Inerciální a neinerciální soustavy

Transkript

1 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Inerciální soustav Inerciální a neinerciální soustav Veškeré pohb hmotných bodů, soustav hmotných bodů i tuhých těles jsme dosud popisovali a koumali hlediska nějaké inerciální soustav. Vraťme se teď trochu na ačátek a pojďme se podrobněji podívat, jak to s těmi inerciálními soustavami je da jich je víc 1, jestli je některá nich nejlepší a jak mei nimi popis pohbu přepočítávat. Podobně se podíváme na neinerciální soustav. Při jejich popisu bude výhodné rolišit případ, kd vůči inerciálním sstémům nerotují (příkladem může být sstém spojený s autem, která se rojíždí na rovné silnici) a na t, které rotují (například kolotoč). Ještě ponámka k použitému návosloví. Pod termínem soustava de budeme mslet jak vtažnou soustavu, tak soustavu souřadnic. 3 Jako snonmum k termínu soustava se často používá náev sstém, takže můžeme mluvit i o inerciálních a neinerciálních sstémech. A ještě jednu ponámku k onačení. Soustav budeme většinou onačovat smbol S a S. 4 Souřadnice příslušné soustavě S budeme onačovat smbol,,, souřadnice příslušné soustavě S pak samořejmě smbol,,, podobně tomu bude pro složk rchlosti. Velmi často ale budeme pro náornost mluvit třeba o soustavě kolejí a soustavě vlaku, o rchlosti vůči kolejím, rchlosti vůči vlaku apod Inerciální soustav V kapitole jsme inerciální soustavu definovali pomocí volných hmotných bodů: Vtažná soustava je inerciální, jestliže se vůči ní volné hmotné bod pohbují rovnoměrně přímočaře. První Newtonův ákon konstatuje, že inerciální soustava eistuje. Ted, že eistuje alespoň jedna. V obráku jsme takovou soustavu onačili S 0. Je jen jedna, nebo jich je víc? (V obráku jsou takové další inerciální soustav onačen S 1, S a S 3.) Odpověď ní ano dokonce je takových soustav nekonečně mnoho. (Zkuste si romslet, proč je tomu tak, dřív než otočíte na další stránku.) 1 Samořejmě ano, dokonce nekonečně mnoho. Ted, budeme se ptát, da eistuje nějaké privilegovaná inerciální soustava. 33 Většinou budeme pracovat se souřadnicemi, takže tpick budeme mít na msli soustavu souřadnic spjatou s nějakou vtažnou soustavou třeba právě s rojíždějícím se autem nebo otáčejícím se kolotočem. 4 A samořejmě S a tak dále, pokud budeme potřebovat rolišovat víc soustav než dvě. 5 Rohodně je vhodné takto soustav nějak náorně konkretiovat, kdž o nich mluvíme třeba při populariaci fik nebo při výuce pro středoškolák. Alespoň pro běžnou populaci středoškoláků. Budoucí vědci určitě vládnou a možná i preferují vjádření tpu rchlost hmotného bodu A vůči soustavě S je dána vektorem, jehož složk jsou, ovšem běžný smrtelník si asi lépe představí situaci popsanou vjádřením v jedoucím i vlaku jde průvodčí směrem dopředu rchlostí u (případně rchlostí 1,5 m/s ). Mei konkrétnějším a abstraktnějším popisem bchom měli umět plnule přecháet. (Ted, měli bchom se učit mei nimi přecháet.) 1

2 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Inerciální soustav Platí totiž, že každá soustava, která se pohbuje vůči inerciální soustavě rovnoměrně přímočaře, je také inerciální. Jak to dokáat? Nechť S 0 je inerciální soustava a soustava S 1 se vůči ní pohbuje rovnoměrně přímočaře. 6 Uvažujme libovolný volný hmotný bod. Ten se vůči S 0 pohbuje rovnoměrně přímočaře (právě proto, že S 0 je inerciální). 7 Jak se tento bod pohbuje vůči soustavě S 1? Složením dvou rovnoměrných přímočarých pohbů vniká ase pohb rovnoměrný přímočarý. 8 To namená, že volný hmotný bod se i vůči soustavě S 1 pohbuje rovnoměrně přímočaře! Uvedená úvaha platí pro všechn hmotné bod 9 podle definice je ted soustava S 1 inerciální. Dvě důležité oták Inerciálních soustav je ted nekonečně mnoho. S tím souvisejí dvě jednoduché, ale pro další úvah a koumání velice důležité oták: 1) Který inerciální sstém vbrat jako ákladní nebo nejlepší pro popis fikálních dějů? ) Známe-li popis nějakého děje v jedné inerciální soustavě, jak tento děj popíšeme v jiné inerciální soustavě? Zde budeme tto oták diskutovat hlediska klasické mechanik, omeíme se proto na popis mechanických dějů. 10 První otáka nás přivede k tv. klasickému principu relativit, druhá ke Galileiho transformaci. Klasický princip relativit Který inerciální sstém vbrat pro popis fikálních dějů například pro popis pohbu auta, kvů kvadla, nebo toho, jak kolem sebe obíhají složk dvojhvěd? Samořejmě, často volíme sstém, který je pro popis nejpohodlnější praktického hlediska. 11 Ale je nějaký inerciální sstém privilegovaný, ted nejlepší a ákladní pro popis všech pohbů? Podle Newtona takovýto ákladní sstém eistuje. Použil pro něj náev absolutní prostor. Ve svých slavných Principiích 1 jej charakteriuje takto: 6 Příklad: S je soustava spojená s rovnými kolejemi a 0 S je soustava spojená s vlakem, který po těch kolejích 1 jede stálou rchlostí. 7 V našem příkladu s kolejemi a vlakem může být tímto bodem třeba havran, který plachtí nad krajinou rovnoměrně přímočaře. (Havran sice není úplně volný hmotný bod, ale řekněme, že síl na něj působící se vrovnají, pak se opravdu pohbuje rovnoměrně přímočaře.) 8 Ted havran se i vůči vlaku pohbuje rovnoměrně přímočaře. Musí tomu tak být kde b se v tomto případě valo nějaké rchlení havrana vůči vlaku? 9 Všichni skuteční nebo mšlení havrani, kteří se pohbují rovnoměrně přímočaře vůči krajině, se pohbují rovnoměrně přímočaře vůči vlaku. 10 V další kapitole uvidíme, že tto oták jsou velice podstatné i ve speciální teorii relativit. 11 Pohb auta popisujeme vhledem k silnici; pro popis kvadla vbereme soustavu, jejíž počátek je v bodě ávěsu. Pohb složek dvojhvěd je nejjednodušší v těžišťové soustavě, ted v sstému, v němž je v klidu hmotný střed dvojhvěd. 1 Philosophia Naturalid Principia Mathematica, všl v roce 1687.

