Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic"

Transkript

1 Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé poloze dvou přímek v roviě rozhodout a základě počtu jejich společých bodů. Dvě přímky v roviě mají buď ekoečě moho společých bodů (pak jsou totožé) ebo právě jede společý bod (pak jsou růzoběžé) ebo emají žádý společý bod (pak jsou rovoběžé. Budeme tedy hledat body splňující vždy rovice obou přímek, proto sestavíme soustavy dvou rovic o dvou ezámých a ty vyřešíme. Krom zámých metod (sčítací, dosazovací, grafické) můžeme využít Gaussovy elimiačí metody, která poskytuje vhodý zkráceý zápis: ř a) 1 1 3ř1ř Platí tedy h( A) h( A) 2, soustava má tedy jedié řešeí. Z druhé rovice dostáváme, že y 1, dosazeím do prví rovice obdržíme x 2. Přímky p, a jsou tedy růzoběžé a jejich průsečíkem je bod P 2, 1. b) ř ( 2) ř ř Platí tedy h( A) 1, h( A) 2, soustava tedy emá řešeí a přímky p, b jsou rovoběžé vzhledem k lieárí závislosti jejich ormálových vektorů p (1,1), (2,2). c) ř ( 3) ř ř Platí tedy h( A) h( A) 1, soustava má tedy ekoečě moho řešeí. Přímky p, c jsou tedy totožé. Z obecé rovice (kterékoliv z ich) můžeme sado vypočítat jejich společé parametrické vyjádřeí. Zvolíme apř. y t a sado dopočítáme, že x1 t. Parametrické vyjádřeí má tedy tvar p c : x 1 t, Grafické řešeí úlohy je a obrázku 4.1. y t, t. b 1

2 Obrázek 4.1.: Vzájemá poloha přímek v roviě Soustavy lieárích rovic Nejprve zobecíme dobře zámé pojmy: Soustavou r lieárích rovic o ezámých x,, 1 x (počet rovic se emusí rovat počtu ezámých) rozumíme zápis a x a x a x b, a x a x a x b, (7.1) a x a x a x b. r1 1 r 2 2 r r Reálá čísla a kl, pro k 1,, r a l 1,, azýváme koeficiety soustavy (7.1), reálá čísla b i azýváme sloupcem pravých stra. Uspořádaou -tici ( k1,, k ) azveme řešeím soustavy (7.1), jestliže po jejím dosazeí za ezámé x,, 1 x budou všechy rovice v soustavě (7.1) splěy Defiice Maticí A typu ( r s) rozumíme obdélíkovou tabulku a11 a12 a13 a1s a21 a22 a23 a2s A ar1 ar 2 ar3 ars utvořeou z libovolých r s reálých (či v případě potřeby komplexích) čísel uspořádaých do r řádků a s sloupců. Čísla a ij, kde i 1,, r a j 1,, s, azýváme prvky matice. Jelikož prvek a ij leží a průsečíku i -tého řádku a j -tého sloupce, azýváme číslo i (prví idex) řádkovým idexem a číslo j (druhý idex) sloupcovým idexem. a ij měí se j a a a a a a a a w a a a a r řádků měí se i s sloupců Matice r krát s m1 m2 m3 m Obrázek 2.1: Sloupcové a řádkové idexy v matici 2

