Analýza bodové množiny

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Analýza bodové množiny"

Transkript

1 alýza bodové možy Petra Suryková Faculty of Mathematcs ad Physcs, Charles Uversty Prague Sokolovská 83, Praha 8, Czech Republc emal: petra.surykova@mff.cu.cz bstrakt. V příspěvku se zaměříme a jedu fáz rekostrukce ploch a to zpracováí vstupí možy bodů. Úloha, kterou řešíme, je zadaá pomocí eorgazovaé koečé možy bodů v prostoru a vstupu, přčemž úkolem je vytvořt rekostruovaý povrch plochy takový, že body vstupí možy leží a ebo blízko povrchu. K prvotímu popsu a zpracováí vstupí možy bodů používáme růzé typy aproxmací dat v rově přímkou a v prostoru přímkou a rovou. Dále se zabýváme odstraěím šumů, adbytečých bodů a bodů, které epatří zkoumaému objektu. Zjšťujeme rověž oretac dat a hledáme rové symetre této bodové možy. V ašch expermetech řešíme rekostrukce povrchů s ohledem a specálí typ zpracovávaých objektů. Navržeé metody ověřujeme a bodových možách reprezetující buď počítačově geerovaá data (sytetcká), geometrcké modely ebo jedoduché část reálých staveb. K mplemetac avržeých postupů jž tradčě používáme výpočetí prostředí MTLB. Klíčová slova: bodová moža, rekostrukce povrchů, ortogoálí prokládáí, metoda ejmeších čtverců 1 Dgtálí rekostrukce povrchů z mrača bodů V ašem výzkumu se zabýváme dgtálí rekostrukcí povrchů z mrače bodů. Hlavím cílem rekostrukce je dokumetovat reálé objekty v počítačové podobě a popsovat je matematcky. Ze vstupí bodové možy, která reprezetuje fyzcký model ějakého objektu, reálou stavbu, mechackou součástku ebo jý reálý objekt, chceme zpětě zrekostruovat povrch daého objektu v podobě počítačového modelu a popsat teto model v co ejkompaktějším tvaru, tedy pomocí parametrckých ebo mplctích rovc. V obecé úloze jsou k dspozc pouze prostorové souřadce bodů, žádé další vlastost a formace o struktuře této bodové možy předem ejsou zámy. Vždy předpokládáme, že body vstupí možy (bodového mrača) leží a ebo blízko povrchu. V ašch expermetech se zabýváme zpracováím specálích mrače bodů, které popsují část reálých staveb a to jedoduchých kleeb, částí zastřešeí ebo jých jedodušších povrchů, které lze popsovat plocham ízkých stupňů případě plocham o jých specfckých vlastostech. Rekostrukce povrchů se skládá z ěkolka dílčích kroků bodové fáze, polygoálí fáze a tvarové fáze. V bodové fáz získáváme mračo bodů a to ejčastěj 3D skeováím reálých povrchů a dále toto bodové mračo zpracováváme. V polygoálí fáz aproxmujeme bodové mračo pomocí trojúhelíkové sítě a v závěrečé tvarové fáz ahrazujeme polygoálí síť specálím typem plochy, který předem určujeme. Podroběj jsou jedotlvé fáze rekostrukce

