Poznámky k teorii rozptylu

Transkript

1 Mich Lenc: Teoie oztyu - - Poznáky k teoii oztyu Tento text obshuje síše než výkd soubo užívných vzoečků Není oto ni řzení kito nijk systetické Text vznik o část řednášky Pokočiá kvntová echnik v jní seestu 5 Mich Lenc

2 Mich Lenc: Teoie oztyu - - Difkční integá 3 Huygensův inci 4 3 Výočet Fesneov integáu 5 4 Zěn fáze ři doteku kustiky (Guyův fázový osuv 5 5 Účinný ůřez otický teoé 6 6 Rozty v otenciáové oi 8 7 Oeáto Geenovy funkce 8 Užitečné zobecněné funkce 3 9 Užitečné otonoání soustvy funkcí 6 9 Legendeovy oynoy 6 9 Sféické Besseovy funkce 7 Exktní teoie oztyu 9 Linov Schwingeov ovnice Pciání vny 5 3 Rozty ři vysokých enegiích 8 4 Více o ciáních vnách 9 4 Bonov oxice 3 4 Kvsiksická oxice 3 43 Rozty ři vysokých enegiích 3 44 Rozty ři nízkých enegiích 33 5 Neužný ozty 34 5 Pciání vny 34 5 Koexní index ou ostředí 35 6 Příkdy 36 6 Rozty nukeonů 36 6 Rozty ychých neutonů n jádře Rozty ychých eektonů n tou 37 7 Rozty identických částic 39 8 Excitce tou ři sážce s částicí 4

3 Mich Lenc: Teoie oztyu Difkční integá Hedáe řešení Hehotzovy ovnice ψ + ( k ψ ( ( se zdnou hodnotou v ovině z z o ooosto z z Geenov funkce je ex( ik G( ( neboť o je ( řešení ( ři integci o koui se střede v dostáváe ik i ( e ex{ } e ik ρ ρ dω 4 π ρ ρ ρ Sρ (3 tkže ůžee sát Geenovu větu ve tvu ψ ( ( G ψ ψ G d xd yd z 4π z z G ψ ψ G d x d y 4π n n n z z (4 Ve vzthu (4 jse užii nikoiv vnější noáu (íří oti sěu osy z e noáu k vnooše (ve sěu osy z Soefed využi vonosti ve vobě Geenovy funkce: G ex { ik} ex{ ik} i ζ z ( ( ( ζ ( ( ( ζ x x + y y + z x x + y y + z+ z Máe tk { ik} ex{ ik} G d ex d G( i n ζ z ζ d ζ d z z ( n i i cos ζ z ζ ζ z ζ ( x x + ( y y + ( z z Výsedek je tedy z { ikr} k ex ψ ( ψ ( cos ( n R d xd y π i ikr R (5 (6 (7 kde R Toto je exktní výsedek Duhý čen v vní závoce integndu je vždy znedbáván

4 Mich Lenc: Teoie oztyu V dší si ukážee odvození difkčního integáu z Huygensov inciu (ode Lndu Lifšice Huygensův inci Měje eeent vnoochy df Přísěvek tohoto eeentu k oi v nějké bodě P bude úěný itudě oe u n uvžovné eeentu eeentu ůětu ochy eeentu do noáy ve sěu sku vedoucího k bodu P (sky kteé budou řisívt nezávisí n tvu ochy říůstku fáze okesu intensity Ceke tedy áe ex{ ikr} u( P u d fn ( R Konstntu učíe nříkd o ovinnou vnu ostuující odé osy z Poto o bod P(xyz dosttečně vzdáený od oviny (ξη áe { ikz} k( x ξ k( y η ex u ex i dξ ex i dη z z z ( π i k ex { ik z} k π i Máe tk výsedek v soudu s (7 { ikr} k ex u( P u( Q cos ( nq R d fq π i R (3 Po zjívost se odíveje jk vydá výočet o ovinnou vnu ode (7 Po bod n ose P(z áe R { ( ρ } ( ρ { ik( ρ z } z ( ( π k ex + u( P dϕ ρd ρ π i ik( ρ + z ρ + z ρ + z { ( } ( R d ex ik + z zex ik R + z z d ρ ex { ik z} d ρ + z R + z Po R áe oět ovinnou vnu Pozouhodné chování kteé byo histoicky vei důežité o uznání vnové ovhy svět vykzuje nenuová intenzit z neostuný tečíke kteou z (4 (4

5 Mich Lenc: Teoie oztyu dostnee jko R zex{ ik( R + z } (5 R ( R + z 3 Výočet Fesneov integáu Potřebujee vyočítt integá { } Cuchyov vět o vhodnou křivku v koexní ovině dává R F ex ix dx (3 π 4 ex{ iρ } d ρ + ex{ R ( i cos θ sin θ } dθ + ex i ex{ ρ } d ρ (3 V iitě R je π 4 π 4 ex{ iρ } d ρ ex i ex{ ρ } d ρ (33 Poissonův integá se očítá nříkd jko R Konečný výsedek je x d x x d x y d y ex{ } ex{ } ex{ } π π ex { } d (34 Koexně sdužený výz k (35 je π F ex{ ix } dx ( + i (35 * π F ix dx i { } ( ex (36 4 Zěn fáze ři doteku kustiky (Guyův fázový osuv Uvžuje body Q vnoochy z (3

6 Mich Lenc: Teoie oztyu bod P(z n ose Máe tk ξ η ζ + (4 R R Po doszení do (3 ξ η ξ η R ξ + η + z z + + R R z R z R (4 ( ku O k k u( P ex{ ik z} ex i ξ dξ ex i η dη π iz z R z R (43 Pode obázku dostáváe Vnooch s kužnicei hvních křivostí sky < z< R ( + i( + i u( P u( i π R< z< R ( + i( i u( P u( ex i i i R < z< ( i( i u( P u( ex { iπ} i (44 5 Účinný ůřez otický teoé Rovinná vn dodjící ve sěu osy z je oztýen sféicky syetický otenciáe tkže se k skádá z dodjící oztýené vny

