Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:"

Transkript

1 Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí rozděleí Ověřováí hypotézy o rovosti rozptylů dvou orálě rozděleých základích souborů Ověřeí hypotézy o rovosti středích hodot dvou orálě rozděleých základích souborů....5 Ověřováí hypotézy o odlehlosti krajích ěřeí ve výběru z orálího rozděleí Ověřováí hypotézy o skupiové systeatické chybě... 5

2 Teorie chyb a vyrovávací počet Testováí statistických hypotéz Pokud potřebujee apř. ověřit, jestli áhodý výběr byl provede ze základího souboru se záý paraetre, ebo jestli se charakteristiky získaé z ěkolika výběrů téhož základího souboru avzáje výrazě liší, pak provádíe tzv. testy výzaosti statistických hypotéz. Obecý postup testováí statistických hypotéz: Forulace ulové hypotézy H a alterativí hypotézy H Nulová hypotéza H je předpoklad o existeci základího souboru s jistý paraetre. Závažá je v této souvislosti forulace tzv. alterativí hypotézy H tj. hypotézy, kterou přijee, když eplatí ulová hypotéza. Je rozhodující pro určeí jedostraé ebo oboustraé kritické hodoty testovacího kriteria. Forulace hypotéz o ezáé paraetru ůže být: ) H : =, H :, pak přichází v úvahu oboustraý test, oboustraý test se vyezuje tehdy, eexistuje-li důvod, proč by testovací statistika (testovací kriteriu) ěla ít buď je kladé, ebo je záporé zaéko. ) H : =, H :, ebo H : =, H :, pak v obou případech použijee jedostraý test. Volba hladiy výzaosti Volba testovacího kritéria Testovací kritériu je zvoleá fukce, obsahující testovaý výběrový paraetr. (Zvoleou fukcí ůže být apř.: rozděleí, studetovo t-rozděleí, Fisherovo F-rozděleí) Hladia výzaosti je pravděpodobost, že hodota testovacího kritéria překročí určitou kritickou hodotu. Prakticky se ejčastěji volí =,5 ebo =,. Hodoty testovacího kriteria, které se vyskytou s pravděpodobostí eší ež se azývají statisticky výzaé. Určeí rozděleí pravděpodobosti testovacího kritéria a výpočet kritických hodot (oboustraých ebo jedostraých) pro hladiu výzaosti Porovat vypočteou a kritickou hodotu testovacího kritéria a vyslovit závěr o testovaé hypotéze H Při testováí ulové hypotézy se ůžee dopustit dvou druhů chyb: ) chyby prvího druhu, tj. chyby, že zaítáe ulovou hypotézu, ačkoliv je ve skutečosti správá pravděpodobost padutí kritické hodoty testovacího kriteria io obor ulové hypotézy je rova právě hladiě výzaosti ) chyby druhého druhu, tj. chyby, že ezaítáe ulovou hypotézu, ačkoliv je esprává její pravděpodobost ozačíe O vzájeé vztahu obou druhů chyb platí, že za eěěých podíek sižováí pravděpodobosti chyby jedoho druhu vede ke zvyšováí pravděpodobosti chyby druhého druhu. Sahou je iializovat obě chyby.

3 Teorie chyb a vyrovávací počet V případě, že přijíáe ulovou hypotézu: Pravděpodobost, že se vyvarujee chyby I. druhu, je. S touto pravděpodobostí čiíe správé rozhodutí o ověřovaé hypotéze. V případě, že přijíáe alterativí hypotézu: Pravděpodobost, že se vyvarujee chyby II. druhu, je. S touto pravděpodobostí čiíe správé rozhodutí o ověřovaé hypotéze. Zároveň pravděpodobost azýváe silou testu. Síla testu ukazuje aději, s jakou test zjistí, že testovaá ulová hypotéza H eplatí a platí alterativí hypotéza H A. Velikost síly testu je ovlivěa rozsahe výběru: čí větší je rozsah výběru, tí více iforací o skutečosti se využívá, a tí s větší pravděpodobostí zaítee eplatou ulovou hypotézu ve prospěch alterativí. Zázorěí kritických oblastí pro oboustraé testy. O P přijato O zaítuto Vztah ezi chybou I. druhu a II. druhu pro případ jedostraé hypotézy. O P přijato O zaítuto 3