2 popsáy v [6]. V ašem příspěvku se zabýváme aalýzou a dalším zpracováím vstupí bodové možy, tedy bodovou fází rekostrukce povrchů. Zbývající část čláku je rozdělea ásledově: Následující kaptola je věováa metodám zjšťováí oretace dat, třetí kaptola se zabývá odstraňováím adbytečých bodů ze vstupí možy, kaptola čtvrtá prezetuje vlastí ávrhy hledáí os symetrí bodů v rově a v prostoru pomocí dferecálích umerckých metod. V závěru dskutujeme další možý vývoj ašeho výzkumu. Metody pro zjšťováí oretace dat V této kaptole s ukážeme zámé metody prokládáí dat přímkou a rovou, které dále použjeme jako řešící metody v aalýze vstupí bodové možy..1 proxmace fukcí metodou ejmeších čtverců Jako motvac k dalším postupům použjme zámou aproxmac metodou ejmeších čtverců. Metoda ejmeších čtverců se používá př zpracováí epřesých dat, typcky výsledků ějakého měřeí, které je zatížeo chybam, a obecě slouží k elmac chyby. Nejčastěj tedy jde o hledáí aproxmující fukce aměřeým daty. Je zřejmé, že hledáí fukčí závslost, která by terpolovala aměřeá data, eí žádoucí, eboť takto bychom chybu apodoboval. Pro lepší ázorost uveďme ejzákladější použtí metody ejmeších čtverců a to hledáí aproxmující fukce daým hodotam získaým ějakým měřeím, kdy předem záme, o jakou fukčí závslost se jedá. Použjeme přtom ejpoužívaější krtérum, čímž bude mmalzace součtu druhých moc odchylek fukčích hodot a aměřeých hodot. Mějme dáu možu 1 bodů x, y,,1,..., v eukledovské rově E, možu bodů chápeme jako posloupost, eboť body se můžou opakovat. Začt tuto možu budeme jako X. Dále je dáa moža k 1 fukcí, j,1,..., k, kde k, defovaých alespoň ve všech bodech x. Z možy leárích kombací (1) a ( x) a1 1( x)... akk ( x); aj, j,1,..., k vybereme takovou fukc ( x) a ( x) a ( x)... a ( x) a ( x), () 1 1 pro kterou fukce j k k j j j (3) H a, a,..., a ( x ) y 1 k abývá mmálí hodoty. Kdybychom zal přesou fukc, kterou yí pomocí koečého možství hodot avíc zatížeých chybam aproxmujeme, předpokládáme, že pro ějaké k

3 ezámé k lze tuto fukc vyjádřt jako koečou leárí kombac možy fukcí, j,1,..., k. V případech, v jakých využíváme aproxmac j metodou ejmeších čtverců, se většou vyskytuje aproxmace přímkou. Předem tedy záme, že se má jedat o leárí fukčí závslost, v důsledku chyb vzklých měřeím ale edokážeme tuto přesou fukc odhalt. Jedá se o specálí případ, kdy fukce ( x) je polyomem stupě k, tj. fukce ( x) je j leárí kombací polyomů x, j,1,..., k s koefcety a, j,1,..., k. k Předpokládáme tedy, že přesá fukce by byla též polyomem stupě k, kvůl chybám v měřeí však získáme pouze její aproxmac. Pro volbu k 1 dostáváme právě aproxmačí přímku. Přepšme tedy () ásledově (4) k k j ( x) a a1 x a x... akx a jx j. V tomto specálím případě má fukce z (3) tvar H a, a,..., a a a x a x... a x y. k () 1 k 1 k Hledáí mma fukce H závslé a parametrech a, a1,..., a řešíme stadardím postupy matematcké aalýzy. Získáme tak soustavu k 1 leárích k rovc (tzv. ormálích rovc) pro ezámé a, a1,..., a, tedy k (6) j j j k j j 1... k, a x a x x a x x a x x y x pro j,1,..., k. Ukažme s vše a ásledujícím příkladě. Mějme dáu možu 1 bodů (vz tabulka 1) v eukledovské rově E a předpokládejme, že byly tyto body získáy měřeím leárí závslost. Na obrázku 1 můžeme vdět výsledek aproxmace těchto dat přímkou metodou ejmeších čtverců. x - 1, 3 4 4,, y , 3 x, , y -1, 1 4 1, 4 1 4, 4 6 Tabulka 1: Expermetálí data pro aproxmac přímkou metodou ejmeších čtverců Klascká metoda ejmeších čtverců představuje jedu z ejpoužívaějších a ejzámějších typů aproxmací fukcí objevující se v celé řadě aplkací. Je však zřejmé, že s jejím použtím jsme kvůl fukčí závslost začě omeze. Proto zavedeme další obecější přístupy.

