Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním"

Transkript

1 Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí pokryje ezámý parametr rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy Při kostrukci kofidečích itervalů využíváme vedle dříve zavedeého ormovaého ormálího rozděleí především rozděleí z předešlé lekce: Studetovo, Peasoovo a Fisherovo Sedecorovo Pro jediý parametr kostruujeme kofidečí itervaly a podkladě jediého výběru Pro rozdíl ebo podíl dvou parametrů vycházíme z dvojice áhodých výběrů Vypovídací hodota kofidečího itervalu je epřímo úměrá jeho šířce Výzamý vliv a šířku kofidečího itervalu má rozsah výběru Proto se zabýváme i možostí předběžého staoveí takového rozsahu výběru, aby přípustá chyba odhadu epřesáhla požadovaou hodotu dolí odhad; horí odhad; iterval spolehlivosti; kofidečí iterval; levostraý iterval; miimálí rozsah výběru; oboustraý iterval; pravostraý iterval; přípustá chyba; riziko odhadu; směrodatá chyba; spolehlivost odhadu Pricip itervalového odhadu D, pro kterou P [ D Θ] Statistiku, kde číslo je blízké ule, azveme dolím odhadem parametru Θ a iterval D ;+ azveme levostraým itervalem pro odhad parametru Θ Statistiku H, pro kterou P [ Θ ] odhadem parametru Θ a iterval ( ; H azveme pravostraým itervalem pro odhad parametru Θ Dvojici statistik H, kde číslo je blízké ule, azveme horím D, H pro které P D Θ H, kde číslo je blízké ule, azveme oboustraým odhadem parametru Θ a iterval ; H D azveme oboustraým itervalem pro odhad parametru Θ Výše uvedeé itervaly se azývají také itervaly spolehlivosti ebo kofidečí itervaly Předem zvoleé číslo, blízké jedé, se azývá spolehlivostí odhadu, zatímco je riziko odhadu Spolehlivost odhadu se často volí apř a úrovi 0,95 ebo 0,99 (hovoří se také o 95% ebo 99% spolehlivosti Výše uvedeé vzorce vypovídají o tom, že očekáváme, že ezámý parametr Θ bude kofidečím itervalem pokryt s vysokou (a předem zvoleou pravděpodobostí blízkou jedé, zatímco jeho epokrytí (kdy itervalový odhad selže je možé s pravděpodobostí, blízkou ule (selháí odhadu je jevem prakticky emožým Zvolíme-li apř pravděpodobost 0, 0 jako pravděpodobost prakticky emožého jevu, počítáme s tím, že sestrojíme-li jede kofidečí iterval, bude hodota ezámého parametru itervalem pokryta Vyjádřete se k situaci, kdy je formou opakovaých pokusů sestrojeo ěkolik stovek kofidečích itervalů! 5

2 Nadále budeme kostruovat pouze oboustraé kofidečí itervaly K jedostraému itervalu přejdeme vyecháím jedé z obou hraic kofidečího itervalu, přičemž ovšem zaměíme pravděpodobosti a za, Kofidečí itervaly (jede výběr Kofidečí iterval pro parametr µ při zámém ebo velkém rozsahu výběru Při staoveí tohoto kofidečího itervalu stačí použít Pu X µ u, jehož sadou úpravou ( u u získáme PX u µ X + u Tohoto tvaru kofidečího itervalu lze využít eje pro zámé, ale i v případě tzv velkého výběru, je-li > 30 V tom případě bez dalších úprav použijeme bodového odhadu S est Všiměte si, prosím, jak se měí zápis kofidečího itervalu v okamžiku, kdy místo áhodých veliči začeme pracovat s jejich kokrétími hodotami realizacemi z určitého áhodého výběru Obecě můžeme pro realizaci itervalu psát x u µ x + u (srovej- te s předchozím tvarem Kofidečí iterval pro parametr µ při ezámém a malém rozsahu výběru V případě malého výběru ( < 30 při ezámém použijeme estimátor S est čímž získáme S S P X t µ X + t V kofidečím itervalu jsou použity kvatily Studetova rozděleí s stupi volosti Příklad Pro 5 áhodě vybraých žárovek jsme při kotrole životosti zjistili x 0, s 47 (v hodiách Se spolehlivostí 99 % určíme oboustraý kofidečí iterval pro středí hodotu životosti celé výrobí série 5 Nejprve určíme výběrovou směrodatou odchylku s s a vyhledáme t 0,995[ 4], 797 Takže 0,797 µ 0 +,797, z čehož 783 µ S vysokou spolehlivostí tedy můžeme tvrdit, že středí hodota životosti žárovky této výrobí série se achází v tomto rozmezí Pozor teto iterval evypovídá ic o idividuálí životosti jedotlivých žárovek, která se jistě pohybuje v podstatě širším rozmezí a avíc, evíme ic o jejím rozděleí pravděpodoboti! Doplňme ještě teto příklad o to, co zameá (ve světle tohoto výsledku tvrzeí výrobce, který garatuje pro celou sérii středí hodotu životosti 400 hodi? Vzhledem k tomu, že kofidečí iterval hodotu 400 epokrývá, je toto tvrzeí s velkou pravděpodobostí esprávé (skutečá životost je zřejmě ižší 6

