M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e"

Transkript

1 M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě

2 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9

3 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Jk teto studijí mteriál používt? Název tohoto studijího mteriálu je Mtice ve středoškolské mtemtice Jk už je z ázvu zřejmé, obsh odpovídá látce mtemtického semiáře, popř volitelého semiáře z progrmováí Osobě jsem jej použil v semiáři cvičeí z mtemtiky pro ročík ve volitelém semiáři z progrmováí při deklrcích dvourozměrých polí Uvědomuji si, že mticový počet eí stdrdě probírou látkou středoškolské mtemtiky, což jsem se sžil vykompezovt závěrečou sekcí Užití determitů ve vektorové lgebře lytické geometrii Úsporým způsobem zde defiuji zákldí teorii mticového počtu, bych ji mohl ásledě plikovt vybré kpitoly vektorové lgebry lytické geometrie Pre ukázl, že studeti třetího ročíku emjí s tkto omezeou teorií mticového počtu výrzější problémy Početí operce s mticemi (vyšších řádů) jsou umericky velmi áročé, proto podmíkou ikoli postčující, le utou je používt tbulkový procesor Při popisu potřebých fukcí s mticemi jsem se změřil dv ejzámější MS Ecel Oo Clc Vše lezete v kpitolách Využití tbulkového procesoru Ecel resp Clc při počítáí s mticemi determity I zde pre přiesl pozitiví výsledky Studeti jsou ušetřei zdlouhvých výpočtu mohou se tk více soustředit jádro problému Doporučuji s poodhleím možostí tbulkových procesoru počkt, dokud si studet eosmělí zákldí dovedosti mticové teorie s ppírem tužkou v ruce Vtiskout mu ávyk, že počítč je spíše kotrolím prostředkem K mteriálu přikládám soubor mtice determityls Můžete si jej stáhout z wwwmedlkcz/ftp/kv/ Zde lezete příkldy i s řešeím Prví list obshuje zdáí, druhý řešeí třetí je urče pro smotý výpočet Mtice ze zdáí kopírujte přes schráku Přál bych si, by tto práce šl využití při výuce mticového počtu Přípdé ohlsy (pozitiví i egtiví) můžete posílt Dlší ispirci můžete čerpt utor /9

4 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Obsh: Jk teto studijí mteriál používt? Mtice Typy mtic Operce s mticemi Porováváí mtic Sčítáí mtic Násobek mtice7 Násobeí mtic 7 Hodost mtice 7 Řešeí soustv rovic mticovou metodou 7 Iverzí mtice 8 Jk určíme iverzí mtici? 8 Determity Defiice determitu Výpočet determitu Druhého řádu Třetího řádu Výpočet determitu vyšších řádů Vlstosti determitů 7 Metody řešeí soustv lieárích rovic 7 Gussov elimičí metod 7 Crmerovo prvidlo 7 Řešeí soustvy rovic v mticovém tvru 8 Využití tbulkového procesoru Ecel při počítáí s mticemi determity7 8 Součet mtic7 8 Souči mtic 7 8 k ásobek mtice8 8 Iverzí mtice 8 8 Determit 9 9 Využití tbulkového procesoru OpeOfficeorg Clc při počítáí s mticemi determity 9 Souči mtic 9 Dlší fukce pro počítáí s mticemi determity v OpeOfficeOrg Clc Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii Vektorový souči Geometrický výzm vektorového součiu Smíšeý souči Hledáí obecé rovice roviy s použitím determitu7 Vzájemá poloh dvou přímek8 V roviě (E )8 V prostoru (E )8 /9

5 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9

6 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Mtice V úvodí kpitole si zdefiujeme mtici ěkolik souvisejících pojmů Upozoríme důležité typy mtic ukážeme si postup pro hledáí iverzí mtice Dále pk početí operce s mticemi (porováváí, sčítáí, k-ásobek souči mtic) V závěrečé části této kpitoly si vysvětlíme, co je to hodost mtice pro účely dlších kpitol Mticí typu ( m, ) d R rozumíme tbulku sestveou z m relých čísel -tice (,, ) m m i, i i se zývá i-tým řádkem mtice, j, j mj,,, kk hlví digoálou mtice -tice (,, ) se zývá j-tým sloupcem mtice, k-tici čísel ( ) m Typy mtic Mtice typu (, ) se zývá čtvercová mtice stupě, Jedotková mtice stupě je čtvercová mtice, jejíž kždý prvek hlví digoály je rove E, kde e, pro všechy osttí jsou rovy (budeme ozčovt E); tz ( ) i,, e pro i j, kde i, j,, ij Mtice, jejímiž prvky jsou smé uly je ulová mtice ozčuje se symbolem O Čtvercová mtice, která má mimo hlví digoálu smé uly, se zývá digoálí Regulárí čtvercová mtice má determit růzý od e ij ii Operce s mticemi P o r o v á v á í m t i c Mtice ( ij ), ( b ij ) j,,, B se rovjí, jsou li téhož typu ( ) m, když ij bij, pro i,,, m S č í t á í m t i c Součtem dvou mtic téhož typu ( m, ), tz mtic rozumíme mtici b b B m m m bm B, která je tké typu ( m, ), přičemž b b b m b b b m /9

