Integrální počet II. In: Vojtěch Jarník (author): Integrální počet II. (Czech). Praha: Academia, pp

Transkript

1 Itegrálí počet II Kapitola XI. Riemaův itegrál I: Vojtěch Jarík (author): Itegrálí počet II. (Czech). Praha: Academia, pp Persistet URL: Terms of use: Vojtěch Jarík, 1976 Istitute of athematics of the Academy of Scieces of the Czech Republic provides access to digitized documets strictly for persoal use. Each copy of ay part of this documet must cotai these Terms of use. This paper has bee digitized, optimized for electroic delivery ad stamped with digital sigature withi the project DL-CZ: The Czech Digital athematics Library

2 KAPITOLA XI* RIEANNÚV INTEGRÁL* Ríemaův itegrál ff(x) dx eboli /... ff(x u...,x r ) dx x... dx r hrál důležitou úlohu v historickém vývoji. Podáme zde základy jeho theorie; speciálí případ r = 1, = <a, b} vede k Riemaovu b itegrálu ff(x) dx, který byl zavede v J I, kap. II. Čteáři se bude a zdát, že aše defiice je trochu jiá ež defiice, podaá pro uvedeý speciálí případ v J I. Ukážeme však v 1, poz. 4, že obě defiice jsou v tomto případě ekvivaletí. Zak JU() bude v této kapitole stále začiti Lebesgueovu míru; je-li tedy I iterval, je JU(I) prostě jeho objem (ve smyslu elemetárí geometrie). 1. Defiice a vztah k Lebesgueovu itegrálu. Defiujme apřed, co budeme v této kapitole rozuměti rozděleím prostoru E r. Budte dáa (pro i = 1, 2,..., r; j = 0, 1, 1, 2, 2,...) koečá reálá čísla a i%i tak, že pro každé i (i = 1, 2,..., r) je... < a { _ 2 < a,-,-i < a { 0 < a itl < a { 2 <..., Um a ifj = + co, Um a ij^j -= co. j-+ oo j-+ oo Říkáme pak, že čísla a itj určují jisté rozděleí Z) prostoru E r ; čísla a t s jsou jeho,,děucí čísla tť, a to při daém i čísla i-tého řádku ť<. Jsou-U idexy složitější, píši a(i,j) místo a i3. Každou adroviu (Xi = a itj ) (při pevém i,j) azývám děucí adroviou, každý iter- X val ID(3I> > Ir) = <o(l, h - 1), o(l, h)) X... X <a(r, j r - 1), a(r, j r )) azvu buňkou rozděleí D. Prostor r je disjuktím sjedoceím všech buěk. Normou rozděleí D azvu číslo 436 D = sup (a ť,, - a t,^) (0 < \\D\\ + co). i = l,2,...,r ;=0, 1, -1,2, -2,...

3 Pro zjedodušeí symboliky budu posloupost r čísel m x,...,m r ěkdy začit {m} a psáti a př, <p({ }) místo 2 2 9? ( m i.---> r); {m}=«!-««m-=-* ěkdy budu místo 9?({m}) psáti jedodušeji <p{m}. Rozděleí D' s dělicími čísly b iti azvu zjeměím rozděleí D, zak D' -^ D, jestliže každé dělicí číslo a iti je rovo ěkterému z čísel b im (téhož, t. j. i-tého řádku). Potom každá buňka rozděleí D je disjuktím sjedoceím koečého počtu buěk rozděleí D', každá dělicí adrovia rozděleí D je dělicí adroviou rozděleí D'. Vše je velmi ázoré, dělejte si áčrtky v roviě (pro r = 2). Budiž yí dáa reálá fukce / (r proměých) s těmito vlastostmi: I. / je omezeá v r. II. Existuje omezeý iterval / tak, že pro z E r --- / je f(z) = 0. Zvolme libovolé rozděleí D; zaky v D ({m}), V D ({m}) ozačme ifimum a supremum fukce / v buňce I D {m} a sestrojme horí" a dolí" součet (1) S(D,f) = S(D)= % V D ({m}).[x(i D {m}), {m}-=-oo (2) s(d, f) = s(d) = 2 v D ({m}).(i D {m}). {m} = -oo Podle II je zde pouze koečý počet čleů růzých od uly, takže podle I je oo < s(d) ^ S(D) < + oo. Nyí přijde ěkolik úvah již dříve opětově provedeých (a př. kap. III, 4, poz. 4 ebo J I, kap. II, 2). Je-li D' -* D, je s(d) ^ s(d') g S(D') ^ S(D). Jsou-li D l9 D 2 libovolá rozděleí, existuje společé zjeměí D' (t. j. D' - ^ D l9 D' - D 2 ), ačež s(d x ) á s(d') ^ S(D') ^ S(D 2 ), t. j. (3) s(d x ) ^ S(D 2 ). Budiž g = $(/) rovo supremu všech s(d, f) (pro všecha možá rozděleí D), budiž = (/) ifimum všech S(D, /). Podle (3) plye (4) - oo < $(/) á (/) < + oo. 437

