Stavební mechanika 01 (K132SM01)

Transkript

1 Stavební mechanika 01 (K132SM01) Přednáší: prof. Ing. Petr Kabele, Ph.D. Katedra mechanik K11132 místnost 328 tel. linka: a doc. Ing. Matěj Lepš, Ph.D. Katedra mechanik K

2 Tři pilíře studia na vsoké škole Přednášk širší pohled na problematiku teoretické áklad pro další tvůrčí rovoj ilustrativní příklad Cvičení vužití ískaných nalostí pro řešení konkrétních příkladů pod vedením pedagoga praktické trik a návod 2 Petr Šmerkl, Wikipedia Samostatná práce studium látk přednášek a cvičení - pochopení domácí úkol a příprava k testům a kouškám - vužití ískaných nalostí pro samostatné řešení konkrétních příkladů

3 Organiace a podmínk výuk předmětu: Stavební mechanika 1 Literatura: Kabele a kol.: Stavební mechanika 1. Příklad, ES ČVUT (2014) Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 10, ES ČVUT Kufner, Kuklík: Stavební mechanika 20, ES ČVUT (Kufner, Kratěnová, Kuklík: Teoretická mechanika, Příklad, ES ČVUT) (eer, Johnston: Vector nalsis for Engineers, McGraw-Hill) Další studijní materiál: Wiki stránk katedr mechanik: %27s_corner PROJEKT: Posílení vab teoretických předmětů a profesní orientace v prvních dvou ročnících bakalářského studijního programu Stavební inženýrství 3

4 1. Úvod Co je to mechanika? Nauka o chování těles vstavených působení sil. de chováním roumíme: přenášení atížení, měn tvaru a objemu (deformace), pohb,... Stavební mechanika: studuje přenášení atížení, deformace, pohb, porušení,... stavebních konstrukcí vstavených účinkům atížení. Statika se abývá těles nacháejícími se v klidu, silami, které mei takovýmito těles působí a rovnováhou celého sstému. Dnamika se abývá těles v pohbu a ohledňuje působení setrvačných a tlumících sil. 4

5 Proč je nutno studovat (stavební) mechaniku? 1) epečnost a spolehlivost stavebních konstrukcí Specifika stavebních konstrukcí: požadovaná životnost: desítk až stovk let vážné společenské a hmotné následk případné chb v projektu či havárie inženýr musí umět navrhnout stavební konstrukci tak, ab bla bepečná a spolehlivá po celou dobu své životnosti 5

6 Havárie mostu Tacoma Narrows ridge (US) avěšený most, délka 1810 m uveden do provou 1. července 1940 řítil se 7. listopadu 1940 v důsledku vibrací vbuených větrem o rchlosti 70 km/h 6

7 Tacoma Narrows ridge 7

8 Tacoma Narrows ridge 8

9 Havárie mostu Tacoma Narrows ridge (US) příčina použití nového řešení mostovk: plné I profil namísto příhradových při obtékání větru pod a nad mostovkou interakce proudícího vduchu a konstrukce působila nestabilní oscilace (aeroelastický flutter) 9

10 Velké emětřesení v oblasti Hanšin (Kóbe) Japonsko) 17. ledna 1995, před 6. hodinou ráno magnituda Mw 6,8 intenita 5-7 na sedmistupňové japonské stupnici rchlení na povrchu až 0,8 g (8 m/s 2 ) kolaps mnoha stavebních konstrukcí, ejm. postavených podle starých norem 10

11 Velké emětřesení v oblasti Hanšin Dálnice Hanšin monolitické želeobetonové pilíře (tp pilt ) 11

12 Velké emětřesení v oblasti Hanšin simulace: Concrete Lab., Univ. of Toko příčina kolapsu: nedostatečná a příliš níko ukončená podélná výtuž, nedostatečné kotvení výtuže, nedostatečná smková kapacita pilířů 12