7 Je li S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e B m N á s o b e k m t i c e b b b m m b b b r R, pk r-ásobkem mtice rozumíme mtici r r r r r rm rm m m r r r m Pozámk: Mtici ( ) budeme ozčovt zývt mtici opčou k mtici N á s o b e í m t i c Nechť je mtice typu ( m, ) B mtice ( p) B C typu ( p) b mtici ( ) c ij, Pk součiem mtic, B (v tomto pořdí) rozumíme m,, kde c i, j i j ib j ibj pro i,,, m j,,, p Pozámk: Pozor ásobeí mtic eí komuttiví Pro sčítáí mtic pltí jk komuttiví tk i socitiví záko b b b m Hodost mtice Hodost h ( ) mtice je mimálí počet lieárě ezávislých řádků mtice lgoritmus pro určeí hodosti mtice: Mtici uprvíme tk, by prvek Vyulujeme sloupec postupým přičítáím resp odečítáím ásobku řádku Mtici uprvíme tk, by prvek Vyulujeme sloupec postupým přičítáím resp odečítáím ásobku řádku Teto postup opkujeme dokud ezískáme trojúhelíkovou mtici s eulovými prvky digoále Ř e š e í s o u s t v r o v i c m t i c o v o u m e t o d o u Př: Řešte soustvu: y z y z y z se zývá (rozšířeou) mticí soustvy S touto mticí můžeme provádět ásledující elemetárí operce: vzájemá zámě dvou řádků, vyásobeí ěkterého řádku eulovým číslem, připočítáí libovolého ásobku ěkterého řádku k jiému řádku mtice Mtici budeme uprvovt dolí trojúhelíkovou mtici (trojúhelíkový tvr) Tz,že mtici uprvujeme tk, by všechy prvky pod hlví digoálou byly ulové Teto způsob řešeí soustvy se zývá Gussov elimičí metod (podroběji viz kpitol Řešeí soustv rovic) Příkld uvedeý v kpitole je motivčí O metodách řešeí soustv rovic se více dočtete v kpitole 9 7/9

8 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e B 7 řádek opíšeme K řádku přičteme -ásobek řádku K řádku přičteme řádek řádek opíšeme K řádku přičteme řádek řádek vydělíme číslem Mtice B jsou ekvivletí, proto můžeme původí soustvu přepst trojúhelíkový tvr Dále řešíme: y z y z y z Řešeím soustvy je uspořádá trojice: { [,, ] } P Iverzí mtice Jestliže ke čtvercové mtici stupě d R eistuje čtvercová mtice stupě tk, že pltí E, kde E je jedotková mtice stupě, zývá se mtice iverzí mticí k mtici Pozámk: Ke kždé čtvercové mtici eistuje ejvýše jed mtice iverzí Nutou postčující podmíkou eistece iverzí mtice k mtici je, by determit mtice byl růzý od J k u r č í m e i v e r z í m t i c i? Nlezeí iverzí mtice je umericky dosti áročé, zvláště u mtic vyšších řádů Způsob hledáí iverzí mtice porováváím mtic ( E ) vede k řešeí rovic o proměých, tkže příkld u čtvercové mtice řádu by to zmelo řešit soustvu devíti rovic o devíti proměých Ukážeme si ásledující způsob: vedle sebe sepíšeme mtici (k íž máme hledt iverzí mtici) jedotkovou mtici E postupými řádkovými úprvmi, které plikujeme obě mtice, přetváříme mtici mtici jedotkou z původí jedotková mtice tkto vzike mtice iverzí Vše vysvětluje ásledující příkld: Sepíšeme mtici, k íž hledáme mtici iverzí, mtici jedotkou E E Nulujeme sloupec pod hlví digoálou, tz ( ) řádek sečteme s řádkem E ásobek řádku přičteme k řádku zároveň Nulujeme sloupec pod hlví digoálou, tz ( ) ásobek řádku přičteme k Nikoli všk v Ecelu 8/9

9 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9/9 E Nyí je třeb vyulovt prvky pozicích ( ), ( ),, tz ( ) ásobek řádku přičteme k řádku zároveň ( ) ásobek řádku přičteme k řádku E N závěr vyásobíme řádek ( ) E Mtice E se přetvořil v mtici iverzí

