Intervalová data, algoritmy a výpočetní složitost
|
|
|
- Jitka Čechová
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Intervalová data, algoritmy a výpočetní složitost MichalČerný 1 MilanHladík 2 1 Katedra ekonometrie Fakulta informatiky a statistiky Vysoká škola ekonomická Praha 2 Katedra aplikované matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova ROBUST 2012, Němčičky, září M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 1/ 47
2 Intervalová data, algoritmy a výpočetní složitost MichalČerný 1 MilanHladík 2 1 Katedra ekonometrie Fakulta informatiky a statistiky Vysoká škola ekonomická Praha 2 Katedra aplikované matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova ROBUST 2012, Němčičky, září Za pozvání děkujeme J. Antochovi M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 1/ 47
3 Úvod M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 2/ 47
4 Úvod Intervalová data jsou data tvaru [x, x]. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 2/ 47
5 Úvod Intervalová data jsou data tvaru [x, x]. Vznikají v řadě praktických situací: například při zaokrouhlování a při reprezentaci dat pomocí datových typů s omezeným počtem desetinných míst; M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 2/ 47
6 Úvod Intervalová data jsou data tvaru [x, x]. Vznikají v řadě praktických situací: například při zaokrouhlování a při reprezentaci dat pomocí datových typů s omezeným počtem desetinných míst; obecně: při ztrátě informace, například při kategorizaci dat, při utajování konkrétních hodnot, při některých typech cenzorování, při diskretizaci spojitých dat; M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 2/ 47
7 Úvod Intervalová data jsou data tvaru [x, x]. Vznikají v řadě praktických situací: například při zaokrouhlování a při reprezentaci dat pomocí datových typů s omezeným počtem desetinných míst; obecně: při ztrátě informace, například při kategorizaci dat, při utajování konkrétních hodnot, při některých typech cenzorování, při diskretizaci spojitých dat; při nestabilitě dat, například při nestabilitě fyzikálních konstant, při pohybu sledované veličiny uvnitř období(např. u denních burzovníchdatjevhodnébrátvúvahu,žeuvnitřdnesehodnotymění); M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 2/ 47
8 Úvod Intervalová data jsou data tvaru [x, x]. Vznikají v řadě praktických situací: například při zaokrouhlování a při reprezentaci dat pomocí datových typů s omezeným počtem desetinných míst; obecně: při ztrátě informace, například při kategorizaci dat, při utajování konkrétních hodnot, při některých typech cenzorování, při diskretizaci spojitých dat; při nestabilitě dat, například při nestabilitě fyzikálních konstant, při pohybu sledované veličiny uvnitř období(např. u denních burzovníchdatjevhodnébrátvúvahu,žeuvnitřdnesehodnotymění); při expertní predikci: expert, poučen letitou zkušeností, pohlédne z okna a praví: příští rok splnímeplánna120% 140%... ; M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 2/ 47
9 Úvod Intervalová data jsou data tvaru [x, x]. Vznikají v řadě praktických situací: například při zaokrouhlování a při reprezentaci dat pomocí datových typů s omezeným počtem desetinných míst; obecně: při ztrátě informace, například při kategorizaci dat, při utajování konkrétních hodnot, při některých typech cenzorování, při diskretizaci spojitých dat; při nestabilitě dat, například při nestabilitě fyzikálních konstant, při pohybu sledované veličiny uvnitř období(např. u denních burzovníchdatjevhodnébrátvúvahu,žeuvnitřdnesehodnotymění); při expertní predikci: expert, poučen letitou zkušeností, pohlédne z okna a praví: příští rok splnímeplánna120% 140%... ; v situacích, kdy intervalové predikce jednoho modelu vstupují jako data do druhého modelu: například první model generuje intervalovou predikci inflace (= racionální inflační očekávání) pro příští rok; druhý model, vysvětlující spotřebu či investice běžného období, má za regresor inflační očekávání přístího roku. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 2/ 47
10 Pravděpodobnostní pohled na intervalová data M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 3/ 47
11 Pravděpodobnostní pohled na intervalová data Mějme intervalová data [x 1,x 1 ],...,[x t,x t ],...,[x n,x n ] a předpokládejme, že byla generována dvojicí náhodných procesů v t R,w t 0takových,že v t generujestředy 1 2 [x t +x t ], w t generujepoloměry 1 2 [x t x t ]. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 3/ 47
12 Pravděpodobnostní pohled na intervalová data Mějme intervalová data [x 1,x 1 ],...,[x t,x t ],...,[x n,x n ] a předpokládejme, že byla generována dvojicí náhodných procesů v t R,w t 0takových,že v t generujestředy 1 2 [x t +x t ], w t generujepoloměry 1 2 [x t x t ]. Nyní je přirozené začít budovat teorii: předpokládatvhodnározdělenív t aw t akonstruovatestimátoryjejich parametrů; uvažovatpřípadyzávislýchanezávislýchv t aw t ; M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 3/ 47
13 Pravděpodobnostní pohled na intervalová data Mějme intervalová data [x 1,x 1 ],...,[x t,x t ],...,[x n,x n ] a předpokládejme, že byla generována dvojicí náhodných procesů v t R,w t 0takových,že v t generujestředy 1 2 [x t +x t ], w t generujepoloměry 1 2 [x t x t ]. Nyní je přirozené začít budovat teorii: předpokládatvhodnározdělenív t aw t akonstruovatestimátoryjejich parametrů; uvažovatpřípadyzávislýchanezávislýchv t aw t ; konstruovat rozličné testy; formulovat intervalový regresní model atd. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 3/ 47
14 Pravděpodobnostní pohled na intervalová data Mějme intervalová data [x 1,x 1 ],...,[x t,x t ],...,[x n,x n ] a předpokládejme, že byla generována dvojicí náhodných procesů v t R,w t 0takových,že v t generujestředy 1 2 [x t +x t ], w t generujepoloměry 1 2 [x t x t ]. Nyní je přirozené začít budovat teorii: předpokládatvhodnározdělenív t aw t akonstruovatestimátoryjejich parametrů; uvažovatpřípadyzávislýchanezávislýchv t aw t ; konstruovat rozličné testy; formulovat intervalový regresní model atd. Problém. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 3/ 47
15 Pravděpodobnostní pohled na intervalová data Mějme intervalová data [x 1,x 1 ],...,[x t,x t ],...,[x n,x n ] a předpokládejme, že byla generována dvojicí náhodných procesů v t R,w t 0takových,že v t generujestředy 1 2 [x t +x t ], w t generujepoloměry 1 2 [x t x t ]. Nyní je přirozené začít budovat teorii: předpokládatvhodnározdělenív t aw t akonstruovatestimátoryjejich parametrů; uvažovatpřípadyzávislýchanezávislýchv t aw t ; konstruovat rozličné testy; formulovat intervalový regresní model atd. Problém.Mysenatodívámejinak. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 3/ 47
