Interference. 15. prosince 2014
|
|
- Iva Kovářová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Iterferece 15. prosice Úvod 1.1 Jev iterferece Mějme dvě postupé vly ψ 1 z,t) = A 1 cosωt kz +ϕ 1 ) a ψ z,t) = A cosωt kz +ϕ ). Uvažujme yí jejich superpozici ψ = ψ 1 +ψ a podívejme se, jaká bude itezita výsledé superpozice I = ψ, když itezity původích vl jsou I 1 = ψ 1 = A 1 cos...) = 1 A 1 a I = 1 A I = ψ 1 +ψ ) = A 1cos ωt kz +ϕ 1 )+A cos ωt kz +ϕ )+A 1 A cosωt kz +ϕ 1 )cosωt kz +ϕ ) =I 1 +I + A 1 A cosωt kz +ϕ 1 +ϕ )+A 1 A cosϕ 1 ϕ )) =I 1 +I + I 1 I cosϕ 1 ϕ ). Při upravách jsme použili součtový vzorec cosθcosϕ = 1 cosθ ϕ) + cosθ + ϕ)) a fakt, že časová středí hodota fukce cosωt) je ula cosωt) = 0. Výsledá itezita tedy eí prostým součtem původích itezit, liší se o čle I it = I 1 I cosϕ 1 ϕ ), jehožvelikostzáležíavzájemémrozdílufází ϕ = ϕ 1 ϕ obouvl.vpřípaděi 1 = I = I 0 dostáváme I = I 0 1+cos ϕ), tedy v závislosti a fázovém posuvu může být výsledá itezita v rozmezí 0 pro fázový posuv ϕ = π +πk, k Z) až 4I 0 pro ϕ = πk, k Z). 1. Retardovaý čas Mějme zdroj a souřadici z = 0 v prostředí s fázovou rychlostí v ϕ, který v kladém směru osy z vysílá postupé vlěí dle předpisu xt). Jaký je průběh kmitáí ψt) v místě z 0? xt) 0 ψt) =? v ϕ z = z 0 z Sigál, který přijímáme v čase t a místě z = z 0, byl vyzáře ze zdroje v čase t 0 = t z0 v ϕ, ebot sigálu vyzařeého v čase t 0 trvá dobu z 0 /v ϕ ež se došíří do místa z = z 0. Teto čas t 0 azýváme retardovaým časem a fukci ψ pomocí ěj zapíšeme sado jako ψt) = xt 0 ) = xt z 0 v ϕ ). 1
2 Příklady Iterferece roviých vl Zadáí: Směry, kterými se šíří dvě rovié vly stejé vlové délky, svírají malý úhel ϑ. Vly dopadají a stíítko, jehož rovia je přibližě kolmá a směr jejich postupu. Napiště výrazy pro obě rovié vly, složte jejich pole a ukažte, že vzdáleost y mezi dvěma sousedími iterferečími proužky je přibližě rova / ϑ. Jak se změí výraz pro y, dopadají-li iterferující paprsky a stíítko pod úhlem ϑ? Řešeí: Nejprve zapišme vyjádřeí roviých vl, které spolu budou iterferovat ψ 1 r,t) = A 1 cosωt k 1 r+ϕ 1 ). Z obrázku sado ahlédeme složkové vyjádřeí vlových vektorů k 1 = kcos,ksi,0), kde k je velikost vlového vektoru k = k, která je společá pro obě vly, ebot mají stejou vlovou délku. y stíítko. vla 1. vla P, r P = 0,y,0) k k1 O ϑ x Zajímáme-lise yíosuperpozici vl ψ 1 a ψ v bodě P a stíítkuopolohovémvektoru r P = 0,y,0) dostáváme výraz ψ r P,t) = ψ 1 r P,t)+ψ r P,t) = A 1 cosωt kysi +ϕ 1 )+A cosωt kysiϑ +ϕ ). Itezita výsledé superpozice pak je I = ψ = I 1 +I + A 1 A cosωt kysi +ϕ 1 )cosωt kysiϑ +ϕ ). Použitím součtového vzorce dostáváme I = ψ = I 1 +I +A 1 A cosωt+...)+coskysiϑ si )+ϕ ϕ 1 )). Středí hodota prvího kosiu je ulová, aopak druhý kosius je kostatí, tedy středí hodotu si můžeme odpustit, tz. I = I 1 +I +A 1 A coskysiϑ si )+ϕ ϕ 1 )). Zavedeme-li yí středí úhel dopadu ϑ a rozdíl mezi úhly dopadu ϑ jako ϑ = ϑ1+ϑ a ϑ = ϑ, pak můžeme upravit siϑ si = cosϑsi ϑ. Na závěrsi ještěpřepíšemevelikostvlovéhovektoru pomocí vlové délky k = π. Vztah pro itezitu zářeí a stíítku v závislosti a poloze Iy), resp. vztah pro iterferečí itezitu I it y), je tedy ) 4πy ϑ I it y) = A 1 A cos cosϑsi +ϕ ϕ 1 ).