4 Vidíte, že čísla é, začě připomíají defiici dolího a horího itegrálu z J I, kap. II, 2, ale prozatím pro ě ezavádím zvláštího pojmeováí. Pozámka 1. Budiž dáa posloupost rozděleí D*,D*,..., posloupost kladých čísel d l9 d 2,... a fukce / s vlastostmi I, II. Potom existuje posloupost rozděleí D t $- D 2 - D z -... tak, že D ^D*, \\D \\<d, < 6) Um s(d, f) = «(/), lim S(D, f) = (/). -* oo -* oo Důkaz. Zřejmě lze volit D x -š D* tak, že \\D X \\ < d x. Jsou-li D l9..., -^-i (^ >!) již zvolea, ajdu rozděleí A x, A 2 tak, že s(a x, f) > > f) > S(A 2, f) < (/) -, a sestrojím ještě rozděleí A 3 tak, že zj 3 < d. Za D vezmu potom ějaké společé zjeměí rozděleí D _ x, D*, A x, A 2, A z (což je možo). Potom bude D ^ ^ D _ x, D < D*, \\D \\ < d a koečě «(/) - ^ = *(A., f) = *(/) ^ (/) fi(d., /) < >(/) + 1. Čteář tuší, že ás hlavě bude zajímati případ, kdy $(/) = (/). Věta 155. NecW /im&ce / má vlastosti I, II. Nechť $(/) = (/). Potom existuje Lebesgueův itegrál ff(x) dx a má hodotu $(/). Důkaz. Podle poz. 1 existuje posloupost rozděleí D x ^ D tak, že (6) Um s(d ) = * = = Um /S(Z> ). -*oo ->oo Defiujme fukce (p, \p takto: Je-li x «r I D {m}, klademe cp (x) = = *>D ({ m })> V*( x ) = V D ({ >})'> t. j. 9>»(-r) je ifimum a ^(^) supremum fukce / v oé buňce I D {m}, v íž x leží. Současě leží x ovšem v ějaké větší" buňce I D _ x {m'} o I D {m}, tedy (7) <P-i(*) ^ <P(z) f(x) tp (x) W-i(x) pro 71 > 1. Zřejmě jsou <p, ip jedoduché fukce, (8) fcpáx) úx = 8 (D, /), fy> H (x) dx = S(D, f). r E, 438

