M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e"

Transkript

1 M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě

2 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9

3 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Jk teto studijí mteriál používt? Název tohoto studijího mteriálu je Mtice ve středoškolské mtemtice Jk už je z ázvu zřejmé, obsh odpovídá látce mtemtického semiáře, popř volitelého semiáře z progrmováí Osobě jsem jej použil v semiáři cvičeí z mtemtiky pro ročík ve volitelém semiáři z progrmováí při deklrcích dvourozměrých polí Uvědomuji si, že mticový počet eí stdrdě probírou látkou středoškolské mtemtiky, což jsem se sžil vykompezovt závěrečou sekcí Užití determitů ve vektorové lgebře lytické geometrii Úsporým způsobem zde defiuji zákldí teorii mticového počtu, bych ji mohl ásledě plikovt vybré kpitoly vektorové lgebry lytické geometrie Pre ukázl, že studeti třetího ročíku emjí s tkto omezeou teorií mticového počtu výrzější problémy Početí operce s mticemi (vyšších řádů) jsou umericky velmi áročé, proto podmíkou ikoli postčující, le utou je používt tbulkový procesor Při popisu potřebých fukcí s mticemi jsem se změřil dv ejzámější MS Ecel Oo Clc Vše lezete v kpitolách Využití tbulkového procesoru Ecel resp Clc při počítáí s mticemi determity I zde pre přiesl pozitiví výsledky Studeti jsou ušetřei zdlouhvých výpočtu mohou se tk více soustředit jádro problému Doporučuji s poodhleím možostí tbulkových procesoru počkt, dokud si studet eosmělí zákldí dovedosti mticové teorie s ppírem tužkou v ruce Vtiskout mu ávyk, že počítč je spíše kotrolím prostředkem K mteriálu přikládám soubor mtice determityls Můžete si jej stáhout z wwwmedlkcz/ftp/kv/ Zde lezete příkldy i s řešeím Prví list obshuje zdáí, druhý řešeí třetí je urče pro smotý výpočet Mtice ze zdáí kopírujte přes schráku Přál bych si, by tto práce šl využití při výuce mticového počtu Přípdé ohlsy (pozitiví i egtiví) můžete posílt Dlší ispirci můžete čerpt utor /9

4 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Obsh: Jk teto studijí mteriál používt? Mtice Typy mtic Operce s mticemi Porováváí mtic Sčítáí mtic Násobek mtice7 Násobeí mtic 7 Hodost mtice 7 Řešeí soustv rovic mticovou metodou 7 Iverzí mtice 8 Jk určíme iverzí mtici? 8 Determity Defiice determitu Výpočet determitu Druhého řádu Třetího řádu Výpočet determitu vyšších řádů Vlstosti determitů 7 Metody řešeí soustv lieárích rovic 7 Gussov elimičí metod 7 Crmerovo prvidlo 7 Řešeí soustvy rovic v mticovém tvru 8 Využití tbulkového procesoru Ecel při počítáí s mticemi determity7 8 Součet mtic7 8 Souči mtic 7 8 k ásobek mtice8 8 Iverzí mtice 8 8 Determit 9 9 Využití tbulkového procesoru OpeOfficeorg Clc při počítáí s mticemi determity 9 Souči mtic 9 Dlší fukce pro počítáí s mticemi determity v OpeOfficeOrg Clc Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii Vektorový souči Geometrický výzm vektorového součiu Smíšeý souči Hledáí obecé rovice roviy s použitím determitu7 Vzájemá poloh dvou přímek8 V roviě (E )8 V prostoru (E )8 /9

5 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9

6 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Mtice V úvodí kpitole si zdefiujeme mtici ěkolik souvisejících pojmů Upozoríme důležité typy mtic ukážeme si postup pro hledáí iverzí mtice Dále pk početí operce s mticemi (porováváí, sčítáí, k-ásobek souči mtic) V závěrečé části této kpitoly si vysvětlíme, co je to hodost mtice pro účely dlších kpitol Mticí typu ( m, ) d R rozumíme tbulku sestveou z m relých čísel -tice (,, ) m m i, i i se zývá i-tým řádkem mtice, j, j mj,,, kk hlví digoálou mtice -tice (,, ) se zývá j-tým sloupcem mtice, k-tici čísel ( ) m Typy mtic Mtice typu (, ) se zývá čtvercová mtice stupě, Jedotková mtice stupě je čtvercová mtice, jejíž kždý prvek hlví digoály je rove E, kde e, pro všechy osttí jsou rovy (budeme ozčovt E); tz ( ) i,, e pro i j, kde i, j,, ij Mtice, jejímiž prvky jsou smé uly je ulová mtice ozčuje se symbolem O Čtvercová mtice, která má mimo hlví digoálu smé uly, se zývá digoálí Regulárí čtvercová mtice má determit růzý od e ij ii Operce s mticemi P o r o v á v á í m t i c Mtice ( ij ), ( b ij ) j,,, B se rovjí, jsou li téhož typu ( ) m, když ij bij, pro i,,, m S č í t á í m t i c Součtem dvou mtic téhož typu ( m, ), tz mtic rozumíme mtici b b B m m m bm B, která je tké typu ( m, ), přičemž b b b m b b b m /9