3 Vzdáleost iterferečích proužků je pak dáa požadavkem, aby se fáze v iterferečím kosiu změila o π. Ozačme vzdáleost dvou vybraých bodů a stíítku jako y = y y 1, fázový posu pak má tvar Podmíka ϕ = π vede a ϕ = 4π y cosϑsi ϑ. y = cosϑsi ϑ. Pokud je rozdíl mezi úhly ϑ malý, můžeme aproximovat si ϑ = ϑ a dostat y = ϑcosϑ..1.1 Alterativí postup přes retardovaé časy Alterativí postup používá myšleé zdroje vlěí umístěé a vloploše procházející počátkem a vyjádřeí vly dopaduvší a stíítko pomocí retardovaým časů. stíítko. vla 1. vla l 1 l P y O ϑ Alterativí řešeí: Zajímejme se o to, jaká výsledá vla dopadá a stíítkov bodě P, který je ve vzdáleosti y od počátku. Roviy zázorěé a obrázku svírající úhly a ϑ se stíítkem si můžeme představovat jako zdroje roviého vlěí vysílaého směrem ke stíítku zdroje kmitající dle předpisů x 1 t) = A 1 cosωt+ϕ 1 ) a x t) = A cosωt+ϕ ). Na stíítku v bodě P se obě vly superpoují ψt) = ψ 1 t) + ψ t), kde ψ 1 vyjádříme pomocí retardovaého času jako ψ 1 t) = x 1 t l ) 1 = A 1 cos ω t l ) 1 )+ϕ 1 v ϕ v ϕ a tedy ψt) = A 1 cos ωt ωl ) 1 +ϕ 1 +A cos ωt ωl ) +ϕ v ϕ v ϕ Z obrázku a příslušých poměrů v trojúhelíku dostaeme l 1 = ysi. Dále z disperzího vztahu máme ω v ϕ = k. Dosazeím těchto vyjádřeí dostaeme tvar vly v bodě P ψt) = A 1 cosωt kysi +ϕ 1 )+A cosωt kysiϑ +ϕ ), což je stejý mezivýsledek jako při předchozím postupu. Dále je již postup zcela idetický. 3
4 . 7.1 & 7. Mýdlová bláa Zadáí: Obecé zadáí příkladů s mýdlovou bubliou je, že a tekou vrstvu tloušt ky d o idexu lomu dopadá světlo pod úhlem ϑ o vlové délce a aším úkolem je zjistit, pro jakou kombiaci těchto parametrů bude docházet ke kostruktiví resp. destruktiví iterfereci. ϑ y d ϑ x Řešeí: Na obrázku jsou zázorěy paprsky, které spolu budou iterferovat. Naším úkolem je vyjádřit rozdíl jejich optických drah 1 pomocí zadaých parametrů. Z ákresu vidíme, že pro teto rozdíl ϕ platí vztah ϕ = k d +x k 0 y +π), kde jsme ozačili k, resp. k 0, vlové číslo ve vrstvě, resp. mimo vrstvu, která sado vyjádříme pomocí disperzíhovztahu ω = c k, resp.ω = ck 0, a = π k 0 a tedy ω = πc ); dodatečáfáze π vzikápřiodrazu z opticky řidšího do opticky hustšího prostředí. Sellův záko dává vztah siϑ = siϑ. Vzdáleost x vyjádříme z trojúhelíku pomocí tgϑ = x y d. Posledí zbývá vzdáleost y daá vzorcem siϑ = x. Nyí dáme všechy tyto zalosti dohromady a obdržíme ϕ = πc d c +d tg ϑ π dtgϑ siϑ π = 4π d 1+ si ϑ 1 cos ϑ d siϑ siϑ π 1 1 si ϑ = 4πd ) si ϑ si ϑ π si ϑ ) = 4πd si ϑ si ϑ π si ϑ = 4πd si ϑ π. Ke kostruktiví iterfereci dochází, pokud je fázový rozdíl ásobek π. Dostaeme tedy podmíku a parametry m+1 = 4d si ϑ m N 0. 1 Optická dráha představuje změu fáze podél skutečé délkové) dráhy paprsku, pro postupou vlu s vlovým číslem k je dáa jedoduše jako kl, kde l je délka skutečé) dráhy paprsku. Pro paprsek dopadající pod malým úhlem malým odkloem od kolmice) je koeficiet odrazu pro přechod světla z prostředí o idexu lomu 1 do prostředí s idexem lomu přibližě R = 1. Pro < je teto koeficiet záporý a tato iverze vly dává dodatečou fázi π. 4