16 Algoritmický pohled na intervalová data M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 4/ 47
17 Algoritmický pohled na intervalová data Mějmeintervalovádata [x 1,x 1 ],...,[x t,x t ],...,[x n,x n ]. Nepřijímáme o nich žádné pravděpodobnostní předpoklady: Proč? nepředpokládáme, že intervalová data byla generována některým konkrétním náhodným procesem; nepředpokládáme,ženedostupná(nepozorovatelná)hodnotax t,oníž vímejenx t [x t,x t ]aonižnámveskutečnostijde,jenáhodnou veličinounadintervalem [x t,x t ]. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 4/ 47
18 Algoritmický pohled na intervalová data Mějmeintervalovádata [x 1,x 1 ],...,[x t,x t ],...,[x n,x n ]. Nepřijímáme o nich žádné pravděpodobnostní předpoklady: Proč? nepředpokládáme, že intervalová data byla generována některým konkrétním náhodným procesem; nepředpokládáme,ženedostupná(nepozorovatelná)hodnotax t,oníž vímejenx t [x t,x t ]aonižnámveskutečnostijde,jenáhodnou veličinounadintervalem [x t,x t ]. Nepotřebujeme to. Naším cílem je zkoumat výpočetní složitost algoritmů zpracovávajících intervalová data a výpočetní složitost problémů, které se řeší při zpracování intervalových dat. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 4/ 47
19 Algoritmický pohled na intervalová data Mějmeintervalovádata [x 1,x 1 ],...,[x t,x t ],...,[x n,x n ]. Nepřijímáme o nich žádné pravděpodobnostní předpoklady: Proč? nepředpokládáme, že intervalová data byla generována některým konkrétním náhodným procesem; nepředpokládáme,ženedostupná(nepozorovatelná)hodnotax t,oníž vímejenx t [x t,x t ]aonižnámveskutečnostijde,jenáhodnou veličinounadintervalem [x t,x t ]. Nepotřebujeme to. Naším cílem je zkoumat výpočetní složitost algoritmů zpracovávajících intervalová data a výpočetní složitost problémů, které se řeší při zpracování intervalových dat. Proalgoritmusjsoudatavždyjenpevnáčíslax 1,x 1,...,x n,x n. Jediné, co potřebujeme předpokládat, je, že jde o racionální čísla. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 4/ 47
20 Algoritmický pohled na intervalová data Mějmeintervalovádata [x 1,x 1 ],...,[x t,x t ],...,[x n,x n ]. Nepřijímáme o nich žádné pravděpodobnostní předpoklady: Proč? nepředpokládáme, že intervalová data byla generována některým konkrétním náhodným procesem; nepředpokládáme,ženedostupná(nepozorovatelná)hodnotax t,oníž vímejenx t [x t,x t ]aonižnámveskutečnostijde,jenáhodnou veličinounadintervalem [x t,x t ]. Nepotřebujeme to. Naším cílem je zkoumat výpočetní složitost algoritmů zpracovávajících intervalová data a výpočetní složitost problémů, které se řeší při zpracování intervalových dat. Proalgoritmusjsoudatavždyjenpevnáčíslax 1,x 1,...,x n,x n. Jediné, co potřebujeme předpokládat, je, že jde o racionální čísla. Někdy je dokonce příjemné, že nemusíme např. přijímat předpoklad otvarurozdělenínepozorovatelnéhodnotyx t nadintervalem [x t,x t ]. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 4/ 47
21 Značení M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 5/ 47
22 Značení IntervalovámaticeXrozměrun pjesystémmatic X := [X,X] := {X R n p :X X X}, kde nerovnost se rozumí po složkách. Systémintervalovýchmaticrozměrun pznačíme IR n p. IntervalovématiceznačímeX,Y,...;standardní(pevné)matice značímex,y,... Intervalovévektory(=maticen 1)značímex,y,...;standardní (pevné)vektoryznačímex,y,... M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 5/ 47
23 Motivační příklad na začátek M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 6/ 47
24 Motivační příklad na začátek Mějme k dispozici intervalová data (X, y). Uvažme regresní model tvaru y =Xβ +ε, (1) kde β značí vektor regresních parametrů. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 6/ 47
25 Motivační příklad na začátek Mějme k dispozici intervalová data (X, y). Uvažme regresní model tvaru y =Xβ +ε, (1) kde β značí vektor regresních parametrů. Nadále značíme n = počet pozorování, p = počet regresních parametrů. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 6/ 47
26 Motivační příklad na začátek Mějme k dispozici intervalová data (X, y). Uvažme regresní model tvaru y =Xβ +ε, (1) kde β značí vektor regresních parametrů. Nadále značíme n = počet pozorování, p = počet regresních parametrů. Na model (1) můžeme nahlížet jako na systém instancí modelu y =Xβ +ε,kde matice(pozorovaných hodnot) nezávislých proměnných X probíhá intervalovou matici X, vektor(pozorovaných hodnot) závislé proměnné y probíhá intervalový vektor y. jednotlivésložkyxayprobíhajíxaynezávisle. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 6/ 47
27 MnožinaB 2 M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 7/ 47
28 MnožinaB 2 Zabývejme se množinou B 2 := {b R p :X T Xb =X T y proněkteréx Xay y}. (2) MnožinaB 2 jejednouz(více)možnýchformalizacípojmuodhad modelu y = Xβ + ε pomocí nejmenších čtverců při intervalových datech (X,y). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 7/ 47
29 MnožinaB 2 Zabývejme se množinou B 2 := {b R p :X T Xb =X T y proněkteréx Xay y}. (2) MnožinaB 2 jejednouz(více)možnýchformalizacípojmuodhad modelu y = Xβ + ε pomocí nejmenších čtverců při intervalových datech (X,y). DokážemeomnožiněB 2 něcoříci? M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 7/ 47
30 MnožinaB 2 Zabývejme se množinou B 2 := {b R p :X T Xb =X T y proněkteréx Xay y}. (2) MnožinaB 2 jejednouz(více)možnýchformalizacípojmuodhad modelu y = Xβ + ε pomocí nejmenších čtverců při intervalových datech (X,y). DokážemeomnožiněB 2 něcoříci? MnožinaB 2 můžebýtsložitá:např.nemusíbýtkonvexní.obecněje obtížnépodatjinýpopismnožinyb 2 nežpomocídefinice(2). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 7/ 47
31 MnožinaB 2 Zabývejme se množinou B 2 := {b R p :X T Xb =X T y proněkteréx Xay y}. (2) MnožinaB 2 jejednouz(více)možnýchformalizacípojmuodhad modelu y = Xβ + ε pomocí nejmenších čtverců při intervalových datech (X,y). DokážemeomnožiněB 2 něcoříci? MnožinaB 2 můžebýtsložitá:např.nemusíbýtkonvexní.obecněje obtížnépodatjinýpopismnožinyb 2 nežpomocídefinice(2). Itakmásmyslseptát,jakmnožinaB 2 (alespoňpřibližně)vypadá: například hledat její aproximaci pomocí jednoduchých geometrických objektů. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 7/ 47
32 Ocosemůžemepokoušet... M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 8/ 47
