Fyzikální korespondenční seminář UK MFF ročník XIX číslo 2/7

Transkript

1 Milí řešitelé! Nový (již devatenáctý) ročník FYKOSu teprve začíná a chtěli bycho dát příležitost vše studentů ještě se zapojit do řešení našeho seináře. Chceš zayslet nad fyzikálníi úlohai a probléy či tě lákají dvě týdenní soustředění a zájezd do CERNu, které pořádáe pro úspěšné řešitele? ošli ná řešení alespoň jedné úlohy druhé série! Nový řešitelů bycho chtěli vzkázat, ať se nelekají toho, že v zadání úloh se často neobjeví ani jediná zadaná veličina, narozdíl od středoškolských učebnic, kde bývají zadané právě všechny potřebné hodnoty. V naše seináři se více chcee přiblížit skutečné fyzice a ne pouhéu dosazování do vzorečků. okud je ve vaše okolí stále někdo, koho fyzika baví, ale o naše seináři neví nebo si yslí, že FYKOS není pro něj, neboť ho řeší jeno vítězové celostátního kola olypiády, vysvětlete u prosí, že to není pravda. Ať už uvažuješ o studiu na Mateaticko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy nebo ne, přijď nás navštívit na Dnu otevřených dveří, který se koná v úterý 29. listopadu (bližší inforace na otkáš se s organizátory i účastníky FYKOSu, na odpoledne připravujee krátkou prezentaci. ro všechny áe alý dárek. Každéu, kdo ná na Den otevřených dveří přinese vyřešenou úlohu druhé série, darujee jednu ročenku FYKOSu zdara. Na ístě bude k dostání i ročenka 18. ročníku, která se právě tiskne. řipoeňe na závěr několik organizačních záležitostí. Řešení úloh 1. série s průběžnou výsledkovou listinou dostanete se zadání 3. série běhe prosince. Každéu, kdo ná pošle svůj e-ail, budee vždy poté, co ná od něj dojde ře šení, posílat krátkou zprávu, ve které potvrdíe, že řešení skutečně došlo. Klasická pošta bývá nespolehlivá a títo způsobe předejdee nepříjený překvapení. Svá řešení ůžete sa ozřejě celá posílat e-aile na adresu fykos-solutions@.cuni.cz. Aktuální dění v seináři sledujte na našich www stránkách Na leznete ta zadání a řešení úloh, aktuální pořadí, diskusní fóru a noho dalších věcí. řejee plno nápadů při řešení úloh a s těi pilnýi z vás se těšíe na viděnou na jarní soustředění. Honza rachař 1

2 Zadání II. série Terín odeslání: 5. prosince 2005 Úloha II propiska na šňůrce Ve stojící travaji visí u svislé desky na niti délky l propiska o hotnosti. Travaj se rozjede se zrychlení a, které ůžee považovat za konstantní. Vypočítejte, ka až toto kyvadlo vykývne (jaký axiální úhel bude nit svírat s deskou) a kdy tužka opět ťukne do desky. Úloha II funící lokootiva Lokootiva s osi vagóny o hotnosti 40 t se rozjíždí na dráze 1 k na rychlost 120 k/h. Jaká usí být iniální hotnost lokootivy tohoto vlaku, aby se vlak rozjel bez prokluzování kol na kolejnici? očítejte se součinitele klidového tření f = 0,2. Odpor vzduchu a valivý odpor zanedbejte. Úloha II spektrální analýza Ve spektru jisté hvězdy byla pozorována eisní čára hélia, která á běžně vlnovou délku 587,563 n. Nebylo však vinou použitého spektroskopu, že byla rozazána přibližně v rozezí 587,60 n až 587,67 n. okuste se odhadnout teplotu hvězdy a její rychlost v prostoru. Čí je rozazání spektrální čáry způsobeno? Úloha II tepelná vodivost kovu Odvoďte jaký způsobe závisí tepelná vodivost kovu na teplotě, pokud znáte závislost jeho elektrické vodivosti na teplotě. ro vodivostní elektrony ůžete použít odel ideálního plynu, tj. elektrony se pohybují volně (přítonost iontových zbytků vůbec neuvažujee) a příočaře až na občasné srážky s jinýi elektrony, které zění sěr i velikost jejich rychlosti. Teplo přenesené krystalovou řížkou kovu je zanedbatelné oproti teplu přenesenéu vodi vostníi elektrony. Každý elektron á tepelnou kapacitu c, která nezávisí na teplotě. Úloha II.... dechové nástroje okuste se vysvětlit, proč je ožné příčnou flétnu přefouknout o oktávu výše (tj. zahrát stejný hate i tón s dvojnásobnou frekvencí), zatíco u klarinetu toho dosáhnout nelze. Úloha II. E... načechraná šlehačka Zěřte tlak plynu v sifonové bobičce. Bobička je buď plněná CO 2 a prodává se pro plnění sifonu v desetikusové balení, nebo je plněná NO 2 pro výrobu šlehačky. 2