10 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 Příkldy: Jsou dáy mtice ( ),, ( ), B, ( ), C Vytvořte všechy možé součiy těchto mtic Jsou dáy mtice: B C Určete součiy B, B, C, C Určete ( ) f pro dou mtici polyom: ( ) f Njděte iverzí mtici k mtici: Určete hodost mtice: Njděte všechy mtice, které s mticí komutují 7 Řešte mticové rovice: X X

11 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Determity Determit je jistá hodot přiřze čtvercové mtici Předmětem tohoto studijího mteriálu je sezámit čteáře s tím, jk vypočítt determit řádu, řádu postupě i vyššího řádu rozvojem podle prvků r-tého řádku resp s-tého sloupce K výpočtu determitů vyšších řádů budeme využívt i ěkterých vlstostí determitů Úvodem se všk budeme věovt formálí defiici k tomu je zpotřebí defiovt ásledující pojmy Defiice D e f i i c e d e t e r m i t u π Permutce -prvkové možiě je zobrzeí π této možiy sebe; : {,,, } {,,, } Počet všech permutcí -prvkové možiě je! Zpisujeme: π Příkld:Nlezěte všechy permutce možiě {,, } určete, které z ich jsou sudé resp liché π π - π - π π π - Defiice Řekeme, že dvojice ( ) i k j k, tvoří iverzi v dé permutci, jestliže k > k i j Permutci π pk zveme sudou () resp lichou (-), má li sudý resp lichý počet iverzí i j < Příkld: Určete, které z dých permutcí jsou sudé resp liché 7 π π 7 (, ) ; (, ) ; (, ) ;(, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; ( 7, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ; (, ) Počet iverzí je, tz Permutce je sudá () Počet iverzí je, tz Permutce je lichá (-) Utvořme yí souči všech prvků čtvercové mtice, jejichž idey tvoří permutce pro jsou to: pro jsou to:,,, Předchozí souči (včetě zmék), eboli čle determitu se obecě vypočítá ze vzthu: i π i i sgπ, kde π je libovolá permutce Dále pltí, že sg π je li π sudá permutce, sgπ je li π lichá permutce Slovy: Čle determitu je souči prvků vybrých právě z jedoho řádku právě jedoho sloupce Zméko čleu je zméko permutce tvořeé idey příslušé permutce Determit čtvercové mtice typu je číslo vziklé součtem všech čleů determitu Určíme jej ze vzthu: Číslo se zývá řádem determitu i π i i sgπ /9

12 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e V ý p o č e t d e t e r m i t u Druhého řádu provádíme dle ásledujícího schémtu: Třetího řádu Pro urychleí výpočtu můžeme použít tzv Srrusovo prvidlo Pod posledí řádek opíšeme řádek mtice vyásobíme prvky ve směru hlví digoály podle tohoto schémtu: Výpočet determitu vyšších řádů Vět o rozvoji determitu Nechť je dá čtvercová mtice typu Pk pltí: r r r ( ) r r ( ) r r ( ) r r s s s ( ) s s ( ) s s ( ) s s kde, (), () r, s, determity ij zýváme subdetermity, ebo tké miory příslušé prvkům Subdetermity jsou determity mtic, které dosteme z mtice vyecháím i tého řádku j-tého sloupce Vzthu () resp () se říká rozvoj determitu podle prvků r-tého řádku, resp s-tého sloupce V l s t o s t i d e t e r m i t ů Pro výpočet determitů vyšších řádů využíváme ěkterých vlstostí: Determit čtvercové mtice, která má v jedom řádku (sloupci) smé uly, je rove ule Determit čtvercové mtice, která má stejé dv řádky (sloupce) je rove ule Determit mtice, v íž jede řádek (sloupec) je ásobkem jiého řádku (sloupce) této mtice, je rove ule Změíme li pořdí dvou řádků (sloupců) dé mtice, pk determit ově vziklé mtice se od determitu původí mtice liší pouze zmékem Determit součiu dvou mtic je rove součiu determitů těchto mtic Podobé tvrzeí pro determit součtu mtic epltí Determit mtice se ezměí, jestliže k libovolému řádku (sloupci) této mtice přičteme k- ásobek jiého řádku (sloupce) této mtice 7 k i k i k i k i i i 8 Determit mtice, jež má kromě prvků hlví digoále všechy zbývjící rovy ule, je rove součiů prvků hlví digoále ij /9

13 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 Příkldy: Jsou ásledující permutce π, π sudé ebo liché? π 7 7 π Určete hodoty determitů: ) b) 7 c) b c c b d) e) si cos cos si f) si cos Vypočtěte ezámou z rovice: b 7 7

