Rozdělení spojitých veličin

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Rozdělení spojitých veličin"

Transkript

1 Rozdělení spojitých veličin Frekvenční distriuční funkce spojité náhodné veličiny (NV) Rovnoměrné spojité rozdělení Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Normální normovné rozdělení Logritmicko - normální rozdělení Eponenciální rozdělení χ - rozdělení (Personovo) Studentovo t - rozdělení Fischerovo - Snedecorovo F - rozdělení

2 FREKVENČNÍ FUNKCE spojité NV Pokud u spojité náhodné veličiny X vynášíme n osu y prvděpodonost, dostneme FREKVENČNÍ FUNKCI neoli HUSTOTU PRAVDĚPODOBNOSTI.

3 DISTRIBUČNÍ FUNKCE spojité NV Pokud u spojité náhodné veličiny vynášíme n osu y KUMULATIVNÍ prvděpodonost, dostneme DISTRIBUČNÍ FUNKCI.

4 DISTRIBUČNÍ FUNKCE spojité NV Distriuční funkce spojité NV má tvr esovité křivky je nezáporná neklesjící nejvýše 0 F( ) F ( ) f ( t) dt Pro zvolenou hodnotu p nlezneme n vodorovné ose hodnotu kvntilu (p).

5 Rovnoměrné spojité rozdělení U různých progrmových produktů (tulkové procesory, progrmovcí jzyky, sttistické simulční progrmy) je dostupný tzv. generátor náhodných čísel. Je to funkce, jejímž voláním lze získt hodnoty náhodné veličiny, které mjí rovnoměrné rozdělení prvděpodonosti. Běžně se setkáváme s tím, že tto funkce generuje hodnoty spojité veličiny U z intervlu [0,). Některé progrmové produkty dovolují i generování hodnot diskrétní náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením, jink tyto hodnoty můžeme získt vhodnou trnsformcí (zokrouhlením) spojité veličiny X. Je nutno mít n pměti, že tzv. generátory náhodných čísel jsou deterministické lgoritmy, tzn., že jednou vygenerovnou řdu hodnot jsme schopni při stejném počátečním zdání přesně zopkovt. Vygenerovné hodnoty tedy nejsou, přísně vzto, náhodné. Proto se někdy tkto vygenerovným hodnotám říká pseudonáhodná čísl.

6 Rovnoměrné spojité rozdělení - Frekvenční funkce Spojitá náhodná veličin X má rovnoměrné rozdělení, jestliže hustot prvděpodonosti je n intervlu hodnot (,) konstntní mimo tento intervl nulová. Ploch pod frekvenční křivkou (úsečkou) f ( ) f() 0 pro < < jink

7 Rovnoměrné spojité rozdělení - Distriuční funkce Distriuční funkce rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny X je F() 0 pro pro < < F() pro ) ( ) ( ) ( ) ( dt t f X P F <

8 Rovnoměrné spojité rozdělení - střední hodnot rozptyl Mtemticky je střední hodnot NV s distriuční funkcí F() definovná pomocí integrálu je to vlstně součet všech možných hodnot vynásoený jejich prvděpodoností Rozptyl vypočteme doszením do vzorce: vr(x)e(x ) - [E(X)] ) ( d X E + ) vr( + d X ) df( µ d d d f X E ) ( ) (

9 Rovnoměrné spojité rozdělení odvození vzorce pro rozptyl Anlogicky: Zpsáno v jiném tvru: vr(x) E(X ) - [E(X)] ) vr( + d X + n i i i n i i n n X ) ( ) ( ) vr( + n i i n i i n n

10 Rovnoměrné spojité rozdělení odvození vzorce pro rozptyl ( ) ) vr( 3 d X ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) vr( X

