1 Integrál komplexní funkce pokračování

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Integrál komplexní funkce pokračování"

Transkript

1 Integrál komplexní funkce pokračování Definice. Nechť D a F ) je taková funkce, že F ) = f) pro všechna D. Pak F ) naýváme primitivní funkcí k funkci f) v oblasti D. Protože při integraci funkce f po křivce, která leží v oblasti, kde je funkce f holomorfní, neáleží hodnota integrálu na tvaru křivky, le ukáat, že hodnota integrálu ávisí jen na počátečním a koncovém bodu křivky a platí následující věta: Věta. Nechť D je jednoduše souvislá oblast,, D, f) je holomorfní na D, F ) je primitivní funkce k funkci f) v oblasti D. Pak f)d = F ) F ). Zápisem f)d máme na mysli integrál po nějaké křivce, která leží v oblasti D a je její počáteční bod a koncový. Příklad. Spočtěte j e d. Protože funkce e je holomorfní na celé Gaussově rovině má výše uvedené adání smysl pro libovolnou křivku ačínající v bodě a končící v bodě j. j e d = Příklad.4 Spočtěte [ ] j e = e ) = e ). e ) d. kde je spodní část jednotkové kružnice = ačínající v bodě a končící v bodě. Vidíme, že integrovaná funkce není holomorfní v bodě. Nicméně snadno le nalét jednoduše souvislou oblast D, která obsahuje křivku, integrovaná funkce je na D holomorfní, t.j. D nakreslete si obráek!). Můžeme tedy použít větu. a dostaneme: e ) d = e ) d = [ e + ] = e e = e e.

2 Příklad.5 Spočtěte j + 5 j ) d, kde je levá půlka jednotkové kružnice =, Re a je orientována v protisměru ručičkových hodinek. Výpočet rodělíme na výpočet integrálu funkce j a funkce 5 j. První funkce je holomorfní na, takže můžeme použít větu.. I = j [ j d = j d = j j ] j j j = j j ) =. Integrál druhé funkce spočítáme definice integrálu komplexní funkce. Čtenář by mohl namítnout, že le nalét jednoduše souvislou oblast D na které je funkce j j holomorfní a která obsahuje křivku a tudíž použít i na funkci větu. jako v předchoím příkladě. Nicméně v tomto případě toto nemůžeme udělat, protože nejsme schopni nalét primitivní funkci. Funkce log) je sice primitivní funkcí k funkci, ale jen tam, kde existuje log ). Protože křivka protíná nekladnou reálnou poloosu, musí i oblast D obsahovat nějaké body nekladné reálné poloosy. D tedy obsahuje body, kde neexistuje derivace funkce log). Parametriujme křivku : Dostáváme tedy: I = = ϕt) = e jt, ϕ t) = je jt, t,. 5 j ) d = 5e jt je jt )je jt dt = = + 5j). 5 j ) d = 5 j ) d 5 j)jdt = + 5j) Konečný výsledek dostaneme sečtením: j + 5 j ) d = I + I = + + 5j). V dalším textu se budeme abývat integrály, při jejichž výpočtu se používá auchyův integrální vorec pro n-tou derivaci. dt

3 Věta.6 Nechť D jednoduše souvislá oblast, na které je f) holomorfní a nechť je jednoduchá, uavřená a kladně orientovaná taková, že D. Pak pro n =,,... a každé Int platí: f n) ) = n! j f) d, ) n+ kde symbol f n) ) načí n-tou derivaci funkce f v bodě. Speciálně pro n = platí: f ) = f) d. j Příklad.7 Spočtěte integrály sin d, sin d, ) kde je kladně orientovaná kružnice =. Protože funkce sin je holomorfní na, můžeme použít větu.6. Máme tedy: sin d = j sin = j, Příklad.8 Spočtěte sin d = j ) sin = j cos = d, kde je kladně orientovaná kružnice + j =. Roložíme jmenovatel integrované funkce na součin kořenových činitelů:, = ± 4 Dostáváme tedy: d = = ± j j) + + j) d.