33 Ocosemůžemepokoušet... Můžeme se pokoušet hledat intervalovouobálkumnožinyb 2 :jetointervalovývektorb IR p splňujícíb B 2 ; těsnouintervalovouobálkumnožinyb 2 :jetointervalováobálkab, pronižplatí,žežádnýintervalovývektorb bnesplňujeb B 2 ; elipsoidovouobálkumnožinyb 2 :jetoelipsa Esplňující E B 2 apod. Poznámka. Zajímavá je především těsná intervalová obálka b = [b,b]:říká,vjakýchmezích se mohou pohybovat odhady regresních koeficientů při perturbacidat (X,y)vintervalech (X,y). těsná int. obálka B 2 méně těsná int. obálka M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 8/ 47
34 Položme si mnohem základnější otázku... M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 9/ 47
35 Položme si mnohem základnější otázku... Abychom byli schopni zkonstruovat vůbec nějakou obálku množiny B 2 = {b R p :X T Xb =X T y proněkteréx Xay y}, musíme být schopni přinejmenším zodpovědět otázku: M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 9/ 47
36 Položme si mnohem základnější otázku... Abychom byli schopni zkonstruovat vůbec nějakou obálku množiny B 2 = {b R p :X T Xb =X T y proněkteréx Xay y}, musíme být schopni přinejmenším zodpovědět otázku: jemnožinab 2 omezená? (3) M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 9/ 47
37 Položme si mnohem základnější otázku... Abychom byli schopni zkonstruovat vůbec nějakou obálku množiny B 2 = {b R p :X T Xb =X T y proněkteréx Xay y}, musíme být schopni přinejmenším zodpovědět otázku: jemnožinab 2 omezená? (3) Lemma.MnožinaB 2 jeneomezená,právěkdyžexistujematicex X neplné sloupcové hodnosti. = Hledáme-li algoritmus, který zodpoví otázku(3), hledáme algoritmus, který rozhodne, zdali existuje matice X X neplné sloupcové hodnosti. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 9/ 47
38 Přesnější formulace problému M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 10/ 47
39 Přesnější formulace problému Řešíme problém: jsoudányracionálnímaticex,x; úkolem je rozhodnout(= říci ANO/NE), zdali existuje matice X X:= [X,X]neplnésloupcovéhodnosti.(Nenínutněúkolemji přímo najít, existuje-li.) M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 10/ 47
40 Přesnější formulace problému Řešíme problém: jsoudányracionálnímaticex,x; úkolem je rozhodnout(= říci ANO/NE), zdali existuje matice X X:= [X,X]neplnésloupcovéhodnosti.(Nenínutněúkolemji přímo najít, existuje-li.) Zkusme hledat nějaký algoritmus, který najde správnou odpověď ANO/NE; zatím se neohlížejme na jeho efektivitu(= výpočetní čas). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 10/ 47
41 Přesnější formulace problému Řešíme problém: jsoudányracionálnímaticex,x; úkolem je rozhodnout(= říci ANO/NE), zdali existuje matice X X:= [X,X]neplnésloupcovéhodnosti.(Nenínutněúkolemji přímo najít, existuje-li.) Zkusme hledat nějaký algoritmus, který najde správnou odpověď ANO/NE; zatím se neohlížejme na jeho efektivitu(= výpočetní čas). Lemma. Jestliže existuje matice X X neplné sloupcové hodnosti, pak existuje racionální matice X X neplné sloupcové hodnosti. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 10/ 47
42 Je problém X X n.s.h. rozhodnutelný? První nápad: hrubá síla. Systém racionálních matic X X je spočetný. Lze je postupně enumerovat a čekat, zdali narazíme na matici neplné sloupcové hodnosti. Obdržíme tak algoritmus, který není příliš uspokojivý: (a) Jestliže odpověď je ANO, pak algoritmus skončí a odpoví ANO ; (b) Jestliže odpověď je NE, pak algoritmus počítá věčně. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 11/ 47
43 Je problém X X n.s.h. rozhodnutelný? První nápad: hrubá síla. Systém racionálních matic X X je spočetný. Lze je postupně enumerovat a čekat, zdali narazíme na matici neplné sloupcové hodnosti. Obdržíme tak algoritmus, který není příliš uspokojivý: (a) Jestliže odpověď je ANO, pak algoritmus skončí a odpoví ANO ; (b) Jestliže odpověď je NE, pak algoritmus počítá věčně. Prokázali jsme, že problém je rekursivně spočetný. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 11/ 47
44 Je problém X X n.s.h. rozhodnutelný? První nápad: hrubá síla. Systém racionálních matic X X je spočetný. Lze je postupně enumerovat a čekat, zdali narazíme na matici neplné sloupcové hodnosti. Obdržíme tak algoritmus, který není příliš uspokojivý: (a) Jestliže odpověď je ANO, pak algoritmus skončí a odpoví ANO ; (b) Jestliže odpověď je NE, pak algoritmus počítá věčně. Prokázali jsme, že problém je rekursivně spočetný. Rádi bychom získali algoritmus, pro který namísto(b) platí (b ) Jestliže odpověď je NE, pak algoritmus skončí a odpoví NE. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 11/ 47
45 Je problém X X n.s.h. rozhodnutelný? První nápad: hrubá síla. Systém racionálních matic X X je spočetný. Lze je postupně enumerovat a čekat, zdali narazíme na matici neplné sloupcové hodnosti. Obdržíme tak algoritmus, který není příliš uspokojivý: (a) Jestliže odpověď je ANO, pak algoritmus skončí a odpoví ANO ; (b) Jestliže odpověď je NE, pak algoritmus počítá věčně. Prokázali jsme, že problém je rekursivně spočetný. Rádi bychom získali algoritmus, pro který namísto(b) platí (b ) Jestliže odpověď je NE, pak algoritmus skončí a odpoví NE. Je-li to možné, je náš problém rozhodnutelný(rekursivní); jinak je nerozhodnutelný(nerekursivní). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 11/ 47
46 Je problém X X n.s.h. rozhodnutelný? První nápad: hrubá síla. Systém racionálních matic X X je spočetný. Lze je postupně enumerovat a čekat, zdali narazíme na matici neplné sloupcové hodnosti. Obdržíme tak algoritmus, který není příliš uspokojivý: (a) Jestliže odpověď je ANO, pak algoritmus skončí a odpoví ANO ; (b) Jestliže odpověď je NE, pak algoritmus počítá věčně. Prokázali jsme, že problém je rekursivně spočetný. Rádi bychom získali algoritmus, pro který namísto(b) platí (b ) Jestliže odpověď je NE, pak algoritmus skončí a odpoví NE. Je-li to možné, je náš problém rozhodnutelný(rekursivní); jinak je nerozhodnutelný(nerekursivní). Můžesestát,ženášproblémjenerozhodnutelný?Tedy,žeproněj neexistují žádné algoritmy? Matematika je plná nerozhodnutelných problémů... M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 11/ 47
47 Intermezzo: příklady nerozhodnutelných problémů M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 12/ 47
48 Intermezzo: příklady nerozhodnutelných problémů Nulové body funkcí. Zadání:funkcef(x) : R Rsloženázkonstant, +,,,sin( ). Úkol:rozhodnout,zdaliexistujex 0 Rsplňujícíf(x 0 ) =0. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 12/ 47
