Časopis pro pěstování matematiky

Transkript

1 Časopis pro pěstováí matematiky Miroslav Fiedler Řešeí jedé úlohy prof. E. Čecha Časopis pro pěstováí matematiky, Vol. 77 (1952), No. 1, Persistet URL: Terms of use: Istitute of Mathematics AS CR, 1952 Istitute of Mathematics of the Academy of Scieces of the Czech Republic provides access to digitized documets strictly for persoal use. Each copy of ay part of this documet must cotai these Terms of use. This paper has bee digitized, optimized for electroic delivery ad stamped with digital sigature withi the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 Časopis pro pěstovái matematiky, roč. 77 (1952) ŘEŠENÍ JEDNÉ ÚLOHY PROF. E. ČECHA MIROSLAV FIEDLER, Praha. (Došlo de 1. srpa 1951.) Prof. E. Čech zapsal do Kihy problémů matematické obce pražské tuto úlohu: Charakterisovat možiu ulových bodů fukce 2 \a, + b r y + c r \ + a + by + c, f-=l kde a r, b r, c r a, b, c jsou reálá čislaf Abychom mohli řešeí přehleději formulovat, zavedeme ásledující defiice: Defiice 1. Možia bodů M v euklidovské roviě (, y) (začíme ji v dalším E 2 ) se azývá poloroviou, eistují-li reálá čísla a, b, c tak, že * 1. eí současě a = b = 0, 2. bod (, y) je v M tehdy a je tehdy, je-li a + by + c _J> 0. Defiice 2. Možia bodů v E 2 se azývá K-možiou, lze-li ji vyjádřit jako průik koečého počtu polorovi ebo je-li celou E 2. Pozámka. Polorovia v def. 1. je uzavřeou poloroviou v obvyklém smyslu. Obdobě lze defiovat (uzavřeou) úsečku a polopřímku. Platí zřejmě věta: Průik koečé moha K-moíi je opět K-mozia. Defiice 3. K-možiu F azveme eohraičeou, eistuje-li polopřímka, jež leží celá v F. Neeistuj e-li taková polopřímka, azveme F ohraičeou. Eistuje-li polopřímka oc v F a platí-li, že každá polopřímka, ležící v F, je s oc souhlasě rovoběžá (včetě případu souhlasých polopřímek v téže přímce), azveme F jedosměrě eohraičeou K-možiou. Defiice 4a. Útvar, složeý z koečého počtu úseček, azveme jedoduchým řetězem, eistuje-li možia bodů P v,..., P ( > 1) tak, že 1. ty úsečky jsou P P %, P*Pz,..., P-P, 2. žádé tři sousedí body Pi- V Po Pi+ V * = 2, 3,..., 1, eleží v přímce, 3. ž^dé dvě esousedí úsečky (t. j. PiP i+v PjPj+ v \i j\ > 1, ť, / = 1,..., 1) se eprotíají.

