9. Číselné posloupnosti a řady

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "9. Číselné posloupnosti a řady"

Transkript

1 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost je reálá v opčém přípdě tj dyž R ( budeme posloupost zývt omplexí Hodoty poslouposti ( se většiou zpisují zráceě Uspořádé dvojice ( se zývjí čley poslouposti Posloupost je sjedoceím svých čleů tj {( } {( } Hovoříme-li o jo o čleu poslouposti máme mysli uspořádou dvojici ( V této souvislosti se používjí dále uvedeá rčeí: Čle ( leží v možiě M zmeá že M V možiě M leží eoečě moho čleů poslouposti zmeá že moži { M} je eoečá Npříld v jedoprvové možiě {} může ležet eoečě moho čleů poslouposti Pozám 9 V deici (9 se užívá j ovece t pozá se z otextu V této pitole užíváme ovece Posloupost se čsto zpisuje či deuje výčtem ěoli svých čleů příld j j ebo reuretě rovicemi příld j ( Posloupost (9 lze vždy rozdělit reálou imgiárí část x j y x y Defiice 9 (limit poslouposti Říáme že číslo { } je limitou poslouposti pro zpisujeme lim ebo je lim právě dyž U ( U ( (9 de pro deujeme U ( { z z } dále U( ( U( číslo se zývá poloměr oolí Jesliže veliost poloměru oolí eí podsttá píšeme stručě je U ( Jestliže říáme že posloupost je overgetí ty že posloupost overguje číslu Jestliže { } ebo dyž žádé číslo z možiy { } [ ]

2 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy esplňuje (9 říáme že posloupost je divergetí v prvím přípdě ty že diverguje + ebo Pozám 9 Výro (9 lze formulovt ěoli evivletími způsoby Jestliže pro ějou vlstost V terá je závislá přirozeém čísle pišme tedy V( pltí výro V ( říáme že vlstost V je splě pro soro všech Lze tedy psát lim s v zrt pro soro všech Nebo lim U ( U ( pro s v U ( { U ( } je oečá moži (93 Sutečost že lim zpisujeme evivletě ty tto: Důslede 9 Jestliže posloupost b vzie z poslouposti přidáím odebráím či změou oečě moh čleů poslouposti p pro ždé oolí U ( moži { U ( } bude oečá právě dyž moži { b U ( } bude oečá Podle (93 p lim lim b Z tohoto důvodu deice limity má smysl i pro fuce teré jsou deováy s výjimou oečě moh bodů říáme jim ty poslouposti Pltí tedy příld lim lim lim m m de posloupost mmá čley {( m( m (3 3m } mmá čley {( m ( m ( m 3 3 } Posloupost mtedy eí možiě { m} defiová Vět 9 (overgece po složách Nechť : P pltí: Posloupost overguje číslu právě dyž posloupost Re( overguje reálé části čísl posloupost Im( overguje imgiárí části čísl Tj Re( Re( & Im( Im( Důz je zřejmým důsledem dále uvedeých trojúhelíových erovostí Re( Re( Im( Im( [ ]

3 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Re( Re( Im( Im( Důslede 9 (elemetárí důsledy deice limity Nechť b jsou overgetí číselé poslouposti P pltí: Jestliže b p b b b / b / poud V důzech těchto vlstostí hrjí líčovou úlohu ásledující vzthy: b ( b b ( b b ( b ( b c b (overgetí posloupost je omezeá tj b ( ( b b b b c b c b (de c b pro s v Deice 93 (BC podmí Posloupost : splňuje BC podmíu právě dyž pltí m ( m & (94 m ebo evivletě p ( (95 p BC podmí je zrt z Bolzov Cuchyov [čti óšiov] podmí Poslouposti teré splňují uvedeé podmíy (94 (95 se zývjí cuchyovsé Dožme evivleci podmíe (94 (95 (94 (95 Nechť Podle (94 existuje tové že m & (i Je-li p libovolé potom pro m : p : plye z (i m p (95 (94 Nechť Podle (95 existuje tové že p (ii p [ 3 ]