5 Vyjádříme-li vlovou délku, máme = 4d m+1 si ϑ a ejvětší vlovou délku, pro kterou astává kostruktiví iterferece získáme volbou m = 0, tedy = 4d si ϑ, což pro parametry příkladu 7.1, tj. d = 100m, = 1,33 a ϑ = 35 dává Skleěý klí = , = 481m modrozeleá. Zadáí: Rovié povrchy skleěého klíu = 1,5) svírají úhel 0,1. Na klí dopadá kolmo svazek moochromatických paprsků o vlové délce = 500 m. Vypočtěte vzdáleost mezi iterferečími proužky, které vzikou v odražeém světle. Řešeí: Využijeme výsledků příkladu 7.16, takže ám bude stačit určit úhel ϕ mezi odražeými pro ϕ malé a stíítko umístěé kolmo a vycházející paprsky). Mějme skleěý klí jako a obrázku a echt paprsek vstupuje přímo dolů, tz. odkloě od kolmice k horí hraě klíu o úhel ϕ. Pak pro dráhu paprsku a úhly svírajícís příslušýmikolmicemi viz obrázek. paprsky, vzdáleost iterferečích proužků pak bude jedoduše ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Pomocí Sellova zákoa určíme vztahy mezi úhly ϕ, ϕ a ϕ. siϕ = siϕ, siϕ ϕ ) = siϕ Jelikož úhly jsou malé, tak použijeme aproximaxi six = x. a pak sado vyjádříme úhel ϕ pomocí úhlu ϕ ϕ = ϕ, ϕ ϕ ) = ϕ ϕ = 1)ϕ. Úhel mezi vystupujícími paprsky je pak zjevě dá jako ϕ = ϕ+ϕ = ϕ. Pro aše kokrétí zadáí dostáváme vzdáleost iterferečích proužků y = ϕ = m 1,5 0,1 60 π 360 = 5,73mm. 5
6 Vzduchový klí Zadáí: Vzduchový klí je ohraiče dvěma dokoale roviými skleěými deskami idex lomu = 1,5). Klí je vytvoře tak, že mezi skleěé desky byl vlože ve vzdáleosti L = 10cm od jejich dotýkajících se okrajů proužek staiolu tloušt ky d = 1/50 mm. Na klíovou vrstvu dopadá kolmo sodíkové světlo = 589 m). Určete vzdáleost dvou sousedích tmavých iterferečích proužků ve světle a) odražeém, b) procházejícím. Jak velká by musela být délka L, aby proužky v zeleém světle = 550m) byly od sebe 1mm? Řešeí: Řešeí pro odražeé světlo je velmi podobé jako v příkladu 7.5. Určíme úhel mezi vystupujícími paprsky, zde obecěji pro světlo dopadající a horí sklíčko odkloěé od kolmice o obecý úhel. Výsledý úhel je ϕ = ϕ. ϕ ϑ ϕ ϕ ϕ 6
23. Mechanické vlnění
3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceGeometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla
Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost
VíceGeometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí:
Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Byla vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým ejsou potřeba zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost
VíceUniverzita Tomáše Bati ve Zlíně
Uiverzita Tomáše Bati ve Zlíě LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY II Název úlohy: Iterferece a teké vrstvě Jméo: Petr Luzar Skupia: IT II/ Datum měřeí: 3.říja 007 Obor: Iformačí techologie Hooceí: Přílohy: 0
VíceFYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla
Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla
VíceANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU
ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU A.Mikš, J.Novák, P. Novák katedra fyziky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze Abstrakt Práce se zabývá aalýzou vlivu velikosti umerické
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
VíceGRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components
Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ
VíceInovace předmětu K-Aplikovaná fyzika (KFYZ) byla financována z projektu OPVK Inovace studijních programů zahradnických oborů, reg. č.
