Diferenciální počet I

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální počet I"

Transkript

1 Difereciálí počet I Kapitola II. Poslouposti I: Vojtěch Jarík (author): Difereciálí počet I. (Czech). Praha: Academia, pp Persistet URL: Terms of use: Vojtěch Jarík Istitute of Mathematics of the Academy of Scieces of the Czech Republic provides access to digitized documets strictly for persoal use. Each copy of ay part of this documet must cotai these Terms of use. This paper has bee digitized, optimized for electroic delivery ad stamped with digital sigature withi the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 M 73 Kapitola II POSLOUPNOSTI 1. Defiice limity. Budiž dáa posloupost čísel (1) a l9 a l9 a 3, a 4,... Příklad: budiž a x = 1, a 2 = \, a 3 = \, obecě a = - pro každé přirozeé 9 takže máme posloupost W J '2'3' 4> 5' 6' 7' 8' ""' Čteáři je asi již jaso, co rozumíme slovy posloupost čísel", řekěme to však obšírě: Jestliže každému přirozeému číslu je přiřazeo jisté číslo a 9 potom říkáme, ZQa l9 a 2,a 3,... }Q posloupost čísel; a je -tý čle té poslouposti (apř. stopatáctý čle poslouposti (2) je ~^). Dvě poslouposti a l9 a l9...; b l9 b l9... považujeme za stejé tehdy a je tehdy, je-li a = b pro každé přirozeé ; apř. posloupost (2) a posloupost O) Iiiiíííí \ J J 2* x > 4' 3' 6> 5' 8» 7' '* jsou dvě růzé poslouposti. (Posloupriost (3) je posloupost a l9 a 2 *.., defiovaá takto: a 2 «-i =» a i = pro každé přirozeé w. ] V defiici poslouposti 2 2/i - 1 / eí ikde řečeo, že čísla a musí být avzájem růzá; a také skutečě emusí být růzá. Tak apř. (4) 1, - 1, 1, - l,...(w-týčleje(- l)"" 1 ) je také posloupost. Nebo: přiřadíme-li každému přirozeému číslo 2, tj. volíme-li a = 2 pro každé přirozeé 9 dostáváme posloupost (5) 2,2,2,2,... Uveďme ještě ěkolik příkladů posloupostí: (6). l 2,2 2,3 2,4 2,...(a = 2 ); (7) - 1, - 3, - 5, - 7,... (fl. = - (2-1)) ;

3 74 XAP. u (8) - 1, 2, - 3,4, - 5, 6,... (a. = (- 1)" ) ; (9) 1, 1, 2, 3, f, 4, i,... Uta-i =, a 2 = -J ; do) lh- (..-^). (11) -l.i-i.j.-3..-j«.-(-l)".í)- Podíváme-li se apř. a posloupost (2), vidíme řečeo prozatím populárě a dosti eurčitě že její čleové s rostoucím se eomezeě blíží ule; totéž vidíme u posloupostí (3), (11). U poslouposti (10) f, f,..., ^, f^, vidíme obdobě, že její čleové s rostoucím se eomezeě blíží jedičce. Vyjadřujeme tó slovy, že posloupost (2) (a rověž (3), (11)) má limitu 0, posloupost (10) pak má limitu 1. Tomuto rčeí uto dát ovšem přesý smysl, aby se mohlo stát předmětem matematických úvah. Všiměme si apř. podroběji poslouposti (10). Výroku čleové poslouposti (10) se s rostoucím rieomezeě blíží jedičce" dáme teď přesý smysl; budeme jím rozumět toto: předepíše-li mě ěkdo libovolé kladé číslo e, dovedu mu udat v poslouposti (10) jistý čle, od ěhož počíaje se už všichi další čleové této poslouposti liší od jedičky o méě ež e; tj. dovedu udát číslo 0 takové, že všichi čleové a, jejichž idex" je větší ež 0, splňují erovost \a i < e. A tomu je vskutku tak: v poslouposti (10) je a = atedy a - 1 = =. Je-li třeba e = r^, položím 0 = 99; vskutku, je-li > 99, je > 100; < --. Aby mě můj protivík potrápil, zvolí e meší, třeba e = ' + 1 = e ž ío^o a ž á d á ope** abych mu udal 0 tak, aby výraz \a - 1 = byl meší ' + 1, imo P ro všecha, jež jsou větší ež 0 }) Zase dovedu takové 0 udat, třeba 0 = 999. Vskutku: je-li > 999, je + 1 > 1000, < ^. Může mě pře + 1 <lepsat ještě meší kladé číslo e; ale vždy,'ať mi předepíše jakékoliv kladé číslo..e, dovedu udat příslušé číslo 0 tak, že pro všecha > 0 je \a 1 < e, tj. < + 1 < e. Stačí totiž volit 0 tak, že = e, tj. 0 = l; 2 ) pro > 1 bude 0 + l e e 1 ) Číslo (ikoliv však w 0, t apod.) bude v této kapitole začit vždy přirozeé číslo; proto. budeme krátce říkat " místo přirozeé číslo «"* 2 ) Mohli bychom za 0 zvolit ovšem též kterékoliv číslo vetší ež 1.

4 J. 75 pak vskutku + 1 > -, 1 1 X, < e. Číslo 0 závisí ovšem a e; čím je e meší, tím s + 1 větší musím volit 0. To je pochopitelé: čím meší je e, tím dále musím v poslouposti (10) jít, abych měl zaručeo, že se dále už setkám je s takovými čley, které se od jedičky liší o méě ež e. Rčeí posloupost (10) má limitu 1" dáme tedy teto přesý výzam: <*>{ každému kladému číslu dovedu alézt číslo 0 tak, že pro všecha, jsou větší ež 0, platí erovost \a 1 < e. Tímto způsobem budeme limitu defiovat obecě, jeom ještě s jedou změou: může se stát, že des takové číslo 0 alézt eumím, ale zítra to budu umět: potom by taková posloupost des limitu eměla, ale zítra by ji měla. Takový subjektiví prvek se ehodí do matematických úvah: ezáleží a tom, že já ebo ěkdo jiý dovede ke každému kladému e takové číslo 0 alézt, ýbrž záleží pouze a tom, že ke každému kladému e takové číslo 0 existuje. Nahradíme tedy ve výroku (A) slova dovedu alézt" slovem existuje" a defiujeme obecě: Defiice 6. Říkáme, že číslo a je limitou poslouposti a u a 2, a 3,..., 3 ) jestliže má číslo a tuto vlastost: Ke každému číslu e > 0 existuje číslo 0 tak, že pro každé přirozeé číslo, jež je vetší ež 0, platí erovost \a a\ < e, tj. (podle věty 28) erovosti a e<a <a + e. Všechy úvahy, jež jsem před touto defiicí o poslouposti (10) prováděl, měly pouze orietačí výzam: měly čteáře připravit a defiici 6 a objasit mu její smysl. Podle této defiice má posloupost (10) vskutku limitu 1; vlastě jsme to již spočetli, ale zopakujme to: Zde je a 1 = =. Je-li e libovolé kladé číslo, + 1 zvolme 0 tak, že = e, tj = -. Pro > 0 je potom vskutku e + 1 > -, < e. Dokažme obdobě, že poslouposti (2), (11) mají limitu 0. e + 1 Zde je a = + -, \a 0 = -; je-li e > 0, zvolme 0 tak, že = e 9 tj. 0 = -. 0 e Pro > 0 bude potom vskutku > -, - < e. Dokažme ještě, že posloupost (3) e má limitu 0. V této poslouposti je a = pro liché 9 a = pro sudé ; pro každé > 1 je tedy 0 < a ^ a tedy \a - 0 = a ^. Je-li e > 0, -1 ' ) Místo toho říkáme také, že posloupost -7i,tf 2 > má limitu a. Místo posloupost čísel* říkám kratčeji posloupost", pokud eí třeba se obávat edorozuměí.