4 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Jsou-li m libovolá m & p existují p p tová že m p p Podle (ii odtud plye p m p Odtud m tj pltí (94 m m Vět 9 (BC podmí overgece Posloupost : je overgetí právě dyž splňuje BC podmíu tj právě dyž posloupost : je cuchyovsá Nejprve užme že overgetí posloupost splňuje (95 Nechť je libovolé Podle deice 9 existuje t že (i Nechť p je libovolé P p podle (i dosteme p Tedy pltí (95 Zbývá uázt že posloupost : terá splňuje (94 ebo (95 je overgetí Tto část důzu je ejceější ejobtížější Důz rozdělíme do ěoli roů ( Nejprve uážeme že cuchyovsá posloupost je omezeá tj že příld existuje čtverec v ěmž leží všechy čley poslouposti Zvolme ějé Podle podmíy (95 existuje čle poslouposti v jehož oolí U ( leží soro všechy (tj s výjimou oečého počtu čley poslouposti Mezi čley poslouposti teré eleží v ruhu U ( vyberme te terý leží ejdále od Nechť je to m Zvolme poloměr r t by r mx{ } P všechy čley poslouposti leží v ruhu U( r teto ruh o m oečém poloměru r leží jistě v ějém čtverci Právě jsme uázli že všechy čley cuchyovsé poslouposti se lézjí v ějém čtverci (čtverec v roviě je obdobou itervlu přímce ( N záldě tohoto ftu yí v omplexí roviě lezeme číslo v jehož libovolém oolí se bude lézt vždy eoečě moho čleů poslouposti později p uážeme že číslo je limitou této poslouposti p K lezeí čísl budeme opovt eoečěrát ásledující proceduru P Bude tím sestroje eoečá posloupost I do sebe vořeých čtverců tj I I přičemž v ždém z ich bude ležet eoečě moho čleů poslouposti Všechy čtverce uvžujeme uzvřeé tj včetě jejich hrice ji by dále uvedeá procedur efugovl Proč? Procedur P: Nechť I je čtverec ve terém leží eoečě moho čleů poslouposti Čtverec I rozdělme čtyři shodé uzvřeé čtverce (vdrty P P(I ozčuje te uzvřeý vdrt čtverce I ve terém rověž leží eoečě moho čleů poslouposti Tový vdrt P(I vždy musí existovt v opčém přípdě by v I emohlo ležet eoečě moho čleů poslouposti Viz dále uvedeý obráze [ 4 ]

5 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Nechť I je uzvřeý čtverec ve terém leží všechy čley cuchyovsé poslouposti Položme I : ( P I Tím je reuretě sestroje hledá posloupost I do sebe vořeých uzvřeých čtverců tj I I přičemž v ždém z ich bude ležet eoečě moho čleů poslouposti Situci ilustruje ásledující obráze Im I 4 I I I 3 I Podle pricipu vořeých itervlů průi čtverců prve Teto prve je oo hledé Pltí tedy I je eprázdý obshuje jediý Re I {} Pozmeejme že pricip vořeých itervlů byl doázá v zimím semestru záldě věty o supremu pro jedorozměré itervly Pltí i pro itervly vícerozměré tedy i pro čtverce eboť projece těchto itervlů do souřdých os jsou itervly jedorozměré teré lze doázý pricip pliovt (3 Nyí si všiměme že číslo je tzv hromdý bod poslouposti je to bod v jehož libovolém oolí leží vždy eoečě moho čleů poslouposti To je zřejmé zvolíme-li libovolě ějé oolí U ( p musí existovt čtverec terý leží ve zvoleém oolí tj pro ějé bude I U( Čtverce se totiž zmešují čtvrceím všechy obshují Protože se ve čtverci I lézá eoečě moho čleů poslouposti lézá se toto možství čleů i v oolí U ( (4 Nyí uážeme že cuchyovsá posloupost emůže mít více ež jede hromdý bod Předpoládejme že posloupost má dv hromdé body tj echť jsou hromdé body poslouposti Potom r Položme r 3 Protože pltí (94 existuje idex tový že m (ii & m Protože v libovolém oolí hromdých bodů poslouposti leží eoečě moho čleů této poslouposti existují čley U( U( jejichž idexy jsou větší ež P ovšem podle (ii Potom r [ 5 ]

6 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy máme tedy spor r odtud plye r r což eí prvd (5 Zbývá uázt že číslo je limitou poslouposti podle (93 stčí uázt že pro libovolé je { U ( } oečá moži Nechť to eí prvd p existuje tové že moži { U ( } je eoečá Odstríme-li v tomto přípdě z poslouposti všechy čley teré leží uvitř oolí U ( stále jich zbude ve čtverci I eoečě moho stejou procedurou P doážeme existeci hromdého bodu V libovolém oolí hromdého bodu se chází eoečě moho čleů poslouposti proto U ( protože všechy čley poslouposti teré leží v U ( byly z poslouposti odstrěy Proto což je spor eboť cuchyovsá posloupost emůže mít dv růzé hromdé body viz již doázý bod (4 Je tedy utě pro libovolé moži { U ( } oečá tedy lim de I tj posloupost je overgetí Číselé řdy Deice 94 (eoečá řd Nechť : s : jsou poslouposti pro teré pltí ebo evivletě s (96 s & s s (97 Symbol (98 se zývá eoečá (číselá řd může být zpsá v moh evivletích tvrech příld m 4 m 3 3 m 3 m Hodot s se zývá tý částečý součet eoečé řdy (98 Posloupost s se zývá posloupost částečých součtů eoečé řdy (98 tý čle poslouposti se zývá tý čle řdy (98 Deice pojmů lze zcel zřejmě vyslovit i pro vritu potom pro -tý částečý součet budeme psát s symbol řdy p píšeme ve tvru podobě Tohoto způsobu použijeme zejmé u geometricé mocié řdy [ 6 ]

