Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním"

Transkript

1 Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí pokryje ezámý parametr rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy Při kostrukci kofidečích itervalů využíváme vedle dříve zavedeého ormovaého ormálího rozděleí především rozděleí z předešlé lekce: Studetovo, Peasoovo a Fisherovo Sedecorovo Pro jediý parametr kostruujeme kofidečí itervaly a podkladě jediého výběru Pro rozdíl ebo podíl dvou parametrů vycházíme z dvojice áhodých výběrů Vypovídací hodota kofidečího itervalu je epřímo úměrá jeho šířce Výzamý vliv a šířku kofidečího itervalu má rozsah výběru Proto se zabýváme i možostí předběžého staoveí takového rozsahu výběru, aby přípustá chyba odhadu epřesáhla požadovaou hodotu dolí odhad; horí odhad; iterval spolehlivosti; kofidečí iterval; levostraý iterval; miimálí rozsah výběru; oboustraý iterval; pravostraý iterval; přípustá chyba; riziko odhadu; směrodatá chyba; spolehlivost odhadu Pricip itervalového odhadu D, pro kterou P [ D Θ] Statistiku, kde číslo je blízké ule, azveme dolím odhadem parametru Θ a iterval D ;+ azveme levostraým itervalem pro odhad parametru Θ Statistiku H, pro kterou P [ Θ ] odhadem parametru Θ a iterval ( ; H azveme pravostraým itervalem pro odhad parametru Θ Dvojici statistik H, kde číslo je blízké ule, azveme horím D, H pro které P D Θ H, kde číslo je blízké ule, azveme oboustraým odhadem parametru Θ a iterval ; H D azveme oboustraým itervalem pro odhad parametru Θ Výše uvedeé itervaly se azývají také itervaly spolehlivosti ebo kofidečí itervaly Předem zvoleé číslo, blízké jedé, se azývá spolehlivostí odhadu, zatímco je riziko odhadu Spolehlivost odhadu se často volí apř a úrovi 0,95 ebo 0,99 (hovoří se také o 95% ebo 99% spolehlivosti Výše uvedeé vzorce vypovídají o tom, že očekáváme, že ezámý parametr Θ bude kofidečím itervalem pokryt s vysokou (a předem zvoleou pravděpodobostí blízkou jedé, zatímco jeho epokrytí (kdy itervalový odhad selže je možé s pravděpodobostí, blízkou ule (selháí odhadu je jevem prakticky emožým Zvolíme-li apř pravděpodobost 0, 0 jako pravděpodobost prakticky emožého jevu, počítáme s tím, že sestrojíme-li jede kofidečí iterval, bude hodota ezámého parametru itervalem pokryta Vyjádřete se k situaci, kdy je formou opakovaých pokusů sestrojeo ěkolik stovek kofidečích itervalů! 5

2 Nadále budeme kostruovat pouze oboustraé kofidečí itervaly K jedostraému itervalu přejdeme vyecháím jedé z obou hraic kofidečího itervalu, přičemž ovšem zaměíme pravděpodobosti a za, Kofidečí itervaly (jede výběr Kofidečí iterval pro parametr µ při zámém ebo velkém rozsahu výběru Při staoveí tohoto kofidečího itervalu stačí použít Pu X µ u, jehož sadou úpravou ( u u získáme PX u µ X + u Tohoto tvaru kofidečího itervalu lze využít eje pro zámé, ale i v případě tzv velkého výběru, je-li > 30 V tom případě bez dalších úprav použijeme bodového odhadu S est Všiměte si, prosím, jak se měí zápis kofidečího itervalu v okamžiku, kdy místo áhodých veliči začeme pracovat s jejich kokrétími hodotami realizacemi z určitého áhodého výběru Obecě můžeme pro realizaci itervalu psát x u µ x + u (srovej- te s předchozím tvarem Kofidečí iterval pro parametr µ při ezámém a malém rozsahu výběru V případě malého výběru ( < 30 při ezámém použijeme estimátor S est čímž získáme S S P X t µ X + t V kofidečím itervalu jsou použity kvatily Studetova rozděleí s stupi volosti Příklad Pro 5 áhodě vybraých žárovek jsme při kotrole životosti zjistili x 0, s 47 (v hodiách Se spolehlivostí 99 % určíme oboustraý kofidečí iterval pro středí hodotu životosti celé výrobí série 5 Nejprve určíme výběrovou směrodatou odchylku s s a vyhledáme t 0,995[ 4], 797 Takže 0,797 µ 0 +,797, z čehož 783 µ S vysokou spolehlivostí tedy můžeme tvrdit, že středí hodota životosti žárovky této výrobí série se achází v tomto rozmezí Pozor teto iterval evypovídá ic o idividuálí životosti jedotlivých žárovek, která se jistě pohybuje v podstatě širším rozmezí a avíc, evíme ic o jejím rozděleí pravděpodoboti! Doplňme ještě teto příklad o to, co zameá (ve světle tohoto výsledku tvrzeí výrobce, který garatuje pro celou sérii středí hodotu životosti 400 hodi? Vzhledem k tomu, že kofidečí iterval hodotu 400 epokrývá, je toto tvrzeí s velkou pravděpodobostí esprávé (skutečá životost je zřejmě ižší 6

