. 1 a 3). Položíme-li tedy v Braggově rovici trvale = 1, obdržíme z í při dosazeí maxima druhého řádu polovičí meziroviou vzdáleost, jako kdyby reflexi způsobila rovia (00) amísto roviy (100). Podobě z úhlu aměřeého u maxima třetího řádu vyjde (při = 1) meziroviá vzdáleost d 3 = d 1 /3 odpovídající odrazu a roviě (300). Krystalky ve zkoumaém polykrystalickém materiálu jsou avíc růzě prostorově orietováy a tak odrazy mohou astat a růzých reflexích roviách s růzými meziroviými vzdáleostmi d i. Studium a proměřováí itezity odražeého RTG zářeí je mocým ástrojem strukturí aalýzy krystalických látek. Měřeí Všechy jevy geometrické a vlové optiky popsaé v obecé části budeme studovat pomocí cetimetrových elektromagetických vl. Zameá to pochopitelě, že použité vlové délce musí svými rozměry odpovídat útvary, a kterých k těmto jevům dochází. Teká vrstva v případě iterferece i mřížková kostata v případě difrakce musí mít tedy řádově cetimetrové rozměry. Jako zdroj cetimetrových vl se používá polovodičový oscilátor s Guovou diodou o výstupím výkou asi 50 mw. Teto oscilátor je plyule mechaicky přeladitelý v rozsahu 9,70 10,85 GHz (vlové pásmo 3 cm). Vhodá frekvece je již astavea, proto ladicím šroubem eotáčejte! Napájeí oscilátoru zajišťuje stejosměrý zdroj o apětí 10 V, připojeý přes koektor typu BNC. Oscilátor se 84 Obr. 3 K odvozeí Braggovy rovice

4 uvede do chodu zaputím zdroje (idikováo LED diodou). Koektory u vysílací atéy erozpojujte. Jako detektor použijeme mikrovlou křemíkovou diodu 33 NQ 5. Jeda dioda je umístěa v trychtýřové přijímací atéě, druhá je připevěa a posuvém stojáku. Přijaté kmity dioda usměrí a jsou idikováy voltmetrem. Měřeí provedeme v ásledujícím pořadí: A. Měřeí vlové délky pomocí stojatého vlěí Plou kovovou desku zasueme do otvorů a pravém okraji základí desky. Táhla, jež spojují tyče esoucí trychtýřové atéy, odpojíme. Tyč vysílací atéy astavíme ke začce 0 a tyč s přijímací atéou odkloíme, aby epřekážela. Odrazem vlěí od kovové desky pod úhlem dopadu 0 (t.j. plocha desky je kolmá ke směru šířeí vlěí) se vytvoří v prostoru mezi deskou a vysílací atéou stojaté vly. Jako idikátor použijeme křemíkovou diodu a posuvém stojáku; její vývody připojíme k voltmetru. Pomalým posouváím stojáku s diodou hledáme polohy miim itezity elektrického pole. Polohy odečítáme a měřítku, které je připevěo a základí desce. Neměříme v těsé blízkosti odrazé desky. Naměřeé polohy zazameáme do tabulky a postupou metodou (vysvětlea v kapitole Měřicí metody a str. 10) vyhodotíme vlovou délku λ včetě chyby. B. Záko odrazu Pro odraz vl použijeme opět kovovou desku, kterou přemístíme do otvorů ve středu úhloměré stupice. Trychtýřovou přijímací atéu připojíme k voltmetru a tyčí vysílací atéy astavíme jede pevý úhel dopadu vlěí α (z itervalu 30 až 50 ). Pak měříme závislost apětí U [mv] z přijímací atéy a úhlu odrazu α v rozmezí 0 70 s krokem maximálě 5. Úhel měříme od kolmice. Naměřeou závislost graficky zpracujeme. C. Záko lomu Pro Sellův záko lomu použijeme trojbokého hraolu. Rovié stěy hraolu, a ichž astává lom, se azývají lámavé stěy a úhel ϕ, který svírají, se azývá lámavý úhel. Na obrázku 4 je řez takovýmto hraolem. Nejprve staovíme velikost lámavého úhlu. Teto úhel je vyzače ryskami a plexisklovém stojáku (vrchol úhlu je v otvoru). Postavíme tedy stojáek bez hraolu tak, aby jedo z rame úhlu směřovalo k rysce 0 úhloměré stupice a odečteme úhel. Pro další měřeí pak usadíme hraol pomocí stojáku do středu úhloměré stupice tak, aby osa lámavého úhlu ϕ hraolu směřovala k rysce 90 a úhloměru. Paprsek, který se láme a obou lámavých stěách, je po výstupu z hraolu odchýle od původího směru o úhel δ. Úhel δ je ejmeší (pak se azývá miimálí deviace δ m ), prochází-li paprsek hraolem souměrě k oběma lámavým stěám ( α = α ). Idex lomu hraolu je pak dá vztahem: 85