14 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 7 Metody řešeí soustv lieárích rovic 7 G u s s o v e l i m i č í m e t o d Soustvou m lieárích rovic o ezámých,,, je systém rovic ve tvru m m Defiujme: Mtice soustvy () m Frobeiov vět m b, b, b, b m m, () m Soustv () má řešeí tehdy, je li h ( ) h( ) Je li h ( ) h( ) Je li h ( ) h( ) h < kde ij R, b i R ; i,, m, j,, jsou koeficiety této rovice Jestliže b b b, pk soustvu ezveme homogeí, v opčém přípdě ehomogeí Rozšířeá mtice soustvy () m m Dále pltí:, má soustv právě jedo řešeí m b b b, má soustv ekoečě moho řešeí; v tomto přípdě můžeme z ( h) ezámých volit libovolé prvky z R (tzv prmetry), zbývjících h ezámých je touto volbou určeo jedozčě (vyjádřeo pomocí prmetrů) 7 C r m e r o v o p r v i d l o Lze použít z předpokldu, že dá soustv je soustvou rovic ezámých determit mtice soustvy je růzý od uly, tz Pk tto soustv má jedié řešeí,,,, kde i ( i,,, ) je mtice, kterou dosteme z mtice tk, že v í i-tý sloupec hrdíme sloupcem prvých str ší soustvy Pozámk: Crmerov prvidl lze s výhodou použít při řešeí soustv rovic pomocí tbulkového procesoru Ecel Viz kpitol Využití tbulkového procesoru při počítáí s mticemi determity /9

15 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 7 Ř e š e í s o u s t v y r o v i c v m t i c o v é m t v r u N obohceí výpočetích metod si ukžme elegtí řešeí soustvy mticovém tvru Nechť je dá čtvercová Dále sestvíme mtici X regulárí mtice typu, z proměých,,,, tz X lieárích rovic v R v tzv Prvé stry rovic soustvy ozčíme b, b, b,, b sestvíme z ich mtici B b b B b b Podle defiice pro souči dvou mtic pro rovost dvou mtic pk lze zpst soustvu lieárích rovic o proměých Mtice je typu (, ), mtice X je typu (, ) b b b b v mticovém tvru tkto: X B (), tkže výsledá mtice X jko mtice B Porováím obou str () tedy vzike výše zmíěá soustv je typu (,), stejě Protože je regulárí čtvercová mtice, eistuje k í iverzí mtice Nechť řešeím soustvy k k k, k,, Npíšeme-li toto řešeí ve tvru (), () je vektor (uspořádá -tice) [ ], k k K k můžeme pk zpst, že K je řešeím soustvy () tkto: k Násobíme-li () mtici ( K ) B zlev, dosteme: k K Vzhledem k pltosti socitivího záko pro ásobeí mtic pk pltí dále: ( ) K B Protože ( ) E B () (jedotková mtice, která má chrkter eutrálího prvku vzhledem k operci ásobeí mtic), pltí dále: E K B tedy K B () Řešeí soustvy () je tdy dáo vzorcem () Dosdíme-li () do (), dosteme po úprvě prvdivý výrok Toto řešeí soustvy () je dáo vzorcem () jedié jedozčé /9

16 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e závěr jed piktí úloh pro pilého čteáře dobrého progrmátor: Do čtvercové tbulky vepište všech čísl od do tk, by součty ve všech řádcích, sloupcích, digoálách souvislých čtvercích se sobě rovly ž sestvíte soustvu, zkotrolujte si, jestli ji máte stejou jko v ápovědě B Přeji moho řešitelských úspěchů /9

17 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 8 Využití tbulkového procesoru Ecel při počítáí s mticemi determity 8 S o u č e t m t i c Součet mtic, získáme tk, že do buňky odpovídjící pozici (,) výsledé mtice vložíme vzorec pro součet prvků z prvího řádku prvího sloupce sčítých mtic ( b ) Teto vzorec kopírujeme (potžeím z ouško) do osttích buěk výsledé mtice 8 S o u č i m t i c Pro výpočet součiu mtic je v Ecelu fukce SOUČINMTIC(mt;mt) Máme-li zdé mtice, které chceme ásobit, ejdříve vybereme oblst výsledé mtice Npříkld ásobíme-li mtice typu (,) (, ), vyselektujeme souvislou oblst Buňk odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice je ktuálí Do této buňky vložíme vzorec Součimtic(mt;mt) Zdáí vzorce ukočíme součsým stiskem kláves CtrlShiftEter Zdáváme-li vzorec prostředictvím průvodce fukcí, pk při závěrečém (, ) prvek pozici prvího řádku prvího sloupce 7/9