3 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Inerciální soustav Absolutní prostor, ve své podstatě a be vtahu k čemukoli vnějšímu, ůstává stále stejný a nehbný. 13 Trochu metaforick bchom mohli říci, že absolutní prostor je aréna nebo jeviště, na němž se ve vesmíru odehrává všechno, co se děje. 14 V moderní terminologii bchom místo o absolutním prostoru mohli mluvit o absolutním inerciálním sstému. To b bl ten nejsprávnější, ákladní a privilegovaný sstém, vůči němuž bchom měli vše popisovat. A v něm (ted pomocí jeho souřadnic) bchom také měli apisovat a formulovat fikální ákon. 15 Eistuje takový privilegovaný inerciální sstém? A jestliže ano, jak ho najít? Podstatné je, že při hledání takového výnačného inerciálního sstému se nedíváme ven, ted na to, jak se pohbují třeba vdálené hvěd nebo vdálené galaie. Privilegovanost absolutního inerciálního sstému nebo naopak pohb vůči tomuto sstému bchom měli ponat v pokusech, které děláme i v uavřené laboratoři. 16 Ovšem již před Newtonem Galileo Galilei ve svých Dialoích 17 obhajoval tvrení, že rovnoměrný přímočarý pohb sstému, v němž děláme pokus, jistit nele. Diskutoval o tom, jak b dopadal pokus konané v podpalubí velké lodi, která b buď stála v přístavu, nebo plula rovnoměrně přímočaře. Pokus, které uvádí, samořejmě odpovídají době vniku dané knih a také tomu, že bla určena širší čtenářské obci: voda kape láhve do nádrže po ní, háíte si s někým míčkem, poorujete, jak motýli, které jste s sebou vali, létají do všech směrů a tak dále Absolute space, in its own nature, without regard to anthing eternal, remains alwas similar and immovable. 14 Popravdě řečeno, nějaká takováto představa je nám asi docela blíká. Kdž přemýšlíme o vesmíru, je přiroené náorně si představit, že je de nějaký prostor, ve kterém se všechno děje. A tenhle prostor si intuitivně představovat jako nehbný, be většího hloubání vůči čemu b měl být vlastně nehbný. (Autor těchto řádků přinává, že navdor všemu vdělání takovouto naivní představu má v sobě někde hluboko také. Zřejmě jde o tv. prekoncepci, která vniká už v dětství při senamování se se světem, kd ponáváme, že emě a krajina tvoří nehbný rámec, vůči němuž se věci pohbují. Kdž se pak dovíme, že Země i sluneční soustava se pohbují, prostě si v msli ten nehbný rámec obecníme a většíme.) 15 Pro upřesnění dodejme, že nám de jde o sstém ve smslu vtažné soustav, nikoli o to, do kterého bodu umístíme počátek soustav souřadnic a kam natočíme její os. 16 Připomeňme, že neinerciální sstém dokážeme od inerciálních rolišit i pokus v uavřené laboratoři. Například to, že vlak ačne brdit, ponáme i v uavřeném kupé, něhož se nedíváme ven. Je-li brdění intenivní, nepotřebujeme k tomu ani citlivé pokus: láhve s minerálkou a kelímk s kávou se ačnou kácet. Zrchlený pohb sstému ted ponáme. Chceme-li hledat privilegovaný inerciální sstém ted rolišovat pomocí pokusů mei inerciálními sstém měli bchom umět podobně ponat i rovnoměrný pohb. Ted například pokusů v uavřeném kupé ponat, da vlak stojí nebo jede, a jakou jede rchlostí. 17 Dialog o dvou hlavních světových sstémech, ptolemaiovském a koperníkovském; všl Chcete-li si danou pasáž přečíst celou (v anglickém překladu), vgooglete si ačátek tetu: Shut ourself up with some friend in the main cabin below decks on some large ship 3

4 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Inerciální soustav Galileo popisuje, jak dané pokus dopadnou, kdž je loď v klidu (a faktick se přitom nepřímo odvolává na kušenost čtenářů běžného života) a pak konstatuje, že budou dopadat naprosto stejně, kdž loď popluje. 19 Dnes bchom se asi spíš odvolali na kušenost jíd vlakem po rovné trati stálou rchlostí. Kdž budeme ve vlaku například vhaovat do výšk míček a ase ho chtat, děláme to naprosto stejně, kdž vlak stojí i kdž jede. Kdž si v chodbičce poskočíte, vlak pod vámi nepodjede a nedopadnete o několik kupé dál. 0 Pokud budete dělat jakékoli pokus třeba s kvadl, ávažíčk na pružinkách či s dalšími mechanickými objekt 1, dopadnou stejně ve stojícím vlaku i ve vlaku, který jede rovnoměrně přímočaře. Tto a podobné pokus ukaují, že vájemný rovnoměrný přímočarý pohb inerciálních soustav nele mechanickými pokus jistit. 3 Toto obecnění výsledků eperimentů je námo pod návem klasický princip relativit. Můžeme jej formulovat růně, například shrnutím toho, co jsme již uvedli: Mechanickými pokus od sebe nele odlišit růné inerciální soustav. Stejné tvrení můžeme rovést poněkud podrobněji: Stejně připravené mechanické pokus dají ve všech inerciálních soustavách stejné výsledk. 4 Obecně ted můžeme konstatovat, že: Z hlediska mechanických pokusů jsou všechn inerciální sstém rovnoprávné. 5 Všechn tto formulace spolu úce souvisejí, jde jen o růné vjádření téhož. 19 Zde samořejmě ignorujeme vln a případné kolébání lodi, plavbu si představujeme naprosto hladkou, opravdu jako pohb rovnoměrný přímočarý. Galileovi šlo o to, přesvědčit čtenáře, že Země se může pohbovat, aniž bchom to na jejím povrchu poorovali nebo aniž b nám tento pohb nějak vadil v běžném životě. Konkrétně například, kdž si poskočíme, tak pod námi Země neuteče o kus stranou. (Podle starověkých a středověkých představ b pohbující se Země opravdu o kus utekla ; že se to neděje, bl jeden argumentů proti pohbu Země.) 0 Schválně si spočtěte, kolik vlak ujede, než vskočíte do výšk 0 centimetrů a ase dopadnete. Rchlost vlaku veměte třeba 30 m/s, to není ani 110 km/h. 1 Kdb přišel průvodčí, tak mu vsvětlete, že studujete fiku, třeba se obměkčí a neavolá na vás drážní policii nebo říence ústavu, kde b na uavřeném oddělení koumali váš duševní stav. Ve všech případech, kd se odvoláváme na pokus prováděné na Zemi, anedbáváme malé efekt spojené s tím, že Země není přesně inerciální sstém. (Při velmi přesných měřeních je pak samořejmě nutno vít v úvahu například efekt spojené s rotací Země. Podrobněji je budeme diskutovat v dalších částech této kapitol.) 3 Opět důraněme: Míní se de pokus prováděné v rámci dané soustav, ted v laboratoři spojené s touto soustavou. To namená, že nekoukáme ven, jedné soustav na druhou. Jinak samořejmě, díváme-li se nádraží na jedoucí vlak, tak jeho rchlost jistíme a naměříme. Ale pokus, které děláme jen na nádraží a jen v rovnoměrně přímočaře jedoucím vlaku, neukážou žádný rodíl. 4 Tím se mslí, že určitý stejně připravený pokus dá stejný výsledek. (Růné pokus dají pochopitelně růné výsledk.) Pro puntičkáře bchom ted mohli danou formulaci klasického principu relativit ještě upřesnit na tvar: Libovolný stejně připravený mechanický pokus dá ve všech inerciálních soustavách stejný výsledek. 5 čemuž je ekvivalentní formulace: Z hlediska mechanických pokusů není žádný inerciální sstém privilegován. 4