7 Je li S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e B m N á s o b e k m t i c e b b b m m b b b r R, pk r-ásobkem mtice rozumíme mtici r r r r r rm rm m m r r r m Pozámk: Mtici ( ) budeme ozčovt zývt mtici opčou k mtici N á s o b e í m t i c Nechť je mtice typu ( m, ) B mtice ( p) B C typu ( p) b mtici ( ) c ij, Pk součiem mtic, B (v tomto pořdí) rozumíme m,, kde c i, j i j ib j ibj pro i,,, m j,,, p Pozámk: Pozor ásobeí mtic eí komuttiví Pro sčítáí mtic pltí jk komuttiví tk i socitiví záko b b b m Hodost mtice Hodost h ( ) mtice je mimálí počet lieárě ezávislých řádků mtice lgoritmus pro určeí hodosti mtice: Mtici uprvíme tk, by prvek Vyulujeme sloupec postupým přičítáím resp odečítáím ásobku řádku Mtici uprvíme tk, by prvek Vyulujeme sloupec postupým přičítáím resp odečítáím ásobku řádku Teto postup opkujeme dokud ezískáme trojúhelíkovou mtici s eulovými prvky digoále Ř e š e í s o u s t v r o v i c m t i c o v o u m e t o d o u Př: Řešte soustvu: y z y z y z se zývá (rozšířeou) mticí soustvy S touto mticí můžeme provádět ásledující elemetárí operce: vzájemá zámě dvou řádků, vyásobeí ěkterého řádku eulovým číslem, připočítáí libovolého ásobku ěkterého řádku k jiému řádku mtice Mtici budeme uprvovt dolí trojúhelíkovou mtici (trojúhelíkový tvr) Tz,že mtici uprvujeme tk, by všechy prvky pod hlví digoálou byly ulové Teto způsob řešeí soustvy se zývá Gussov elimičí metod (podroběji viz kpitol Řešeí soustv rovic) Příkld uvedeý v kpitole je motivčí O metodách řešeí soustv rovic se více dočtete v kpitole 9 7/9

8 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e B 7 řádek opíšeme K řádku přičteme -ásobek řádku K řádku přičteme řádek řádek opíšeme K řádku přičteme řádek řádek vydělíme číslem Mtice B jsou ekvivletí, proto můžeme původí soustvu přepst trojúhelíkový tvr Dále řešíme: y z y z y z Řešeím soustvy je uspořádá trojice: { [,, ] } P Iverzí mtice Jestliže ke čtvercové mtici stupě d R eistuje čtvercová mtice stupě tk, že pltí E, kde E je jedotková mtice stupě, zývá se mtice iverzí mticí k mtici Pozámk: Ke kždé čtvercové mtici eistuje ejvýše jed mtice iverzí Nutou postčující podmíkou eistece iverzí mtice k mtici je, by determit mtice byl růzý od J k u r č í m e i v e r z í m t i c i? Nlezeí iverzí mtice je umericky dosti áročé, zvláště u mtic vyšších řádů Způsob hledáí iverzí mtice porováváím mtic ( E ) vede k řešeí rovic o proměých, tkže příkld u čtvercové mtice řádu by to zmelo řešit soustvu devíti rovic o devíti proměých Ukážeme si ásledující způsob: vedle sebe sepíšeme mtici (k íž máme hledt iverzí mtici) jedotkovou mtici E postupými řádkovými úprvmi, které plikujeme obě mtice, přetváříme mtici mtici jedotkou z původí jedotková mtice tkto vzike mtice iverzí Vše vysvětluje ásledující příkld: Sepíšeme mtici, k íž hledáme mtici iverzí, mtici jedotkou E E Nulujeme sloupec pod hlví digoálou, tz ( ) řádek sečteme s řádkem E ásobek řádku přičteme k řádku zároveň Nulujeme sloupec pod hlví digoálou, tz ( ) ásobek řádku přičteme k Nikoli všk v Ecelu 8/9