3 Sestrojte za stejých podmíek jako v příkladu 90% a 95% koferečí iterval Vyjádřete se ke vztahu mezi rizikem a vypovídací hodotou kofidečího itervalu Kofidečí itervaly pro parametry, ( S S použitím rozděleí [ ] je ( S P Pozor tetokrát elze kalkulovat se symetrií, protože oba kvatily jsou růzá kladá čísla! Hraice kofidečího itervalu pro směrodatou odchylku získáme odmocěím hraic kofidečího itervalu pro rozptyl Příklad Vypočteme 95% kofidečí iterval pro směrodatou odchylku ze zadáí příkladu o životosti žárovek 0, 05 0, 975 Najdeme [ 4],40, [ 4] 39, z čehož Můžeme tedy tvrdit, že směrodatá odchylka 39,364,40 životosti výrobí série žárovek se prakticky jistě achází ve vypočteém rozmezí Staoveí miimálího rozsahu výběru při odhadu µ, Vypovídací schopost kofidečího itervalu je epřímo úměrá jeho šířce Veličiou, která v podstaté míře ovlivňuje šířku dosud probraých kofidečích itervalů (a eje jejich, je rozsah výběru Oba kofidečí itervaly pro středí hodotu mají aalogickou kostrukci, kterou můžeme vyjádřit jako P [ T Θ T + ] Přitom (je-li použit kvatil veličiy U u D( T Za- ( tímco D T jsme azvali směrodatou chybou, pak po jejím vyásobeí příslušým kvatilem získaou veličiu (velká delta azveme přípustou chybou Přípustá chyba představuje při daé spolehlivosti právě poloviu šířky kofidečího itervalu Vyjádříme-li ze vztahu u, u získáme, což je miimálí rozsah výběru, který zabezpečí, aby polovičí šířka kofidečího itervalu (přípustá chyba epřekročila zadaou hodotu Prakticky se vypočteé zao- krouhluje a ejbližší celé číslo směrem ahoru Očekáváme-li, že rozsah výběru vyjde větší ež 30, můžeme hodotu ezámého parametru sado ahradit výběrovým rozptylem V ávazosti a určete, jaký miimálí rozsah výběru vyžaduje (a 95% kofidečí iterval s přípustou chybou epřevyšující ± 00, (b 99% kofidečí iterval s přípustou chybou epřevyšující ± 50 ( Kofidečí iterval pro rozptyl je svojí stavbou odlišý Místo absolutího pojetí šířky itervalu [ ] H ( H D se využívá její relativí pojetí a κ Úloha se řeší tak, že hledáme D [ ] 7

4 oba kvatily pro takový počet stupňů volosti, pro který jejich podíl epřesáhe zadaou hodotu κ (kappa V ávazosti a určete relativí šířku 95% kofidečího itervalu pro směrodatou odchylku pro 30 ( Kofidečí iterval pro parametr θ V souvislosti s bodovým odhadem parametru θ jsme uvedli podmíku ormálí aproximace, kdy p ( p > 9 Při splěí tohoto předpokladu má výběrová relativí četost p ormálí rozděleí θ ( θ p θ s E( p θ, D ( p Veličia U má rozděleí N [ 0; ] Bodovým odhadem θ ( θ p ( p rozptylu veličiy p je výběrový rozptyl (předpokládejme, že rozsah výběru bude vždy dostatečě velké číslo Oboustraý kofidečí iterval pro parametr θ je p( p p( p P p u θ p + u I pro teto kofidečí iterval je adekvátí obecá kostrukce zmíěá v souvislosti s miimálím rozsahem výběru Aalogicky jako u parametru µ můžeme ozačit u u p( p, z čehož p( p Příklad 3 Z počtu 6 áhodě vybraých peumatik mělo ve sledovaém období defekt 7 kusů Se spolehlivostí 0,05 odhaděte parametr θ, kterým je pravděpodobost výskytu defektu 7 0,4( 0,4 0,4( 0,4 p 0,4 a 0,4,96 θ 0,4 +,96, z čehož 0,4 θ 0, 86, takže defektem bude s vysokou pravděpodobostí postižeo 4, až 8,6 % peumatik Mimochodem a tomto příkladě se můžeme poučit o obecém pravidle, že při zjišťováí slovích odpovědí (apř ao/e jako v tomto případě je ve srováí se zjišťováím číselých hodot (měřeím utý podstatě větší rozsah výběru, ež bychom zřejmě čekali To, co ušetříme a zjišťováí jedoho údaje, ztratíme a tom, že údajů je potřeba daleko více Zkrátka ic a světě eí zadarmo V ávazosti a 3 určete kolik peumatik by bylo třeba zařadit do sledováí, aby s rizikem 0,05 byl parametr θ odhadut s přípustou chybou ± 0, 05 ( 3 3 Kofidečí itervaly (dva výběry Kofidečí iterval pro rozdíl dvou středích hodot S využitím pozatků o rozděleí rozdílu dvou výběrových průměrů můžeme pro kofidečí iterval při zámých, vyvodit 8