5 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Inerciální soustav Výsledk pokusů jsou ovšem dán fikálními ákon, v našem případě ákon klasické mechanik. Proto le klasický princip relativit formulovat i s důraem na fikální ákon: Zákon klasické mechanik mají ve všech inerciálních sstémech stejný tvar. 6 Podobně jako výše u formulací týkajících se pokusů můžeme také říci, že Z hlediska ákonů klasické mechanik jsou všechn inerciální sstém rovnoprávné. 7 První sada tvrení kladla důra na pokus, druhá na fikální ákon. Společně bchom klasický princip relativit mohli shrnout do formulace: Všechn inerciální sstém jsou hlediska klasické mechanik rovnoprávné. 8 Volně a trochu metaforick bchom mohli říci, že jde o docela demokratický princip ; žádný inerciální sstém není nadřaen, není privilegován. To mimo jiné namená, že alespoň pomocí mechanických pokusů nele najít žádný absolutní prostor, žádný absolutní inerciální sstém. Vpadá to, že absolutní prostor je pouhá fikce, alespoň pokud se týče klasické mechanik. 9 Galileiho transformace Přejděme teď ke druhé otáek, které jsme uvedli na ačátku kapitol: Známe popis pohbu nějakého hmotného bodu 30 vůči inerciální soustavě S a chceme nát popis tohoto pohbu v nějaké jiné inerciální soustavě S. 31 Řešit tento problém pro cela obecnou vájemnou orientaci a rchlost inerciálních sstémů b pro nás v tuto chvíli blo btečně složité. Omeíme se proto na případ, kd os obou sstémů budou vájemně rovnoběžné a rchlost vájemného pohbu soustav bude mít směr os. A přidáme ještě 6 Kdb bl ákon mechanik v růných inerciálních soustavách růné, vedl b k růným výsledkům stejně připravených pokusů. Samořejmě, poorný (nebo šťouravý ) čtenář b mohl namítnout, že formálně b fikální ákon mohl mít stejný tvar, aniž b to ovlivnilo výsledek pokusů. Třeba kdbchom se dohodli, že hmotnost budeme načit n, rchlení b a sílu G, měl b druhý Newtonův ákon tvar nb = G, aniž b to cokoli ovlivnilo. Jako stejný tvar ákonů mechanik ted mslíme stejný nebo ekvivalentní tvar, i kdž to pro stručnost takto nedůraňujeme. 7 Nebo ekvivalentně: Z hlediska ákonů klasické mechanik není žádný inerciální sstém privilegován. 8 Nebo samořejmě do ekvivalentní formulace: Žádný inerciální sstém není hlediska klasické mechanik privilegován. 9 Tomu, da le najít absolutní prostor resp. jistit pohb vůči němu, se budeme věnovat v následující kapitole, kde stručně dotkneme speciální teorie relativit. 30 Nebo soustav hmotných bodů, tuhého tělesa apod. 31 Náorně: Víme, jak se pohbuje výpravčí vůči nádraží, a chceme vědět, jak se pohbuje vhledem k projíždějícímu vlaku ted jak bchom popsali jeho pohb, kdbchom seděli v daném vlaku a měřili poloh výpravčího v růných časech. Zdá-li se vám pohb výpravčího málo akční, můžete si představit třeba bandit na koních útočící na vlak na divokém ápadě. Případně, ab to blo mírumilovnější, může po nástupišti pobíhat výpravčího pes Aor. (Aor je pro náornost docela dobrá pomůcka ) 5

6 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Inerciální soustav jedno omeení: Budeme předpokládat, že v čase t = 0 počátk obou sstémů splýval. Situaci ukauje obráek: Pro přehlednost de kreslíme os a navájem trochu posunuté, i kdž ve skutečnosti splývají. Rovněž důvodu přehlednosti též na dalších obrácích už většinou nebudeme kreslit os a, ted budeme obrák kreslit poue dvouroměrné. 3 Zakreslíme-li do obráku polohu nějakého hmotného bodu 33, vidíme, že -ové souřadnice tohoto bodu jsou v obou soustavách stejné, =. Podobně tomu bude pro -ovou souřadnici: =. Pro -ové souřadnice obráku také jasně plne, že platí = v t. 34 Můžeme ted už napsat vtah pro přepočet (neboli transformaci) souřadnic e soustav S do S : = v t = = (6.1) Tuto transformaci naýváme Galileiho transformace. V našem případě (při dané vájemné orientaci os souřadnic a směru rchlosti) je to konkrétně takvaná speciální Galileiho transformace. 35 Můžeme ji apsat i ve vektorové formě jako r = r v t. (6.) Dodejme ještě jeden vtah, který se obvkle eplicite nepíše, ale v klasické mechanice se jaksi samořejmě předpokládá: t = t. (6.3) 3 Os a (a také os a ) jsou obě kolmé na osu a ted na směr vájemné rchlosti. To namená, že cokoli co odvodíme pro souřadnice a, bude platit také pro souřadnice a. 33 V našich náorných příkladech s nádražím a vlakem může jít třeba o čepici výpravčího. V našem příkladu je S soustava nádraží a S soustava vlaku. Polohu čepice můžeme určit jak vůči nádraží, tak vůči vlaku. 34 v t je vdálenost, kterou a dobu t (ted od času t = 0 do času t ) urail počátek soustav S vůči soustavě S. (Připomeňme, že v čase t = 0 počátk obou soustav splýval.) 35 Slovo speciální de namená, že jde o speciální vájemnou polohu os souřadnic apod., jak jsme ji popsali výše. (Os obou soustav jsou rovnoběžné, v čase t = 0 počátk splýval, rchlost má směr os.) Rohodně de termín speciální nemá žádnou souvislost se speciální teorií relativit! 6

7 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Inerciální soustav To namená, že v obou inerciálních soustavách je stejný čas, jinými slov že pro všechn inerciální soustav máme jeden společný čas. Vtah speciální Galileiho transformace jsou velice jednoduché, takže kdž ještě dodáme, že transformace pět e soustav S do S 36 : = + v t = =, (6.4) se naývá inverní Galileiho transformace, ačne mít i sebelaskavější čtenář pocit, že de děláme komára velblouda, ted triviální věci halíme do spoust slov. Ovšem uvidíme, že a chvíli dostaneme ajímavé výsledk; i jednoduché vtah speciální Galileiho transformace v sobě mají vše fikálně podstatné, co budeme potřebovat. Transformace rchlostí Jestliže vtah (6.1) derivujeme podle času 37, dostaneme: d d = v dt dt u d d = dt dt u Zde jsme již onačili časovou derivaci d dt smbolem u. Jde o -ovou složku rchlosti vůči soustavě S. Podobně d je -ovou složkou rchlosti vůči soustavě S, načíme ji proto u. 38 Analogick je tomu dt pro -ové složk rchlosti. Vtah (6.5) tad můžeme přepsat na u u (6.5) u = u v u = u u = u (6.6) Toto je vtah pro transformaci rchlosti (při Galileiho transformaci). Vektorově jej le napsat jako u = u v. (6.7) 36 V našem náorném příkladu ted e soustav vlaku do soustav nádraží. 37 d d Tj. provedeme = v t, = a totéž pro souřadnice (pro ně vjde analogický vtah dt dt jako pro, takže příslušnou derivaci již nebudeme eplicite vpisovat). Při derivování vužíváme toho, že v = konst. 38 Romslete si sami pořádně, co která derivace namená a že onačení, které tu avádíme, je přiroené a logické. Klidně si pomote příkladem průvodčího, který jde ve vlaku směrem dopředu, a uvědomte si, co je jeho rchlost vhledem k vlaku a vhledem k nádraží. (Tenhle náorný příklad se dá použít, kdž budete někomu tuto problematiku vsvětlovat.) 7

8 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Inerciální soustav Inverní transformace k (6.6) 39 je přiroeně a ve vektorovém ápisu: u u u = u + v = u = u (6.8) u = u +v (6.9) Opět nejde o nic překvapujícího, je to normální skládání rchlostí. Transformace rchlení Vtah pro transformaci rchlení dostaneme, kdž (6.6) derivujeme podle času: 4 Vidíme, že ted, že du du du du = 0, =, dt dt dt dt a a a a a = a a = a a = a, (6.10). (6.11) a = a To namená, že rchlení daného hmotného bodu je vůči všem inerciálním soustavám stejné. Druhý Newtonův ákon v růných inerciálních soustavách Základním ákonem, který určuje pohb hmotného bodu, je v klasické mechanice druhý Newtonův ákon. Jestliže v inerciální soustavě S má námý tvar ma = F, jaký tvar má v jiné inerciální soustavě S? Hmotnost v klasické mechanice konstanta charakteriující daný hmotný bod. Neávisí ted na volbě vtažné soustav, v S je ted stejná jako v S : m = m. Jak je tomu se silou? Pravé síl v klasické mechanice ávisejí na vdálenosti bodů ale ta se při Galileiho transformaci nemění. 43 To namená, že i síla je v obou soustavách stejná: F = F 39 V našem příkladu je to transformace, která přepočítává rchlosti vůči vlaku na rchlosti vůči nádraží. 40 V našem příkladu: Jde-li průvodčí ve vlaku ve směru jíd rchlostí u = 5 km/h a vlak se vůči nádraží pohbuje rchlostí v = 70 km/h, pak rchlost průvodčího vůči nádraží je u = 75 km/h. 41 V Dodatku 6.A na příkladu uvidíme, že i takto jednoduchý vtah se dá dobře vužít. 4 Opět přitom vužíváme toho, že v = konst. 43 Z (6.) dostáváme r 1 r = ( r 1 v t) ( r v t) = r 1 r, takže r r = r r. Poorný čtenář může 1 1 oprávněně namítnout, že směr sil ávisí i na vájemné poloe bodů. Pro centrální síl (a právě takové síl v klasické mechanice uvažujeme) má ovšem síla F směr 1 ( r 1 r) ; výše uvedeného odvoení je ale vidět, že směr síl F 1 v soustavě S je stejný. 8

