Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Transkript

1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet kovergetí řady závisí a všech eulových čleech, proto v příkladech uvádíme meze sumy, tedy od kterého 0 do čley řady sčítáme. Oproti tomu kovergece řady a koečém počtu čleů ezávisí, proto euvádíme spodí mez (protože může být libovolá) ai horí mez (protože je vždy ). Pro úvahy o kovergeci je z popsaého důvodu velmi užitečý pojem platosti pro skoro všecha, zkráceě pro s.v., jehož defiici si pro jistotu připomeeme: Defiice. Řekeme, že vlastost (predikát) P () platí pro pro skoro všecha, pokud existuje takové 0 N, že pro všecha N platí 0 P () (eboli vlastost splňují všecha přirozeá čísla od ějakého 0 ). Řekeme, že vlastost Q(x) splňují skoro všechy čley poslouposti a, pokud vlastost P () Q(a ) platí pro skoro všecha (eboli vlastost Q splňují všechy čley poslouposti od ějakého čleu dále). Můžeme tedy apříklad říci, že erovost > 3 je splěa pro skoro všecha, protože platí pro všecha 0 4, ebo ekvivaletě, že skoro všechy čley poslouposti a jsou větší ež 3. Věujme se yí elemetárím úpravám řad. Důležitou úpravou je přečíslováí. Například řady a m jsou totožé, což lze lehce ověřit rozepsáím sumy: m Korektě lze ověřeí provést pomocí substituce m. Skutečě, ahradíme-li všecha (včetě meze) v řadě vlevo m, dostaeme řadu vpravo. Pomocí substituce tedy řady můžeme přečíslovat, musíme si však uvědomit její omezeí: aby přečíslovaá řada obsahovala právě ty čley, které obsahovala řada původí, musí být vztah mezi možiami idexů a m bijekcí (vzájemě jedozačým zobrazeím), a to rostoucí, aby edošlo k přerováí čleů řady. To však zameá, že substituce může být obecě pouze posuutím v rámci celých čísel, a bude tedy vždy ve tvaru m + k, k Z. Výsledkem je totožá řada, pouze odlišě idexovaá: 0 a m 0 k a +k. Totéž přečíslováí můžeme popsat i zmíěou bijekcí, která ám a rozdíl od substituce umoží použít stejou proměou. Můžeme tedy říci, že, protože řada vlevo vzike z řady vpravo zobrazeím idexů, což prakticky zameá, že řadu vpravo vytvoříme ahrazeím všech v řadě vlevo.

2 Jiým důležitým případem je rozděleí řady a dvě (ebo více). Uvažujme apř. řadu ( ( + ( ) ) + ( ( ) ) ). Výraz + ( ) abývá pro sudá hodoty a pro lichá 0, výraz ( ) obráceě. Pro sudá tedy budou čley řady rovy, pro lichá +. Nabízí se tedy možost zjedodušit řadu (resp. práci s í) rozděleím a dvě, jedu se sudými a jedu s lichými čley. To lze podle věty o liearitě řad tehdy, když bude mít výsledý součet řad smysl, což v tomto případě jistě platí obě řady mají ezáporé čley, tím pádem i ezáporé součty a jejich součet tedy smysl má. Při rozkladu řady a dvě je uté je přečíslovat. Kupříkladu hodoty budou čley řady abývat je pro sudá, avšak řada v klasickém zápisu je vždy idexováa všemi celými čísly počíaje ějakým 0. Je tedy třeba alézt bijekci ějaké možiy I k {k + ; N 0 } {k, k +, k +,... }, k Z a možiu sudých přirozeých čísel. V ašem případě je řešeí jedoduché: zobrazeí splňuje všechy požadovaé vlastosti, jeho proměou tedy můžeme použít k idexaci a hodoty dosadit do čleů řady. V případě lichých čleů můžeme použít zobrazeí + (pak bude řada idexováa od 0, aby prví hodota byla ), ebo (idexováo od ). Zvolíme apř. druhou možost a můžeme psát ( ( + ( ) ) + ( ( ) ) ) () + ( ) , což je hledaý rozklad. Příklad A. Zjedodušte řadu (A.) si π. Řešeí. Zjedodušeí řady (jako kteréhokoli jiého matematického výrazu) je edefiovaým, ituitivím pojmem. Zpravidla se jím rozumí převedeí a takový ekvivaletí tvar, který je vhodý pro řešeí avazující úlohy určitého typu (apř. dosazeí, zjištěí kovergece, derivace, itegrace... ). V případě řad bývají často obtížými čley, jichž se úpravou pokud možo chceme zbavit, goiometrické poslouposti. Nabývají-li hodot vyjádřitelých pomocí elemetárích fukcí, je to často možé. V ašem případě se jedá o posloupost si π, která abývá periodicky hodot, 0,, 0. Vidíme ihed, že všechy sudé čley řady (A.) jsou ulové. Stejě jako v předchozím výkladu řadu rozdělíme pomocí bijekcí a a dvě: si π si π + si ( )π si π + si ( π π ) Jak víme, pro každé k Z je si kπ 0, všechy čley prví řady i její součet jsou tedy ulové. Čley poslouposti si ( π π ) mají hodoty střídavě a, posloupost je tedy shodá s posloupostí ( ). Výsledek je si π ( )