3 Defiice 4b. Útvar složeý z koečého počtu úseček ( ^ 3), azveme uzavřeým řetězem, eistuje-li možia bodů P l9,..., P (P + i = P lf P +2 = ) tak, že l..ty úsečky jsou * 1-* 2> *V*3> > *-lf<> P-Pl>.2. žádé tři body P^^!, P ť, P ť +, í = 2, 3,...,f& + 1, eleží v přímce, 3. žádé dvě esousedí (ve zřejmém smyslu) úsečky se eprotíají. Defiice 4c. Útvar složeý ze dvou disjuktích polopřímek a jedoduchého řetězu azveme úplým -řetězem, je-li počet úseček řetězu rove Číslu ( - 2) a platí-li 1. počátky obou polopřímek splývají s počátkem P a kocem P - 1 řetězu, 2. toto jsou jedié průsečíky vždy jedé z polopřímek a řetězu, 3. počátečí (t. j. s krajovým bodem P-J a kocová (t. j. s krajovým bodem P _ ) úsečka eleží v přímce s prvou resp. druhou polopřímkou. Přitom útvar, složeý ze dvou polopřímek (e v přímce) se společým počátkem, budeme považovat též za úplý dvojřetěz. Budiž yí F K-možiou, jež eí celá E 2 ; echť jedo vyjádřeí m F jakožto průiku koečě moha (m) polorovi je F = fj -^«> kde R t jsou poloroviy. Ozačme $Jl F možiu čísel m, t. j. počtu polorovi v růzých vyjádřeích možiy F. WIF je eprázdá, obsahuje je přirozeá čísla (tedy zdola ohraičeá ulou), a má tedy ejmeší prvek, ozačme jej. Má-li F vitří bod, t. j. eí-li F částí přímky, pak pro toto platí věta (Réidemeister: Topologie der Polyeder, str. 31): Vyjádřei F jakožto průiku polorovi je až a pořadí faktorů jedozačé. Ozačíme-li jako obvykle H(M) hraici možiy M (v K 2 ), platí dále: Při rozkladu podle zámého vzorce H(F) = H((\R i ) = H(R 1 )R 2...R \jr 1 H(R 2 )...R \J... ť-=i... U-Si.B a...h(r ) obsahuje každý ze sčítaců alespoň dva růzé body. Poěvadž je každý sčítaec průik přímky H(Ri) s koečým počtem polorovi, je podle této věty hraice F složeá z právě úseček resp. polopřímek ebo přímek, jež azveme straami F*.) Tím je opodstatěa wi *) Tyto stray leží v avzájem růzých přímkách H(R t ): Kdyby totiž H(Ei) =a- H(R ) 9 i 4= j, pak bud R t = E ve sporu s ejmeším (R lze škrtout v součiu), ebo je celá F v přímce H{R{) ve sporu s eistecí vitřího bodu F. 66

4 defiice 5. K-možiu F s vitřím bodem, jež eí celou roviou a jíž tedy áleží přirozeé číslo sestrojeé jako dříve, azveme -straem. Uvádíme ted bez důkazu klasifikaci K-moži a jejich hraic, k íž směřovaly všechy úvahy této předběžé části: K-možiy jsou: A, prázdá možia (hraice prázdá), B, jedobodová možia (hraice táž možia), G l9 úsečka (hraice táž možia) C 2, polopřímka (hraice táž možia), C 3, přímka (hraice táž možia), D l9 ohraičeý -strah, I> 3 (hraice uzavřeý w-řetěz), D 2, eohraičeý -stra, I> 2, s výjimkou ásl. D 3 (hraice úplý w-řetěz), D 3, pás mezi dvěma rovoběžkami (hraice dvě rovoběžky), D 4, polorovia (hraice přímka), D 