5 76 KAP. II zvolme 0 tak, že = e, tj. 0 = Je-li > 0, je vskutku > (tedy > 1), - 1 > -, \a - 0 ^ <. Dokažme ještě, že posloupost (4) 1 emá limitu. Důkaz provedeme epřímo: předpokládejme, že posloupost má limitu a. Potom k číslu = 1 existuje číslo 0 tak, že pro > 0 je \a a\ < 1. Zvolme číslo, větší ež 0 ; potom je též + 1 > 0, tedy \a +í a\ < 1. Odtud plye \<* - 0 +il = \( a - a) + (a- a +í )\ = \a - a\ + a - a + 1 \ < 2 ; ale to je spor, eboť v poslouposti (4) je zřejmě \a a +il = 2. O poslouposti, jež má limitu, říkáme, že je kovergetí; emá-li limitu, azývá se divergetí. Příklad: poslouposti (2), (3), (10), (11) jsou kovergetí, (4) je divergetí. Názor ás vede k doměce, že dvě růzá čísla emohou být současě limitami téže poslouposti; tato doměka je správá, jak ukazuje tato věta: Věta 51. Každá posloupost má ejvýše jedu limitu (tj. buďto žádou ebo právě jedu). Důkaz. Předpokládejme, že posloupost (1) a í9 a má aspoň dvě růzé limity a 9 b 9 přičemž zakem a začme meší z těchto čísel, takže a < b (předpokládáme tedy, že číslo a i číslo b má vlastosti vytčeé v defiici 6). Z toho odvodíme spor. Položme = \{b a) 9 takže > 0. Ježto číslo a je limitou poslouposti (1), existuje číslo x tak, že pro > x (rozuměj: pro každé, jež je větší ež t ) je (12). ' \a a\ <, tj. a < a < a +. Ježto také číslo b je limitou poslouposti (1), existuje číslo 2 tak, že pro > 2 je (13) \a - b\ <, tj. b - < a < b +. Zvolme číslo větší ež Max ( í9 2 ), což je možo; potom platí (12) i (13), takže b <a <a +, b < a +, b a < 2e 9 což je spor, eboť b a = = 2. (Viz cvičeí 4.) Limitu poslouposti au a 29 a 3,... existuje-li ovšem ozačujeme pro zkráceí zvláštím zakem, a to zakem (14) lim a ebo též lim a *П 9 my budeme užívat prvího ozačeí. Čteář se sad ezalekl zaků ->, oo. Celý zak lim a je prostě edělitelý symbol začící oo číslo, jež je limitou postouposti a l9 a Mohli bychom zavést libovolý jiý symbol, třeba a ; ale symbol (14) je všeobecě běžý a má mimoto tu výhodu, že jeho tvar velmi důtklivě připomíá, oč jde. Je-li -tý čle a dá ějakým početím výrazem, píšeme v symbolu

6 5i 77 (14) často teto výraz místo a. Např. píšeme limitu poslouposti (10) takto: lim ii-oo + 1 ( eboť -tý čle této poslouposti je právě ]. «+ v Rovice lim a = a obsahuje vlastě dvojí tvrzeí: 1. Limita poslouposti (1) -+oo existuje. 2. Tato limita je právě číslo a. Např. lze aše výsledky o posloupostech (2), (10), (11), (3) psát ve tvaru lim - = 0, lim = 1, lim (- l) H X = 0, lim j = 0 (zjistěte -*oo -»oo + 1 U oo ( 1)" \ sami, že -tý čle poslouposti (3) je «-(-i)7,,idex" obecého čleu a emusíme ovšem začit vždy písmeem ; místo lim a = a, lim = 1 můžeme psát apř. lim a k = a, lim = 1 apod. 4 ) ->oo -+oo + 1 k-*co q-*oo q + 1 Neí vhodo vyechávat u zaku lim a zak -> oo ; tím by mohla vzikout edorozuměí. Příklad:'pro přirozeá fe, m klaďme a km = 1. Zvolím-li m + 1 fc fe pevé a echám m probíhat přirozeá čísla, dostau posloupost a k,u<tk,i* a w >** - + T> 7 + 7' 7 + 7>- 2 fc 3 fc 4 fe ( m-tý čle je I ]. Tato posloupost má limitu (eboť m m + 1 kj k\ m + 1 +o-a 1.. v 1N ' m + 1 < e, je-li c > 0, m > m 0, kde třeba m 0 = ); tedy Ш fe + 1 (15) lim a ktm =, tj. lim ( + -) m-oo k m-»oo \m + 1 k) k Zvolíme-li aopak m pevé a echáme fe probíhat přirozeá čísla, dostaeme posloupost m m 1 m 1 fl l,m> fl 2.m>tf3,m> **] ~ + 1> " + ~, + 7,... m+ 1 m m+ 1 3 ) V poslouposti a lt a 2>... začí pořadové číslo" čleu a \ tak a l2t a k, a začí dvaáctý, k-tý, -tý čle. Defiici 6 lze vyslovit takto: Posloupost a 1,a 2,... má limitu a, jestliže ke každému kladému číslu existuje druhé číslo tak, že všichi čleové poslouposti, jejichž pořadové číslo ie větší ež to druhé číslo, se od čísla a liší o méě ež to prví (kladé) číslo. Smysl tohoto výroku zůstává týž, ať si ozačíme to prví číslo e, to druhé 0 a pořadové číslo (jak jsme to v defiici učiili), ebo ať to prví číslo ozačíme třeba <5, to druhé X a pořadové číslo k. 4

7 78 KAP. н ( m 1 m k-tý čle je 1 1, jež má limitu ( eboť m+ 1 k) m+ 1 \ m k m + 1 = - < e pro e > 0, k > k 0, kde k 0 = -); tedy k -V (16) lim a ktm = m m, tj. lim ( + -) *-->oo m + 1 *-oo \m +1 A:/ m m + 1 Kdybychom v (15), (16) vyechali zaky m -> co, fc -> co, byly by tyto rovice esrozumitelé. Přesto budeme ěkdy pro úsporu místa zak -> co v symbolu (14) vyechávat, ale je tam, kde ehrozí edorozuměí. Kde je v této kapitole teto zak vyechá, je třeba vždy doplit -> co (a ikoliv k -> co ebo podobě). Skoro samozřejmé jsou ásledující dvě věty: Věta 52. JsouAi všechy čley poslouposti (1) od jistého idexu t rovy jedomu a témuž číslu a (tj. je-li a = a pro všecha ^ ^Je lim a = a. +ao Důkaz. Budiž & > 0; položme Q = v vskutku \a a = 0 < e. Potom pro > 0 je a = a 9 tedy Např. posloupost (5) má limitu 2, tj. lim 2 = 2. Toto ozačeí (jež sad a ~*co prví pohled zarazí) je úplě ve shodě s aší úmluvou; lim a začí totiž limitu poslouposti, jejíž -tý čle (pro každé ) je a ; speciálě tedy lim 2 začí limitu #!->0O poslouposti, jejíž -tý čle pro každé je 2. Věta 53. Posloupost (1) a l9 a 29 A 3» m^ limitu tehdy a je tehdy, máai posloupost (17) «2, a 3 > «4>. limitu; obě limity jsou pak stejé. Důkaz. Prví čle poslouposti (17) je a 2i druhý a 39 -tý a +í. b = a +u J e (17) tato posloupost: >«, b l9 b Položíme-li I. Nechť existuje lim a = a. Je-li e libovolé kladé číslo, existuje číslo 0 tak, že pro > 0 je \a a\ < e. Je-li?i > w 0, je tím spíše + 1 > 0 a tedy b a = a +1 a < s; tato erovost platí tedy pro všecha > 0 a tedy je lim b = a. II. Nechť existuje lim b = a. Je-li e libovolé kladé číslo, existuje číslo /li tak, že pro m > x je \b m a\ < s. Položme 0 = x + 1; je-li > 0, je - 1 > «j a tedy \a a =!& _! a '< e; tato erovost platí tedy pro "všecha > w 0, a tedy je lim a = a. Vlastosti poslouposti, jež ás yí zajímají (kovergece, divergece, hodota limity) se tedy ezměí, přidám-li ebo uberu-li a začátku poslouposti jede čle.