3 Seriál na pokračování Kapitola 2: Aparát statistické fyziky V toto díle seriálu si vybudujee aparát statistické fyziky. Nebudee to dělat podrobně a rigorózně, neboť bycho tí ztratili spoustu ísta a nestačili bycho diskutovat zajíavé jevy, kvůli niž vlastně o statistické fyzice luvíe. Budee pracovat v ráci kvantové teorie, a to hned ze dvou důvodů; jednak se svět řídí kvantovou a nikoliv klasickou echanikou, jednak je kvantová statistika jednodušší. Ti, co podrobně neznají kvantovou echaniku, se neusí ničeho obávat, potřebné znalosti (až na jisté výjiky) vyložíe včas předtí, než je použijee. Zkraje uvedee pro nás nejdůležitější princip kvantové echaniky, totiž fakt, že v prostoru oezené systéy se ohou nacházet jen v určitých diskrétních stavech (tyto budee nadále nazývat ikrostavy), které jsou charakterizovány svojí energií. 1 okud vezee nějaký systé a ponecháe-li jej dostatečně dlouho v klidu, dobere se takzvané terodynaické rovnováhy. To je stav, kdy se již neění tzv. akroskopické veličiny, kterýi jsou například teplota, tlak apod. říklade ná bude žhavé železo náhle ponořené do studené vody. Teploty vody i železa se budou ěnit a za jistý čas dosáhnou svých rovnovážných hodnot, které se již dále (za stejných okolních podínek) neění. roces ustanovování rovnováhy je složitý a je založen na interakci ezi jednotlivýi částicei systéu. Částice na sebe působí různýi silai (ať již elektrické, kvantové či jiné povahy), tahají se, strkají do sebe a tí přenáší energii v ráci systéu, dokud nebude nějaký způsobe rovnoěrně rozdělená. Boltzannův vztah Již v inulé díle jse rezignovali na popis složitých systéů poocí příého řešení pohybových rovnic. Místo toho jse prohlásili, že existují jiné, statistické zákonitosti. ro jejich nalezení ná poslouží následující postulát, který je asi hlavní principe statistické fyziky. Jak jse řekli výše, částice neustále víří v jakési divoké tanci. Budee předpokládat, že pokud se systé nachází v rovnováze, pak toto víření, nárazy, chaos ohou systé přivést se stejnou pravděpodobností do libovolého dostupného ikrostavu, to jest do takového ikrostavu, jehož existence je přípustná například z hlediska zákona zachování energie. V jiné forulaci tento postulát říká, že se systé v průěru nachází stejnou dobu ve všech dostupných ikrostavech, takže pokud bycho v daný okažik zjišťovali ikrostav, se stejnou pravděpodobností bycho dostali libovolný přípustný výsledek. 2 Toto tvrzení se ůže zdát podivné. Říkáe tí vlastně, 1) ro znalce. Saozřejě se jedná o značně zjednodušené tvrzení; systéy se ohou nachá zet v libovolné lineární kobinaci těchto stavů, přičež lineární kobinace stavů s různýi energiei pak neá přesně určenou energii. Avšak v kvantové statistice se dá ukázat, že a tice hustoty systéu usí být v rovnováze diagonální v energetické reprezentaci. To je právě příčina, proč lze takto uvažovat. 2) Jak jse již výše varovali, všechny forulace jsou (doufáe) úyslně nepřesné a vágní, protože přesný forulací a podrobný zdůvodnění bycho useli věnovat nohe více ísta. edanti se ůžou poučit v příslušné literatuře. 3