3 Příklad B. Nalezěte součet řady (B.) v závislosti a s, kde ( ) (B.) s Řešeí. Čley řady (B.) jsou zřejmě lichými čley řady (B.). Zkusme tedy podle předchozího rozložit řadu (B.) a součet řad sudých a lichých čleů (opět je to umožěo ezáporostí čleů řady): s. () + ( ) Řadu sudých čleů můžeme jedoduše upravit a vyjádřit její součet pomocí s: Po dosazeí do předchozího dostáváme a odtud hledaý výsledek: () 4 4 s s 4 + ( ) ( ) 3 4 s 4 s Pozameejme, že úloha alézt hodotu s byla ve své době velmi slavým, tzv. Basilejským problémem, o jehož řešeí se a přelomu 7. a 8. století eúspěšě pokoušela celá špička tehdejší matematiky. Až roku 735 ukázal švýcarský matematik Leohard Euler, že Příklad C. Nalezěte součet řady (C.) Použijte vztah (C.) s 0 0 π 6. +!.! e. Řešeí. Vztah (C.) záme už z kapitoly ity posloupostí, byť v trochu jiém tvaru: ( e 0! +! +! + + )! Použijeme-li termiologie teorie řad, můžeme říci, že čley poslouposti vpravo jsou částečými součty řady (C.) a jejich ita je tedy jejím součtem. 3

4 Abychom alezli součet řady (C.), rozdělíme ji opět a dvě, tetokrát ovšem odlišým způsobem ebudeme vytvářet vybraé řady (jako bylo předchozí děleí a sudé a liché čley), ale rozdělíme přímo -tý čle řady a dva: +!! +! Smysl takového rozděleí je pochopitelě v tom, že prví ze vziklých zlomků můžeme krátit a tak zjedodušit. Zde ovšem pozor kráceí zde umožňuje rovost! ( )!, která platí pro N, ale ikoli pro 0 (pokud si teto fakt euvědomíme, mělo by ás přiejmeším apadout, že ulou elze krátit). Teto případ musíme také uvažovat, protože řada (C.) je idexováa právě od uly. V takovém případě je obecě třeba čley, které se chovají jiak ež ostatí, oddělit. 0! 0 0! +! ( )! Protože řadu, která má ve jmeovateli ( )!, eumíme přímo sečíst, přečíslujeme ji použitím zpěté bijekce + : ( )!! Nyí je už řešeí triviálí: 0 +! 0 (! + )! 0 0! + 0! 0! e. PŘÍKLADY. Zjedodušte řadu ( + )( ) 4 cos π.. Nalezěte součet řady 3. Nalezěte součet řady ( ) v závislosti a s!.. Sčítáí řad Příklad D. Nalezěte součet řady (D.) 0 ( ) Řešeí. Řada je geometrická s kvocietem q 3 4. To lze zjistit z defiice geometrické poslouposti: q a + a ( ) + 3 (+)+ 5. (+) ( )

5 Protože je podíl + -ího a -tého čleu řady kostatí (ezávisí a ), jde o geometrickou řadu s kvocietem rovým tomuto podílu. Vyčísleí složeého zlomku ahoře je však zbytečě pracé jedodušší je použít tvrzeí, které říká, že je-li -tý čle poslouposti součiem (resp. podílem) kostat a čleů tvaru q a+b, je posloupost geometrická s kvocietem rovým součiu (podílu) výrazů q a. V tomto případě čley řady podmíku evidetě splňují a q ( ) Protože je < q <, řada koverguje a podle vzorce pro součet geometrické poslouposti je 0 Příklad E. Nalezěte součet řady (E.) Řešeí. Upravíme čley řady: ( ) ( ) ( ) ( + ) + Posledí úprava se azývá rozklad a parciálí zlomky a jako techika hraje důležitou roli apř. v itegrálím počtu při itegraci racioálích fukcí. V tomto případě ám umoží vyjádřit částečé součty řady (E.). Je totiž ( ) ( + 3 k + ) + ( 3 4 k ( ) + + ) + ( k k + ) k + Řadám tohoto typu se ěkdy říká teleskopické, protože odečteí stejých čleů umoží složit částečý součet řady stejě, jako teleskopický dalekohled. Záme-li vyjádřeí částečých součtů pomocí elemetárích fukcí, je už určeí součtu řady jedoduché, eboť je defiová jako jejich ita: ( + ) k k + Kovergece řad Příklad F. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (F.) ( + 3)( ). Řešeí. Protože čitatel a jmeovatel čleů řady jsou polyomy stejého stupě, bude ita čleů řady eulová: ( + 3)( ) a podle uté podmíky kovergece řada diverguje. ( + 3 )( ) 0 5