Iovace předmětu K-Aplikovaá fyzika (KFYZ) byla fiacováa z projektu OPVK Iovace studijích programů zahradických oborů, reg. č.: CZ..07/..00/8.00 Připravil: Roma Pavlačka K-Aplikovaá fyzika Optika a zářeí
Více11. STUDIUM JEVŮ GEOMETRICKÉ A VLNOVÉ OPTIKY POMOCÍ CENTIMETROVÝCH VLN
8 11. STUDIUM JEVŮ GEOMETRICKÉ A VLNOVÉ OPTIKY POMOCÍ CENTIMETROVÝCH VLN Měřicí potřeby: 1) Guova dioda s vysílací trychtýřovou atéou ) apájecí zdroj pro Guovu diodu 3) přijímací atéa 4) polovodičová dioda
VíceInterakce světla s prostředím
Iterakce světla s prostředím světlo dopadající rozptyl absorpce světlo odražeé světlo prošlé prostředím ODRAZ A LOM The Light Fatastic, kap. 2 Light rays ad Huyges pricip, str. 31 Roviá vla E = E 0 cos
VíceFYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 9: Polarizace. Abstrakt
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měřeí: 9. 3. 00 Úloha 9: Polarizace Jméo: Jiří Slabý Pracoví skupia: 4 Ročík a kroužek:. ročík,. kroužek, podělí 3:30 Spolupracovala: Eliška Greplová Hodoceí:
Více2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí
. Měřeí základích optických vlastostí materiálů idex lomu a disperze propustost, absorpce kvalita optických prostředí .1. Měřeí idexu lomu a disperze Sellmeierův vztah i ( ) = 1+ i B C i Coruův vzorec
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VíceLaboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:
ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
VíceUŽITÍ MATLABU V KOLORIMETRII. J.Novák, A.Mikš. Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha
UŽITÍ MATLABU V KOLORIMETRII J.Novák A.Mikš Katedra fyziky FSv ČVUT Praha Kolorimetrické metody jsou velmi často používáy jako diagostické metody v řadě oblastí vědy a techiky. V čláku jsou ukázáy příklady
VíceODRAZ A LOM SVTLA. Odraz svtla lom svtla index lomu úplný odraz svtla píklady
ODRAZ A LOM SVTLA Odraz svtla lo svtla idex lou úplý odraz svtla píklady Každý z Vás se urit kdy díval do vody. Na klidé vodí hladi vidl kro svého obrazu také kaey ebo písek a d. Na základí škole jste
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY)
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY) prof. Ig. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.mui.cz, Kameice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Istitut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Vícef B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]
6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost
Více1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha
74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I
8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceSTUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6
Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II
VíceMatematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta
Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.
VíceL A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
Více10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR
Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceMěření indexu lomu pevných látek a kapalin refraktometrem
F Měřeí idexu lomu pevých látek a kapali refraktometrem Úkoly : 1. Proveďte kalibraci refraktometru 2. Změřte idex lomu kapali 1-3 3. Změřte idex lomu ezámých vzorků optických skel Postup : 1. Pricip měřeí
VíceI. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0
8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VíceTěžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru.
Těžiště a momet setrvačosti Naleeí práce polohy těžiště a mometu setrvačosti vůči adaé ose u homogeích těles v tříroměrém prostoru. Př. 1 Najděte těžiště a momet setrvačosti kulové vrstvy vůči rotačí ose
VícePřednáška 7: Soustavy lineárních rovnic
Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé
VíceObr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků).
