NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
|
|
- Dominik Kolář
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí: Skupia: [0]. Bud dá fukcioál Φ a možiě M { y C [, ]) y ) 0, y) } předpisem Spočtěte Φy) x l [ + ) ] dy a) Prví Gâteaux derivaci fukcioálu Φ v bodě y ve směru h. Tedy δφ[y]h) eboli DΦy)[h], záleží a začeí, kterému dáváte předost.) a) Druhou Gâteaux derivaci fukcioálu Φ v bodě y ve směru h a g. Tedy δ Φ[y]h, g) eboli D Φy)[h, g], záleží a začeí, kterému dáváte předost.) Řešeí: Gâteaux derivaci fukcioálu Φy) v bodě y ve směru h spočteme dle defiice DΦy)[h] d dt Φy + th) t0. Po dosazeí Φy + th) derivujeme podle t a výsledkem je d Φy + th) dt po dosazeí t 0 získáme x l [ + x + DΦy)[h] d dt Φy + th) t0 dy + t dh ) ] dy + tdh což je hledaý vztah pro prví Gâteaux derivaci. ) dy dh ) + tdh x + dy Dále spočteme druhou derivaci. Opět vycházíme z defiice D Φy)[h, g] d DΦy + sg)[h]) ds dy dh ), s0.
2 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Dosazeím za y def y + sg do DΦy)[h] dostaeme DΦy + sg)[h] x Derivováím dostaeme d DΦy + sg)[h] ds { 4x + + dy + s dg + dy + s dg ) dy + s dg ) dh. dy ) ) + s dg ) dg dy + s dg ) dh dy } + x dg dh ). + dy + s dg Po dosazeí s 0 a drobém přeuspořádáí čleů získáme hledaou druhou derivaci { ) } D Φy)[h, g] x dy dg dh ) ) + ). + dy Povšiměte si, že výraz je bilieárí vzhledem k fukcím g a h. Navíc, pokud provedeme přezačeí h def g a g def h, dostaeme tetýž vztah. Obě posledě jmeovaá pozorováí jsou pro ámi zkoumaou třídu fukcioálů obecě platá. Takto si můžete rychle zkotrolovat, jestli váš výpočet vede k ěčemu rozumému. [0]. Bud dá fukcioál Φ a možiě M { y C [, 0]) y ) 0, y0) 0} předpisem Φy) 0 ) y + y ) yx. a) Spočtěte prví Gâteaux derivaci fukcioálu Φ v bodě y ve směru h. Tedy δφ[y]h) eboli DΦy)[h], záleží a začeí, kterému dáváte předost.) b) Napište Euler Lagrage rovice pro fukcioál Φ. c) Najděte extremály fukcioálu Φ a možiě M. d) Spočtěte druhou Gâteaux derivaci fukcioálu Φ v bodě y ve směru h. Tedy δ Φ[y]h, h) eboli D Φy)[h, h], záleží a začeí, kterému dáváte předost.) e) Rozhoděte, zda jsou alezeé extermály miimizéry či maximizéry daého fukcioálu. Řešeí:
3 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Spočteme Gâteaux derivaci fukcioálu Φy) dle defiice DΦy)[h] d dt Φy + th) t0. Po dosazeí Φy + th) 0 ) y + th) + y + th) ) y + th)x derivujeme podle t a výsledkem je d 0 Φy + th) y + th)h + y + th) h hx) dt po dosazeí t 0 a itegraci per partes) dostaeme d 0 Φy + th) dt y y x) h. t0 Odkud lze přečíst Eulerovy Lagrageovy rovice pro fukcioál Φy) y y x 0. Eulerovy Lagrageovy rovice vyřešíme metodou variace kostat. Pokud tedy partikulárí řešeí evidíme rovou ebo pokud ehledáme řešeí metodou ásady pro speciálí pravou strau.) Řešeí homogeí rovice y y 0 je zřejmě yx) c e x + c e x. Hledejme yí partikulárí řešeí ehomogeí rovice y y x metoda variace kostat dává pro fukce c x) a c x) ásledujcí systém rovic [ ] [ ] [ ] e x e x c 0 e x e x c, x odkud [ ] c c [ e x e [ ] x e x e det x e x e x e x e x ] [ 0 x ] [ ] xe x xe x. Zbývá vyřešit difereciálí rovice pro c x) a c x), což sado provedeme pouhou itegrací c xe x, c xe x,