6 Příklad G. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (G.) si. Řešeí. V tomto případě ita čleů řady eexistuje. To je však silější tvrzeí, ež potřebujeme podle uté podmíky kovergece k divergeci řady stačí, aby se ita čleů řady erovala ule. To dokážeme jedoduše: v každém itervalu (kπ + π 6, kπ + 5π 6 ), kde fukce sius abývá hodot větších ež, leží alespoň jedo celé číslo, protože délka tohoto itervalu je π 3 > (takže v ěm dokoce leží alespoň dvě celá čísla). To zameá, že ekoečě moho čleů poslouposti si má hodotu větší ež, což podle defiice ity zameá, že ita jistě eí ula, protože eexistuje takový čle poslouposti, od ějž dál už se všechy čley poslouposti liší od uly o méě ež (také lze říci, čley s hodotou větší ež tvoří vybraou posloupost, jejíž ita emůže být ula). Řada tedy diverguje. Pozameejme, že pokud bychom chtěli dokázat eexisteci ity poslouposti si, museli bychom stejým způsobem jako výše uvažovat ještě apř. itervaly, v ichž je fukce sius záporá. Protože je ekoečě moho čleů větších ež a ekoečě moho záporých, eí splěa Bolzao-Cauchyho podmíka a protože je posloupost omezeá, emá itu (opět lze i pomocí dvou vybraých posloupostí). Příklad H. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady! (H.) ()!. Řešeí. Na řady se čley ve tvaru součiu ebo podílu faktoriálů se většiou (byť e vždy) osvědčuje podílové kritérium, a to v jeho jedodušší, ití podobě. (+)! ((+))!! ()! ( ( + )!! ) ()! ( + )! ( + ) ( + )( + ) 4 < Řada tedy koverguje a protože jsou její čley ezáporé, koverguje i absolutě. Příklad I. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (I.) ( 3). Řešeí. Tato řada je jedou z mála, u ichž má smysl použití eitího podílového kritéria. Zpravidla totiž a řady, a které toto kritérium lze aplikovat, lze buď použít jedodušší ití verzi, ebo je jedodušší použít jié kritérium (typicky srovávací, jak tomu je i v tomto případě). Spočtěme podíl po sobě ásledujících čleů řady: 3 + +( 3) ( 3) ( 3) + + ( 3) + 3 (3 + ( ) ) 3 + (3 + ( ) + ) 3 + ( ) 3(3 ( ) ) Pro sudá tedy bude hodota podílu 3, pro lichá 6. Existuje tedy q 3 < takové, že pro každé N platí a + a q, a řada koverguje. Protože má ezáporé čley, koverguje i absolutě. Ukažme si ještě jiý postup. Jak bylo předesláo, lze v tomto případě použít srovávací kritérium. Protože je ( 3) 3, je ( 3) , a protože řada.3 je geometrická s kvocietem 3 původí. 6 a tedy kovergetí, koverguje i řada