9 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9/9 E Nyí je třeb vyulovt prvky pozicích ( ), ( ),, tz ( ) ásobek řádku přičteme k řádku zároveň ( ) ásobek řádku přičteme k řádku E N závěr vyásobíme řádek ( ) E Mtice E se přetvořil v mtici iverzí

10 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 Příkldy: Jsou dáy mtice ( ),, ( ), B, ( ), C Vytvořte všechy možé součiy těchto mtic Jsou dáy mtice: B C Určete součiy B, B, C, C Určete ( ) f pro dou mtici polyom: ( ) f Njděte iverzí mtici k mtici: Určete hodost mtice: Njděte všechy mtice, které s mticí komutují 7 Řešte mticové rovice: X X

11 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Determity Determit je jistá hodot přiřze čtvercové mtici Předmětem tohoto studijího mteriálu je sezámit čteáře s tím, jk vypočítt determit řádu, řádu postupě i vyššího řádu rozvojem podle prvků r-tého řádku resp s-tého sloupce K výpočtu determitů vyšších řádů budeme využívt i ěkterých vlstostí determitů Úvodem se všk budeme věovt formálí defiici k tomu je zpotřebí defiovt ásledující pojmy Defiice D e f i i c e d e t e r m i t u π Permutce -prvkové možiě je zobrzeí π této možiy sebe; : {,,, } {,,, } Počet všech permutcí -prvkové možiě je! Zpisujeme: π Příkld:Nlezěte všechy permutce možiě {,, } určete, které z ich jsou sudé resp liché π π - π - π π π - Defiice Řekeme, že dvojice ( ) i k j k, tvoří iverzi v dé permutci, jestliže k > k i j Permutci π pk zveme sudou () resp lichou (-), má li sudý resp lichý počet iverzí i j < Příkld: Určete, které z dých permutcí jsou sudé resp liché 7 π π 7 (, ) ; (, ) ; (, ) ;(, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) Počet iverzí je, tz Permutce je sudá () Počet iverzí je, tz Permutce je lichá (-) Utvořme yí souči všech prvků čtvercové mtice, jejichž idey tvoří permutce pro jsou to: pro jsou to:,,, Předchozí souči (včetě zmék), eboli čle determitu se obecě vypočítá ze vzthu: i π i i sgπ, kde π je libovolá permutce Dále pltí, že sg π je li π sudá permutce, sgπ je li π lichá permutce Slovy: Čle determitu je souči prvků vybrých právě z jedoho řádku právě jedoho sloupce Zméko čleu je zméko permutce tvořeé idey příslušé permutce Determit čtvercové mtice typu je číslo vziklé součtem všech čleů determitu Určíme jej ze vzthu: Číslo se zývá řádem determitu i π i i sgπ /9

12 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e V ý p o č e t d e t e r m i t u Druhého řádu provádíme dle ásledujícího schémtu: Třetího řádu Pro urychleí výpočtu můžeme použít tzv Srrusovo prvidlo Pod posledí řádek opíšeme řádek mtice vyásobíme prvky ve směru hlví digoály podle tohoto schémtu: Výpočet determitu vyšších řádů Vět o rozvoji determitu Nechť je dá čtvercová mtice typu Pk pltí: r r r ( ) r r ( ) r r ( ) r r s s s ( ) s s ( ) s s ( ) s s kde, (), () r, s, determity ij zýváme subdetermity, ebo tké miory příslušé prvkům Subdetermity jsou determity mtic, které dosteme z mtice vyecháím i tého řádku j-tého sloupce Vzthu () resp () se říká rozvoj determitu podle prvků r-tého řádku, resp s-tého sloupce V l s t o s t i d e t e r m i t ů Pro výpočet determitů vyšších řádů využíváme ěkterých vlstostí: Determit čtvercové mtice, která má v jedom řádku (sloupci) smé uly, je rove ule Determit čtvercové mtice, která má stejé dv řádky (sloupce) je rove ule Determit mtice, v íž jede řádek (sloupec) je ásobkem jiého řádku (sloupce) této mtice, je rove ule Změíme li pořdí dvou řádků (sloupců) dé mtice, pk determit ově vziklé mtice se od determitu původí mtice liší pouze zmékem Determit součiu dvou mtic je rove součiu determitů těchto mtic Podobé tvrzeí pro determit součtu mtic epltí Determit mtice se ezměí, jestliže k libovolému řádku (sloupci) této mtice přičteme k- ásobek jiého řádku (sloupce) této mtice 7 k i k i k i k i i i 8 Determit mtice, jež má kromě prvků hlví digoále všechy zbývjící rovy ule, je rove součiů prvků hlví digoále ij /9