5 P( X X u + µ µ ( X X + u +, zatímco při ezámých, použijeme bodové odhady (výběrové rozptyly S,S Tuto operaci lze provést bez jakýchkoli důsledků, je jsou-li rozsahy výběrů, dostatečě velké Všiměme si, že i teto kofidečí iterval vyhovuje obecé formuli, kterou jsme uvedli v souvislosti se staoveím miimálího rozsahu výběru při odhadu µ Příklad 4 Pokusíme se odpovědět a otázku, zda dvě plicí liky s deklarovaou přesostí vyjádřeou směrodatými odchylkami jsou astavey a stejou hmotost plěí O stejém astaveí liek vypovídá ulová hodota rozdílu parametrů µ µ K dispozici máme 5, aplěých obalů s průměrou hmotostí x 50, x 498 Spolehlivost odhadu volíme 0,99 3,576 + µ µ 3 +,576 +, z čehož,47 µ µ 4, 53 Vzhledem 5 5 k tomu, že kofidečí iterval eobsahuje ulu, můžeme s velkou pravděpodobostí tvrdit, že liky ejsou astavey a stejou hmotost Kofidečí iterval pro podíl dvou rozptylů S využitím pozatků o rozděleí podílu dvou rozptylů můžeme pro kofidečí iterval pro podíl S dvou rozptylů vyvodit S P, kde F jsou kvatily Fisherova Sedecorova rozděleí pro ; stupňů volosti Teto iterval je asymetrický (vzhledem k asy- S F S F metrii Fisherova Sedecorova rozděleí a jeho kostrukce esplňuje obecou formuli z odstavce o staoveí miimálího rozsahu výběru K usaděí tabelace hodot kvatilů využíváme Fp[ ν ; ν ] F ν ; ν p [ ] Příklad 5 V ávazosti a příklad 4 vyřešíme problém, zda obě plicí liky mají skutečě stejou přesost plěí Zjištěé hodoty výběrových směrodatých odchylek jsou s,3; s, 5 Přesost plěí obou liek bude stejá, pokud kofidečí iterval pro odhadu zvolíme a úrovi 5 % Hodoty kvatilů F [ 4;0],408; F [ 4;0] 0,975 0,05 F0,975 [ 0;4] bude obsahovat hodotu jeda Riziko 0,430 (a rozdíl od prvího z obou kvatilů byla hodota druhého určea jiým způsobem, ež z tabulek V tabulce 5e v příloze se přesvědčte to tom, že zatímco prví z obou kvatilů sado vyhledáme, tak vzhledem ke stručosti tabulek elze hodotu druhého z kvatilů z tabulky přesě určit,3,3 Staovíme, z čehož 0,976 5, 468 Vzhledem k tomu, že vypočteý iterval obsahuje jedičku, emůžeme tvrdit, že přesost plěí u obou liek se,5,408,5 0,430 liší 9

6 Kofidečí iterval pro rozdíl θ θ Zcela aalogicky jako pro rozdíl µ µ můžeme s využitím ormálího rozděleí sestrojit kofidečí iterval pro rozdíl θ θ Teto iterval je p( p p ( p P[( p p u + θ θ Rozhoděte, ( p p + u p( p p + ( p ] pro jaké výběrové relativí četosti bude za jiak stejých podmíek mít kofidečí iterval pro rozdíl θ θ ejmeší šířku Můžete vybrat: relativí četosti blízké 0,; 0,5; 0,8 Σ Dolí odhad parametru je z výběru určeou statistikou D, pod kterou hodota ezámého parametru eklese s vysokou a předem daou pravděpodobostí Horí odhad parametru je z výběru určeou statistikou H, kterou ezámý parametr epřekročí s vysokou a předem daou pravděpodobostí 3 Oboustraým odhadem parametru je dvojice z výběru určeých statistik D, H, z jejichž itervalu ezámý parametr evybočí s vysokou a předem daou pravděpodobostí 4 Pravděpodobosti v bodech až 3 azýváme spolehlivost odhadu Pravděpodobost opačého jevu (tj, že se itervalový odhad epodaří se azývá riziko odhadu 5 Sestrojeé itervaly se azývají itervaly spolehlivosti ebo kofidečí itervaly Některé kofidečí itervaly jsou symetrické, jié ikoli 6 U symetrických kofidečích itervalů jsou základími pojmy směrodatá chyba a přípustá chyba 7 Šířka kofidečího itervalu epřímo souvisí s jeho vypovídací hodotou Šířku kofidečího itervalu ovlivňuje kromě jiého rozsah výběru Existují postupy, jak staovit rozsah výběru tak, aby požadovaá šířka kofidečího itervalu ebyla překročea 8 Uvedli jsme kofidečí itervaly pro odhad jedoho parametru (jedovýběrové itervaly 9 Uvedli jsme také kofidečí itervaly pro rozdíl ebo podíl dvou parametrů (dvouvýběrové kofidečí itervaly ( (a předpokládáme výsledek > 30, proto využijeme, 96 u a staovíme 0,975 70, (b předpokládáme výsledek > 30, proto využijeme u, 576 a staovíme 54 0,995 0