5, rovia (hraice prázdá). Pozámka.. D 2 lze ještě rozdělit a jedosměrě eohraičeý w-stra ( ^ 3), pro který jsou obě polopřímky v hraici souhlasě rovoběžé (D 2 a) a ikohv jedosměrě eohraičeý w-stra ( _; 2) (obě polopřímky ejsou souhlasě rovoběžé, D 2 b). Nyí již můžeme formulovat řešeí daé úlohy: Řehi. Možia ulových'bodů daé fukce je bud K-moiia ebo hraice K-moíiy s vitřim bodem (typů D D 4 ). Obráceě jest moío kaídou K-moíiu ebo hraici K-moíiy 9 s výjimkou hraic ohraičeého trojstrau a jedosměré eohraičeého trojstrau, pro ěz to elze ikdy 9 vyjádřit ve shora uvedeém tvaru. Pozámka. Obecě (t. j. platí-li jistá erovost) při pevém ^>. 1 je tato možia ulových bodů hraicí K-možiy s vitřím bodem. Důkaz. Nejprve odvodíme prví část řešeí. Nechť je tedy dáa fukce / == 2 [a^ + b r y + c r \ + a + by + c r=i (připouštíme i = 0, pak Z odpadá); pak lze psát / v redukovaém tvaru / =5 2 \a k + btf + c k \ +, a + by + c, pro který platí:! (5 ft, b k ) =j= 0 (t. j. eí současě a k = &*= 0) pro &= 1,...,, 2. matice a i9 Ъj 9 CІ a i9 Ъ j9 Ъj má hodost 2 pro i =4= h i>? == *> - Um 67

5 Je-li totiž v původím vyjádřeí pro ěkterý ide s: a 8 = b 8 = 0, je a^r + b 8 y + c 8 \ = \c 8 \ a tuto absolutí hodotu lze sloučit s c. Odtud 1. Je-li pro ěkteré dva růzé idey ť, j v původím tvaru a ť = Qa h b 4 = ob^ Ci = QCj, lze psát místo \a& + b t y + Ci\ + \ap + b á y + cj[ výraz \(\ + \Q\)a j + (l + \ Q \)b j y + (l + \Q\)c 5 \. Odtud 2. Ozačme pro redukovaý tvar výrazy a { + b { y + c { (píšeme opět bez pruhu) stručě p u a + by + c ozačme p. Je yí p i = 0 vždy rovice přímky a tyto přímky jsou pro růzé idey avzájem růzé. Dokážeme ted tři pomocé věty: Pomocá veta 1. Nechť P ly jsou dva růzé body roviy, (P lt ) možia vitřích bodů (v přímce) úsečky Pi, P (P l9 ) libovolý. Pak platí pro aši fukci / tyto implikace: ^ 1. /(P 1 )<0 > /(P 1 )^0=>/(P)<0; 2. f(p t ) = /( ) = 0=> /(P) bud stále < 0 ebo stále /(P) = 0 podle toho, zda alespoň jeda ebo žádá p { protíá (P l9 ) (,,protíá <ť ve smyslu,,má společý právě jede bod"). Důkaz. Poěvadž P e (P l9 ), eistuje A, 0 < A < 1, Že P = = AP + (1 - A). Je pak f(p) = i ^(AP + (1 - A) ) + p(p + (1 - A) ) = ** rl.= 2 IAAÍP..) + (1 - A) ^(P,)! + pipj + (1 - ) 2>( ) ^ ^ A{ I ^(PJI + í>(p.)} + (1 - A){ S í>*( ) + p(p a )} = *=1 t=l = A/(P 1 ) + (1-A)/( ). Přitom zaméko rovosti platí tehdy a je tehdy, je-li pro i = 1,...,, P^i) - _Pť(^2) ^ 0, ti j. leží-li P i vždy v téže poloroviě dle p {. Odtud pomocá věta 1. Pomocá vita 2. Možia bodů P, pro ěž je f(p) <^ 0, je K-možia. D&kaz provedeme úplou idukcí přes. Pro = 0 je / ss p, hledaá možia (t. j. í> ^ 0) je: pro p == c (t. j. a = 6 = 0), c > 0 možia prázdá, c 5j 0 celá rovia, pro (a, 6) 4= 0 polorovia, Věta tedy platí. m