4 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 odkud c x + )e x, c x )ex, Dosadíme za fukce c x) a c x) do vzorce pro partikulárí řešeí a vidíme, že partikulárí řešeí jest yx) c x)e x + c x)e x x, což jsme ovšem mohli sado uhádout pouhým pohledem a zkoumaou rovici. Celkové řešeí ehomogeí rovice je yx) x + C e x + C e x, kostaty C a C určíme z okrajových podmíek y ) 0, což vede a soustavu rovic jejímž řešeím je Extremála je tudíž aeb [ ] C C [ ] e det yx) x y0) 0, e C + e C, C + C 0. [ e ] [ e ] 0 e e ) e e e ) ex + e ) e x yx) x e e sih x Druhou derivaci fukcioálu ϕ spočteme podle předpisu [ ]. D Φy)[h, h] d dt t0 DΦy + th)[h] d 0 0 y + th)h + y + th) h + he x ) ) dt t0 což je kupodivu totéž co plye z obecé věty: ) h + h ) ),
5 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Bud Φ fukcioál zadaý předpisem Φy) pak je jeho druhý difereciál rove kde D Φy)[h, h] P b a b a F y y, Q F y y d F x, y, y ). [ P h ) + Qh ], ) F y y, Můžeme si povšimout, že druhá Gâteaux derivace je ezáporá, z čehož je zřejmé, že extremála eí maximizér daého fukcioálu. Ke zjištěí povahy extremály použijeme ěkteré z ásledujících kritérií ebo Je-li y klasické řešeí Euler Lagrage rovic pro fukcioál Φy) b a F x, y, y ), a je-li pro každé x z itervalu [a, b] fukce fy, z) F x, y, z) kovexí, pak je y miimizér daého fukcioálu. Řekeme, že bod ã je kojugovaý k bodu a, pokud má rovice za y se dosazuje bod podezřelý z extrému) d P h ) + Qh 0 etriviálí řešeí s okrajovými podmíkami ha) 0, hã) 0. Bud Φ fukcioál zadaý předpisem Φy) b a echt y splňuje ásledující podmíky: a F x, y, y ) Fukce y je extremálou fukcioálu Φ, to jest řeší příslušou Eulerovu Lagrageovu rovici. Koeficiet P je v bodě extremály) kladý resp. záporý). Přesěji P x, y, y ) F y y > 0 resp. P x, y, y ) F y y < 0).
6 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Iterval a, b] eobsahuje žádé body kojugovaé k bodu a. Pak je y slabým) miimem resp. maximem) fukcioálu Φ. Prví z kritérií je splěo, fukce fy, z) je defiováa jako fy, z) y + z yx, kde x je libovolý bod z itervalu [, 0]. Spočteme druhý difereciál fukce f a vidíme, že pro každý vektor v R platí [ ] D 0 f[v, v] v v 0, 0 a fukce f je tedy kovexí jak je v příslušém kritériu požadováo. Druhé z kritérií je také zjevě splěo, ebot v ašem případě je P, Q a příslušá rovice pro existeci kojugovaého bodu je tedy a ) h + h 0, ha) 0, hã) 0, ale tato rovice má pouze triviálí řešeí řešeím rovice je hx) C e x + C e x, z okrajových podmíek pak plye, že obě itegračí kostaty jsou ulové), v itervalu, 0] proto eexistují kojugovaé body. Kromě toho jsou zřejmě splěy i ostatí podmíky. [0] 3. Bud dáa posloupost fukcí f x) e x) + xe x. Najděte bodovou limitu f této poslouposti v itervalu [0, + ). Rozhoděte, zda posloupost {f } + koverguje stejoměrě k f a itervalu J a a itervalu K, kde a) J 0, + ), b) K [α, + ), kde α R, α > 0. Řešeí: Volme x libovolě, ale pevě z 0, ), pak zjevě platí, že lim f x) lim e x ) + xe x). + + Pro x 0 pak platí Bodová limita poslouposti {f } + fx) lim f x) 0. + je tedy fukce f defiovaá předpisem { 0, x 0,, x 0, + ).