49 Intermezzo: příklady nerozhodnutelných problémů Nulové body funkcí. Zadání:funkcef(x) : R Rsloženázkonstant, +,,,sin( ). Úkol:rozhodnout,zdaliexistujex 0 Rsplňujícíf(x 0 ) =0. Konvergence integrálu. Zadání:funkcef(x) : R Rsloženázkonstant, +,,,,sin( ). Úkol:rozhodnout,zdali f(x)dxkonverguje. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 12/ 47
50 Intermezzo: příklady nerozhodnutelných problémů Nulové body funkcí. Zadání:funkcef(x) : R Rsloženázkonstant, +,,,sin( ). Úkol:rozhodnout,zdaliexistujex 0 Rsplňujícíf(x 0 ) =0. Konvergence integrálu. Zadání:funkcef(x) : R Rsloženázkonstant, +,,,,sin( ). Úkol:rozhodnout,zdali f(x)dxkonverguje. Diofantické rovnice[tzv. Matijasevičova věta(matijasevič, 1970); desátý Hilbertův problém(hilbert, 1900)]. Zadání:polynomp(x 1,...,x 9 )sceločíselnýmikoeficienty. Úkol:rozhodnout,zdaliexistujíx 1,...,x 9 Zsplňující p(x 1,...,x 9 ) =0. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 12/ 47
51 Intermezzo: příklady nerozhodnutelných problémů Nulové body funkcí. Zadání:funkcef(x) : R Rsloženázkonstant, +,,,sin( ). Úkol:rozhodnout,zdaliexistujex 0 Rsplňujícíf(x 0 ) =0. Konvergence integrálu. Zadání:funkcef(x) : R Rsloženázkonstant, +,,,,sin( ). Úkol:rozhodnout,zdali f(x)dxkonverguje. Diofantické rovnice[tzv. Matijasevičova věta(matijasevič, 1970); desátý Hilbertův problém(hilbert, 1900)]. Zadání:polynomp(x 1,...,x 9 )sceločíselnýmikoeficienty. Úkol:rozhodnout,zdaliexistujíx 1,...,x 9 Zsplňující p(x 1,...,x 9 ) =0. Maticová smrt. Zadání:celočíselnéčtvercovématiceA 1,...,A n. Úkol:rozhodnout,zdalilzezmaticA 1,...,A n násobením (v libovolném pořadí, opakování povoleno) obdržet nulovou matici. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 12/ 47
52 Intermezzo: příklady nerozhodnutelných problémů(pokrač.) Celočíselné programování s kvadratickými omezeními. Celočíselné lineární programování je optimalizační problém max{c T x : Ax b, x Z p }. Připustíme-li vedle lineárních omezení Ax b také kvadratická omezení(tj. připustíme-li součiny dvou proměnných), je otázka je úloha přípustná? nerozhodnutelná. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 13/ 47
53 Intermezzo: příklady nerozhodnutelných problémů(pokrač.) Celočíselné programování s kvadratickými omezeními. Celočíselné lineární programování je optimalizační problém max{c T x : Ax b, x Z p }. Připustíme-li vedle lineárních omezení Ax b také kvadratická omezení(tj. připustíme-li součiny dvou proměnných), je otázka je úloha přípustná? nerozhodnutelná. Dokazatelnost[tzv. Gödelova věta,(gödel, 1931)]. Zadání: tvrzení(= uzavřená formule množinového jazyka) ϕ. Úkol: rozhodnout, zdali tvrzení ϕ je dokazatelné v teorii množin. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 13/ 47
54 Intermezzo: příklady nerozhodnutelných problémů(pokrač.) Celočíselné programování s kvadratickými omezeními. Celočíselné lineární programování je optimalizační problém max{c T x : Ax b, x Z p }. Připustíme-li vedle lineárních omezení Ax b také kvadratická omezení(tj. připustíme-li součiny dvou proměnných), je otázka je úloha přípustná? nerozhodnutelná. Dokazatelnost[tzv. Gödelova věta,(gödel, 1931)]. Zadání: tvrzení(= uzavřená formule množinového jazyka) ϕ. Úkol: rozhodnout, zdali tvrzení ϕ je dokazatelné v teorii množin. Halting problem. Zadání:textprogramuPadatax. Úkol: rozhodnout, zdali výpočet programu P nad daty x skončí, anebo zdali počítá věčně. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 13/ 47
55 Intermezzo: příklady nerozhodnutelných problémů(pokrač.) Celočíselné programování s kvadratickými omezeními. Celočíselné lineární programování je optimalizační problém max{c T x : Ax b, x Z p }. Připustíme-li vedle lineárních omezení Ax b také kvadratická omezení(tj. připustíme-li součiny dvou proměnných), je otázka je úloha přípustná? nerozhodnutelná. Dokazatelnost[tzv. Gödelova věta,(gödel, 1931)]. Zadání: tvrzení(= uzavřená formule množinového jazyka) ϕ. Úkol: rozhodnout, zdali tvrzení ϕ je dokazatelné v teorii množin. Halting problem. Zadání:textprogramuPadatax. Úkol: rozhodnout, zdali výpočet programu P nad daty x skončí, anebo zdali počítá věčně. Dalšípříklady.Jsoudánydvěprezentacegrup (G 1,R 1 )a(g 2,R 2 ); jsou jimi prezentované grupy isomorfní? Má daná nula-jedničková posloupnost velkou kolmogorovskou složitost? Atd. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 13/ 47
56 Náš problém X X n.s.h. JE rozhodnutelný! M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 14/ 47
57 Náš problém X X n.s.h. JE rozhodnutelný! Pozorování.MnožinaB 2 jeneomezená existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti ( X)[X X X & detx T X =0]. (4) M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 14/ 47
58 Náš problém X X n.s.h. JE rozhodnutelný! Pozorování.MnožinaB 2 jeneomezená existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti ( X)[X X X & detx T X =0]. (4) Výraz(4) je výraz jazyka teorie(uspořádaných) těles. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 14/ 47
59 Náš problém X X n.s.h. JE rozhodnutelný! Pozorování.MnožinaB 2 jeneomezená existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti ( X)[X X X & detx T X =0]. (4) Výraz(4) je výraz jazyka teorie(uspořádaných) těles. Teorie reálně uzavřených těles(rcf, Real Closed Fields) je teorie obsahující běžné axiomy teorie uspořádaných těles(tj. vlastnosti +,,, 0, 1), axiomy zajišťující, že pro každý polynom platí Bolzanova věta. [Bolzanovavětaříká:spojitáfunkcef(x)mávintervalu (a,a)nulový bod,kdykolivplatíf(a) <0af(a) >0.] M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 14/ 47
60 Náš problém X X n.s.h. JE rozhodnutelný! Pozorování.MnožinaB 2 jeneomezená existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti ( X)[X X X & detx T X =0]. (4) Výraz(4) je výraz jazyka teorie(uspořádaných) těles. Teorie reálně uzavřených těles(rcf, Real Closed Fields) je teorie obsahující běžné axiomy teorie uspořádaných těles(tj. vlastnosti +,,, 0, 1), axiomy zajišťující, že pro každý polynom platí Bolzanova věta. [Bolzanovavětaříká:spojitáfunkcef(x)mávintervalu (a,a)nulový bod,kdykolivplatíf(a) <0af(a) >0.] Věta(Tarski, 1956). Teorie RCF je úplná. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 14/ 47