11 Normální rozdělení spojitých veličin Budeme zkoumt rozdělení četností (prvděpodonosti výskytu) různých hodnot u iologických i jiných veličin, npř.: tělesná výšk dospělých mužů váh novorozených dětí hodnoty cholesterolu pcientů z cévní pordny IQ školních dětí počet slov n potištěných stránkách životnost žárovek Tyto veličiny udeme povžovt z spojité rozdělení prvděpodonosti výskytu jejich hodnot nzývt NORMÁLNÍ krjní hodnoty (nízké vysoké) se vyskytují jen zřídk prostřední hodnoty jsou směrem ke střední hodnotě četnější mlá četnost mlá prvděpodonost výskytu velká četnost vysoká prvděpodonost výskytu

12 Prvděpodonostní funkce spojité náhodné veličiny Spojitou NV měříme s omezenou přesností: přesnost omezená měřicími přístroji neo nšimi schopnostmi zorzujeme ji Histogrmem četností (sloupcovým grfem) Frekvenční funkcí neoli Hustotou prvděpodonosti inch

13 Prvděpodonostní funkce Normálního rozdělení inch Histogrm četností je měření ovodu hrudi 5738 skotských vojáků (utorem je Belgičn Adolph Quételet). Křivk je Frekvenční funkce neoli Hustot prvděpodonosti O první uveřejnění spisku o této křivce se zsloužil v roce 733 frncouzský mtemtik Arhm de Moivre.

14 Prvděpodonostní funkce Normálního rozdělení ROZDĚLENÍ (ROZLOŽENÍ) NÁHODNÉ VELIČINY tedy znázorníme PRAVDĚPODOBNOSTNÍ neoli FREKVENČNÍ FUNKCÍ. Hldkou křivku můžeme tké nzvt HUSTOTA PRAVDĚPODOBNOSTI Př. Hmotnost nrozených dětí

15 Normální rozdělení Normální rozdělení je myšlenkovým modelem. Normální křivk je jednoznčně určen dvěm prmetry: střední hodnotou rozptylem resp. směrodtnou odchylkou Střední hodnot je v tomto přípdě ritmetický průměr, medián i modus - určuje střed křivky n ose Rozptyl určuje plochost neo nopk špičtost křivky (čím je rozptyl větší, tím je křivk plošší )

16 Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Oecné normální rozdělení má ve sttistice dominntní postvení. Mnohé náhodné veličiny v přírodních vědách i ekonomice mjí toto rozdělení neo lze jejich rozdělení Normálním rozdělením doře proimovt. Proč? V BIOSTATISTICE je rozdělení hodnot dáno především BIOLOGICKOU VARIABILITOU SLEDOVANÉ VELIČINY měřenou proměnnou ovlivňuje součsně velký počet neptrných vzájemně nezávislých náhodných vlivů. Projevuje se to kolísáním kolem střední hodnoty tk, že n oě strny jsou výsledky stále méně čsté etrémní hodnoty se ojevují jen ojediněle.

17 Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Normální rozdělení N(μ; σ ) je popsáno mtemtickou funkcí: f ( ) e σ π ( µ ) µ σ e σ π σ Frekvenční funkce je symetrická zvonovitá funkce jejíž špičtost závisí nepřímo n velikosti rozptylu σ Normální rozdělení je stejně jko osttní rozdělení myšlenkovým modelem, nikoli ektním přírodním zákonem. I zde pltí, že se může vyskytnout nejméně prvděpodoná hodnot.

18 Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Normální rozdělení pltí pro (téměř) všechny výěry Npř. zkoumáme váhu stovky (tisíce, sttisíce) hvrnů. Všichni jsou černí, le jejich váhy se udou lišit nejen u jednotlivců, le u různých výěrů. Pokud jejich váhy jsou rozděleny normálně, součet vh výěrů je tké rozdělen normálně. Oecně pltí, že normálně ude rozdělen i veličin, která vznikne součtem výěrů, i kdyy původní veličin normální rozdělení neměl. Normální křivku mtemticky popsl poprvé v roce 733 Arhm de Moivre, frncouzský mtemtik, který utekl do Londýn. N zákldě inomického rozdělení uskutečnil myšlenkový skok od sloupečků k hldké křivce. Jenže křivk i rovnice updly v zpomnění.