13 Velké emětřesení v oblasti Tóhoku (Japonsko) 11. břena 2011 magnituda Mw 9 maimální rchlení na povrchu 2,99 g foto: Report b the First Joint Surve Team of the JSCE Concrete and Structural Engineering Committees on the damage caused b the Great East Japan Earthquake pilíř esílený proti účinkům emětřesení pomocí želeobetonové obálk 13

14 Proč je nutno studovat (stavební) mechaniku? 2) Vrůstající nárok na stavební konstrukce všší, delší, větší... kvalitnější trvanlivější levnější konstrukce Inovativní mechanická (statická) řešení konstrukce a vývoj a vžití nových materiálů jsou kritickým faktor pro splnění těchto požadavků. 14

15 Vláknocementové kompoit s tahovým pevněním Engineered Cementitious Composite (ECC) - ohebný beton 15

16 Vývoj ECC materiálu víceúrovňový mechanický model mikromechanick odladěná skladba Makro Meo II Meo I Mikro 10-2 m 10-3 m i r i σ S + k σ i crack = K m π r i Nb b 1 t = Pϕ c i= 1 t ɶ i 10-3 m 10-4 m

17 Inovativní konstrukční řešení s použitím ECC KM uilding (Ósaka, Japonsko, 9/2008) celková výška 210 m počet podlaží: 54 nademních 1 podemní počet btových jednotek: 465 výstavba: ~ seimické atížení 17

18 Konstrukční řešení Tradiční řešení: Ž jádro (superstěna) + super nosník + tlumiče Inovativní řešení: supernosník nahraen smkovými nosník duktilního vláknobetonu ECC 18 obráek: Kajima Technical Research Institute

19 19

20 20

21 21

22 Metoda mechanik Fická úloha modelování Matematická úloha řešení Výsledek: předpověď, reprodukce chování kce. Soustava rovnic 22

23 Modelování: idealiace, jednodušení - identifikace dominantního mechanismu chování definice veličin popisujících působení atížení, jeho přenášení v konstrukci a následné chování konstrukce (síla, přemístění, napětí, deformace,...) definice vtahů mei těmito veličinami: vcháí obecně platných fikálních ákonů a aiomů (ákon achování energie, hmot, hbnosti, ákon síl,...) Řešení: podle tpu matematické úloh vužíváme růných matematických a výpočetních technik (analtické, numerické - vhodné pro počítač,...) 23

24 V tomto předmětu (SM1): konstrukce či její části budou idealiován jako bod nebo tuhé prvk (desk nebo tělesa) budeme studovat rovnováhu konstrukce a jejích částí, přenášení sil v konstrukci 24

25 2. Přehled některých ákladní nalostí matematik 2.1 Trigonometrie Pravoúhlý trojúhelník sin α = a/c cos α = b/c tan α = a/b Pthagorova věta: c 2 = a 2 + b 2 Obecný trojúhelník α c b a Sinová věta: a : b : c = sin α : sin β : sin γ Kosinová věta: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ α b c γ β a 25

26 2. Přehled některých ákladní nalostí matematik 2.2 Vektorový počet Kartéský souřadnicový sstém Souřadnicový sstém v prostoru: soustava tří vájemně kolmých os,, pravotočivá soustava: pootočení v kladném smslu kolem v kladném smslu kolem v kladném smslu kolem (kladný smsl - proti směru hodin. ručiček při pohledu proti ose) Souřadnicový sstém v rovině: 26

27 2.2.2 Vektor Skalár: veličina daná poue velikostí, neávisí na volbě souřadnicového sstému Vektor V: veličina daná velikostí, směrem a orientací vžd se vtahuje k souřadnicovému sstému áové vektor (souřadnicové vektor) e 1, e 2, e 3 : jednotkové vektor v kladných směrech souřadnicových os e 3 γ β α e 2 e 1 V Směrové úhl α, β, γ: úhl mei kladnými souřadnicovými poloosami a vektorem V platí cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 27