61 Náš problém X X n.s.h. JE rozhodnutelný! Pozorování.MnožinaB 2 jeneomezená existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti ( X)[X X X & detx T X =0]. (4) Výraz(4) je výraz jazyka teorie(uspořádaných) těles. Teorie reálně uzavřených těles(rcf, Real Closed Fields) je teorie obsahující běžné axiomy teorie uspořádaných těles(tj. vlastnosti +,,, 0, 1), axiomy zajišťující, že pro každý polynom platí Bolzanova věta. [Bolzanovavětaříká:spojitáfunkcef(x)mávintervalu (a,a)nulový bod,kdykolivplatíf(a) <0af(a) >0.] Věta(Tarski, 1956). Teorie RCF je úplná. Důsledek. O pravdivosti tvrzení(4) lze rozhodnout algoritmicky. [Stačí enumerovat všechny důkazy teorie RCF a čekat, zdali najdeme důkaz tvrzení(4), anebo jeho negace.] M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 14/ 47
62 Rychlost algoritmů Nepatrná vada na kráse. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 15/ 47
63 Rychlost algoritmů Nepatrná vada na kráse. Metoda založená na Tarského větě vyžaduje extrémnívýpočetníčas:až 2 2L,kde L :=bitovávelikostzápisux,x. (Každé racionální číslo v maticích X a X zapisujeme jako trojici [znaménko, dvojkový zápis čitatele, dvojkový zápis jmenovatele].) Je možné najít lepší algoritmus? M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 15/ 47
64 Rychlost algoritmů Nepatrná vada na kráse. Metoda založená na Tarského větě vyžaduje extrémnívýpočetníčas:až 2 2L,kde L :=bitovávelikostzápisux,x. (Každé racionální číslo v maticích X a X zapisujeme jako trojici [znaménko, dvojkový zápis čitatele, dvojkový zápis jmenovatele].) Je možné najít lepší algoritmus? Věta.Otázka existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti? jevnp. Důsledek.Existujealgoritmus,kterýnalezneodpověďvčase 2 polynom(l). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 15/ 47
65 Intermezzo: třída NP Objektem rozumíme konečnou posloupnost nul a jedniček(bitů). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 16/ 47
66 Intermezzo: třída NP Objektem rozumíme konečnou posloupnost nul a jedniček(bitů). Neformální definice. NP je třída otázek tvaru je pravda, že předložený objekt x má vlastnost ϕ?, (5) pro které platí: existuje rychlý algoritmus PROOF(x, y) s touto vlastností: jestliže odpověď na otázku(5) zní ANO, pak existuje krátký objekt y takový,žeproof(x,y) =ANO, jestližeodpověďnaotázku(5)zníne,pakkaždýkrátkýobjektymá vlastnostproof(x,y) =NE. Volně řečeno: Otázka je v NP, právě když pozitivní odpověď lze doložit krátkým, snadno ověřitelným důkazem.(nemusí ale být snadné takový důkaz efektivně najít.) M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 16/ 47
67 Příklady problémů v NP M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 17/ 47
68 Příklady problémů v NP Boolovská splnitelnost. Otázka: Je daná výroková formule splnitelná? Důkaz prokazující pozitivní odpověď: jedno konkrétní splňující ohodnocení. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 17/ 47
69 Příklady problémů v NP Boolovská splnitelnost. Otázka: Je daná výroková formule splnitelná? Důkaz prokazující pozitivní odpověď: jedno konkrétní splňující ohodnocení. Přípustnost celočíselného lineárního programování. Otázka: Má daný lineární systém Ax b nějaké celočíselné řešení x? Důkaz prokazující pozitivní odpověď: jedno konkrétní řešení x. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 17/ 47
70 Příklady problémů v NP Boolovská splnitelnost. Otázka: Je daná výroková formule splnitelná? Důkaz prokazující pozitivní odpověď: jedno konkrétní splňující ohodnocení. Přípustnost celočíselného lineárního programování. Otázka: Má daný lineární systém Ax b nějaké celočíselné řešení x? Důkaz prokazující pozitivní odpověď: jedno konkrétní řešení x. Faktorizace. Otázka: Je dané přirozené číslo k složené? Důkaz prokazující pozitivní odpověď: netriviální dělitel čísla k. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 17/ 47
71 Příklady problémů v NP Boolovská splnitelnost. Otázka: Je daná výroková formule splnitelná? Důkaz prokazující pozitivní odpověď: jedno konkrétní splňující ohodnocení. Přípustnost celočíselného lineárního programování. Otázka: Má daný lineární systém Ax b nějaké celočíselné řešení x? Důkaz prokazující pozitivní odpověď: jedno konkrétní řešení x. Faktorizace. Otázka: Je dané přirozené číslo k složené? Důkaz prokazující pozitivní odpověď: netriviální dělitel čísla k. Jednoduché diofantické rovnice. Otázka:Mádiofantickárovniceax 2 +by =cnějaképřirozenéřešení x,y? Důkaz prokazující pozitivní odpověď: jedno konkrétní řešení x, y. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 17/ 47
72 Co přesněji znamená krátký NP-důkaz? Symbolem size(x) označme bitovou velikost objektu x. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 18/ 47
73 Co přesněji znamená krátký NP-důkaz? Symbolem size(x) označme bitovou velikost objektu x. Upřesnění. Říkáme-li, že důkaz y prokazující, že platí ϕ(x), je krátký, myslíme tím size(y) polynom(size(x)). Odtudjejasné,žekaždýproblémvNPjerozhodnutelnývčase 2 polynom(size(x)) stačíprohledatvšechnymožnékrátkédůkazy. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 18/ 47
74 Co přesněji znamená krátký NP-důkaz? Symbolem size(x) označme bitovou velikost objektu x. Upřesnění. Říkáme-li, že důkaz y prokazující, že platí ϕ(x), je krátký, myslíme tím size(y) polynom(size(x)). Odtudjejasné,žekaždýproblémvNPjerozhodnutelnývčase 2 polynom(size(x)) stačíprohledatvšechnymožnékrátkédůkazy. Cíl. Chtěli bychom seznam příkladů NP-otázek rozšířit: Otázka:ExistujeX [X,X]neplnésloupcovéhodnosti? Důkazprokazujícípozitivníodpověď:některámaticeX 0 [X,X]neplnésloupcové hodnosti. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 18/ 47
75 Co přesněji znamená krátký NP-důkaz? Symbolem size(x) označme bitovou velikost objektu x. Upřesnění. Říkáme-li, že důkaz y prokazující, že platí ϕ(x), je krátký, myslíme tím size(y) polynom(size(x)). Odtudjejasné,žekaždýproblémvNPjerozhodnutelnývčase 2 polynom(size(x)) stačíprohledatvšechnymožnékrátkédůkazy. Cíl. Chtěli bychom seznam příkladů NP-otázek rozšířit: Otázka:ExistujeX [X,X]neplnésloupcovéhodnosti? Důkazprokazujícípozitivníodpověď:některámaticeX 0 [X,X]neplnésloupcové hodnosti. Problém. Abychom byli korektní, je třeba prokázat: existuje polynom q takový, že: pro libovolné racionální matice X X platí, že obsahuje-li [X,X]maticineplnésloupcovéhodnosti,pakvždytakéobsahuje racionálnímaticix 0 [X,X]neplnésloupcovéhodnostisplňující size(x 0 ) q(size(x)+size(x)). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 18/ 47
