, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download ", která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku"

František Rohla
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Cvičeí z ieárí agebry 4 Vít Vodrák Cvičeí č Determiat a vastosti determiatů Výpočet determiat djgovaá a iverzí matice Cramerovo pravido Determiat Defiice: Nechť je reáá čtvercová matice řád Čtvercovo matici, která vzika z matice vyecháím i-tého řádk a j-tého sopce azýváme miorem matice přísšém k prvk a Příkad: 4 5,, Defiice: Determiatem reáé čtvercové matice a ] řád, azýváme reaé číso, které začíme det ebo, a pro které patí a je-i, [ a a + + ( ) a pro > Příkad: Vypočtěte determiat matice det ( 5 8 ) ( 4 7 ) + ( ) ( 5 8) ( 4 7) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + Příkad: Vypočtěte determiat matice a b c d det a b a d b c ad bc c d

2 Cvičeí z ieárí agebry 5 Vít Vodrák Pozámka: Determiat doí trojúheíkové matice je rove soči prvků a diagoáe Nechť je dáa doí trojúheíková matice L Pak de defiice determiat je det L ( ) + + ( ) Pozámka: gebraickým dopňkem prvk (i,j) čtvercové matice azýváme číso i+ j ) (, kde je mior matice přísšý prvk i,j Pak se dá drhý bod defiice determiat přepsat do tvar a + a + + a Vastosti determiat: Věta: Nechť, B jso čtvercové matice stejého řád Jestiže matice B vzika z matice vzájemo výměo dvo řádků pak det det B Jestiže matice B vzika z matice vyásobeím jedoho řádk čísem α pak αdet det B Jestiže matice B vzika z matice přičteím ásobk jedoho řádk k drhém pak det det B Důsedek: Jestiže má čtvercová matice jede řádek ový pak det Jestiže má čtvercová matice ieárě závisé řádky pak det Jestiže je čtvercová matice sigárí pak det Věta (Rozvoj determiat pode řádk): Nechť je čtvercová matice řád Pak i,, a + a + + a i i i i i i pro ibovoé Pozámka: Determiat horí trojúheíkové matice je rove soči prvků a diagoáe

3 Cvičeí z ieárí agebry Vít Vodrák Nechť je dáa horí trojúheíková matice U + + +,, Pak de rozvoje determiat pode posedího řádk je detu + + +,,,,,, Věta: Nechť je ibovoá čtvercová matice Pak det T det Důsedek: Všechy všechy výše vedeé vastosti determiat patí i pro sopce Výpočet determiat Z výše vedeých vastostí tedy vypývá, že je možé pomocí eemetárích řádkových úprav podobě jako v případě Gassovy eimiace pravit ibovoo matici a horí trojúheíkovo Přitom msíme ovšem mít a paměti ásedjící pravida: Vyásobíme-i ibovoý řádek matice eovým čísem, vyásobí se tímto čísem i determiat této matice a proto msíme determiat takto praveé matice vyděit tímto čísem Vyměíme-i dva ibovoé řádky matice, změí se zaméko determiat matice Přičteme-i ásobek jedoho řádk matice k jiém, determiat se eměí Navíc všechy tyto úpravy můžeme požít pokd je to výhodé i pro úprav sopců Pokd takto pravíme matici a horí případě i doí trojúheíkový tvar, je výsedý detrmiat rove soči prvků a diagoáe Příkad: Vypočtěte determiat matice

4 Cvičeí z ieárí agebry 7 Vít Vodrák det 4 5 4ř ( ) ( ) 7 8 7ř + ř 8 8 djgovaá a iverzí matice Defiice: atice ɶ, kde je agebraický dopěk prvk k matici Příkad: Naezěte adjgovao matici k matici a ve čtvercové matici azýváme adjgovao maticí + + ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), + + ( ) (4 ) 4, ( ) ( + ) 4, + + ( ) ( ) 4 ɶ 4 Věta: Nechť je čtvercová matice řád a echť det Pak je matice regárí a patí ɶ det

5 Cvičeí z ieárí agebry 8 Vít Vodrák Příkad: Naezěte iverzí matici k matici det + ř ř + ř 4 ɶ 4 det Pozámka: Je třeba si povšimot, že sestaveí adjgovaé matice je výpočetě vemi áročý proces a apříkad pro matici řád 4 je zapotřebí vypočítat determiatů řád Z tohoto důvod je mohem výhodější pro výpočet determiatů matice požívat Gass-Jordaov eimiačí metod Požití adjgovaé matice pro výpočet iverzí matice má tedy sad výzam poze pro výpočet iverzí matice k matici, jejíž prvky jso zadáy parametricky a to je pro vemi maé řády Cramerovo pravido Defiice: Nechť je dáa sostava ieárích rovic o ezámých x pak sostava má jedié řešeí a pro jeho sožky patí b det i xi, det kde matice vzika z matice záměo i-tého sopce za vektor pravých stra b b i Příkad: Pomocí Cramerova pravida vyřešte sostav x + x + x x + x x + x + x, b b Je-i matice regárí

6 Cvičeí z ieárí agebry Vít Vodrák det a proto je matice sostavy regárí Rozvoj pode sopce b det 4 x + ř 4 ( 4), det + det x ř ř det ř ř x b + 4 Rozvoj pode sopce det b s s ř ( ) 4, 4 + ( ) det Řešeím sostavy je tedy x, x, x což se dá sado ověřit dosazeím do zadaé sostavy Pozámka: Z příkad je patré, že řešeí sostavy ieárích rovic pomocí Cramerova pravida je výpočetě mohem více áročé ež řešeí pomocí Gassovy eimiace Např pokd počítáme determiat matice, msíme ji pravit a trojúheíkový tvar již toto odpovídá svo áročostí pravě a schodový tvar v Gassově eimiaci Tto úprav pak při žití Cramerova pravida msíme ještě opakovat pro všechy sožky řešeí!!!!

Podobné dokumenty

Cvičení č. 13 Determinant a vlastnosti determinantů. Výpočet determinantu. Adjungovaná a inverzní matice. Cramerovo pravidlo.

Cvičení č. 13 Determinant a vlastnosti determinantů. Výpočet determinantu. Adjungovaná a inverzní matice. Cramerovo pravidlo. Cvičení z ineární agebry 64 Vít Vondrák Cvičení č 3 Determinant a vastnosti determinantů Výpočet determinant djngovaná a inverzní matice Cramerovo pravido Determinant Definice: Nechť je reáná čtvercová