8 9i ^ 79 Opakováím tohoto postupu vidíme, že se tyto vlastosti ezměí, přidáme-li, vyecháme-li ebo změíme-li koečý počet čleů. Např. posloupost a l9 a 2, a 39 a a 69 a l9 a 89 a má tytéž vlastosti jako posloupost b l9 a 4, b l9 a l9 a S9 a (vyechám v prví poslouposti po řadě a l9 a 2,.. 9 a 6 a přidám potom po řadě &2» ^4, bj). Pozámka 1. Teto výsledek ás vede k ásledující celkem málo závažé, ale pro praxi leckdy důležité pozámce. Předpis, kterým je urče -tý čle a poslouposti, je ěkdy takový, že jím ejsou určey všechy čley a l9 a l9 a této poslouposti, ýbrž pouze všechy čley až a koečý počet. Klademe-li apř. a = =, je tím defiováo a x = \ 9 a 4 = \, a s = \ atd., kdežto a l9 a 3 ( _2)(-3) emají smyslu (ula ve jmeovateli). Ale i v takovém případě mluvíme o kovergeci, divergeci a limitě poslouposti, a to v tomto smyslu: ty scházející čley ějak doplíme (v ašem příkladě klademe třeba a 2 = 12, a 3 = y/l ebo jiak) a tuto doplěou posloupost vyšetřujeme; podle posledí věty víme, zeje lhostejé, jakým způsobem jsme toto doplěí provedli, takže se o ě vůbec emusíme starat. Ve smyslu této i pozámky je apř. lim = 0. Neboť pro > 3 je («-2)(и-3) 1 ( _2)(-3) 1. * 1 <. Je-li tedy e > 0 a defiujeme-li 0 rovicí = e, tj. 0 = 3 + -, e platí pro > 0 erovosti 1 (н-2)(п-3) -0,-= e. и 3 и 0 3 Pozámka 2. Mluvili jsme o poslouposti čísel a V9 a l9...,jestliže každému přirozeému bylo přiřazeo jisté číslo a ; obšírěji se taková posloupost azývá také ekoečou posloupostí čísel, a rozdíl od tzv. koečých posloupostí čísel, čímž rozumíme toto: budiž apř. každému přirozeému číslu ^ 12 přiřazeo jisté číslo a ; potom říkáme, že a l9 a 2,..., a 12 je koečá posloupost čísel o dvaácti čleech. Mimoto je možo zobecit pojem poslouposti (ekoečé ebo koečé) též a případ, že a l9 a l9... jsou věci jakéhokoliv rázu (emusí to být zrova čísla: může být dáa třeba ějaká posloupost trojúhelíků apod.). V této kize bude však slovo posloupost" vždy zameat ekoečou posloupost čísel, pokud výslově ezdůrazím, že připouštím i jié případy. 1. Rozvažte si tyto drobosti k defiici 6: Cvičei A) Smysl defiice se ezměí, píší-li v í ^ 0 místo > 0 (platí-li totiž erovost \a a\ < e pro všecha ^ 0, platí tím spíše pro všecha > 0 ; platí-li pro všecha > Q9 platí apř. pro všecha ^ «0 + 1, takže stačí zvětšit 9 o jedičku).

9 80 KAP. II B) Smysl defiice se ezměí, požaduji-h v í, aby 0 bylo přirozeé číslo (ahradím třeba 0 ejblíže vyšším přirozeým číslem). C) Smysl defiice se ezměí, omezím-li se v í a oa kladá e, jež jsou meší (ebo ^) ež jakékoliv předem daé kladé číslo s 0 (uvažte: platí-li erovost \a a\ < e pro jistou hodotu e, platí tím spíše pro každou větší hodotu e). Těchto a podobých pozámek budu v této kize často bez další zmíky používat Položme a = pro 0 < , a = = - pro > Podle věty 53 je limo rt = lim - = 0, ačkoliv se posloupost a l9 a počíá dlouhou řadou velkých čísel. Určete ke každému e > 0 ejmeší přirozeé číslo 0 tak, aby pro všecha bylo \a 0 < = 0 < e. (Pro > vyjde 0 = 1, pro < e = vyjde 0 = , pro 0 < є = vv J de o = - I +! (symbol [ ] viz ve větě 46) Je-li a =, b = 3, je lim a = 0, lim b = 3. Pro všecha dosti velká je tedy a < b (proč?). Pro malá je ovšem a mohem větší ež b. Najděte ejmeší (ovšem přirozeé), pro ěž je a < b ( = 667). 4. Číslo a azveme hromadou hodotou" poslouposti a l9 a 2,..., jestliže ke každému kladému číslu e existuje ekoečě moho hodot tak, že \a a\ < e. Pro teto pojem eplatí věta, obdobá větě 5Í; apř. posloupost (4) má hromadé hodoty 1,1 (eboť při kladém e je \a 1 < e pro všecha lichá, \a ( 1) < e pro všecha sudá ). Podrobě budeme pojem hromadé hodoty vyšetřovat v 2. svazku tohoto díla. Hojější a zajímavější cvičeí ajdete v ásledujících paragrafech. 2. Věty o limitách. Budiž dáa posloupost (18) a l9 a 29 a Možiu všech čísel, jež vystupují jako čleové v poslouposti (18), azveme možiou všech čleů poslouposti (18); ozačme ji a okamžik písmeem M. Číslo x je tedy tehdy a je tehdy prvkem možiy M, existuje-li alespoň jedo přirozeé číslo tak, že je a = x. Např. u poslouposti (2) se možia M skládá ze všech čísel tvaru - (kde je libovolé přirozeé číslo); u poslouposti (3) je možia M táž jako u poslouposti (2); u poslouposti (4) se možia M skládá pouze ze dvou čísel 1, 1 (je tedy koečá, ač jde o ekoečou posloupost), u poslouposti (5) se skládá dokoce z jediého čísla 2. Je-li možia M (tj. možia všech čleů poslouposti (18)) shora omezeá, tj. existuje-li číslo k tak, že pro všecha je a g k, budeme říkat, že posloupost (18) je shora omezeá. V tom případě existuje supremum možiy M (začka sup M, viz defiici 4 a větu 39). Tomuto číslu budeme říkat též supremum poslouposti (18); zak sup a. Toto číslo má podle věty 39 a defiice #1=1,2,3,... 4 tyto vlastosti: 1. Žádý čle poslouposti (18) eí větší ež sup a. 2. Je-li G' =l,2,...

10 2 81 libovolé číslo meší ež sup a, existuje v poslouposti (18) aspoň jede čle, jež =l,2,... je větší ež G'. 5 ) Podobě (vyjadřuji se již stručěji): Je-li M zdola omezeá, říkám, že posloupost (18) je zdola omezeá. Číslo if M azývám potom ifimum poslouposti (18)", zak if a. Toto číslo má tyto dvě vlastosti: i. Pro každé přirozeé fc -=l ( 2,... je a k _ if a. 2. Je-li g > if a 9 existuje aspoň jedo přirozeéfc tak, že a k < g'. =l,2,... /i=l,2,... Posloupost, jež je shora i zdola omezeá, se azývá krátce omezeá. 6 } Věta 54. Každá kovergetí posloupost je omezeá. Důkaz. Budiž lim a = a. Podlé defiice 6 (viz též cvič, 1 k 1) existuje k číslu -+oo E = 1 přirozeé číslo 0 tak, že pro > 0 je \a a[ < 1. Položme K = Max (a i9 a 2,..., a o, a + 1);fc = Mi'^, a 2 ',..., a Q, a - 1). Je-li > 09 je a 1 < a < a + 1 a tedy fc.< a < K; je-li však 09 je zřejmě fc a K. Vskutku je tedy k a K pro všecha 71. = = Pozámka. Všiměte si však, že omezeá posloupost emusí být kovergetí, viz posloupost (4) v L Věta55. Je-li (19) lim a = a, lim Ъ = &, je (20) lim (a л + b л ) = a + Ъ, (21) lim a л b л = aъ a v případ ЬфO tèz (22) lim Ъ Ъ Důkaz. Předpokládejme, že platí (19). I. Máme dokázat, že posloupost, jejíž -tý čle je a +.&, má limitu a + b. Jest (23) \(a + b ) - (a + fc) = (a,. - a) + (b, - b)\ ^ \ct - a\ + b - fe[. Budiž e libovolé kladé číslo; položme S = - g. Podle (19) existuje předě číslo t tak, že pro > _ je (24) a - a\ < 5 5 ) Stačí si všimout toho, že prvky možiy M jsou právě čísla a it a% t, 6 ) Místo. sup a lze ovšem psát též sup a q apod. 11=1,2,... «2=1,2,... 6 Jarík: Difereciálí počet T.

11 82 KAP. a dále existuje číslo 2 tak, že pro ň > 2 je (25) b - b < S. Položme 0 = Max^, 2 ); pro každé > 0 je současě > i i > 2, takže platí (24), (25) a z (23) plye \(a + b ) - (a + b) < 25 = e. Tedy platí (20). II. Podle věty 54 a podle (19) existuje fc > 0 tak, že pro všecha je bj < k; položme K = Max(fc, a ), takže K > 0. Jest * A - a& = (<* - a)b H + (b - b)a (všiměte si tohoto rozkladu, často se podobého obratu užívá) a tedy (26) \aj>. - ab\ < K(\a - a\ + \b - b\). Budiž e > 0; zvolme ó tak, že 2KS = s, tj. S =. Podle (19) existují čísla it 2 tak, 2K že jest (27) \a a\ < ó pro > x ; b b < 5 pro > 2. Položme 0 = Max( l9 2 ); tím je Jcaždému e > 0 přiřazeo jisté 0 ; pro > 0 je pak podle (26), (27) \a b - ab\ < 2K5 = sa tedy platí (21). III. Budiž yí b4= 0, takže b > 0. Dokažme apřed, že (28) lim-=-. V ' K b Podle (19) existuje číslo t tak, že pro > i je b b < b a tedy podle vzorce (14), kap. I bj = b - (b - b )\ = b - b - bj > b - bl = flbl. Pro > i je tedy (29) bj > \\b\ > 0 a tedy b 4= 0, takže má smysl (že pro ^ i emusí mít smysl, evadí, viz pozámku 1 ke koci 1J. Pro > t je dále podle (29) (30) 1 _ i = \ b - b»\ = \ b " ^' < fe» " *' - 2 ^ --*'- b b I b b bj. b - flbl.lbl b 2 Budiž e > 0 a volme <5 tak, že 25b" 2 = e, tj. 5 = b^. Existuje 2 tak, že pro >? e 1 1 je b b < S. Klademe-li 0 = Max( l5 2 )J e P ro M > o podle (30) ья b <.