7 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Nechceme-li eoečou řdu deovt jo symbol je možé ji deovt jo uspořádou dvojici posloupostí ( s teré jsou svázáy vzthy (96 (97 (moderější méě běžé Deice 95 (součet eoečé řdy Nechť : s : jsou poslouposti pro teré pltí s Číslo { } se zývá součet řdy p připisujeme výzm tohoto součtu tj právě dyž lim s : Pltí tedy Symbolu řdy lim ( (99 Jestliže posloupost s overguje tj lim s říáme že řd je overgetí Jestliže posloupost s diverguje tj lim s eexistuje ebo overguje ebo že lim s { } říáme že řd diverguje ebo že je divergetí V přípdě lim s resp lim s říáme že řd diverguje + resp Budeme užívt symbolů (K pro overgetí řdu (D pro divergetí řdu Příld 9 Stovte součet eoečé řdy ( Nejprve vhodě vyjádříme posloupost částečých součtů Protože lze postupovt tto: s overgetí pltí ( Odtud plye lim s ( ( lim ( Řd ( je tedy Defiice 96 (BC podmí pro řdy Neoečá číselá řd splňuje BC podmíu pro řdy právě dyž BC podmíu z Deice 93 splňuje posloupost částečých součtů řdy tj dyž pltí: [ 7 ]

8 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy m ( m & s s (9 m de s ebo evivletě: p p (9 Důslede 93 Neoečá číselá řd je overgetí právě dyž splňuje BC podmíu (9 ebo (9 Splěí podmíy (9 ebo (9 je evivletí podle věty 9 overgeci poslouposti s což podle defiice 95 zmeá overgeci řdy Vět 93 (utá podmí overgece Jestliže řd overguje potom lim Jestliže řd overguje p existuje limit lim s de s P pltí lim s s lim ( lim s lim s Příld 9 (součet geometricé řdy Nechť q Jestliže q řd Jestliže q řd q overguje pltí q q q diverguje Pro q je Jestliže q p pltí s q q existuje právě dyž existuje lim q q ( qq ( q ( q q q Odtud plye že lim s ( Nechť q potom posloupost q je erostoucí zdol ohričeá ulou tj existuje lim q Pltí lim q lim q q q lim q q Odtud ( q tj protože q Potom lim q tedy lim s (b Jestliže q potom q tudíž emůže být splě utá podmí overgece eboť lim q lim q řd tedy diverguje (c Jestliže q tj q je reálé potom s q q tudíž lim s lim q [ 8 ]

9 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Příld 93 Njděte součet řdy ( j Protože j řd je geometricou overgetí řdou podle předešlého příldu je jejím součtem číslo j j j j Příld 94 Řd je divergetí protože esplňuje utou podmíu overgece Jeliož posloupost částečých součtů řdy je rostoucí s s s je utě Řd si( je divergetí protože esplňuje utou podmíu overgece lim si( totiž eexistuje Řd je divergetí zároveň je splě utá podmí overgece tj lim Teto výslede eí v rozporu s větou 93 Vět 94 (hrmoicá řd je divergetí Řd se zývá hrmoicá Pltí Uvžujme posloupost s Posloupost je rostoucí eboť pltí s s s Užme že posloupost s eí ohričeá shor Předpoládejme sporem že ohričeá shor je P ovšem rostoucí posloupost ohričeá shor má utě oečou limitu echť tedy lim s Pro libovolá přirozeá čísl m pltí s s m s m m m s m m m m tedy s s proto pro ždé pltí m m s m lim s lim s tj pro ždé je oečě lim s m m m m tedy což dává hledý spor Posloupost s je tedy rostoucí eí ohričeá shor tj utě s což se mělo doázt [ 9 ]

10 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Příld 95 (počítčové experimety s hrmoicou řdou Položme si otázu oli je třeb sečíst čleů hrmoicé řdy by její součet byl Ozčme s ( Pomocí progrmu Mthemtic ebo Mple můžeme určit experimetem že 4 s( s( Kdybychom sečteí toli čleů řdy chtěli použít reuretí formuli s : s (i měli bychom dispozici superpočítč terý by doázl vyčíslit rovici (i z s 5 6 bilirdrát ( 6 tedy s frevecí 6 milioů GHz (těžo si předstvit že bude 4 ědy tový počítč postve potřebovli bychom sečteí 5 čleů čs t [ s] 5 6 [ s ] 8 79 [let] 6 7 [stáří vesmíru] Stáří vesmíru se v součsosti odhduje 9 5 let Elemetárí vlstosti číselých řd Vět 95 Nechť : P pro ždé přirozeé číslo pltí (9 přičemž řd vlevo overguje právě dyž overguje řd vprvo Pozám: Řd se zývá zbyte řdy Npišme poslouposti částečých součtů pro obě řdy ve vzthu (9 Dosteme s m m P pltí s m s m odtud lim s m m lim ( s m s lim m m m Důslede 94 Jestliže řd overguje p lim [ ]

11 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Jestliže řd overguje potom existuje číslo tové že máme ( s Odtud Podle (9 lim lim ( s Vět 96 (overgece po složách Nechť : ozčme x Re( y Im( P pltí (K x (K & y (K (93 (K x j y (94 (K (95 (K x (K & y (K (96 (K (K (97 Tvrzeí (93 (94 jsou důsledem overgece po složách tj důsledem věty 9 pliové posloupost částečých součtů řdy erovosti ze spojitosti fuce z lim z (95 plye z trojúhelíové lim lim Vzth (96 plye z erovostí x y x y z toho že poslouposti částečých součtů řd s ezáporými čley jsou elesjící Nechť (K P řd p splňuje podle důsledu 93 BC podmíu tj p Avš p p p tj [ ]