6 Předpokládejme, že pomocá věta 2 platí pro vsechy redukovaé tvary s poetem absolutích hodot meším ež přirozeé. Budiž yí / == S \p k \ + p redukovaý tvar. Ozačme možiy E(f ^0) = F y E(f 0) = F ly E(f 2 ^ 0) =, kde /i = Š \p k \ +P +P> / a = S \p k \ -P* + P. * = 1 * = 1 Dokážeme, že F=F 1 c\. Především F o C P. Je-K totiž bod P F ly Pe F 2y lze předpokládat p (P) ^> 0 (jiak zaměíme p < > p a F ^~> ). Je pak f(p) = f (P) ^ 0, P e F. Nechť aopak P P, pak lze opět předpokládat p (P) ^> 0, takže A(P) = /(P) 0, P P. Kdyby P o, bylo by / 2 (P) > 0, f (P) - / 2 (P) < 0, t. j. 2p (P) < 0, což je spor, F = F 1 o. Podle idukčrmho předpokladu (F 1 i jsou zřejmě také v redukovaém tvaru) jsou F i K-možiy, tedy také F je K-možia. Pomocá věta 3. Je-li možia bodů P, pro ěž je f(p) < 0, eprázdá, pak možia ulových bodů / je právě možia hraičích bodů K-možiy, vytvořeé možiou F = E(f <1 0). Důkaz. Budiž P 0 bod, pro ějž je F(P 0 ) < 0, P bod, pro ějž je f(p) = 0. Takový bod P vždy eistuje, eí-li / E= cost. < 0 (pak je F celá rovia, hraice je prázdá, možia ulových bodů také a věta platí). Neboť potom eistuje bod Q, že f(q) > 0, a ze spojitosti / plye (dokoce a úsečce P 0 Q) eistece alespoň jedoho takového bodu P. Podle 1. pomocé věty jsou všechy body úsečky PP 0 v F. Kdyby pro ějaký bod P =)= P, který je a té polopřímce s počátkem P v přímce P 0 P y a íž eleží P 0, bylo f(p ) <! 0, pak by bod P byl v (P 0, P ) a podle 1. pomocé věty by f(p) < 0 proti předpokladu. Tedy v každém okolí bodu P jsou i body z K 2 P, t. j. bod P je hraičím bodem F. Z těchto pomocých vět plye: Je-li možia E(f < 0) prázdá, je hledaá možia ulových bodů E(f = 0) K-možia (eboť je rova možiě E(f <1 0), por. věta 2). Je-li možia E(f < 0) eprázdá, je hledaá možia hraicí K-možiy s vitřím bodem (totiž bod P, pro který je f(p) < 0, je vitřím bodem možiy E(f <1 0). Tím je dokázáa prví část řešeí. K důkazu druhé části stačí, abychom ukázali, že jedak každou tam popsaou možiu lze vyjádřit v uvedeém tvaru, jedak, že elze obě výjimky v tom tvaru apsat. Budiž tedy dáa libovolá K-možia jakožto průik JR 4. Celá rovia je popsáa idetitou 0=0, předpokládejme tedy > 0; echť 69

7 poloroviy i? ť = E(pi _; 0)! Pak je zřejmé, že ulové body fukce. f == S p ť S PÍ jsou právě body daé K-možiy. *=*i i=i Nyí jde o vyjádřeí hraic typů Di D 4 uvedeým tvarem: Budiž tedy dáa hraice ohraičeého w-strau, > 3 (pro = 3 dokážeme íže emožost vyjádřeí). Jak jsme uvedli dříve, je to uzavřeý w-řetěz, t. j. eistují body P ( v y ), fo 2, y 2 ),..., P (, y ) tak, že hledaá hraice je sjedoceí úseček P;L, -^2^3,» P -i P P > P v Přitom, jak plye z počátečích