4 ( x ) y a a x y 1 y x, y ( x ) y x Obr. 1: Prokládáí dat metodou ejmeších čtverců prcp metody. Ortogoálí prokládáí dat přímkou Metoda ortogoálího prokládáí dat v rově ebo v prostoru přímkou (orthogoal le fttg) je sce méě zámá, a vysokých školách se v základích kurzech umercké matematky většou evyučuje, ale je mohem více uplattelá v praktckých aplkacích. Následující odvozeí bude platé v lbovolé dmez, s ohledem a aše aplkace se omezíme pouze a dmez dvě a tř. Předpokládejme, že je dáa moža 1 bodů X v eukledovském prostoru E 3 (případě v eukledovské rově E ). Hledáme yí přímku, která bude dobře aproxmovat zadaé body, přčemž volíme přrozeé geometrcké krtérum. Budeme mmalzovat součet druhých moc ejkratších vzdáleostí bodů přímky. Hledaou přímku vyjádříme parametrcky (7) () t ut, X od hledaé kde t a u je jedotkový směrový vektor přímky, tj. u 1. Lze odvodt, že pro ortogoálí průmět X bodu X a přímku platí X X y d u, (8) kde d u X u X a vektor y X. Velkost vektoru X X y du je ortogoálí vzdáleost bodu X od přímky, podívejme se a obrázek.

5 X y u u y X Obr. : Geometrcký výzam použtých vektorů a vzdáleostí př ortogoálím prokládáí dat v rově přímkou Př hledáí přímky budeme opět postupovat a základě metody ejmeších čtverců, yí ale fukce, ozačme j X, jejíž mmum hledáme, defujeme jako součet druhých moc ejkratších vzdáleostí daých bodů od přímky, tj. (9) y du. Nyí hledáme mmum fukce z (9) závslé a parametrech a u (bod a směrový vektor přímky ). Začěme s výpočtem souřadc bodu. Využjeme k tomu stadardí postup, tj. potřebujeme spočítat parcálí dervac fukce podle bodu. Pro zjedodušeí výpočtu vyjádříme fukc v alteratvím tvaru (1) y E uu y. Pro lepší ázorost s tvar fukce z (1) rozepšme po souřadcích pro případ v eukledovském prostoru E 3, přčemž horí dex u vektoru začí x y z x-ovou, y-ovou ebo z-ovou souřadc, tj. y ( y, y, y ) x y z a u ( u, u, u ). x x 1 u y x y z y x y z y (11) y y y 1 u u u u y. z z 1 u y Čtvercovou matc E uu (1) ozačme jako U a prvky této matce u kl, tedy U ( u kl ). Vyjádřeme prvky matce U opět pro případ v eukledovském prostoru E 3

6 x x y x z u11 u1 u13 1 ( u ) u u u u x y y y z (1) E uu U u1 u u 3 u u 1 ( u ) u u. x z y z z u31 u3 u 33 u u u u 1 ( u ) Je zřejmé, že matce U je podle (1) symetrcká, eboť pro každé kl, 1,,3 platí ukl ulk. S použtím zavedeého začeí přepšme tvar fukce z (1) a postupě rozásobme jedotlvé matce uvtř sumy x x y x z y Uy ( y ) u11 y y u1 y y u31 (13) y y u ( y ) u y y u x y y y z 1 3 ( ). x z y z z y y u13 y y u3 y u33 Dostáváme tak hodotu fukce vstupích parametrů. Přejděme yí k výpočtu parcálí dervace fukce vyjádřeou v závslost a souřadcích podle bodu a vy- užjme k tomu tvar fukce z (1). Parcálí dervac fukce podle bodu defujeme jako vektor parcálích dervací fukce podle jedotl- vých souřadc (pracujeme stále v eukledovském prostoru E 3 ) a zapsujeme ásledově (14),, x y z. x x y y z z Vyjádříme-l y v souřadcích, dostáváme y ( X, X, X ). Fukce, jak je vdět z výsledého tvaru ve (13), je složeá fukce, pro složky parcálí dervace fukce podle bodu tedy platí ásledující () y, y x x x x y, y y y y y y. z z z z y Pro x-ovou souřadc parcálí dervace fukce podle bodu dostáváme x y z y z (16) x y u11 y u1 y u31 y u1 y u13. Důležtý pozatek, který je třeba s yí uvědomt je, že matce U je symetrcká, tedy pro každé kl, 1,,3 platí ukl ulk. Můžeme tedy x-ovou souřadc parcálí dervace fukce podle bodu zjedodušt a u11 u x 1 u13 y. (17),, alogcky bychom takto spočítal zbývající souřadce. Symbolcky můžeme zapsat parcálí dervac fukce podle bodu ásledově