12 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy BC podmíu splňuje i řd tedy (97 proto je podle důsledu 93 overgetí pltí Deice 97 (bsolutí ebsolutí overgece Nechť : Jestliže Jestliže (K říáme že řd (D řd overguje bsolutě budeme psát (K říáme že řd Podle (97 bsolutě overgetí řd je overgetí overguje ebsolutě (KA Vět 97 (operce s řdmi Nechť bc : (zde P pltí má-li prvá str rovice smysl ( b b (98 ( b b (99 (9 Nechť pro posloupost c pltí: c b b b b b c pltí: Jestliže řdy b overgují lespoň jed z ich overguje bsolutě p overguje řd c b (9 Jestliže obě řdy b overgují bsolutě overguje bsolutě i řd c Pozám Řdy řd b ( b Řd ( b se zývá -ásobe řdy c se po řdě zývjí součet rozdíl souči [ ]

13 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy (98 (99 Nechť { } Protože ( b b pltí lim ( b lim b ( lim lim ( je možý poud výrz prvo od rovosti ( má smysl (9 Pltí lim potom (9 Nejprve dožme pomocé tvrzeí: Jestliže x y: Protože lim b lim poud výrz prvo od rovosti ( má smysl z x y x y x y x y (KA p ( b ( y (KA p y existuje ostt K tová že b z Kro y K Protože x existuje ostt L tová že x L Vezměme yí libovolě Protože x existuje tové že x Protože y existuje tové že y P pro pltí z x y x y x y L x y x y x y x y x y x y x y x y x y ( x x x L ( y y y Κ ( L L ( K Κ Tže z Předpoládejme b p můžeme psát (KA b (K ozčme : : b : b Dodefiujme posloupost b pro záporé idexy b b b b b b ( ( (KA je podle pomocého tvrzeí c b ( Protože posloupost m m overguje lim ( P ovšem c [ 3 ]

14 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy lim lim lim ( lim ( lim b Zbývá uázt že souči řd overguje bsolutě overgují-li bsolutě obě řdy b Nechť tedy (KA b (KA P ovšem (KA (9 můžeme pliovt řdy s bsolutími hodotmi Odtud plye že řd b c b b Kovergece řdy (K Dále vyplývá ze srovávcího ritéri overgece viz dále uvedeá vět b (K vzth c p Kritéri overgece Vět 98 (srovávcí ritérium Nechť : b : Jestliže b pro s v p pltí: b (K (K (D b (D (9 Jestliže b pro s v p existuje tové že b b (K potom podle věty 95 to zmeá overgeci b oečou limitu tj tj posloupost s b Je-li b tedy pltí je elesjící shor ohričeá má tedy (K Podle věty 95 to zmeá overgeci Zbyte tvrzeí v (9 je důsledem evivlece ( p q ( q p Vět 99 (itegrálí ritérium Nechť fuce f : je mootóí P pltí: f ( (K f ( x dx (K (93 Jestliže fuce f je mootóí overguje v (93 řd ebo itegrál je fuce f buď erostoucí ezáporá ebo elesjící eldá Ob přípdy se liší je zméem stčí doázt je jede z ich [ 4 ]

15 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Nechť f je erostoucí ezáporá P pltí f ( f ( x dx f ( viz obráze f ( f f ( + + Sečteím dosteme erovosti f ( f ( x dx f ( oečě Poslouposti s ( Jestliže overguje řd p s f( f ( x dx s (i f ( x dx jsou elesjící s lim s podle (i je elesjící posloupost f ( x dx shor ohričeá tedy je ohričeá shor i mootóí fuce t t f ( x dx Itegrál tedy overguje pltí f ( x dx lim s (b Jestliže overguje itegrál podle (i je elesjící posloupost s f ( f ( x dx f ( f ( x dx s shor ohričeá tedy overgetí Příld 96 Hrmoicá řd je divergetí Čley hrmoicé řdy jsou hodoty fuce f( x x lesjící itervlu můžeme použít itegrálí ritérium overgece x dx Itegrál diverguje diverguje i řd [l ] x lim l x x Vět 9 (limití d Alembertovo (podílové ritérium Nechť : Jestliže lim potom řd overguje (94 Jestliže lim potom řd diverguje (95 [ 5 ]