9 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Inerciální soustav Pokud obě tato jištění kombinuje s (6.11), dostáváme výsledek ma = F m a = F. 44 (6.1) Protože S a S bl libovolné inerciální soustav, namená tento výsledek, že 45 druhý Newtonův ákon má ve všech inerciálních soustavách stejný tvar. Ve všech inerciálních soustavách samořejmě platí také první Newtonův ákon 46 a také třetí Newtonův ákon 47. A protože Newtonov ákon jsou ákladem, něhož jsou v klasické mechanice odvoován všechn ákon další, můžeme konstatovat, že platí: Zákon klasické mechanik mají ve všech inerciálních sstémech stejný tvar. Ale tohle tvrení už náme, je to jedna formulací klasického principu relativit! 48 Výše uvedená odvoení a úvah nám umožňují vjádřit klasický princip relativit ještě v jedné alternativní formulaci. Veličin v ákonech klasické mechanik jsme e soustav S do S transformovali pomocí Galileiho transformace. 49 Můžeme ted říci, že při odvoování (6.1) jsme druhý Newtonův ákon vlastně také transformovali pomocí Galileiho transformace. A on se neměnil! Podobně je tomu s ostatními ákon klasické mechanik: Jinak řečeno: Zákon klasické mechanik se nemění při Galileiho transformaci. Zákon klasické mechanik jsou invariantní vůči Galileiho transformaci Je to řejmé, oba vtah jsou vlastně identické. 45 Ponámka pro poorné čtenáře: M jsme tu dané tvrení odvodili pro inerciální soustav spojené speciální Galileiho transformací. Vektorový vtah (6.) ovšem platí, i kdž vájemná rchlost soustav není rovnoběžná s osou (a os soustav mohou být i vájemně natočené). Výsledek (6.1) proto platí obecně. 46 Volné hmotné bod se pohbují rovnoměrně přímočaře vůči všem inerciálním sstémům. 47 Vždť, jak jsme výše ukáali, síla je ve všech inerciálních sstémech stejná. Je ted ve všech inerciálních sstémech stejná síla akce i síla reakce kdž se rovnají v jednom sstému, musejí se rovnat ve všech. 48 Můžeme ted říci, že jsme potvrdili, že klasická mechanika je udělána tak, že opravdu splňuje klasický princip relativit. 49 A transformace rchlosti a rchlení, ale to jsou důsledk Galileiho transformace, takže k ní patří. 50 Toto tvrení říká přesně totéž, co předchoí, jen je vsloveno formálnějším jakem. Invariant je něco, co se při určité transformaci nemění, má stejnou hodnotu. To, že jsou ákon vůči Galileiho transformaci invariantní, ted namená, že při ní nemění svůj tvar. 9

10 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Neinerciální soustav rchlený přímočarý pohb 6. Neinerciální soustav rchlený přímočarý pohb Podívejme se teď na případ, kd se soustava S pohbuje vůči inerciální soustavě S rchleně, ale přitom vůči ní nerotuje. 51 Os obou soustav necháme orientován stejně, jako tomu blo v předchoí podkapitole: Os a jsou rovnoběžné (resp. splývají), soustava S se vůči S pohbuje ve směru os, jak to ukauje obráek. Pohb je ovšem obecně nerovnoměrný, proto vdálenost počátků obou soustav platí = ( t). Transformace S do S je ted 5 53 onačíme jako ( t). Opět nám půjde o to, jak se transformují souřadnice jedné soustav do druhé. Z obráku vidíme, že = ; stejně tomu bude pro -ovou souřadnici. Pro -ové souřadnice ( ) = t = = (6.13) Derivací těchto vtahů podle času dostaneme transformaci složek rchlosti. Zde ( t) onačili d d d d d =, =, dt dt dt dt dt u u v u u (6.14) d v = je rchlost soustav S vůči S. Složk rchlosti bodu vůči soustavám jsme opět dt u, u atd. jako výše. Transformace rchlostí je ted ( ) u = u v t u = u u = u (6.15) a ve vektorovém ápisu: u = u v ( t). (6.16) Vtah (6.15) a (6.16) vpadají stejně jako v případě Galileiho transformace, ovšem s tím rodílem, že vájemná rchlost pohbu soustav obecně není konstantní. To se projeví při výpočtu rchlení. 51 Podobně jako v náorných příkladech výše může jít o případ vlaku rojíždějícího se po rovných kolejích nebo autobusu na rovné silnici, který rchluje nebo brdí. (Soustavu spojenou s kolejemi resp. silnicí přitom považujeme a inerciální.) 5 Poor: uvědomili jste si při pohledu na obráek, že formulace vdálenost počátků obou soustav je vlastně může být ( t ) < 0. (Načrtněte si, jak b v tomto případě nepřesná? Vdálenost je vžd neáporná, atímco ( t) vpadala vájemná poloha obou soustav.) Jak ted přesněji říci, co je ( t)? 53 Může být například ( ) t = at. 1 (Je to -ová souřadnice počátku soustav S.) 10

11 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Neinerciální soustav rchlený přímočarý pohb Pro výpočet složek rchlení derivujeme (6.15) podle času: Zde ( t) onačili du du dv du du =, =, dt dt dt dt dt a a a a a dv a = je rchlení soustav S vůči S. Složk rchlosti bodu vůči soustavám jsme opět dt u, u atd. jako výše. Transformace rchlení je ted ve vektorovém ápisu: a = a a a = a a = a, (6.17) a = a a. (6.18) = + v a Jednoduše můžeme apsat také inverní transformace. Z (6.16) dostáváme okamžitě u u ( t) (6.18) pro rchlení: a = a a. (6.19) Ponamenejme, že rchlost v bývá někd naývána unášivá rchlost a rchlení a unášivé rchlení. 54 A co druhý Newtonův ákon? V inerciální soustavě S má druhý Newtonův ákon samořejmě tvar ma = F. Jak bude vpadat v neinerciální soustavě S? Hmotnost m je v obou soustavách stejná, rovněž síl mei hmotnými bod jsou v S i S stejné. Dosadíme-li ted do. Newtonova ákona v S, čili do ma = F, vtah (6.19), dostaneme výsledný tvar v S : ma ma = F. (6.0) Aha! Takže ve rchlených soustavách neplatí jednoduchý vtah hmotnost krát rchlení rovná se síla. 57 Ovšem m jsme na. Newtonův ákon v tomto tvaru vklí nešel b nějak achránit? 54 Je to vlastně docela přiroené onačení: Kdž nehbně sedíme ve vlaku, je naše rchlost vůči němu nulová, v = 0 a vlak nás vůči kolejím unáší rchlostí v. Naše rchlení vůči vlaku je nulové, a = 0 (blo b nulové, i kdbchom například konstantní rchlostí procháeli uličkou), a pokud vlak rchluje nebo brdí, unáší nás vůči kolejím se rchlením a. 55 Vi důvod uvedené výše v části Nebudeme ted už proto například u hmotností psát smbol čárk, i pro hmotnost v S budeme používat prostě smbol m., podobně pro sílu, kterou na vbraný hmotná bod působí ostatní bod, budeme v obou soustavách psát jen F. 57 Kdž rchlení bereme v soustavě, v níž pracujeme, ted v neinerciální soustavě S. 11