7 E uu y. (18) Je zřejmé, že parcálí dervace fukce podle bodu z (18) je rova ulovému vektoru pouze v případě, je-l splěo (19) y o. Dosadíme-l-l do výrazu (19) za y X, dostáváme vzorec pro výpočet bodu 1 () X. 1 Veškeré výpočty se souřadcem jsme uváděl pro případ v eukledovském prostoru E 3, případ v eukledovské rově E je aalogcký a přeps jedotlvých vzorců je jedoduchý. Posuňme se ve výpočtech dále. Bod hledaé přímky jsme určl, yí zbývá spočítat vektor u, což je jedotkový směrový vektor přímky. K tomu použjeme další alteratví přeps fukce a to (1) u y y E y y u u Mu. Pro lepší ázorost s matc M z (1) opět rozepšme po souřadcích pro případ v eukledovském prostoru E 3, tj. y z x y x z ( y ) ( y ) y y y y x y x z y z () M y y ( y ) ( y ) y y. x z y z x y y y y y ( y ) ( y ) Ozačme prvky této matce m kl, tedy M ( m kl ). Je zřejmé, že matce M je symetrcká, eboť pro každé kl, 1,,3 platí mkl mlk. Výpočty se souřadcem pro případ v eukledovské rově E jsou aalogcké. Určeme yí jedotkový směrový vektor u hledaé přímky. Pro daé určíme vektor u jako vlastí vektor [] příslušý ejmešímu vlastímu číslu [] matce M. Zobrazeí u Mu z (1) je kvadratcká forma, jejíž mmum hledáme. Pro vlastí čísla symetrcké matce platí (vz []) (3) 1 m u Mu, max u Mu. u: u 1 u: u 1 Nalezeím ejmešího vlastího čísla matce M završíme úlohu ortogoálího prokládáí dat přímkou, eboť tak acházíme mmum kvadratcké

8 formy u Mu. Příslušý jedotkový vlastí vektor u je potom směrovým vektorem hledaé přímky, eboť tuto kvadratckou formu mmalzuje. Pops přímky, jak už jsme uvedl a začátku tohoto oddílu, získáme v parametrckém tvaru (4) () t ut kde t a u je jedotkový směrový vektor přímky, tj. u 1. Výsledky, ke kterým jsme dospěl, uvádí apříklad [1] ebo je čteář může alézt a webových strákách [3]. Předložey jsou ale pouze výsledky a závěry, které řeší metodu ortogoálího prokládáí dat přímkou. V žádém jmeovaém zdroj ejsou uvedeé postupy výpočtů, tvrzeí, věty a utá matematcká teore, a které jsou výpočty a odvozeí založey. V žádém jém zdroj se m epodařlo teto teoretcký základ daé metody alézt. Shrňme s yí odvozeé postupy a demostrujme s jejch prcp a ázorém příkladu v rově. Předložme rověž případovou stud ortogoálího prokládáí dat přímkou pro růzé vstupí možy, které použjeme v bodové fáz rekostrukce povrchů z možy bodů. Mějme dáu možu 1 bodů (vz tabulka 1) v eukledovské rově E a proložme tyto body ortogoálě přímkou. Na obrázku 3 je zázorěa výsledá přímka. 6 Rovce přímky x=-.7639t+.448 y=-.6469t směrový vektor přímky u (,7639,,6469) X y - X, 4476;1, Obr. 3: Ortogoálí prokládáí dat přímkou v rově prcp metody Zaměřme se yí a rozbor ěkolka růzých vstupích bodových mož a sledujme výsledky ortogoálího prokládáí dat přímkou v rově a v prostoru. Na základě vlastostí, které ortogoálí prokládáí dat přímkou v rově splňuje a které jsme odvodl, avrhujeme možé použtí této metody a to k aalýze bodové možy z hledska osové symetre bodů. Všechy bodové možy

9 v této případové stud jsou počítačově geerováy, předem tedy víme, jaké výsledky z hledska osové symetre mají vycházet. Rovce přímky x=t+6 y=1t Rovce přímky x=-.96t+.877 y=-.387t X X Rovce přímky x=-.876t-3.8 y=.4994t Rovce přímky x= t-3.73 y=.61341t X 4 3 X Rovce přímky x=-.7869t y=-.7t Rovce přímky x=-.84t-3.71 y=-.976t X - X Obr. 4: Hledáí os symetrí bodových mož v rově Obrázek 4 studuje v prvích dvou případech osové symetre mož bodů v rově získaých z pravdelého avzorkováí dvou rovoběžých úseček a elpsy. Další dvě možy jsou opět bodově symetrcké podle jedé ebo dvou os. Výsledkem ortogoálího prokládáí je vždy jeda z os symetrí těchto mož a to ta, v jejímž směru je moža více protáhlá. Tuto osu budeme