12 J2 83 9iS 1 1 < = e; tedy platí (28). Podle (19), (28) je lim a = a 9 Um = -; podle lije tedy b b b čímž je (22) dokázáo. lim^ = lim a.l = a.i = ^, b. b b b Pozámka 1. Je-li lim a = a a je-li c libovolé číslo, je lim c = c a tedy podle (21) lim a c = ac; speciálě lim ( a ) = a (pro c = 1). Platí-li (19), je lim (- b ) = - b a tedy lim (a - b ) = lim (a + (- b )) = a + (- b) = a - b. Všechy tyto výsledky (i s větou 55) lze tedy shrout přehledě do těchto rovic: ( 31 ) lim (a + b ) = lim a + Um b ; Um (a b ) = Um a - Um b ; limca = cuma ; lim a b = lim a. lim b ; lim^ = l m "" & Um b Přitom je uto rovic m (31) rozumět takto: má-u pravá straa ěkteré z těchto rovic smysl, 7 ) má smysl i levá straa a rová se pravé straě. Úplou idukcí lze ovšem rovice (20), (21) rozšířit a větší počet sčítaců ebo čiitelů; apř.: je-u Um a = a, lim b = fc, Um c = c, lim d = á, je lim (a + b + c + d ) = a c + d. Příklad 1. Opětovým použitím rovic (31) můžeme řešit i složitější příklady. Hledejme Um ->oo (tj. ptejme se, zda tato limita existuje a jestuže existuje jaká je její hodota). Jest = ( 3) + 2 ^ 2 pro ^ 3, takže apsaý zlomek má pro = 3 smysl (jmeovatel =f= 0). Čitatel emá limitu (eí totiž shora omeze), rověž jmeovatel. Proto upravme pro ^ 3 takto: Víme, že lim c = c 9 lim - = 0. Podle (31) dostáváme postupě: lim ( ) = V *) = -3.0 = 0, lim = Um -. lim - = 0, lim 2. = 2. lim = 0, 2 r rr 7 ) To zameá ov em: existují-li limity vpravo a jde-u o posledí rovici je-li lim b + 0> (aproti tomu smí ovšem být lim a == 0, i v posledí rovici).

13 ы KAP. IГ lim (l + \ ) = 2 + O = 2, lim ( ^ = 1 + O + O = 1; limita jmeovatele je + O a tedy hledaá limita existuje a je rova \ = 2. Příklad 2. lim = 0. Důkaz: TÍ 2 - = «( - 1) + O pro > 1. 2 Upravím-li zlomek a tvar, emá ještě jmeovatel limitu (eí totiž omeze). #2 1 1 A Proto jej upravme a tvar ;zdejelim[ - + ) =0(to evadí), lim ( 1 ) = _ I 1 \ 2 J V j = 1 +0, tedy hledaá limita existuje a je rova, j = 0. Věta 56. Nechť existuje lim a = a. Potom existuje též lim* aj = a(. Důkaz. Budiž a > 0; podle předpokladu existuje 0 tak, že pro > 0 je \a a \ < s '> P ro» > o i e tec *y l«.l = \ a + (« = l fl i + I*. - «l < l«l + «, M = \ a + ( a - <0! = íflj + A " «.l < flj +, tj- l a *l > I a I "" * te( ly c e U- er JaJ < JaJ < a + e; tedy vskutku lim aj = = \a\. Pozámka 2. Obrátit se věta edá: existuje-li lim aj, emusí existovat lim a. Příklad: volme a = ( 1)" +1, takže máme posloupost 1, 1, 1, 1,..., jež je divergetí, ač posloupost JaJ, a 2,..., tj. posloupost 1, 1, 1,... je kovergetí. Ale v jedom speciálím případě se věta 56 přece dá obrátit, totiž tehdy, jde-li o li mitu rovou ule: Věta 57. Rovice lim a = 0 platí tehdy a je tehdy, je-li lim aj = 0. Důkaz. Prví rovice zameá: ke každému e > 0 existuje 0 tak, že pro > 0 je \a 0 < ". Druhá rovice zameá: ke každému e > 0 existuje 0 tak, že pro > 0 je aj 0 < fi". Ale oba tyto výroky zameají totéž, ebof Ja 0 = aj 0 (levá straa této rovice je číslo aj, pravá straa je prostá hodota čísla aj, tedy opět číslo JaJ)-. Věta 58. Nechť Um a = 0; echť existuje čís lo t tak, že pro > x je bj ^ ^ aj. Potom je též lim b = 0. Důkaz. Budiž > 0; potom existuje 2 tak, že pro každé > 2 je \a 0 < <, tj. aj <. Budiž 0 = Max(«x, 2 ). Pro každé > 0 je pak 6 0 =- ^\K\Ú \a H \ < s, tedy lim b m = 0-

14 $2 85 Příklad 3 (důležitý). Budiž \a\ < 1, tj. - 1 < a < 1. Potom je lim a" = 0. Důkaz. 1. Pro a = 0 je a = 0, lim 0 = Budiž 0 < m < 1, tedy - > 1. a Klaďme h = a 1, tedy h > 0, - = 1 + ft. Pro > 1 je a (32) (1 + A)- = 1 + f \ h + f \ h f"\ h > 1 + fc (eboť vyechaé čley jsou kladé; erovosti (32), jež platí pro každé kladé h a každé celé > 1, se často užívá). Tedy je pro > 1 IV 1 - ) = (1 + h) Є) > 1 + h > h, a <. a) h Jest lim = - lim - = 0. Ježto je vše kladé, je a" < pro > 1 a podle h h věty 58 je lim a = Budiž - 1 < a < 0; tedy 0 < a < 1; podle případu 2 je lim \a \ = = lim \a\ = 0, tedy (podle věty 57) lim a = 0. Příklad 4 (rověž důležitý). Budiž x > 0; potom je lim JJ/x -=- 1. Důkaz. 1. Případ x = 1 je jasý. 2. Budiž x > 1, takže též ^x > 1 (viz cvič. 1 k 8, kap. I ebo větu 45). Položme J x = l + h, takže h > 0. Podle (32) je x = (1 + h ) > 1 + h m > h pro > 1, tedy 0 < h < -. Ježto lim - = x. lim - == 0, plye jako v příkladu 3 limh = 0, tj. lim^x = Budiž 0 < x < 1; klaďme y = -, tedy y > 1. Jest \f~y\fx =.^/xy = ^T = x = 1,.yx = -=. Podle případu 2 a podle (31) je tedy - lim 1 1 / lim r/x = 7= = - = 1. V lim ýy 1 Z erovosti mezi limitami plyou erovosti mezi čley posloupostí: Věta 59. Budiž lim a < lim b. Potom existuje 0 tak, že pro > 0 jest <* < b.

15 86 KAP. Důkaz. Položme lim a = a, lim b = b, e = \(b a), tedy e > 0, a + e ==- = b e. Existují čísla l9 2 tak, že je a e < a < a + e pro > l9 b e < < b < b + e pro > 2. Klademe-li 0 = Max ( l9 2 ), platí pro každé > 0 erovosti a < a + e = b e < b 9 tedy a < b. Pozámka 3. Klademe-li speciálě b = b 9 dostáváme (ježto limb = b): je-li lim a < b, existuje x tak, že pro > 1 je a < b. Obdobě (klaďme a = a): je-li lim b > a 9 existuje t tak, že pro > t je b > a. Z erovostí mezi čley poslouposti plyou aopak erovosti mezi limitami: Věta 60, Nechť existuji lim a = a, lim b = b a e^hť existuje t tak, že pro > t je a _ b. Potom je a ^ b. Důkaz. Nechť je aopak a > b; položme e = \(a b), takže e > 0, b + e = = a e. Existují čísla 2, 3 tak, že je a e < a < a + e pro > 2, b e < < b < b + e pro > 3. Zvolíme-li větší ež Max(«l5 2, 3 ) 9 vychází b < < b + e = a e < a 9 což je ve sporu s erovostí a < b. Pozámka 4. Klademe-li jedou b = b, po druhé a = a 9 dostáváme: existuje-li lim a a je-li a ^ b pro všecha > l9 je též lim a ^ b; existuje-li lim b a je-li b = a pro všecha > l9 ]e též lim b = a. Pozámka 5. Existují-li lim a 9 lim b a je-li a < b pro všecha > l9 je podle věty 60 lim a = lim b ; emusí však být lim a < lim b (tj. může platit zameí rovosti). Např. je - < -, ale lim- = lim - = 0. Pamatujme si toto upo zorěí třeba pod heslem erovost může v limitě přejít v rovost". Začátečík sado a tuto okolost zapomee, což může být zdrojem ejhrubších chyb. Věta 61. Budiž lim a = lim b = a; echť existuje číslo 1 tak, že pro > x je a = c = b. Potom existuje těž lim c a jest lim c = a. Důkaz. Budiž e > 0. Potom existují čísla 2, 3 tak, že je a e < a < a + e pro > 2, a e < b < a + e pro > 3. Položme 0 = Max( l9 2, 3 ); pro > 0 je potom a e<a =^c =^b <a + e a tedy [c a\ < e; tedy lim c = a. Pozámka 6. Nejpodstatější rozdíl mezi větou 60 a větou 61 je te, že věta 61 zaručuje existeci jisté limity, totiž lim c m. Budiž a = \ -\ -, b = 1 + -; budiž c B =H -, je-li prvočíslo, c = 1 + -, eí-li prvočíslo. Je-li velké, 2 je leckdy dosti obtížé vypočíst c (tj. zjistit, zda je prvočíslo). Přesto z věty 61 ihed plye lim c = 1, eboť a =^ c = b, lim a ^ lim b = 1.