13 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 Příkldy: Jsou ásledující permutce π, π sudé ebo liché? π 7 7 π Určete hodoty determitů: ) b) 7 c) b c c b d) e) si cos cos si f) si cos Vypočtěte ezámou z rovice: b 7 7

14 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 7 Metody řešeí soustv lieárích rovic 7 G u s s o v e l i m i č í m e t o d Soustvou m lieárích rovic o ezámých,,, je systém rovic ve tvru m m Defiujme: Mtice soustvy () m Frobeiov vět m b, b, b, b m m, () m Soustv () má řešeí tehdy, je li h ( ) h( ) Je li h ( ) h( ) Je li h ( ) h( ) h < kde ij R, b i R ; i,, m, j,, jsou koeficiety této rovice Jestliže b b b, pk soustvu ezveme homogeí, v opčém přípdě ehomogeí Rozšířeá mtice soustvy () m m Dále pltí:, má soustv právě jedo řešeí m b b b, má soustv ekoečě moho řešeí; v tomto přípdě můžeme z ( h) ezámých volit libovolé prvky z R (tzv prmetry), zbývjících h ezámých je touto volbou určeo jedozčě (vyjádřeo pomocí prmetrů) 7 C r m e r o v o p r v i d l o Lze použít z předpokldu, že dá soustv je soustvou rovic ezámých determit mtice soustvy je růzý od uly, tz Pk tto soustv má jedié řešeí,,,, kde i ( i,,, ) je mtice, kterou dosteme z mtice tk, že v í i-tý sloupec hrdíme sloupcem prvých str ší soustvy Pozámk: Crmerov prvidl lze s výhodou použít při řešeí soustv rovic pomocí tbulkového procesoru Ecel Viz kpitol Využití tbulkového procesoru při počítáí s mticemi determity /9

15 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 7 Ř e š e í s o u s t v y r o v i c v m t i c o v é m t v r u N obohceí výpočetích metod si ukžme elegtí řešeí soustvy mticovém tvru Nechť je dá čtvercová Dále sestvíme mtici X regulárí mtice typu, z proměých,,,, tz X lieárích rovic v R v tzv Prvé stry rovic soustvy ozčíme b, b, b,, b sestvíme z ich mtici B b b B b b Podle defiice pro souči dvou mtic pro rovost dvou mtic pk lze zpst soustvu lieárích rovic o proměých Mtice je typu (, ), mtice X je typu (, ) b b b b v mticovém tvru tkto: X B (), tkže výsledá mtice X jko mtice B Porováím obou str () tedy vzike výše zmíěá soustv je typu (,), stejě Protože je regulárí čtvercová mtice, eistuje k í iverzí mtice Nechť řešeím soustvy k k k, k,, Npíšeme-li toto řešeí ve tvru (), () je vektor (uspořádá -tice) [ ], k k K k můžeme pk zpst, že K je řešeím soustvy () tkto: k Násobíme-li () mtici ( K ) B zlev, dosteme: k K Vzhledem k pltosti socitivího záko pro ásobeí mtic pk pltí dále: ( ) K B Protože ( ) E B () (jedotková mtice, která má chrkter eutrálího prvku vzhledem k operci ásobeí mtic), pltí dále: E K B tedy K B () Řešeí soustvy () je tdy dáo vzorcem () Dosdíme-li () do (), dosteme po úprvě prvdivý výrok Toto řešeí soustvy () je dáo vzorcem () jedié jedozčé /9

16 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e závěr jed piktí úloh pro pilého čteáře dobrého progrmátor: Do čtvercové tbulky vepište všech čísl od do tk, by součty ve všech řádcích, sloupcích, digoálách souvislých čtvercích se sobě rovly ž sestvíte soustvu, zkotrolujte si, jestli ji máte stejou jko v ápovědě B Přeji moho řešitelských úspěchů /9

17 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 8 Využití tbulkového procesoru Ecel při počítáí s mticemi determity 8 S o u č e t m t i c Součet mtic, získáme tk, že do buňky odpovídjící pozici (,) výsledé mtice vložíme vzorec pro součet prvků z prvího řádku prvího sloupce sčítých mtic ( b ) Teto vzorec kopírujeme (potžeím z ouško) do osttích buěk výsledé mtice 8 S o u č i m t i c Pro výpočet součiu mtic je v Ecelu fukce SOUČINMTIC(mt;mt) Máme-li zdé mtice, které chceme ásobit, ejdříve vybereme oblst výsledé mtice Npříkld ásobíme-li mtice typu (,) (, ), vyselektujeme souvislou oblst Buňk odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice je ktuálí Do této buňky vložíme vzorec Součimtic(mt;mt) Zdáí vzorce ukočíme součsým stiskem kláves CtrlShiftEter Zdáváme-li vzorec prostředictvím průvodce fukcí, pk při závěrečém (, ) prvek pozici prvího řádku prvího sloupce 7/9