4 že je stejně pravděpodobné, že všechnu energii systéu bude obsahovat jedna částice, jako že energie bude přibližně rovnoěrně rozdělená ezi všechny částice. Ale ze zkušenosti víe, jak je tou doopravdy. Například ve vodě ají všechny olekuly většinu času přibližně stejnou energii; ty nejvíce energetické prodifundují až k povrchu a opustí kapalinu (vypaří se), ovše je jich relativně álo vůči ostatní. Vtip spočívá v to, že přibližně rovnoěrné rozdělení energie je ožné realizovat nesrovnatelně více způsoby než nerovnoěrné rozdělení. Výše řečené platí pro izolovaný systé, jenž á neěnnou celkovou energii. Ve skuteč né světě ale neexistuje doopravdy izolovaný systé. Energie systéu zavřeného v sebelepší terosce se bude trošku ěnit. Když je ovše systé velký, jsou jeho energetické hladiny naskládány velice hustě vedle sebe a i velice alá zěna energie (alá na akroskopická ě řítka) uožní realizaci obrovského kvanta nových stavů. Bude proto lepší přistoupit k probléu z jiného úhlu. Měje dva systéy, jeden velký (např. bazén, vzduch v ístnosti), druhý alý (např. hrníček s kávou). ředpokládeje, že celková energie E 0 obou systéů (dohroady) se ění velice álo, a to přibližně v intervalun E 0 ±. Necháe-li tyto dva systéy dostatečně dlouho interagovat, dosáhne se stavu rovnováhy, kdy všechny dostupné ikrostavy budou stejně pravděpodobné. Zkoueje, jaká je pravděpodobnost (E ), že alý systé bude v dané ikrostavu s energií E. Tuto pravděpodobnost najdee oklikou, totiž přes poěr (E )/ (E n ) pravděpodobností nacházet se v konkrétních ikrostavech s energiei E a E n. Když budee znát tento poěr pro dané n a všechna, ůžee z podínky jednotkové celkové pravděpodobnosti (tj. že systé se bude určitě nacházet v některé ikrostavu) 1 = (E ) určit správný koeficient úěrnosti. Označe si η(e) počet ikrostavů velkého systéu (tepelného rezervoáru, terostatu), které ají energii v intervalu E ±. Jestliže alý systé á být v ikrostavu s energií E, usí ít terostat energii v intervalu E 0 E ±. 3 ravděpodobnost (E ) pak bude podle hlavního principu statistické fyziky úěrná počtu η(e 0 E ) ikrostavů terostatu, které jsou energeticky přípustné (celková energie E + (E 0 E ± ) se pohybuje v dovole ných ezích). Koeficient úěrnosti zatí neznáe. Už ale uíe určit výše zíněný poěr pravděpodobností (E ) (E n ) = η(e 0 E ) η(e 0 E n ) = exp[ln η(e 0 E ) ln η(e 0 E n )]. Jelikož je terostat veliký, je i celková energie veliká vůči energii alého systéu, tj. E 0 E. Ukazuje se, že veličina β(e), definovaná vztahe β(e) = d ln η(e)/ de, je skoro konstantní při zěnách velikosti E energie E. roto ůžee logarity v exponenciále nahradit v první přiblížení diferenciále, 4 ve které zanedbáe členy vyššího řádu než prvního, číž dostanee (E ) (E n ) = e β(e E n ). 3) ředpokládáe, že terostat je natolik velký, že se v toto intervalu nachází veli noho ikrostavů. 4) Jak znáo, pro alá h platí přibližně f(x + h) f(x) + f (x) h. 4