4 Protože křivka obíhá jen jeden kořenů konkrétně kořen +j), dostáváme, +4 že funkce ++j je holomorfní na i na Int. Můžeme tedy použít větu j) + + j) d = = j +4 ++j + j d = + j). + j j + + j = j + j 4j n Věta.9 Nechť D je n + )-násobně souvislá oblast s kladně orientovanou hranicí t.j. je určena kladně orientovanými křivkami,,..., n ). Pak pro každou funkci f), která je holomorfní na D a spojitá na D = D n platí: f)d = f)d + f)d + + f)d. Speciálně pro n = : Příklad. Spočtěte f)d = f)d. e ) d, kde je kladně orientovaná kružnice j =. Vidíme, že integrovaná funkce má dvě singularity t.j. body, kde není holomorfní). Jedna je v bodě a druhá je v bodě. Singularita v bodě je od středu j kružnice vdálena a singularita v bodě je od něj vdálena. To namená, že křivka obíhá obě tyto singularity a nele tedy použít stejný přístup jako v předchoím příkladě. Nicméně najdeme-li dvě kladně orientované kružnice a takové, že obíhá a obíhá a vájemně se neprotínají, můžeme pak použít větu.9. Je řejmé, že takové kružnice le najít nakreslete si obráek!). Podle věty.9 pak le adaný integrál spočítat jako součet dvou integrálů podle a. Spočtěme tedy tyto dva integrály. Z věty.6 dostáváme: e ) d = e ) d = e ) d = j e j d = )! e ) = j, ) e ), 4

5 kde výra ) e ) načí druhou derivaci funkce e druhou derivaci: v bodě. Hledejme tedy e ) e = ) = e e = e + e, ) e + e = e + e + e e 4 = e + e e, Dostáváme tedy e ) ) = e. Po dosaení e j d = )! ) e ) = je, Výsledný integrál dostaneme sečtením: e ) d = e ) d + e d = j je = j e). ) 5

1 Nulové body holomorfní funkce

1 Nulové body holomorfní funkce Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Komplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace / Motivace Mějme

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta 14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.

sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx. Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah

Více

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1) Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také

Více

( ) Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. π π. Předpoklady: 6203

( ) Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. π π. Předpoklady: 6203 6..4 Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru Předpoklady: 603 Pedagogická ponámka: Tato hodina vyžaduje spíše jeden a půl vyučovací hodiny Máme dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru:

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% množina komplexních čísel algebraický zápis komplexního

Více

( ) Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. π π. Předpoklady: 6203

( ) Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. π π. Předpoklady: 6203 6..4 Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru Předpoklady: 603 Pedagogická ponámka: Tato hodina vyžaduje spíše jeden a půl vyučovací hodiny Máme dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru:

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (7) Křivky a křivkový integrál Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 1 / 39 y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 2 / 39 y Kristýna Kuncová (7) Křivky

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0 Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady,

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

U V W xy 2 x 2 +2z 3yz

U V W xy 2 x 2 +2z 3yz E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 V.5. Gaussova-strogradského věta Má-li vektorováfunkce f (U,V,W spojitévšechn parciálníderivacevotevřenémnožině G E 3, pak skalární

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Kapitola 9. Rezidua. Matematická analýza 4. KMA/MA o12. Definice 9.1. ( izolovaná singularita )

Kapitola 9. Rezidua. Matematická analýza 4. KMA/MA o12. Definice 9.1. ( izolovaná singularita ) Kapitola 9. Rezidua Definice 9.. ( izolovaná singularita ) Bod z 0 2 C nazveme izolovanou singularitou (izolovaný singulární bod) funkce f, jestliže i) f není holomorfní v bodě z 0, ii) existuje prstencové

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,

Více

Přímková a rovinná soustava sil

Přímková a rovinná soustava sil Přímková a rovinná soustava sil 1) Souřadný systém - v prostoru - v rovině + y + 2) Síla P ( nebo F) - vektorová veličina - působiště velikost orientace Soustavy sil - přehled Soustavy sil můžeme rodělit

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je 74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.

Více

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y VKM/IM - 204/205 Určete, da funkce f(x, y) ln( x 2 +y 2 ) v bodě A, ve směru vektorů u, 0, u 2 0,, u 3, a u 4, 2 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce f(x, y) je definovány pro všechny

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Podíváme se podrobněji na vektorové funkce. Jde často o zkoumání fyzikálních veličin jako tlak vzduchu, proudění tekutin a podobně. VEKTOROVÁ POLE Na zobrazení z roviny do roviny nebo z

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y VKM/IM 017/018 Určete da funkce fx y) ln1 x +y ) v bodě A 1 1 ve směru vektorů u 1 1 0 u 0 1 u 3 1 1 a u 4 1 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce fx y) je definovány pro všechny body R

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána Fourierova věta (připomeňte si, že f(x = (f(x + + f(x /2: VĚTA Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

1. Obyčejné diferenciální rovnice

1. Obyčejné diferenciální rovnice & 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá

Více

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI ŘADY KOMPLEXNÍH FUNKÍ V kapitole si ukážeme, že holomorfní funkce a mocninné řady skoro jedno jsou. Někomu... OBENÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných 1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Přednáška 3: Limita a spojitost

Přednáška 3: Limita a spojitost 3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice

Více

Skalární a vektorový popis silového pole

Skalární a vektorový popis silového pole Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

FOURIEROVA TRANSFORMACE

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána (připomeňte si, že f(x) = (f(x + ) + f(x ))/2): VĚTA. Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje. Potom f(x)

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více