7 Mich Lenc: Teoie oztyu Tok očítáe jko ( ik ex E ψ ( t ψ ex( ik z + f ( θ ex i t " j " i ψ ψ ψ ψ * * ( (5 (5 Tok v dodjící vně je k j " in ψ ez Tok v oztýené vně je (gdient ve sféických souřdnicích e e e ( sin θ ϕ (53 + θ + θ ϕ ( " k f θ jsc + O 3 Účinný ůřez je definován oocí vzthu i j dω j dσ sc in (54 (55 N evé stně definice je tok v oztýené vně do eeentu ostoového úhu dω ve veké vzdáenosti od oztyového cent N vé stně k odovídjící eeent ochy kteý řinutí tok v dodjící vně řejít do toku v oztýené vně Doszení (53 (54 do (55 dostáváe Cekový účinný ůřez je k ( θ dσ f dω (56 ( (57 σ dσ f θ dω Pozouhodný vzth kteý sojuje cekový učinný ůřez iginání část itudy oztyu ve sěu dodjící vny se nzývá otický teoé: k I { f ( } σ (58 4π Jednoduché odvození otického teoéu ochází od vn Hust V dosttečné vzdáenosti z oztyový cente je ψ ex{ ik} ex ( { ik z} + f ( θ Budee očítt tok oškou ooěu R kdy jsou sněny neovnosti R kr # $ π (5 z z (59

8 Mich Lenc: Teoie oztyu což znená že úhová veikost ošky (viděno z oztyového cent je á e ošk obshuje noho Fesneových zón Poto (oání souřdnice ρ ψ ( ρ z + R f ( ex ik z z tok ocházející oškou je (5 R 4π d R I{ f ( } (5 k π ψ ρ ρ π Poch je zenšen o účinný ůřez oztyu 6 Rozty v otenciáové oi Uvžuje o ohybu částice v otenciáové oi Pohyb voné částice je osán Hehotzovou ovnicí ( ( ( ( ( E Ψ+ k Ψ k " " Pohyb v otenciáové oi oto stcionání Schödingeovou ovnicí Ψ+ ( k Ψ ( U ( Ψ( " Řešení této ovnice ůžee nst ve tvu ( ( ΨΨ ( G ( U( Ψ( d " s kde G je Geenov funkce Hehotzovy ovnice ( s ( ( G + k G δ ( ex{ ik } G( s 3 4π i ( G( H { k } s 4 i G( ex { ik } s k (6 (6 (63 (64 Schödingeovu ovnici (63 ůžee řešit iteční ostue tedy ( n+ ( ( ( n ( ( ( s ΨΨ G U Ψ ( d n (65 " Zůstnee-i ouze u zákdní itece ( n nzývá se toto řibižné řešení ohybu v otenciáové oi Bonov oxice

9 Mich Lenc: Teoie oztyu Při studiu oztyu ředokádáe ( ( Ψ ve tvu ovinné vny zjíáe se o vnovou funkci deko od obsti ůsobení otenciáu tedy o Geenovu funkci kdee { ik} ex G( ex { ik nf } s 3 4π ( + i ex{ ik} G( ex { ik nf } s 4 π k { ik} iex G( ex { ik nf } s k (66 V exonentu jse oxiovi nf + n f (67 řičež jse oznčii jko n f jednotkový vekto ve sěu ozoování Dodjící ovinná vn je k Ψ ex ex ( ( { ik } { ikni nf} s oznčení jednotkového vektou ve sěu dodu ni k k Vnová funkce k je (68 kde f ( ni nf ( s π k Ψ ( ex { ikni nf} + f( ni nf ex { ik } k π je itud oztyu (69 ( + i s π s f ( ni nf ex ex { ik nf} U( Ψ( d π 4 " Aitud oztyu v Bonově oxici je ( + { ( } ( i s π s fb( ni nf ex ex ik ni nf U d π 4 " & V tojozěné řídě dostáváe o itudu oztyu doředu ( n i n f výz f B 3 U d π " ( θ ( (6 (6 (6 To je eáná veičin což je v ozou s otický teoée oezuje to tnost jink vei užitečné oxice n říd vei sbého oztyu Tké v dší se oezíe n tojozěný říd Podí vděodobnosti toho že oztýená částice ojde z jednotku čsu ošný eeente ds dω

10 Mich Lenc: Teoie oztyu - - hustoty toku částic v dodjící svzku nzvee difeenciání účinný ůřeze dσ dσ f n n dω ( i f f (63 Vytvoře ineání kobinci (kubko dodjících ovinných vn Metod sytotického ozvoje vede k k řibižnéu vyjádření čene s yche osciující integnde { ik} ex Ψ ( F( n ex { ikn nf} dω+ F( n f ( n nf d Ω (64 ex{ ik} ex{ ik} ex{ ik} π if( nf π if( nf + F( n f ( n nf dω k k Výz řeíšee n { ik} { ik} ex ex ( ( ˆ Ψ F nf SF( nf k k ˆ ˆ ˆ S ˆ + ik f f F( nf F( n f ( n nf dω 4π (65 Poněvdž tok ve sbíhvé vně usí být oven toku v ozbíhvé vně dostáváe o oeátoy Ŝ ˆf odínky SS ˆˆ+ ˆ f ˆ f ˆ+ ik f ˆ f ˆ+ (66 Rozesáno v ticové záisu * ik * f ( ni nf f ( nf ni f ( ni n f ( nf n dω π Ve vzthu (67 jse oužii vyjádření + * n f nb nb f n n d n ˆ ˆ Ω ˆ 4π (67 (68 Po iginání část itudy oztyu ve sěu dodjícího svzku dostáváe otický teoé k I { f ( n } ( i ni σ σ f ni n dω 4π (69 Vzhede k syetii Schödingeovy ovnice vůči čsové invezi usí být řešení tké koexně sdužená funkce ( { ik} { ik} { ik} { ik} ex ex F ( n ˆ f S F n k k ( f * * * * Ψ ex k kde ex ( ˆ ˆT ˆ Φ nf PS PΦ( nf k (6

11 Mich Lenc: Teoie oztyu - - Φ * * ( n S ˆ F ( n F( n PF ˆ ( n Poovnání (65 (6 dostáváe eci ˆ ˆT ˆ ˆ ˆ ˆT ˆ ˆ PS P S P f P f f n n f n n ( i f ( f i (6 (6 7 Oeáto Geenovy funkce Oeáto Geenovy funkce definujee jko invesní oeáto k oeátou vstní hodnoty hitoniánu i( E Hˆ + iε Gˆ ˆ Gˆ i (7 ε ε E Hˆ + iε Čsto budee otřebovt větu: Buď f ( z funkce nytická o { z} I s vyjíkou konečného očtu óů f ( z o z ovnoěně Poto o hvní hodnotu nevstního integáu dostáváe f ( x dx π i R + π i R (7 kde R jsou esidu v óech v honí ooovině R esidu v óech n eáné ose (nř Whittke Wtson A Couse of Moden Anysis Důsedke je že o funkci nytickou v honí ooovině (včetně eáné osy nebo doní ooovině (včetně eáné osy ůžee sát (integá vevo ůžee donění křivky ookužnicí se střede v očátku s ooěe jdoucí k nekonečnu řevést n suu esiduí funkce f v honí nebo doní ooovině duhý výz vvo je záoně vzté esiduu (o funkci nytickou v honí ooovině nebo esiduu (o funkci nytickou v doní ooovině v óu n eáné ose f ( x f ( x i dx dx ± iπ f ( x x x± iε x x ε i ± iπδ( x x x x± iε x x ε Secieně o exonenciání funkci áe (73