18 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e potvrzeí tlčítkem OK rověž musíme podržet klávesici CtrlShift 8 k á s o b e k m t i c e k ásobek mtice získáme tk, že do buňky odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice vložíme vzorec pro souči prvku k prvku mtice pozici (, ), tedy prvku bychom při ásledém kopírováí vzorce do zbývjících buěk výsledé mtice docílili toho, že půjde vždy o souči s k, musíme prvku ( ) ij Teto vzorec kopírujeme (potžeím z ouško) do osttích buěk výsledé mtice buňku obshující k (v šem př ) dresovt bsolutě Toho docílíme tk, že ve vzorci umístíme před tuto buňku kurzor stiskeme klávesu F Před sloupec řádek udávjící pozici buňky se doplí symbol dolrovky (v šem př $$) 8 I v e r z í m t i c e Pro výpočet iverzí mtice eistuje v Ecelu fukce INVERZE(mtice) Mámeli mtici, jejíž iverzí mtici hledáme, ozčíme celou oblst výsledé mtice Přitom buňk odpovídjící prvímu řádku prvímu sloupci výsledé mtice je ktuálí Do této buňky vložíme vzorec INVERZE(mtice) Zdáí vzorce ukočíme součsým stiskem kláves CtrlShiftEter Zdáváme-li vzorec prostředictvím průvodce fukcí, pk při závěrečém potvrzeí tlčítkem OK rověž musíme podržet klávesici CtrlShift 8/9

19 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 8 D e t e r m i t Determit počítáme pomocí fukce DETERMINNT Njdeme ji v sekci mtemtické, ejdříve všk vybereme buňku, do íž chceme hodotu determitu vložit rgumetem fukce je oblst odpovídjící mtice Nezpomeňte, že determit lze počítt pouze u mtic čtvercových Vše osttí je ptré z obrázku 9/9

20 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9 Využití tbulkového procesoru OpeOfficeorg Clc při počítáí s mticemi determity Tto kpitol je urče především pro ty čteáře, kteří preferují ekomerčí blík kcelářských progrmů OpeOffice Te si můžete zdrm stáhout z Osobě jej tké upředostňuji Nebudu se zbývt součtem mtic k-ásobkem mtice, protože způsob výpočtu je stejý jko v kokurečím Ecelu Přejděme hed k ásobeí mtic 9 S o u č i m t i c Průvodce fukcemi ejrychleji vyvoláte tlčítkem mezi editčím řádkem polem ázvů Druhou možostí, jk jej vyvoláte je Vložit/Fukce (CtrlF) V Clc jsou fukce ktegorizováy obdobě jko v Ecelu, s tím rozdílem, že zde jdete speciálě ktegorii Mtice (viz obr) Zvolíme tuto ktegorii bíde se ám výčet fukcí d mticemi determity Násobeí mtic odpovídá fukce MMULT(mtice,mtice) Již zde si můžete všimout, že v levém dolím rohu je checkbo (zškrtávcí políčko) Mtice Toto zvýhodňuje ty, kteří eumějí určit typ výsledé mtice Připomíám, že v Ecelu musíte ejdříve vybrt oblst odpovídjící vyásobeé mtici teprve potom vyvolt průvodce fukcí Dlší ecelckou zrdou je o již zmiňová klávesová zkrtk CtrlShift Toho všeho jste v Clc ušetřei Stčí je zškrtout checkbo Mtice Viz str 8 vprvo dole /9

21 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e V prvím dilogovém okě klikeme tlčítko Dlší, bychom přešli do druhého, kde do polí mtice vybereme mtice, které ásobíme (shor dolů v pořdí, jk mtice ásobíme) Pokud by mtice byly skryty dilogovým okem, pomůžeme si tlčítkem Pokud e, postčí oko přesuout potžeím z titulkovou lištu ásledě vybrt jedu pk druhou mtici Následující obrázek ázorě demostruje, jk vybrt mtice, které chceme ásobit Všiměte si, jk se fukce zpisuje do editčího řádku MMULT(B:E, H:I) Máme-li obě mtice vybré, stčí potvrdit klikutím tlčítko OK Prvek (,) výsledé mtice se vloží do vybré buňky V šem přípdě je to buňk C8 /9