3 7.3. Pozámky. (i) Matice ozačujeme velkými písmey, jejich prvky odpovídajícími malými písmey, B b m. (ii) Matici, která má pouze jede řádek, tedy matici typu (1 s), azýváme řádkovým vektorem, podobě matici, která má pouze jede sloupec, tedy matici typu ( r 1), azýváme sloupcovým vektorem. tedy A a ij, Operace s maticemi Při defiici základích operací se využívá toho, že řádky a sloupce matice lze chápat jako vektory. Nic ám tedy ebráí použít vektorovou defiici těchto operací: 7.4. Defiice Buďte A a ij a B b ij matice stejého typu ( r s) a buď k. Součtem matic AB, rozumíme matici C A B, která je rověž typu ( r s) a pro jejíž prvky platí cij aij bij, pro i 1,, r a j 1,, s. Podobě k -ásobkem matice A rozumíme matici D ka, rověž typu ( r s), pro jejíž prvky platí d k a i 1,, r j 1,, s. ij, pro a ij 7.5. Příklad Pro matice A, B spočítejme matice AB, 2 A, 3A B. Platí: A B, 2 A, 3 A B Defiice Součiem matice A a ij ik typu ( m ) s maticí B b jk C c A B typu ( m p), pro jejíž prvky platí typu ( p) je matice ik i1 1k i2 2k i k ij jk j1 c a b a b a b a b. (7.2) Tedy, prvek ik c vzike jako skalárí souči i -tého řádku prví matice a k -tého sloupce druhé matice. 3

4 7.7. Příklad K zápisu ásobeí matic C A B je výhodé použít tzv. multiplikačí schéma: A, B, A B C Multiplikačí schéma ás avádí ke správému výběru řádku a sloupce z matic AB., Například 0 a druhém řádku a v prvím sloupci výsledé matice C vzikla jako skalárí souči druhého řádku matice A a prvího sloupce matice B, tedy ( 3) 00 ( 1) 0. Obrázek 2.2: Multiplikačí schéma 7.8. Defiice Maticí soustavy (7.1) rozumíme matici a11 a12 a1 a21 a22 a2 A (7.3) ar1 ar 2 ar typu ( r ), kde r se emusí rovat. Rozšířeou maticí soustavy (7.1) pak rozumíme matici a11 a12 a1 b1 a21 a22 a2 b2 A (7.4) ar1 ar 2 ar br typu ( r 1). Ozačíme-li x1 b1 x2 b2 X, B, x br můžeme soustavu (7.1) zapsat v maticovém tvaru AX B. (7.5) 7.9. Pozámky. (i) V literatuře se rozšířeá matice ozačuje moha růzými způsoby, krom ámi preferovaého ozačeí A se často používá také A, A B, R, apod. 4

5 (ii) Rovice (7.5) se často zapisuje ve tvaru Ax b, zejméa v případech, kdy potřebujeme zdůrazit vektorový charakter matic X a B, které jsou opravdu sloupcovými vektory, tedy maticemi typu ( r 1) Defiice Soustavu rovic Ax b azýváme homogeí, je-li b o, tedy je-li bi 0 pro všecha i 1,, r. V opačém případě azýváme soustavu ehomogeí Věta (i) Homogeí soustava má vždy řešeí. (ii) Možia všech řešeí homogeí soustavy tvoří vektorový podprostor K. Důkaz. (i) o je vždy řešeím homogeí rovice Ax o, jelikož Ao o. (ii) Podívejme se, zda jsou splěy podmíky z defiice vektorového podprostoru. Jelikož z předchozího víme, že o K ( o je vždy řešeím), stačí ukázat, že pro každý skalár c a pro každá dvě řešeí xy, jsou také c x a x y řešeí (tedy patří do K ). To je ale sadé: A( c x) c A x co o a podobě A( x y) A x A y o o o Pozámka. Každé řešeí soustavy Ax o získáme jako lieárí kombiaci prvků z K. Jakoukoliv bázi podprostoru K azýváme fudametálí systém řešeí. Homogeí soustavy hrají důležitou roli i pro řešeí ehomogeích rovic Věta (i) Každé řešeí ehomogeí soustavy lieárích rovic Ax b se dá vždy vyjádřit ve tvaru x x x, (7.6) h kde x p je pevě zvoleé řešeí ehomogeí soustavy Ax b, tedy tzv. partikulárí řešeí, a x je ějaké řešeí příslušé homogeí soustavy Ax o. h (ii) Je-li x, 1 x fudametálí systém řešeí soustavy Ax o, pak lze možiu všech, r řešeí ehomogeí soustavy Ax b apsat ve tvaru K x c x c x c c., p 1 1 r r 1 r Tato věta je velmi důležitá také proto, že platí i pro lieárí difereciálí rovice, se kterými se sezámíme v ásledujícím semestru. Možia K všech řešeí ehomogeí soustavy tvoří tzv. afií prostor. p 5