12 Mich Lenc: Teoie oztyu - - ex{ ixt} dx iπ ex { ix t} t> x x (74 ex{ ixt} dx iπ ex { ix t} t< x x Po hitonián sožený ze dvou částí Hˆ Hˆ ˆ + V Ĥ je zákdní část (neoušený hitonián V ˆ je intekční část (ouch ůžee hedt řešení ovnice o Geenovu funkci (7 oocí vzthů ˆ i + i V i E Hˆ + iε E Hˆ + iε E Hˆ Vˆ+ iε ε ε ε ˆ ˆ i i ˆ + V ˆ ˆ ε E H+ iε ε E H V + iε i i( E Hˆ ˆ V + iε + Vˆ i E Hˆ + iε E Hˆ Vˆ+ iε ε ε ε i E Hˆ Vˆ+ iε ε (75 tedy G ˆ G ˆ + GVG ˆ ˆ ˆ G ˆ G ˆ + GVG ˆ ˆ ˆ + GVGVG ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + (76 Po vnovou funkci dostáváe ( ( Ψ Ψ ˆ+ GV ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + GVGV + Ψ ˆ GV ˆ ˆ ( ( ( G G ˆ VG Vˆ GVˆ ˆ+ ˆ + ˆ ˆ + Ψ ˆ ˆ + Ψ (77 Zíšee-i Hitonův oeáto Ĥ oocí vstních vektoů Ψ Hitonův oeáto Ĥ oocí vstních vektoů Φ ( ˆ (78 Hˆ E Ψ Ψ H E Φ Φ ůžee o oeátoy Geenovy funkce sát ˆ Ψ Ψ G i Gˆ Φ Φ i ε Po stou oeátou Geenovy funkce áe ε ( E E + iε ε E E + i (79 { Gˆ } ε T i E E + iε (7

13 Mich Lenc: Teoie oztyu Geenov funkce v souřdnicové eesentci je * ˆ Ψ( Ψ( G G( E i ε E E + iε s G( E d i ε E E + iε Po kvsikontinuání enegiové sektu řejdee od suce k integci tkže ůžee sát Po voné částice tí (7 f ( E f ( x ρ ( x dx (7 ( x s ρ G( E d i dx ε E x+ iε s ρ ( E I{ G( E d } π " k Ω s E Ψ ( ex { ik } ρ ( E de d k k k k k s Ω ( π ex{ ik ( } s G( E i d k s ε ( π E " k + iε (73 (74 Geenov funkce o čsově závisou Schödingeovu ovnici (řito Ĥ exicitně nezávisí n čse je * de i Ψ( Ψ( G( t t ex E( t t i π ε " " E E + iε i * i Ψ ( Ψ ( ex E( t t t t G( t t " " t< t Po voné částice je (75 s ( ex i t t G( t t π i" ( t t ( t t " (76 t< t 8 Užitečné zobecněné funkce Působení zobecněných funkcí n ostou hodných funkcí jedé oěnné Φ je zobcení těchto funkcí

14 Mich Lenc: Teoie oztyu do ostou koexních (eáných číse F: Φ ϕ F ϕ ' (8 Jedn ze zobecněných funkcí á ůvod ve výočtu Cuchyho vstní hodnoty integáu funkce s jednoducý óe n eáné ose Obecně je Cuchyho vstní hodnot definován jko Definujee zobecněnou funkci P ( x jko ε V dx f ( x i dx f ( x + dx f ( x ε ε (8 ( x ϕ P : Φ ϕ( x P ϕ( x V dx (83 x x x Dáe definujee Dicovu det (zobecněnou funkci Posední vzth (84 je zisován tké jko ( x Φ ( x ( x ( x ( δ : ϕ δ ϕ ϕ (84 ( ( ( dxδ x ϕ x ϕ (85 Poocí zobecněných funkcí (83 (84 ůžee vyjádřit jiné důežité zobecněné funkce tj ( x ϕ : Φ ϕ( x ϕ( x i dx ε ε ε (86 x + i x+ i ε x+ i ( x ϕ : Φ ϕ( x ϕ( x i dx ε ε ε (87 x i x i ε x i Ptí (Sochockého vzthy iπδ( x x iε P + x (88 iπδ( x x iε P x (89 Důkz není obtížný Vezěe nejve

15 Mich Lenc: Teoie oztyu ϕ ( x x iε x+ iε ( x ( x ( ϕ ϕ + ϕ + ( iiε dx iiε dx iπϕ ( ε x + ε ε x + ε (8 Dáe k ( x xϕ + ϕ ( x i dx ε + ε + ε x i x i ε x ε ( x ( + x ( + ( ( x ϕ ϕ ϕ ϕ Pv dx + i dxx Pv dx + ε x ε x x ε (8 Odečtení řičtení (8 k (8 dostáváe Sochockého vzthy Podíveje se teď n integá ( x ϕ I+ dx x x + i ε (8 z ohedu teoie funkce koexní oěnné Je-i funkce ϕ ( x nytická v honí (doní ooovině ůžee donění integáu o eáné ose integáe o ookužnici v honí (doní ooovině se střede v očátku s ooěe jdoucí do nekonečn oužít Cuchyovy věty Dostáváe k (v vní řídě á křivkový integá souhsnou oientci s eánou osou v duhé očnou I + ( x ϕ dx x x i π iϕ + ε ( x (83 Obdobně dostnee ( x π iϕ( x ϕ I dx x x i ε (84

16 Mich Lenc: Teoie oztyu Užitečné otonoání soustvy funkcí 9 Legendeovy oynoy Legendeovy oynoy ( cos Jsou řešení difeenciání ovnice P θ jsou definovány jko P d cos cos (9 cos ( θ N intevu ( tvoří oynoy ( ( ( θ d θ ( cosθ d dp sinθ + ( + P ( cosθ sinθ dθ dθ Přidužené Legendeovy oynoy ( cos P ( P x otogonání systé tj (9 ( ( P x P x dx δ (93 + P θ jsou definovány jko + ( cosθ d ( dcosθ ( dcosθ d P cosθ sin θ sin θ cos θ (94 + jsou řešení difeenciání ovnice Ptí ( cosθ dp θ ( d sin + ( + P ( cosθ sinθ dθ dθ sin θ ( + ( (95 P ( x P ( x dx δ (96 + Noovné funkce jsou ( zde se ohou išit ůzní utoři ve fázové fktou zde zvoený je ode Lndu Lifšice ( ( + + Θ ( cosθ ( i P ( cos θ ( + Θ ( cosθ i P ( cos θ + ( + Přidáe-i ještě otonoání soustvu n intevu ( π (97