19 Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Znovuojeven yl jko GAUSSOVA LAPLACEOVA KŘIVKA CHYB. Proč chy? N přelomu století získávli stronomové při svých měřením ve vesmíru kvůli nedokonlosti přístrojů stále odlišné hodnoty. Astronomové mezi nimi Guss Lplce - hledli cestu, jk ze spousty různých výsledků njít prvděpodoně správnou hodnotu. Nejprve chtěli vypočítt ritmetický průměr, le pk o došli k závěru, že velmi odlišné hodnoty vyloučí udou se zývt jen těmi podonějšími. Nejčetnější hodnoty yly prostřední odpovídl jim i ritmetický průměr. Pro práci s odchylkmi (npř. + -, +5-5) zvolil kždý jinou cestu: Lplce solutní hodnoty, Guss chyy umocnil n druhou tento postup se pk upltnil při výpočtu rozptylu směrodtné odchylky. Pro iometrii vědu o měření člověk ojevil normální rozdělení elgický vědec Adolphe-Lmert Quételet, jeden ze zkldtelů Královské sttistické společnosti v Londýně.

20 Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Quételet zvedl pojem homme moyen tvrdil, že přírod se snží vytvořit ideální typ člověk, le že různě chyuje. Měl odpůrce i stoupence, npř. Frncis Glton zvedl do iologie kvntittivní metody měrné stupnice pro všechny možné tělesné znky. Dlším odivovtelem normální křivky yl Krl Person, otec moderní mtemtické sttistiky. Stnovil, že i v přírodě jsou nenormálně rozdělené veličiny. Pokusil se vyprcovt specifická schémt rozdělení pro tyto přípdy po pečlivém rozoru skutečností zjistil, že se ovykle jedná o spletence dvou neo více normálních rozdělení. Výsledkem dohdů o normálním rozdělení je centrální limitní vět, která nám říká si toto: Jestliže je znk určen půsoením většího počtu nvzájem nezávislých vlivů, výsledkem je lespoň přiližně normální rozdělení, ť už je kždý z těchto fktorů rozdělen jkkoliv.

21 Pltí: Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) - součet či rozdíl normálních veličin je normální - tedy i průměr normálně rozdělených veličin je normální - čím více nezávislých náhodných veličin sčítáme, tím je jejich součet líž normálnímu rozdělení to ez ohledu, jké měly původní veličiny rozdělení Povžujeme ho z rozdělení, které vystihuje rozložení SPOJITÝCH KVANTITATIVNÍCH VELIČIN. Můžeme ho popst pomocí dvou prmetrů μ σ. Tyto prmetry jsou mírou polohy měřítk jejich přirozeným odhdem je výěrový průměr výěrový rozptyl. Mtemticky lze dokázt, že pro dosttečně velké n je inomické rozdělení Bi(n; π) podoné normálnímu rozdělení N(nπ; nπ(-π))

22 Grfy hustoty prvděpodonosti Normálního rozložení

23 Grfy odpovídjících distriučních funkcí Normálního rozložení

24 Frekvenční funkce PRAVIDLO TŘÍ SIGMA -3δ -δ -δ 0 δ δ 3δ - odchylky n oě strny jsou stejně prvděpodoné (symetrie, šikmost 0) - v úseku δ +δ leží 68,6% přípdů, tj. o něco víc než /3 celkové plochy - v úseku δ +δ leží 95% přípdů - v úseku 3δ +3δ leží 99,7% přípdů Normální křivk se teoreticky rozkládá od - do +

25 Normovné normální rozdělení znčíme někdy místo N(0; ) symolem U neo Z Má střední hodnotu μ 0 směrodtnou odchylku σ Je popsáno mtemtickou funkcí: která vznikl zjednodušením rovnice doszením z μ 0 σ Normovné normální rozdělení N (0; ) ) ( e f π ) ( σ µ π σ e f

26 Normovné normální rozdělení N (0;) Normování je účelná konvence: vzorec pro přepočet hodnot normovného rozdělení je: Důvody: pro střední hodnotu 0 je rozložení symetrické (šikmost 0) pro směrodtnou odchylku je špičtost 0 z µ pro testování hypotéz potřeujeme mít k dispozici kritické hodnoty převod n Normovné rozdělení nám umožní použít sttistické tulky, v nichž jsou telovány hodnoty pouze pro μ 0 σ σ Poznámk: sttistické progrmy už umí prcovt i s oecným normálním rozdělením