4 Teorie chyb a vyrovávací počet. Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí Testujee hypotézu, že áhodý výběr (který charakterizujee výběrový průěre x ) je provede ze základího souboru (který je charakterizovaý středí hodotou Ex X ). Odlišíe případ, kdy záe a ezáe základí středí chybu σ: a) Záe základí středí chybu σ Forulace ulové hypotézy: H : Ex X Nejčastěji používaá forulace alterativí hypotézy: H : Ex X Budee tedy provádět oboustraý test, testovací kriterie bude: x X x X t x Veličia t á orálí rozděleí. Pro hladiu výzaosti ajdee z tabulek kritickou hodotu t. V případě, že: t zaítee ulovou hypotézu a hladiě výzaosti a přijee alterativí t hypotézu t ezaítee ulovou hypotézu a hladiě výzaosti t b) Nezáe základí středí chybu σ V případě, že ezáe, ahradíe ji výběrovou středí chybou: vv, kde v i x xi H Forulace ulové hypotézy: : Ex X Nejčastěji používaá forulace alterativí hypotézy: H : Ex X Budee opět provádět oboustraý test, testovací kriterie bude: x X x X t x Veličia t á t-studetovo rozděleí pro stupňů volosti. Pro hladiu výzaosti ajdee z tabulek pro oboustraý test přío kritickou hodotu t. V případě, že: t zaítee ulovou hypotézu a hladiě výzaosti a přijee alterativí t hypotézu t ezaítee ulovou hypotézu a hladiě výzaosti t 4

5 Teorie chyb a vyrovávací počet. Příklad: Byl provede áhodý výběr o rozsahu 5 ze základího souboru s orálí rozděleí N ;9. Posuďte, zda výběr s výběrový průěre x odpovídá výběru z orálího rozděleí základího souboru. Hladiu výzaosti volte: a), 5 b), Řešeí: Forulace ulové hypotézy: H : Ex Nejčastěji používaá forulace alterativí hypotézy: H : Ex Budee provádět oboustraý test, testovací kriterie bude: x X t 5 3,33 3 Z tabulek orálího rozděleí ajdee kritickou hodotu pro:,5, 5 hodotu t t, 96,5,, 5 hodotu t t, 58 Porováí zjistíe: při, 5 t > při, t >,5 t 3,33 >,96 t 3,33 >,58 Vyslovíe závěr: zaítáe ulovou hypotézu : Ex hypotézu H : Ex N ;9. H a přijíáe alterativí. Tz., že výběr ebyl provede ze základího souboru. Příklad: Byl provede áhodý výběr o rozsahu 5 ze základího výběru, který á orálí rozděleí a je charakterizovaý základí průěre X a odhade základí středí chyby 34. Posuďte, zda výběr s výběrový průěre x odpovídá výběru z orálího rozděleí základího souboru. Hladiu výzaosti volte: a), 5 b), Řešeí: Forulace ulové hypotézy: H : Ex Nejčastěji používaá forulace alterativí hypotézy: H : Ex Budee provádět oboustraý test, testovací kriterie bude: x X t 5,94 34 Z tabulek t-studetova rozděleí ajdee kritickou hodotu pro oboustraý test: 5

6 Teorie chyb a vyrovávací počet,5, 4 hodotu,, 4 hodotu t t, 6,5 t t, 8,5 Porováí zjistíe: při, 5 t > při, t > t,94 >,6 t,94 >,8 Vyslovíe závěr: zaítáe ulovou hypotézu : Ex hypotézu H : Ex H a přijíáe alterativí. Tz., že výběr ebyl provede ze základího výběru charakterizovaého základí průěre X a odhade základí středí chyby Příklad (str. 8, Melou, Militký): Byl provede áhodý výběr 3 a z rozsáhlejšího (základího) výběru 56, A B který byl charakterizová průěre X 33, 43 a odhade základí středí chyby, 5. Posuďte, zda áhodé výběry A 3 a B odpovídají výběru z rozsáhlejšího výběru 56. Hladiu výzaosti volte: a), 5 b), Výběr 3 ze základího výběru: A 38,99 39,75 33,6 333,8 333,6 33,5 38,4 33,63 33,7 33,5 33,8 33,9 39,36 39,6 39,6 39,7 33,39 333,47 33,59 33,5 39,49 39, 33,63 33,64 33,85 36,6 39,9 33,66 38,57 33,45 33,54 33, Výběr ze základího výběru: B 38,99 39,75 33,6 333,8 33,6 33,35 38,4 33,63 33,7 33,5 6