22 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e 9 D l š í f u k c e p r o p o č í t á í s m t i c e m i d e t e r m i t y v O p e O f f i c e O r g C l c V předchozí kpitole jste mohli ázorě vidět, jk mticové fukce fugují Ty zbyle již poechám čteáři Připomíám je, že pokud má být výsledkem mtice, je třeb zškrtout checkbo v levém dolím rohu průvodce fukcemi N závěr přikládám popis těch ejdůležitějších mticových fukcí: Název fukce Syte Popis MDETERM MDETERM(mtice) Vrcí determit mtice MINVERSE MINVERSE(mtice) Vrcí iverzí mtici k zdé MMULT MMULT(mtice,mtice) Vrcí souči mtic MUNIT TRNSPOSE MUNIT(rozměry) TRNSPOSE(mtice) Vrcí jedotkou mtici určeého rozměru Provede záměu řádků sloupců mtice Příkldy: Řešte v tbulkovém procesoru Zkuste Ecel i Clc, ť se můžete rozhodout, který Vám bude více vyhovovt Zopkujte si všechy důležité typy mtic Dále určete mtice iverzí k těmto mticím 8 B Pojďme se yí zbývt početími opercemi s mticemi Nejdříve si ukážeme, jk se mtice v Ecelu sčítjí Sečtěte mtice, B mtice C, D C Vypočtěte k ásobek mtice, jestliže k {,,, } B C Využijte k tomu bsolutí dresce buňky /9

23 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e /9 N mticích B, z třetího příkldu ověřte, zd je operce ásobeí mtic komuttiví Vyásobte mtice z prvího příkldu s příslušou iverzí mticí Co byste řekli o výsledé mtici? Určete ( ) Q pro dou mtici polyom ( ) X Q Číslo v kvdrtickém trojčleu povžujte z jedotkovou mtici E ( ) X Q 7 Vypočtěte determity mtic B, Řešte dvěm způsoby - vzorcem přes průvodce fukcí 7 8 B C 8 Vypočtěte determity ásledujících mtic pozorujte jejich hodoty v závislosti řádcích, popř prvcích hlví digoále 7 8 B 9 C D E F 9 Řešte ásledující soustvu užitím: ) Crmerov prvidl, b) Mticovou metodou

24 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii Užití determitu ve vektorové lgebře lytické geometrii je zčé dle mého soudu ezbytě uté V moh přípdech usdňuje složité umerické výpočty elimiuje vykostruové lgoritmy zámé z moh středoškolských učebic mtemtiky o, zsvěceý čteář by mohl mítout, že mticový počet eí stdrdí áplí gymziálí látky, všk řešeí je sdě V úvodí sekci vektorové lgebry stčí zvést pojem mtice, jkožto schém vzikuvší orgizcí čísel do řádků sloupců Následě defiovt determit, jkožto číslo příslušející pouze čtvercovým mticím Omezil bych se pouze determit druhého třetího řádu Pro výpočet determitu druhého řádu doporučuji plikovt Srrusovo prvidlo, determit mtice třetího řádu je vhodé počítt rozvojem prvího 7 řádku Obecý vzorec může zůstt studetům utje Teto mtemtický prát je pro še kpitoly prosto dostčující jké kpitoly mám vlstě mysli? Jsou jimi: vektorový souči, smíšeý souči, obecá rovice roviy vzájemá poloh dvou přímek v prostoru Podrobý výkld výše zmiňových kpitol by jistě vystčil dlší studijí mteriál, proto se jimi budu zbývt je okrjově spíše zdůrzím plikce mticového počtu kokrétě determitu Osttě teto je předmětem šeho studi, e? V e k t o r o v ý s o u č i Vektorový souči je v mtemtice ozčeí biárí operce mezi dvěm eulovými vektory v trojrozměrém vektorovém prostoru Výsledkem této operce je vektor ( rozdíl od součiu sklárího, jehož výsledkem je při součiu dvou vektorů sklár číslo) Defiice: r r r Nechť u, v o ϕ je úhel, jež tyto dv vektory svírjí Pk vektorovým součiem vektorů u r, v r (v tomto pořdí) rozumíme vektor t r, který má tyto vlstosti: směr vektoru je kolmý roviu, do íž lze vektory u r, v r umístit, velikost vektoru t r r r r se vypočítá t u v siϕ, orietce vektoru t r se řídí prvidlem prvé ruky 8 Vektorovým součiem vektorů u r, v r r r ozčíme u v Viz kpitol 7 Výpočet determitu 7 Výhrdě prvího řádku (důvody budou vysvětley v ásledující kpitole) 8 Tj umístíme-li mlíkovou hru prvé ruky do roviy určeé vektory u r, v r tk, že prsty ukzují směr točeí vektoru u r k vektoru v r, pk vztyčeý plec určuje orietci vektoru t r /9