5 ϕ + δ m si = (5) ϕ si Pro určeí miimálí deviace spřáheme obě tyče esoucí atéy dvěma pomocými táhly s posuvým jezdcem a c středí vodicí tyči. Pak za souměrého c 1 rozevíráí obou tyčí hledáme polohu maximálího příjmu sigálu. Pomocí osa úhloměru staovíme deviaci δ m pro vzorec (5). Po staoveí idexu lomu staovíme pomocí vztahu () rychlost c šířeí elektromagetických vl v materiálu, ze kterého je hraol vyrobe. Jako rychlost šířeí elektromagetických vl ve vzduchu vezmeme c ms 1. D. Iterferece a teké vrstvě Jev proměříme pomocí dvou destiček z plexiskla. Tekou vrstvou bude vzduch mezi oběma destičkami ( 1). Podmíkou maxima odražeého vlěí je potom d 1 si α = k. λ, (k = 1,, 3, ) (6) kde d je vzdáleost destiček, λ je vlová délka a α je úhel dopadu. Jedu destičku umístíme do středu úhloměré stupice a druhou rovoběžě za í do pohyblivého držáku. Použijeme opět trychtýřovou přijímací atéu. Tyče jsou stále spřažey táhly. Úhly dopadu a odrazu astavíme asi a 30 (měřeo od kolmice). Postupým posouváím druhé destičky hledáme takovou její polohu, při íž v odražeém vlěí astává maximum. Nalezeme-li alespoň dvě takové sousedí polohy x 1 < x, pak dvojím použitím vztahu (6) dostaeme: 86 ( x x1) 1 si α = λ, (7) eboť v sousedích polohách se čísla k liší o jedičku. Vztah (7) ám umožňuje vypočíst vlovou délku λ. Měřeí provedeme pokud možo pro ěkolik sousedích poloh. Pokud elze získat alespoň dvě polohy, zmešíme úhel dopadu. Výsledek porováme s měřeím podle bodu A. E. Model krystalové mřížky Model krystalové mřížky je tvoře soustavou rovoběžých drátů (dvojrozměrý model). Dráty jsou zasazey svisle v rozích čtverce o straě a a představují jedu buňku krystalové mřížky o mřížkové kostatě a. Model umístíme do středu úhloměré stupice tak, aby spojice ulových bodů této stupice byla rovoběžá s jedou dvojicí stra čtverce (model v základí poloze). Tyče jsou stále spřažey táhly. Vysílací a přijímací atéu astavíme do polohy asi 1. Při tomto a meších úhlech přijímá atéa vly m Obr. 4 Lom hraolem

6 přímo z vysílače. Úhly postupě zvětšujeme tak, že pohybujeme velmi pomalu oběma táhly současě a hledáme maxima příjmu po odrazu od drátů a iterferečím zesíleí. Ke každé hodotě přísluší podle Braggovy rovice (4) celé číslo (viz tabulka 1). Pro sousedí polohy se čísla liší o jedotku. Pootočíme-li model o 45, můžeme proměřovat odrazy a reflexích roviách (110), (0) atd. (viz obr. 5). Z Braggovy rovice pro = 1 pak získáme růzé mezirovié vzdáleosti d i. K im určíme příslušé Millerovy idexy (hkl). U ašeho modelu staovíme idexy přímo ze zalosti jeho uspořádáí. V praxi by se použilo systému Hullových- Daveyových křivek, eboť u skutečého krystalu je možých rovi velmi moho. Mřížkovou kostatu u kubické mřížky obdržíme ze vztahu: a = di h + k + l. (8) Tabulka 1 Model v základí poloze, λ = cm ϑ si ϑ d i (pro = 1) (h k l) a [cm] Model pootoče o 45 0 ϑ si ϑ d i (pro = 1) (h k l) a [cm] Obr. 5 Systém rovi (110) kubické mřížky Pracoví úkol 1) Proveďte a vyhodoťte měřeí podle bodů A až E. ) Porovejte vlové délky zjištěé při měřeí A a D a rozhoděte, které měřeí je přesější a proč. 3) Mřížkové kostaty získaé ze vztahu (8) porovejte se skutečou hodotou (změřeou mm měřítkem). 87