6 Hodost matice Stejě jako s rovicemi v soustavách můžeme maipulovat s řádky matice. Při vhodých úpravách se důležité vlastosti matice eměí, přitom můžeme převodem a vhodější tvar, dosáhout toho, že ěkteré důležité vlastosti matice budou mohem lépe patré Defiice Maticí ve schodovitém tvaru rozumíme matici, ve které každý eulový řádek začíá více ulami ež te předchozí. Přitom prví řádek emusí začíat vůbec žádými ulovými prvky, a ulové řádky (ty mají všechy prvky ulové) jsou umístěy pod všemi eulovými řádky. Gaussovou Jordaovou maticí rozumíme matici ve schodovitém tvaru, kde prví eulové prvky a řádcích (azýváme je pivoty) jsou rovy jedé, a dále jsou všechy ostatí prvky ve sloupci s pivotem (ad i pod ím) ulové. Horí trojúhelíkovou maticí rozumíme matici, ve které aij 0 vždy když je i j. Aalogicky pro dolí trojúhelíkovou matici platí aij 0 pro i j Příklad Matice A 0 2 3, B 0 0 3, C jsou všechy horí trojúhelíkové, ale ve schodovitém tvaru jsou pouze matice A, C. Matice C je avíc Gaussova Jordaova matice Defiice Ekvivaletí řádkovou úpravou rozumíme 1. výměu pořadí řádků matice, 2. vyásobeí libovolého řádku reálým číslem k 0, 3. přičteí (k ěkterému řádku) libovolé lieárí kombiace zbývajících řádků, speciálě přičteí k -ásobku ěkterého řádku k jiému řádku a 4. vyecháí řádku, který je lieárí kombiací ostatích řádků, speciálě vyecháí řádku, který je ulový ebo stejý jako jiý řádek v matici. Matici B ve schodovitém tvaru, která vzikla ekvivaletími řádkovými úpravami matice A, azýváme ekvivaletí s A a ozačujeme to A B Věta (1) Hodost matice A je rova počtu eulových řádků ekvivaletí matice B A ve schodovitém tvaru. (2) Hodost matice se aplikací ekvivaletích řádkových úprav ezměí. Dodejme, že eulovým řádkem rozumíme každý řádek, který eí ulový, tedy každý řádek, který má alespoň jede prvek růzý od uly. 6