76 Co přesněji znamená krátký NP-důkaz? Symbolem size(x) označme bitovou velikost objektu x. Upřesnění. Říkáme-li, že důkaz y prokazující, že platí ϕ(x), je krátký, myslíme tím size(y) polynom(size(x)). Odtudjejasné,žekaždýproblémvNPjerozhodnutelnývčase 2 polynom(size(x)) stačíprohledatvšechnymožnékrátkédůkazy. Cíl. Chtěli bychom seznam příkladů NP-otázek rozšířit: Otázka:ExistujeX [X,X]neplnésloupcovéhodnosti? Důkazprokazujícípozitivníodpověď:některámaticeX 0 [X,X]neplnésloupcové hodnosti. Problém. Abychom byli korektní, je třeba prokázat: existuje polynom q takový, že: pro libovolné racionální matice X X platí, že obsahuje-li [X,X]maticineplnésloupcovéhodnosti,pakvždytakéobsahuje racionálnímaticix 0 [X,X]neplnésloupcovéhodnostisplňující size(x 0 ) q(size(x)+size(x)). Tojeovšemtěžké.Zkusmetojinak... M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 18/ 47
77 Intervalové rovnice M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 19/ 47
78 Intervalové rovnice Definice.NechťA IR n p ab IR n.řekneme,žez 0 R p jeřešením systémuaz =b,jestližeexistujía Aab btakové,žeaz 0 =b. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 19/ 47
79 Intervalové rovnice Definice.NechťA IR n p ab IR n.řekneme,žez 0 R p jeřešením systémuaz =b,jestližeexistujía Aab btakové,žeaz 0 =b. Příklad(Barth& Nuding, 1974). Množina řešení intervalové soustavy ( )( ) ( ) [2,4] [ 2,1] x1 [ 2,2] = [ 1, 2] [2, 4] [ 2, 2] x M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 19/ 47
80 Intervalové rovnice Věta(Oettli-Prager). Označme A c := 1 2 (A+A), b c := 1 2 (b +b), b A := 1 2 (A A), := 1 2 (b b). Vektorz R p jeřešenímsystémuaz =b,právěkdyžplatí A c z b c A z +b. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 20/ 47
81 Intervalové rovnice Věta(Oettli-Prager). Označme A c := 1 2 (A+A), b c := 1 2 (b +b), b A := 1 2 (A A), := 1 2 (b b). Vektorz R p jeřešenímsystémuaz =b,právěkdyžplatí A c z b c A z +b. Důsledek.Nechťs {±1} p.nechť R p s označujeorthant {x R p :diag(s)x 0}.MnožinařešenísystémuAz =bležících vorthantu R p s jetvaru {z R p : (A c A diag(s))z b, ( A c A diag(s))z b, diag(s)z 0}. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 20/ 47
82 Nášproblém X Xn.s.h. jevnp M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 21/ 47
83 Nášproblém X Xn.s.h. jevnp Pozorování.MnožinaB 2 jeneomezená existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti intervalový systém Xz = 0 má nenulové řešení. (6) M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 21/ 47
84 Nášproblém X Xn.s.h. jevnp Pozorování.MnožinaB 2 jeneomezená existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti intervalový systém Xz = 0 má nenulové řešení. (6) Podle důsledku Oettliho-Pragerovy věty lze podmínku(6) testovat pro každýorthantzvlášť:vdanémorthantus {±1} p můžemeexistenci nenulového vektoru v polyedru (X c X diag(s))z 0, ( X c X diag(s))z 0, diag(s)z 0 (7) testovat pomocí lineárního programování. A lineární programování je rychlá(= polynomiální) procedura stačí užít elipsoidový algoritmus či vhodnou metodu vnitřního bodu. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 21/ 47
85 Nášproblém X Xn.s.h. jevnp Pozorování.MnožinaB 2 jeneomezená existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti intervalový systém Xz = 0 má nenulové řešení. (6) Podle důsledku Oettliho-Pragerovy věty lze podmínku(6) testovat pro každýorthantzvlášť:vdanémorthantus {±1} p můžemeexistenci nenulového vektoru v polyedru (X c X diag(s))z 0, ( X c X diag(s))z 0, diag(s)z 0 (7) testovat pomocí lineárního programování. A lineární programování je rychlá(= polynomiální) procedura stačí užít elipsoidový algoritmus či vhodnou metodu vnitřního bodu. Dosáhlijsmecíle.NašeotázkajeopravduvNP: Otázka:ExistujeX [X,X]neplnésloupcovéhodnosti? Důkazprokazujícípozitivníodpověď:vektors {±1} p takový,žeorthant R p s obsahuje nenulové řešení systému(7). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 21/ 47
86 Shrnutí: čeho jsme zatím dosáhli žádné algoritmy extrémně pomalé algoritmy Na počátku... jsme nevěděli nic. rekursivně spočetné enumerace matic v [X,X] Tarského věta nerozhodnutelné výpočetní čas 2 polynom NP Oettli-Prager rozhodnutelné M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 22/ 47
87 Pokračujme: čeho bychom chtěli dosáhnout žádné algoritmy extrémně pomalé algoritmy Na počátku... jsme nevěděli nic. rekursivně spočetné enumerace matic v [X,X] Tarského věta nerozhodnutelné výpočetní čas 2 polynom výpočetní čas polynom NP Oettli-Prager P?? rozhodnutelné M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 23/ 47
88 NP-těžkost Klademe si otázku, zdali by se podařilo najít rychlý algoritmus pro náš problém existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti?. Rychlý algoritmus = algoritmus pracující v čase polynom(size(x)). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 24/ 47
89 NP-těžkost Klademe si otázku, zdali by se podařilo najít rychlý algoritmus pro náš problém existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti?. Rychlý algoritmus = algoritmus pracující v čase polynom(size(x)). Ukážeme, že tento cíl je nerealistický. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 24/ 47
90 NP-těžkost Klademe si otázku, zdali by se podařilo najít rychlý algoritmus pro náš problém existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti?. Rychlý algoritmus = algoritmus pracující v čase polynom(size(x)). Ukážeme, že tento cíl je nerealistický. Neformální definice. Problém A je NP-těžký, jestliže pro něj platí implikace: jestliže problém A má polynomiální algoritmus, pak i každý problém v NP má polynomiální algoritmus. To například znamená: má-li problém A polynomiální algoritmus, pak o splnitelnosti výrokové formule s n proměnnými dokážeme rozhodovat rychle(tj. bez konstrukce tabulky pravdivostních hodnot, ježmávelikost2 n ), úlohy celočíselného lineárního programování dokážeme řešit rychle, problém obchodního cestujícího dokážeme řešit rychle atd. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 24/ 47
91 Špatné zprávy Hypotéza. Jestliže problém A je NP-těžký, pak nemá rychlý algoritmus (=nenívetříděp). JdeoobtížnýotevřenýproblémznámýjakootázkaP =? NP.Obecně panuje konsensus, že tvrzení platí; nadále jej berme za axiom. Věta.Problém existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti? je NP-těžký. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 25/ 47