16 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Jestliže lim existuje tové že idex tový že Ozčíme-li q můžeme pro psát: geometricá řd eboť Nechť q odtud plye q q c q Jeliož q cq je overgetí můžeme použít srovávcí ritérium overgece c q pro s v tedy řd overguje lim p existuje idex tový že odtud tj P ovšem lim tj řd diverguje Pozám 93 Podle limitího d Alembertov ritéri se o overgeci řdy edá rozhodout v přípdě dy lim Uvžujme příld řdy Prvá je divergetí hrmoicá řd druhá je overgetí příld podle itegrálího ritéri Pro obě tyto řdy vychází lim Příld 97 Rozhoděte o overgeci řdy! (! (! ( ( e Protože e > řd je divergetí Protože má ldé čley je posloupost částečých součtů rostoucí tudíž! Vět 9 (limití Cuchyovo (odmociové ritérium Nechť : Jestliže lim potom řd overguje (96 Jestliže lim potom řd diverguje (97 [ 6 ]

17 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Jestliže lim existuje tové že q Potom s v tj srovávcího ritéri q pro s v Jeliož q (K potom (K podle q pro Je-li lim existuje tové že p ovšem pro s v tj pro s v tudíž emůže být splě utá podmí overgece Řd je tedy divergetí Pozám 94 Podle limitího Cuchyov ritéri se o overgeci řdy edá rozhodout v přípdě dy lim Můžeme uvážit tytéž řdy jo v pozámce 93 Prvá je divergetí hrmoicá řd druhá je overgetí Pltí vš lim lim eboť lim tudíž lim lim lim lim Příld 98 Vyšetřete overgeci řdy Pltí lim lim řd tedy overguje Vět 9 (o rovoceé síle d Alembertov Cuchyov ritéri Nechť : Jestliže existují limity lim lim potom Nechť P pro libovolé ( existuje idex tový že l pro Odtud ( l ( ( l ( odtud ( l ( l oečě l ( l ( l ( l ( l Pro dosteme tj Protože ( může být libovolě mlé dostáváme rovost Zcel obdobě se postupuje v přípdě že tj Pro libovolé existuje idex tový pro Odtud potom dále pro dosteme což vede tedy opět Příld 99 Vyšetřete overgeci řdy [ 7 ]

18 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Použitím d Alembertov riteri dosteme lim lim Podle d Alembertov riteri se tedy edá o overgeci rozhodout Podle věty 9 ovšem emá smysl zoušet ritérium Cuchyovo bude-li existovt limit lim bude se rovt číslu Protože vš lim eí splě utá podmí overgece Řd je divergetí Pozám 95 V dosud uváděých ritériích byl vždy testová bsolutí overgece V d Alembertově Cuchyově ritériu se vždy uvžovly bsolutí hodoty čleů poslouposti v itegrálím ritériu je tto sutečost sryt v mootoii fuce f Existují vš řdy teré overgují le ioliv bsolutě Příldem tových řd teré mohou overgovt ebsolutě jsou lterující řdy Jsou to řdy s reálými čley jejichž zmé se prvidelě střídjí lterují Defiice 98 (lterující řdy Nechť : je ezáporá posloupost tj ( Potom řdy ( ( se zývjí lterující ( Pro lterující řdy je zámo jedoduché ritérium overgece Vět 93 (Leibizovo ritérium overgece pro lterující řdy Nechť : Jestliže pltí: ( Posloupost je ezáporá ( posloupost je erostoucí (3 lim p lterující řd ( ( tedy i řd ( overguje Nechť pltí ( ( (3 Nejprve vyšetřeme chováí sudých čleů poslouposti částečých součtů řdy ( Mějme s (i 3 4 Protože posloupost je ezáporá erostoucí tj posloupost sudých čleů (i je ezáporá elesjící Je totiž pro libovolé : [ 8 ]

19 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy s ( ( ( s (ii S Čley v rovici (ii můžeme ovšem uzávorovt joliv udělejme to ásledově: s ( 3 ( 4 5 ( ( (iii Spojeím (ii (iii dostáváme s s N záldě podmíe ( ( jsme odvodili že posloupost (i je elesjící shor ohričeá Tová posloupost má oečou limitu ozčme lim s Podívejme se yí posloupost lichých čleů poslouposti částečých součtů (i Nechť m je libovolé p pltí: s ( s m m3 m m m m m sm (iv Posloupost lichých čleů je erostoucí má stejou limitu jo posloupost sudých čleů protože sm sm m pltí lim sm lim ( sm m lim sm lim m m m m m Protože posloupost sudých i lichých čleů poslouposti s má stejou limitu má ji i posloupost s tj lim s ( Řd je tedy overgetí Pozám 96 Nechť : je ezáporá posloupost lterující řd ( splňuje podmíy ( ( z věty 93 tj je erostoucí řd splňuje utou podmíu overgece Podle věty 93 je to overgetí řd podle důzu věty 93 sudé čley poslouposti částečých součtů tvoří elesjící posloupost liché čley poslouposti částečých součtů tvoří erostoucí posloupost pltí tedy erovosti de ( s sm pro libovolá m N záldě erovosti (i můžeme odhdout veliost součtu řdy stovit chybu teré se dopustíme hrdíme-li součet řdy jejím částečým součtem Z (i dostáváme: s sm s s sm sm tj sm sm s V prví erovosti položme m: ve druhé položme m: dosteme s s s s s s Obě zísé erovosti lze spojit do jedié s (98 (i [ 9 ]