27 Sttistická tulk rozdělení prvděpodoností N(0; )

28 Příkld O rozdělení IQ oyvtel je známo, že má normální rozdělení se střední hodnotou 00 směrodtnou odchylkou 0, tj. N(00; 00) Jká je prvděpodonost, že vše kmrádk má. IQ > 85. IQ > 5 3. IQ mezi IQ 00 Vypočteme z - skóry pro N(0; ). 85:. 5: z 0,5 500 z, : z ,0 4. 0: z ,0

29 Příkld - řešení. IQ > 85 -,5. IQ > 5,5 3. IQ mezi IQ 00 Prvděpodonost:. 0, ,994: 0, ,84-0,59: 0,

30 LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Příkldy: Koncentrce látek Hmotnost dospělého muže U normálního rozdělení se chyy sčítjí, zjímá nás o kolik se změní sledovná veličin (ditivní). U logritmicko-normálního se ptáme kolikrát se změní sledovná veličin (multipliktivní) vytváří násoek skutečné veličiny, tře lízký jedné. Tento násoek můžeme ještě názorněji vyjádřit procentuelně. zvýšení hmotnosti člověk s 50 kg o 5 kg je 0%, tj. násoek, zvýšení hmotnosti člověk se 00 kg o 5 kg je 5% tj. násoek,05 Proto je vhodnější počítt tyto veličiny v logritmicko normálním rozložení.

31 LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Pokud si nkreslíme histogrm s rozdělením váhy v normálních hodnotách, histogrm není symetrický, le zešikmený kldně - v prvé části se ude ojevovt více odlehlých hodnot Pokud y průměrná hmotnost dospělého muže yl 80 kg, pk njdeme dleko víc mužů, kteří váží přes 00 kg než mužů, kteří váží méně než 60. Zároveň odchylk 50 kg se ve vyšších hodnotách ude zcel jistě vyskytovt (váh 30 kg), le v nižších hodnotách (30 kg) se skoro jistě nevyskytne vůec. Pokud stejné rozdělení zorzíme jko logritmy hodnot, rozdělení se ude jevit symetrické. Mjí-li tyto logritmy normální rozložení, mluvíme o logritmickonormálním rozdělení. Chrkteristikou polohy je geometrický průměr, který vypočteme odlogritmováním průměru logritmů. Testy výpočty intervlů počítáme tké z logritmů nměřených hodnot. Meze intervlů jsou nesymetrické.

32 LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Vyznčuje se kldným zešikmením Příkldy: - koncentrce - hmotnost postvy

33 EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ Používá se nejčstěji pro nlýzu doy přežití v iologii neo ve fyzice pro modelování rychlosti rozpdu izotopů. Nejjednodušší model prvděpodonosti přežití je zložen n myšlence, že prvděpodonost úmrtí je v kždém okmžiku stejná, tj. prvděpodonost, že sledovná oso zemře v dném okmžiku z předpokldu, že se tohoto okmžiku dožil, je konstntní nezávisí n čse. Hustot eponenciálního rozdělení je popsán vzorcem: f ( ) e e Zákldní chrkteristiky jsou: E(X) vr(x)

34 Výěrová rozdělení veličin Mějme náhodnou veličinu o které předpokládáme, že má Normální rozdělení s prmetry μ σ. V pri čsto neznáme skutečné hodnoty těchto prmetrů musíme je nhrdit jejich odhdy. Tto trnsformce změní rozložení zkoumné veličiny. Proto yl odvozen jiná (výěrová) rozdělení, která slouží jko vzor pro porovnávání s výěrovým rozdělením. V kpitole o Sttistických testech udeme hledt způso, jk určit shodu mezi nší náhodnou veličinou teoretickým rozdělením, o kterém předpokládáme, že je modelem pro nše dt.