5 Podle (7) existuje lim <p (x) = <p(x), lim rp (x) = ip(x); podle věty -^oo ->oo 62 1 ) a podle (6), (8) je pak (9) f<p(x) dx = lim f<p (x) dx = $, /y>(x) da; = 6, < -*oo f E r tedy /(y> - 9?) dx = 0; ale %p(x) 9?(x) _; 0, tedy (věta 46) <p(x) = = y(#) skoro váude. Ale podle (7) je <p(x)._ f(x)._ y(x) pro každé x, tedy g?(#) = f(x) skoro všude a (9) dává tvrzeí. Dosavadí úvahy ám dávají možost zavésti ový pojem objemu" (eříkám,,míry", eboť od míry jsme požadovali vlastosti, které teto objem emá, viz příkl. 1). Defiice 22. Budiž c r omezeá, takže charakteristická fukce X má vlastosti I, II. Potom čísla (10) m e () = <š(x ), m i () = *(x ) azýváme vějším a vitřím Jorda-Peaovým objemem možiy. Je-li m e () = mi(), azýváme toto číslo objemem (Jorda-Peaovým), zak m(), a říkáme, že má Jorda-Peaův objem. Pozámka 2. Tyto pojmy se vztahují je a omezeé možiy. Názorý výzam je jasý z horích a dolích součtů: s(d, X) J e součet objemů 2 ) oěch buěk rozděleí D, jež leží v (právě v těchto buňkáoh je totiž ifimum fukce % rovo 1), kdežto S(D, X) J e součet objemů 2 ) oěch buěk, jež mají aspoň jede bod společý s (právě v těchto buňkách je totiž supremum fukce X rovo 1). Za ohvíli (poz. 3 v 2) uvidíme, že každý omezeý iterval má Jorda- Peaův objem, rový jeho Lebesgueově míře, t. j. jeho,,objemu" v obvyklém smyslu slova. Příklad 1. Z poz. 2 je vidět, že každá jedobodová možia v x má Jorda-Peaův objem rový ule, kdežto spočetá možia všech racioálích čísel itervalu (0, 1) má vitří objem 0, vější 1 a emá tedy vůbeo Jorda-Peaův objem. Toto je evýhoda Jorda-Peaova objemu proti Lebesgueově míře, hlavě při limitích přechodech. l ) Viz též poz. 8 k této vsts. *) V obvyklém slova smyslu buňky jsou itervaly. 439

6 Věta 156. Nechť existuje m(). Potom existuje i Lebesgueova míra fi() a je /u() = m(). Důkaz. Podle věty 155 existuje Lebesgueův itegrál SX( X ) d x = *(X) = >( ) Ale levá straa je fdx = JLI(). Nyí defiujme koečě Riemaův itegrál. Defiice 23. Nechť c E r má Jorda-Peaův objem (takže je omezeá). Nechť fukce f je omezeá v. Doplňme po případe pozměňme defiici fukce mimo možiu tak, ze pro xe E r klademe f(x) = 0 (takže fukce f má vlastosti I, II). Čísla *S(/), (/) azýváme potom dolím a horím Riemaovým itegrálem fukce f přes možiu. Je-li $(/) = (/), azýváme jejich společou hodotu Riemaovým itegrálem fukce f přes. Zak ff(x) dx ebo ff(x x,...,x r ) dx 1... dx r. Je-li třeba, budeme Riemaův itegrál odlišovati zakem (?{), Lebesgueův zakem ( >). Věta 157. Nechť existuje (%) ff(x) dx; potom existuje i ( >) ff(x) dx a oba itegrály jsou si rovy. Důkaz. Pro fukci / (rovou ule mimo ) je $(/) = (/), takže podle věty 155 je («) ff(x) dx = $(/). Ale má podle defiice 23 Jorda-Peaův objem, tedy (věta 156) je lebesgueovsky měřitelá a tedy ( ) ff(x) dx = ( ) ff(x) dx = $(f). E r Věta 158. ožia c r má Jorda-Peaův objem tehdy a je tehdy, existuje-li (%J fdx, ačež m() = (%} fdx. Důkaz. Nemá-li J.-P. objem, eexistuje uvedeý itegrál (defiice 23). á-li J.-P. objem, je m() = i(x ) = (X)> J e ž t o X( X ) = P ro xee r, X (Z) = 1 pro x, zameá to podle defiice 23, že m() = (%) /l. dx. 440

7 Pozámka 3. Věta 157 ukazuje: Existuje-li Riemaův itegrál, rová se Lebesgueovu a tedy a jeho studium a výpočet můžeme aplikovati všechy věty z theorie Lebesgueova itegrálu. Zajimá ás tedy vlastě už je otázka existece Biemaova itegrálu, která bude probráa v 2. Podobě pro J.-P. objem. Pozámka 4. Dokážeme ještě, že v E x dolí itegrál fukce / přes iterval <a, 6>, zavedeý v def. 23, je totožý s dolím itegrálem b ff(x) dx, zavedeým v J I, kap. II, 2. Budiž tedy / omezeá v E lf a rová ule pro x < a a pro x > b. Iterval <a, 6> má zřejmě Jorda- Peaův objem (viz ostatě 2, poz. 3). áme ještě dokázati (viz defiici 23), že (11) t(j)= b ff(x)áx. a Jestliže v poz. 1 volíme d = a za D* ějaké rozděleí, obsahu- TV jící dělicí čísla a, b, dostáváme, že existuje posloupost rozděleí prostoru E í Z>x?-Z>«> Z> tak, že ILDJI < -, že (12) Um 8(D, /) = «(/) ->oo a že D obsahuje dělicí čísla a, b. Tedy D vypadá takto: 3 )... < a_ 2 < a_! < a 0 = a < a x <... < a P = b < a p+1 <... Budiž sup \f(x)\ = K; budiž v { ifimum fukce / v itervalu <a i _ 1, a<). zce. Potom je v (13) s(d, /) = 2 v Á a i a i-i) + «VK+i - a v) 8) Čísla a i9 p závisí a ; tedy bychom msli psáti složitěji a^ \ p^; ale raději si kreslete áčrtek. 441