7 Teorie chyb a vyrovávací počet. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí rozděleí Testujee hypotézu, že áhodý výběr (charakterizovaý výběrovou středí chybou ) je provede ze základího souboru (charakterizovaého základí středí chybou ). Podle forulace úlohy(alterativí hypotézy) se volí jedostraý ebo oboustraý test. Forulace ulové hypotézy: H : Z Forulace alterativí hypotézy: a) H : Z oboustraý test b) H : Z pravostraý test c) H : Z levostraý test Testovací kriterie bude:, kde vv Z tabulek rozděleí ajdee kritickou hodotu pro: a) pro oboustraý test rozdělíe a levou a pravou strau grafu rozděleí a z tabulek odečtee kritické hodoty a levé straě (dolí ez) a a pravé straě (horí ez) b) pro levostraý test bude kritická hodota a levé straě grafu rozděleí c) pro pravostraý test bude kritická hodota a pravé straě grafu rozděleí Nulovou hypotézu budee zaítat, když: a) při oboustraé testu ebo b) při levostraé testu (zda se zešil rozptyl) c) při pravostraé testu (zda se zvětšil rozptyl). Příklad: V áhodé výběru o rozsahu 5 byla určea výběrová středí chyba 4. Posuďte, zda se jedá o výběr ze základího souboru se základí středí chybou 3 a hladiě výzaosti, 5. Řešeí: Jedá se o oboustraé test. Forulace ulové hypotézy: H : 3 Forulace alterativí hypotézy: H : 3 oboustraý test Testovací kriterie bude: ,8 9 Z tabulek rozděleí ajdee kritickou hodotu: 7

8 a levé straě (dolí ez), 4,975 a pravé straě (horí ez) 39, 4,5 Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Má platit:, ale eplatí protože,4 44,8 39, 4 je Teorie chyb a vyrovávací počet Zaítáe ulovou hypotézu a tvrdíe, že výběr eí provede ze základího souboru se základí středí chybou 3.. Příklad: Stroj pracuje s rozptyle výrobků, charakterizovaý základí středí chybou 3. Po havárii stroje byla provedea série 5 výrobků a zjištěa výběrová středí chyba 4. Posuďte, zda se po havárii zvětšil rozptyl výrobků a hladiě výzaosti, 5. Řešeí: Forulace ulové hypotézy bude stejá, jako v předchozí příkladě, ale s jiou alterativí hypotézou: Forulace ulové hypotézy: H : 3 Forulace alterativí hypotézy: H : 3 pravostraý test Testovací kriterie bude: ,8 9 Z tabulek rozděleí ajdee kritickou hodotu: a pravé straě (horí ez) 36, 4,5 Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Protože je 44,8 36, 4 zaítáe ulovou hypotézu a tvrdíe, že po havárii je rozptyl větší, ež rozptyl vyplývající ze základí středí chyby 3. 8

9 Teorie chyb a vyrovávací počet.3 Ověřováí hypotézy o rovosti rozptylů dvou orálě rozděleých základích souborů Testujee hypotézu, že dva výběrové rozptyly a ze dvou výběrů o rozsahu a odpovídají rozptylů ze dvou základích souborů, pro které platí rovost základích středích chyb, tedy. Test se většiou používá jako oboustraý. Testovací kritérie je veličia: F, kde vv a vv Tato veličia á F-rozděleí s a stupi volosti. Ve vzorci volíe vždy. Z tabulek F-rozděleí ajdee pro zvoleou hladiu výzaosti kritickou hodotu F. Nulovou hypotézu zaítáe při F. F. Příklad: Posuďte výzaost rozdílu ezi dvěa výběrovýi rozptyly a to: v prvé výběru byla určea výběrová středí chyba 3 z 6 ěřeí a ve druhé výběru výběrová středí chyba z ěřeí. Hodoceí proveďte a hladiě výzaosti, 5. Řešeí: Jedá se o oboustraý test hypotézy. Forulace ulové hypotézy: H : Forulace alterativí hypotézy: H : Testovací kriterie bude: 96 F,8 44 Z tabulek F-rozděleí ajdee pro, 5 hodotu F F 3,5 5, ),5 ( Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Protože F tedy,8 3, 5 ulovou hypotézu ezaítáe, tedy ezaítáe předpoklad F rovosti rozptylů obou základích souborů. F : 9