18 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e potvrzeí tlčítkem OK rověž musíme podržet klávesici CtrlShift 8 k á s o b e k m t i c e k ásobek mtice získáme tk, že do buňky odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice vložíme vzorec pro souči prvku k prvku mtice pozici (, ), tedy prvku bychom při ásledém kopírováí vzorce do zbývjících buěk výsledé mtice docílili toho, že půjde vždy o souči s k, musíme prvku ( ) ij Teto vzorec kopírujeme (potžeím z ouško) do osttích buěk výsledé mtice buňku obshující k (v šem př ) dresovt bsolutě Toho docílíme tk, že ve vzorci umístíme před tuto buňku kurzor stiskeme klávesu F Před sloupec řádek udávjící pozici buňky se doplí symbol dolrovky (v šem př $$) 8 I v e r z í m t i c e Pro výpočet iverzí mtice eistuje v Ecelu fukce INVERZE(mtice) Mámeli mtici, jejíž iverzí mtici hledáme, ozčíme celou oblst výsledé mtice Přitom buňk odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice je ktuálí Do této buňky vložíme vzorec INVERZE(mtice) Zdáí vzorce ukočíme součsým stiskem kláves CtrlShiftEter Zdáváme-li vzorec prostředictvím průvodce fukcí, pk při závěrečém potvrzeí tlčítkem OK rověž musíme podržet klávesici CtrlShift 8/9

19 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 8 D e t e r m i t Determit počítáme pomocí fukce DETERMINNT Njdeme ji v sekci mtemtické, ejdříve všk vybereme buňku, do íž chceme hodotu determitu vložit rgumetem fukce je oblst odpovídjící mtice Nezpomeňte, že determit lze počítt pouze u mtic čtvercových Vše osttí je ptré z obrázku 9/9

20 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9 Využití tbulkového procesoru OpeOfficeorg Clc při počítáí s mticemi determity Tto kpitol je urče především pro ty čteáře, kteří preferují ekomerčí blík kcelářských progrmů OpeOffice Te si můžete zdrm stáhout z Osobě jej tké upředostňuji Nebudu se zbývt součtem mtic k-ásobkem mtice, protože způsob výpočtu je stejý jko v kokurečím Ecelu Přejděme hed k ásobeí mtic 9 S o u č i m t i c Průvodce fukcemi ejrychleji vyvoláte tlčítkem mezi editčím řádkem polem ázvů Druhou možostí, jk jej vyvoláte je Vložit/Fukce (CtrlF) V Clc jsou fukce ktegorizováy obdobě jko v Ecelu, s tím rozdílem, že zde jdete speciálě ktegorii Mtice (viz obr) Zvolíme tuto ktegorii bíde se ám výčet fukcí d mticemi determity Násobeí mtic odpovídá fukce MMULT(mtice,mtice) Již zde si můžete všimout, že v levém dolím rohu je checkbo (zškrtávcí políčko) Mtice Toto zvýhodňuje ty, kteří eumějí určit typ výsledé mtice Připomíám, že v Ecelu musíte ejdříve vybrt oblst odpovídjící vyásobeé mtici teprve potom vyvolt průvodce fukcí Dlší ecelckou zrdou je o již zmiňová klávesová zkrtk CtrlShift Toho všeho jste v Clc ušetřei Stčí je zškrtout checkbo Mtice Viz str 8 vprvo dole /9

21 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e V prvím dilogovém okě klikeme tlčítko Dlší, bychom přešli do druhého, kde do polí mtice vybereme mtice, které ásobíme (shor dolů v pořdí, jk mtice ásobíme) Pokud by mtice byly skryty dilogovým okem, pomůžeme si tlčítkem Pokud e, postčí oko přesuout potžeím z titulkovou lištu ásledě vybrt jedu pk druhou mtici Následující obrázek ázorě demostruje, jk vybrt mtice, které chceme ásobit Všiměte si, jk se fukce zpisuje do editčího řádku MMULT(B:E, H:I) Máme-li obě mtice vybré, stčí potvrdit klikutím tlčítko OK Prvek (,) výsledé mtice se vloží do vybré buňky V šem přípdě je to buňk C8 /9