28 Vjádření vektoru prostřednictvím složek: složk: kolmé průmět vektoru do směrů souřadnicových os V= { V ; V ; V } s použitím směrových úhlů: V = V cos α V e 3 γ V V = V cos β β V V = V cos γ V... velikost vektoru V α e 2 e 1 báové vektor:e 1 = {1; 0; 0} e 2 = {0; 1; 0} e 3 = {0; 0; 1} 28

29 V... velikost (délka) vektoru V: V = V + V + V samotný smbol V... může nabývat áporných i neáporných hodnot, nese informaci o velikosti vektoru V a jeho orientaci: kladná hodnota... orientace shodná s předpokládanou áporná hodnota... orientace opačná s předpokládanou Např: předpokládaná orientace vektoru V: výsledek výpočtu: skutečná orientace vektoru V: V = -5 V =5 V V = 3 V = 3 29

30 Vektor určený dvěma bod: K [ K, K, K ] a L [ L, L, L ] V L V = KL = { L - K, L - K, L - K } K K K K L L L 30

31 2.2.3 Operace s vektor Součet vektorů a je vektor C, pro který platí: C = { + ; + ; + } načení: C = + vlastnosti: + = + geometrický výnam: C C C 31

32 Součinem skaláru s a vektoru je vektor, pro který platí: = {s, s, s } s = načení:= s vlastnosti: * s = s * vektor jsou rovnoběžné * velikost = s + s + s = s s = 32

33 Použití: Vjádření složek jednotkového vektoru f ležícího v paprsku daném dvěma bod K [ K, K, K ] a L [ L, L, L ]: Hledáme f = { f ; f ; f }; f = 1 KL = { L - K, L - K, L - K } KL = ( L K ) ( L K ) ( L K ) 1 KL L bchom ískali jednotkový vektor, přenásobíme KL skalárem 1 KL f = 1 KL KL K K K f L K L L f = ; f = ; f = KL KL KL L K L K L K 33

34 Použití: Vjádření složek vektoru s použitím jednotkového vektoru ve směru V: Dáno: f = { f ; f ; f }; f = 1 hledáme V V = V f V = V f f f f V V = V f Také f = cos α f = cos β f = cos γ f 34

35 Skalárním součinem vektorů a je skalár s, pro který platí: s = cos ϕ = + + ϕ načení: s =. vlastnosti: *. =. * pro : cos ϕ = 0, s = 0 geometrický výnam a použití: * např. vjádření složek vektoru V V = V cos α = V. e 1 V = V cos β = V. e 2 V = V cos γ = V. e 3 V * skalární součin V. e vjadřuje průmět vektoru V do os určené jednotkovým vektorem e. V V e 3 γ β α e 2 e 1. V. e V V e 35

36 ( ) ( ) ( ) } C, C, {C e C e C e C e e e e e e C = + + = + + = = = Vektorovým součinem vektorů a je vektor C který má následující vlastnosti: 1. velikost C = sin ϕ (plocha rovnoběžníka) 2. vektor C je kolmý k vektorům a 3. vektor,, C tvoří pravotočivou soustavu ϕ C C.. načení: C = vlastnosti: * = - * s ( ) = (s ) = (s ) * ( + ) D = D + D vjádření složek 36

37 Vsuvka: výpočet determinantu matice 33 a a a a a a a a a = a11 a22 a33+ a21 a32 a13+ a12 a23 a31 a13 a22 a31 a12 a21 a33 a23 a32 a11 37

38 načení: s = ( ). C geometrický výnam: objem rovnoběžnostěnu určeného vektor,, C vlastnosti: * ( ). C > 0 jestliže vektor,, C neleží v jedné rovině a tvoří pravotočivou soustavu * ( ). C = 0 leží-li vektor,, C v jedné rovině nebo je-li aspoň jeden nich nulový * ( ). C = C. ( ) * ( ). C = -( ). C * ( ). C = ( C). = (C ). C C C - C C C C C C s + + = = smíšeným součinem vektorů, a C je skalár s definovaný determinantem: C.. 38