10 ozačovat za hlaví. Posledí dva případy ukazují bodové možy, o kterých víme, že mají být bodově symetrcké. Smulujeme však reálou stuac, kdy dochází k epřesostem v měřeí, aše možy tedy ebudou bodově symetrcké přesě. Ortogoálím prokládáím těchto bodů přímkou lze tedy ajít pouze přblžou osu symetre. Na obrázku jde o áhodě rozmístěé body v rově, které jsou přblžě osově symetrcké. Pro ověřeí správost jsou body jedé polorovy určeé osou zobrazey v této alezeé osové symetr. Rovce přímky x=-.9t+4.71 y=.3763t-.388 Rovce přímky x=-.9t+4.71 y=.3763t X X Obr. 4: Ověřeí správost osy symetre- zobrazeí bodů jedé polorovy určeé osou v alezeé osové symetr (obrazy bodů oražově) Obdobou případovou stud proveďme také pro možy bodů v prostoru. Opět avrhujeme podobě jako v rově další možé použtí této metody a to k aalýze bodové možy z hledska osové symetre bodů. Opět jsou všechy bodové možy v této případové stud počítačově geerováy, předem tedy víme, jaké výsledky z hledska osové symetre mají vycházet. Saděj tak lze ověřt správost výstupů. Na obrázku lustrují prví dva případy hledáí osové symetre bodových mož získaých z pravdelého avzorkováí dvou a čtyř rovoběžých úseček v prostoru. Další moža, kterou aalyzujeme, eí jž pravdelá, ale víme, že je osově symetrcká podle svslé osy. Pro lepší představu je doplě rověž pohled ve směru alezeé osy symetre a jedotlvé spojce bodů, které s odpovídají v alezeé osové symetr v prostoru. Bodová mrača, která chceme rekostruovat, často odpovídají elemetárím rotačím plochám [] ízkého stupě ebo představují růzé kombace těchto ploch. Důležtou vlastostí rotačích ploch je, že díky svému vytvořeí rotací tvořcí křvky kolem osy jsou podle této osy souměré. Z toho rověž plye, že je rotačí plocha souměrá podle každé rovy procházející její osou. V rově obsahující osu dostáváme rověž osovou symetr. Jedotlvé případy a obrázku 6 ukazují výsledky aalýzy počítačově geerovaých mož, jejchž body jsme získal pravdelým avzorkováím část povrchu rotačí válcové plochy, rotačího protáhlého elpsodu a část povrchu rotačího jedodílého hyperbolodu.

11 Rovce přímky x=.7711t-.666 y=t+ z=-.7711t Rovce přímky x=t+ y=1t- z=t+17 3 X 1 X pohled ve směru osy symetre Rovce přímky x=t+9.19e-17 y=t-9.19e-18 z=1t Rovce přímky x=t+9.19e-17 y=t-9.19e-18 z=1t Rovce přímky x=t+9.19e-17 y=t-9.19e-18 z=1t X X Obr. : Hledáí os symetrí bodových mož v prostoru Pro lepší ázorost a oretac v prostorové stuac jsou do ěkterých obrázků rověž přdáy půdorysy jedotlvých bodů a alezeé osy. Doposud jsme v prostoru pracoval pouze s možam bodově symetrckým podle ějaké osy. Na závěr této stude se opět věujme případům, které se objevují v praktckých aplkacích, kdy často dochází k epřesostem př símaí bodů a tvorbě bodového mrača. Na obrázku 7 ejsou možy přesě bodově symetrcké, předpokládáme však, že tyto epřesost vzkly kvůl vějším faktorům (epřesost skeovacího zařízeí, ldský faktor). Víme tedy, že povrchy ebo jé prostorové útvary, které bodové možy popsují, mají osovou symetr splňovat. Ortogoálím prokládáím těchto bodů přímkou alezeme tedy přblžou osu symetre.