17 Mich Lenc: Teoie oztyu Φ ex (98 ( ϕ ( π { iϕ} dostáváe otonoání systé sféických funkcí ece otonoity jsou ( ( + Y ( θ ϕ + + ( i P ( cos ex { i } 4 π θ ϕ (99 Zjevně tí π π Sféické funkce nejnižších řádů jsou ( 4π * ( Y ( θϕ Y ( sin θϕ θdθdϕ δ δ * ( Y( θ ϕ ( Y ( θ ϕ (9 (9 3 ± 3 Y Y i cos θ Y i sinθ ex { ± iϕ} 4π 8π Y 5 ( 3cos θ 6π ± 5 ± 5 Y ± cosθ sinθ ex { ± iϕ} Y sin θ ex{ ± iϕ} 8π 3π (9 Oznčíe-i n jednotkový vekto chkteizovný ziutání úhe θ oání úhe φ ůžee Y θ ϕ Y n Řd vzthů vydá jednodušeji užijee-i identity znčit ( ( kde cosω cos cosθ sin sinθ cos( ϕ 4π * P( cos ω ( Y( Θ Φ Y( θ ϕ (93 + Θ + Θ Φ nebo ve znčení oocí jednotkových vektoů * ( ( 4 P( n π n Y( n Y n + (94 9 Sféické Besseovy funkce Sféické Besseovy funkce j ( z n ( z nebo ( + h ( z h ( ( z jsou řešení ovnice

18 Mich Lenc: Teoie oztyu Máe ( ( ( ( z z f z f z f z (95 π π j( z J+ ( z n( z N+ ( z z z ( + π ( h ( z n( z + i j( z i H+ z z ( ( π ( h ( z n ( z i j ( z i H+ z z Koě obvykého vyjádření oocí řd je ožné zst sféické Besseovy funkce jko d sinz + ( ( ( ( d cosz j z z n z z zdz z zdz z ( Sféické Besseovy funkce řádu jsou sinz sinz cosz 3 3cosz j( z j( z j ( z sin 3 z z z z z z z cosz cosz sinz 3 3sinz n( z n( z n ( z cos z 3 z z z z z z Asytotické vyjádření je π π j( z sin z n( z cos z z z z z ( + π ( ( π h z ex i z h ( z ex i z z z z z Po hodnoty guentu bízké nue je ( ( + ( ( z j z n z + z z z ( ( ( (96 (97 (98 (99 (9 Secieně j ( z n ( z z (9 z z Po sféické Besseovy funkce tí ece otogonity π π j( j( d δ ( δ ( E E (9

19 Mich Lenc: Teoie oztyu Exktní teoie oztyu Hitonián je n čse nezávisý skádá se z hitoniánu voné částice intekčního otenciáu Hˆ Hˆ + Vˆ ( Přesto á oztyová úoh chkte čsově závisé úohy Je to dáno ředokde že o t je stv částice tkový že ze ůsobení intekčního otenciáu znedbt Totéž ředokádáe o situci v čsech kdy t Stv částice v t oznčíe ψ stv voné částice v t oznčíe φ tkže áe ψ ( t ex{ iht ˆ } ψ ( φ ( t { ih ˆ t} ex φ (3 Hedáe tkové řešení oztyové úohy kteé se bude sytoticky bížit nějký řešení o vonou částici tj { iht ˆ } ψ { ihˆ t} i ex ex (4 t φ o t { iht ˆ } { ihˆ t} i ex ψ ex φ + (5 t t To uděáe ve dvou kocích: o nějký zdný stv φ H sestojíe ψ tk by by sněn vzth (4 o tkto získné ψ sestojíe φ + H tk že bude sněn vzth (5 Po exeient je odsttný vzth φ + k φ Zjíá nás tedy existence unitáního oeátou φ Sˆ φ (6 + Zčněe se zobecnění (4 (5 Je ožné k ibovoný stvů φ (4 (5 byy sněny? Přeiše tyto vzthy (oeáto ex{ iht ˆ } { iht ˆ } { ihˆ t} i ψ ex ex φ t Jde tedy o odínku existence oeátoů { } { } H njít stv ψ tkový by je unitání n (7 Uˆ i ex iht ˆ ex ihˆ t (8 ± t ± Uvžuje oeáto ( { } { } Uˆ t ex iht ˆ ex ihˆ t (9

20 Mich Lenc: Teoie oztyu - - Ptí o něj ovnice duˆ ( t iex{ iht ˆ }( Hˆ Hˆ ex{ ihˆ t} iex{ iht ˆ } Vˆex { ihˆ t} ( dt s očáteční odínkou U ˆ ( ˆ Hedné oeátoy k jsou Řešení je t ( ˆ + { } { } Uˆ t i ex ˆ ˆex ˆ iht V ih t dt ( ± { } { } Uˆ ˆ + i ex iht ˆ Vˆex ihˆ ± t dt ( Postčující odínkou existence ˆ U ± je existence integáů (oět využíváe toho že oeáto ex { iht ˆ } je unitání ± { ˆ } ˆ V ex ih t φ φ H (3 V souřdnicové eesentci áe o φ( x t ex{ ihˆ t} φ( x ( x 3 t 3 ( k ex i k φ φ x k t d k ( π (4 Po odhd budee otřebovt ob řídy řibižného výočtu integáu etodou stcionání fáze Měje b ( { λ ( } I g x ex i f x dx (5 řito λ bude veké číso Pokud je n integční intevu ( f x očítáe b ( ( g x d I ( ex{ iλ f ( x } dx λ i f x dx ( ex{ λ ( } λ ( Pokud je n integční intevu ( ( ex{ λ ( } λ ( ig i f ig b i f b f f b f x očítáe (6