35 Výěrová rozdělení veličin Jinými slovy: Při testování veličiny vypočteme testovcí sttistiku, o které víme, že z pltnosti testovné hypotézy, má nějké výěrové rozdělení, npř.: χ rozdělení (používá se pro popis výěrového rozptylu) Studentovo t - rozdělení (nejčstěji se používá k porovnání průměrů) Fisherovo F rozdělení (použití pro porovnání rozptylů ve dvou souorech neo při porovnání rozptylů závislých veličin v lineární regresi)

36 χ rozdělení (Personovo) Mějme n nezávislých náhodných veličin s normovným normálním rozdělením N(0; ): U, U,, U n Potom náhodná veličin X má rozdělení s n-stupni volnosti. Je to rozdělení součtu n druhých mocnin normálně rozdělených veličin. Hodnot n je jediný prmetr tohoto rozdělení. Zákldní chrkteristiky: E(X) n, D(X) n Hustot rozdělení je pro hodnoty 0 nulová (viz orázek dále). χ n i U i

37 χ rozdělení (Personovo) S rostoucím n se rozdělení χ n i U i líží normálnímu rozdělení χ N(n, n) s prmetry μ n σ n

38 χ rozdělení (Personovo) Distriuční funkci, stejně jko hustotu rozdělení, nelze vyjádřit jednoduchým výrzem, proto je telován, podoně jko kvntily rozdělení chí kvdrát. Telovné hodnoty njdeme ve sttistických tulkách, kde jsou ovykle v levém sloupci stupně volnosti v horním řádku njdeme hldinu význmnosti α (vysvětlení njdete v kpitole o sttistických testech). χ V Ecelu pro určení kvntilů rozdělení můžeme použít funkci CHISQ.INV, jejíž prmetry jsou p, tj. levostrnná prvděpodonost počet stupňů volnosti, tkže npř. zdáním CHISQ.INV(0,95;0) dostneme hodnotu 0,95-kvntilu rozdělení χ pro 0 stupňů volnosti 8,307

39 χ rozdělení (Personovo) nlogická funkce CHISQ.INV.RT, počítá kvntily zprv, tj. CHISQ.INV.RT(0,05;0) vypočte stejnou hodnotu kvntilu jko CHISQ.INV(0,95;0). Tto funkce je inverzní k funkci distriuční, tj. pro CHISQ.DIST s prmetry (; n; ), kde je kvntil, n je počet stupňů volnosti určuje, že se jedná o distriuční funkci. Oecně má funkce CHISQ.DIST prmetry (; n; kumultivní), kde je kvntil, n je počet stupňů volnosti kumultivní je prvd () - distriuční funkce, neo neprvd (0) - frekvenční funkce (hustot prvděpodonosti). nlogicky funkce CHISQ.DIST.RT vrátí hodnotu distriuční funkce zprv. Třetí prmetr nemá.

40 χ rozdělení (Personovo) Používá se nejčstěji pro popis výěrového rozptylu. Tvr rozložení je závislý n počtu sčítnců n, le toto číslo musíme v přípdě, že pro výpočet použijeme odhd jednoho neo více prmetrů, zmenšit o příslušný počet odhdovných prmetrů. Příkld: pro výpočet odhdu ROZPTYLU, kdy použijeme odhd průměru, je počet stupňů volnosti (n ) místo n (odhdovli jsme prmetr). Ve složitějších přípdech ývá počet odhdovných prmetrů větší počet stupňů volnosti se tím zmenší.

41 Studentovo t - rozdělení Tké Studentovo t-rozdělení ptří mezi rozdělení odvozená od Normálního rozdělení můžeme ho popst funkcí: kde veličin U má stndrdizovné normální rozložení veličin t χ U χ n chí-kvdrát rozdělení o n - stupních volnosti Sttistické chrkteristiky: E(T) 0, D(T) n n

42 Studentovo t - rozdělení S rostoucím n se t-rozdělení líží normovnému normálnímu rozdělení pro n > 40 ho můžeme nhrdit normovným rozdělením N (0; ) Název získlo rozdělení podle pseudonymu chemik pivovru Guiness v Dulinu Willim Sely Gosset, jednoho ze zkldtelů plikcí induktivní sttistiky v olsti nesporně význmné - v zezpečení kvlity piv. Nejčstěji se používá k porovnání průměrů. Kvntily t-rozdělení jsou telovány neo je můžeme určit pomocí softwre.