12 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Neinerciální soustav rchlený přímočarý pohb Zachraňujeme druhý Newtonův ákon ve tvaru hmotnost rchlení = síla Druhý Newtonův ákon bchom ted rádi achránili v jednoduchém tvaru. (6.1) ma = F Formálně ho (6.0) dostaneme lehce, převedením jednoho členu na pravou stranu: ma = F + ma ( ). (6.) Levá strana už má tvar, který chceme. Abchom ale opravdu dostali kýžený tvar (6.1), musíme definovat F jako F = F + ( ma), (6.3) ted považovat člen dánlivá síla nebo také setrvačná síla. ma a novou sílu, která se objevuje jen ve rchlené soustavě. Této síle se říká Druhý Newtonův ákon jsme ted achránili, ale a tu cenu, že blo nutno přidat setrvačnou sílu F = ma, (6.4) S ted sílu, která nemá původ v interakci mei hmotnými bod a v inerciální soustavě se nevsktuje. 58 Příklad: rchlující a brdící voidla Kdž stojíme v autobuse, nedržíme se a autobus se prudce rojede, cukne to s námi doadu. Podobně je tomu, kdž sedíte v autě a řidič vám chce předvést, jaké má to jeho žihadlo rchlý odpich. Cítíme, jak nás něco atlačí doadu do sedadla. Ono něco, je právě setrvačná síla. Situaci hlediska soustav spojené s voidlem ukauje obráek. Setrvačná síla má prostě obrácený směr, než rchlení voidla. Kdbste v autobuse stáli na skateboardu nebo na kolečkových bruslích, rojedete se vůči autobusu doadu. A řeknete, že to blo vlivem setrvačné síl směřující doadu. Ovšem poor! Úplně jinak bude situaci popisovat poorovat, stojící vedle silnice. Uvidí, že v na skateboardu ůstanete v klidu, atímco autobus rchluje vpřed. Jeho podlaha ted pod vámi podjíždí. 59 V případě rchlujícího auta sice nikam neujíždíte a poorovatel stojící vedle silnice uvidí, že rchlujete stejně jako auto. Ovšem abste rchlovali, musí na vás působit nějaká síla 60. Je to síla, 58 Tohle je důležité a ještě to budeme opakovaně důraňovat. 59 Je to podobné, jako u námého kouelnického triku, kd vtrháváte ubrus pod stojící láhve nebo drahé souprav míšeňského porcelánu. (Ponámka na okraj: Jde-li o opravdu cenný porcelán, pořádně si to nacvičte, trhejte hodně rchle a raději si připravte patřičnou finanční reervu. Výkladem, jak celou situaci popsat hlediska inerciálního sstému stolu a hlediska rchleného sstému ubrusu, po případné katastrofě majitele souprav asi neobměkčíte. ) 60 Teď opět popisujeme situaci hlediska inerciálního sstému! 1

13 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Neinerciální soustav rchlený přímočarý pohb kterou vás tlačí eadu opěradlo 61. Podle principu akce a reakce naopak v tlačíte doadu na opěradlo, takže se do něj trochu aboříte. Vidíme, že k popisu situace hlediska inerciálního sstému nepotřebujeme žádnou setrvačnou sílu. Žádná v tomto sstému není! Podobně to bude ve voidle, které brdí. Pokud se v brdícím autobusu nedržíte, padáte dopředu, kdbste stáli na skateboardu, rojedete se vhledem k autobusu dopředu. 6 Situaci ukauje obráek vpravo. Vhledem k autobusu (ted v neinerciální soustavě) na vás působí setrvačná síla směrem dopředu. Z hlediska inerciální soustav (ted hlediska poorovatele stojícího u silnice) ovšem k vsvětlení žádnou setrvačnou sílu nepotřebujeme, v inerciální soustavě žádná taková síla není! Prostě: pohbovali jste se nějakou rchlostí, a dokud vás nic neastaví nebo neabrdí, pokračujete stále stejnou rchlostí v pohbu vpřed. Autobus ale pomaluje, takže ačínáte jet rchleji, než on. Vsvětlení je jiné, výsledek stejný: vůči autobusu se rojedete nebo padáte dopředu. 63 Podobně, jako sebou v autobuse při rojíždění a brdění cukáme m, se chovají i další tělesa. Například kdž držíme těžkou tašku, táhne nám při rojíždění autobusu ruku doadu, při brždění ase dopředu. To určitě e kušenosti dobře náme. Romslete si ale následující otáku: Co kdž budeme v autobuse držet na prováku balónek, který se vnáší (takže táhne prováek nahoru)? Kam se vchýlí balónek, kdž bude autobus rchlovat? A kam, kdž bude brdit? 64 Na ávěr našeho roboru důraněme novu, co už je snad jasné: Setrvačná síla není síla, kterou b na hmotný bod (nebo na nějaké těleso, třeba na nás samotné) působil jiné bod nebo tělesa! Jinými slov: Setrvačná síla není pravá síla. Kdž se autobus rojíždí a s námi to škubne doadu, nepřitahuje nás adní stěna autobusu ani neodpuuje přední. Podobně při brdění autobusu nás neodolatelně nepřitahuje čelní sklo A podtrhněme ještě jednou, co už tu blo řečeno víckrát: V inerciálních sstémech žádné setrvačné síl nejsou! Setrvačné síl se objevují v neinerciálních sstémech jako dodatečné silové člen, kdž trváme na ákonu hmotnost rchlení = síla, přičemž rchlení je vůči dané neinerciální soustavě a síla je pak součtem pravých a setrvačných sil. 61 Samořejmě na vás silou dopředu působí i sedadlo, ale pro jednoduchost de budeme mluvit jen o opěradle. 6 A pokud bste třeba v brdícím vagónu metra stáli čelem ve směru jíd a četli si nějaký nápis na čelní stěně, naraíte na tu stěnu nosem a bude to bolet. V tu chvíli asi pro sílu, která s vámi smýkla dopředu, nebudete prosaovat náev dánlivá síla. Ona s vámi skutečně praští dopředu a nos vás bude reálně bolet! 63 Analogick je to ve míněném vagónu metra, kdž situaci poorujeme nástupiště: setrvačností se pohbujete dopředu, rchleji než metro. Čelní stěnou ale projít nemůžete. Musíte ted pomalit na rchlost metra a to pomalení musí apříčinit nějaká síla. V daném případě je to síla, kterou stěna působí na váš nos 64 Odpověď de schválně neuvádíme, abste nebli v pokušení si ji prostě přečíst. Přemýšlejte, diskutujte s koleg, argumentujte, a vůbec nejlepší je, kdž si to nakonec vkoušíte. 13

14 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Neinerciální soustav rchlený přímočarý pohb Jak vtvořit gravitaci Setrvačné síl se ovšem mohou projevovat stejně reálně jako pravé síl. Uvažujme případ raket či kosmické lodi, která je ve vesmíru daleko od všech ostatních těles. V takové raketě se řejmě bude kosmonaut volně vnášet. Můžeme nějak ařídit, ab pociťoval stejnou tíhu, jako na Zemi? Můžeme, právě pomocí setrvačné síl. Kdž budou motor raket pracovat a budou raketě udílet rchlení a, bude na kosmonauta v raketě působit setrvačná síla proti směru pohbu (ted proti směru rchlení raket) F = ma. S Kosmonaut ted bude moci stát na podlae raket. A pokud bude raketa akcelerovat se rchlením 9,81 m/s, bude cítit stejnou sílu, jakou ho na emském povrchu přitahuje Země: V raketě, která poletí s tímto rchlením, b se ted kosmonaut cítil stejně jako v raketě, která b stála na Zemi jeho hlediska to vpadá, jako b v raketě blo gravitační pole. 65 Zrchlení vtažné soustav ted dokáže gravitaci vtvořit (či alespoň napodobit její působení). Mohlo b ji také rušit? 65 Ponámka pro šťour : Faktick není situace ve rchlující raketě úplně přesně stejná, jako kdž raketa stojí na Zemi. Pokud b totiž kosmonaut v raketě upustil třeba dvě jablka, jedno levé a jedno pravé ruk, pohbovala b se vhledem k raketě přesně rovnoběžně. (Je to jasné, kdž se na situaci podíváme hlediska inerciálního sstému, v němž bl jablka na ačátku v klidu. V klidu také ůstanou, takže jejich vdálenost se nemění; prose vhledem k pohbující se raketě pohbovat rovnoběžně.) Na Zemi ovšem každé jablko padá ke středu Země. (Teď anedbáváme vliv rotace Země, představte si třeba, že stojíme na pólu.) To namená, že při pádu se jejich vdálenost menšuje. Sice málo, ale přece. To namená, že přesným měřením můžeme rohodnout (aniž bchom vhlédli ven!), jestli jsme ve rchlující raketě, nebo v raketě, která stojí na povrchu Země nebo jiné planet. Faktick jsme ted rchlováním raket skutečné gravitační pole nevtvořili, proto on uvoovk v nadpisu. Na tomto místě ovšem už dále naše úvah preciovat nebudeme. (Vedl b nás směrem k obecné teorii relativit a ta je od úvodního kuru klasické mechanik přece jen trochu daleko. I kdž, trochu se jí ještě dotkneme na následující stránce ) 14