3 Sestrojte za stejých podmíek jako v příkladu 90% a 95% koferečí iterval Vyjádřete se ke vztahu mezi rizikem a vypovídací hodotou kofidečího itervalu Kofidečí itervaly pro parametry, ( S S použitím rozděleí [ ] je ( S P Pozor tetokrát elze kalkulovat se symetrií, protože oba kvatily jsou růzá kladá čísla! Hraice kofidečího itervalu pro směrodatou odchylku získáme odmocěím hraic kofidečího itervalu pro rozptyl Příklad Vypočteme 95% kofidečí iterval pro směrodatou odchylku ze zadáí příkladu o životosti žárovek 0, 05 0, 975 Najdeme [ 4],40, [ 4] 39, z čehož Můžeme tedy tvrdit, že směrodatá odchylka 39,364,40 životosti výrobí série žárovek se prakticky jistě achází ve vypočteém rozmezí Staoveí miimálího rozsahu výběru při odhadu µ, Vypovídací schopost kofidečího itervalu je epřímo úměrá jeho šířce Veličiou, která v podstaté míře ovlivňuje šířku dosud probraých kofidečích itervalů (a eje jejich, je rozsah výběru Oba kofidečí itervaly pro středí hodotu mají aalogickou kostrukci, kterou můžeme vyjádřit jako P [ T Θ T + ] Přitom (je-li použit kvatil veličiy U u D( T Za- ( tímco D T jsme azvali směrodatou chybou, pak po jejím vyásobeí příslušým kvatilem získaou veličiu (velká delta azveme přípustou chybou Přípustá chyba představuje při daé spolehlivosti právě poloviu šířky kofidečího itervalu Vyjádříme-li ze vztahu u, u získáme, což je miimálí rozsah výběru, který zabezpečí, aby polovičí šířka kofidečího itervalu (přípustá chyba epřekročila zadaou hodotu Prakticky se vypočteé zao- krouhluje a ejbližší celé číslo směrem ahoru Očekáváme-li, že rozsah výběru vyjde větší ež 30, můžeme hodotu ezámého parametru sado ahradit výběrovým rozptylem V ávazosti a určete, jaký miimálí rozsah výběru vyžaduje (a 95% kofidečí iterval s přípustou chybou epřevyšující ± 00, (b 99% kofidečí iterval s přípustou chybou epřevyšující ± 50 ( Kofidečí iterval pro rozptyl je svojí stavbou odlišý Místo absolutího pojetí šířky itervalu [ ] H ( H D se využívá její relativí pojetí a κ Úloha se řeší tak, že hledáme D [ ] 7

4 oba kvatily pro takový počet stupňů volosti, pro který jejich podíl epřesáhe zadaou hodotu κ (kappa V ávazosti a určete relativí šířku 95% kofidečího itervalu pro směrodatou odchylku pro 30 ( Kofidečí iterval pro parametr θ V souvislosti s bodovým odhadem parametru θ jsme uvedli podmíku ormálí aproximace, kdy p ( p > 9 Při splěí tohoto předpokladu má výběrová relativí četost p ormálí rozděleí θ ( θ p θ s E( p θ, D ( p Veličia U má rozděleí N [ 0; ] Bodovým odhadem θ ( θ p ( p rozptylu veličiy p je výběrový rozptyl (předpokládejme, že rozsah výběru bude vždy dostatečě velké číslo Oboustraý kofidečí iterval pro parametr θ je p( p p( p P p u θ p + u I pro teto kofidečí iterval je adekvátí obecá kostrukce zmíěá v souvislosti s miimálím rozsahem výběru Aalogicky jako u parametru µ můžeme ozačit u u p( p, z čehož p( p Příklad 3 Z počtu 6 áhodě vybraých peumatik mělo ve sledovaém období defekt 7 kusů Se spolehlivostí 0,05 odhaděte parametr θ, kterým je pravděpodobost výskytu defektu 7 0,4( 0,4 0,4( 0,4 p 0,4 a 0,4,96 θ 0,4 +,96, z čehož 0,4 θ 0, 86, takže defektem bude s vysokou pravděpodobostí postižeo 4, až 8,6 % peumatik Mimochodem a tomto příkladě se můžeme poučit o obecém pravidle, že při zjišťováí slovích odpovědí (apř ao/e jako v tomto případě je ve srováí se zjišťováím číselých hodot (měřeím utý podstatě větší rozsah výběru, ež bychom zřejmě čekali To, co ušetříme a zjišťováí jedoho údaje, ztratíme a tom, že údajů je potřeba daleko více Zkrátka ic a světě eí zadarmo V ávazosti a 3 určete kolik peumatik by bylo třeba zařadit do sledováí, aby s rizikem 0,05 byl parametr θ odhadut s přípustou chybou ± 0, 05 ( 3 3 Kofidečí itervaly (dva výběry Kofidečí iterval pro rozdíl dvou středích hodot S využitím pozatků o rozděleí rozdílu dvou výběrových průměrů můžeme pro kofidečí iterval při zámých, vyvodit 8