16 -T2 87 Budiž opět dáa posloupost (18) a í9 A 2, A 3,... ; budiž fc lf fc 2,... posloupost přirozeých čísel taková, že k x < fc 2 < fe 3 <... (obecě k < fc +i). Potom posloupost (33) a kl9 a k29 a k39... (-tý čle je a k ) azýváme posloupostí vybraou z poslouposti (18). Posloupost (33) vziká tedy tím, že z poslouposti (18) podržíme pouze čley s idexy k l9 fc 2,... Pozameejme, že k =. (Neboť k x = 1, tedy fc 2 > 1, a tedy fc 2 = 2 (eboť fc 2 je celé číslo); obecě: je-li již dokázáo, že k = 9 dostáváme fc +1 > a tedy fc B ) Příklady vybraých posloupostí: (34) A 2, A 4, A 6, fl 8,... (fc! = 2, fc 2 = 4,..., obecě k -= 2); (35) A lf A 3, fl 5, fl 7,... (fcj = 1, fc 2 = 3,..., obecě k = 2-1) ; (36) A lt A^, A 9, A 16,... (fci = 1, fc 2 = 4,..., obecě fc B = 2 ) ; (37) A 2, A 3, fl 5, fl 7, fl, a 13, fl 17,...(obecě k = p, kde p začí -té prvočíslo; sad víte, že existuje ekoečě moho prvočísel, takže dostáváme vskutku ekoečou posloupost); (38) A 5, A 6, A 7, fl 8,... (k i 5, fc 2 = 6,..., obecě fc = w + 4). Věta 62. Nechť posloupost (18) má Z/mfíu A; potom každá vybraá poslouposi má limitu a (takže všechy vybraé poslouposti jsou kovergetí a mají touž limitu). Důkaz. Budiž (33) vybraá posloupost; její -tý čle ozačme pro zkráceí b 9 takže b = a k. Máme dokázat, že lim b = a. Budiž e > 0; ježto lim a = a 9 existuje 0 tak, že pro > 0 je \a - a\ < e. Je-li > 09 je fc,, > 0 (eboť k ^ ) a tedy \b a\ = fl* - A < e; tedy vskutku lim fc = a. Příklad 5. Položme a = -, takže limfl = lim- = 0. Vytvoříme-li vybraé * poslouposti, uvedeé v (34) až (38), dostaeme lim = lim = lim = = lim = lim = 0. P + 4 Příklad 6. Položme a = (- l) +1, takže máme posloupost 1, 1,1, - 1,... Vybraá posloupost (35) je 1, 1, 1,... a má limitu 1, kdežto vybraá posloupost (34) je 1, 1, 1,... a má tedy jiou limitu 1. Posloupost 1, 1,1, - 1,... je tedy divergetí (podle věty 62), což jsme jiým způsobem zjistili již v 1.

17 88 KAP. Cvičei 1. Je-li k celé kladé, lim a = a, je lim a = a k ; totéž platí pro k celé záporé, je-li a Z cvičeí 1 odvoďte: pro každé celé k je lim [ ) =1; pro každé celé kladě k je v * / lim k = Je-li k _přirozeé číslo, ff > 0, lim a = a, je lim ^a,, = \Ja. (Návod: budiž e > 0; kdyby bylo íy/a,, = \Ja + c, bylo by podle biomické věty a = a + e k, což je pro velká emožé. Podobě emůže být \Ja = \ja + e pro velká. Pro dosti velká je tedy \Ja e < < Va < Va + e.) 4. lim iy = 1 (pro > 1 položme yj = 1 + h, tedy > 0; biomická věta dává > %( 1) h 2, odtud lim h 2 = 0 a podle cvičeí 3 též lim h = 0). 5. Nechť existuje číslo 6 < 1 a přirozeé číslo x tak, že pro každé = t je f 5 s / a =^ <5; potom je lim a = 0 (užij příkl. 3 a věty 58). 6. Nechť existuje 6 < 1 a přirozeé x tak, že pro každé =?Wj je úr rt+1 < ^ ^ ; potom je lim a = 0 (pro > 1 je \a \ = d. ó' i \a i \; užij příkl. 3, (31) a věty 58). 7. Je-li lim Vl^Tl < *»i e - im fl = ( DU d-ž / hodota té limity; pro dosti velká je \/\ a < < i(í +1); užij cvičeí 5). 8. Obdobě: je-li lim < 1, je lima = Z cvičeí 8 odvoďte lim (a : \) = 0, lim ((!) 2 : (2)!) = Z cvičeí 6 odvoďte lim (!: ) = 0 (klademe-li a =!:, je a +l i i. / A" A ^ -, ježto š l +». -. (, + :) 11. Je-li JC < 1, k celé, je lim k x = 0 (užij cvičeí 2, 8). 12. Je-li A lt Í7 2,... omezeá posloupost, je ifa = sup a. Zameí rovosti =l,2,... =l,2,... platí je tehdy, jsou-li si všechy čley rovy. 13. Je-li a l9 a 2,... shora omezeá, je a l9 a 2,... zdola omezeá a je if ( a ) = =l,2,... = sup a. Obdobě, vyměíme-li slova shora" a zdola". =l,2, Je-li a 1,a 2,... shora omezeá a je-li b = a pro všecha, je též b l9 b 29 shora omezeá a je sup b sup a. Obdobě pro zdola omezeé poslouposti. =l,2,... =l,2, Je-li a x,a 2,... shora (zdola) omezeá, je i každá vybraá posloupost tf*i> tffo- shora (zdola) omezeá a jest sup ak = sup a (if ak = if a ). =l,2,... 11=1,2,... =l,2,... =l,2, Zjistěte, které z posloupostí (2) až (11) jsou shora (zdola) omezeé a ajděte jejich supremum (ifimum).

18 Nevlastí limity. Poslouposti (6), (7), (8), (9) z 1 jsou divergetí, ježto ejsou omezeé. Přesto ěkteré z ich mají zvláště jedoduché vlastosti. Všiměme si apř. poslouposti (6) l 2,2\3\4 2,...{a = *). Vidíme, že čley této poslouposti s rostoucím idexem vzrůstají ad každé číslo"; přesě řečeo: ke každému číslu A existuje číslo 0 tak, že pro každé přirozeé číslo > 0 je a > A. Vskutku: je-li předě A ^ 0, stačí volit 0 = 0, eboř pro > 0 je 2 > 0 _ A; je-li však za druhé A > 0, stačí volit 0 = y/a 8 ) eboť pro > w 0 je z > i = A. Je přirozeé: čím větší je A 9 tím větší musíme volit w 0, chceme-li, aby pro všecha > 0 bylo 2 > A. Podobou vlastost (ježe s opačým zameím) má posloupost (7) - 1, - 3, - 5, - 7,... (a = ). Zde platí toto: ať je A jakékoliv číslo, existuje číslo 0 tak, že pro všecha > 0 je a < A. Stačí vskutku volit 0 tak, že = A, tj. 0 = (1 A); pro > 0 je pak < = A. Přirozeě: volím-li A daleko vlevo a číselé ose (tj. volím-li -A záporé s velmi velkou prostou hodotou), vyjde 0 velmi veliké; apř. pro A = 1000 vyjde 0 = 500 +, pro A = vyjde 0 = \ atd. Vlastosti posloupostí (6), (7), jež jsme právě probrali, vyjadřujeme krátce slovy: posloupost (6) má evlastí limitu + oo, posloupost (7) má evlastí limitu oo. Defiujeme pak obecě: Defiice 7. Nechť ke každému číslu A existuje 0 tak 9 že pro každé > 0 je a > A. Potom říkáme, ze posloupost a Í9 a má evlastí limitu + oo (čti: plus ekoečo) a vyjadřujeme to zakem (39) lim a = + oo. -*oo Defiice 8. Nechť ke každému číslu A existuje 0 tak 9 že pro každé > 0 je a < A. Potom říkáme, že posloupost a í9 a má evlastí limitu oo (čti: mius ekoečo) a vyjadřujeme to zakem (40) lim a = - oo. -*oo Čteář se emusí lekat toho, že se v (39), (40) vyskytuje + oo, oo, ačkoliv jsme tyto dvě věci dosud edefiovali. Vzorec (39) (a podobě (40)) je pro ás prostě edělitelý symbol, který ezameá ic jiého, ež že posloupost a í9 a 2,... má 8 ) Mohli bychom ovšem za 0 volit též kterékoliv číslo větší ež JÁ.