10 Teorie chyb a vyrovávací počet.4 Ověřeí hypotézy o rovosti středích hodot dvou orálě rozděleých základích souborů Testujee hypotézu, že dva výběry s výběrovýi průěry x a x s výběrovýi středíi chybai a jsou výběry ze dvou základích souborů, pro které platí rovost jejich středích hodot Ex Ex. Test se většiou používá jako oboustraý. Testovací kriteriu volíe podle toho, zda rozptyly základích souborů jsou, či ejsou stejé. Musíe tedy ejprve provést test rozdílu ezi dvěa rozptyly podle předchozího testu, který rozhodee, zda: a) oba rozptyly se výzaě eliší b) oba rozptyly se výzaě liší V případě, že se: a) oba rozptyly výzaě eliší, použijee testovací kriteriu: x x t kde: vv vv veličia t á t-studetovo rozděleí s ( ) stupi volosti. Z tabulek t-studetova rozděleí ajdee pro zvoleou hladiu výzaosti hodotu t. Nulovou hypotézu budee zaítat při t t b) oba rozptyly výzaě liší, použijee testovací kriteriu: x x vv vv t kde Vypočteou hodotu t porováe s hodotou t, kterou určíe: t t, Hodoty t, t a, t, jsou kritické hodoty odečteé z tabulek t-studetova rozděleí pro hladiu výzaosti a stupě volosti a. Nulovou hypotézu zaítáe při t. t

11 Teorie chyb a vyrovávací počet. Příklad: Posuďte výzaost rozdílu ezi dvěa výběrovýi průěry a hladiě výzaosti,5. Prví výběr o rozsahu 6 á průěr x 5 a výběrovou středí chybu 3, druhý výběr o rozsahu á průěr x 9 a výběrovou středí chybu. Řešeí: Nejprve zhodotíe oba rozptyly: Forulace ulové hypotézy: H : Forulace alterativí hypotézy: H : Testovací kriterie bude: 96 F,8 44 Z tabulek F-rozděleí ajdee pro, 5 hodotu F F 3,5 5, ),5 ( Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Protože F tedy,8 3, 5 ulovou hypotézu ezaítáe, tedy ezaítáe předpoklad F F : rovosti rozptylů obou základích souborů, oba rozptyly se tedy výzaě eliší. H : E x E x Forulace ulové hypotézy: Forulace alterativí hypotézy: H : Ex Ex Testovací kriterie bude: x x t ,5 6 Z tabulek t-studetova rozděleí ajdee pro, 5 a ( ) stupňů volosti hodotu: t,6 t,5 Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Z porováí vychází t číselě 3,5, 6, proto zaítáe ulovou hypotézu a tvrdíe, že t hodoceé výběry ejsou ze základích souborů se stejou středí hodotou.

12 Teorie chyb a vyrovávací počet. Příklad: Posuďte výzaost rozdílu ezi dvěa výběrovýi průěry a hladiě výzaosti,5. Prví výběr o rozsahu 6 á průěr x 5 a výběrovou středí chybu 4, druhý výběr o rozsahu á průěr x 9 a výběrovou středí chybu. Řešeí: Nejprve zhodotíe oba rozptyly: Forulace ulové hypotézy: H : Forulace alterativí hypotézy: H : Testovací kriterie bude: 68 F 3,8 44 Z tabulek F-rozděleí ajdee pro, 5 hodotu F F 3,5 5, ),5 ( Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Protože F tedy 3,8 3, 5 ulovou hypotézu zaítáe, tedy zaítáe předpoklad rovosti F F : rozptylů obou základích souborů, oba rozptyly se tedy výzaě liší. H : E x E x Forulace ulové hypotézy: Forulace alterativí hypotézy: H : Ex Ex Testovací kriterie bude: x x 5 9 t, Z tabulek t-studetova rozděleí ajdee kritické hodoty: t 5),3,5 (,5 ( ) t,3 kritické hodoty dosadíe do vzorce pro výpočet t : t t,3,3,, t 6, Vyslovíe závěr k ulové hypotéze: Z porováí vychází t číselě,7, 6, proto ezaítáe ulovou hypotézu, tedy t ezaítáe předpoklad, že hodoceé výběry jsou ze základích souborů se stejou středí hodotou.