21 Mich Lenc: Teoie oztyu - - λ I g( x ex{ iλ f ( x } ex i f ( x( x x dx f π i b ( x ( { λ ( } g x ex i f x (7 Linov Schwingeov ovnice Moeeovy oeátoy (znénko u iity o t je očné než oznčení oeátou { iht} { iht} Ω ˆ i ex ˆ ex ˆ ± t ( Oznčíe Ωˆ φ φ+ Ωˆ χ χ ( + Vekto φ + je skutečný stv v t by-i očáteční (in stve voné částice vekto φ vekto χ je skutečný stv v t bude-i koncový (out stve voné částice vekto χ Měje teď ψ Ω ˆ ψ Ω ˆ ψ (3 + in out Poněvdž o unitání oeátoy ˆ + Ω Ω ˆ ˆ ůžee z (3 získt vzth ˆ + ψ Ω Ωˆ ψ Sˆ ψ (4 out + in in kde jse zvedi oeáto oztyu ˆ ˆ + S Ω Ω ˆ (5 + Bez důkzu zde uvedee tvzení že Hibetův osto ůžee ozděit n odosto oztyových stvů (tj stvů kteé jí sytotický vzth k in out stvů odosto vázných stvů Jen část důkzu: vezěe vázný stv H ˆ ξ E ξ Poto n n n i ex{ ie t} ex{ ihˆ t} t { ie t} { ihˆ t} ξ ψ ξ Ω ˆ ψ ξ ψ n n + in n n in ξ Ω ˆ ψ i ex ξ ex ψ n out n n out t Vzthy o Moeeivy oeátoy jse odvodii v ředchozí části Tdy je tochu uvíe n (6

22 Mich Lenc: Teoie oztyu - - Dostáváe tk + ε + ε { ε } { } { } Ω ˆ ˆ + ii ex t ex iht ˆ Vˆex ihˆ t dt { ε } { } { } Ω ˆ ˆ ii ex t ex iht ˆ Vˆex ihˆ t dt + + ε + ε { } { } { } φ Ω ˆ φ φ + ii ex εt ex iht ˆ Vˆex ihˆ t φ dt { } { } { } φ+ Ω ˆ φ φ ii ex εt ex iht ˆ Vˆex ihˆ t φ dt + (7 (8 Nejve ozožíe stv φ ode vstních stvů hitoniánu voné částice tj ˆ H E tkže { ˆ } { ˆ } { } & & ex ex ex 3 3 ih t φ ih t φ d ie t φ d oto ovedee integci ode čsu { i( E ˆ } ( ˆ ˆ iε H t dt i E iε H i G( E iε i ex i i ε ε ε { i( E ˆ } ( ˆ ˆ + iε H t dt i E + iε H i G( E + iε i ex i i ε ε ε (9 ( Máe tk uven vzth (8 n φ± φ + i Gˆ E ± iε V φ d Ve sožkách k áe + ε 3 ( ˆ ± + i Gˆ E ± i Vˆ + ε ( ε ( ( V dší budee sybo i + ε už vynechávt Rovnici ( řeíšee do tvu s Ĝ Přioeňe si že oeáto Geenovy funkce definujee jko invesní oeáto k oeátou vstní hodnoty hitoniánu ( z H Gˆ z ˆ Gˆ( z ˆ ( z Hˆ (3 ˆ ( z Hˆ ( z H Gˆ ˆ ˆ z G( z Po hitonián sožený ze dvou částí Hˆ Hˆ ˆ + V Ĥ je zákdní část (voná částice v teoii oztyu V ˆ je ouch (intekční otenciá v teoii oztyu ůžee hedt řešení ovnice o Geenovu funkci oocí vzthů

23 Mich Lenc: Teoie oztyu ( ˆ ˆ ˆ z H V + V z Hˆ Vˆ z Hˆ z Hˆ Vˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + V ˆ ˆ + V z H ˆ ˆ ˆ ˆ z H V z H z H z H V tedy Po stvový vekto dostáváe ( ( + ( ˆ ( ( ( ( ˆ ( ( ˆ ( ˆ ( Gˆ z Gˆ z Gˆ z V Gˆ z Gˆ z Gˆ z + Gˆ z V Gˆ z + Gˆ z V Gˆ z V Gˆ z + ( ( ( ( ( ( ( (4 (5 ψ ˆ Gˆ z Vˆ ψ ˆ Gˆ z Gˆ ˆ z VˆG ˆ z V ψ ˆ ˆ G( z Vˆ Gˆ ( z VˆGˆ ( z Vˆ ψ ψ (6 ˆ Gˆ z Vˆ ψ ψ + Gˆ z Vˆ ψ Místo ( áe tedy Gˆ ( E ˆ ± + ± iε V ± V souřdnicové eezentci je ˆ 3 x ± x + x G E ± iε x V x x ± d x ( ( Po ticové vky Geenovy funkce níšee ˆ ˆ 3 xg z x xg z x d ( ( { ( } (7 (8 ˆ G ( z x x ex i x x (9 3 z ( π tkže Při výočtu ostuujee obvyký zůsobe { i( x x } ex ˆ 3 x G ( z x d 3 ( π z (

24 Mich Lenc: Teoie oztyu ( π ( π { i( x x } ex z 3 z 3 i π x x π 3 d { } { cos } π sinθ ex ix x θ dϕdθ d ex i x x z d ( Integční křivku v ovině koexního ůžee uzvřít ookužnicí v honí ooovině V této ooovině bude ít integnd ó v řídě že hodnot integáu bude E + iε E + iε + iε + E iε E + iε + iε ( + π { } ( π { } π ires iex i x x π ires iex i x x ( (3 Mticové eeenty Geenovy funkce tedy jsou ovnice (8 á tv S řibížení v exonentu es čittei áe Potože áe ex ˆ xg( E ± iε x π { ± ix x } { ± ix x } ( ex x ± x V x x ± d x π x x ( (4 x x 3 (5 x x x x x + x n x x x { ± i } (6 ex 3 x ± x ex { i n x } V( x x ± d x π (7 x ex 3 { i x} ± n x ex 3 { in x} (8 ( π ( π

25 Mich Lenc: Teoie oztyu ůžee (7 zst tké jko { ± i} ex x ex 3 { i x} ( π n Vˆ ± ± ± ( π (9 S oznčení áe konečně f n n V + ( ( π ˆ { i} ex x + ex 3 { i x} + f ( n ( π (3 (3 V souřdnicové eezentci je 3 f n ex i n x V x x + d x ( ( π { } ( V Bonově oxici dosdíe v integndu (3 x + x n cosθ áe (íšee Pnckovu konstntu (3 S oznčení q ( n " f ( q { } ( π " 3 ex iq x V x d x (33 Pciání vny Místo báze tvořené vektoy zvoíe bázi E kteou získáe z tnsfočních vzthů xe i j( Y ( θϕ π ( ( kde x sinθ cosϕe + sinθ sinϕe + cosθ e x y z E Užití ( (9 (9 dostáváe ece otonoity o bázi E 3 E E E x x E d x Jk vyočtee E? Ptí ( E E δ δ δ E x xed x ex ix xed x ( π { } ( (3 Vyjádření ovinné vny je