22 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9 D l š í f u k c e p r o p o č í t á í s m t i c e m i d e t e r m i t y v O p e O f f i c e O r g C l c V předchozí kpitole jste mohli ázorě vidět, jk mticové fukce fugují Ty zbyle již poechám čteáři Připomíám je, že pokud má být výsledkem mtice, je třeb zškrtout checkbo v levém dolím rohu průvodce fukcemi N závěr přikládám popis těch ejdůležitějších mticových fukcí: Název fukce Syte Popis MDETERM MDETERM(mtice) Vrcí determit mtice MINVERSE MINVERSE(mtice) Vrcí iverzí mtici k zdé MMULT MMULT(mtice,mtice) Vrcí souči mtic MUNIT TRNSPOSE MUNIT(rozměry) TRNSPOSE(mtice) Vrcí jedotkou mtici určeého rozměru Provede záměu řádků sloupců mtice Příkldy: Řešte v tbulkovém procesoru Zkuste Ecel i Clc, ť se můžete rozhodout, který Vám bude více vyhovovt Zopkujte si všechy důležité typy mtic Dále určete mtice iverzí k těmto mticím 8 B Pojďme se yí zbývt početími opercemi s mticemi Nejdříve si ukážeme, jk se mtice v Ecelu sčítjí Sečtěte mtice, B mtice C, D C Vypočtěte k ásobek mtice, jestliže k {,,, } B C Využijte k tomu bsolutí dresce buňky /9

23 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 N mticích B, z třetího příkldu ověřte, zd je operce ásobeí mtic komuttiví Vyásobte mtice z prvího příkldu s příslušou iverzí mticí Co byste řekli o výsledé mtici? Určete ( ) Q pro dou mtici polyom ( ) X Q Číslo v kvdrtickém trojčleu povžujte z jedotkovou mtici E ( ) X Q 7 Vypočtěte determity mtic B, Řešte dvěm způsoby - vzorcem přes průvodce fukcí 7 8 B C 8 Vypočtěte determity ásledujících mtic pozorujte jejich hodoty v závislosti řádcích, popř prvcích hlví digoále 7 8 B 9 C D E F 9 Řešte ásledující soustvu užitím: ) Crmerov prvidl, b) Mticovou metodou

24 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii je zčé dle mého soudu ezbytě uté V moh přípdech usdňuje složité umerické výpočty elimiuje vykostruové lgoritmy zámé z moh středoškolských učebic mtemtiky o, zsvěceý čteář by mohl mítout, že mticový počet eí stdrdí áplí gymziálí látky, všk řešeí je sdě V úvodí sekci vektorové lgebry stčí zvést pojem mtice, jkožto schém vzikuvší orgizcí čísel do řádků sloupců Následě defiovt determit, jkožto číslo příslušející pouze čtvercovým mticím Omezil bych se pouze determit druhého třetího řádu Pro výpočet determitu druhého řádu doporučuji plikovt Srrusovo prvidlo, determit mtice třetího řádu je vhodé počítt rozvojem prvího 7 řádku Obecý vzorec může zůstt studetům utje Teto mtemtický prát je pro še kpitoly prosto dostčující jké kpitoly mám vlstě mysli? Jsou jimi: vektorový souči, smíšeý souči, obecá rovice roviy vzájemá poloh dvou přímek v prostoru Podrobý výkld výše zmiňových kpitol by jistě vystčil dlší studijí mteriál, proto se jimi budu zbývt je okrjově spíše zdůrzím plikce mticového počtu kokrétě determitu Osttě teto je předmětem šeho studi, e? V e k t o r o v ý s o u č i Vektorový souči je v mtemtice ozčeí biárí operce mezi dvěm eulovými vektory v trojrozměrém vektorovém prostoru Výsledkem této operce je vektor ( rozdíl od součiu sklárího, jehož výsledkem je při součiu dvou vektorů sklár číslo) Defiice: r r r Nechť u, v o ϕ je úhel, jež tyto dv vektory svírjí Pk vektorovým součiem vektorů u r, v r (v tomto pořdí) rozumíme vektor t r, který má tyto vlstosti: směr vektoru je kolmý roviu, do íž lze vektory u r, v r umístit, velikost vektoru t r r r r se vypočítá t u v siϕ, orietce vektoru t r se řídí prvidlem prvé ruky 8 Vektorovým součiem vektorů u r, v r r r ozčíme u v Viz kpitol 7 Výpočet determitu 7 Výhrdě prvího řádku (důvody budou vysvětley v ásledující kpitole) 8 Tj umístíme-li mlíkovou hru prvé ruky do roviy určeé vektory u r, v r tk, že prsty ukzují směr točeí vektoru u r k vektoru v r, pk vztyčeý plec určuje orietci vektoru t r /9

