Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Transkript

1 Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere ásoeí mti Defiie Iverzí mtií k čtverové mtii řádu rozumíme tkovou čtverovou mtii - řádu pro kterou pltí: - - E kde E je jedotková mtie řádu Defiie Čtverová mtie řádu jejíž ermit se zývá regulárí V opčém přípdě jí říkáme sigulárí Vět Nehť je regulárí mtie řádu je mtie utvořeá z lgerikýh doplňků ik prvků ik Pk pltí T Mtii T zýváme djugovou mtií k mtii zčíme ji ~ tedy ~ -

2 Mtemtik I část I Důkz : ~ E Odoě dokážeme - E Řešeé úlohy Příkld Určeme iverzí mtii k mtii Řešeí: je mtie regulárí -

3 Mtemtik I část I ~ T Příkld Řešme rovii pro ezámou mtii : Řešeí: můžeme dou mtiovou rovii zpst ve tvru B C Protože B - jsou mtie B regulárí můžeme vypočíst iverzí mtie - B - B Vyásoíme-li rovii zlev mtií - zprv mtií B - dosteme: - B B - - C B - E E - C B - - C B - Dosdíme: -

4 Mtemtik I část I Zkoušku provedeme doszeím do zdáí Příkld Jedoduhý způso odesíláí kódovýh zpráv spočívá v ozčeí písme eedy elými čísly odesláí zprávy jko poslouposti čísel Npříkld zpráv NPIŠ VČS může ýt kódová jko V této zprávě je N reprezetováo je reprezetováo td Bohužel tkto kódové zprávy jsou sdo rozluštitelé yhom učiili dekódováí otížějším můžeme použít ásoeí mti Nehť je mtie jejímiž prvky jsou elá čísl ± pk - ± ~ Ukážeme způso kódováí dekódováí ší zprávy pomoí mtie Kódovou zprávu umístíme do sloupů mtie B Souči B určuje kódovou zprávu kterou odešleme ve tvru Přijímjíí oso může zprávu dekódovt ásoeím zlev mtií - eoť - B E B B -

5 Mtemtik I část I - B B Tto tehik kódováí může mít i složitější vrity Npříkld ehť jsou tři růzé mtie řádu jejihž i ± pro i Vyjádřeme ši zprávu třemi vektory Pk můžeme zprávu kódovt ásoeím Zprávu můžeme odeslt ve tvru T T T Tkto odeslou zprávu můžeme dekódovt ásoeím zlev Defiie Nehť ij je mtie typu m Povžujme řádky z ritmetiké vektory vektorového prostoru V Hodost mtie je r zčíme h r existuje-li r lieárě ezávislýh řádků mtie kždýh r+ řádků je lieárě závislýh -

6 Mtemtik I část I Pozámk Hodost mtie typu m yhom mohli defiovt pomoí sloupovýh vektorů z vektorového prostoru V m Oě defiie vedou k témuž výsledku h r Vět Nehť je liovolá mtie typu m Hodost mtie se ezměí při kterékoliv z ásledujííh elemetáríh úprv: záměě pořdí řádků sloupů ásoeí jedotlivýh řádků sloupů čísly k i přičteí k ěkterému řádku sloupi lieárí komie zývjííh řádků sloupů vyeháím řádku který je lieárí komií zývjííh řádků Důkz: Žádá z uvedeýh úprv eměí počet lieárě ezávislýh řádků či sloupů Pozámk Dvě mtie B které mjí stejou hodost h hb zýváme ekvivletími zčíme ~ B Řešeé úlohy Příkld Určeme hodost mtie Řešeí: Budeme uprvovt mtii podle věty Ke řádku přičteme - ásoek řádku ke řádku - ásoek řádku -

7 Mtemtik I část I ~ ~ řádek můžeme vyeht dle odu věty Je vidět že v uprveé mtii jsou dv lieárě ezávislé řádky tz že hodost mtie je dvě h Kotrolí otázky Pro iverzí mtii k čtverové mtii pltí + + E E E E kde E je jedotková mtie Čtverová mtie jejíž ermit se zývá sigulárí ulová regulárí Iverzí mtie k mtii existuje když je sigulárí mtie vždy když je čtverová mtie když je regulárí mtie djugová mtie je vytvořeá T z lgerikýh doplňků prvků mtie tj mtie trspoová k původí mtii ze suermitů prvků mtie z lgerikýh doplňků prvků mtie Hodost mtie je číslo r které udává mximálí počet lieárě závislýh řádků sloupů mtie mximálí počet lieárě ezávislýh řádků sloupů mtie -

8 Mtemtik I část I hodotu ermitu dé mtie Dvě mtie zveme ekvivletí když B mjí stejou hodost jsou stejého typu se rovjí hodoty jejih ermitů Při vyásoeí liovolého řádku sloupe mtie číslem k k k se hodost mtie k krát zvětší k krát zmeší ezměí Odpovědi kotrolí otázky ; ; ; ; ; Úlohy k smosttému řešeí Vypočítejte iverzí mtii - k mtii proveďte zkoušku: d f e g i h j -

9 Mtemtik I část I Řešte rovii pro ezámou mtii : d e f Řešte rovii pro ezámou mtii : Vypočtěte hodost mtie: C B d D f e F M Pro která x má mtie hodost h? x x -

10 Mtemtik I část I Proveďte diskusi hodosti mtie vzhledem k prmetru p p V gliky psé zprávě je mezer ozče písmeo ozčeo B ozčeo C ozčeo td podle gliké eedy Zpráv yl kódová ásoeím zlev mtií odeslá ve tvru Dekódujte zprávu Výsledky úloh k smosttému řešeí - d - eexistuje e - f - g - i h -

11 Mtemtik I část I j - d e f h hb hc d hd e hm f hf x h pro p h pro p Do your homework Kotrolí test Zjistěte zd mtie je sigulárí: o e Zjistěte zd mtie B je regulárí: B o e K dé mtii vytvořte mtii djugovou : -

12 Mtemtik I část I K dé mtii vytvořte mtii iverzí : K dé mtii vytvořte mtii iverzí Řešte rovii pro ezámou mtii : emá řešeí Vypočtěte hodost mtie : h h Vypočtěte hodost mtie B : : -

13 Mtemtik I část I B h B h B Výsledky testu ; ; ; ; ; ; ; Průvode studiem Pokud jste správě odpověděli ejméě v přípdeh pokrčujte dlší kpitolou V opčém přípdě je tře prostudovt kpitolu zovu -