5 oložíe-li (E ) = C exp( βe ), z podínky noralizace snadno určíe konstantu C 1 = (E ) 1 = C e βe, odkud plyne ústřední (tzv. Boltzannův) vzorec statistické fyziky (E ) = e βe e βe Šance nacházet se v dané ikrostavu exponenciálně klesá s energií ikrostavu. K odvození vzorce budee ít ještě dva koentáře. ředstave si izolovaný systé, jenž se nachází v rovnováze a á teplotu 10 C. oté jej ponoříe do nádrže s vodou o stejné teplotě. Je zřejé, že přítonost okolní vody (terostatu) podstatně neovlivní žádné jiné vlastnosti systéu kroě relativně nezajíavé fluktuace ener gie systéu. Ačkoliv ná přítonost terostatu poohla při odvození, není (pokud jse dostatečně opatrní a kladee správné otázky) pro používání Boltzannova vzorce nutná. Druhá poznáka se týká podsystéu nějakého systéu. ředstave si například krystal kovu a v ně jeden určitý ato či skupinu atoů. O této skupině nyní ůžee uvažovat jako o alé systéu a o krystalu, jenž obsahuje nesrovnatelně více atoů, jako o velké systéu, terostatu. Na jednotlivé atoy či jejich skupiny pak také ůžee aplikovat Boltzannův vzorec. Konkrétní aplikací Boltzannova vzorce na konkrétní systéy se budee zabývat v dalších dílech seriálu. Význa veličiny β z Boltzannova vztahu Dále bycho chtěli vyjasnit význa veličiny β. Za tí účele prozkouáe jeho vlastnosti. ředevší si uvědoe, že pokud β roste, rychle se zenšuje pravděpodobnost stavů s velkýi energiei a naopak, což je vidět z Boltzannova vzorce. Nyní si představe si dva izolované systéy A a B s energetickýi hladinai A i a B i, pro něž platí A (A i ) = e β AA i i e β AA i a B (B i ) = e. β B B i. i e β BB i oto je spojíe tak, aby si ohly vyěňovat teplo. Za nějakou dobu se dosáhne rovnováhy, kdy bude pro složený systé platit Boltzannův vzorec, ve které za energetické hladiny dosadíe hladiny složeného systéu A i + B i. Hodnota β složeného systéu se ustálí na nějaké rovnovážné hodnotě β R. V rovnováze pak bude pro složený systé platit Boltzannův vzorec ve tvaru (A i + B j ) = e β R(A i +B j ) i,j e β R(A i +B j ) = e β R A i i e β RA i e β RB j i e β RB j. Rozdělení pravděpodobností v systéu A (který nyní předpokládáe v rovnováze se systé e B) ůžee určit snadno; nekladee žádnou podínku na energii systéu B, čili u síe sčítat přes všechny ožné energie systéu B. Hledané rozdělení v systéu A pak vypadá následovně A (A i ) = j (A i + B j ) = e β RA i i e β RA i a jak vidíe, á tvar Boltzannova vzorce s paraetre β = β R. Nicéně úplně stejnou úvahu jse ohli provést i pro systé B. Z toho plyne důležité tvrzení, totiž že jsou-li sys téy A a B v rovnováze, poto ají stejnou hodnotu β, tj. β A = β R = β B. Je zřejé, že totéž tvrzení platí i pro libovolný počet systéů v rovnováze (nejen pro dva). 5