25 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e yí, jk určíme souřdice vektoru t r r r r Nechť je u ( u, u, u), v ( v, v, v ) t pomocí determitu tkto: r t r u r v t u v t u v t u v t t t r r, Vektorový souči vektorů u r, v r lze určit ( t t t ) u v, u u uv uv v v u u ( uv uv ) v v u u uv uv v v r t t, t, t u v u v, u v u v u v u v ( ) ( ), Jedotlivé souřdice získáme ze subdetermitů vyskytujících se ve vzorci pro výpočet determitu podle prvků řádku Jedoduše řečeo škrteme řádek sloupec, v ěmž leží prvek, tk získáme subdetermit pro výpočet prví souřdice vektorového součiu U zbylých souřdic postupujeme logicky, je u druhé souřdice musíme subdetermitu předřdit záporé zméko 9 Geometrický výzm vektorového součiu Vět: Nechť je dá rovoběžík BDC v prostoru Povžujeme-li stry B C z umístěí vektorů u r, v r, r r pk obsh S rovoběžíku BDC lze vyjádřit rovostí S u v, obsh trojúhelíku BC r r S u v Důkz: Vzorec pro výpočet obshu trojúhelíku S c () v c Z prvoúhlého trojúhelíku PC lze výšku stru c určit ze vzthu: v c b siα () () () S c b siα () dále pk r r u B u c r r v C v b () () () () () α hrdíme ϕ r r S u v siϕ () Z defiice vektorového součiu u r v r víme, že jeho velikost je rov u r v r si ϕ, proto pltí dokázý vzth pro obsh trojúhelíku BC Obsh rovoběžíku BDC už je pouhým dvojásobkem S BC r r u v S BDC r r u v 9 proč? Vše je zřejmé ze vzorce pro výpočet determitu podle prvků r-tého řádku (viz kpitol 7 Výpočet determitu ) /9

26 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e S m í š e ý s o u č i Vět: Nechť je dá rovoběžostě BCD B C D Povžujeme-li hry B, D, z umístěí vektorů u r, v r, w r, pk pro objem rovoběžostěu pltí: r r r V u v ( ) w Důkz: Z předchozí kpitoly víme, že obsh S rovoběžíku BCD lze vyjádřit vektorovým součiem Pro obsh podstvy rovoběžostěu pltí: r r S u v N obrázku je přímk P kolmá k oběm stěám BCD B C D, tz, že úsečk P je výškou rovoběžostěu ( v ) Budeme ji počítt z prvoúhlého trojúhelíku P : P cosϕ v r r v w cosϕ, kde ϕ je odchylk vektorů u r v r w, w r Pk pro objem rovoběžostěu pltí: r r r r r r V S v u v w cosϕ u v w cos ( ) ϕ Výrz v bsolutí hodotě vyjdřuje velikost sklárího součiu vektorů ( u r v r ) r r r V ( u v) w, w r Pk tedy: Pozámk: r r r Souči ( u v ) w se zývá smíšeý souči vektorů u r, v r, w r (v tomto pořdí) Z geometrického výzmu je zřejmé, že pltí: r r r r r r r r r u v w v w u u w ( ) ( ) ( ) v jk využíváme determitu při výpočtu smíšeého součiu? Tkto: r u u u u r r r r ( u v ) w v v v v, r w w w w Dále pltí: r u r r r r Vrovoběžo stěu ( u v) w v r w Závěr: Objem rovoběžostěu, jehož hry reprezetují vektory u r, v r, w r vypočítáme jko bsolutí hodotu z determitu sestveého z těchto vektorů u v w u v w u v w Počítáme výšku T musí být kldé R-číslo, proto je výrz ϕ r r Sklárí souči dvou vektorů: v u Σ i u v i i cos v bsolutí hodotě Pro přípd, že by π ϕ, π /9

27 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Hledáí obecé rovice roviy s použitím determitu Problemtiku této kpitoly si vysvětlíme kokrétím příkldu Rovi je dá třemi body [ ; ; ] B [ ; ; ], C [ ; ; ] Určete obecou rovici této roviy, Vektory u r, v r jsou dáy symbolickými rovicemi: u r B ( ; ; ) C ( ; ; ) v r Pro kždý bod X roviy α pltí: r r X α : X α X k u l v Jik řečeo: Bod X je prvkem roviy α právě tehdy, je-li vektor X lieárí kombicí vektorů u r, v r Je-li tomu tk, pk determit vzikuvší z vektorů X, u r, v r musí být rove ule právě skldě této podmíky získáme obecou rovici roviy Řešíme rovici: X r u r v y z Determit vypočítáme rozvojem řádku: ( ) ( y ) z Nyí vypočteme subdetermity řádu: ( ) ( y ) 8z Provedeme zčeé početí: y 8z / : ( ) y 8z y z 7 Obecá rovice roviy tedy je: α : y z 7 7/9