25 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e yí, jk určíme souřdice vektoru t r r r r Nechť je u ( u, u, u), v ( v, v, v ) t pomocí determitu tkto: r t r u r v t u v t u v t u v t t t r r, Vektorový souči vektorů u r, v r lze určit ( t t t ) u v, u u uv uv v v u u ( uv uv ) v v u u uv uv v v r t t, t, t u v u v, u v u v u v u v ( ) ( ), Jedotlivé souřdice získáme ze subdetermitů vyskytujících se ve vzorci pro výpočet determitu podle prvků řádku Jedoduše řečeo škrteme řádek sloupec, v ěmž leží prvek, tk získáme subdetermit pro výpočet prví souřdice vektorového součiu U zbylých souřdic postupujeme logicky, je u druhé souřdice musíme subdetermitu předřdit záporé zméko 9 Geometrický výzm vektorového součiu Vět: Nechť je dá rovoběžík BDC v prostoru Povžujeme-li stry B C z umístěí vektorů u r, v r, r r pk obsh S rovoběžíku BDC lze vyjádřit rovostí S u v, obsh trojúhelíku BC r r S u v Důkz: Vzorec pro výpočet obshu trojúhelíku S c () v c Z prvoúhlého trojúhelíku PC lze výšku stru c určit ze vzthu: v c b siα () () () S c b siα () dále pk r r u B u c r r v C v b () () () () () α hrdíme ϕ r r S u v siϕ () Z defiice vektorového součiu u r v r víme, že jeho velikost je rov u r v r si ϕ, proto pltí dokázý vzth pro obsh trojúhelíku BC Obsh rovoběžíku BDC už je pouhým dvojásobkem S BC r r u v S BDC r r u v 9 proč? Vše je zřejmé ze vzorce pro výpočet determitu podle prvků r-tého řádku (viz kpitol 7 Výpočet determitu ) /9

26 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e S m í š e ý s o u č i Vět: Nechť je dá rovoběžostě BCD B C D Povžujeme-li hry B, D, z umístěí vektorů u r, v r, w r, pk pro objem rovoběžostěu pltí: r r r V u v ( ) w Důkz: Z předchozí kpitoly víme, že obsh S rovoběžíku BCD lze vyjádřit vektorovým součiem Pro obsh podstvy rovoběžostěu pltí: r r S u v N obrázku je přímk P kolmá k oběm stěám BCD B C D, tz, že úsečk P je výškou rovoběžostěu ( v ) Budeme ji počítt z prvoúhlého trojúhelíku P : P cosϕ v r r v w cosϕ, kde ϕ je odchylk vektorů u r v r w, w r Pk pro objem rovoběžostěu pltí: r r r r r r V S v u v w cosϕ u v w cos ( ) ϕ Výrz v bsolutí hodotě vyjdřuje velikost sklárího součiu vektorů ( u r v r ) r r r V ( u v) w, w r Pk tedy: Pozámk: r r r Souči ( u v ) w se zývá smíšeý souči vektorů u r, v r, w r (v tomto pořdí) Z geometrického výzmu je zřejmé, že pltí: r r r r r r r r r u v w v w u u w ( ) ( ) ( ) v jk využíváme determitu při výpočtu smíšeého součiu? Tkto: r u u u u r r r r ( u v ) w v v v v, r w w w w Dále pltí: r u r r r r Vrovoběžo stěu ( u v) w v r w Závěr: Objem rovoběžostěu, jehož hry reprezetují vektory u r, v r, w r vypočítáme jko bsolutí hodotu z determitu sestveého z těchto vektorů u v w u v w u v w Počítáme výšku T musí být kldé R-číslo, proto je výrz ϕ r r Sklárí souči dvou vektorů: v u Σ i u v i i cos v bsolutí hodotě Pro přípd, že by π ϕ, π /9