19 90 KAP. II vlastost, popsaou obšírě v defiici 7 (ebo 8). 9 ) Rověž sad čteáři evadí, že evlastí limita" podle def. 7, 8 eí limitou" ve smyslu defiice ) Ostatě se limitě ve smyslu defiice 6 říkává často vlastí limita", aby se odlišila od evlastí limity. Slovem limita" bez další pozámky budeme v této kize rozumět vždy vlastí limitu; kde připouštím též evlastí limitu, připomeu to výslově. Slov* kovergetí posloupost" užíváme je pro poslouposti, jež mají vlastí limitu;' ostatí poslouposti azýváme divergetími, i když mají evlastí limitu. Příklad 1. Již jsme zjistili, že lim 2 = + oo, lim ( 2 + l) = co. Příklad 2. Je-li dáa posloupost (41) a ±, a 2,..., jsou zřejmě možé jeom tyto případy: 1) Existuje vlastí lim a.. 2) Jest lim a = + oo. 3) Jest lim a = oo. 4) Neexistuje ai vlastí ai evlastí lim a. Tvrdím, že se tyto čtyři možosti avzájem vylučují. Že čtvrtá možost vylučuje prví tři, je jasé: Že se prví tři možosti avzájem vylučují, bude zřejmě dokázáo, dokážeme-li. tato tři tvrzeí: A) Má-li posloupost (41) vlastí limitu, je omezeá (shora i zdola). B) Je-li lim a = + co, je posloupost (41) zdola omezeá, ale eí shora omezeá.. C) Je-li lima rt = co, je posloupost (41) shora omezeá, ale' eí zdola omezeá. Tvrzeí A) bylo dokázáo ve větě 54. Budiž yí lim a = + co; budiž K libovolé číslo. Potom existuje přirozeé číslo 0 tak, že pro > 0 je a > K. Tedy eí posloupost (41) shora omezeá. Za druhé je pro každé platá erovost.a., = Mi (a l9 a 2,..., a 0, K), takže (41) je zdola omezeá. Tím je dokázáo tvrzeí B); tvrzeí C) se dokáže obdobě. Příklad 3. Z příkladu 2 ihed ásleduje, že věta každá posloupost má ejvýše jedu limitu" (věta 51) zůstává v platosti i tehdy, připouštíme-li též evlastí limity. Příklad 4. Má-li posloupost (41) vlastí ebo. evlastí limitu, má každá vybraá posloupost ( 42 ) ci k í,a k ) Mohli bychom též rozšířit možiu reálých čísel o dvě věci", zvaé + oo, oo a pojímat vzorce (39), (40) skutečě jako rovost mezi levou a pravou straou; později tak skutečě učiíme, ikoli však v této elemetárí kize. * ) Také v obecé mluvě se vyskytují podobé úkazy. Defiujeme-li pojem matka" slovy matka osoby A je žea, která osobu A porodila" (což je obvyklý. smysl slova matka), eí evlastí matka osoby A matkou osoby A.

20 *_3 91 touž limitu. Důkaz: Pro vlastí limitu viz větu 62. Budiž za druhé lima = + <_o. Budiž A libovolé číslo; existuje 0 tak, že pro > 0 je a > A. Je-li > 0 ;je k > > 0 (ježto k ^ ) a tedy a k > A; tedy lim a h = + oo. Případ lim a = oo se řeší obdobě. Příklad 5. Příklady ke čtvrté možosti příkladu 2: poslouposti (4) 1,~1,1, -1,1, -1,... (8) -1,2,-3,4,-5,6,... (9\ emají ai vlastí ai evlastí limitu, * *) eboť z každé z ich lze vybrat dvě poslouposti s růzými (popř. evlastími) limitami: Z poslouposti (4): Z poslouposti (8): Z poslouposti (9): 1, 1, 1,...; -1, -1, -1,...; limity 1, -1. 1, 3, 5,...; 2, 4, 6,...; limity oo, + oo. 1,2, 3,4,...;l,f,f,,...; limity + oo, 0. Příklad 6. Budiž dáa posloupost (P) a í9 a 29 a a budiž dáa jakákoliv posloupost přirozeých čísel r i9 r 2, r 3,... Sestrojme posloupost (P') takto: apřed přijde ^-kráte čle a u potom r 2 -kráte čle a 2 atd. Je-li apř. r t = 2, r 2 = 1, r 3 = 4, r 4 = 2,..., vypadá (P') takto: 0i, <*i, a 29 a 39 a 39 a 39 a 39 a 4, a 4, a Tvrdím: má-li jeda z posloupostí (P), (P') limitu (vlastí ebo evlastí), mají obě limitu, a to touž. Důkaz. I. Nechť má (P') limitu (stále připouštím i evlastí); ježto (P) je vybraá posloupost z (P'), má i (P) touž limitu. II. Nechť má (P) limitu, apřed třeba slastí: lim a = a. Budiž e > 0. Existuje přirozeé t tak, že pro > t je \a a\ < e. Položme 0 = r 1 + r r Bl. Prvích 0 čleů poslouposti (P') jsou právě a í9..., a i (prví z ich rj-kráte atd.); za imi přijdou již čley a m s idexem m > t. Je-li tedy > 09 liší se -tý čle poslouposti (P') od čísla a o méě ež e. Tedy má posloupost (P') limitu a. Podobě se řeší případy lim a = + oo, lim a = oo (pouze místo \a a\ < e se píše erovost a > A 9 popř. a < A). ìi ) U poslouposti (8) to plye též z toho, že eí shora ai zdola omezeá.

21 92 KAP. Příklad 7. Je-li lim a = + co, je lim (- a ) = - co a aopak, je-li lim a = = oo, je lim( a ) = + co. Důkaz: Budiž lim a = + co; budiž dáo A. K číslu A existuje 0 tak, že pro > 0 je a > A, tj. a < A. Tedy lim ( a ) = co. Druhá část obdobě. Příklad 8 (důležitý). Pro \a\ < 1 je podle 2, příkl. 3 lim a = 0. Proberme ještě ostatí případy. I. Je-li a = 1, je lim a = 1. II. Je-li a > 1, položme h = a - 1, tedy h > O, a = 1 + h, a" = (1 + h) = 1 + h > h. Budiž A libovolé číslo, položme 0 h = A, tj. 0 = -. Pro > 0 je a > h > 0 h = A; tedy lim a = h = + co. III. Je-li a < - 1, je a > 1 a tedy lim \a\ = + co. Vezměme vybraé poslouposti tj. a 2, a 4, a 6,...ja 1, a 3, a 5,..., MMalMal 6,...;-^! 1, - a 3, - a 5,...; prví má limitu + co, druhá co. Tedy eexistuje lima" (vlastí ai evlastí). IV. Obdobý výsledek platí pro a = - 1 (posloupost - 1, 1, - 1, 1,...). Tedy celkem: lim a = 0 pro - 1 < a < 1, lim a = 1 pro a = 1, lim a = + co pro a > 1. Pro a ^ 1 eexistuje vlastí ai evlastí limita. Cvičeí 1. K defiicím 7, 8 lze učiit obdobé pozámky A), B), C), jako byly učiěy k defiici 6 ve cvičeí 1, 1. Pozámka C) má yí teto tvar: Smysl defiice 7 se ezměí, omezíme-li se a oa A, jež jsou větší ež jakékoliv předem daé číslo A 0 ; podobě se v defiici 8 smíme omezit a hodoty A < A Věta 53 platí i pro evlastí limity; proto můžeme (a také budeme) o evlastích limitách mluvit i tehdy, když koečý počet čleů poslouposti eí defiová. 3. Je-li lim a = + co (popř. co) a existuje-li x tak, že pro > x je b "= a (popř. b ^ a ), je též lim b = + co (popř. co). 4. Je-li lima = + co ebo co, je lim a = + co. Obrátit se tato věta edá: je-li a = ( 1)", je lim a = + oo, ale lim a (vlastí ai evlastí) eexistuje. 5. Nevlastí limita lim a existuje tehdy a je tehdy, je-li lim a = + co a jsou-li pro > l všechaa kladá (potom je lim a = + oo) ebo všecha a záporá (potom je lim a = = oo). Srovej s cvičeím 4. Rovice (31) obsahují věty o lim (a ± b ), lim a b, lim. Následující cvičeí obsahují b obdobé vety pro evlastí limity. 6. Je-li lim a = + co a je-li posloupost b l,b 2,... zdola omezeá, je lim (a + b ) = = 4-oo (ávod: b > k; budiž dáo A; existuje 0 tak, že pro > 0 je a > A k, tedy a + b > A). Speciálě: existuje-li lim b ±-oc a je-li lima = + co, je lim (a + b ) -= -= + co.