12 -3 Rovce přímky x=t+17 y=t+ z=1t Rovce přímky x=1t+14.9 y=t+.786 z=t X 3 1 X Rovce přímky x=t e-16 y=t+.3849e-16 z=1t Rovce přímky x=.67844t+.349 y= t z=.7711t X 3 3 X Obr. 6: Hledáí os bodových mož získaých pravdelým avzorkováím rotačích ploch Rovce přímky x=.8911t-.13 y=.1877t+.14 z=-.434t Rovce přímky x=.17t y=-.863t+1.61 z=.99998t X X Obr. 7: Odhady os symetrí bodových mož v prostoru zašuměá data

13 .3 Ortogoálí prokládáí dat rovou Ortogoálí prokládáí dat rovou v prostoru představuje obdobou problematku. V tomto případě jž ebudeme odvozovat jedotlvé výpočty, a obrázku 8 můžeme vdět možý výsledek takového prokládáí. Jedá se opět o stejý prcp - hledáme rovu, která bude dobře aproxmovat zadaé body, přčemž volíme přrozeé geometrcké krtérum, tj. mmalzujeme součet druhých moc ejkratších vzdáleostí zadaých bodů od hledaé rovy. X X Obr. 8: Ortogoálí prokládáí dat rovou 3 Odstraěí adbytečých bodů ze vstupí možy Vstupí mračo bodů, které chceme rekostruovat, může obsahovat redudatí data, tedy body, které epřáší žádou ovou formac ebo leží avzájem přílš blízko sebe. Může se také stát, že mračo bodů obsahuje část, které epatří skeovaému objektu. Jedá se apříklad o askeovaé okolí ebo u skeováí součástky o askeovaou ruku ebo držák, ve kterém je součástka upevěa apod. K odstraňováí těchto adbytečých bodů využíváme právě ortogoálího prokládáí dat rovou. V každém bodě vstupí možy odhadujeme ormálu pomocí rovy aproxmující ějaké okolí daého bodu. proxmac rovou provádíme právě ortogoálím prokládáím bodů v tomto okolí, čímž v každém bodě bodového mrača odhadujeme tečou rovu. Důležtým aspektem je volba velkost okolí daého bodu, pro které se počítá aproxmačí rova. Tuto velkost určujeme expermetálě a a základě vzuálího posouzeí bodového mrača. Pokud v okolí zkoumaého bodu eleží žádý další bod vstupí možy, bod odstraíme, eboť se jedá o případ odlehlého bodu. Tato metoda ovšem ezaručuje stejou oretac ormál ve všech bodech bodového mrača. Normály oretujeme až a závěr tzv. hlasovacím algort-

14 mem, kdy zjšťujeme, jak vypadají ormály opět v ějakém okolí bodu, ve kterém ormálu zkoumáme. Zajímá ás většová oretace, tj. pokud je ormála v daém bodě opačě oretovaá, její oretac změíme. Jelkož zpracováváme ve většě případů specálí bodové možy, které odpovídají jedoduchým geometrckým plochám, lze předpokládat, že sousedí ormály emají přílš velké úhlové odchylky. To však elze předpokládat o bodech, které patří askeovaému okolí (apř. ruce). Odstraňuje z bodového mrača tedy takové body, pro které je odchylka přílš velká. Míru toho, kdy je bod podezřelý, že epatří zkoumaému objektu, opět určujeme expermetálě. 4 Dferecálí umercké metody Na závěr s představme ově avržeou metodu hledáí os symetrí bodů v rově a v prostoru. Pokud pracujeme s možam, které odpovídají reálým objektům apř. klebám, jedá se většou je o část ějakých elemetárích ploch. Například křížové a valeé kleby, které aalyzujeme, jsou velce často složey z částí rotačích válcových ploch. Pokud hledáme osu těchto částí válcových ploch elze použít metodu ortogoálího prokládáí, eboť emůžeme využít symetre bodové možy, moža eobsahuje všechy body, které by měly odpovídat souměrým bodům. Proto jsme vyvul metodu, která řeší alezeí osy symetre bodové možy specálě rotačích válcových ploch. Předpokládejme, že máme bodovou možu získaou avzorkováím část rotačí válcové plochy. V prvím kroku algortmu zvolíme lbovolou počátečí polohu osy, kterou budeme v dalších krocích optmalzovat. Jedá se tedy o teračí metodu. Defujeme áhodou velču a to vektor, jehož složky jsou vzdáleost všech bodů od aktuálí osy (v prvím kroku od zvoleé přímky). Jedá se tedy o vektor reálých čísel. Dále zavádíme tzv. chybovou fukc, kterou budeme mmalzovat. Chybovou fukc defujeme jako rozptyl áhodé velčy [4]. Začme tuto chybovou fukc jako error_fucto ebo zkráceě f. Pokud hledáme osu rotačí válcové plochy, víme, že rozptyl musí být rove ule (v deálím případě). Mmalzac chybové fukce provádíme zámou dferecálí umerckou metodou ejrychlejšího spádu. V každém kroku mmalzace aktualzujeme celkem šest parametrů určující bod osy a její směrový vektor. To můžeme symbolcky zapsat ásledově u _ akt u _ poc dervace _ f () _ akt _ poc dervace _ f, kde je délka kroku v metodě ejvětšího spádu, dervace_f začí odhad parcálí dervace chybové fukce podle jedotlvých souřadc. Tedy apříklad f (, u) f (, u ) f (, u) (6), x u kde (,,). Zapšme chybovou fukc error_fucto pomocí pseudokódu.