15 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Neinerciální soustav rchlený přímočarý pohb Jak rušit gravitaci : betížný stav Ke rušení gravitace resp. jejích účinků ve rchlené soustavě stačí, ab setrvačná síla vkompenovala sílu gravitační. Uvažujme bednu, kosmickou loď nebo utržený výtah padající v blíkosti Země se rchlením g. Setrvačná síla v této rchlené soustavě působící na předmět hmotnosti m bude F = mg. Gravitační síla na něj působící je Fg = mg. Celková síla F je ted nulová, čili (vi (6.)) S ma = F + F = mg+ mg = g S ( ) 0. (6.5) Z hlediska padající (ted neinerciální) soustav je situace jasná: gravitační a setrvačná síla se odečtou, člověk se v padajícím výtahu volně vnáší 66, vi obráek vlevo: Na situaci se ovšem můžeme dívat i hlediska inerciální soustav spojené se Zemí. Tento pohled ukauje obráek vpravo: Výtah i člověk v něm padají se stejným rchlením g, relativní rchlení člověka vůči výtahu je ted nulové. Člověk se tudíž vůči výtahu pohbuje rovnoměrně přímočaře, ted se volně vnáší. Z jednoho i druhého popisu vcháí stejný výsledek: V padajícím výtahu je betížný stav. Samořejmě, pokud b se člověk skutečně ocitl v padajícím výtahu, neměl b dost času (nemluvě o náladě) koumat betížný stav. 67 Více času pro ážitek stavu betíže posktují tv. parabolické let, kd se letoun nějakou dobu pohbuje jen pod vlivem emské tíže. A nejdéle si stav betíže užívají kosmonauti. Družice a kosmické lodi s vpnutými motor jsou totiž vlastně stále ve stavu volného pádu. Pro laika může být předchoí věta těžko pochopitelná: Jestliže družice stále padá, jak to, že nespadne? Jinými slov, pohbuje se vůči němu rovnoměrně přímočaře. 67 Kdb se u výtahu reálně utrhlo lano, pád b velmi rchle abrdil postranní kleštin. 68 Zkuste si na tuto otáku sami odpovědět, než otočíte na další stránku 15

16 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Neinerciální soustav rchlený přímočarý pohb Naštěstí je otáka s pádem-nepádem družice snadno vsvětlitelná. Kdb družice nepadala, ted kdb ji nepřitahovala Země, pohbovala b se rovnoměrně přímočaře. A pokud se v určitém okamžiku pohbovala vodorovně (rovnoběžně s povrchem Země), v dalších okamžicích b se od Země víc a víc vdalovala. Pád k Zemi (ted dostředivé rchlení družice) ajistí, že je nad povrchem Země stále stejně vsoko. 69 Rošiřující ponámka: Tělesa padají se stejný rchlením Opravdu? A proč vlastně? Celá předchoí úvaha, která nás přivedla k betížnému stavu, stojí na faktu, že výtah i člověk v něm (nebo kosmická loď a kosmonaut) padají se stejným rchlením. Proč je tomu tak? Zdánlivě je odpověď jednoduchá. Gravitační síla, kterou Země o hmotnosti M působící na hmotný bod o hmotnosti m, je dána vtahem Newtonova ákona ma pro všechn hmotné bod. Fg = κ mm r. Zrchlení daného bodu je podle druhého = F. 70 Po dosaení se hmotnost m vkrátí a dostaneme a κ M r =, stejné Jenže: Proč je vlastně stejná hmotnost m v Newtonově gravitačním ákoně i v. Newtonově ákoně? Vždť každý popisuje úplně jinou věc: jeden sílu, kterou se hmotné bod přitahují a druhý rchlení, které působící síla (libovolného charakteru) hmotnému bodu udělí. V principu b v obou ákonech mohl být jiné veličin: Ve. Newtonově ákoně setrvačná hmotnost m S a v gravitačním ákoně gravitační hmotnost m G. Takže b blo blo ( κ ) G S ms a = F a F g = κ mm G r. Zrchlení padajícího tělesa b pak a = M r m m. A pokud b pro tělesa růných materiálů bl poměr mg m S růný, padala b s růným rchlením. Takže skutečnost, že všechna tělesa padají se stejným rchlením, není vůbec samořejmá! A je potřeba ji testovat eperimentálně a snažit se ji vsvětlit teoretick. Toho, že růná tělesa padají se stejným rchlením, si všiml už Galileo Galilei, pokus to ověřoval Isaac Newton a pak, s postupně rostoucí přesností, řada dalších fiků. Lorand von Eötvös již před více než sto let dosáhl přesnosti řádu (!), ve druhé polovině minulého století stoupla přesnost eperimentů na Zmíněné pokus jsou důležité jako jedn testů obecné teorie relativit. Ta skutečnost, že tělesa 71 padají stejným rchlením, vsvětluje prostě tak, že (volně řečeno) jde o nejpřiroenější pohb v akřiveném prostoročase. Ale to už jsme opravdu daleko od klasické mechanik 7 69 Pro družice s kruhovou oběžnou drahou. Dopočítejte si de nastíněnou úvahu podrobněji, ať je vám jasné, že vcháí i kvantitativně. 70 Počítáme rchlení vůči inerciálnímu sstému a jde nám o velikost rchlení; směr je jasný. 71 Přesněji: malá tělesa, která můžeme považovat a tv. testovací částice. 7 Takže pokud vám tento poslední odstavec přišel nesroumitelný, klidně to ignorujte. 16

17 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Rotující soustav 6.3 Rotující soustav Důležitým případem neinerciálních soustav jsou soustav rotující 73. Příkladem může být kolotoč v lunaparku ale podobným kolotočem je i naše Země. Pro popis pohbu hmotného bodu v obou soustavách (inerciální a rotující) budeme opět hledat působ, jak přepočítat souřadnice jedné soustav do druhé a poté, jak přepočítat rchlosti a rchlení. Nechť soustava S je inerciální, její os budeme načit, a. Vůči ní se okolo společného počátku otáčí neinerciální soustava S, její os onačíme, a. Úhlová rchlost rotace soustav S je ω. Situaci ilustruje obráek vpravo. 74 Ponamenejme, že v konkrétních příkladech většinou půjde o rotaci kolem pevné os, ale následující odvoení bude platit obecně, i v případech, kd b se směr vektoru ω měnil. Pro další výpočt budeme potřebovat jednotkové vektor mířící do jednotlivých os 75. A to ejména jednotkové vektor ve směru os rotující soustav. Budeme je onačovat e, e, e, vi obráek vlevo. Vektor e, e a e Do směrů os, a budeme rokládat polohový vektor r. 76 Roklad je vlastně stejný, jako jsme ho dělali už v kapitole 1, jen ho teď provádíme v rotující soustavě: r = e + e + e. (6.6), a jsou souřadnice v soustavě S, ted souřadnice na kolotoči. ovšem už nejsou pevné 77, ale rotují spolu se soustavou kolotoče S. Pro náornost si je můžeme představit v konkrétním případě opravdu nakreslené na podlahu kolotoče, jak to ukauje obráek. Protože vektor e, e, e rotují spolu se soustavou S (v našem příkladu spolu s kolotočem), ávisí na čase: e = e t e = e t, a jejich derivace podle času ( ), ( ) (kterou budeme v dalším výpočtu potřebovat) je růná od nul. Určíme ji velmi jednoduše. Protože 73 Tj. rotující vhledem k inerciálním soustavám. 74 Pokud vám tento popis připadá na ačátek trochu moc abstraktní (a on abstraktní opravdu je), představte si prostě S jako soustavu spojenou s lunaparkem a S jako soustavu spojeno s kolotočem. (Třeba s takovým, co jsou na něm koníčci, autíčka a labutě. Ne že bchom chtěli avádět neinerciální sstému do učiva mateřské škol, ale náorná představa leckd pomáhá ) Obě soustav mají společný počátek, ten je na ose kolotoče. 75 Ted vektor báe. 76 Půjde o polohový vektor libovolného bodu, jehož poloha, rchlost a rchlení nás budou ajímat třeba člověka, který bude chodit po kolotoči, kamene hoeného na rotující Zemi apod. 77 Přesněji: nejsou v klidu vůči inerciálnímu sstému. 17