5 P( X X u + µ µ ( X X + u +, zatímco při ezámých, použijeme bodové odhady (výběrové rozptyly S,S Tuto operaci lze provést bez jakýchkoli důsledků, je jsou-li rozsahy výběrů, dostatečě velké Všiměme si, že i teto kofidečí iterval vyhovuje obecé formuli, kterou jsme uvedli v souvislosti se staoveím miimálího rozsahu výběru při odhadu µ Příklad 4 Pokusíme se odpovědět a otázku, zda dvě plicí liky s deklarovaou přesostí vyjádřeou směrodatými odchylkami jsou astavey a stejou hmotost plěí O stejém astaveí liek vypovídá ulová hodota rozdílu parametrů µ µ K dispozici máme 5, aplěých obalů s průměrou hmotostí x 50, x 498 Spolehlivost odhadu volíme 0,99 3,576 + µ µ 3 +,576 +, z čehož,47 µ µ 4, 53 Vzhledem 5 5 k tomu, že kofidečí iterval eobsahuje ulu, můžeme s velkou pravděpodobostí tvrdit, že liky ejsou astavey a stejou hmotost Kofidečí iterval pro podíl dvou rozptylů S využitím pozatků o rozděleí podílu dvou rozptylů můžeme pro kofidečí iterval pro podíl S dvou rozptylů vyvodit S P, kde F jsou kvatily Fisherova Sedecorova rozděleí pro ; stupňů volosti Teto iterval je asymetrický (vzhledem k asy- S F S F metrii Fisherova Sedecorova rozděleí a jeho kostrukce esplňuje obecou formuli z odstavce o staoveí miimálího rozsahu výběru K usaděí tabelace hodot kvatilů využíváme Fp[ ν ; ν ] F ν ; ν p [ ] Příklad 5 V ávazosti a příklad 4 vyřešíme problém, zda obě plicí liky mají skutečě stejou přesost plěí Zjištěé hodoty výběrových směrodatých odchylek jsou s,3; s, 5 Přesost plěí obou liek bude stejá, pokud kofidečí iterval pro odhadu zvolíme a úrovi 5 % Hodoty kvatilů F [ 4;0],408; F [ 4;0] 0,975 0,05 F0,975 [ 0;4] bude obsahovat hodotu jeda Riziko 0,430 (a rozdíl od prvího z obou kvatilů byla hodota druhého určea jiým způsobem, ež z tabulek V tabulce 5e v příloze se přesvědčte to tom, že zatímco prví z obou kvatilů sado vyhledáme, tak vzhledem ke stručosti tabulek elze hodotu druhého z kvatilů z tabulky přesě určit,3,3 Staovíme, z čehož 0,976 5, 468 Vzhledem k tomu, že vypočteý iterval obsahuje jedičku, emůžeme tvrdit, že přesost plěí u obou liek se,5,408,5 0,430 liší 9

6 Kofidečí iterval pro rozdíl θ θ Zcela aalogicky jako pro rozdíl µ µ můžeme s využitím ormálího rozděleí sestrojit kofidečí iterval pro rozdíl θ θ Teto iterval je p( p p ( p P[( p p u + θ θ Rozhoděte, ( p p + u p( p p + ( p ] pro jaké výběrové relativí četosti bude za jiak stejých podmíek mít kofidečí iterval pro rozdíl θ θ ejmeší šířku Můžete vybrat: relativí četosti blízké 0,; 0,5; 0,8 Σ Dolí odhad parametru je z výběru určeou statistikou D, pod kterou hodota ezámého parametru eklese s vysokou a předem daou pravděpodobostí Horí odhad parametru je z výběru určeou statistikou H, kterou ezámý parametr epřekročí s vysokou a předem daou pravděpodobostí 3 Oboustraým odhadem parametru je dvojice z výběru určeých statistik D, H, z jejichž itervalu ezámý parametr evybočí s vysokou a předem daou pravděpodobostí 4 Pravděpodobosti v bodech až 3 azýváme spolehlivost odhadu Pravděpodobost opačého jevu (tj, že se itervalový odhad epodaří se azývá riziko odhadu 5 Sestrojeé itervaly se azývají itervaly spolehlivosti ebo kofidečí itervaly Některé kofidečí itervaly jsou symetrické, jié ikoli 6 U symetrických kofidečích itervalů jsou základími pojmy směrodatá chyba a přípustá chyba 7 Šířka kofidečího itervalu epřímo souvisí s jeho vypovídací hodotou Šířku kofidečího itervalu ovlivňuje kromě jiého rozsah výběru Existují postupy, jak staovit rozsah výběru tak, aby požadovaá šířka kofidečího itervalu ebyla překročea 8 Uvedli jsme kofidečí itervaly pro odhad jedoho parametru (jedovýběrové itervaly 9 Uvedli jsme také kofidečí itervaly pro rozdíl ebo podíl dvou parametrů (dvouvýběrové kofidečí itervaly ( (a předpokládáme výsledek > 30, proto využijeme, 96 u a staovíme 0,975 70, (b předpokládáme výsledek > 30, proto využijeme u, 576 a staovíme 54 0,995 0