15 vzdáleost bodu od přímky fucto error _ fucto(, u) ( X ) u 1: dstace orm( w) ( X ) u u : for 1,,..., do 3: dstace orm( w) - počet bodů vstupí možy dstace - áhodý vektor 4 : expectato sum( dstace) / : for 1,,..., do středí hodota áhodé velčy 6 : d ( dstace expectato) 1 ( dstace E( X )) 7 : error _ fucto (1 / ) sum( d ) 1 8: retur error _ fucto rozptyl áhodé velčy složky áhodého vektoru Na obrázku 9 můžeme vdět postupé vylepšováí polohy osy symetre bodů v rově a v prostoru. Pro případ v rově je zvolea přesě symetrcká bodová moža, pro případ v prostoru jsou body získáy áhodým avzorkováím část rotačí válcové plochy a zašuměy. výsledá osa 3 výsledý odhad 3 osy, pohled ve směru této osy 4 X X 3 3 body pravdelě avzorkováy a dvou rovoběžých přímkách body áhodě avzorkováy a část rotačí válcové plochy a zašuměy Obr. 9: Postupé vylepšováí polohy osy symetre bodů v rově a v prostoru

16 Závěr V ašem příspěvku jsme se zabýval ortogoálím prokládáím dat v rově a v prostoru přímkou a rovou. Tuto metodu jsme avrhl jako řešící metodu př hledáí osových symetrí bodových mož a ke zpracováí vstupích bodových mož v rekostrukc povrchů. V další prác hodláme pokračovat v aalýze dalších typů mož a rozšířt áš výzkum o bodové možy reprezetující skutečé objekty. Dále pláujeme aše metody porovávat s jým přístupy, apříklad se zámou statstckou metodou PC (Prcpal Compoet alyss). V současé době také vyvíjíme ovou metodu pro hledáí rových symetrí, která je založeá opět a optmalzac počátečího áhodého umístěí rov symetrí. Jako ejvětší cíl s yí klademe rozšířt ortogoálí prokládáí také a obecé křvky a plochy. Lteratura [1] S. J. h: Least Suares Orthogoal Dstace Fttg of Curves ad Surfaces Space. Sprger-Verlag Berl Hedelberg, Germay, 4 [] H. Dym: Lear lgebra cto. merca Mathematcal Socety, US, 7 [3] Geometrc Tools: Books, Source Code, ad Documetato for Computer Graphcs, Mathematcs, Physcs, Numercal Methods, ad Image alyss [ole], (červe 1), 1 [4] M. Melou, J. Mltký: Statstcká aalýza expermetálích dat. cadema, akladatelství kademe věd České republky, Praha, 4 [] P. Suryková: Plochy stavebí praxe. Dplomová práce, Uverzta Karlova v Praze, Matematcko-fyzkálí fakulta, Česká republka, 8 [6] P. Suryková, Š. Voráčová: Dgtálí rekostrukce povrchů z mrača bodů. Sborík příspěvků 31. koferece o geometr a grafce, Malá Morávka, Česká republka, Vysoká škola báňská, Techcká uverzta Ostrava, s , ISBN , 11