8 (ostatí čleové jsou uly), kde absolutí hodota posledího čleu je ejvýše. D ^ f. Sestrojme vedle s(d, f) ješté součet (14) T = % wfa - a ť _.), t = l kde w { je ifimum fukce / v uzavřeém <a., a ť >. Ježto lim \\D \\ = = 0, je podle věty 20 v J I (15) lim T = ff(x) dx. -»-oo a áme tedy dokázati, že limity (12), (15) jsou stejé. Předě je w { <^ <I v { a tedy podle (14) ' tedy T = a(d, /) + f, (16) lim T lim a(2), /). Za druhé budiž e > 0; volme % tak, že (17) «(A..,/)>«-_«, < i*. Vezmeme yí ějaké > _ a sestrojme 2V Buďte... < b_ x < b 0 = a < b x <... < & a = b < b Q+1 <... dělicí čísla _) _, takže (18) s(d i, f) = ]_>*(&._ - b k _ x ) + T, +1 (6, +1 - b a ), *=i kde ^ je ifimum / v <&*, b fc ). Podle (17) je tedy Q (19) 2 T *< 6 * - 6 *-i) > «- *«- ie. fc = i Naproti tomu T 7,, budiž dáo vzorcem (14). Každý iterval <b*, 6*) je rozděle body a. takovýmto způsobem: 6 fc = a x < a x+1 <... < < a y = 6 fc ; je zřejmě <a t _ 1, a ť > c <b fc _ 1, b k ) pro í = a; + 1, x + 2,..., 442 b

9 y 1 a tedy w t ^ r k (pro i = y už eí <a I/ _ 1, a y > c <6 fc _ 1, 6*) kreslete!). Tedy v v-i 2 ^(a, «<-i).= 2 **(«< a»--i) + ^v(a y a^) = t=x+l i=z+l = Z **(*< - a^j + (w y - TJÍ^ - a v^) ^ T*(6* - &*_-.) -. %=x+i Sečtu-li tyto erovosti přes k = 1, 2,..., g, dostau podle (19) pro každé > x T = І>*( a < - «<-i) ^ І>*(*>* - Ь*-i) - ^-~ > «- fв ~ І--.1 " * *Гi"* " * - (g je dáo rozděleím D i, jež je pevě zvoleo). Pro všecha dosta- OJCQ tečě velká je - < e, tedy T > é e, tedy hm T* ^ $ = = lim 8(-D, /). Odtud a z (16) plye tvrzeí. Podobě by se důkaz vedl pro horí itegrál. Prosím za promiutí, že tato čistě formálí úvaha trvala tak dlouho. Pozámka 5. V 1. vydáí J I, kap. IX, 3, poz. 2 jsem v E t defioval možiy o Jordáově míře ula", psal jsem J() = 0. Dá se dokázati, že tato rovice zameá totéž jako aše m() = 0. V 2. vydáí je tato partie vyecháa. 2. Existečí věty. Pozámka 1. Budiž / koečá fukce, defiovaá v možiě ; budiž V její supremum, v jejíifimum v. Rozdíl V - v azýváme oscilaci fukce f v možiě ; zak (je a chvíli) co(f; ). Zřejmě co(f; ) ^ 0, je-li * 0; dále: je-li N c, je to(f; N) co(f; ). Téměř všechy výsledky tohoto paragrafu budou důsledky této věty: Pomocá věta. Budiž f fukce v oboru E r, mající vlastosti I, II. Budiž N možia všech bodů espojitosti fukce /. Potom je (/) = $(/) tehdy a je tehdy, je-li fi(n) -= 0 (// je stále Lebesgueova míra). ^ 443