26 Mich Lenc: Teoie oztyu * ( ( θ ϕ ex i x 4 i j Y Y { } π ( ( Θ Φ (4 kde sinθcosφ e + sinθsinφ e + cosθe Doszení (4 do (3 dostnee x y z Rozkd vektou je tedy E δ E EY Θ Φ ( ( ( (5 E E de ( Y ( * Θ Φ E ( Přiozeně stejný ozkd dostáváe o ( ( ( Y( * ˆ + Ω Y Θ Φ Ω ˆ E ( ( + + V nogii k ozkdu ( budee sát odkud dostnee o (7 Ještě jednou zíšee * ΘΦ E + ( ψ xe + i Y( θϕ π ( ψ * x + i Y( θϕ ( Y ( ΘΦ π * x i j( ( Y( Θ Φ Y( θϕ π Vyjádřee teď itudu oztyu (3 3 8π f ( n ( π n x V ( x + d x ( ( ( * ( ( * ( ( i i Y Θ Φ Y θ ϕ Y θ ϕ Y θ ϕ dω ω ( ( ψ ( j V d Rece otogonity o sféické funkce zjednoduší výz ( n tv (6 (7 (8 (9 ( (

27 Mich Lenc: Teoie oztyu f n ( 8π * ( ( Θ Φ ( θ ϕ ( ( ψ ( Y Y j V d ( Rovnici (3 níšee s oocí (9 ( ( jko Odtud ( ψ i i j ex i j V d (3 ψ ( { } ( ( ψ ( ( + ( ( j h ( j( V( ψ ( d Exktní výz tný o všechn ψ (4 + ( j( ( + ( j h ( V( ψ ( d ( + ( ( ( ψ ( h j V d V ředchozí vzthu je využito sytotického chování ( + h ( z itudu oztyu ůžee výz (4 zst jko Potože ( ( ( ψ ( (5 Oznčíe-i jko ciání f j V d (6 ψ ůžee (7 zst jko kde Výz ( je teď ψ ( ( ( ( + j + f h ( ( ( + ( ( ( ( (7 j ( z h z h z (8 i i ( ( ( ( + ( h S h ( ( (9 S + i f ( f n 4 Y Y f * ( ( θ ϕ ( ( π ( Θ Φ (

28 Mich Lenc: Teoie oztyu Oznčíe-i jko úhe θ nikoiv ziutání úhe e úhe oztyu n cosθ ůžee s využití (93 zst osední vzth jko f n f P cos θ ( ( + ( ( ( Přiozeně okud dodá vn ve sěu osy z ob úhy jsou stejné Vnová funkce je k i ψ + ( P( cosθ ( ex{ i} S ex { i} (3 3 Rozty ři vysokých enegiích Schödingeovu ovnici budee řešit substitucí Dostáváe tk ovnici ψ + ψ ψ ( ( V ( ( ψ ex ( { i z} F( F( F( + i V( F( z (3 (3 (33 Předokádáe že F tkže ůžee nst exicitní tv řešení ovnice (33 řešení Schödingeovy ovnice z ψ ( Cex i z V ( ρ z dz kde jse oznčii ρ xe x+ ye Všiněe si že (34 je ožno sát jko y z ψ ( Cex i V ( ρ z dz Dosdíe-i do výzu o itudu oztyu π ( ex{ } ( ψ ( 3 f n i n V d (34 (35 (36 ze (33 F( V ( ψ ( i ex { i z} z (37

29 Mich Lenc: Teoie oztyu dostnee F( f ( n ex{ i n ρ} ex{ i ( nz z} d ρ iπ z Po nz ůžee itudu oztyu zst jko f ( n ex { i n } F( F( d iπ ρ ρ ρ ρ (38 (39 o doszení z (34 f ( n S( ρ { i n ρ} d ρ iπ ex S( ρ ex{ iδ ( ρ } δ ( ρ V ( ρ z dz (3 4 Více o ciáních vnách Vyjdee z unitity S-tice Níšee oto ( { δ( } S ex i (4 Vzth ezi fázový osuve itudou oztyu dostnee z ( f( ex { iδ( } sin δ ( (4 Cekový účinný ůřez je 4π σ σ π + + δ 4 ( f ( sin ( (43 Ze vzthu (4 dostáváe vyjádření otického teoéu což ůžee řest jko { f ( } ( f I (44 I f ( Musí tedy itud oztyu ít tv kde eáná funkce g ( je z (4 f ( ( g i (45 (46

30 Mich Lenc: Teoie oztyu ( δ ( g cot (47 4 Bonov oxice Funkce ψ ( j ( jsou řešení ovnic ( ( + d ψ d + V ( ψ ( ( ( + d j d S okjovou odínkou ( + j ( ψ dostnee úvou (48 ( ( ( ψ ( d d ( ψ ( ( (48 dψ dj j V j d (49 Po áe ze (9 ψ Levá stn (49 je tedy ( dψ i ( ( ( ( + h S h ( ( ( ( ( ( + h + S h ( d (4 i ( S ( f ( (4 V integndu integáu n vé stně oožíe ( j ( ψ tkže áe ( ( ( ( f V j d (4 Sovnání se vzthe (4 vidíe nekonsistentnost této oxice T se zttí v řibížení ých fázových osuvů kdy δ ( f V j d (43 ( δ ( ( ( ( 4 Kvsiksická oxice Rovnice o vonou částici částici v otenciáové oi (48 zíšee tochu odišně když zěníe

31 Mich Lenc: Teoie oztyu znčení tj ψ ( ψ ( j( χ ( íšee ísto ( d χ ( λ + χ ( d + obecněji λ λ ( (44 ( d ψ λ + V ( ψ ( d Asytotický tv sféické Besseovy funkce vede k sytotice řešení (44 ( sin π χ z Ve stcionání jednoozěné řídě je kvsiksický řešení ovnice (45 v intevu ψ λ (45 (46 A ψ ( ex P d P V( + P (47 V λ < < kde ( B λ P B + P ( ex i Pd ex i Pd P V ( < < kde ( (48 v intevu V λ > V okoí bodu obtu je λ V ( α ( (49 V toto okoí (e stáe dosttečně deko od bodů obtu ůžee sát A α 3 ψ ( ex 4 ( ψ ( α ( 3 (4 B α 3 B α 3 ex i 4 ( + ex i 4 ( α 3 α 3 ( ( Při nytické odoužení odocnin do koexní oviny oužijee záisu tkového záisu by v honí ooovině řevžov (exonencieně jeden čen v doní ooovině čen duhý V nše řídě je vhodný záis ρex i ϕ π (4 { ( } Obchode bodů obtu v honí (sodní ooovině tj o ϕ ( π ( ϕ ( π π sojitosti A π A π B ex i B ex i 4 4 tkže áe v ksicky dostuné obsti kvsiksické řešení ovnice (45 dostáváe odínky (4

