Téma 1: Pravděpodobnost

Transkript

1 ravděpodobot Téma : ravděpodobot ředáša - ravděpodobot áhodého evu Náhodý pou a áhodý ev Náhodý pou - aždá čot, eíž výlede eí edozačě urče podmíam, za terých probíhá apř hod otou, měřeí dély, běh a 00 metrů, loováí v loter, Výledem áhodého pouu e áhodý ev apř padlo 5 o, déla e 5,7cm, doažeý ča e 3,8, vyloovaý lo e 65430, ev tý př provedeí áhodého pouu atae vždy ev emožý ev, terý emůže dy atat elemetárí ev E- rozumí e ím eedodušší výlede áhodého pouu, terý emá myl dále rozládat Možu všech elemetárích evů azýváme protor elemetárích evů Může být buď oečý {E, E,, E } ebo eoečý {E, E,, E, } př hodu otou e {,, 3, 4, 5, 6} Lbovolý áhodý ev e podmoža protoru áhodých evů př hodu hrací otou pade udé čílo, t {, 4, 6} Vztahy mez evy odpovídaí možovým relacím: ev e čátí evu, poud atae ev atae ev evy a ou rovoceé, ev atae právě dyž atae ev - 7 -

2 ravděpodobot prů evů a, oučaě atae ev edoceí evů a, atae alepoň ede z evů a evy a e azývaí elučtelé, etlže př edom áhodém pouu emohou oučaě atat rozdílem dvou evů -, terý atae právě dyž atae ev a eatae ev - 8 -

3 ravděpodobot opačý ev evu e te, terý zameá že ev eatal, ozačue e latí tyto vztahy Z obrázu e patré, že,, ro větší počet evů platí tzv de Morgaova pravdla U, U ravděpodobot áhodého evu xomy teore pravděpodobot ravděpodobot evu e ezáporé čílo 0 ravděpodobot tého evu e rova edé 3 ravděpodobot edoceí oečého ebo početého počtu elučtelých evů e rova oučtu pravděpodobotí edotlvých evů - 9 -

4 ravděpodobot Z axomů vyplývaí další vlatot pravděpodobot: 0 0 Vzhledem tomu, že evy a ou elučtelé a, platí tedy 0 3 Jevy, ou elučtelé a, taže 4 Je-l, pa 0 Jetlže, e a pro ev platí Jevy a ou elučtelé, a proto, eboť 0 5 Je-l, pa rotože, plye z předchozí vlatot, že Stattcá defce pravděpodobot, de e počet pouů, e četot evu př pouech S rotoucím počtem pouů e relatví četot evu blíží pravděpodobot atoupeí evu Klacá defce pravděpodobot Jetlže moža elemetárích evů {E, E,, E } e oečá a všechy evy ou teě možé, potom e pravděpodobot evu dáa m, de m e počet výledů přízvých evu, e počet všech možých výledů - 0 -

5 ravděpodobot - - Geometrcá defce pravděpodobot oužíváme tehdy, můžeme-l áhodé evy zobrazt geometrcy a přímce, v rově ebo v protoru Moža elemetárích evů má eoečý počet prvů vytvářeících určtou oblat, terá e omezeá a uzavřeá a má velot V vyádřeou délou, případě obahem č obemem Jev tvoří oblat o velot V, potom e pravděpodobot evu dáa V V Ja u lacé ta u geometrcé pravděpodobot platí podmía, aby všechy elemetárí evy byly teě možé u geometrcé pravděpodobot e tato teá možot ulová ředáša odmíěá pravděpodobot ravdlo o čítáí pravděpodobotí ravděpodobot edoceí dvou lbovolých evů e rová oučtu pravděpodobotí těchto evů zmešeému o pravděpodobot ech průu ro lbovolých evů,,, má pravdlo o čítáí tvar Např Jou-l áhodé evy, elučtelé, potom To e možé zobect a lbovolý počet elučtelých evů

6 ravděpodobot odmíěá pravděpodobot pravděpodobot atoupeí evu za předpoladu, že atal ev > 0 defue vztahem: ravdlo o áobeí pravděpodobotí Z předchozí defce lze vyádřt pravděpodobot oučaého atoupeí evů : ravdlo o áobeí pravděpodobotí lze rozšířt a prů evů Např Jetlže, říáme, že ev e ezávlý a evu Nezávlot dvou evů e oboutraá Je-l ev ezávlý a evu, pa taé ev e ezávlý a evu, tedy Jou-l evy a ezávlé, pa Daý vztah e utou potačuící podmíou ezávlot Měme možu áhodých evů,,,, U této možy evů rozlšueme ezávlot podvoou t ezávlot aždé dvoce evů a ezávlot vzáemou Jevy azýváme vzáemě ezávlé dále e ezávlé, právě dyž pro lbovolou podmožu { r } možy {,, } evů, r, platí r Teto vztah muí platt pro všechy dvoce, troce, atd až -tce áhodých evů,, ro upu ezávlých evů pa platí r Formule úplé pravděpodobot a ayeův vzorec hceme určt pravděpodobot evu, dyž záme pravděpodobot a pravděpodobot,,,, pro,,,, teré tvoří úplou upu elučtelých evů ro ě platí U - -

7 ravděpodobot ravděpodobot evu e odmíěé pravděpodobot lze vypočítat z ayeova vzorce, terý vyplývá z věty o áobeí pravděpodobotí a z formule úplé pravděpodobot:,,,,