úvah o K-možiách a jejich hraicích, body P fi j = = i, i 4-1 (/ = 1,..., w), leží uvitř právě jedé z polorovi podle přímky P ť, P ť+1 (í = 1,...,, P + 1 = P-J. Ozačíme-li pak je pro i<j < k, i, j, k = 1, Dále pišme stručě l> Уi> 1 sig 2> y%> 1 г> Ув> 1 І> УІ> 1 sig i> л» 1 k, УÄ, 1 = e, ît = #, y, 1 І+I> УІ+I> 1 í=l,...,tt-- 2,î = я - : i» i> > i> І+I> y> 1 Уi> 1 У-1, 1 У> 1 2/*, 1 i УІ i, 1 + :' У, Přeechávám čteáři, aby Se přesvědčil, že fukce /--'ui+yift-!- Jfc=2 ï* Я-2 +Я 4.1 má ulové body právě v bodech úseček P { P i+v i 1,.,.,л. Tím je alezeo vyjádřeí pro hraici možiy typu T> v Nechť je za druhé dáa hraice jedosměrě eohraičeého -strau, > 3 (pro = 3 opět dokážeme emožost vyjádřeí v uvedeém tvaru)! Eistují tedy body P v..., P ^ a orietovaý směr *, tak, že ta hraice je složea z úseček p i p g PJP*» ^-a^-i a dvou polopřímek s počátky P v P - a směry a. Obsahuje-li polopřímka se směrem oí a počátkem 0(0,0) bod (růzý cd počátku O) ( f y ) a je-li 70

8 sig *i> Vi, i 2> yz> * 3> y&> i = e, pak pro i<j< k, i, j,k = 1,...,, platí sig І> УІ> 1 І> УІ> 1 = e y #ъ Уk> <*k kde cr fc = 1 pro k = 1,..., - 1, a = 0. Aalogicky k předchozímu pišme _ľ*= я, У> 1 І+I> УІ+I> - *, У, 0 І> УІ> 1 ^ť+i, УІ+I> 1 pro i = 1, 2,..., 2, 2Л 1 *i> Уi> 1 ^-li У-i,! *lэ У> o Уl. 1 У- 1 2 Poěvadž fukce / = \q\ + S l^-! (fo g _ #i, opět vyho- *=2 vuje požadavkům, je vyřeše případ hraice K-možiy typu D 2 a. Nechť je za třetí dáa hraice w-strau (/&_: 2) typu D 2 b, t. j. úplý w-řetěz, splňující podmíky koveity jedé z ěástí, a ěž dělí roviu! Eistuje tedy 1 bodů P 1?..., P _ 1 a orietovaé směry a, /} tak, že ta hraice se skládá z úseček (pro = 2 tato část odpadá) P-^Pa,..., P - 2 P - 1 a dvou polopřímek s počátky P resp. P - 1 a směry a resp. /?. Jsoú-li opět směry Se resp. ji dáy body (# 0, y 0 ) resp. (s, y ), růzými od 0(0, 0) a polopřímkách s počátkem v 0(0, 0) a směry a resp. /?, pak platí, defiujeme-li a 0 = a = 0,,<r fc = 1 pro í = 1,..., 1 a e = = sig ^o/ífo : ^, y» i, /, jfc = 0, 1,..., 1,. **> yt> <*i sig a?,, y 1 = e pro i < ; < k, k> yk> <*k Budiž (,y) libovolý pevý bod, pro ějž = A 0 + (1 - ), y = Ay 0 + (1 - ) y, 0 < < 1., 71

9 Ozaéíme-li > y> 1 > y> 0 9І = І> УІ> <*І l І> УІ> OІ,<=0,...,ц- 1, І+I> УІ+I> І+I І+I> УІ+I> tft+i pak se lze opět sado přesvědčit, že fukce / = S g ť _! g ť g 0 q ^1 i=l vyhovuje podmíkám. Zbývají případy hraic K-moži typů D 3 a D 4 : Hraicí typu D 3 jsou dvě rovoběžky; echť jejich rovice jsou p == a + by + Cj = 0, p 2 == a:c + by + c 2 = 0, c < c 2! Pak fukce Ci + c 2 /= crø + Ъy + + se auluje právě a obou přímkách p l9 p 2. Případ hraice typu D 4, t. j. poloroviy, je triviálí (/ = p, kde p je rovice