7 Příklad J. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady ( ) 3 (J.). + Řešeí. Odmociové kritérium se zpravidla eužívá tak často jako kritérium podílové. Důvodem je techická obtížost it výrazů a. Přesto má svoji ezastupitelou úlohu právě u řad se čley ve tvaru mociy, kde expoet je polyom (či obecěji racioálí posloupost) proměé. -tá odmocia zameá děleí expoetu, což je vhodé, pokud je expoet přímo ásobkem. V příkladech, jako je teto, je třeba se se ejprve v expoetu zbavit sčítaců, jež ejsou ásobky, a to pomocí srovávacího kritéria. Pokud je to možé, u obou kritérií používáme jedodušší, ití verzi. Řadu (J.) (ozačme její čley a ) srováme s řadou b, kde ( ) 3 b, + a íž už bude možo aplikovat odmociové kritérium. Máme a b ( ) 3 + ( + ) 3 (0, ) + a kovergece obou řad je tedy ekvivaletí. A protože ( ) 3 ( ) <, kovergují obě řady absolutě. Pozameejme, že případy, ve kterých je posledí ita rova jedé, elze rozhodout odmociovým kritériem, zpravidla však postačí použít utou podmíku kovergece. Příklad K. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (K.) si cos. Řešeí. Prví, čeho bychom si měli povšimout, je, že se v tomto případě ejedá o řadu s ezáporými čley. Čley této řady měí zaméko, elze tedy použít kritéria určeá pro řady s ezáporými čley, zároveň eí jasé, jak rozložit čley a souči, aby bylo možo použít Abelova či Dirichletova kritéria (protože souči eobsahuje mootóí posloupost, museli bychom ji dodat rozšířeím, to by však zkomplikovalo zbytek). Příklady tohoto typu jsou obecě velmi obtížé, jedoduše je lze řešit prakticky je tehdy, když lze k důkazu divergece použít utou podmíku kovergece (která a zaméku čleů ezávisí) ebo k důkazu kovergece kovergeci absolutí. Touto cestou se vydáme i zde. Budeme zkoumat kovergeci řady si cos si cos pomocí odmociového kritéria (k ěmuž ás vede tvar čleů řady jako -tých moci). Hed však vidíme, že výraz si cos, který ám vzike, patrě emá itu, a ebude tedy možo použít ití verze kritéria. Pokud by se ám však podařilo dokázat, že je teto výraz shora omezeý kostatou meší ež, řada by kovergovala podle eití verze kritéria. To se ám malou úpravou skutečě podaří: si cos si si cos a řada tedy absolutě koverguje. 7

8 Příklad L. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (L.). Řešeí. Na prví pohled je zřejmé, že řada splňuje utou podmíku kovergece. Zároveň emá smysl použít podílové či odmociové kritérium, protože řada eobsahuje žádý čle rostoucí alespoň tak rychle, jako geometrická posloupost (a ity z podílového i odmociového kritéria tedy budou rovy jedé). Jde tedy o typický příklad použití kritéria srovávacího. To je obecě ejsilější z kritérií pro řady s ezáporými čley, dokážeme-li ovšem ajít vhodou řadu ke srováí, jejíž kovergeci budeme zát. Naší řadě je podobá řada (E.). Zkusme ejprve použít eití verzi srovávacího kritéria. Protože řada (E.) koverguje, pokusíme se totéž dokázat pro zkoumaou řadu (L.) toto rozhodutí je u eití verze zásadí, protože ám říká, zda se máme vyšetřovaou řadu pokusit omezit shora (áš případ) ebo zdola (pokud dokazujeme divergeci). Pokus o přímé srováí odpovídajících si čleů evyjde, je totiž > +, což je opak toho, co bychom potřebovali. To lze však lehce apravit s -tým čleem řady (E.) srováme + -í čle řady (L.): ( + ) < + a odtud dostáváme kovergeci řady, což je však řada bez prvího čleu. Kovergece řady však a koečém počtu čleů ezáleží, proto vyšetřovaá řada absolutě ko- (+) verguje. Ještě jedodušeji můžeme výsledek dostat použitím itího srovávacího kritéria: + + (0, ), tedy kovergece obou řad je ekvivaletí a protože řada (E.) koverguje, koverguje i řada (L.). Teto důležitý příklad a divergece harmoické řady ám umoží rozhodovat o kovergeci řad ( ) α, kde α ebo α. Je totiž zřejmé, že pro α je α a tedy řada ( ) podle srovávacího kritéria diverguje, zatímco pro α je a řada podle téhož kritéria koverguje. α Tohoto faktu budeme od yějška využívat, aiž bychom jej zova dokazovali. U řad ( ) s α (, ) zůstává otázka kovergece pro ás otevřeá; prozraďme, že pro všecha α > řada koverguje, což lze poěkud obtížě dokázat i elemetárími prostředky (viz soubor alphabeta.pdf ), jedoduše (a dokoce v obecější podobě) pak pomocí tzv. itegrálího kritéria, které však vyžaduje zavedeí itegrálů a je pro ás v tuto chvíli edostupé. Předchozí odstavec má zásadí výzam pro použití srovávacího kritéria. Tam totiž musíme zkostruovat řadu, s íž vyšetřovaou řadu srováme, a o íž již musíme vědět (ebo být schopi podle ějakého kritéria určit), zda koverguje. Nyí tedy máme k dispozici dva typy řad, jejichž kovergeci jsme schopi určit přímo řady z předchozího odstavce a řady geometrické. 8