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Úvod do teorie měření

Úvod do teorie měření Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT ANALÝZA A KLASIFIKACE DA prof. Ig. Jří Holčík, CSc. INVESICE Isttut DO bostatstky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE pokračováí Isttut bostatstky a aalýz (SUPPOR VECOR MACHINE SVM) SEPARABILNÍ

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Téma 2 Přímková a rovinná soustava sil

Téma 2 Přímková a rovinná soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma 2 Přímková a rová soustava sl Přímková soustava sl ový svazek sl Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Obecá rová soustava sl ová soustava rovoběžých

Více

Přednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs.

Přednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs. Předáška V. Úvod do teore odhadu Pojmy a prcpy teore odhadu Nestraé odhady Metoda mamálí věrohodost Průměr vs. medá Opakováí výběrová dstrbučí fukce Sestrojíme výběrovou dstrbučí fukc pro výšku a váhu

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

VY_52_INOVACE_J 05 01

VY_52_INOVACE_J 05 01 Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí

Více

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH USTÁLENÉ POUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KOYTECH ovoměré prouděí Charakterstka:. Hloubka vod v kortě, průtočá plocha a průřezová rchlost jsou v každém příčém řezu kostatí.. Čára eerge, vodí hlada a do korta jsou

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky). Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

IV. MKP vynucené kmitání

IV. MKP vynucené kmitání Jří Máca - katedra mechaky - B35 - tel. 435 4500 maca@fsv.cvut.cz IV. MKP vyuceé kmtáí. Rovce vyuceého kmtáí. Modálí aalýza rozklad do vlastích tvarů 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3. Metoda cetrálích

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 8 Pavel Třasák ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

a my chceme data proložit nějakou hladkou funkcí, která by vystihovala hlavní vlastnosti dat, ale ignorovala malé fluktuace a nepřesnosti.

a my chceme data proložit nějakou hladkou funkcí, která by vystihovala hlavní vlastnosti dat, ale ignorovala malé fluktuace a nepřesnosti. Vyováváí dat Naše pozoováí jsou dáa tabulkou čísel, kde y y y i často bývají časové údaje, a my chceme data položit ějakou hladkou fukcí, kteá by vystihovala hlaví vlastosti dat, ale igoovala malé fluktuace

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

6 Reprezentace křivek v CAD systémech

6 Reprezentace křivek v CAD systémech 6 Reprezetace křvek v CAD systémech ÚM FSI VUT v Brě Studjí text 6 Reprezetace křvek v CAD systémech Naprostá větša křvek a ploch, které se užvatel jeví jako velm růzorodé, je v moderích CAD systémech

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304 935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad

Více

Cvičení 2: Rozhodovací stromy, RBF sítě, vlastní algoritmy v RapidMineru

Cvičení 2: Rozhodovací stromy, RBF sítě, vlastní algoritmy v RapidMineru České vysoké učeí techcké v Praze Fakulta formačích techologí Katedra teoretcké formatky Evropský socálí fod Praha & EU: Ivestujeme do vaší budoucost MI-ADM Algortmy data mgu 2010/2011 Cvčeí 2: Rozhodovací

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Výstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy

Výstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy Paralelí soustava Vstup a a Výstup a Vstup a Výstup a a obrázek : Blokové schéma a graf paralelí soustavy paralelí soustava je v bezporuchovém stavu je-l v bezporuchovém stavu prvek (tzv. adbytečé spojeí

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ

III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ Způsob, jímž se provádí fzkálí měřeí, závsí jedak a povaze měřeé velč, jedak a tom, ze kterých vztahů pro měřeou velču vjdeme a jakých přístrojů použjeme. Všech měřcí

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Úvod do zpracováí měřeí Teore chb Opakujeme-l měřeí téže fzkálí velč za stejých podmíek ěkolkrát za sebou, dostáváme zpravdla růzé hodot. Měřeé velčě přísluší však jedá správá hodota. Každou odchlku aměřeé

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr

KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr Bakalářská práce 00 Prohlášeí Tuto prác jsem vypracoval samostatě. Veškeré lterárí pramey a formace, které jsem v

Více