hraičí přímky). Aby byl důkaz řešeí úplý, uto ještě dokázat: Hraici trojstraů typů T> a D 2 a elze vyjádřit ulovými body fukce / = 2 p. +f>. r-=l Trojstray typů D a D 2 a mají totiž vlastost: Prochází-li přímka jejich vitřím bodem, musí protout aspoň jedu strau v jejím vitřím bodě (totiž trojřetěz v bodě růzém od P l9 resp. P 3 ). Předpokládejme a okamžik, že eistuje vyjádřeí hraice trojit strau, P ulovými body fukce / = \p r \ + p 9 která budiž v redukoi«i váém tvaru. Pak žádá přímka p { emůže procházet vitřím bodem F 9 eboť pak by p { proťala ěkterou strau, obsahující i body P l9 > v bodě P 9 žepe (P l9 ). Avšak z pomocé věty 1 plye (f(p ) = f( ) =- = f(p) = 0), že celá ta straa leží v^a tedy p { emůže obsahovat vitří bod F ve sporu s předpokladem. Nechť yí P 19 jsou dva vitří body z růzých stra F. Pak žádá p { eprote (P l9 ), je f(p ) = f( ) = 0, takže pro každý bod P c (P l9 ) je podle 1. pomocé věty f(p) = 0. To je však spor s předpokladem, že možia ulových bodů / je hraicí F. Tím je dokázáo celé řešeí. Závěrem odůvodíme pozámku za řešeím. Budiž dáa fukce 72 / = 2 <vr + b r y + c r \ + a^ + b$ + c 0, ^> 1. r-=l

10 Potom platí: 1. Nechť = 1. Je-li I?» 0o> 6 dvojstrau (typu D 2 b). 4= 0, ulové body / tvoří hraici ^ 2. Nechť > 1; defiujeme součiy*) a a,, ajь ғ.= п b i9 b s, ъ k ť, /, *=o i<j<k c i> c j> a t -, ^, 2 є k a k + a 0 *=i ғ 2 = п Ъ i9 Ь íf 2 ejь&jь + Ь 0 9 i, ;=1 *=i i<ì, «?=! (*i,..., в ) c t> c i» 2 e k c k + c 0 * = 1 п 2 e a fc " + a 0, 2 ^5^ + a 0 («i',...,«'> *=i *=i O т- (ei',..., o, / 1 > i,,, / 2 є k b k + 6 0, 2 e fc ò Ä + b 0 *=i jfc=l kde ve V t uto ásobit přes všechy tříprvkové kombiace 0, 1,...,, ve F 2 jedak přes všechy dvojprvkové kombiace 1,...,, jedak přes všechy možé -tice [e l9..., e ) 9 kde e k abývá hodot 1, -1, k= l,..., ; ve V z přes všechy možé dvojice -tio [e[,..., e ), (ej,..., e ), kde e' k, e" k = ± 1, k= 1,...,, pro ěž [e 19..., e ) 4= [e'[ 9..., <). Je-li souči VjV 2 V 3 4= 0, pak možia ulových bodů / je buď prázdá (a lze ji považovat za hraici K-možiy typu D 6 ), ebo je to hraice K-možiy typu D ebo D 2 b. Důkaz. 1. Budiž = 1,?»' %> I o> i 4= 0, / = Pl + ft. Sado se ukáže, že / = 0 je hraicí průiku polorovi p Ví Vo.= 0, což jest JT-možia typu D 2 b (dvojstra). c k Po^O 2. Budiž > 1, ViVaVs 4= 0. Dokážeme především: Je-li možia ulových bodů / E[f = 0) eprázdá, je i možia bodů E[f < 0) eprázdá. Předpokládejme opak: Necht eistuje bod P, f[p) = 0, echť však stále/^o, *) Pro = 2 obsahuje ovšem V je jede čle*, тз