9 Příklad M. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (M.) ( + ) l( + ). Řešeí. Ze stejého důvodu jako v předchozím příkladě emá smysl použít podílové ebo odmociové kritérium. Techikami zámými z výpočtů it upravíme čley zadaé řady, abychom ašli řadu, se kterou budeme srovávat: + ( + ) ( + + ) ( l( + ) l ( + )) ( l + l + ) ( l + l ( + )) l Vyjádřili jsme tedy čley řady (M.) (ozačme je a ) ve tvaru ( ) 4 l + l(+ ) l a ), ( + + jehož smysl tkví v tom, že ahrazeím závorek jejich koečými eulovými itami (čitatel) resp. (jmeovatel) dostaeme podstatě zjedodušeý výraz vhodý jako čle srovávací řady b : b l Dokázat ekvivaleci kovergece obou řad je yí triviálí: a b! 4 l + l (+ ) l q+ + l (0, ) Čley srovávací řady b jsou již maximálě zjedodušeé, kovergeci této řady však ezáme. Je třeba opět použít srovávací kritérium (tetokrát v eití verzi) a porovat řadu s ějakou řadou, jejíž kovergeci již budeme zát. Zde se abízí použití řady, ejprve α ás patrě apade α 5. Teto pokus je však odsouze k eúspěchu: l 5 l, skoro všechy čley řady b jsou tedy větší ež čley kovergetí řady 5, z čehož pochopitelě plye jediý závěr, a to, že toto srováí je k ičemu (pozameejme, že pokud by byl čle l ve jmeovateli, byla by erovost opačá a příklad by byl vyřeše). Obtížý logaritmus v čitateli však můžeme zeutralizovat libovolě malou mociou : protože l l pro s.v., l 0, což plye ze vztahu l k k pro k, k > 0. Čley řady b jsme tedy shora omezili čley kovergetí řady (říkáme také, že tato řada je pro řadu b kovergetí majoratou), a tedy b i řada (M.) absolutě kovergují. 9

10 Příklad N. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (N.) tg. Řešeí. Příklady, ve kterých se vyskytuje trascedetí elemetárí fukce, jejímž argumetem je posloupost jdoucí k ule (což zde plye ze vztahu k q pro k > 0, q > ), řešíme zpravidla a základě zalosti chováí takové fukce v okolí uly. V případě fukce tg x víme, že pro každé x 0, π si x ) platí tg x x, čímž máme odhad fukce zdola. Zároveň tg x cos x a protože apř. pro x 0, π 3 je cos x (plye to z toho, že fukce cos x je a tomto itervalu klesající a cos π 3 ) a si x x, je a témž itervalu tg x x x (erovost plye z toho, že jsme zvětšili čitatel a zmešili jmeovatel ), což je omezeí tg x shora. Iterval platosti zde eí omezeím koverguje-li posloupost kladých čísel k ule, bude libovolý iterval (0, ε), ε > 0 obsahovat skoro všechy její čley. Řada tg a, kde a 0 tedy bude kovergovat právě tehdy, když bude kovergovat a, protože její čley omezují tg a zdola a čley poslouposti a, jejíž kovergece je ekvivaletí, shora. Zjistíme tedy ejprve, zda koverguje argumet a pak pomocí ěj omezíme vyšetřovaou řadu shora ebo zdola. Řada je typickou řadou vhodou pro užití podílového kritéria: (+) + ( + ) < a řada tedy koverguje. Podle předchozího odstavce tedy omezíme čley řady (N.) shora: tg pro s.v. a můžeme kostatovat, že řada (N.) koverguje absolutě podle srovávacího kritéria. Shrňme zámé vlastosti elemetárích fukcí, které umoží jejich odhady v okolí uly, resp. dalších důležitých bodů. Z předchozího odstavce máme pro x 0, π 3 : x tg x x. Teto odhad však můžeme použít je tehdy, je-li vitří posloupost ezáporá. Z lichosti všech tří fukcí v erovosti však sado dostaeme aalogický odhad pro x ekladá: je-li x π 3, 0, platí x tg( x) tg x x, eboli x tg x x. Odhady pro ezáporá a ekladá x můžeme shrout do jedoho: pro x π 3, π 3 je x tg x x. Pozameejme, že horí odhad lze zlepšit (tedy sížit), protože omezíme-li se a kratší iterval (což lze, protože koverguje-li vitří posloupost k ule, stačí odhad a libovolě malém itervalu ( ε, ε), kde ε > 0), můžeme zvýšit miimálí hodotu cos x a tomto itervalu (apř. pro x π 6, π 6 platí cos x 3 a tedy tg x x 3 ). Z předchozího odstavce je zřejmé, že v tomto případě by takové zlepšeí emělo smysl, v jiých příkladech (apř. při použití eitího odmociového kritéria) však ao. Další zlepšeí umožňuje odhad fukce cos x ikoli kostatou, ale fukcí, což však překračuje rámec tohoto textu. Na rozdíl do horího odhadu uvedeý spodí odhad zlepšit elze (resp. e multiplikativí kostatou) pro žádé α > eplatí α x tg x a žádém itervalu ( ε, ε), což plye okamžitě z toho, že horí odhad můžeme zkracováím itervalu sížit a libovolé α x, α > (protože cos x je v dostatečě malém itervalu kolem uly větší ež α ). Věujme se yí odhadům dalších fukcí. Víme, že pro x 0, ) je si x x, máme tedy odhad fukce si x shora. Zároveň pro x 0, π si x ) platí tg x cos x x, eboli si x x cos x. Stejě jako při odvozeí odhadu tg x se můžeme omezit a iterval 0, π 3, kde platí cos x a tedy pro x 0, π 3 máme x si x x. Stejě jako u tg x můžeme použít lichost pro odhad 0