7 7.18. Příklady (i) Určete hodost matic A z předchozího příkladu. (ii) Určete hodost ásledující matice A. Hodost matice učíme tak, že matici A převedeme a schodovitý tvar: A B a spočítáme eulové řádky ekvivaletí matice B. Tedy, ha ( ) Frobeiova věta (i) Soustava lieárích rovic AX B má řešeí právě tehdy, když h( A) h( A). (ii) Ozačme k h( A) h( A). Má-li soustava ezámých a je-li k, pak má soustava AX B právě jedo řešeí. k, pak má soustava AX B ekoečě moho řešeí, která tvoří ( k) - dimezioálí podprostor (řešeí můžeme popsat ( k) ezávislými parametry). Frobeiova věta odpovídá a otázku existece a jedozačosti řešeí, ale eposkytuje metodu jejich výpočtu. Tři možé metody výpočtu řešeí soustavy představíme v ásledujících kapitolách. Zámé metody hledáí řešeí (zejméa sčítací a dosazovací metoda) se také dají přímo zobecit a teto případ Příklad x y z 4, x y 4z 9, 2x 3y z 3, x y 2z 3, x 2y 2z 1, x y z 6, K (1, 2,1) K (5 t, t,1), t K x x 4x 9, x x 2x 3, x x x 9, Gaussova elimiačí metoda Gaussova elimiačí metoda je ve většiě případů velmi účiou metodou řešeí soustav lieárích algebraických rovic. Prodělala dlouhý historický vývoj, byla patrě záma již ve starověké Číě a přelomu ašeho letopočtu jako fag čcheg. Nezávisle se metoda vyvíjela v Evropě, a to ve třech fázích: ejjedodušší strategii postupé elimiace ezámých formuloval již I.Newto v 17. století, zobecil a vyprecizoval ji a počátku 19. století především C. F. Gauss (avazující a L. Eulera a J.-L. Lagrage) a později Camille Jorda. O maticový popis soustav se zasloužilo ěkolik matematiků, apříklad J. vo Neuma ebo Ala Turig, ovšem až ve 20. století Gaussova elimiačí metoda: Mějme zadáu soustavu lieárích algebraických rovic (7.1). 1. Zapíšeme koeficiety do rozšířeé matice soustavy (7.4). 2. Matici převedeme pomocí ekvivaletích řádkových úprav a schodovitý tvar. 7

8 3. Aplikujeme Frobeiovu větu. Tím zjistíme počet řešeí soustavy. 4. Ze schodovitého tvaru rozšířeé matice sestavíme zpět soustavu rovic, ze které sado dopočítáme řešeí soustavy. Postupujeme od posledí rovice, která obsahuje ejméě ezámých, postupým dosazováím do vyšších rovic Příklad Nalezěte všecha řešeí soustavy x 2x 2x 9, x 3x 2x x 0, 4 2x 5x 3x 3x 0, 4 2x1 x2 4x3 9x Rozšířeá matice soustavy je A Při převodu matice a schodovitý tvar oddělujeme sloupec pravých stra svislou čárou, která v rozšířeé matici odděluje matici soustavy. A Spočítáme hodost matice soustavy, ha ( ) 4, a hodost rozšířeé matice ha ( ) 4. Jelikož se obě hodosti rovají, vyplývá z Frobeiovy věty, že soustava má řešeí, a jelikož k h( A) h( A) je rovo počtu ezámých, 4, jde o řešeí jedozačé. 4. Z prvků matice sestavíme ekvivaletí soustavu, ze které dopočítáme řešeí: x 2x 2x 9, x 13x 15, 2 4 2x 21x 27, 3 4 3x 3. Z posledí rovice dostáváme, že x4 1. Dosazeím do třetí rovice dostaeme opět lieárí rovici 2x , a tedy x3 3. Dosazeím do druhé rovice spočítáme x2 2 a koečě dosazeím do prví rovice dostaeme x ( 1) 9, a tedy x1 1. Jediým řešeím soustavy je tedy uspořádaá čtveřice x (1,2,3, 1). 4 8

9 7.23. Příklad Nalezěte všecha řešeí soustavy x x x 3, 2x x 2x 1, x 2x 3x 1, x1 x2 3x Rozšířeá matice soustavy je A Při převodu matice a schodovitý tvar oddělujeme sloupec pravých stra svislou čárou, která v rozšířeé matici odděluje matici soustavy A Spočítáme hodost matice soustavy, ha ( ) 3 (matice A má pouze tři eulové řádky), a hodost rozšířeé matice ha ( ) 4. Z Frobeiovy věty vyplývá, že soustava emá řešeí. Při přepisu matice zpět a soustavu rovic je vidět, co zameají rozdílé hodosti matic Aa A: soustava zahruje esplitelou rovici 0 1, proto emá řešeí Příklad Nalezěte všecha řešeí soustavy x x x x 4x 2x 7x 4, 4 4x 2x 6x 4x 3, 4 x1 x2 2x Rozšířeá matice soustavy je A Při převodu matice a schodovitý tvar opět oddělujeme sloupec pravých stra svislou čárou, která v rozšířeé matici odděluje matici soustavy: 3, 9