7 ( Relativí šířka kofidečího itervalu 0,975 0,05 [ 9] [ 9] 45,7 6,00,69 ( 3 59 Navrhěte vhodý tvar itervalového odhadu pro tyto případy: odhad středí hodoty proudu, při které vype jistič, odhad podílu vadých výrobků v dodávce (z pohledu odběratele, odhad středí hodoty pevosti výtahového laa Rozdělte všechy kofidečí itervaly z odst a 3 podle toho, zda jsou symetrické ebo esymetrické 3 Co mají společého výrazy jejich estimátory? θ ( θ a? Jakých statistik se týkají? Jaké jsou 4 Staovte, při jakém průměrém možství výrobku v obalu eklese středí hodota s pravděpodobostí 0,995 pod a obalu uvedeé možství 00 ml Další zadaé hodoty 40, s,5 ml Vzhledem k podmíkám úlohy můžete použít kvatil u 0, 005 ebo t 39 0,005 [ ] 5 Staovte, při jaké přesosti plěí postačí průměré možství výrobku x 0 při rozsahu výběru 5, aby s pravděpodobostí 0,995 eklesla středí hodota pod a obalu uvedeé možství 00 ml 6 Staovte, při jakém rozsahu výběru postačí průměré možství výrobku x 0, 5, aby při přesosti plěí vyjádřeé směrodatou odchylkou 3 ml středí hodota možství výrobku v obalu se spolehlivostí 0,995 přesáhla deklarovaé možství 00 ml 7 Určete při jakém rozsahu výběru epřekročí s pravděpodobostí 0,99 parametr hodotu,58ásobku výběrové směrodaté odchylky 8 Kolikaásobek výběrové směrodaté odchylky epřekročí s pravděpodobostí 0,99 parametr při rozsahu výběru 0? 9 Při jaké spolehlivosti odhadu epřekročí při rozsahu 0 výběrové směrodaté odchylky? parametr,58ásobek 0 Nakreslete graf, který by zachytil vztah mezi přípustou chybou (volte postupě 0,0; 0,0; 0,03; 0,04; 0,05; 0,0 a rozsahem výběru při odhadu parametru θ, je-li výběrová relativí četost rova 0,5 Předpokládejte oboustraý kofidečí iterval při % riziku V ávazosti a úlohu 0 odhaděte z grafu, jakou přípustou chybu očekáváme při Ověřte si přesou hodotu výpočtem 000

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

2,3 ČTYŘI STANDARDNÍ METODY I, ČTYŘI STANDARDNÍ METODY II

2,3 ČTYŘI STANDARDNÍ METODY I, ČTYŘI STANDARDNÍ METODY II 2,3 ČTYŘI STADARDÍ METODY I, ČTYŘI STADARDÍ METODY II 1.1.1 Statické metody a) ARR - Average Rate of Retur průměrý ročí čistý zisk (po zdaěí) ARR *100 % ( 20 ) ivestic do projektu V čitateli výrazu ( 20

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

Národní informační středisko pro podporu jakosti

Národní informační středisko pro podporu jakosti Národí iformačí středisko pro podpor jakosti Kozltačí středisko statistických metod při NIS-PJ Výpočet koeficietů reglačích diagramů pro obecé riziko Ig. Václav Chmelík, CSc Ústav strojíreské techologie,

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

7. cvičení 4ST201-řešení

7. cvičení 4ST201-řešení cvičící 7. cvičeí 4ST21-řešeí Obsah: Bodový odhad Itervalový odhad Testováí hypotéz Vysoká škola ekoomická 1 Úvod: bodový a itervalový odhad Statistický soubor lze popsat pomocípopisých charakteristik

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více