11 v záporých x a dostaeme uiverzálí odhad: pro každé x π 3, π x 3 je si x x. V tomto případě lze volbou užšího itervalu zlepšit dolí odhad, a to a α x, kde α <. Odhady fukce cotg x můžeme velice sado odvodit z již hotových odhadů pro tg x. Pro x ( π, 0) ( 0, π ) totiž platí cotg x tg x, což spolu s odhady tg x dává pro x π 3, 0) ( 0, π 3 erovosti x tg x cotg x x. Odhad zdola lze zlepšit a α x pro α >. Pro x 0 emá odhad pochopitelě smysl, protože v tomto bodě eí fukce cotg x defiováa. Zbývající goiometrickou fukci, cos x, lze pomocí racioálích fukcí odhadout také, tyto odhady však (byť je lze sado odvodit ze získaých odhadů pro si x), překračují rámec tohoto textu. Pro aše účely postačí odhad pomocí kostat: pro x R je cos x a apř. pro x π 3, π 3 je cos x. Překvapivě sado lze pomocí již odvozeých vztahů získat odhady epříjemých cyklometrických fukcí stačí využít toho, že jsou defiováy jako iverzí fukce ke goiometrickým fukcím zúžeým a určitý iterval. Například dosadíme-li do odhadu y π 3 y tg y y za y výraz arctg x, dostaeme arctg x π 3 arctg x tg arctg x arctg x. Protože tg π 3 3 a arctg x je rostoucí, lichá a spojitá fukce, je podmíka arctg x π 3 ekvivaletí s x 3, 3. K fukci arctg x je (a celém R) iverzí fukce tg x ( π, π ), proto je tg arctg x x. Po této úpravě můžeme dvojitou erovost arctg x x arctg x rozepsat a dvě erovosti a pravou z ich dělit dvěma. Dostaeme výsledé odhady fukce arctg x: pro každé x 3, 3 je x arctg x x. Provedeme-li popsaou substituci ve zlepšeém horím odhadu fukce tg x (viz výše), dostaeme zlepšeý dolí odhad arctg x. Naprosto stejým postupem (který z tohoto důvodu ai euvádíme) dostaeme odhady fukce arcsi x: pro každé x 3, 3 je x arcsi x x s možostí zlepšeí horího odhadu. Fukce arccotg x je iverzí k cotg x v itervalu (0, π), proto se předem omezíme a kladá x. Podmíka 0 < y π 3 (vziklá kojukcí podmíky z odhadů cotg x a podmíkou kladosti z předchozí věty) po substituci y arccotg x dá erovosti 0 < arccotg x π 3, z ichž levá je splěa vždy, pravá pro x cotg arccotg x cotg π 3 3. Změa erovosti je samozřejmě důsledkem toho, že fukce cotg x je a itervalu (0, π) klesající. Iterval platosti odhadů pro arccotg x má tedy zásadě odlišý charakter, ež je tomu v ostatích případech. Odvozeí samotých odhadujících erovostí je opět velice podobé ) předchozím a přeecháváme jej čteáři jako cvičeí. Výsledek: pro všecha x 3, je x arccotg x x s možostí zlepšeí dolího odhadu. Posledími dvěma fukcemi, jejichž chováí v okolí výzamých bodů je třeba zát, je e x a l x. V prvím případě vyjděme z erovosti +x e x, která platí a celém R (algebraicky říká, že graf fukce e x je všude ad grafem jeho tečy v bodě 0) a je horím odhadem. Dosazeím x za x z í, opět v celém R, dostaeme x e x e a odtud pro x > 0 x (, ) x (aby se při děleí erovosti x ezměila erovost) horí odhad e x x. Vzhledem k rozdílosti itervalu pro horí a dolí odhad je v tomto případě euvádíme v jedé erovosti, i když tato erovost pro x (, ) samozřejmě platí. Fukce l x je iverzí k e x a celém R, proto můžeme opět dostat její odhady substitucí y l x v odhadech fukce e y. V případě horího odhadu dostaeme pro x R + erovost + l x e l x x, eboli l x x, což je dolí odhad l x. Pozameejme, že ačkoli platí pro všecha kladá x, je podstatý hlavě v okolí bodu, často se také uvádí ve tvaru x (, ) : l( + x) x, což je odhad v okolí uly. Z mezitvaru dolího odhadu fukce e y máme pro x R + mezitvar horího odhadu l x: l x e l x e l x x, který sado převedeme a výsledý x l x. Výhoda použití mezitvaru tkví eje ve sazší algebraické úpravě, ale hlavě v širším oboru platosti. Pokud bychom odvozovali z výsledého odhadu e y, dostali bychom odhad je pro x (0, e) (rozmyslete si). Odhad se opět používá i