32 Mich Lenc: Teoie oztyu π λ ( ( ( 4 C ψ ( cos P d P V (43 P( Budee-i tedy ovnici (44 řešit stnddní ostue kvsiksické oxice dostnee výz ( C π + χ ( sin P( d P( P ( P( + (44 4 Integá ůžee sočítt nyticky tkže guent sinu je π λ λ π π P( d + + λ csin π λ (45 Sovnání (45 (46 docházíe k tou že v kvsiksické oxici usíe jko veikost oentu iuzu vzít veičinu λ + Fázový osuv už sočtee sndno když od skutečné fáze odečtee fázi odovídjící voné částici δ ( + π V d + + ( ( (46 Po veké hodnoty je tké veká hodnot tkže ůžee intekční otenciá ovžovt z ouchu Ze (46 dostnee δ V ( + d ( + ( (47 43 Rozty ři vysokých enegiích Po sféicky syetický otenciá ůžee (3 uvit n f ( n i ex{ iδ ( ρ } J ( sin θ ρ ρdρ sin θ ( nx + ny δ ( ρ V ( ρ z dz (48 Poovneje to s výze (

33 Mich Lenc: Teoie oztyu f ( n ( + ex{ iδ ( } P( cos θ i (49 Po é úhy tí tkže P ( cosθ J + sin θ (43 f ( n + ex{ iδ ( } J + sin θ i (43 což o nhzení ( + ρ ( ( ++ + dρ vede skutečně k (48 44 Rozty ři nízkých enegiích Při nízkých enegiích budee ři řešení ovnice (45 ozišovt tři obsti Oznčíe jko ooě obsti kde je intekce význá V vní obsti ůžee znedbt kinetickou enegii částice tj ( ( + d ψ d + V ( ψ ( V dší obsti ůžee znedbt i otenciání enegii ( ( + d ψ (43 ψ ( (433 d Konečně ve vnější obsti už okesne efektivní otenciá ntoik že usíe uvžovt i kinetickou enegii Řešení ovnice (433 je ( ( + + ψ ( d d ψ ( + (434 ψ c + c (435 Řešení ovnice (434 je ( d j ( d n ( ψ + (436 Asytotický tv (436 o veké hodnoty guentu je ode (99 ( ( d + d π d ψ sin δ tn δ ( ( + d ztíco o é hodnoty guentu ode (9 (437

34 Mich Lenc: Teoie oztyu ( + ( ψ ( d d + + (438 Poovnání (438 (435 získáe vyjádření koeficientů d oocí koeficientů c doszení do (437 dává výz o fázový osuv Po itudu oztyu dostáváe δ + tn ( δ ( c c (( ( + { iδ ( } δ ( (439 ex f ( (44 i Je oto většinou ožné ovžovt ozty ři ých enegiích z s-ozty 5 Neužný ozty 5 Pciání vny Budee se snžit o co největší odobnost s oise ři užné oztyu Tk vnovou funkci níšee ve stejné tvu tj jko (3 i ψ + ( P( cosθ ( ex{ i } S ex { i } (5 e nebude již tit S Aitud oztyu bude ít tké stejný tv f ( θ ( + ( S P ( cos θ (5 i Rozdí usíe bát v úvhu ři výočtu účinných ůřezů Máe t t t e + ( ( ( ( (53 σ σ σ σ σ (Indexy tot estic ection Po užný ozty ( π σ e ( + S (54 o neužný ozty ( π ( ( S σ + (55 o cekový účinný ůřez

35 Mich Lenc: Teoie oztyu ( π σ t ( + ( R S (56 Význnýi hodnoti jsou S - žádný ozty S - xiání užný ozty S - úná bsoce Cekový účinný ůřez je tedy π σ t + R ( ( S (57 Doszení θ do iginání části (5 oovnání s (57 dává zobecnění otického teoéu Po ciání itudy I f ( σ t (58 4π ( σ t I f ( 4π + (59 Při záěně ozbíhvé vny z sbíhvou nebudee oci využít koexního sdužení e záěny S S Je k odkud o vyoučení S S ( f f( (5 i i S dostnee vzth ezi f ( f ( kteý ze uvit n tv tkže + i i i g ( f( f( + f( f ( g i ( (5 (5 5 Koexní index ou ostředí Měje ostředí skádjící z noho oztyových cente Bude-i veikost itudy oztyu á ve sovnání se střední vzdáeností částic ( 3 d V N ůžee výsednou itudu oztyu v ostředí ovžovt z ostý součet jednotivých itud Dáe si zvedee efektivní otenciá kteý bude tkový že vyjádření itudy v Bonově oxici budee dávt sávnou hodnotu itudy oztyu doředu (tzn efektivní otenciá bude koexní Pode (6 (budee teď sát i Pnckovu konstntu

36 Mich Lenc: Teoie oztyu N π " Ueff f ( E V Rovinnou vnu ocházející ostředí zíšee s koexní vnový vektoe ψ ex { ikz} k ( E U eff " Index ou je k (53 (54 Ueff N π " n + f ( E E V E Není-i index ou říiš odišný od jedničky ůžee sát ( t V k V k (55 N π N σ In I f E (56 6 Příkdy 6 Rozty nukeonů Při ých enegiích ůžee sát o itudu oztyu otonu n neutonu (uvžujee ouze s-ozty tj f g( k ik κ k + Aitud á singuitu (v koexní ovině iusů k o Účinný ůřez je k Mou úvou dostnee ik (6 k iκ κ κ + κ (6 4π σ 4 π f κ k + k (63 kde n ( n 4π 4π σ " + ( ( ( ( κ E + ε k + κ κ + k + κ 4 + ε je enegie vázného stvu částic (deuteonu (64

37 Mich Lenc: Teoie oztyu Rozty ychých neutonů n jádře Efektivní ooě jád oznče Předokádáe snění odínky kvsiksické oxice k π λ$ Dáe ředokádáe že všechny neutony s oente iusu < k tj s iktní ete ρ " v k< jsou bsobovány Jko ode ůžee k vzít Funhofeovu difkci n neoustné tečíku ooěu Po difeenciání účinný ůřez dostáváe hned Z obecného vzthu o ozty je ( kθ J Ω (65 πθ dσe π d < S f ( θ ( + P ( cos θ (66 > ik V suě budou nejdůežitější úohu hát veké hodnoty tkže ve znáé oxici i J f ( θ ξ J ( θξ dξ i k Cekový účinný ůřez užného oztyu je ( kθ k θ (67 J ( kθ σe π πθ dθ π πθ (68 63 Rozty ychých eektonů n tou Oznče hustotu ozožení náboje v tou ρ en Zeδ ( ( ( (69 kde e je náboj eektonu n( hustot vděodobnosti výskytu eektonu Poissonovu ovnici řešíe oocí Fouieovy tnsfoce tj ( ( π 3 Φ ε ( ρ ( g G q iq d q G q g iq d ( { } ( ( { } 3 3 ex ex (6 (6