39 3. Geometrie sil 3.1 Síl působící v jednom bodě Zadání úloh, předpoklad Úloha této kapitol: matematick popsat mechanické účink atížení na konstrukci a účink částí konstrukce navájem. Zjednodušující předpoklad: konstrukci (její části) můžeme idealiovat jako bod. Účink budeme popisovat prostřednictvím vektorové veličin -- síl. 39

40 3.1.2 Síla načení F, R definice, např. e ákona síl: Změna hbnosti hmotného bodu a jednotku času je rovna síle působící na hmotný bod: dh dt d( mv) = dt = F při konstantní hmotnosti bodu: dv m dt = ma = F ákladní jednotka: N (Newton) 1N = 1 kg m s -2 40

41 síla je vektor váaný na bod ve kterém působí (působiště) (operace se silami = operace s vektor) * složk F = { F ; F ; F } F = F. e 1 = F cos α = F f F = F. e 2 = F cos β = F f F = F. e 3 = F cos γ = F f F F γ α f β F F * velikost síl: F= F + F + F

42 3.1.3 Základní aiom v souladu s vektorovým pojetím síl F iom o rovnováe sil: F + (-F) = { F +(-F ); F +(-F ); F +(-F ) } = { 0; 0; 0 } = 0 Věta o posunu působiště síl po jejím paprsku: Účinek síl na tuhé těleso se nemění, posune-li se její působiště po paprsku, v němž síla působí. F = -F F 42 (tuhá tělesa... síla je vektor váaný na paprsek)

43 iom o rovnoběžníku sil (sčítání sil): (geometrická interpretace) F r výslednice sil F 1 af 2 F r velikost výslednice F 2 F r kosinové vět: 2 2 F = F + F 2 F F cos( π ϕ) r cos( π ϕ) = cosϕ 2 2 Fr = F1 + F2 + 2 F1 F2 cosϕ sinová věta: sinϕ F 1 sinϕ1 = = sin( π ϕ) F sinϕ 2 r sinϕ F 2 1 sinϕ2 = = sin( π ϕ) F sin( ϕ) r ϕ ϕ 2 ϕ 1 ϕ 1 π ϕ π ϕ F 1 F r ϕ 2 F 1 F 2 43

44 This image cannot currentl be displaed. odvoení pomocí vektorového počtu výslednice F r dvou sil F 1 a F 2 F r = F 1 + F 2 = { F 1 +F 2 ; F 1 +F 2 } (komutitativnost sčítání sil) velikost výslednice F r dvou sil F 1 a F F = F + F = F + F + F + F 2 2 ( ) ( ) r r r = F1 + F2 + 2F1 F2 + F1 + F2 + 2F1 F2 = F F F1 F2 skalární součin 44

45 Příklad: Roložte sílu F do dvou složek, které působící v paprscích a a b. b F = 10kN F b ϕ' ϕ b= 85 ϕ = 30 a F a a ϕ= ' = 65 sinová věta: sinϕa Fb sinϕa sin 30 = Fb = F = 10 = 5,517 kn sin ϕ ' F sin ϕ ' sin 65 sinϕb Fa sinϕb sin 85 = Fa = F = 10 = 10,992 kn sin ϕ ' F sin ϕ ' sin 65 45

46 3.1.4 Svaek sil Soustava sil = seskupení sil působících na těleso {F i } = {F 1, F 2, F 3,..., F n } Svaek sil = soustava sil, jejichž paprsk se protínají v jednom bodě - prostorový - rovinný: všechn paprsk leží v jedné rovině 46