7 ( Relativí šířka kofidečího itervalu 0,975 0,05 [ 9] [ 9] 45,7 6,00,69 ( 3 59 Navrhěte vhodý tvar itervalového odhadu pro tyto případy: odhad středí hodoty proudu, při které vype jistič, odhad podílu vadých výrobků v dodávce (z pohledu odběratele, odhad středí hodoty pevosti výtahového laa Rozdělte všechy kofidečí itervaly z odst a 3 podle toho, zda jsou symetrické ebo esymetrické 3 Co mají společého výrazy jejich estimátory? θ ( θ a? Jakých statistik se týkají? Jaké jsou 4 Staovte, při jakém průměrém možství výrobku v obalu eklese středí hodota s pravděpodobostí 0,995 pod a obalu uvedeé možství 00 ml Další zadaé hodoty 40, s,5 ml Vzhledem k podmíkám úlohy můžete použít kvatil u 0, 005 ebo t 39 0,005 [ ] 5 Staovte, při jaké přesosti plěí postačí průměré možství výrobku x 0 při rozsahu výběru 5, aby s pravděpodobostí 0,995 eklesla středí hodota pod a obalu uvedeé možství 00 ml 6 Staovte, při jakém rozsahu výběru postačí průměré možství výrobku x 0, 5, aby při přesosti plěí vyjádřeé směrodatou odchylkou 3 ml středí hodota možství výrobku v obalu se spolehlivostí 0,995 přesáhla deklarovaé možství 00 ml 7 Určete při jakém rozsahu výběru epřekročí s pravděpodobostí 0,99 parametr hodotu,58ásobku výběrové směrodaté odchylky 8 Kolikaásobek výběrové směrodaté odchylky epřekročí s pravděpodobostí 0,99 parametr při rozsahu výběru 0? 9 Při jaké spolehlivosti odhadu epřekročí při rozsahu 0 výběrové směrodaté odchylky? parametr,58ásobek 0 Nakreslete graf, který by zachytil vztah mezi přípustou chybou (volte postupě 0,0; 0,0; 0,03; 0,04; 0,05; 0,0 a rozsahem výběru při odhadu parametru θ, je-li výběrová relativí četost rova 0,5 Předpokládejte oboustraý kofidečí iterval při % riziku V ávazosti a úlohu 0 odhaděte z grafu, jakou přípustou chybu očekáváme při Ověřte si přesou hodotu výpočtem 000

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

7. cvičení 4ST201-řešení

7. cvičení 4ST201-řešení cvičící 7. cvičeí 4ST21-řešeí Obsah: Bodový odhad Itervalový odhad Testováí hypotéz Vysoká škola ekoomická 1 Úvod: bodový a itervalový odhad Statistický soubor lze popsat pomocípopisých charakteristik

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Náhodné jevy a pravděpodobnost

Náhodné jevy a pravděpodobnost Lekce Náhodé jevy a pravděpodobost Výklad pravděpodobosti musí začít evyhutelě od základích pojmů Pravděpodobost, velmi zjedodušeě řečeo, pojedává o áhodých jevech (slově vyjádřeých výsledcích áhodých

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání

Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání K čemu to je dobé? Obvyklým případem při zpacováí homadých jevů je, že máme poměě malý počet pozoováí ějaké veličiy a chceme učiit závěy o tom, co bychom obdželi, kdybychom měli pozoováí mohokát více.

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II.

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II. Statistika I. - Teorie ) Statistika - Číselé údaje o hromadých jevech. Praktická čiost - sběr, zpracováí a vyhodocováí statistických údajů - Teoretická disciplía - metody k odhalováí zákoitostí při působeí

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více