12 ve tvaru pro okolí uly x (, ) : +x x +x l( + x). V případě logaritmu jsou itervaly odhadů stejé, můžeme je tedy sjedotit do x R + : x l x x, resp. x x (, ) : +x l( + x) x. Odhady ex a l x elze zlepšit multiplikativí kostatou. Zapamatovat si výše uvedeé odhady v algebraické podobě je začě obtížé. Nejjedodušší je patrě grafická představa: dokážeme-li si představit grafy fukcí x, x a x a fukce si x a tg x sevřeé mezi prvími, resp. druhými dvěma fukcemi, a víme-li, že v ějakém okolí uly (bez uly samoté) platí cotg x tg x a že grafy fukcí k sobě iverzích jsou symetrické podle osy prvího a třetího kvadratu (tedy podle přímky y x), lze odhady goiometrických a cyklometrických fukcí velmi rychle odvodit. Oproti tomu u expoeciály a logaritmu je už obtížější přesá představa omezujících racioálích fukcí, zatímco algebraické odvozeí je jedoduché, proto je patrě ejefektivější graficky si pamatovat odhady přímkou (e x zdola a l x shora) a ostatí odvodit popsaým způsobem. Ukažme si yí použití odvozeých odhadů a dalších příkladech. Příklad O. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (O.) arccotg. Řešeí. Pro všecha N spadají hodoty do itervalu ) 3,, pro který záme odhad fukce arccotg x (stačilo by ovšem, aby tam spadaly pro s.v. ). Protože evíme, zda budeme potřebovat horí či dolí odhad, použijeme uiverzálí tvar s oběma odhady. Je tedy arccotg, z čehož umocěím a druhou (což je zde korektí, protože všechy stray jsou ezáporé) a vyásobeím dostáváme arccotg 4. Máme tedy odhad jmeovatele, převráceím získáme odhad čleů řady: arccotg 4 a vidíme, že potřebujeme pouze odhad zdola (který ovšem vzikl převráceím odhadu arccotg shora), protože řada je a prví pohled divergetí (její součet je zřejmě, také esplňuje utou podmíku kovergece řady), a tedy podle srovávacího kritéria diverguje i řada (O.). Příklad P. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady ( (P.) arcsi ). Řešeí. Čley této řady jsou ezáporé a jejich tvar vybízí k použití odmociového kritéria, avšak v eití verzi, protože spočíst itu výrazu ( arcsi ) arcsi je začě obtížé. Právě pro tyto případy však jsou určey odhady. Posloupost má itu 0 a skoro všechy její čley budou v libovolém itervalu, jehož je 0 vitřím bodem. Můžeme tedy předpokládat, že 3, 3 a že tudíž arcsi (absolutí hodoty vyecháváme, protože všechy výrazy jsou kladé), z čehož po vyásobeí máme arcsi.