43 Studentovo t - rozdělení V Ecelu eistují funkce T.INV T.INV.T s dvěm prmetry: prvděpodonost počet stupňů volnosti. Kždá z nich se chová jink: T.INV vrcí hodnotu p-kvntilu zlev, npř. T.INV(0,04; 40) -,796 T.INV.T počítá s ooustrnnou prvděpodoností, npř. T.INV.T(0,04; 40),3 - vrcí hodnotu kvntilu pro prvděpodonost 0,98 zprv, tzn., že n oou strnách křivky ukrojíme hodnoty s prvděpodoností < než 0,0. Je to proto, že n rozdíl od funkce chí-kvdrát Normálního rozdělení je pro Studentovo rozdělení definován hldin význmnosti α ooustrnně: P{ T t(α)} α

44 Studentovo t - rozdělení Co znmená hldin význmnosti α ude vysvětleno v kpitole u sttistických testů. Ztím n příkldu: řekli jsme, že Studentovo rozdělení pro n > 40 můžeme nhrdit Normálním normovným rozdělením. T.INV (0,4; 40) -0,55 T.INV.T (0,8; 40) 0,55... ooustrnná prvděpodonost NORM.S.INV (0,4) -0,53... prvděpodonost zprv NORM.S.INV (0,6) 0,53... zlev prvděpodonost 0,04

45 Studentovo t - rozdělení Anlogicky njdeme v Ecelu Distriuční funkci T.DIST s prmetry, volnost, kumultivní, kde je kvntil, volnost je počet stupňů volnosti kumultivní je prvd () - distriuční funkce, neo neprvd (0) - frekvenční funkce (hustot prvděpodonosti). Funkce T.DIST.RT poskytne hodnotu prvostrnného Studentov rozdělení funkce T.DIST.T poskytne hodnotu ooustrnného Studentov rozdělení

46 Studentovo t - rozdělení

47 Studentovo t - rozdělení Telování hodnot studentov rozdělení: P{ T t(α)} α Telování hodnot Normálního normovného rozdělení: P{X u(α)} α Asolutní hodnot u Studentov rozdělení zdvojnásoí hldinu význmnosti pro stejnou hodnotu nezávisle proměnné (testovcí sttistiky): Z(α) ~ t(α), npř. Z,576 pro α 0,005 t,576 pro α 0,0 (pro nekonečně velký počet stupňů volnosti) V Ecelu použijeme funkce: NORM.S.INV (-α) pro Normální normovné rozdělení T.INV.T (α; počet stupňů volnosti) pro Studentovo rozdělení

48 Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny s rozdělením Veličin χ n χ F m χ má Fischerovo - Snedecorovo rozdělení s n m stupni volnosti. N pořdí prmetrů záleží. n n Sttistické chrkteristiky: E(F) D(F) n ( m + n ) m( n ) ( n 4) Používá se především pro testování rozdílnosti rozptylů při porovnání rozptylů závislých veličin v lineární regresi

49 Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení

50 Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení V Ecelu kvntily počítá funkce F.INV s prmetry -p, n, m, npř. F.INV(0,05; 0; 0) vrátí hodnotu,3478, což je 0,95-kvntil Vzhledem k tomu, že náhodná veličin F je podílem veličin X Y, pro kvntily F-rozdělení pltí Fn, m( p) F ( p) F.INV(0,5;00;0),3 F.INV(0,75;0;00) 0,76 /0,76,3 m, n

51

52

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie Pržská vysoká škol psychosociálních studií, s.r.o. Temtické okruhy ke státní mgisterské zkoušce Psychologická metodologie NMgr. oor Psychologie 1 Vědecká teorie vědecká metod Vědecké vysvětlení, vědecký

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR Aktuální informce Ústvu zdrvotnických informcí sttistiky České repuliky Prh 8.1.2004 1 Zhouný novotvr ledviny mimo pánvičku v ČR Počet hlášených onemocnění zhouným novotvrem ledviny mimo pánvičku (dg.