20 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Příld 9 Řd ( je overgetí Sečteme-li 6 součtu s přesostí s čleů této řdy dosteme odhd jejího Jeliož posloupost je lesjící lim podle Leibizov ritéri řd ( je overgetí V progrmu Mple spočteo s tudíž pro pltí odhd ( l s s tj Je zámo že tj vidíme že l leží ve vypočteém tolerčím poli Asocitivit omuttivit v eoečých řdách Položme si otázu zd při sčítáí eoečých řd pltí obdob socitivího záo tj zd v eoečých součtech lze sdružovt čiitele j to zázorňuje dále uvedeá formule ( ( ( 7 8 ( 9 b b b 3 b4 b5? b Problém řeší ásledující vět Vět 94 (sdružováí čiitelů eoečé řdy Nechť : je libovolá posloupost : je rostoucí posloupost přirozeých čísel Ozčme: b ( b P pltí Jestliže má řd b součet p má součet i řd b b pltí Sestvme poslouposti částečých součtů pro obě řdy dosteme sm m b b b ( ( ( Odtud ( [ ]

21 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy plye vzth s posloupost je tedy vybrá posloupost z poslouposti s Jestliže má posloupost s limitu p stejou limitu má ždá z í vybrá posloupost tedy i posloupost Existece limity poslouposti s je evivletí existeci součtu řdy Příld 9 Pro řdy teré emjí součet zmíěá obdob socitivího záo epltí Uvžme řdu: (i ( ( ( ( ( ( (b ( ( ( ( Růzá uzávorováí vedou růzé součty Z toho vyplývá že řd (i vůbec součet emá je tedy divergetí Dále uvedeé věty řeší problém zd u eoečých řd pltí obdob omuttivího záo tj zd lze změou pořdí čleů řdy ovlivit její součet Vět 95 (o přerováí bsolutě overgetí řdy Nechť : je libovolá posloupost : je prosté zobrzeí tj m m ( tzv bijece P pltí: Řd overguje bsolutě právě dyž overguje bsolutě řd pltí O řdě říáme že vzil z řdy přerováím Nejprve si všiměme iluzí teré jsou důsledem bijetivity zobrzeí : Pltí: m { m} { ( ( ( } { ( ( ( } { } (i (ii Iluze (i zmeá že pro ždé m existuje tové že moži { ( ( ( } obshuje všech přirozeá čísl m Tto vlstost plye z toho že ( P ždé číslo z možiy { m} je obrzem ějého čísl z tj m m z můžeme zvolit mx{ m } ebo číslo větší [ ]

22 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Iluze (ii zmeá že pro ždé existuje tové že moži { ( ( ( } je obsže v možiě přirozeých čísel Toto je elemetárí vlstost přirozeých čísel z můžeme zvolit mx{ ( ( ( } ebo číslo větší Dále z iluzí { m} { ( ( ( } { } (iii vyplývjí erovosti m Předpoládejme oečě že řd podmíu Je třeb uázt pltost výrou overguje Užme že řd p splňuje BC p (bsolutí hodotu jsme vyechli sčítáme totiž ezáporé čley Zvolme libovolě Podle předpoldu overguje splňuje proto BC podmíu tj existuje m tové že m p p (iv m K dému číslu m vyberme t že je splě iluze (i tj { m } { ( ( ( } (v Pro libovolé p vyberme t by byl splě iluze (ii ve tvru { ( ( ( p} { } (vi Dále pltí: { m} (vii protože { ( ( ( } odtud podle (v dosteme (vii Dále užme že pltí: { ( ( p} { m } (viii Vezměme { ( ( p} p { ( ( } podle (v { m} podle (vi je { } odtud { } { m} { m } tj pltí (viii Podle (viii máme: A tedy { ( ( p} { m } p ( ( m (ix [ ]

23 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy erovost ( plye z (iv K dému jsme tedy šli t že podle (ix pltí p ( tj řd splňuje BC podmíu overgece řd proto overguje tedy řd overguje bsolutě Zbývá uázt že obě řdy mjí stejý součet Nyí již víme že obě řdy bsolutě overgují overguje-li jed z ich (Je-li : bijece je : rověž bijece tj overguje-li p podle předchozí části důzu musí overgovt řd Nyí uážeme že rozdíl je meší ež libovolé ldé číslo proto musí být ulový Podle věty 95 s využitím trojúhelíové erovosti elemetárích vlstostí limity poslouposti pišme rozdíl v ásledujícím tvru: m m m m m m Nyí zvolme Podle důsledu 94 existuje m tové že P dosteme: 3 m m Čísl m mohou být vybrá libovolě velá Vyberme číslo t by { m } { ( ( ( } viz iluze (v P se v rozdílu odečtou všechy čley m m p m m tj pro ějé p pltí 3 Máme tedy m de je libovolé Odtud utě Podle věty 95 součet bsolutě overgetí řdy ezávisí pořdí sčítců v řdě To ám umožňuje zvést symbol pro eoečé řdy u ichž toto pořdí sčítců eí vyzčeo eboť ěm ezáleží Tovým řdám budeme řít zobecěé řdy všechy bsolutě overgetí řdy budeme moci chápt jo řdy zobecěé [ 3 ]