7 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Můžeme si povšimout, že a itervalu [0, + ) je bodová limita espojitá fukce. Fukce f jsou ovšem a témže itervalu spojité, proto eí možé aby a tomto itervalu stejoměrě kovergovaly k fukci f. Okamžitě proto můžeme říci, že zkoumaá posloupost ekoverguje stejoměrě a itervalu J. Sledujme však stadardí postup. Stejoměrou kovergeci vyšetříme s použitím ekvivaletí charakterizace. Platí věta Bud {f } + R posloupost fukcí. Posloupost fukcí {f } + koverguje pro + stejoměrě k fukci f a itervalu M, aeb právě když pro + platí f M f, σ 0, kde σ def sup f x) fx). x M Najděme tedy supremum fukce f x) fx) a příslušých itervalech. Zkoumejme ejprve iterval K. Na itervalu K jsou f x) i fx) spojité fukce, proto bude fukce f x) fx) a itervalu K abývat maxima. Platí f x) fx) e x + xe x x ) e x. Absolutí hodotu tedy odstraíme takto { x ) e x, x, f x) fx) x ) e x, x <. Hledejme yí maximum fukce f x) fx) a itervalu K {x R x }. Prví derivace je d f x) fx) e x + x) Derivace je tedy rová ule v bodě x ext +. Je zjevé, že alezeý bod je bodem, ve kterém zkoumaá fukce abývá uvedeém itervalu maxima. Po dosazeí dostaeme sup f x) fx) f x) fx)) xxext x K {x R x } e + ) ) + + ) e + ). Hledejme yí maximum fukce f x) fx) a itervalu K {x R x < }. Prví derivace je d f x) fx) e x + x),
8 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Derivace je tedy rová ule v bodě x ext +. Teto bod však eleží uvitř itervalu K {x R x < }. Na tomto itervalu tedy fukce abývá maxima v ěkterém z krajích bodů. Jelikož je fukce a zmíěém itervalu zjevě klesající, maximum se abývá v levém krajím bodě, tedy sup f x) fx) f x) fx)) xα α) e α. x K {x R x<} Celkem tedy pro iterval K dostaeme sup f x) fx) max x K kde α je pevé číslo. Jest a ásledě tedy lim + { e + ) ) + [ e + ) ) + + ) } e + )s, α) e α, + ) ] e x 0, [ α) e α ] 0, lim + sup f x) fx) 0, x K což zameá, že posloupost {f } + koverguje stejoměrě k f a itervalu K. Zkoumejme yí stejoměrou kovergeci a itervalu J. Využijeme výše uvedeých výpočtů. Opět platí sup f x) fx) f x) fx)) xxext x J {x R x } e + ) ) + + ) e + ). Na itervalu J {x R x < } ovšem musíme postupovat opatrě. Víme, že sup f x) fx) sup x) e x. x J {x R x<} x J {x R x<} Narozdíl od předchozího případu se yí můžeme s bodem x libovolě přiblížit ule. Hodota suprema musí být větší ež hodota v jakémkoliv bodě daého itervalu, tedy apříklad v bodě x, aeb Pak ovšem a proto sup x) e x x J {x R x<} ) e. sup f x) fx) sup x) e x ) e, x J x J {x R x<} sup f x) fx) 0, x J což zameá, že posloupost {f } + ekoverguje stejoměrě k f a itervalu J. Několik čleů poslouposti {f } + je ačrtuto a Obrázku.
9 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 [0] 4. Rozhoděte, zda je řada stejoměrě kovergetí a možiě a) J [, + ), b) K [α, + ), α R +, α >. l + x) x Dále rozhoděte, zda je tato řada a uvedeých itervalech absolutě stejoměrě kovergetí. Řešeí: Využijeme Weierstrass kritérium, které říká: Bud te {f } + a {g } + poslouposti fukcí, přičemž {g } + je posloupost ezáporých fukcí. Necht platí: Řada + g x) koverguje stejoměrě a možiě M. Pro každé x M a N platí f x) g x). Potom řada + 0 f x) koverguje stejoměrě a možiě M. Na itervalu J a tedy i itervalu K zjevě platí, že Zkoumejme yí řadu l + x) x l + x) x x. x x. Tato řada je geometrická řada, kdykoliv je x, + ), tak platí M M x M+ x x M+ x) x 0. x M + Navíc, je-li x K, pak je řada M kritéria proto plye, že řada x je a itervalu K stejoměrě kovergetí. stejoměrě kovergetí. Z Weierstrassova l + x) x Prozkoumejme yí stejoměrou kovergeci a itervalu J. Nejprve zjistíme, jestli řada splňuje utou podmíku a stejoměrou kovergeci, která říká: Jestliže řada + f x) koverguje stejoměrě a možiě M, pak f M 0.