18 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Rotující soustav jde o vektor spojené s tělesem, musí pro ni platit vtah (5.17), který jsme již v předchoí kapitole odvodili pro rchlost hmotného bodu rotujícího tělesa. Daný vtah něl v= ω r, což je dr = ω r. dt Vektor r tam bl polohový vektor bodu pevně spjatého s rotujícím tělesem. Takovými vektor jsou teď e, e a e. To namená, že platí de de de ω e, ω e = =, = ω e. (6.7) dt dt dt Transformace rchlosti Pro výpočet rchlosti budeme (6.6) derivovat podle času: d r = e + e + e dt Získáme tak dr d d de d de ( e e e ) e v = = + + = + + e + + = dt dt dt dt dt dt v ω e v ω e e ω e e ω e = e v v v + ω e = e e e v v v ω e ))))))( ( e + e ) = ))))))( v r (6.8) d on. Při úpravě jsme onačili d on. = v, = v a podobně pro -ovou složku. Jde o složk rchlosti dt dt hmotného bodu vůči rotující soustavě S. 78 To namená, že e e v = v + v + v e je vektor rchlosti bodu vůči rotující soustavě S. Úprava (6.8) nás dovedla k výslednému vtahu pro transformaci rchlosti: v = v + ω r (6.9) Vlastně je to výsledek docela přiroený a na příkladu lunaparku, kolotoče a člověka, který po kolotoči chodí, ho le formulovat velmi lapidárně: Rchlost člověka vůči lunaparku je součtem rchlosti člověka vůči kolotoči a rchlosti, s jakou se pohbuje podlaha kolotoče v místě, kde člověk rovna je. (Zkuste si sami slovně formulovat výnam výsledku (6.9) be odkaů na lunapark a kolotoč, dříve než se podíváte na následující ponámku pod čarou. 79 ) 78 Představte si síť souřadnic a nakreslenou na kolotoči. v říká, jak rchle se s časem mění souřadnice, ted jak rchle se náš bod pohbuje ve směru os ; je to ted opravdu složka jeho rchlosti vhledem ke kolotoči. 18

19 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Rotující soustav Transformace rchlení Pro výpočet rchlení budeme derivovat rchlost podle času, v (6.9) ale pro další úprav nejprve roepíšeme v do složek: d e e = + + e v v v v + ω r (6.30) dt A budeme derivovat a upravovat 80 : d d d de v d dr ( e e e v ω ω r ) e a = = v + v + v r + = + v ω = dt dt dt dt dt dt a ω e v dω a e = + a e + + ω ( e + e v v + ) + r + ω ( v + ω r) = (6.31) ) ))))( ))))))( dt a v dω = a + r + ω v + ω ( ω r ) dt d v on. Při úpravě jsme onačili = a a podobně pro -ovou a -ovou složku. Jde o složk rchlení dt hmotného bodu vůči rotující soustavě S. To namená, že a = a e + a e + a e je vektor rchlení bodu vůči rotující soustavě S. Pro lepší interpretaci výsledku upravíme ještě poslední člen v (6.31). Je totiž (vi (5.16) v kapitole 5): ω = ων, kde ν je jednotkový vektor ve směru os rotace a ω je velikost úhlové rchlosti. Je ted 81 ω ( ω r) = ων ( ν r) = ω ( νν ( r) r( νν )) = = ω ν ν r r = ω R, kde R je vektor jdoucí od os rotace kolmo k ( ( ) ) ( ) našemu bodu, vi obráek. Pro stručnost ápisu ještě budeme časovou derivaci ω načit tečkou, ted místo d ω psát ω. Výsledný vtah pro transformaci rchlení ted nakonec bude mít tvar dt a = a + ω r + ω v Rω (6.3) 79 Třeba takto: Rchlost vůči inerciální soustavě S je součtem rchlosti bodu vůči rotující soustavě S a rchlosti, kterou rotující soustava unáší daný bod (resp. rchlosti, jakou b ho unášela, kdb bl vůči S v klidu). 80 Podobně jako při úpravách výše nevpisujeme detailně člen s -ovými a -ovými složkami, které jsou analogické členům s -ovými složkami. Pokud b vám to přišlo přehlednější, užijte místo indeů, a číselné 3 inde 1, a 3; pak můžete psát i 1 i e v = v i + ω r a v následných úpravách: d 3 = ( e a = i 1 i i + ω r dt v = ) = ( ) 3 d d ( ) 3 d i 3 de d dr i i 1 ie v ω i ω r e = v + = i 1 i + i 1 i + r + ω = = dt dt = dt v = dt dt dt 81 Při úpravě používáme vorec bac mínus cab a skutečnost, že ν je jednotkový vektor. 19

20 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Rotující soustav Zrchlení bodu vůči inerciálnímu sstému je ted dáno jako součet jeho rchlení vůči rotujícímu sstému a tří dalších členů. Tto člen je vkem onačovat následujícími jmén 8 : a = a + ω r + ω v Rω (6.33) Eulerovo rchlení Coriolisovo rchlení dostředivé rchlení Druhý Newtonův ákon v rotující soustavě Druhý Newtonův ákon přepíšeme do rotující soustav stejně, jako jsme to dělali u rchlených přímočaře se pohbujících soustav: Vnásobíme (6.33) hmotností m hmotného bodu a vužijeme. Dostaneme 83 toho, že v inerciální soustavě platí ma = F ma + m ω r + mω v mrω = F (6.34) Opět bchom raději měli i v rotující soustavě tento ákon ve tvaru hmotnost krát rchlení = síla a opět ho můžeme do tohoto tvaru převést tím, že člen levé stran (6.34) převedeme na pravou 84 : ma = F + mr ω + m v ω + m Rω (6.35) Eulerova síla Coriolisova síla odstředivá síla Dodatečné člen jsou opět setrvačné síl; jak vidíme, mají své vlastní náv odpovídající výše uvedeným členům ve rchlení ale samořejmě, poslední síla teď míří od os, ted od středu, proto se naývá odstředivá síla. Odstředivá síla Odstředivou sílu v rotující soustavě pociťujeme, i kdž jsme vůči této soustavě v klidu 85 a úhlová rchlost rotace je konstantní (ted nemění velikost ani směr 86 ). Vužívá se například při tréninku kosmonautů na centrifugách ale také při odstřeďování v občejné pračce. Odstředivou sílu také samořejmě pociťují všechn předmět na rotující Zemi faktick tato síla může a rodíl mei gravitační a tíhovou silou. Přesněji řečeno, tíhová síla je součtem síl gravitační 87 a odstředivé síl 88. Způsobuje, že Země je na pólech poněkud ploštělá, že olovnice 8 Ve dvou případech podle fiků, v posledním případě proto, že míří směrem k ose. (Příkladem dostředivého rchlení je rchlení člověka, který sedí na koníčku v rovnoměrně se otáčejícím kolotoči. Faktick jsme se s tímto rchlením už setkali v první kapitole při popisu rovnoměrného pohbu po kružnici.) 83 Ještě přitom přehodíme pravou a levou stranu vtahu (6.33). 84 Změnu naménka u členů, v nichž jsou vektorové součin, přitom ařídíme přehoením pořadí členů, např. ω v = v ω. 85 Například sedíme na koníčku na kolotoči. 86 Kolotoč ani nerchluje ani nepomaluje svou rotaci ani nikdo nenaklání jeho osu. 87 Ted pravé síl, jíž daný předmět přitahuje Země. 88 Ted setrvačné síl v rotující soustavě spojené se Zemí. 0