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita Stbilit tomového jádr Rdioktivit Proton Kldný náboj.67 0-7 kg Stbilní Atomové jádro Protony & Neutrony Neutron Bez náboje.67 0-7 kg Dlouhodobě stbilní jen v jádře Struktur jádr A Z N A nukleonové číslo

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí.

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí. 10. Nebezpečné dotykové npětí zásdy volby ochrn proti němu, ochrn živých částí. Z hledisk ochrny před nebezpečným npětím rozeznáváme živé neživé části elektrického zřízení. Živá část je pod npětím i v

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI FAKULTA PEDAGOGICKÁ Ktedr sociálních studií speciální pedgogiky Studijní progrm: Studijní oor: Kód ooru: Sociální práce Sociální prcovník 7502R022 Název klářské práce: NÁHRADNÍ

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

Výzkumná zpráva pro Lesy České republiky

Výzkumná zpráva pro Lesy České republiky Alrechtová kol: Výzkumná zpráv pro LČR, 2. etp 1 Výzkumná zpráv pro Lesy České repuliky Hodnocení vývoje zdrvotního stvu vyrných stnovišť v Krušnohoří od roku 1998 Etp II: 1) Anlýz mkroskopických mrkerů

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Stavební firma. Díky nám si postavíte svůj svět. 1.D Klára Koldovská Šárka Baronová Lucie Pancová My Anh Bui

Stavební firma. Díky nám si postavíte svůj svět. 1.D Klára Koldovská Šárka Baronová Lucie Pancová My Anh Bui Stvební firm Díky nám si postvíte svůj svět. 1.D Klár Koldovská Šárk Bronová Lucie Pncová My Anh Bui Obsh 1) Úvod 2) Přesvědčení bnky 3) Obchodní jméno, chrkteristik zákzník, propgce 4) Seznm mjetku 5)

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Z600 Series Color Jetprinter

Z600 Series Color Jetprinter Z600 Series Color Jetprinter Uživtelská příručk pro Windows Řešení prolémů s instlcí Kontrolní seznm pro řešení ěžných prolémů při instlci. Zákldní informce o tiskárně Informce o částech tiskárny softwru

Více

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže

pro čajovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g a n i z a c e soutěže H r í ř á d pro čjovou ligu družstev Č l á n e k I. - O r g n i z e soutěže I-1. Vymezení soutěže Soutěž je pořádán pro družstv složená z hráčů, kteří hrjí go pro zpestření svého volného čsu htějí změřit

Více

Maturitní příklady 2011/2012

Maturitní příklady 2011/2012 Mturitní příkldy 0/0 Výroková logik, množiny, důkzy Ve třídě je 0 dívek 5 hohů Jedn čtvrtin dívek nosí rýle elkem 0% žáků ve třídě má rýle Kolik hohů nenosí rýle? Ze 00 studentů se 0 učí němeky, 8 špnělsky

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ORTODONTICKÝ PRŮVODCE PRAKTICKÉHO ZUBNÍHO LÉKAŘE

ORTODONTICKÝ PRŮVODCE PRAKTICKÉHO ZUBNÍHO LÉKAŘE MUDr. Mgdlen Koťová, Ph.D. ORTODONTICKÝ PRŮVODCE PRAKTICKÉHO ZUBNÍHO LÉKAŘE Recenzent: Prof. MUDr. Jiří Mzánek, DrSc. Grd Pulishing,.s., 2006 Fotogrfie z rchivu utorky. Perokresy podle návrhů utorky nkreslil

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky.

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky. SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ Hilti. Splní nejvyšší nároky. Spřhovcí prvky Technologie spřhovcích prvků spočívá v připevnění prvků přímo k pásnici ocelového nosníku, nebo připevnění k pásnici přes

Více