10 Důkaz. Existují koečá kladá čísla q, K tak, že předě /(:r) 5* K pro všecha a: a za druhé f(x) = 0 pro všecha x, která eleží v itervalu (20) * = <-&?) X <-q,q) X... X <-?,?). Je-li Z) libovolé rozděleí, je S(D, f) => (/), s(d, f) ^ $(/). I. Nechť eí ju(n) = 0, t. j. echť /i e (N) > 0. Pro = 1, 2,... echť iv je možia oěch bodů #, jež mají tuto vlastost: Ke každému e > 0 existuje bod y tak, že 4 ) e(», y) < e, /(ÍU) - /(y) > -. oo Zřejmě iv = U -#* Tedy existuje tak, že / e (N ) > 0. Toto po = l držme pevé a položme jbi e (N ) = c (0 < c; zřejmě c fg (2g) r, ježto -N c I). Vezměme libovolé rozděleí Z) a budiž P sjedoceí všech jeho (spočetě moha) dělicích adrovi, takže fi(p) = 0 a tedy (poz. 8 v kap. I, 7) f* e (N ^-P) = c. Budte L lf L 2i..., L v oy buňky rozděleí D, které obsahují aspoň v jede bod možiy N --- P. Ježto tedy N P c (J Z je podle t=i věty 11 ^jbi(li) ^ c. Ježto každá buňka L obsahuje ěkterý bod i-=i xen --- P jako vitří bod 5 ), je podle defiice možiy N IV a tedy «(/; L.) > - 71 *S(2>, /) - s(d, /) ^ І «,(/; L t ) џ(l t ) > Ježto tato erovost platí pro každé rozděleí D a ježto podle poz. 1 v 1 (viz (5)) můžeme D zvolit tak, aby rozdíly S(D, «(D, /) - *(/) byly libovolě blízko ule, je - «(/) ^ > 0. 4 ) Kladu e(z, y) == ax s ř yá ) Hraičí body buňky leží totiž v P.

11 II. Nechť (/) - *(/) = A > O, takže S{D t f) - 8{D, f) ^ A pro každé rozděleí D. Sestrojme posloupost rozděleí D 1^D 2 hd z^... tak, že \\D, \\ < a že adroviy {x i = g), (3< = q) (i =1, 2,..., r) jsou dělicími adroviami každého D ; tedy každá buňka každého D i mající společý bod s /, leží celá v /, takže lze psáti (21) A < S{D i f) - s{d i f) = co(/; / ) //(/ ), *=i kde buňky I (.4=1,...,p ) vyplňují právě iterval / (ostatí čley jsou rovy ule). Nechť při daém probíhá k' oy z idexů 1,..., p, pro ěž je co(/; J$).= 0/0 ^, a echť F probíhá ostatí z idexů 1,..., p. Položme = U J?- J est -^+i c. Neboť je-li ae +li existují buňky I +1, I tak, že X l +1 c I a přitom o>(/, I +1 ) > ^jý a tedy i co(/, /?) > ^-^-y,, ^kže x. Je zřejmě!<»(/; /»,) /.(/?.) <2g)'. j-é-- = ^, 2o>(/; /«/.(/?.) ^ 2Z 2^(/») = 2K /i (Jf ); z (21) potom plye A <L\A + 2Kju{ ) i t. j. f*( ) ^ -^ > 0 pro = 1, 2, Položme iř = fl -! Í ež *o J!f +1 c zl, /.(/) < + > Í e P odle П = l věty 24 //(Jf) = lim / (iř )_ A> 0. Uvažme však defiici a erovost Z>«<. Odtud plye: Je-li x, potom existují ke každému přirozeému dva body 445