10 A Spočítáme hodost matice soustavy, ha ( ) 3, a hodost rozšířeé matice ha ( ) 3. Jelikož se obě hodosti rovají, vyplývá z Frobeiovy věty, že soustava má řešeí. Jelikož k h( A) h( A) 3 je meší ež počet ezámých ( 4 ), má soustava ekoečě moho řešeí. Všecha řešeí se dají popsat pomocí k 43 1 parametru. 4. Z prvků matice sestavíme ekvivaletí soustavu, ze které dopočítáme řešeí: x x x 3, Z posledí rovice dostáváme, že x x 2x 5x 10, x 4. Dosazeím do druhé rovice dostaeme lieárí rovici o dvou ezámých 2x2 2x Tu vyřešíme volbou parametru za jedu z 5 ezámých, apř. x3 p. Potom 2x2 2p 5 a tedy x2 2 p. Koečě dosazeím do 5 7 prví rovice dostaeme x1 2 p3 3, a tedy x1 2 p. Možiu všech řešeí pak můžeme zapsat ve tvaru 7 5 K p, p, p, 3, p 2 2 Nezámá x 3 vystupuje jako parametr řešeí pro každou hodotu p dostaeme právě jedo kokrétí řešeí soustavy. Naopak, každé jedotlivé řešeí soustavy získáme vhodou volbou parametru. V případě že má soustava ekoečě moho řešeí může čiit jisté obtíže volba parametrů a dopočítáí ezámých tak, abychom získali všecha řešeí. Proto se ěkdy ekočí převodem a schodovitý tvar, ale rozšířeá matice se dále upraví a tzv. Gauss Jordaův tvar. 3, Gauss Jordaova elimiačí metoda: Mějme zadáu soustavu lieárích algebraických rovic (7.1). 1. Zapíšeme koeficiety do rozšířeé matice soustavy (7.4). 2. Matici převedeme pomocí ekvivaletích řádkových úprav a Gauss Jordaův tvar. 3. Aplikujeme Frobeiovu větu. Tím zjistíme dimezi podprostoru řešeí soustavy. 4. Z Gauss Jordaova tvaru rozšířeé matice sado určíme parametrické ezámé. Ty totiž odpovídají sloupcům matice, ve kterých eleží hlaví prvek (tzv. pivot). Přitom počet pivotů záme z Frobeiovy věty. Nezámé ve sloupcích s pivotem (tzv. hlaví ezámé) dopočítáme velmi sado převedeím parametrických ezámých a pravou strau rovic. 10

11 7.26. Příklad Nalezěte všecha řešeí soustavy x 2x 2x x 1, 4 2x 4x 2x 2x 1, 4 4x 8x 6x 1, 5x1 10x2 4x3 7x Rozšířeá matice soustavy je A Při převodu matice a Gauss Jordaův tvar postupujeme zpočátku stejě jako při převodu a schodovitý tvar, dále však ještě potřebujeme, aby byl každý pivot rove jedé a aby ad každým pivotem byly uly: A Spočítáme hodost matice soustavy, ha ( ) 2, a hodost rozšířeé matice ha ( ) 2. Jelikož se obě hodosti rovají, vyplývá z Frobeiovy věty, že soustava má řešeí, a jelikož k h( A) h( A) 2 a 4 (počet ezámých), má rovice ekoečě moho řešeí, které budou záviset a k 2 parametrech. 4. Parametrické ezámé zvolíme x2 r a x4 s (druhou a čtvrtou ezámou protože ve druhém a čtvrtém sloupci ejsou pivoty, písmea rs, si můžeme zvolit, jak chceme). Z prvků matice sestavíme ekvivaletí soustavu, ze které vyjádříme zbylé ezámé: x 2x 3x 2, x 2 x, Z druhé rovice dostáváme, že x s a z prví rovice dostaeme x1 2 2r 3s Řešeím je tedy uspořádaá čtveřice K 2 2r 3 s, r, 2 s, s, rs,. Později se dozvíme, že ji lze iterpretovat jako roviu (dvourozměrý afií podprostor) v 3 dáa bodem 2,0,,0 r 2,1,0,0 a s 3,0,2,1. 2 a vektory 2 4, která je Doplňující zdroje: Olie zdroje J.F. Grcar, Mathematicias of Gaussia Elimiatio, Notices of the AMS 58 (2011) (6) [olie, citováo ]. Dostupý z WWW: 11