24 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Defiice 99 (zobecěé číselé řdy Nechť : I I je spočetá moži tj existuje ějá bijece : I pišme I Symbol i zýváme zobecěou (eoečou řdou ii Číslo zveme součtem zobecěé řdy i pišme ii ii i právě dyž existuje bijece : I pro terou bude řd bsolutě overgetí (Podle věty 95 p bude řd bsolutě overgetí pro ždou bijeci : I bude mít stejý součet Má-li zobecěá řd řdy i součet budeme řít že overguje Kovergece zobecěé ii i tedy zmeá bsolutí overgeci řdy ii pro ějou bijeci : I Vět 96 (ritérium overgece pro zobecěé řdy i overguje M J I & J Fi ( j M ii jj Symbol Fi ozčuje třídu všech oečých moži Nechť i (K p existuje bijece : I ii položme M : p s tová že řd (K M Nechť J I J Fi je libovolé Protože je bijece existuje idex tový že pltí J { } Odtud dosteme jj j M Nechť pltí M J I J Fi ( M Vezměme libovolou bijeci : I pro ždé položme K : { } Potom K podle předpoldu M tj s ik i jj j I K Fi i M Nelesjící posloupost částečých součtů s je tedy shor ohričeá má tedy oečou limitu tj řd i overguje ii ik Právě vysloveý pojem zobecěé řdy dovoluje sdo formulovt obecější (trsfiití způsob přerováí eoečé řdy viz dlší vět [ 4 ]

25 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Vět 97 (sčítáí řdy po blocích Nechť : I I I de I I I Jestliže zobecěá řd i overguje (má součet p pro ždé ii i rověž overguje Ozčíme-li součty b i ii ii overguje pltí Lze tedy psát i b ii A i i I A ii A i p zobecěá řd A zobecěá řd b A Jestliže ěteré I ebo A je prázdá ebo oečá moži iterpretujeme symboly běžým způsobem tj b A i i i i{ i i } i i ii Příld 9 z Uvžujme řdu se zámým součtem e z! overguje bsolutě pro ždé z Pltí totiž z z Lze tedy psát e! z Podle d Alembertov ritéri řd! lim z (! z z lim pro ždé de yí { } Možiu rozložme sudá lichá čísl tj { 4 } {35 } p jsou splěy předpoldy věty 97 tj pltí z e z z z (i!!! Vybereme-li vhodé bijece můžeme řdy přepst do běžého tvru z! (! (! (ii e z z z Dosdíme-li do (ii z : jz dosteme zámou Moivrovu formuli terou jsme zde doázli pro libovolé omplexí z jz ( ( (! (! cos( z j si( z e z j z [ 5 ]

26 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Vět 98 (přerováí ebsolutě overgetí řdy Nechť : Nechť řd overguje řd diverguje (tj řd overguje ebsolutě Defiujme poslouposti ezáporých eldých čleů řdy po řdě vzthy mx{ } ( ( (3 lim lim lim (4 (5 mx{ } P pltí: přerováí : tové že ( Protože mx{ } mx{ } pltí ( ( Jestliže potom tj jestliže potom tj Pltí tedy ( (3 Protože řd overguje je tedy splě utá podmí overgece pltí lim lim Podle ( ( je odtud podle věty o sevřeí máme (3 (4 Kdyby overgovl řd ( protože řd musel by overgovt i řd ( eboť overguje Potom ovšem musí overgovt i To je spor protože diverguje Obdobě se doáže že dyby overgovl řd overgovt i řd tedy opět by musel overgovt řd musel by což vede e sporu Obě řdy v (4 jsou tedy divergetí mjí ezáporé čley tudíž poslouposti jejích částečých součtů jsou elesjící utě tedy divergují eoeču [ 6 ]

27 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy (5 Budeme ostruovt přerováí řdy t by jejím součtem bylo libovolé číslo Nechť ejprve Z poslouposti vyšrtáme všechy ulové čley poecháme je ty teré odpovídjí ulovým čleům poslouposti Z poslouposti vyšrtáme všechy ulové čley Tím docílíme toho že poslouposti obshují je čley poslouposti Uveďme příld tové úprvy posloupostí: Porčujme ostrucí hledého přerováí Nejprve sečtěme čleů poslouposti s idexy t by Toho lze vždy dosáhout protože řd diverguje + Dále odečtěme čleů poslouposti s idexy t by ( ( ( ( (i Toho lze vždy dosáhout protože řd ( diverguje Z idex vezměme ejmeší idex pro terý je splě levá ostrá erovost ve výrze (i Tím je utomticy splě i prvá eostrá erovost Dále postupujme logicy jo v předchozím rou přičtěme 3 čleů poslouposti s idexy t by ( ( 3 ( ( 3 Toho lze vždy dosáhout protože řd diverguje + td Dále budeme odečítt dlší čley poslouposti s idexy doud součet vzijící přerové řdy edospěje pod hodotu Tto můžeme porčovt bez omezeí Dostáváme postupě přerovou řdu ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 4 Sledujme hodoty poslouposti částečých součtů s vzijící přerové řdy Podle způsobu ostruce pltí: s s s s s s s obecě pro s s s 4 (ii [ 7 ]