47 Úloh: výsledný účinek svaku sil: nahraení svaku sil jedinou silou se stejným účinkem - výslednicí {F i } = F r úloha rovnováh: rušení účinku svaku sil {F i } přidáním svaku {R i } {F i } + = 0 {R i } úloha ekvivalence: nahraení účinku svaku sil {F i } svakem {R i } {F i } = {R i } 47

48 3.1.5 Prostorový svaek sil Př.1: Určete výsledný účinek svaku sil 1. Určit složk 2. Výslednice krchle o hraně 3m O F F r =F 1 +F 2 +F i = F i f i 3 F F r =F 1 +F 2 +F i = F i f i 3 F 3 =3kN F i = F i f i F r =F 1 +F 2 +F 3 F 1 =5kN i=1,2,3 F r =F 1 +F 2 +F 3 C F 2 =10kN 3. Velikost výslednice F = F + F + F = kn r r r r i Fi poč kon vektor jednot. vektor vektor síl 48 b b vel f i f i f i F i F i F i C O r

49 5.268 kn F r = kn kn 49

50 Př.2: Uveďte svaek sil př.1 do rovnováh 3 silami R 1, R 2, R 3 krchle o hraně 3m E R 3 O D R 2 R 1 Pon.: Vnačené orientace sil R 1, R 2, R 3 předpokládáme. Protože skutečné orientace jsou nenámé, do výpočtu avádíme R 1, R 2, R 3 namísto velikostí R 1, R 2, R 3. Znaménka R 1, R 2, R 3 pak určí skutečnou orientaci. Podmínk rovnováh F r +R 1 +R 2 +R 3 =0 : F r +R 1 +R 2 +R 3 =0 : F r +R 1 +R 2 +R 3 =0 : F r +R 1 +R 2 +R 3 =0 : F r +R 1 f 1 +R 2 f 2 +R 3 f 3 =0 : F r +R 1 f 1 +R 2 f 2 +R 3 f 3 =0 : F r +R 1 f 1 +R 2 f 2 +R 3 f 3 =0 i poč kon vektor jednot. vektor 50 b b vel f i f i f i 1 E D

51 : R R R 3 = 0 : R R 2 +0 R 3 = 0 : R 1 +0 R R 3 = 0 R 1 = kn R 2 = kn R 3 = kn O E nebo O E D R 1 =8.297 kn D R 1 =8.297 kn R 3 = kn R 2 =5.847 kn R 3 = kn R 2 = kn 51

52 Př.3: Nahraďte svaek sil př.1 třemi silami R 4, R 5, R 6 (ekvivalence) krchle o hraně 3m R 6 D R 5 G R 4 Pon.: Vnačené orientace sil R 4, R 5, R 6 předpokládáme. Protože skutečné orientace jsou nenámé, do výpočtu avádíme R 4, R 5, R 6 namísto velikostí R 4, R 5, R 6. Znaménka R 4, R 5, R 6 pak určí skutečnou orientaci. Podmínk ekvivalence F r =R 4 +R 5 +R 6 : F r =R 4 +R 5 +R 6 : F r =R 4 +R 5 +R 6 : F r =R 4 +R 5 +R 6 : F r =R 4 f 4 +R 5 f 5 +R 6 f 6 : F r =R 4 f 4 +R 5 f 5 +R 6 f 6 : F r =R 4 f 4 +R 5 f 5 +R 6 f 6 i poč kon vektor jednot. vektor 52 b b vel f i f i f i G D

53 : = 0 R R R 6 : = 0 R R R 6 : = -1 R 4 +0 R R 6 R 4 = kn R 5 = kn R 6 = kn R 6 = kn D G R 4 = kn R 5 = kn nebo R 6 = kn D G R 4 = kn R 5 = kn 53

54 3.1.6 Rovinný svaek sil 54

55 Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám předmětu Stavební mechanika 1 pro student Stavební fakult ČVUT v Prae. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualiován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chb. Datum poslední revie: :00 55