11 Jsou myslitelé tyto možosti*): 1. bodem P eprochází žádá z^, 2. bodem P prochází jediá p if 3. bodem P procházejí právě dvě p if p jf, 4. bodem P procházejí alespoň tři z p if i, j = 1,...,. Postupě vyloučíme všechy* čtyři případy: 1. pro teto případ je určeo sig^(p) = e =# 0 pro i = 1,..., a bod P leží uvitř K-možiy e { Pi I> 0, i = 1,...,», kterou azveme F. Nulové body / v F jsou právě ty body, pro ěž je q = S e fc p & + p 0 == 0. &=i Toto je rovice přímky; kdyby to totiž byla idetita (vyhovuje jí totiž bod P), pak by faktor ve V 2 a i9 a jy Ee k a k + a 0 b i9 b jy Ee k b k + b 0 C ÍÍ c i> Ee k c k + c 0 byl rove ule, což eí. Přímka q = 0 prochází bodem P, jehož celé okolí je v F. Eistuje tedy v F bod Q, pro který je q(q) < 0 (lieárí ekostatí fukce eabývá miima ve vitřím bodě oblasti), a tedy i f(q) = q(q) < 0 proti předpokladu. 2. Necht Pi(P) -= 0; defiujeme e t = 1, e k = aigp k (P) pro k + i, jfe = 1,...,. Budiž opět F K-možia e k p k^>0, k= 1,...,, takže možia ulových bodů / v F vyhovuje rovici Z e k p k + p 0 = 0; to opět jfe-i eí idetita, ýbrž rovice přímky q = 0, jež prochází bodem P, který leží uvitř stray, jež omezuje F. Je-li přímka q růzá od p,, eistuje bod Q e # = 0 (tedy i /(Q) =0) tak, že Q je vitřím bodem F. Tím by astal už vyloučeý případ 1. Je tedy q totožá s p it pak je však deteiat ve V 2 *) Formulace p ť prochází bodem P je oprávěá: p ť = 0 je pro i 1, 2,..., rovice přímky, ebot (a 6 ) 4= 0; kdyby totiž a př. a = 6 =-= 0, pak -tice if ť ($0 =-= (1,6*,..., e ) je růzá od -tice {e") == ( 1- a»» e )» takže ve V 3 se vyskytuje faktor a, -f 2 Cfcaj. +o 0, a! + 2 e^a* -f «o A--.2 *-2» & -F 2 e k b k +b 0, b + 2 ^6* -f & 0 2а р *-»2 а х + 2 е к а к + а 0 *=»2 = 0, ve sporu s V V 3 V z , 1, є k Ъ k Ь*2 74

12 rove ule, což je spor. a i9 a jt Se k a k + a 0 b it b jt Ee k b k + b 0 c i> c j> Ee k c k + c 0 3. Nechť i 4= j, p^p) = p^p) = 0. Defiuj eme-li opět e t - = e ir = 1, e k = sigpjp) pro ostatí idey, pak je E e k p k (P) + Po( p ) =* - p otom Jfc=-i však determiat ve V 2 a ť, a,-, Ze k a k + a 0 b it b jt Se k b k + b 0 = 0 proti předpokladu. c i> c i> ž*čk c k + c 0 4. Čtvrtý případ je ihed vylouče tím, že kdyby p it Pj, p kt i 4= 4= j 4= Je = = i, procházely bodem P, pak ve V by faktor «., a s, «* ь t, ъ» h Ci, Cj, c* byl rove ule. Poěvadž tedy E(f < 0) je eprázdé, plye z pomocé věty 3, že E(f = 0) je hraicí možiy F s vitřím bodem. Kdyby F byla typu D 2 a, bylo by V 3 = 0, eboť determiat, odpovídající dvojici -tic, jež patří oběma rovoběžým polopřímkám, by byl rove ule. Totéž platí pro případ F typu D 3, zatím co F typu > 4 je vyloučea, eboť > 1 a a i> <*>j> <*>k K K h * 0. c > c j> Zbývají tedy případy: F typu D v F typu D 2 b a možia ulových bodů / prázdá, což lze považovat za hraici F typu D 6. c k Pracováo v Ústředím ústavě, matematickém v Praze. 76