21 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Rotující soustav neukauje přesně do středu Země, a že stejné ávaží váží na rovníku o něco méně, než na pólu. Rodíl jsou ovšem malé. Vůči inerciálnímu sstému se Země otáčí s periodou asi s 89, takže její úhlová rchlost je ω = π T = = -5 7,9 10 s. Velikost dostředivého rchlení na rovníku je Rω = 0,034 m/s, ted něco přes tři tisícin normálního tíhového rchlení g. To namená, že na kilogramové ávaží působí na rovníku směrem vhůru odstředivá síla asi 0,034 N. 90 Tíhová síla se ted na rovníku a na pólu liší ve skutečnosti ještě více, než jsme uvedli výše, protože na pólu je dík ploštění Země gravitační síla o něco všší než na rovníku. Celkový rodíl je asi pět tisícin. Tento rodíl můžeme také popsat tak, že na pólu je o něco všší tíhové rchlení g než na rovníku, asi o 0,5 %. Než půjdeme k dalším silám, připomeňme a důraněme ještě jednou: Odstředivá síla je setrvačná síla, která se uplatňuje jen v rotující soustavě. V inerciální soustavě žádná odstředivá síla neeistuje! Proč ted pračka reálně odstředí prádlo? Respektive, jak toto odstředění vsvětlit hlediska inerciální soustav, kdž v ní žádná odstředivá síla není? (Odpověte si na tuto otáku sami dřív, než se podíváte na vsvětlení v ponámce 91.) Eulerova síla Eulerova síla se uplatňuje, kdž se mění úhlová rchlost rotující soustav. Například kdbste seděli na koníčku na stojícím kolotoči 9 a kolotoč ačal rotovat s velkým úhlovým rchlením. 93 Zatlačí vás to doadu, nebo koníka dokonce přepadnete naad. Poorovatel stojící vně kolotoče (ted poorovatel, který vše popisuje hlediska inerciálního sstému) ovšem popíše váš pád jinak 94 : V jste prostě setrvali v klidu a kolotoč s koníkem pod vámi podjel. Coriolisova síla Coriolisova síla se v rotujícím sstému uplatňuje jen u předmětů, které se vůči rotující soustavě pohbují, ted mají v 0. Příkladem může být člověk chodící po rotujícím kolotoči nebo míček, který obvodu rotujícího kolotoče hodíte směrem na střed 95. Coriolisova síla míček vchýlí e směru, kterým jste ho hodili. Situaci le samořejmě opět popsat a vsvětlit i hlediska inerciální soustav. Poorovatel stojící vně kolotoče uvidí, že míček nebl hoen na střed: jeho rchlost se totiž skládá rchlosti hodu a rchlosti, kterou bl háející člověk unášen kolotočem. A tato unášivá rchlost má směr tečn k obvodu kolotoče, je ted kolmá na směr ke středu. 89 Tohle číslo se rohodně nemusíte ke koušce učit napaměť 90 Kdž ted na rovníku nakoupíte lato a budete ho prodávat na pólu, budete o víc než tři gram lata bohatší! Ovšem musíte ho vážit na pružinových vahách, na rovnoramenných vahách nebo na decimálce, kde boží vvažujete jiným ávažím, to fungovat nebude. (Také jsme v naší úvae pominuli, že prodejci a kupující b asi své pružinové či digitální váh měli kalibrované na místní podmínk.) 91 Voda prádla na obvodu bubnu pokračuje skr dír v bubnu v rovnoměrném přímočarém pohbu, to jenom prádlo je donuceno (silou, kterou na něj v dostředivém směru působí buben) pohbovat se po kružnici. 9 Už tenhle příklad nějak moc opakujeme... Nebolí vás už toho poadí? 93 Skutečné kolotoče to asi neumí, ale představte si, že majitel kolotoče do něj namontoval supersilný motor, abste si užili Eulerov síl. 94 Protože v jeho sstému žádná Eulerova síla neeistuje! 95 Pokud jste to ještě nedělali, kuste si to; pokud míříte na střed, určitě se do něj nestrefíte! 1

22 K přednášce NUFY080 Fika I (mechanika) proatímní učební tet, vere 0 6 Inerciální a neinerciální soustav Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Rotující soustav Kolotočem je ovšem, jak už jsme mínili výše, i rotující Země. I na ní se Coriolisova síla uplatňuje. Při háení míčkem nebo kamenem ji můžeme anedbat; dělostřelci s ní ovšem musí počítat. Jejím důsledkem je, že vržený kámen nebo vstřelený náboj jsou na severní polokouli odchlován doprava, na jižní doleva. 96 Coriolisova síla má na Zemi ovšem i mnohem podstatnější důsledk; týkají se počasí. Představme si, že na některém místě na Zemi vnikne tlaková níže. Be Coriolisov síl b se prostě vduch e všech stran, míst s všším tlakem, nahrnul dovnitř a tlakový rodíl b se rchle vrovnal, vi obráek vpravo. Coriolisova síla ovšem na severní polokouli vchluje proudící vduch doprava vhledem ke směru pohbu. Vítr, který b be Coriolisov síl vál směrem do tlakové níže, je ted vchlován doprava (vhledem ke svému původnímu směru) a místo ab proudil do tlakové níže, ačne ji obíhat. Výsledkem je, že nakonec vítr vane kolem tlakové níže, obíhá ji (na severní polokouli) proti směru hodinových ručiček. 97 U tlakové výše je tomu přesně naopak: na severní polokouli vítr vane kolem ní ve směru hodinových ručiček. Na jižní polokouli je to přesně obráceně: Kolem tlakové níže vane vítr ve směru hodinových ručiček, kolem tlakové výše proti směru hodinových ručiček. Směr větru jsou dobře vidět třeba na webu příklad ukauje následující stažený obráek 98 : Tlak vduchu je obráku vnačen barvou, modrá namená nejnižší tlak, červená nejvšší. (To, jaká veličina bude barvou obraena, le na dané stránce přepnout.) Statický obráek ovšem nemůže nahradit animaci na dané stránce; směr větru je opravdu nejlépe vidět na pohbujících se šipkách. Připomeňme, že Coriolisovu sílu le užít i k vsvětlení pohbu Foucaultova kvadla. Jde o kvadlo, jehož rovina kvu se během dne stáčí. Nejnáornější vsvětlení ovšem dává, alespoň pro Foucaultovo kvadlo na severním pólu, pohled inerciální soustav: Kvadlo prostě vhledem k inerciální soustavě kmitá stále ve stejné rovině a Země se pod ním podtáčí. C 96 C C Romslete si sami, že Coriolisova síla FC = mv ω míří na severní polokouli opravdu doprava vhledem ke směru rchlosti. 97 Ponámka pro upřesnění: Kdž vítr obíhá tlakovou níži ve vnačeném směru, snaží se ho Coriolisova síla stále ahýbat doprava, ted od tlakové níže. Ovšem proti tomu působí rodíl tlaků vduchu v okolí (kde je tlak všší) a v samotné tlakové níži. Tento tlakový gradient naopak tlačí vduch směrem k tlakové níži; obě působení se vrovnávají. (Proto v místech, kde je silný tlakový gradient na mapě náorňující iobar to ponáme tak, že jsou hodně nahuštěné vane vítr velkou rchlostí. Coriolisova síla totiž musí vrovnat velký spád tlaku.) 98 Zdroj: staženo v 17:58