13 Teorie chyb a vyrovávací počet.5 Ověřováí hypotézy o odlehlosti krajích ěřeí ve výběru z orálího rozděleí Testujee hypotézu, že všecha ěřeí patří do výběru z orálího rozděleí. Používají se dva typy testů:. typ testu: V daé výběrové souboru vypočítáe výběrový průěr x a středí opravu: vv v, kde vi x li l i aěřeé hodoty Vyhledáe opravu s axiálí absolutí velikostí. Testovací kriterie bude veličia: vax v Veličia á rozděleí, pro které jsou kritické hodoty uvedey v tabulce: Tabulka kritických hodot, \ ,,4,7,95,37,54,8,96 3,7,5,4,69,87,7,9,49,6,7,,4,64,79,4,5,33,45,54, a hladiy výzaosti Odlehlý ěřeí bude to ěřeí, pro které bude platit:, Toto ěřeí vyloučíe ze souboru ěřeí a vypočítáe ový průěr, středí opravu a postup budee případě opakovat pro další odlehlá ěřeí.. typ testu: Výběrové hodoty seřadíe podle velikosti l l l, vypočítáe testovací kriteriu z axiálí hodoty rozdílu dvou sousedích hodot a krajích seřazeého výběru: l l l l ebo l l l l Veličia á rozděleí, pro které jsou kritické hodoty uvedey v tabulce:, a hladiy výzaosti 3

14 Tabulka kritických hodot, Teorie chyb a vyrovávací počet \ ,,99,89,78,59,53,44,39,36,34,5,94,76,64,47,4,34,3,8,6,,89,68,56,4,35,8,5,3, Pokud pro ěřeí l, l (posledí ebo prví) bude platit,, takové ěřeí vyloučíe a postup budee opakovat pro případá další odlehlá ěřeí.. Příklad: Byl provede soubor ěřeí: 83, 88, 84, 78, 8, 8, 86, 8, 98, 83, 85, 8. Hodota 98 vzbuzuje podezřeí, že jde o chybu hrubou. Posuďte a hladiě výzaosti,, zda hodota 98 patří do daého výběru. Řešeí:. typ testu: Vypočítáe výběrový průěr x a středí opravu: l x 84, vv v 4,9 Vyhledáe opravu s axiálí absolutí velikostí: l 9 98 Testovací kriterie bude veličia: vax x l9 84, 98,8 v v 4,9 Z tabulky odečtee kritické hodoty pro a, : Protože,,,66, vylučujee hodotu l 98 ze souboru ěřeí a vypočítáe ový 9 průěr a středí opravu a soubor zovu otestujee.. typ testu: Seřadíe podle velikosti: 78, 8, 8, 8, 8, 83, 83, 84, 85, 86, 88, 98 Vypočítáe testovací kriteriu: l l 98 88,5 l l Z tabulky odečtee kritické hodoty Protože,,48 pro a, : vylučujee hodotu l 98 ze souboru ěřeí.,, 9 4

15 Teorie chyb a vyrovávací počet.6 Ověřováí hypotézy o skupiové systeatické chybě Teto postup testováí se používá v případě podezřeí, že ěřeí obsahuje systeatické chyby závislé a jisté faktoru. Podle tohoto faktoru rozdělíe áhodý výběr o celkové rozsahu N a k skupi tak, aby předpokládaý charakter systeatické chyby byl přibližě kostatí uvitř skupi a proělivý ve skupiách avzáje. Podklade bude středí chyba, vypočteá z oprav ěřeí k dílčí průěrů ve skupiách proti středí chybě, vypočteé z oprav dílčích průěrů k celkovéu průěru. Vypočtee: skupiové průěry x j (počet prvků ve skupiě j ); j =,,, k opravy k dílčí průěrů vij x j lij, i,,..., j celkový průěr X (celkový počet prvků N ) opravy dílčích průěrů k celkovéu průěru V j j X x Testovat budee hypotézu o epřítoosti systeatické chyby tedy o áhodosti rozdílu ezi oběa středíi chybai. Test se požívá jako pravostraý. Testovací kritérie bude veličia: k I středí chyba vypočteá z oprav F, kde I jv j k k dílčí průěrů ve skupiách II j k II v středí chyba vypočteá z oprav ij N k j i dílčích průěrů k celkovéu průěru Tato veličia á F-rozděleí s I k a N k stupi volosti. V tabulkách F-rozděleí ajdee pro hladiu výzaosti a počet stupňů volosti j II j I a F a ůžee vyslovit závěr o kritickou hodotu F. Testovaou hypotézu zaítáe při F přítoosti skupiové systeatické chyby závislé a faktoru, podle kterého byly vytvořey skupiy. II Příklad: ověřováí hypotézy o skupiové systeatické chybě Úhel byl a staovisku zaěře ve třech růzých deích dobách ( ráo, odpolede a v oci ) v celkové počtu N = ěřeí. Aalýzou výsledků rozhoděte a hladiě výzaosti,5, zda a ěřeí epůsobila refrakčí systeatická chyba. Výsledky ěřeí: ráo:, 4, 8, 4, 6,,, 9; 8 ; odpolede: 3, 33, 37, 3, 38, 35, 39; 7 ; v oci: 38, 3, 39, 3, 3, 33; 3 6. Řešeí: Skupiy ěřeí poecháe tak, jak byly ěřey, pro působeí případé refrakčí chyby je rozhodující deí doba ěřeí. Testujee hypotézu o áhodé rozdílu ezi středíi chybai a, tj. o epůsobeí refrakčí chyby. I II skupiové průěry x j opravy k dílčí průěrů v ij vv ráo x = odpolede x = v oci x 3 =