13 Teto odhad však estačí abychom mohli říci, že řada podle odmociového kritéria koverguje, museli bychom dokázat, že její čley jsou meší ebo rovy ějakému q <. Horí odhad arcsi x lze ovšem zlepšit, a to tak, že zlepšíme odhad si x zdola a pomocí substituce přejdeme k iverzí fukci (viz postup výše). Pro y ( π, π ) je si y y cos y, stačí tedy odhadout cos y zdola větší kostatou ež, která byla použita v odhadu, který jsme zkoušeli výše. To lze sado: apř. pro y π 4, π 4 je cos y, tedy si y y. Substitucí y arcsi x dostáváme pro x, odhad arcsi x x, eboli arcsi x x. Zopakujeme předchozí postup s ovým odhadem (tetokrát už je shora): a po vyásobeí dostáváme arcsi arcsi <, čímž jsme podle odmociového kritéria dokázali, že řada absolutě koverguje. Příklad Q. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (Q.) ( ) +. Řešeí. Jde o typickou alterující řadu (tedy řadu se střídavými zaméky). Speciálě pro tyto řady je určeo Leibizovo kritérium, které má ovšem evýhodu: lze pomocí ěj zjistit je eabsolutí kovergeci, divergeci a absolutí kovergeci ikoli. Doporučeý postup pro alterující řady je tedy ásledující: ejprve zkusíme utou podmíku kovergece, pokud je splěa, zkoumáme absolutí kovergeci (v případě, že vidíme, že řada absolutě koverguje, můžeme utou podmíku přeskočit) a pouze v případě, že řada ekoverguje absolutě, zkoušíme ověřit předpoklady Leibizova kritérias. Protože jede je shodý s utou podmíkou kovergece a byl již ověře, dokážeme pouze, že posloupost absolutích hodot čleů řady je (alespoň od ějakého čleu dále) erostoucí. To provedeme z defiice posloupost (a ) je erostoucí od 0 -tého čleu, pokud pro všecha 0 platí a + a. Proveďme yí doporučeý postup pro řadu (Q.). Ozačme čley řady (Q.) a. Nutá podmíka kovergece je splěa, protože a + 0. Zkusme tedy absolutí kovergeci. Řada a splňuje utou podmíku kovergece, zároveň však eobsahuje žádý čle rostoucí alespoň jako geometrická posloupost, proto emá smysl použití podílového a odmociového kritéria. Použijeme kritérium srovávací (itě) ejvětší čley v čitateli a jmeovateli budou tvořit čitatel a jmeovatel čleů srovávací řady: a protože a b b, + (0, ), + a harmoická řada b diverguje (α, viz výše), diverguje i řada a a tedy řada (Q.) ekoverguje absolutě. 3

14 Zkusme tedy aplikovat Leibizovo kritérium. Zjistíme, zda je posloupost ( a ) erostoucí. Zameá to řešit erovost + ( + ) + + ( + )( + ) ( + + 3) Přesé řešeí (tj. alezeí všech, která takovou erovost splňují) by vyžadovalo řešeí kvadratické erovice, to je však v tomto případě zbytečě složité. Stačí vědět, že výsledá erovost (kterou jsme dostali ekvivaletími úpravami erovosti původí), je splěa pro s.v.. To je však sadé už pro je erovost splěa a pravá straa je jako součet rostoucích posloupostí rostoucí, tedy pro všecha > bude erovost splěa také. Obecěji lze argumetovat tak, že posloupost vpravo má itu, skoro všechy její čley tedy musí být větší ež. Tím jsme ověřili druhou podmíku Leibizova kritéria a můžeme říci, že řada (Q.) eabsolutě koverguje. Příklad R. Určete kovergeci a absolutí kovergeci řady (R.) cos(π) l +. Řešeí. Řada je alterující, protože cos(π) ( ) pro každé Z a druhý čle eměí zaméko: pro každé > je 0 < + < a tedy l + < 0. Ozačme čley řady (R.) a a protože od yějška budeme pracovat už je s jejich absolutími hodotami (v uté podmíce, případě absolutí kovergeci a Leibizově kritériu), poěkud je zjedodušíme: a ( ) l + l + l + Nutá podmíka kovergece je splěa: (R.) a l + 0, což plye ze spojitosti fukce l x v bodě ebo také z odhadu x R + : x l x x protože +, jsou skoro všechy čley poslouposti + v itervalu platosti odhadu, a tedy + + l + +. Protože + 0, platí podle věty o itě sevřeé poslouposti ( o dvou policajtech ) i (R.). Použitý odhad však abízí mohem více, ež je ověřeí uté podmíky kovergece. Velmi sado pomocí ěj rozhodeme i další test alterující řady, absolutí kovergeci. Řady + i lze pomocí itího srovávacího kritéria srovat s řadou, o které víme, že koverguje (viz příklad L). Proto s í srováme řadu horích odhadů to ám ásledě umoží pomocí eití verze srovávacího kritéria ověřit kovergeci řady a. (0, ), 4

15 kovergece řad a je tedy ekvivaletí a protože druhá z ich koverguje, koverguje i prví. Ta je ovšem kovergetí majoratou řady a, která tudíž také koverguje. To zameá, že řada (R.) koverguje absolutě a použít Leibizovo kritérium již eí třeba. 5