27 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Hledáí obecé rovice roviy s použitím determitu Problemtiku této kpitoly si vysvětlíme kokrétím příkldu Rovi je dá třemi body [ ; ; ] B [ ; ; ], C [ ; ; ] Určete obecou rovici této roviy, Vektory u r, v r jsou dáy symbolickými rovicemi: u r B ( ; ; ) C ( ; ; ) v r Pro kždý bod X roviy α pltí: r r X α : X α X k u l v Jik řečeo: Bod X je prvkem roviy α právě tehdy, je-li vektor X lieárí kombicí vektorů u r, v r Je-li tomu tk, pk determit vzikuvší z vektorů X, u r, v r musí být rove ule právě skldě této podmíky získáme obecou rovici roviy Řešíme rovici: X r u r v y z Determit vypočítáme rozvojem řádku: ( ) ( y ) z Nyí vypočteme subdetermity řádu: ( ) ( y ) 8z Provedeme zčeé početí: y 8z / : ( ) y 8z y z 7 Obecá rovice roviy tedy je: α : y z 7 7/9

28 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Vzájemá poloh dvou přímek V r o v i ě ( E ) Mohou stt tyto situce: ) b b b) b b c) b b ( ) { P} ( ) ( ) růzoběžé přímky, rovoběžé přímky, totožé (splývjící) přímky vz Poloh průik Vzájemou polohu dvou přímek v E určujeme zákldě průiku Průik určíme řešeím soustv rovic V p r o s t o r u ( E ) Mohou stt tyto situce: ) b ( b) mimoběžé přímky;, b jsou ekomplárí b) b ( b) { P} růzoběžé přímky, c) b ( b) rovoběžé přímky,, b jsou komplárí d) b ( b) totožé (splývjící) přímky (ležící v jedé roviě) vz Poloh průik Nejdříve zjišťujeme závislost vektorů, b Jsou li vektory, b závislé vektory, c tké, přímky, b jsou totožé Jsou li vektory, b závislé vektory jsou rovoběžé, c ezávislé, přímky, b Jsou - li vektory, b ezávislé, zjišťujeme jejich komplárost, tz Leží-li v jedé roviě Je-li vektor c lieárí kombicí vektorů, b jsou růzoběžé Průsečík získáme řešeím soustvy c B, b, pk 8/9

29 Příkldy: S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Určete vzájemou polohu přímek p, q s prmetrickými vyjádřeími ) p : 8 t, y 8t, z t; t R q : s, y s, z 9s; s R b) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z s; s R c) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z s; s R d) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z 9 s; s R Zjistěte, zd vektor w je lieárí kombicí vektorů u v Ověřte determitem ) w ( ; ; ), u ( ; ; ), ( ; ;) b) w ( ;; ), u ( ; ;), v ( ; ; ) v, Vypočítejte vektorový souči vektorů u ( ;; ), v ( ; ; ) Vypočítejte obsh trojúhelíku zdého body, B, C užitím vektorového součiu ;; ; ; C ; ; [ ], B [ ], [ ] Body [ ;], B [ ; ], [ ; ] ) užitím trigoometrických zlosti (v E ), b) užitím vektorového součiu (v E ) C tvoří vrcholy trojúhelíku Spočítejte jeho obsh Vypočítejte obsh rovoběžíku KLMN, jestliže záte souřdice K [ ; ;], L [ ; ; ], [ ; ;] Vypočítejte tké souřdice bodu N M 7 N ose y určete bod Y tk, by obsh trojúhelíku XYZ byl Souřdice bodu X, Z jsou [ ; ; ] Z [ ; ; ] 8 V rovoběžostěu BCD BC D záme souřdice vrcholů [ ; ; ], B [ ; ; ], D [ ; ; ], [ ; ; ] ) vypočítejte souřdice vrcholů C, B, C, D b) vypočítejte objem rovoběžostěu BCD BC D 9 Jsou dáy body K [ ; ; ], L [ 8; ; ], M [ ; ; ], [ ;; ] ) vypočítejte objem rovoběžostěu KLMNOPQR, b) vypočítejte objem rovoběžostěu KLNMOPQR c) Porovejte výsledky úloh ), b) zdůvoděte O X Vypočítejte objem čtyřbokého jehlu BCDV, záte li souřdice bodu [ ; ; ], [ ; ; ] D [ ; ; ], V [ ; ;] N ose z určete bod Z tk, by objem čtyřstěu BCZ, kde [ ; ;], B [ ; ; ], C [ ; ; ], byl B, 9/9

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku Cvičeí z ieárí agebry 4 Vít Vodrák Cvičeí č Determiat a vastosti determiatů Výpočet determiat djgovaá a iverzí matice Cramerovo pravido Determiat Defiice: Nechť je reáá čtvercová matice řád Čtvercovo matici,

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 5. ročík Mtemtické olympiády Úlohy domácího kol ktegorie. Je-li S obsh trojúhelíku o strách, b, c T obsh trojúhelíku o strách +b, b + c, c +, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy ste rovost. Řešeí. Vyjádřeí

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více