22 $ Je-li však limtf rt = + oo, lim^b = oo, jsou možé ejrůzější případy: budiž třeba -a = ; je-li b = - + a, je lim (a + b ) = a; je-li b = - \ 9 je lim (a ri + b ) = + oo je-li & rt = - 2/7,jelim(a,. + b ) = - oo; je-li b = - /i + (- l), eexistuje lim (<? + ^(vlastí ai evlastí). 8. Proberte obdobě k cvičeí 6 případ lim a = oo. 9. Je-li lim a = + oo a existuje-li kladé číslo 6 tak, že pro > t je b *^, je iima^ = = + oo; platí-li b = b místo b = b 9 vyjde lim a^ = --- oo. Speciálě: je-li limo,. = = + co a existuje-li lim b (vlastí ebo evlastí) růzá od uly 9 existuje evlastí lim a b ; sado zjistíte, kdy + co a kdy co. Obdobě pro lim a = co. 10. Je-li však lim a = + oo, lim b = O, jsou možé ejrůzější případy: sestrojte příklady, v ichž lim a b je + oo, oo, O, vlastí kladá, vlastí záporá, popř. vůbec eexistuje. 11. Je-li O O, \ima = ± oo, je lim ca = ± co, lim(-- ca ) = + oo, kde platí buďto všecha horí ebo všecha dolí zameí. 12. Ježto ovládáme ásobeí (cvičeí 9, 10, 11),-stačí, když místo podílu vyšetříme převráceou hodotu. Dokažte: tehdy a je tehdy je lim \a \ = + oo, je-li lim = 0 (evadí, je-li M = 0 pro koečý počet hodot, viz cvičeí 2). 13. Je-li lim a = + oo ebo lim a = oo, je lim = 0. Naopak: je-li lim = 0 a a a jsou-li všecha a pro > t kladá ebo všecha záporá, existuje evlastí lim a. Omezeí o zaméku je uté: pro a = ( 1)". eexistuje lim a, ač lim = Je-li lim a == 0, emusí být lim = + co [ příklad: a = 0 pro všecha 9 emá V a smyslu J. Platí však: budiž lima,. = 0; je-li a 4= 0 pro > i9 je lim ) pro > l9 je lim = + oo; je-li a < 0 pro > i9 je lim = oo. a a a = + oo;je-lia > 0 15* Buďte dáa čísla A 0, A í9..., A fc, k celé kladé, A 0 =}= 0. Potom je lim (A 0 k + A x k ~ * Afc-x/i + A h ) = + oo pro A 0 > 0, = oo pro A 0 < 0 (ávod: vytkěte k a užijte cvičeí 9). 16. Buďte k 9 l celá ezáporá čísla, A 0 4-0, B 0 4= 0. Staovte t. A 0 k + A^' A k lim i j i ; B 0 l + Bi'" B- -vyjde pro k = /, 0 pro fc < /, + oo ebo oo (podle toho, zda A 0, B 0 mají stejá či růzá. B o.zameí) pro k> / Existuje-li číslo d > 1 a přirozeé číslo ± tak, že pro každé "^ /^ je ^> 0, yla~ >d 9 je lim ^ = + 00 (důkazy v cvičeí 17 až 20 jsou obdobé jako v 2, cvičeí 5 až 8). IB. Je-li lim \la~ > 1 (po příp. = + oo), je lim a = + oo.

23 94 KAP. ir 19. Existuje-li číslo <5> 1 a přirozeé t tak, že a i > 0 a že pro *= t je +1 > ó, jea Mma = -f oo 1? ;. 20. Je-li ťz > 0 pro > íf lim > I, je lim a = + oo Kdybychom ve cvičeí 19 místo a i > O psali a i < 0, dostali bychom lim a, I + 1 Kdybychom podmíku a í > 0 vyechali a místo w + 1 > (5 psali > <5, dostali bychom lim \a \ = + co. 22. Je-li lim(a +1 : a ) < 1, je lim laj = -f co, ale lima rt eexistuje (ai evlastí). 23. lim ^T = + oo. (Návod: budiž A > 0; podle 2, cvičeí 9 je A < i pro > 0 ; utvořte -tou odmociu). 24. Budiž k celé; podle 2, cvičeí 11 je lim k x = 0 pro JC < 1. Vyšetřete ještě ostatí hodoty x. Pro x = 1 vyjde limita + oo, 1, 0, podle toho, zda k > 0, = 0, < 0. Pro x > 1 je limita -f- co. Pro x = 1, k < 0 je limita 0. Pro x = 1, k = 0 limita (ai evlastí) eexistuje, ale lim *x = 1. V ostatích případech (x = 1, k > 0 ebo x < 1) eexistuje limita (ai evlastí),, ale lim \ k x \ = -f Mootóí poslouposti. Jestliže v poslouposti (43) a l9 a 29 a je a < a +l pro každé, tj. je-li každý ásledující čle větší ež předcházející., říkáme, že posloupost (43) je rostoucí; v takové poslouposti je tedy a t < a 2 < < a 3 <... Mohé úvahy, platé pro rostoucí poslouposti, platí i tehdy, ahradíme-li zameí < zameím ^. Proto dáváme takovým posloupostem zvláští jméo: je-li a ^ a +í pro každé, říkáme, že posloupost (43) je eklesající* Každá rostoucí posloupost je eklesající, ale e aopak. Obdobě: je-li a > a +í pro každé, říkáme, že posloupost (43) je klesající; je-li a = a +1 pro každé > říkáme, že posloupost (43) je erostoucí (každá posloupost klesající je ovšem erostoucí, ale e aopak). Posloupostem eklesajícím a posloupostem erostoucím dáváme společý ázev: poslouposti mootóí. Na ázvy právě zavedeé uto dát trochu pozor: posloupost, která eí rostoucí", emusí být proto ještě erostoucí"; apř. posloupost,i\ 1, 1! 1 1 ( V 1 X > \ / 12 ) V předpokládaé erovosti a +í : a > ó je obsaže (evysloveý) předpoklad, že pro ^ x je a -# 0; jiak by totiž levá straa erovosti emela smyslu. Obdobě je třeba rozumět takovým výrokům v podobých případech: vyslovím-li ěkde předpoklad (ebo tvrzeí), že je apř. A = B, předpokládám (popř. tvrdím) tím, že předě oba výrazy A, B mají smysl a za druhé, že si jsou rovy.

24 r4 95 eí ai rostoucí \ ai erostoucí (eboť apř. 1 > -. obecě a 2 = > -- = a 2+í ) F 4 2/i - 1 2( + 1) / í eboť apř. - < 1, obecě a 2. í = < = a 2 ). \ 2 2/i 2/i - 1 / Všechy mootóí poslouposti tvoří je zcela speciálí, ale velmi důležitou třídu posloupostí. Z posloupostí (2) až (11) v 1 jsou (2), (7) klesající, (6), (10) rostoucí, (5) erostoucí a současě eklesající (pro každé je a = a +í = 2, tedy a _ a +í a současě a ^ a +í ), kdežto (3), (4), (8), (9), (11) vůbec ejsou mootóí. Pro mootóí poslouposti dokážeme yí dvě svrchovaě důležité věty. Budiž předě (43) posloupost eklesající^ potom je zdola omezeá (eboť a x je její ejmeší čle, takže if a = a^); může také, ale emusí být shora omezeá 71=1,2,... (viz (10), (6)). Shora omezeá" zameá tedy pro eklesající poslouposti totéž jako omezeá". Platí pak tato věta: Věta 63. Posloupost (43) budiž eklesající. Neí-li shora omezeá, je lim a = = + co. Je-li shora omezeá, má vlastí limitu (44) lim a = sup a. Jl->CO 71=-1,2,... Důkaz. I. Neí-li (43) shora omezeá, existuje ke každému A přirozeé číslo 0 tak, že a Q > A (tj.: aspoň jede čle poslouposti je větší ež A). Ježto posloupost je eklesající, platí pro > 0 erovost a _ a Q,tedya > A. Tedy je lim a = = + co. II. Budiž (43) shora omezeá; položme G = sup a. Je tedy předě a = G =l,2,... pro všecha. Za druhé: je-li s > 0, existuje v poslouposti aspoň jede čle větší ež G c, tj. existuje přirozeé číslo 0 tak, že a Q > G s. Pro > 0 je a = a 0, tedy G - e < a = G < G + s, tj. \a - G\ < e. Tedy je lim a = G. Důsledek. Je-li posloupost (43) eklesající a shora omezeá, je a k ^ lim a -*oo pro každé přirozeé k; to je zřejmé podle (44), eboť je jistě a k= supa,,. =l,2,... Podobě: je-li posloupost (43) erostoucí, je vždy shora omezeá (ejvětší čle = = a x = sup a ); zdola omezeá být může; ale emusí (viz (2), (7) v 1). Platí pak