Učebí text k předášce UFY8 Dvojvzková tererece teké vrtvě Dvojvzková tererece teké vrtvě Předpokládejme, vl o mpltudě dvou delektrk tk, že mpltud održeé vly bude o dexu lomu bude t (vz obr. DI-1). v protředí
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Víceβ. Potom dopadající výkon bude
Učebí ex k předášce UFY Feselovy vzoce a jevy a ozhaí dvou posředí II Odazvos a popusos Ve vakuu je plošá husoa oku zářeí dáa Poygovým vekoem S c ε E B a zářvos (W/m je defováa jako časová sředí hodoa
VícePříklady k přednášce 9 - Zpětná vazba
Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
VíceAnalýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace
Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí
Vícep = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
VíceÚstav fyzikálního inženýrství Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně GEOMETRICKÁ OPTIKA. Přednáška 10
Ústav yzikálího ižeýrství Fakulta strojího ižeýrství VUT v Brě GEOMETRICKÁ OPTIKA Předáška 10 1 Obsah Základy geometrické (paprskové) optiky - Zobrazeí cetrovaou soustavou dvou kulových ploch. Rovice čočky.
VíceLaboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky
Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VícePaedDr. Jozef Beňuška ODRAZ A LOM SVĚTLA aneb Zákony při průchodu světla rozhraním
PaedDr. Jozef Beňuška jbeuska@extra.sk ODRAZ A LOM SVĚTLA aeb Zákoy při průchodu sětla rozhraím Vlěí, jež dopadá a rozhraí dou prostředí se může: - odrazit od rozhraí, - projít do druhého prostředí. Odraz
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceTéma 2 Přímková a rovinná soustava sil
Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma 2 Přímková a rová soustava sl Přímková soustava sl ový svazek sl Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Obecá rová soustava sl ová soustava rovoběžých
VíceDiskrétní Fourierova transformace
Disrétí Fourierova trasformace Záladí idea trasformace x Trasformace Zpracováí v časové oblasti Zpracováí v trasform. oblasti x Iverzí Trasformace Spojitá Fourierova trasformace f j πft x t e dt Disrétí
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VícePrůchod paprsků různými optickými prostředími
Průchod paprsků růzými optickými prostředími Materiál je urče pouze jako pomocý materiál pro studety zapsaé v předmětu: A4M38VBM, ČVUT- FEL, katedra měřeí, 05 Před A4M38VBM 05, J. Fischer, kat. měřeí,
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Vícedefinované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12
Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se
Více3 - Póly, nuly a odezvy
3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY
Záš pojmy A. Popiš aspoň jede fyzikálí experimet měřeí rychlosti světla. - viz apříklad Michelsoův, Fizeaův, Roemerův pokus. Defiuj a popiš fyzikálí veličiu idex lomu. - je to bezrozměrá fyzikálí veličia
VíceSvětlo jako elektromagnetické vlnění Šíření světla, Odraz a lom světla Disperze světla
Paprskoá optika Sětlo jako elektromagetiké lěí Šířeí sětla, Odraz a lom sětla Disperze sětla Sětlo jako elektromagetiké lěí James Clerk Maxwell (83 879) agliký fyzik autorem teorie, podle íž elektro-magetiké
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceŘešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
Více(Následující odstavce jsou zde uvedeny jen pro zájemce.) , sin2π, (2)
Studium difrakčních jevů TEORIE doplněk: Odvození výrazů pro difrakční maxima (popř. minima) na štěrbině, dvojštěrbině a mřížce jsou zpravidla uvedena na středoškolské úrovni, což je založeno na vhodném
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VíceTéma 11 Prostorová soustava sil
Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceKABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely
KABELY Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodé vláko): metalické kabely optické kabely Metalické kabely: osou veličiou je elektrické apětí ebo proud obvykle se jedá o vysokofrekvečí přeos
Více1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceOKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
VíceVLIV ZMĚNY FÁZE VLNOVÉHO POLE NA ZMĚNU BARVY INTERFERENČNÍHO POLE V METODĚ POLARIZAČNÍ INTERFEROMETRIE
VLIV ZMĚNY FÁZE VLNOVÉHO POLE NA ZMĚNU BARVY INTERFERENČNÍHO POLE V METODĚ POLARIZAČNÍ INTERFEROMETRIE A.Mikš J.Novák katedra fyziky Fakulta stavebí ČVUT v Praze 1 Úvod Abstrakt Měřeí malých dráhových
VíceIontozvukové vlny (elektrostatické nízkofrekvenční vlny) jsou to podélné vlny podobné klasickému zvuku. B e kt
DALŠÍ TYPY VLN Iotozvukové vly (elektostatiké ízkofekvečí vly) jsou to podélé vly podobé klasikému zvuku v plyu ω γ kt k M B s = = plazma zvuk pomalý po elektoy, yhlý po ioty hustota elektoů je v každém
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Více