92 Špatné zprávy Hypotéza. Jestliže problém A je NP-těžký, pak nemá rychlý algoritmus (=nenívetříděp). JdeoobtížnýotevřenýproblémznámýjakootázkaP =? NP.Obecně panuje konsensus, že tvrzení platí; nadále jej berme za axiom. Věta.Problém existujex [X,X]neplnésloupcovéhodnosti? je NP-těžký. Poznámky. Věta říká, že náš problém nemá polynomiální algoritmy. Může se ale stát, že má algoritmy jen mírně horší než polynomiální a podstatně lepšínežexponenciální,např.pracujícívčasen loglogn. Někdy se formuluje silnější hypotéza, která říká, že NP-těžké problémy nemají lepší než exponenciální algoritmy. Na pravdivosti této hypotézyovšemneníshoda.nictoneměnínatom,želepšínež exponenciální algoritmy neznáme. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 25/ 47
93 Co jsme zjistili žádné algoritmy extrémně pomalé algoritmy výpočetní čas 2 polynom výpočetní čas polynom Na počátku... jsme nevěděli nic. rekursivně spočetné NP P enumerace matic v [X,X] Tarského věta Oettli-Prager + NP-těžkost nerozhodnutelné rozhodnutelné NP-těžké M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 26/ 47
94 Co vyplývá z NP-těžkosti Nemůžeme čekat, že se nám podaří zkonstruovat rychlé algoritmy pro konstrukciobálekmnožinyb 2 (aťužjdeotěsnéintervalovéobálky, méně těsné intervalové obálky či elipsoidové obálky). Není ale cílem propadnout skepsi. Jsme v podobné situaci, kterou známe z celočíselného lineárního programování: sice víme, že obecně rychlé algoritmy neexistují, ale v konkrétních případech můžeme být úspěšní.(v případě celočíselného lineárního programování lze za příklad uvést totálně unimodulární programy.) I u naší otázky je zajímavé začít zkoumat speciální případy problému, které rychlé algoritmy mají. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 27/ 47
95 Co vyplývá z NP-těžkosti Nemůžeme čekat, že se nám podaří zkonstruovat rychlé algoritmy pro konstrukciobálekmnožinyb 2 (aťužjdeotěsnéintervalovéobálky, méně těsné intervalové obálky či elipsoidové obálky). Není ale cílem propadnout skepsi. Jsme v podobné situaci, kterou známe z celočíselného lineárního programování: sice víme, že obecně rychlé algoritmy neexistují, ale v konkrétních případech můžeme být úspěšní.(v případě celočíselného lineárního programování lze za příklad uvést totálně unimodulární programy.) I u naší otázky je zajímavé začít zkoumat speciální případy problému, které rychlé algoritmy mají. Pohleďme na tři pozoruhodné speciální případy, kdy úspěšně dokážeme učinit krok NP P. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 27/ 47
96 Speciální případ I: omezený počet regresních parametrů M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 28/ 47
97 Speciální případ I: omezený počet regresních parametrů PřipomeňmedůsledekOettliho-Pragerovyvěty:množinaB 2 je neomezená,právěkdyžproněkterés {±1} p málineárnísystém (X c X diag(s))z 0, ( X c X diag(s))z 0, diag(s)z 0 nenulové řešení. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 28/ 47
98 Speciální případ I: omezený počet regresních parametrů PřipomeňmedůsledekOettliho-Pragerovyvěty:množinaB 2 je neomezená,právěkdyžproněkterés {±1} p málineárnísystém (X c X diag(s))z 0, ( X c X diag(s))z 0, diag(s)z 0 nenulové řešení. Důsledek. Problém lze řešit v čase 2 p (časnalineárníprogramování). (8) M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 28/ 47
99 Speciální případ I: omezený počet regresních parametrů PřipomeňmedůsledekOettliho-Pragerovyvěty:množinaB 2 je neomezená,právěkdyžproněkterés {±1} p málineárnísystém (X c X diag(s))z 0, ( X c X diag(s))z 0, diag(s)z 0 nenulové řešení. Důsledek. Problém lze řešit v čase 2 p (časnalineárníprogramování). (8) Omezíme-lisenaregresnímodelys p 0 regresnímiparametry,kdep 0 je pevnákonstanta,paki2 p 0 jepevnákonstanta,atudíž(8)jepolynom. Ukázali jsme: Věta.Prolibovolnép 0 platí:omezíme-lisejennaregresnímodelys p 0 regresnímiparametry,pakrozhodováníoomezenostimnožinyb 2 jevp. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 28/ 47
100 Speciální případ II: nezáporné regresní parametry M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 29/ 47
101 Speciální případ II: nezáporné regresní parametry Reformulujme jinak důsledek plynoucí z(důsledku) Oettliho- -Pragerovy věty. Problém lze řešit v čase (početorthantůprostoruparametrů R p ) }{{} =2 p (časnalineárníprogramování). Řekněme, že(z teorie) víme, že hodnoty regresních parametrů jsou nezáporné. Pak stačí prozkoumat jediný orthant prostoru parametrů. Obdržíme výpočetní čas To je polynom. Ukázali jsme: 1 (čas na lineární programování). Věta.Je-liprostoremparametrůjennezápornýorthant R p,pak rozhodováníoomezenostimnožinyb 2 jevp. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 29/ 47
102 SpeciálnípřípadIII:množinaB 2 přix =X Mějmekdispozicidata (X,y),kdeXmáplnousloupcovouhodnost.Pak B 2 = {(X T X) 1 X T y : y y}. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 30/ 47
103 SpeciálnípřípadIII:množinaB 2 přix =X Mějmekdispozicidata (X,y),kdeXmáplnousloupcovouhodnost.Pak B 2 = {(X T X) 1 X T y : y y}. Geometricky:B 2 jeobraz krychle y R n vprostoruparametrů R p při lineárnímzobrazení υ (X T X) 1 X T υ. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 30/ 47
104 SpeciálnípřípadIII:množinaB 2 přix =X Mějmekdispozicidata (X,y),kdeXmáplnousloupcovouhodnost.Pak B 2 = {(X T X) 1 X T y : y y}. Geometricky:B 2 jeobraz krychle y R n vprostoruparametrů R p při lineárnímzobrazení υ (X T X) 1 X T υ. MnožinaB 2 jekonvexnípolyedrspeciálnístruktury,tzv.zonotop.má zajímavé geometrické vlastnosti, např. každá jeho stěna(libovolné dimenze) je středově symetrická. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 30/ 47
105 SpeciálnípřípadIII:množinaB 2 přix =X Mějmekdispozicidata (X,y),kdeXmáplnousloupcovouhodnost.Pak B 2 = {(X T X) 1 X T y : y y}. Geometricky:B 2 jeobraz krychle y R n vprostoruparametrů R p při lineárnímzobrazení υ (X T X) 1 X T υ. MnožinaB 2 jekonvexnípolyedrspeciálnístruktury,tzv.zonotop.má zajímavé geometrické vlastnosti, např. každá jeho stěna(libovolné dimenze) je středově symetrická. Snadno zkonstruujeme těsnou intervalovou obálku, například pomocí lineárních programů max{±z i : z = (X T X) 1 X T y,y y y, y R n }, i =1,...,p. (jde to dokonce ještě snadněji). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 30/ 47
106 SpeciálnípřípadIII:množinaB 2 přix =X Mějmekdispozicidata (X,y),kdeXmáplnousloupcovouhodnost.Pak B 2 = {(X T X) 1 X T y : y y}. Geometricky:B 2 jeobraz krychle y R n vprostoruparametrů R p při lineárnímzobrazení υ (X T X) 1 X T υ. MnožinaB 2 jekonvexnípolyedrspeciálnístruktury,tzv.zonotop.má zajímavé geometrické vlastnosti, např. každá jeho stěna(libovolné dimenze) je středově symetrická. Snadno zkonstruujeme těsnou intervalovou obálku, například pomocí lineárních programů max{±z i : z = (X T X) 1 X T y,y y y, y R n }, i =1,...,p. (jde to dokonce ještě snadněji). Umíme konstruovat i elipsoidové obálky. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 30/ 47
