Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Transkript

1 Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

2 Derivace Definice Řekneme, že funkce f má v bodě a derivaci, jestliže existuje limita lim x a Tutolimituznačíme f (a)nebo df dx (a). V případě,že lim x a f(x) f(a) x a f(x) f(a) x a je nevlastní, hovoříme o nevlastní derivaci funkce f v bodě a. V případě jednostranných limit nebo nevlastních jednostranných limit. f(x) f(a) lim x a + x a, lim x a f(x) f(a) x a hovoříme o jednostranných derivacích nebo nevlastních jednostranných derivacích funkce f v bodě a, značímeje f +(a), f (a). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

3 Derivace Určetederivacifunkce f(x)=cvbodě a R. f (a)= Určetederivacifunkce f(x)=xvbodě a R. f (a)= Určetederivacifunkce f(x)=x 2 vbodě a R. f (a)= Určetederivacifunkce f(x)=sgnxvbodě a=0. f (a)= f + (a)= Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

4 Derivace základních elementárních funkcí Věta 5.1 Má-lifunkce fvbodě avlastníderivaci,pakjevbodě aspojitá. (naopak neplatí, x ) Určetederivacifunkce f(x)=sgn x vbodě a=0. f (a)= f +(a)= Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

5 Derivace základních elementárních funkcí Definice Derivacífunkce fserozumífunkce f,jejímždefiničnímoborem D(f )jemnožina všech x D(f),vnichžmáfunkce fderivaci, akterápřiřazujekaždému x D(f )derivaci f (x)funkce fvbodě x. Značíse f nebo df dx. Konstantnífunkce f(x)=cmáderivaci f definovanouna D(f )=R,prokterou platí f (x)=0. Funkce f(x)=xmáderivaci f definovanouna D(f )=R,prokterouplatí f (x)=1. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

6 Derivace základních elementárních funkcí c =0, x =1, (x n ) = nx n 1, (a x ) = a x lna (a >0), (e x ) = e x, (log a x) = 1 xlna (lnx) = 1 x, (sinx) =cosx, (cosx) = sinx, (tgx) = 1 cos 2 x, (cotgx) = 1 sin 2 x, (a >0, a 1), Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

7 Derivace základních elementárních funkcí (arcsinx) = 1 1 x 2, (arccosx) 1 =, 1 x 2 (arctgx) = 1 x 2 +1, (arccotgx) = 1 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

8 Vlastnosti funkcí majících derivaci Věta 5.2(o derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu) Májí-lifunkce fa gvbodě aderivaci,pakmávbodě aderivacifunkce f+g, f g, a fgaplatí (f+g) (a)=f (a)+g (a), (1) (f g) (a)=f (a) g (a), (2) (f.g) (a)=f (a).g(a)+f(a).g (a), (3) je-linavíc g(a) 0,pakmávbodě aderivaciifunkce f g aplatí ( ) f (a)= f (a).g(a) f(a).g (a) g g 2 (a). (4) Poznámka Věta platí i pro nevlastní derivace, jednostranné derivace a nevlastní jednostranné derivace, pokud existují výrazy na pravách stranách vztahů(1)-(4). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

9 Vlastnosti funkcí majících derivaci Určetederivacifunkce f(x)=lnx.cosx. f (x)= Určetederivacifunkce f(x)= x2 e. x f (x)= Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

10 Vlastnosti funkcí majících derivaci Věta 5.3(o derivaci složené funkce) Má-lifunkce gvbodě aderivaci g (a),má-lifunkce hvbodě g(a)derivaci h (g(a))a je-li f= h(g),pakfunkce fmávbodě aderivaci f (a)=h (g(a)).g (a). (5) Určetederivacifunkce f(x)=ln(cosx)pro x ( π 2, π 2 ). f (x)= Určetederivacifunkce f(x)=cos(lnx)pro x (0, ). f (x)= Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

11 Vlastnosti funkcí majících derivaci Věta 5.4(o derivaci inverzní funkce) Je-li D(f)interval,je-lifunkce fprostáaspojitána D(f)amá-livbodě bderivaci f (b) 0,pakjejíinverznífunkce f 1 máderivacivbodě a=f(b)aplatí Určete derivaci funkce f(x) = arcsinx. (f 1 ) (a)= 1 f (b). (6) g(x)=sin x na[ π 2, π 2 ] b=arcsina pak a=sinb f (a)=(g 1 ) (a)= 1 g (b) = 1 cosb = 1 1 sin 2 b = 1 1 a 2 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

12 Vlastnosti funkcí majících derivaci (derivace funkce s neznámou jak v základu, tak v exponentu) Určetederivacefunkce f(x)=x x definovanéna(0, ). Nejprve malý trik f(x)=e lnxx = e xlnx f (x)=e xlnx (lnx+x 1 x )=xx (lnx+1) Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

13 Vyšší derivace Definice(lokální v bodě) Předpokládáme,žefunkce fmáderivaci f sdefiničnímoborem D(f ).Označme g=f azvolme a D(f ).Má-lifunkce gvbodě aderivaci g (a),řekneme,žečíslo g (a)jedruháderivacefunkce fvbodě aaoznačímeho f (a)nebo d2 f dx (a). 2 Obdobně zavádíme nevlastní druhou derivaci funkce f v bodě a, jednostranné druhé derivace v bodě a, nevlastní jednostranné druhé derivace v bodě a. Určetedruhouderivacifunkce f(x)=x 3 vbodě a R. Definice(funkce na intervalu) Druhouderivacífunkce fserozumífunkce f,jejímždefiničnímoboremje množinavšechčísel x D(f ),vnichžmáfunkce fdruhouderivaci,akterá přiřazujekaždému x D(f )druhouderivaci f (x)funkce fvbodě x. Značímeji f nebo d2 f dx 2. Určetefunkcidruháderivacekfunkci f(x)=x 3. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

14 Vyšší derivace Poznámka Analogickydefinujemetřetí,(čtvrtou...)derivacifunkce fvbodě aafunkcetřetí (čtvrtá...)derivace. Hovoříme souhrnně o vyšších derivacích funkce f. Značíme f, f, f,...,f (m),... Určetevšechnyderivacefunkce f(x)=x 3 +x 2 +x+1. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

15 Geometrické aplikace Má-lifunkce fvbodě aderivaci,paktečna tgrafufunkce fvbodě[a,f(a)]má směrnici k= f (a) aprocházíbodem[a,f(a)],máprotorovnici y= f (a)(x a)+f(a). Normálougrafufunkce fvbodě[a,f(a)]serozumíkolmice nktečněprocházející bodem[a,f(a)]. Jejírovnicejepro f (a) 0 apro f (a)=0 y= 1 f (a) (x a)+f(a) x=a. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

16 Geometrické aplikace Je-lifunkce fspojitávbodě aamá-livněmnevlastníderivaci,považujemezatečnu tjejíhografuvbodě[a,f(a)]přímkuorovnici x=a, jejínormála nvtémžeboděmápakrovnici y=f(a). Určetetečnuanormáluparaboly y= x 2 vbodě[1,1]. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17

17 Geometrické aplikace Věta 5.5(Lagrangeova věta o střední hodnotě) Je-li a < b,je-li fspojitánaintervalu[a,b]amá-lina(a,b)derivaci,pakexistuje c (a,b)takové,že f (c)= f(b) f(a) b a. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS / 17