12 y, z tak, že Q(X, y ) <, Q(X, Z ) <, ale \f{y ) - /(z ) > 7v >.. Tedy / eí spojitá v bodě x, tedy c N, tedy eí 2(zg) /i(^) = 0. Pozámka 2. Budiž JKř c r ; body z r se dělí a tři skupiy (viz D II, kap. VI, 5, text před větou 127): vitří body možiy, dále vější body možiy (t. j. vitří body možiy r --- ) a koečě ostatí body prostoru E r ; to jsou t. zv. hraičí body možiy, které vytvořují t. zv. hraici H() možiy ; jsou to právě (viz kap. II, 3, poz. 2) všeohy body espojitosti fukce Xw Tvrdím: hraioe (22) H( X u 2 ), H( X 2 ), H( X - Jf,) jsou částmi možiy (23) HíJ.f-J u H(ilf ). 2 Důkaz. Vezměme bod x eležící v (23) a dokažme, že eleží v hraici žádé z moži x u Jf 2, X 2, Jf x --- Jtf 2 tím bude důkaz hotov. Buďto je a; vějším bodem lf a potom je vějším bodem x 2 ; ebo je vitřím bodem 2 a potom je vějším bodem Jř x ; ebo je současě vitřím bodem x a vějším bodem % a potom je vitřím bodem x Jlf 2. V žádém případě tedy eí xe H( X --- Jllf 2 ). Podobě (proveďte sami) pro x u JIf 2, X 2. Věta 159. ožia c r ^ omezeá a je-li fx(h()) = 0. J.-P. ob/em íeady a /e/i íeaáy, /e-zi Důkaz. Podle defiice 22 jde o to, zda <&(X) = *(X)- A to platí podle pomocé věty tehdy a je tehdy (při omezeé ) y má-li možia všeoh bodů espojitosti fukce X> * í- -ožia H() (poz. 2), míru ulovou. Věta 160. ajl-li x, 2 J.-P. objem, máji i x u 2, X 2, x ~ 2 J.-P. objem. Důkaz. Plye z věty 159 a poz. 2. Pozámka 3. Budiž I omezeý iterval. Jeho hraice je obsažea v koečém počtu adrovi, tedy H (I)) = - Tedy existuje J.-P. 446

13 objem m(i) = fi(i) (viz větu 159 a 156), t. j. rová se,,objemu" ve smyslu elemetárí geometrie. Věta 161. Budiž c r omezeá, f reálá fukce, omezeá v. Potom (%)ff(x)áx existuje tehdy a je tehdy, plati-li toto: I. Hraice možiy má Lebesgueovu míru 0. //. ožia všech vitřích bodů možiy, ve kterých f eí spojitá, má Lebesgueovu míru 0. Důkaz. Vraťme se k defiici 23. Předě má míti J.-P. objem, oož podle věty 159 zameá totéž jako podmíka I. Budiž tedy tato podmíka splěa. Potom položme f(x) = 0 pro xe E r a jde (podle def. 23) o to, zda je (/) = g(/), t. j. zda (pomocá věta) je ju(n) = 0. Ale N se skládá ze všech bodů espojitosti takto rozšířeé fukce /; ty z ich, které leží a H(), tvoří možiu míry ulové a jde je ještě o to, zda také ty, které leží uvitř, tvoří možiu míry ulové (ve vějších bodech možiy je totiž takto rozšířeá fukce zřejmě spojitá). Věta 162. Nechť fukce f lf f 2, / 3,... mají Biemaův itegrál přes obor. Potom také fukce g x = f x + f 2, g 2 = fj 2, g z = /-J, flr 4 -= = /i: / 2 (jestliže fukce 1: f 2 je omezeá v ), g 5 = ax (f lf / 2 ), g 9 = i (f 1$ f 2 ), g 7 = lim f (jestliže kovergece je stejoměrá -»-oo v ) mají Biemaův itegrál přes obor. Důkaz. g x až gr 6 jsou omezeé v. Rověž g 7, eboť pro jisté p je \g 7 (x) f v (x)\ < 1 pro všecha xc.a fukce g 19...,g 7 emohou být espojité jide ež v bodech espojitosti ěkteré z fukcí f l9 f 2,... Věta 163. Necht 2 má J.-P. objem. Nechť 2 c x a echť (%) ff(x). x. dx existuje. Potom existuje i (%) ff(x) dx. t Důkaz. Všeohy body espojitosti fukce /, ležící uvitř 2, leží též uvitř x a tedy tvoří možiu míry