25 96 KAP.H Věta 64. Posloupost (43) budiž erostoucí. Neí4i zdola omezeá, je lim a =. -*oo = oo. Je-li zdola omezeá, má vlasti limitu (45) lim a = if a. -*oo =l,2,... Důsledek. Je-/i posloupost (43) erostoucí a zdola omezeá, je a k = lim a -*oo pro každé přirozeé k. Důkaz, který je zcela obdobý důkazu věty 63, přeechávám čteáři. Viz též cvičeí 1. Z vět 63, 64 plye ihed Věta 65. Mootóí posloupost je kovergetí tehdy a je tehdy, je-li omezeá. Že každá kovergetí posloupost je omezeá, víme (věta 54). Víme však také, že omezeá posloupost emusí být kovergetí (apř. posloupost (4) v 1)..Ale mootóí omezeá posloupost je vždy kovergetí. Věty 63 až 65 jsou základího výzamu. Představme si, že chceme podle defiice 6 zjistit, zda ějaká posloupost a l9 a je kovergetí; k tomu cíli sestrojíme výraz \a a\; zjistíme-li, že ke každému > O existuje 0 tak, že pro > 0 je \a a\ < s, je posloupost kovergetí a má limitu a. Abychom však tohoto postupu mohli užít, musíme apřed ějak uhodout, které číslo a by mohlo být limitou poslouposti, eboť jiak bychom výraz \a a\ emohli sestrojit. U mootóí poslouposti však stačí zjistit, že je omezeá: potom je jistě kovergetí, i když emáme a prví pohled vůbec poětí, jakou hodotu by limita vyšetřovaé poslouposti mohla mít; v tom je výzam vět 63 až 65. Když jsme zjistili, IQ posloupost má limitu (jejíž hodotu třeba prozatím ezáme), askýtá se ovšem další úkol: totiž alézt postup, kterým lze hodotu této limity s libovolě malou chybou vypočíst; tímto úkolem se budeme později též v mohých případech zabývat (viz též příklad 3 v tomto ); ale prví úkol, totiž zjistit existeci limity, se často řeší přímým použitím věty 65. Důkaz vět 63 až 65 spočívá a pojmu supremum a ifimum poslouposti"; teto pojem spočívá (viz počátek 2) přímo a pojmu supremum a ifimum možiy"; a teto pojem spočívá a základích větách 39, 40. Vidíte, že věty 63 až 65 souvisejí úzce s větami 39, 40; bližší o tom viz v cvičeí 12. Následující příklady jsou velmi důležité v matematice. Příklad 1. Posloupost, jejíž -tý čle je (1 -\ ], je kovergetí. V j Pišme.a = ( 1 H ) ; limitu lim a, jejíž existeci dokážeme, budeme vždy začíte; a aopak V j písmeo e bude vždy začit toto číslo. Číslo e ie velmi důležité, jak pozáme později.

26 _4 97 / 1V +1 Důkaz. Položme b = j 1 H j ; tvrdím, že posloupost b l9 b l9... je klesa- / l\ +1 / 1 V +2 jící, tj. že [ ) > (1 H ). Tato erovost (kterou máme dokázat) V ) V + l) platí tehdy a je tehdy, platí-li í + 1V + 1 ( + 2Y +2. /w + 1V +2 > /«_±_?Y (!i±i r I >1+i, tja 1+ >r! > 1 + i, \( +2)/ \ ( + 2)/ eboť ( + l) 2 = «( + 2) + 1. Pro h > 0, k > 1, k celé je (1 + h) k > 1 + kh; levá straa posledí erovosti je tedy větší ež 1 + ( + 2) = 1 H. Tím je posledí erovost doká( + 2) záa, takže posloupost b l9 b 2,... je klesající a ovšem zdola omezeá (eboť b > 0); tedy existuje lim b = A a tedy lim A + ly-limv "^ = V "^ -A. V "1 i + i limri Ҷ + í^ 1 + i) Tím je důkaz provede;.a je právě číslo, jež jsme se rozhodli ozačit písmeem e. Tedy je / IV / 1V +1 lim a = e = lim b, tj. lim I 1 + -) = e = lim f j Příklad 2. Pro každé je (1 + - j < e < (1 + - J (tj. a < e < b 9 podržíme-li ozačeí z příkl. 1). Důkaz. Ježto b l9 b 2,... je klesající posloupost, lim b = e 9 je podle důsledku věty 64 b > b + i e. Dckážeme-li, že a l9 a l9... je posloupost rostoucí, bude podle důsledku věty 63 a < a +1 = e. Podle biomické věty je, 1 ( - 1) 1 ( -' 1) ( - 2) 1 a = > '-. + -i ^ \ /i 3,»(»-!) ' (-( -1)) ' 7 Jarík: Difereciálí početí.

27 98 KAP. ir _KKK)H) Píšeme-li zde rc + 1 místo, dostáváme a + 1 = 1 + x + 1A ) + 1A J_Vi ) ! V +lj 3! V " + 1/V +V (47) + _(. V,...(, >) + v '! V + V V» + 1/ V» + 1/ +_L_ u - -i-v, - y.. /, _ - ). ( + l)!\ "+1/V/ "+V V "+ 1 / k k Pro k = 1, 2,..., 1 je 1 < 1 ; každý čle v (46) od třetího počí + 1 aje 13 ) je tedy meší ež stejolehlý čle v (47); mimoto vystupuje v (47) ještě další ový kladý čle, totiž _jl_(. -_v,- y.y, y ( + 1)! V + 1/ V +íj V +\J Tedy je vskutku a < a +í. Příklad 3. Příklad 2 ám dává možost počítat číslo e s libovolou přesostí, tj. s libovolě malou chybou. Je totiž a l = 2, b t = 4 a pro > 1 je 2 < a < e < < b < 4, b = a (1 + -) = a + - a. Zvolíme-li určité a vypočteme a = V J = (1 H ), bude číslo a vyjadřovat číslo e s chybou 14 ) meší ež b a = V J 1 4 = a <. Zvolíme-li dosti velké, můžeme tuto chybu učiit libovolě malou. Např. zvolím-li = 4000, bude chyba meší ež JQ^Q. Vidíte, že by teto postup byl velmi amáhavý: k dosažeí této poměrě malé přesosti bychom musili vypočíst (t + 4oW) ) Požiji si odvodíme jiý postup, který ám umoží esrovatelě 13 ) Pro -= 1 vystupují ovšem je prví dva čley: a í = ) Chybou" rozumíme zde ovšem číslo \e a \ ) Ježto a < 4, vyšel by pro číslo - a o ěco lepší odhad ež -; ale e o moho lepší, eboť 1 2 a > 2 a tedy - a > -. //

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Čísla a početní výkony

Čísla a početní výkony Čísla a početí výkoy III. Reálá čísla I: Eduard Čech (author): Čísla a početí výkoy. (Czech). Praha: Státí akladatelství techické literatury, 1954. pp. 92--137. Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/402583

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Integrální počet II. In: Vojtěch Jarník (author): Integrální počet II. (Czech). Praha: Academia, pp

Integrální počet II. In: Vojtěch Jarník (author): Integrální počet II. (Czech). Praha: Academia, pp Itegrálí počet II Kapitola XI. Riemaův itegrál I: Vojtěch Jarík (author): Itegrálí počet II. (Czech). Praha: Academia, 1984. pp. 436--447. Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/402058 Terms of use: Vojtěch

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

O dělitelnosti čísel celých

O dělitelnosti čísel celých O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

O dynamickém programování

O dynamickém programování O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801

Více

Kongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti

Kongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Základy teorie matic 23. Klasifikace regulárních párů matic In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 162--168. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401352 Terms

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více