10 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Zkoumejme tedy stejoměrou kovergeci poslouposti f l + x) x a itervalu J. Bodová limita je a zkoumaém itervalu ula, avíc je posloupost a tomoto itervalu posloupostí ezáporých fukci. Ekvivaletí kritérium pro stejoměrou kovergeci poslouposti fukcí zí Bud {f } + R posloupost fukcí. Posloupost fukcí {f } + koverguje pro + stejoměrě k fukci f a itervalu M, aeb právě když pro + platí f M f, σ 0, kde σ def sup f x) fx). x M Kokrétě tedy chceme spočíst Použijeme odhad l + x) sup f x) fx) sup x [, ) x [, ) x. l + x) x l + x) x x x x. Vzorové řešeí umístěé a iteretové stráky ve čtvrtek 6. listopadu bylo v tomto bodě chybé, omlouváme se. Platí proto sup f x) fx) 0 x [, ) a posloupost {f } + tudíž koverguje stejoměrě a itervalu J [, + ). Je proto splěa utá podmíka pro stejoměrou kovergeci řady a itervalu J. f x) Prozkoumejme platost Bolzao Cauchy podmíky, která říká: Řada {f } + koverguje stejoměrě a M právě když ε > 0, 0 N, N, p N, x M : 0 +p k+ f k x) < ε.
11 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Pro x, + ) platí +p k+ l + kx) kx k +p k+ Volme yí p a x +, pak l + + )x) x l l + + )x) l + + )x) + p)x +p p + p)x +p. )) + + ) + ) + ) l ) l e ) + +, z čehož plye, že lze zvolit ε tak, že pro libovolé 0 jsme schopí ajít, p a x tak, aby +p f k x) ε. k Bolzao Cauchy podmíka tedy eí splěa a řada tedy eí a itervalu J stejoměrě kovergetí. Případě můžeme jedodušeji postupovat i takto. Povšiměte si, že předchozí postup lze a rozdíl od áledujícího postupu uplatit i v případě, že zkoumáme pouze iterval, + ) a ikoliv iterval [, + ).) Zkoumejme rovou řadu a dosad me za x. Pak je l + x) x l + x) x x l + ), což je ovšem divergetí číselá řada. Zkoumaá řada tedy ekoverguje stejoměrě a itervalu J.
12 NMAF06, ZS Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 f x) x Obrázek : Posloupost {f } +.
NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n
Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09,0..009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti 75 + 60 ) 75 60 + ) 0 + ) 0 +) 70 ) 70. 5 bodů) Řešeí:Ozačíme a : 75 + 60 75 60,dále b : + ) 0 + ) 0,akoečě
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
Více3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti + 3 +) 4+3 4+ 5 bodů) Řešeí: Díky tvaru jmeovatele budeme zlomek + 3 +) Z : 4+3 4+ rozšiřovatvýrazem 4+3+ 4+Přepíšemečitatele:
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
VíceUžití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
VíceZkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3
Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
VíceIntegrální počet II. In: Vojtěch Jarník (author): Integrální počet II. (Czech). Praha: Academia, pp
Itegrálí počet II Kapitola XI. Riemaův itegrál I: Vojtěch Jarík (author): Itegrálí počet II. (Czech). Praha: Academia, 1984. pp. 436--447. Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/402058 Terms of use: Vojtěch
VícePřednáška 7: Soustavy lineárních rovnic
Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceMatematická analýza III (NMUM201)
Matematická aalýza III (NMUM0) Marti Rmoutil 0. leda 09 Kapitola Nekoečé číselé řady. Základí fakta Mějme posloupost reálých čísel {a } R. Až dosud jsme se při studiu posloupostí zabývali zejméa jejich
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Vícejsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.
.7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceIterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
Více