6 Tato vlastnost je charakteristická pro jistou veličinu znáou z každodenního života, totiž teplotu. Jak znáo, teplota předětů, nacházejících se v rovnováze je stejná; pokud ne, teče teplo od teplejšího ke chladnějšíu, dokud se teplota nevyrovná. Ovše neůžee přío položit β = T. Řekli jse totiž, že při rostoucí β klesá pravděpodobnost stavů s velkou energií; to však platí pro klesající teplotu, neboť ustává tepelný pohyb částic a šance velkého energetického excesu klesá. Naopak při větších teplotách jsou pohyby prudší. roto jse nuceni definovat terodynaickou teplotu coby převrácenou hodnotu β vzorce β = 1 kt, který á již správné vlastnosti. Koeficient k je tzv. Boltzannova konstanta, jež ná uožňuje ěřit teplotu T v lidských jednotkách, totiž Kelvinech. Takto definovaná teplota se shoduje s teplotou, kterou znáte ze školy. Boltzannův vzorec s explicitně vyjádřený β á tedy tvar (E ) = e E /kt e E /kt. Statistická (partiční) sua Ve skutečnosti však nechcee počítat ani tak pravděpodobnosti jednotlivých ikrostavů, nýbrž hodnoty akroskopicky ěřitelných veličin (např. tlaku, energie, agnetizace apod.) pro dané paraetry (např. teplotu). To byla hlavní otivace zíněná na začátku seriálu. Nyní si ukážee, jak se to dělá. rvní kroke je výpočet tzv. statistické (partiční) suy Z, definované vztahe Z = e βe, kde index běží přes všechny ikrostavy systéu. Tato sua je veličinou, stojící ve je novateli Boltzannova vzroce; jde vlastně o pouhý norovací faktor, zajišťující jednotkovou celkovou pravděpodobnost. řesto z ní lze vypočítat všechny akroskopické veličiny, které by nás ohly zajíat. Jako první příklad si vezěe výpočet střední energie systéu. 5 odle definice je střední energie (budee ji značit U) rovna U = E (E ) = 1 Z E e βe, kde jse pravděpodobnosti (E ) vyjádřili poocí Boltzannova vzorce. Tento vzorec lze však také zapsat jinak, což představuje jeden z nejdůležitějších triků U = E (E ) = 1 Z E e βe = 1 Z β e βe = 1 Z Z β = ln Z β. 5) Střední hodnota veličiny A je definovaná títo způsobe. Máe-li nožinu neslučitelných jevů s pravděpodobnosti p n a naše veličina A při těchto jevech nabývá hodnot A n, pak její střední hodnotou A rozuíe součet n A np n. Konkrétní příklade této definice je třeba aritetický průěr; ta jsou všechny pravděpodobnosti p n stejné. 6

7 Střední hodnotu energie jse vyjádřili poocí derivace nějaké funkce Z. odobně ůžee odvodit i střední hodnotu tlaku. Tlak vstupuje do Boltzannova vzorce prostřednictví energetických hladin E. Tlak v -té stavu je záporně vzatou derivací energie E tohoto stavu podle objeu, totiž Střední hodnota tlaku pak bude p = E V. p = p (E ) = 1 Z X E V e βe = 1 βz V e βe = β 1 ln Z V. Títo způsobe ůžee vypočítat libovolnou střední hodnotu. Na úplný závěr zadefinujee dvě další veličiny a uvedee některé důležité vztahy ezi nii, které si ůžete snadno ověřit právě předvedený způsobe. Zavedee tzv. volnou energii F = β 1 ln Z a entropii S = (E ) ln (E ). latí U = F T F T, S = F T apod. Tí tento díl seriálu končí, v příští díle získané vztahy použijee na nějaké konkrétní systéy. Úloha II. S... aparát statistické fyziky a) Jaký je vztah ezi počte ikrostavů Ω(E) terostatu s energií ln E a veličinou η(e) (tj. počte ikrostavů s energií v intervalu E ± ) pro alá? b) Měje systé N nezávislých haronických oscilátorů, přičež energie každého oscilátoru ůže nabývat hodnot n hω s n = 0, 1,... (zanedbáváe energii nulových kitů). Jaký bude ít tvar veličina η(e) a β(e) pro velká N a E? c) Najděte stejné veličiny jako v předchozí příkladu pro systé N neinteragujících volných elektronů uvězněných na úsečce, (*) ve čtverci, (**) v krychli. Nápověda. oužijte de Broglieho relace ezi hybností a vlnovou délkou de Broglieho vlny. Na úsečku se usí vejít celý počet půlvln. De Broglieho vlny ve čtverci si lze představit coby součin vln ve sěru osy x a osy y, kvantovací podínka je podobná jako pro úsečku. 7

8 FYKOS UK v raze, Mateaticko-fyzikální fakulta Ústav teoretické fyziky V Holešovičkách raha 8 www: e-ail pro řešení: fykos-solutions@.cuni.cz e-ail: fykos@.cuni.cz Fyzikální korespondenční seinář je organizován studenty UK MFF. Je zastřešen Oddělení pro vnější vztahy a propagaci UK MFF a podporován Ústave teoretické fyziky UK MFF, jeho zaěstnanci a Jednotou českých ateatiků a fyziků. 8