28 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy s s s (iii 3 Z erovostí (ii (iii dostáváme s 4 s 3 z těchto erovostí vyplývá s (iv 4 s (v 3 Jeliož je rostoucí posloupost podle (3 lim lim mjí ulovou limitu i vybré poslouposti 4 3 tedy podle (iv (v vybrá posloupost s má z limitu číslo tedy lim s (vi Užme dále že tuto limitu má i posloupost s Ze způsobu ostruce přerové řdy vyplývá že posloupost s je elesjící možiách idexů { } { 3} { } eboť těchto možiách se přičítjí ezáporé hodoty posloupost je lesjící možiách idexů { } { 3 3 4} { } eboť těchto možiách se přičítjí záporé hodoty poslouposti Posloupost s je tedy mootóí možiách idexů I { } pro Nechť yí je libovolé protože pltí (vi existuje tové že s Položme Nechť Protože 3 I { } existuje itervl I tový že I { } Protože s je I mootóí leží hodot s mezi hodotmi plye s s s proto s s s s s s s s s s Odtud s s s s s Pltí tedy lim s s Řdu lze přerovt i t že jejím součtem bude + (resp Postupujeme podobě příld t by [ 8 ]

29 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 3 4 ( ( ( ( ( ( td [ 9 ]

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost 7 Vzoce po geometicou poloupot Předpoldy: 0, 0 Př : Po geometicou poloupot pltí ; q Uči čle, iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup je ložitější

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

( x) ( lim ( ) ( ) 0

( x) ( lim ( ) ( ) 0 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Poslouposti a řady ucí Bodová overgece poslouposti ucí Deiice (odová overgece) Nechť je posloupost ucí : S, S Říáme, že posloupost ucí overguje uci a odově a

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

f k nazýváme funkční řadou v M.

f k nazýváme funkční řadou v M. 6. Funční řdy posloupnosti. Bodová stejnoměrná onvergence. Nechť pro N jsou f omplení či reálné funce omplení či reálné proměnné, teré mjí společný definiční obor M. Posloupnost {f ; N} nzýváme funční

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí:

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -. - SPOJITOST A LIMITY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY Níže procvičujeme pouze výpočet it, o spojitosti se ezmiňujeme. To proto, že vyšetřeí spojitosti

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě. Přednášky jsou každý pátek, cvičení tedy vždy předcházejí přednášky.

P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě. Přednášky jsou každý pátek, cvičení tedy vždy předcházejí přednášky. ýde ozám: Odpředášeá ém obrvuji žluě ředášy jsou ždý páe, cvičeí edy vždy předcházejí předášy ) ojmy: Difereciálí rovice, obyčejá dif rovice, řád rovice, řešeí rovice ( eprázdé možiě, iervlu), iegrálí

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Kombinatorika a grafy I

Kombinatorika a grafy I Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Kombiatoria a grafy I láta z II semestru iformatiy MFF UK podle předáše Odřeje

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

4. Spline, Bézier, Coons

4. Spline, Bézier, Coons 4. Sple Bézer Coos 4. SPLINE Cíl Po prostudováí této ptol budete umět popst defovt fuce teré jsou záldem pro tvorbu řve defovt zdávt dt pro progrm vreslováí grfů těchto fucí řešt příld z prxe řv Výld 4..

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

2. Matice a determinanty

2. Matice a determinanty Mtce deterty Defce : Odélíové sche (řádů) (sloupců) čísel zvee tce typu : [ ] M Je-l luvíe o čtvercové tc Prvy ( ) tvoří hlví dgoálu Zčíe ovyle : [ ] O - všechy prvy ulové - ulová tce I - edotová tce (

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

8.2.2 Vzorce pro aritmetickou posloupnost Předpoklady: Př. 1: Př. 2: Př. 3:

8.2.2 Vzorce pro aritmetickou posloupnost Předpoklady: Př. 1: Př. 2: Př. 3: 8 Vzoce po itmeticou poloupot Předpoldy: 80 Př : Po itmeticou poloupot pltí 5 ; d Uči čle iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup zzuje zdáí příldu

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitálí učebí mateiál Číslo pojetu CZ07/500/34080 Název pojetu Zvalitěí výuy postředictvím ICT Číslo a ázev šabloy líčové ativity III/ Iovace a zvalitěí výuy postředictvím ICT Příjemce podpoy Gymázium

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 5. ročík Mtemtické olympiády Úlohy domácího kol ktegorie. Je-li S obsh trojúhelíku o strách, b, c T obsh trojúhelíku o strách +b, b + c, c +, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy ste rovost. Řešeí. Vyjádřeí

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Od unimodálních posloupností k narozeninovému paradoxu

Od unimodálních posloupností k narozeninovému paradoxu Od uimodálích posloupostí arozeiovému paradoxu Atoí Slaví, Praha Abstrat. Koečá posloupost reálých čísel se azývá uimodálí, poud ji lze rozdělit a elesající a erostoucí úse. V textu se zaměříme především

Více