12 A. Hlaváč, Soustavy lieárích rovic a jejich geometrická iterpretace, [olie, citováo ]. Dostupý z WWW: homepages.math.slu.cz/adamhlavac/soustavyrovic.pdf J. Šaršo, Maticové rovice, Sbírka úloh z matematiky pro MFF UK, [olie, citováo ]. Dostupý z WWW: Literatura Burda P., Havelek R. a Hradecká R.: Algebra a aalytická geometrie (VŠB-TU Ostrava, 2005). Vrbeská H. a Bělohlávková J.: Základy matematiky pro bakaláře I. (VŠB-TU Ostrava, 2003). Škrášek J. a Tichý Z.: Základy aplikovaé matematiky I. (SNTL Praha, 1989). J.F. Grcar, How ordiary elimiatio became Gaussia elimiatio, Historia Mathematica 38 (2011)

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

GEOMETRIE I. Pavel Burda

GEOMETRIE I. Pavel Burda GEOMETRIE I Pavel Burda Obsah Úvod... 4 1. Vektorové prostory... 5. Vektorové prostory se skalárím ásobeím... 9. Afií prostory... 19 4. Afií přímka ( A 1 )... 5 5. Afií rovia (A )... 6 6. Afií prostor

Více

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12 Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku Cvičeí z ieárí agebry 4 Vít Vodrák Cvičeí č Determiat a vastosti determiatů Výpočet determiat djgovaá a iverzí matice Cramerovo pravido Determiat Defiice: Nechť je reáá čtvercová matice řád Čtvercovo matici,

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků: ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

a my chceme data proložit nějakou hladkou funkcí, která by vystihovala hlavní vlastnosti dat, ale ignorovala malé fluktuace a nepřesnosti.

a my chceme data proložit nějakou hladkou funkcí, která by vystihovala hlavní vlastnosti dat, ale ignorovala malé fluktuace a nepřesnosti. Vyováváí dat Naše pozoováí jsou dáa tabulkou čísel, kde y y y i často bývají časové údaje, a my chceme data položit ějakou hladkou fukcí, kteá by vystihovala hlaví vlastosti dat, ale igoovala malé fluktuace

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Lineární programování

Lineární programování Lieárí programováí Adjugovaý problém lieárího programováí V případě řešeí problému lieárího programováí LP ma{ c T : A b 0} získáváme výchozí přípustou jedotkovou bázi u doplňkových proměých a za předpokladu

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Předmět: SM 01 ROVINNÉ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE

Předmět: SM 01 ROVINNÉ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE Přdmět: SM 0 ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE doc. Ig. Michl POLÁK, CSc. Fkult stvbí, ČVUT v Prz ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE: KOSTRUKCE JE VYTVOŘEA Z PŘÍMÝCH PRUTŮ, PRUTY JSOU AVZÁJEM POSPOJOVÁY V BODECH STYČÍCÍCH,

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Interference. 15. prosince 2014

Interference. 15. prosince 2014 Iterferece 15. prosice 014 1 Úvod 1.1 Jev iterferece Mějme dvě postupé vly ψ 1 z,t) = A 1 cosωt kz +ϕ 1 ) a ψ z,t) = A cosωt kz +ϕ ). Uvažujme yí jejich superpozici ψ = ψ 1 +ψ a podívejme se, jaká bude

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více