107 SpeciálnípřípadIII:množinaB 2 přix =X Mějmekdispozicidata (X,y),kdeXmáplnousloupcovouhodnost.Pak B 2 = {(X T X) 1 X T y : y y}. Geometricky:B 2 jeobraz krychle y R n vprostoruparametrů R p při lineárnímzobrazení υ (X T X) 1 X T υ. MnožinaB 2 jekonvexnípolyedrspeciálnístruktury,tzv.zonotop.má zajímavé geometrické vlastnosti, např. každá jeho stěna(libovolné dimenze) je středově symetrická. Snadno zkonstruujeme těsnou intervalovou obálku, například pomocí lineárních programů max{±z i : z = (X T X) 1 X T y,y y y, y R n }, i =1,...,p. (jde to dokonce ještě snadněji). Umíme konstruovat i elipsoidové obálky. Umíme toho mnohem více. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 30/ 47
108 Konec motivačního příkladu. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 31/ 47
109 Ještě několik příkladů Nechťsymbolyx 1,...,x n označujídata.řekněmepropříklad,žejde ovýběrzn(µ,σ 2 ). M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 32/ 47
110 Ještě několik příkladů Nechťsymbolyx 1,...,x n označujídata.řekněmepropříklad,žejde ovýběrzn(µ,σ 2 ). Zalgebraickéhopohledujejistástatistika Sjenfunkcídatx 1,...,x n. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 32/ 47
111 Ještě několik příkladů Nechťsymbolyx 1,...,x n označujídata.řekněmepropříklad,žejde ovýběrzn(µ,σ 2 ). Zalgebraickéhopohledujejistástatistika Sjenfunkcídatx 1,...,x n. Řekněmedále,žepozorováníx 1,...,x n nejsoukdispozici;máme k dispozici jen intervaly splňujícíx 1 x 1,...,x n x n. x i = [x i,x i ], i =1,...,n M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 32/ 47
112 Ještě několik příkladů Nechťsymbolyx 1,...,x n označujídata.řekněmepropříklad,žejde ovýběrzn(µ,σ 2 ). Zalgebraickéhopohledujejistástatistika Sjenfunkcídatx 1,...,x n. Řekněmedále,žepozorováníx 1,...,x n nejsoukdispozici;máme k dispozici jen intervaly x i = [x i,x i ], i =1,...,n splňujícíx 1 x 1,...,x n x n. Zkoumejme hodnoty S :=sup{s(x 1,...,x n ) :x 1 x 1,...,x n x n }, S :=inf{s(x 1,...,x n ) :x 1 x 1,...,x n x n }. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 32/ 47
113 Ještě několik příkladů Nechťsymbolyx 1,...,x n označujídata.řekněmepropříklad,žejde ovýběrzn(µ,σ 2 ). Zalgebraickéhopohledujejistástatistika Sjenfunkcídatx 1,...,x n. Řekněmedále,žepozorováníx 1,...,x n nejsoukdispozici;máme k dispozici jen intervaly x i = [x i,x i ], i =1,...,n splňujícíx 1 x 1,...,x n x n. Zkoumejme hodnoty S :=sup{s(x 1,...,x n ) :x 1 x 1,...,x n x n }, S :=inf{s(x 1,...,x n ) :x 1 x 1,...,x n x n }. Obecně je výpočet S a S algoritmicky neřešitelný(nerekursivní). Ve speciálních případech je situace lepší. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 32/ 47
114 Ještě několik příkladů pokračování P značí polynomiální čas, NPH značí NP-těžký problém. M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 33/ 47
115 Ještě několik příkladů pokračování P značí polynomiální čas, NPH značí NP-těžký problém. Výběrový průměr µ µ...p µ...p M. Černý a M. Hladík (VŠE, UK) Intervaly, algoritmy a výpočetní složitost 33/ 47
Intervalová data a výpočet některých statistik
Intervalová data a výpočet některých statistik Milan Hladík 1 Michal Černý 2 1 Katedra aplikované matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova 2 Katedra ekonometrie Fakulta informatiky a
Výroková a predikátová logika - XIII
Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Výroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2015/2016 1 / 15 Algebraické teorie Základní algebraické teorie
5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace
Obsah prvního svazku 1 Úvod 1.1 Přehled pojmů a struktur 1.1.1 Množiny, čísla a relace 1.1.2 Funkce 1.1.3 Pravděpodobnost 1.1.4 Grafy 1.2 Algebra 1.2.1 Dělitelnost, prvočíselnost a základní kombinatorické
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Základy matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Výroková a predikátová logika - XIV
Výroková a predikátová logika - XIV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIV ZS 2018/2019 1 / 20 Nerozhodnutelnost Úvod Rekurzivní a rekurzivně
13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Přijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
Výroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.
13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Pomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
Aplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Cíle přednášky: 1. Definovat, za jakých okolností můžeme problém považovat za efektivně algoritmicky řešitelný. 2. Charakterizovat určitou skupinu úloh, pro které není
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ
Aplikovaná matematika I
Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Arnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
Systém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Matematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
Výroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Třída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.
VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní
[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
![[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.](/thumbs/73/69005299.jpg "[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.")
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Algebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.
Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
pochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor
NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
Algoritmizace. Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010
Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2010 Úvod stránky předmětu: https://cw.felk.cvut.cz/doku.php/courses/a4b33alg/start cíle předmětu Cílem je schopnost samostatné implementace různých variant základních
Numerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří
Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
![Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)](/thumbs/96/128965676.jpg "Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)")
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
Náhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
Lineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Výroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
Úvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu