M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e"

Transkript

1 M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě

2 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9

3 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Jk teto studijí mteriál používt? Název tohoto studijího mteriálu je Mtice ve středoškolské mtemtice Jk už je z ázvu zřejmé, obsh odpovídá látce mtemtického semiáře, popř volitelého semiáře z progrmováí Osobě jsem jej použil v semiáři cvičeí z mtemtiky pro ročík ve volitelém semiáři z progrmováí při deklrcích dvourozměrých polí Uvědomuji si, že mticový počet eí stdrdě probírou látkou středoškolské mtemtiky, což jsem se sžil vykompezovt závěrečou sekcí Užití determitů ve vektorové lgebře lytické geometrii Úsporým způsobem zde defiuji zákldí teorii mticového počtu, bych ji mohl ásledě plikovt vybré kpitoly vektorové lgebry lytické geometrie Pre ukázl, že studeti třetího ročíku emjí s tkto omezeou teorií mticového počtu výrzější problémy Početí operce s mticemi (vyšších řádů) jsou umericky velmi áročé, proto podmíkou ikoli postčující, le utou je používt tbulkový procesor Při popisu potřebých fukcí s mticemi jsem se změřil dv ejzámější MS Ecel Oo Clc Vše lezete v kpitolách Využití tbulkového procesoru Ecel resp Clc při počítáí s mticemi determity I zde pre přiesl pozitiví výsledky Studeti jsou ušetřei zdlouhvých výpočtu mohou se tk více soustředit jádro problému Doporučuji s poodhleím možostí tbulkových procesoru počkt, dokud si studet eosmělí zákldí dovedosti mticové teorie s ppírem tužkou v ruce Vtiskout mu ávyk, že počítč je spíše kotrolím prostředkem K mteriálu přikládám soubor mtice determityls Můžete si jej stáhout z wwwmedlkcz/ftp/kv/ Zde lezete příkldy i s řešeím Prví list obshuje zdáí, druhý řešeí třetí je urče pro smotý výpočet Mtice ze zdáí kopírujte přes schráku Přál bych si, by tto práce šl využití při výuce mticového počtu Přípdé ohlsy (pozitiví i egtiví) můžete posílt Dlší ispirci můžete čerpt utor /9

4 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Obsh: Jk teto studijí mteriál používt? Mtice Typy mtic Operce s mticemi Porováváí mtic Sčítáí mtic Násobek mtice7 Násobeí mtic 7 Hodost mtice 7 Řešeí soustv rovic mticovou metodou 7 Iverzí mtice 8 Jk určíme iverzí mtici? 8 Determity Defiice determitu Výpočet determitu Druhého řádu Třetího řádu Výpočet determitu vyšších řádů Vlstosti determitů 7 Metody řešeí soustv lieárích rovic 7 Gussov elimičí metod 7 Crmerovo prvidlo 7 Řešeí soustvy rovic v mticovém tvru 8 Využití tbulkového procesoru Ecel při počítáí s mticemi determity7 8 Součet mtic7 8 Souči mtic 7 8 k ásobek mtice8 8 Iverzí mtice 8 8 Determit 9 9 Využití tbulkového procesoru OpeOfficeorg Clc při počítáí s mticemi determity 9 Souči mtic 9 Dlší fukce pro počítáí s mticemi determity v OpeOfficeOrg Clc Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii Vektorový souči Geometrický výzm vektorového součiu Smíšeý souči Hledáí obecé rovice roviy s použitím determitu7 Vzájemá poloh dvou přímek8 V roviě (E )8 V prostoru (E )8 /9

5 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9

6 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Mtice V úvodí kpitole si zdefiujeme mtici ěkolik souvisejících pojmů Upozoríme důležité typy mtic ukážeme si postup pro hledáí iverzí mtice Dále pk početí operce s mticemi (porováváí, sčítáí, k-ásobek souči mtic) V závěrečé části této kpitoly si vysvětlíme, co je to hodost mtice pro účely dlších kpitol Mticí typu ( m, ) d R rozumíme tbulku sestveou z m relých čísel -tice (,, ) m m i, i i se zývá i-tým řádkem mtice, j, j mj,,, kk hlví digoálou mtice -tice (,, ) se zývá j-tým sloupcem mtice, k-tici čísel ( ) m Typy mtic Mtice typu (, ) se zývá čtvercová mtice stupě, Jedotková mtice stupě je čtvercová mtice, jejíž kždý prvek hlví digoály je rove E, kde e, pro všechy osttí jsou rovy (budeme ozčovt E); tz ( ) i,, e pro i j, kde i, j,, ij Mtice, jejímiž prvky jsou smé uly je ulová mtice ozčuje se symbolem O Čtvercová mtice, která má mimo hlví digoálu smé uly, se zývá digoálí Regulárí čtvercová mtice má determit růzý od e ij ii Operce s mticemi P o r o v á v á í m t i c Mtice ( ij ), ( b ij ) j,,, B se rovjí, jsou li téhož typu ( ) m, když ij bij, pro i,,, m S č í t á í m t i c Součtem dvou mtic téhož typu ( m, ), tz mtic rozumíme mtici b b B m m m bm B, která je tké typu ( m, ), přičemž b b b m b b b m /9

7 Je li S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e B m N á s o b e k m t i c e b b b m m b b b r R, pk r-ásobkem mtice rozumíme mtici r r r r r rm rm m m r r r m Pozámk: Mtici ( ) budeme ozčovt zývt mtici opčou k mtici N á s o b e í m t i c Nechť je mtice typu ( m, ) B mtice ( p) B C typu ( p) b mtici ( ) c ij, Pk součiem mtic, B (v tomto pořdí) rozumíme m,, kde c i, j i j ib j ibj pro i,,, m j,,, p Pozámk: Pozor ásobeí mtic eí komuttiví Pro sčítáí mtic pltí jk komuttiví tk i socitiví záko b b b m Hodost mtice Hodost h ( ) mtice je mimálí počet lieárě ezávislých řádků mtice lgoritmus pro určeí hodosti mtice: Mtici uprvíme tk, by prvek Vyulujeme sloupec postupým přičítáím resp odečítáím ásobku řádku Mtici uprvíme tk, by prvek Vyulujeme sloupec postupým přičítáím resp odečítáím ásobku řádku Teto postup opkujeme dokud ezískáme trojúhelíkovou mtici s eulovými prvky digoále Ř e š e í s o u s t v r o v i c m t i c o v o u m e t o d o u Př: Řešte soustvu: y z y z y z se zývá (rozšířeou) mticí soustvy S touto mticí můžeme provádět ásledující elemetárí operce: vzájemá zámě dvou řádků, vyásobeí ěkterého řádku eulovým číslem, připočítáí libovolého ásobku ěkterého řádku k jiému řádku mtice Mtici budeme uprvovt dolí trojúhelíkovou mtici (trojúhelíkový tvr) Tz,že mtici uprvujeme tk, by všechy prvky pod hlví digoálou byly ulové Teto způsob řešeí soustvy se zývá Gussov elimičí metod (podroběji viz kpitol Řešeí soustv rovic) Příkld uvedeý v kpitole je motivčí O metodách řešeí soustv rovic se více dočtete v kpitole 9 7/9

8 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e B 7 řádek opíšeme K řádku přičteme -ásobek řádku K řádku přičteme řádek řádek opíšeme K řádku přičteme řádek řádek vydělíme číslem Mtice B jsou ekvivletí, proto můžeme původí soustvu přepst trojúhelíkový tvr Dále řešíme: y z y z y z Řešeím soustvy je uspořádá trojice: { [,, ] } P Iverzí mtice Jestliže ke čtvercové mtici stupě d R eistuje čtvercová mtice stupě tk, že pltí E, kde E je jedotková mtice stupě, zývá se mtice iverzí mticí k mtici Pozámk: Ke kždé čtvercové mtici eistuje ejvýše jed mtice iverzí Nutou postčující podmíkou eistece iverzí mtice k mtici je, by determit mtice byl růzý od J k u r č í m e i v e r z í m t i c i? Nlezeí iverzí mtice je umericky dosti áročé, zvláště u mtic vyšších řádů Způsob hledáí iverzí mtice porováváím mtic ( E ) vede k řešeí rovic o proměých, tkže příkld u čtvercové mtice řádu by to zmelo řešit soustvu devíti rovic o devíti proměých Ukážeme si ásledující způsob: vedle sebe sepíšeme mtici (k íž máme hledt iverzí mtici) jedotkovou mtici E postupými řádkovými úprvmi, které plikujeme obě mtice, přetváříme mtici mtici jedotkou z původí jedotková mtice tkto vzike mtice iverzí Vše vysvětluje ásledující příkld: Sepíšeme mtici, k íž hledáme mtici iverzí, mtici jedotkou E E Nulujeme sloupec pod hlví digoálou, tz ( ) řádek sečteme s řádkem E ásobek řádku přičteme k řádku zároveň Nulujeme sloupec pod hlví digoálou, tz ( ) ásobek řádku přičteme k Nikoli všk v Ecelu 8/9

9 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9/9 E Nyí je třeb vyulovt prvky pozicích ( ), ( ),, tz ( ) ásobek řádku přičteme k řádku zároveň ( ) ásobek řádku přičteme k řádku E N závěr vyásobíme řádek ( ) E Mtice E se přetvořil v mtici iverzí

10 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 Příkldy: Jsou dáy mtice ( ),, ( ), B, ( ), C Vytvořte všechy možé součiy těchto mtic Jsou dáy mtice: B C Určete součiy B, B, C, C Určete ( ) f pro dou mtici polyom: ( ) f Njděte iverzí mtici k mtici: Určete hodost mtice: Njděte všechy mtice, které s mticí komutují 7 Řešte mticové rovice: X X

11 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Determity Determit je jistá hodot přiřze čtvercové mtici Předmětem tohoto studijího mteriálu je sezámit čteáře s tím, jk vypočítt determit řádu, řádu postupě i vyššího řádu rozvojem podle prvků r-tého řádku resp s-tého sloupce K výpočtu determitů vyšších řádů budeme využívt i ěkterých vlstostí determitů Úvodem se všk budeme věovt formálí defiici k tomu je zpotřebí defiovt ásledující pojmy Defiice D e f i i c e d e t e r m i t u π Permutce -prvkové možiě je zobrzeí π této možiy sebe; : {,,, } {,,, } Počet všech permutcí -prvkové možiě je! Zpisujeme: π Příkld:Nlezěte všechy permutce možiě {,, } určete, které z ich jsou sudé resp liché π π - π - π π π - Defiice Řekeme, že dvojice ( ) i k j k, tvoří iverzi v dé permutci, jestliže k > k i j Permutci π pk zveme sudou () resp lichou (-), má li sudý resp lichý počet iverzí i j < Příkld: Určete, které z dých permutcí jsou sudé resp liché 7 π π 7 (, ) ; (, ) ; (, ) ;(, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) Počet iverzí je, tz Permutce je sudá () Počet iverzí je, tz Permutce je lichá (-) Utvořme yí souči všech prvků čtvercové mtice, jejichž idey tvoří permutce pro jsou to: pro jsou to:,,, Předchozí souči (včetě zmék), eboli čle determitu se obecě vypočítá ze vzthu: i π i i sgπ, kde π je libovolá permutce Dále pltí, že sg π je li π sudá permutce, sgπ je li π lichá permutce Slovy: Čle determitu je souči prvků vybrých právě z jedoho řádku právě jedoho sloupce Zméko čleu je zméko permutce tvořeé idey příslušé permutce Determit čtvercové mtice typu je číslo vziklé součtem všech čleů determitu Určíme jej ze vzthu: Číslo se zývá řádem determitu i π i i sgπ /9

12 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e V ý p o č e t d e t e r m i t u Druhého řádu provádíme dle ásledujícího schémtu: Třetího řádu Pro urychleí výpočtu můžeme použít tzv Srrusovo prvidlo Pod posledí řádek opíšeme řádek mtice vyásobíme prvky ve směru hlví digoály podle tohoto schémtu: Výpočet determitu vyšších řádů Vět o rozvoji determitu Nechť je dá čtvercová mtice typu Pk pltí: r r r ( ) r r ( ) r r ( ) r r s s s ( ) s s ( ) s s ( ) s s kde, (), () r, s, determity ij zýváme subdetermity, ebo tké miory příslušé prvkům Subdetermity jsou determity mtic, které dosteme z mtice vyecháím i tého řádku j-tého sloupce Vzthu () resp () se říká rozvoj determitu podle prvků r-tého řádku, resp s-tého sloupce V l s t o s t i d e t e r m i t ů Pro výpočet determitů vyšších řádů využíváme ěkterých vlstostí: Determit čtvercové mtice, která má v jedom řádku (sloupci) smé uly, je rove ule Determit čtvercové mtice, která má stejé dv řádky (sloupce) je rove ule Determit mtice, v íž jede řádek (sloupec) je ásobkem jiého řádku (sloupce) této mtice, je rove ule Změíme li pořdí dvou řádků (sloupců) dé mtice, pk determit ově vziklé mtice se od determitu původí mtice liší pouze zmékem Determit součiu dvou mtic je rove součiu determitů těchto mtic Podobé tvrzeí pro determit součtu mtic epltí Determit mtice se ezměí, jestliže k libovolému řádku (sloupci) této mtice přičteme k- ásobek jiého řádku (sloupce) této mtice 7 k i k i k i k i i i 8 Determit mtice, jež má kromě prvků hlví digoále všechy zbývjící rovy ule, je rove součiů prvků hlví digoále ij /9

13 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 Příkldy: Jsou ásledující permutce π, π sudé ebo liché? π 7 7 π Určete hodoty determitů: ) b) 7 c) b c c b d) e) si cos cos si f) si cos Vypočtěte ezámou z rovice: b 7 7

14 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 7 Metody řešeí soustv lieárích rovic 7 G u s s o v e l i m i č í m e t o d Soustvou m lieárích rovic o ezámých,,, je systém rovic ve tvru m m Defiujme: Mtice soustvy () m Frobeiov vět m b, b, b, b m m, () m Soustv () má řešeí tehdy, je li h ( ) h( ) Je li h ( ) h( ) Je li h ( ) h( ) h < kde ij R, b i R ; i,, m, j,, jsou koeficiety této rovice Jestliže b b b, pk soustvu ezveme homogeí, v opčém přípdě ehomogeí Rozšířeá mtice soustvy () m m Dále pltí:, má soustv právě jedo řešeí m b b b, má soustv ekoečě moho řešeí; v tomto přípdě můžeme z ( h) ezámých volit libovolé prvky z R (tzv prmetry), zbývjících h ezámých je touto volbou určeo jedozčě (vyjádřeo pomocí prmetrů) 7 C r m e r o v o p r v i d l o Lze použít z předpokldu, že dá soustv je soustvou rovic ezámých determit mtice soustvy je růzý od uly, tz Pk tto soustv má jedié řešeí,,,, kde i ( i,,, ) je mtice, kterou dosteme z mtice tk, že v í i-tý sloupec hrdíme sloupcem prvých str ší soustvy Pozámk: Crmerov prvidl lze s výhodou použít při řešeí soustv rovic pomocí tbulkového procesoru Ecel Viz kpitol Využití tbulkového procesoru při počítáí s mticemi determity /9

15 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 7 Ř e š e í s o u s t v y r o v i c v m t i c o v é m t v r u N obohceí výpočetích metod si ukžme elegtí řešeí soustvy mticovém tvru Nechť je dá čtvercová Dále sestvíme mtici X regulárí mtice typu, z proměých,,,, tz X lieárích rovic v R v tzv Prvé stry rovic soustvy ozčíme b, b, b,, b sestvíme z ich mtici B b b B b b Podle defiice pro souči dvou mtic pro rovost dvou mtic pk lze zpst soustvu lieárích rovic o proměých Mtice je typu (, ), mtice X je typu (, ) b b b b v mticovém tvru tkto: X B (), tkže výsledá mtice X jko mtice B Porováím obou str () tedy vzike výše zmíěá soustv je typu (,), stejě Protože je regulárí čtvercová mtice, eistuje k í iverzí mtice Nechť řešeím soustvy k k k, k,, Npíšeme-li toto řešeí ve tvru (), () je vektor (uspořádá -tice) [ ], k k K k můžeme pk zpst, že K je řešeím soustvy () tkto: k Násobíme-li () mtici ( K ) B zlev, dosteme: k K Vzhledem k pltosti socitivího záko pro ásobeí mtic pk pltí dále: ( ) K B Protože ( ) E B () (jedotková mtice, která má chrkter eutrálího prvku vzhledem k operci ásobeí mtic), pltí dále: E K B tedy K B () Řešeí soustvy () je tdy dáo vzorcem () Dosdíme-li () do (), dosteme po úprvě prvdivý výrok Toto řešeí soustvy () je dáo vzorcem () jedié jedozčé /9

16 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e závěr jed piktí úloh pro pilého čteáře dobrého progrmátor: Do čtvercové tbulky vepište všech čísl od do tk, by součty ve všech řádcích, sloupcích, digoálách souvislých čtvercích se sobě rovly ž sestvíte soustvu, zkotrolujte si, jestli ji máte stejou jko v ápovědě B Přeji moho řešitelských úspěchů /9

17 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 8 Využití tbulkového procesoru Ecel při počítáí s mticemi determity 8 S o u č e t m t i c Součet mtic, získáme tk, že do buňky odpovídjící pozici (,) výsledé mtice vložíme vzorec pro součet prvků z prvího řádku prvího sloupce sčítých mtic ( b ) Teto vzorec kopírujeme (potžeím z ouško) do osttích buěk výsledé mtice 8 S o u č i m t i c Pro výpočet součiu mtic je v Ecelu fukce SOUČINMTIC(mt;mt) Máme-li zdé mtice, které chceme ásobit, ejdříve vybereme oblst výsledé mtice Npříkld ásobíme-li mtice typu (,) (, ), vyselektujeme souvislou oblst Buňk odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice je ktuálí Do této buňky vložíme vzorec Součimtic(mt;mt) Zdáí vzorce ukočíme součsým stiskem kláves CtrlShiftEter Zdáváme-li vzorec prostředictvím průvodce fukcí, pk při závěrečém (, ) prvek pozici prvího řádku prvího sloupce 7/9

18 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e potvrzeí tlčítkem OK rověž musíme podržet klávesici CtrlShift 8 k á s o b e k m t i c e k ásobek mtice získáme tk, že do buňky odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice vložíme vzorec pro souči prvku k prvku mtice pozici (, ), tedy prvku bychom při ásledém kopírováí vzorce do zbývjících buěk výsledé mtice docílili toho, že půjde vždy o souči s k, musíme prvku ( ) ij Teto vzorec kopírujeme (potžeím z ouško) do osttích buěk výsledé mtice buňku obshující k (v šem př ) dresovt bsolutě Toho docílíme tk, že ve vzorci umístíme před tuto buňku kurzor stiskeme klávesu F Před sloupec řádek udávjící pozici buňky se doplí symbol dolrovky (v šem př $$) 8 I v e r z í m t i c e Pro výpočet iverzí mtice eistuje v Ecelu fukce INVERZE(mtice) Mámeli mtici, jejíž iverzí mtici hledáme, ozčíme celou oblst výsledé mtice Přitom buňk odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice je ktuálí Do této buňky vložíme vzorec INVERZE(mtice) Zdáí vzorce ukočíme součsým stiskem kláves CtrlShiftEter Zdáváme-li vzorec prostředictvím průvodce fukcí, pk při závěrečém potvrzeí tlčítkem OK rověž musíme podržet klávesici CtrlShift 8/9

19 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 8 D e t e r m i t Determit počítáme pomocí fukce DETERMINNT Njdeme ji v sekci mtemtické, ejdříve všk vybereme buňku, do íž chceme hodotu determitu vložit rgumetem fukce je oblst odpovídjící mtice Nezpomeňte, že determit lze počítt pouze u mtic čtvercových Vše osttí je ptré z obrázku 9/9

20 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9 Využití tbulkového procesoru OpeOfficeorg Clc při počítáí s mticemi determity Tto kpitol je urče především pro ty čteáře, kteří preferují ekomerčí blík kcelářských progrmů OpeOffice Te si můžete zdrm stáhout z Osobě jej tké upředostňuji Nebudu se zbývt součtem mtic k-ásobkem mtice, protože způsob výpočtu je stejý jko v kokurečím Ecelu Přejděme hed k ásobeí mtic 9 S o u č i m t i c Průvodce fukcemi ejrychleji vyvoláte tlčítkem mezi editčím řádkem polem ázvů Druhou možostí, jk jej vyvoláte je Vložit/Fukce (CtrlF) V Clc jsou fukce ktegorizováy obdobě jko v Ecelu, s tím rozdílem, že zde jdete speciálě ktegorii Mtice (viz obr) Zvolíme tuto ktegorii bíde se ám výčet fukcí d mticemi determity Násobeí mtic odpovídá fukce MMULT(mtice,mtice) Již zde si můžete všimout, že v levém dolím rohu je checkbo (zškrtávcí políčko) Mtice Toto zvýhodňuje ty, kteří eumějí určit typ výsledé mtice Připomíám, že v Ecelu musíte ejdříve vybrt oblst odpovídjící vyásobeé mtici teprve potom vyvolt průvodce fukcí Dlší ecelckou zrdou je o již zmiňová klávesová zkrtk CtrlShift Toho všeho jste v Clc ušetřei Stčí je zškrtout checkbo Mtice Viz str 8 vprvo dole /9

21 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e V prvím dilogovém okě klikeme tlčítko Dlší, bychom přešli do druhého, kde do polí mtice vybereme mtice, které ásobíme (shor dolů v pořdí, jk mtice ásobíme) Pokud by mtice byly skryty dilogovým okem, pomůžeme si tlčítkem Pokud e, postčí oko přesuout potžeím z titulkovou lištu ásledě vybrt jedu pk druhou mtici Následující obrázek ázorě demostruje, jk vybrt mtice, které chceme ásobit Všiměte si, jk se fukce zpisuje do editčího řádku MMULT(B:E, H:I) Máme-li obě mtice vybré, stčí potvrdit klikutím tlčítko OK Prvek (,) výsledé mtice se vloží do vybré buňky V šem přípdě je to buňk C8 /9

22 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9 D l š í f u k c e p r o p o č í t á í s m t i c e m i d e t e r m i t y v O p e O f f i c e O r g C l c V předchozí kpitole jste mohli ázorě vidět, jk mticové fukce fugují Ty zbyle již poechám čteáři Připomíám je, že pokud má být výsledkem mtice, je třeb zškrtout checkbo v levém dolím rohu průvodce fukcemi N závěr přikládám popis těch ejdůležitějších mticových fukcí: Název fukce Syte Popis MDETERM MDETERM(mtice) Vrcí determit mtice MINVERSE MINVERSE(mtice) Vrcí iverzí mtici k zdé MMULT MMULT(mtice,mtice) Vrcí souči mtic MUNIT TRNSPOSE MUNIT(rozměry) TRNSPOSE(mtice) Vrcí jedotkou mtici určeého rozměru Provede záměu řádků sloupců mtice Příkldy: Řešte v tbulkovém procesoru Zkuste Ecel i Clc, ť se můžete rozhodout, který Vám bude více vyhovovt Zopkujte si všechy důležité typy mtic Dále určete mtice iverzí k těmto mticím 8 B Pojďme se yí zbývt početími opercemi s mticemi Nejdříve si ukážeme, jk se mtice v Ecelu sčítjí Sečtěte mtice, B mtice C, D C Vypočtěte k ásobek mtice, jestliže k {,,, } B C Využijte k tomu bsolutí dresce buňky /9

23 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 N mticích B, z třetího příkldu ověřte, zd je operce ásobeí mtic komuttiví Vyásobte mtice z prvího příkldu s příslušou iverzí mticí Co byste řekli o výsledé mtici? Určete ( ) Q pro dou mtici polyom ( ) X Q Číslo v kvdrtickém trojčleu povžujte z jedotkovou mtici E ( ) X Q 7 Vypočtěte determity mtic B, Řešte dvěm způsoby - vzorcem přes průvodce fukcí 7 8 B C 8 Vypočtěte determity ásledujících mtic pozorujte jejich hodoty v závislosti řádcích, popř prvcích hlví digoále 7 8 B 9 C D E F 9 Řešte ásledující soustvu užitím: ) Crmerov prvidl, b) Mticovou metodou

24 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii je zčé dle mého soudu ezbytě uté V moh přípdech usdňuje složité umerické výpočty elimiuje vykostruové lgoritmy zámé z moh středoškolských učebic mtemtiky o, zsvěceý čteář by mohl mítout, že mticový počet eí stdrdí áplí gymziálí látky, všk řešeí je sdě V úvodí sekci vektorové lgebry stčí zvést pojem mtice, jkožto schém vzikuvší orgizcí čísel do řádků sloupců Následě defiovt determit, jkožto číslo příslušející pouze čtvercovým mticím Omezil bych se pouze determit druhého třetího řádu Pro výpočet determitu druhého řádu doporučuji plikovt Srrusovo prvidlo, determit mtice třetího řádu je vhodé počítt rozvojem prvího 7 řádku Obecý vzorec může zůstt studetům utje Teto mtemtický prát je pro še kpitoly prosto dostčující jké kpitoly mám vlstě mysli? Jsou jimi: vektorový souči, smíšeý souči, obecá rovice roviy vzájemá poloh dvou přímek v prostoru Podrobý výkld výše zmiňových kpitol by jistě vystčil dlší studijí mteriál, proto se jimi budu zbývt je okrjově spíše zdůrzím plikce mticového počtu kokrétě determitu Osttě teto je předmětem šeho studi, e? V e k t o r o v ý s o u č i Vektorový souči je v mtemtice ozčeí biárí operce mezi dvěm eulovými vektory v trojrozměrém vektorovém prostoru Výsledkem této operce je vektor ( rozdíl od součiu sklárího, jehož výsledkem je při součiu dvou vektorů sklár číslo) Defiice: r r r Nechť u, v o ϕ je úhel, jež tyto dv vektory svírjí Pk vektorovým součiem vektorů u r, v r (v tomto pořdí) rozumíme vektor t r, který má tyto vlstosti: směr vektoru je kolmý roviu, do íž lze vektory u r, v r umístit, velikost vektoru t r r r r se vypočítá t u v siϕ, orietce vektoru t r se řídí prvidlem prvé ruky 8 Vektorovým součiem vektorů u r, v r r r ozčíme u v Viz kpitol 7 Výpočet determitu 7 Výhrdě prvího řádku (důvody budou vysvětley v ásledující kpitole) 8 Tj umístíme-li mlíkovou hru prvé ruky do roviy určeé vektory u r, v r tk, že prsty ukzují směr točeí vektoru u r k vektoru v r, pk vztyčeý plec určuje orietci vektoru t r /9

25 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e yí, jk určíme souřdice vektoru t r r r r Nechť je u ( u, u, u), v ( v, v, v ) t pomocí determitu tkto: r t r u r v t u v t u v t u v t t t r r, Vektorový souči vektorů u r, v r lze určit ( t t t ) u v, u u uv uv v v u u ( uv uv ) v v u u uv uv v v r t t, t, t u v u v, u v u v u v u v ( ) ( ), Jedotlivé souřdice získáme ze subdetermitů vyskytujících se ve vzorci pro výpočet determitu podle prvků řádku Jedoduše řečeo škrteme řádek sloupec, v ěmž leží prvek, tk získáme subdetermit pro výpočet prví souřdice vektorového součiu U zbylých souřdic postupujeme logicky, je u druhé souřdice musíme subdetermitu předřdit záporé zméko 9 Geometrický výzm vektorového součiu Vět: Nechť je dá rovoběžík BDC v prostoru Povžujeme-li stry B C z umístěí vektorů u r, v r, r r pk obsh S rovoběžíku BDC lze vyjádřit rovostí S u v, obsh trojúhelíku BC r r S u v Důkz: Vzorec pro výpočet obshu trojúhelíku S c () v c Z prvoúhlého trojúhelíku PC lze výšku stru c určit ze vzthu: v c b siα () () () S c b siα () dále pk r r u B u c r r v C v b () () () () () α hrdíme ϕ r r S u v siϕ () Z defiice vektorového součiu u r v r víme, že jeho velikost je rov u r v r si ϕ, proto pltí dokázý vzth pro obsh trojúhelíku BC Obsh rovoběžíku BDC už je pouhým dvojásobkem S BC r r u v S BDC r r u v 9 proč? Vše je zřejmé ze vzorce pro výpočet determitu podle prvků r-tého řádku (viz kpitol 7 Výpočet determitu ) /9

26 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e S m í š e ý s o u č i Vět: Nechť je dá rovoběžostě BCD B C D Povžujeme-li hry B, D, z umístěí vektorů u r, v r, w r, pk pro objem rovoběžostěu pltí: r r r V u v ( ) w Důkz: Z předchozí kpitoly víme, že obsh S rovoběžíku BCD lze vyjádřit vektorovým součiem Pro obsh podstvy rovoběžostěu pltí: r r S u v N obrázku je přímk P kolmá k oběm stěám BCD B C D, tz, že úsečk P je výškou rovoběžostěu ( v ) Budeme ji počítt z prvoúhlého trojúhelíku P : P cosϕ v r r v w cosϕ, kde ϕ je odchylk vektorů u r v r w, w r Pk pro objem rovoběžostěu pltí: r r r r r r V S v u v w cosϕ u v w cos ( ) ϕ Výrz v bsolutí hodotě vyjdřuje velikost sklárího součiu vektorů ( u r v r ) r r r V ( u v) w, w r Pk tedy: Pozámk: r r r Souči ( u v ) w se zývá smíšeý souči vektorů u r, v r, w r (v tomto pořdí) Z geometrického výzmu je zřejmé, že pltí: r r r r r r r r r u v w v w u u w ( ) ( ) ( ) v jk využíváme determitu při výpočtu smíšeého součiu? Tkto: r u u u u r r r r ( u v ) w v v v v, r w w w w Dále pltí: r u r r r r Vrovoběžo stěu ( u v) w v r w Závěr: Objem rovoběžostěu, jehož hry reprezetují vektory u r, v r, w r vypočítáme jko bsolutí hodotu z determitu sestveého z těchto vektorů u v w u v w u v w Počítáme výšku T musí být kldé R-číslo, proto je výrz ϕ r r Sklárí souči dvou vektorů: v u Σ i u v i i cos v bsolutí hodotě Pro přípd, že by π ϕ, π /9

27 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Hledáí obecé rovice roviy s použitím determitu Problemtiku této kpitoly si vysvětlíme kokrétím příkldu Rovi je dá třemi body [ ; ; ] B [ ; ; ], C [ ; ; ] Určete obecou rovici této roviy, Vektory u r, v r jsou dáy symbolickými rovicemi: u r B ( ; ; ) C ( ; ; ) v r Pro kždý bod X roviy α pltí: r r X α : X α X k u l v Jik řečeo: Bod X je prvkem roviy α právě tehdy, je-li vektor X lieárí kombicí vektorů u r, v r Je-li tomu tk, pk determit vzikuvší z vektorů X, u r, v r musí být rove ule právě skldě této podmíky získáme obecou rovici roviy Řešíme rovici: X r u r v y z Determit vypočítáme rozvojem řádku: ( ) ( y ) z Nyí vypočteme subdetermity řádu: ( ) ( y ) 8z Provedeme zčeé početí: y 8z / : ( ) y 8z y z 7 Obecá rovice roviy tedy je: α : y z 7 7/9

28 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Vzájemá poloh dvou přímek V r o v i ě ( E ) Mohou stt tyto situce: ) b b b) b b c) b b ( ) { P} ( ) ( ) růzoběžé přímky, rovoběžé přímky, totožé (splývjící) přímky vz Poloh průik Vzájemou polohu dvou přímek v E určujeme zákldě průiku Průik určíme řešeím soustv rovic V p r o s t o r u ( E ) Mohou stt tyto situce: ) b ( b) mimoběžé přímky;, b jsou ekomplárí b) b ( b) { P} růzoběžé přímky, c) b ( b) rovoběžé přímky,, b jsou komplárí d) b ( b) totožé (splývjící) přímky (ležící v jedé roviě) vz Poloh průik Nejdříve zjišťujeme závislost vektorů, b Jsou li vektory, b závislé vektory, c tké, přímky, b jsou totožé Jsou li vektory, b závislé vektory jsou rovoběžé, c ezávislé, přímky, b Jsou - li vektory, b ezávislé, zjišťujeme jejich komplárost, tz Leží-li v jedé roviě Je-li vektor c lieárí kombicí vektorů, b jsou růzoběžé Průsečík získáme řešeím soustvy c B, b, pk 8/9

29 Příkldy: S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Určete vzájemou polohu přímek p, q s prmetrickými vyjádřeími ) p : 8 t, y 8t, z t; t R q : s, y s, z 9s; s R b) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z s; s R c) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z s; s R d) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z 9 s; s R Zjistěte, zd vektor w je lieárí kombicí vektorů u v Ověřte determitem ) w ( ; ; ), u ( ; ; ), ( ; ;) b) w ( ;; ), u ( ; ;), v ( ; ; ) v, Vypočítejte vektorový souči vektorů u ( ;; ), v ( ; ; ) Vypočítejte obsh trojúhelíku zdého body, B, C užitím vektorového součiu ;; ; ; C ; ; [ ], B [ ], [ ] Body [ ;], B [ ; ], [ ; ] ) užitím trigoometrických zlosti (v E ), b) užitím vektorového součiu (v E ) C tvoří vrcholy trojúhelíku Spočítejte jeho obsh Vypočítejte obsh rovoběžíku KLMN, jestliže záte souřdice K [ ; ;], L [ ; ; ], [ ; ;] Vypočítejte tké souřdice bodu N M 7 N ose y určete bod Y tk, by obsh trojúhelíku XYZ byl Souřdice bodu X, Z jsou [ ; ; ] Z [ ; ; ] 8 V rovoběžostěu BCD BC D záme souřdice vrcholů [ ; ; ], B [ ; ; ], D [ ; ; ], [ ; ; ] ) vypočítejte souřdice vrcholů C, B, C, D b) vypočítejte objem rovoběžostěu BCD BC D 9 Jsou dáy body K [ ; ; ], L [ 8; ; ], M [ ; ; ], [ ;; ] ) vypočítejte objem rovoběžostěu KLMNOPQR, b) vypočítejte objem rovoběžostěu KLNMOPQR c) Porovejte výsledky úloh ), b) zdůvoděte O X Vypočítejte objem čtyřbokého jehlu BCDV, záte li souřdice bodu [ ; ; ], [ ; ; ] D [ ; ; ], V [ ; ;] N ose z určete bod Z tk, by objem čtyřstěu BCZ, kde [ ; ;], B [ ; ; ], C [ ; ; ], byl B, 9/9

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

CHEMICKÁ KINETIKA. Tuto rovnici lze po zavedení okamžitých molárních koncentrací C a rozsahu reakce x vyjádřeného pomocí koncentrací přepsat na

CHEMICKÁ KINETIKA. Tuto rovnici lze po zavedení okamžitých molárních koncentrací C a rozsahu reakce x vyjádřeného pomocí koncentrací přepsat na HEMIKÁ KINETIK hemická kietik je část fyzikálí chemie zbývjící se způsobem rychlostí, kterými chemické rekce procházejí mezi počátečím koečým stvem. To jí odlišuje od chemické termodymiky, která studuje

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

v kat. situaci pozemek je projektu vyznačeno uváděn ve

v kat. situaci pozemek je projektu vyznačeno uváděn ve Pomocá tbulk pro kotrolu formálí správosti úplosti projektu OPŽP pro příprvu věcého hodoceí verze pro směr podpory 6.4. Odvozeo dle podmíek 6. výzvy v r. 2008. Jedá se o ezávzou epoviou pomůcku pro práci

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více