16 Teorie chyb a vyrovávací počet Celkový průěr: Středí chyby: I II k X N l 64 3,5 j x j , , , k jv j j 3 N k k j j i v ij 3 V X , 7 I 77 Testovací kritériu: F 3, 7 II,7 Z tabulek F-rozděleí ajdee pro hladiu výzaosti, 5 a, 8 kritickou hodotu F 3, 6. Protože F F, zaítee ulovou hypotézu a soudíe a přítoost systeatické refrakčí chyby závislé a deí době. I II 6

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI . Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika: - je věda o hotě (ta eistuje ve dvou forách jako látka, ebo jako pole), o jejích ejobecějších vlastostech, stavech, zěách, iterakcích Rozděleí fyziky: a)

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech Kapitola 6 : Neparametrické testy o mediáech Cíl kapitoly Po prostudováí této kapitoly budete umět - provádět testy hypotéz o mediáu jedoho spojitého rozložeí - hodotit shodu dvou ezávislých áhodých výběrů

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

ení 1. Proces měřm Proces vytyčen 3. Rozbory přesnostip Proces měř Ing. Hana Staňková, Ph.D.

ení 1. Proces měřm Proces vytyčen 3. Rozbory přesnostip Proces měř Ing. Hana Staňková, Ph.D. IG I_.př Poces ěř IG I_.před. Poces ěř. Poces vytyče 3. Rozboy přesostip Ig. Haa Staňová, Ph.D. www.staova.estay.cz haa.staova@vsb.cz úo, teý poocí geodeticé poůcy zjišťujee hodotu ěř ěřeé veličiy iy Fáze:

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Nalezení výchozího základního řešení. Je řešení optimální? ne Změna řešení

Nalezení výchozího základního řešení. Je řešení optimální? ne Změna řešení Sipleová etoda: - patří ezi uiverzálí etody řešeí úloh lieárího prograováí. - de o etodu iteračí, t. k optiálíu řešeí dospíváe postupě, krok za kroke. - výpočetí algoritus se v každé iteraci rozpadá do

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

4. Základní výpočty vycházející z chemických rovnic

4. Základní výpočty vycházející z chemických rovnic 4. Základí výpočty vycházející z cheických rovic heické rovice vyjadřující eje jaké látky spolu reagují (reaktaty, edukty) a jaké látky reakcí vzikají (produkty), ale i vztahy ezi ožstvíi spotřebovaých

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N. .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f

Více

Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb

Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měřeí kvality Služeb Dodavatel a Objedatel se dohodli a ahrazeí Přílohy C - Systém měřeí kvality Služeb Obchodích podmíek Smlouvy o službách touto Přílohou

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

10 částic. 1,0079 1, kg 1, kg. 1, kg. 6, , kg 0, kg 1,079g

10 částic. 1,0079 1, kg 1, kg. 1, kg. 6, , kg 0, kg 1,079g ..7 oláí veličiy I Předpoklady: 0 Opakováí z iulé hodiy: Ato uhlíku A C C je přibližě x těžší ež ato H. Potřebujee,0 0 atoů uhlíku C abycho dohoady získali g látky. Pokud áe,0 0 částic látky, říkáe, že

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

VY_52_INOVACE_J 05 01

VY_52_INOVACE_J 05 01 Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více