28 S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Vzájemá poloh dvou přímek V r o v i ě ( E ) Mohou stt tyto situce: ) b b b) b b c) b b ( ) { P} ( ) ( ) růzoběžé přímky, rovoběžé přímky, totožé (splývjící) přímky vz Poloh průik Vzájemou polohu dvou přímek v E určujeme zákldě průiku Průik určíme řešeím soustv rovic V p r o s t o r u ( E ) Mohou stt tyto situce: ) b ( b) mimoběžé přímky;, b jsou ekomplárí b) b ( b) { P} růzoběžé přímky, c) b ( b) rovoběžé přímky,, b jsou komplárí d) b ( b) totožé (splývjící) přímky (ležící v jedé roviě) vz Poloh průik Nejdříve zjišťujeme závislost vektorů, b Jsou li vektory, b závislé vektory, c tké, přímky, b jsou totožé Jsou li vektory, b závislé vektory jsou rovoběžé, c ezávislé, přímky, b Jsou - li vektory, b ezávislé, zjišťujeme jejich komplárost, tz Leží-li v jedé roviě Je-li vektor c lieárí kombicí vektorů, b jsou růzoběžé Průsečík získáme řešeím soustvy c B, b, pk 8/9

29 Příkldy: S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e Určete vzájemou polohu přímek p, q s prmetrickými vyjádřeími ) p : 8 t, y 8t, z t; t R q : s, y s, z 9s; s R b) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z s; s R c) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z s; s R d) p : t, y t, z t; t R q : s, y s, z 9 s; s R Zjistěte, zd vektor w je lieárí kombicí vektorů u v Ověřte determitem ) w ( ; ; ), u ( ; ; ), ( ; ;) b) w ( ;; ), u ( ; ;), v ( ; ; ) v, Vypočítejte vektorový souči vektorů u ( ;; ), v ( ; ; ) Vypočítejte obsh trojúhelíku zdého body, B, C užitím vektorového součiu ;; ; ; C ; ; [ ], B [ ], [ ] Body [ ;], B [ ; ], [ ; ] ) užitím trigoometrických zlosti (v E ), b) užitím vektorového součiu (v E ) C tvoří vrcholy trojúhelíku Spočítejte jeho obsh Vypočítejte obsh rovoběžíku KLMN, jestliže záte souřdice K [ ; ;], L [ ; ; ], [ ; ;] Vypočítejte tké souřdice bodu N M 7 N ose y určete bod Y tk, by obsh trojúhelíku XYZ byl Souřdice bodu X, Z jsou [ ; ; ] Z [ ; ; ] 8 V rovoběžostěu BCD BC D záme souřdice vrcholů [ ; ; ], B [ ; ; ], D [ ; ; ], [ ; ; ] ) vypočítejte souřdice vrcholů C, B, C, D b) vypočítejte objem rovoběžostěu BCD BC D 9 Jsou dáy body K [ ; ; ], L [ 8; ; ], M [ ; ; ], [ ;; ] ) vypočítejte objem rovoběžostěu KLMNOPQR, b) vypočítejte objem rovoběžostěu KLNMOPQR c) Porovejte výsledky úloh ), b) zdůvoděte O X Vypočítejte objem čtyřbokého jehlu BCDV, záte li souřdice bodu [ ; ; ], [ ; ; ] D [ ; ; ], V [ ; ;] N ose z určete bod Z tk, by objem čtyřstěu BCZ, kde [ ; ;], B [ ; ; ], C [ ; ; ], byl B, 9/9

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU Projekt ŠLONY N GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: Z.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SINOVÁ KOSINOVÁ

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10)

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10) ÚTAV INIČNÍ A MĚTKÉ DPRAVY.s., Prh 4,Chodovec, Türkov 1001,PČ 149 00 člen skupiny DEKRA www.usmd.cz,/ Přehled zákldních vrint pltných pro dovoz jednotlivých vozidel dle zákon č.56/2001b. ve znění zákon

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy Fzikální kbinet GmKT Gmnázium J. Vrchlického, Kltov stženo z http:kbinet.zik.net Optické přístroje Subjektivní optické přístroje - vtvářejí zánlivý (neskutečný) obrz, který pozorujeme okem (subjektivně)

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fkult příodovědě-humití pedgogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE LIBEREC 0 Mg. JAROMÍR OSČÁDAL Techická uivezit v Lieci Fkult příodovědě-humití pedgogická Egyptské zlomky Závěečá páce

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie Uivezit ov Příodovědecká fkut ted ytické chemie Sttitické vyhodoceí výedků Picip: Výedky opkových zkoušek, kteé jou ztížey áhodými chybmi, mjí učité ozděeí (ditibuci). Rozděeím e zde ozumí záviot pvděpodoboti

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Základní poznatky z matematiky

Základní poznatky z matematiky Zákldní pozntky z mtemtiky Obsh. Zákldní pozntky z mtemtiky.... Číselné obory..... Celá čísl..... Reálná čísl.... Odmocniny.... Mocniny... 5.. Mocniny se zákldem 0... 5.. Mocniny s přirozeným mocnitelem...

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více