38 Mich Lenc: Teoie oztyu Z ovnic (6 (69 áe e Φ ( q ( F( q Z F( q n( ex { iq } d 3 ε q Integce vzhede k úhový oěnný dává (6 4 F ( q n( sin ( q d q (63 π Do vzthu (33 dosdíe V( q eφ ( q tkže áe konečně o účinný ůřez e f q Z F q π " ε q ( ( ( (64 Máe e dσ 4 ( Z F( q dω 4πε" q (65 q n θ ( ( cosθ sin " " " (66 Je vidět že o vei é úhy oztyu ze ovžovt q z é (oznčíe-i ooě koue kde je ( n význně ůzné od nuy znená é q odínku q# π áe řibižně 3 3 F( q + n( iq ( q d n( d Z 3 3 q 3 n( q d n( ( q d n( d 3 ( + ( 6 3 Z F q q n d Doszení do (65 dostáváe o ozty od ýi úhy (67 e 4 dσ n ( d d 3ε " Ω Účinný ůřez je o vei é oztyové úhy konstntní Nok o q π znedbt dostáváe (68 $ ůžee ( F q ooti Z Ω Ze dσ 8πεv d θ 4 sin (69 tedy ksický Ruthefodův vzth

39 Mich Lenc: Teoie oztyu Dosdíe-i do (63 Thosovu Feiho hustotu vděodobnosti dostnee ( n Z b b 3 ρ Z 3 (6 Z qb 4π 3 F( q Z sin 3 ρ ( q d Zφ 3 qb b Z Deivování (66 dostáváe vyjádření eeentu ostoovéhu úhu jko " dω qdqdϕ Difeenciání účinný ůřez (65 bude o doszení ze (6 (6 (6 (6 e Z qb dq 3 3 πε" Z q 43 e b qb qb Φ 3 3 πε" Z Z dσ φ dϕ Z d dϕ (63 Integcí (63 dostáváe vei obecný výz o účinný ůřez oztyu ychého eektonu n tou 43 Z σ (64 E 7 Rozty identických částic Zvoíe těžišťový souřdný systé Výěn částic znená zěnu oientce vektou sojujícího částice Ve sféických souřdnicích to znená záěnu ziutáního úhu θ π θ Máe tedy o vnovou funkci ex{ ik} ψ ex{ ikz} ± ex { ikz} + f ( θ ± f ( π θ (7 Je-i cekový sin částic sudý je účinný ůřez ztíco o cekový sin ichý je s ( ( dσ f θ + f π θ dω (7 ( ( dσ f θ f π θ dω (73 V exeientech se jen áo využívá oizovných svzků Je tedy vhodné ít střední hodnoty

40 Mich Lenc: Teoie oztyu Z cekového očtu ( s + stvů je o částice s oočísený sine ( ( s ( s + + stvů s ichý sine Máe tedy o částice s oočísený sine s s+ dσ dσs + dσ s+ s+ * * f ( θ + f ( π θ ( f ( θ f ( π θ + f ( θ f ( π θ dω s + s s+ stvů se sudý sine (74 Po částice s ceočísený sine je nok s( s+ stvů s ichý sine ( s ( s + + stvů se sudý sine Máe tedy s+ s dσ dσs + dσ s+ s+ ( * * f ( θ + f ( π θ + f ( θ f ( π θ + f ( θ f ( π θ dω s + (75 8 Excitce tou ři sážce s částicí Předokádeje že ůžee využít Feiho vid Počáteční stv obshuje to hotnosti M náboje jád Z e v zákdní stvu vonou částici hotnosti náboje z e s hybností ; konečný stv obshuje to v n-té excitovné stvu (n je utiindex oět vonou částici s hybností Intekční otenciá je V ˆ Zákon zchování enegie v soustvě ve kteé se to v očáteční stvu jko ceek neohybuje zíšee jko ( + + En E (8 M Veké zjednodušení řinese ředokd že bude ožné ohyb tou v konečné stvu znedbt Máe k o vděodobnost řechodu z jednotku čsu 3 π ˆ d dwn n V δ + En E 3 " " Integcí vzhede k (íšee 3 d d d ( π Ω odstníe det funkci (8 ( En E 4 ˆ dwn n V dω 4π " (83 Přejdee teď k souřdnicové eesentci Noování vnové funkce částice v konečné stvu usí

41 Mich Lenc: Teoie oztyu odovídt nái vybné hustotě koncových stvů v (8 tj δ ψ ( ex i π " " Zvoíe-i noování dodjící vny n jednotkový tok ψ ( i ex " sočtee k řío účinný ůřez Intekční otenciá je (84 (85 ze Z V + 4πε (86 Dostáváe tk o doszení do vzthu (83 výz o difeenciání účinný ůřez ři exvitci tou dσ n ( ze En E Z 3 { } 4πε 4π " (87 n + ex iq d dω kde jse oznčii q ( " Fouieův obz otenciáu vyjádříve oocí vzthu ex{ iq } 3 ex{ iq } 3 4π d ex{ iq } d ex { iq } q (88 Dší úv sočívá ve vyjádření eeentu ostoového úhu z vzthu q ( + cosθ " qdq sin θ dθ dω " π " (89 Výz o difeenciání účinný ůřez (87 řeíšee tedy n dσ n z e n Z + { iq } 4πε v " dq 8π ex 3 q Po užný ozty ( n áe tedy znáý vzth z e dq dσe 8 π Z F( q 3 4πε v " q Zde jse využii definice oztyového fktou (8 (8

42 Mich Lenc: Teoie oztyu F ( q n( ex{ iq } d δ ( ex{ iq } d ex { iq } Po neužný ozty áe s uvážení otogonity stvů (tj n Obecně tí dσ dσ n n z e dq 8π n ex{ iq } 3 4πε" v n q + + ( ( * fn fn fn fn f f f n n n n + fn fn f ( f f f n n (8 (83 (84 Aikujee-i teď obecný výsedek n tici v (83 áe s využití (8 n ex { iq } ex ex { iq ( b } { iq } b ex ( { ( b } Z F q + iq n b (85 Doszení do (83 dσ z e dq 8π Z F ( q + ex{ iq ( b } 3 4πε" v b q (86