7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 1. 7 Konvoluce a Fourierova transformace konvoluce. Korelace, autokorelace

Transkript

1 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 7 Konvoluce Fourierov trnsformce onvoluce. Korelce, utoorelce 7. Definice onvoluce Konvolucí f( f ( f ( dvou funcí f (, f (, E N, se rozumí integrál f( f ( f ( f ( f ( d N. ( Podmíny existence jsou složité. Nědy se uvádí ([], str. 56 jo dostčující podmín bsolutní integrovtelnost spoň jedné z funcí f (, f (. Jinou dostčující podmínou je existence N ntu, v němž jsou obě funce bsolutně integrovtelné (tj. npř. existence integrálů f 0 0 ( d N, f 0 0 ( d N. Konvoluce má mnoho plicí ve vědě technice. Prvděpodobně nejčstější plicí onvoluce je tzv. superpoziční integrál v teorii lineárních (čsově nebo prostorově invrintních systémů. Předstvuje li f ( vstupní signál h( tzv. impulsovou odezvu systému (tj. odezvu systému n vstupní signál předstvovný Dircovou distribucí δ(, je výstupní signál f ( chrterizován superpozičním integrálem f ( f ( h( d N, ( jenž má tvr onvoluce. (Podrobnosti viz npř. [], str. 68, [], str. 59. Tto plice ( je význmným rgumentem proto, by onvoluce byl definován právě integrálem (, dy integrční proměnná v rgumentu jedné z funcí vystupuje ve tvru. Argumentem mtemticé povhy pro definici onvoluce ve tvru ( je, že jde o operci, jež je oběm funcím f, f omuttivní (viz vzthy 7.( v dlším textu. Jiné operce tohoto typu, npř. orelce definovná v odst. 7.5, nejsou omuttivní. Pro nás je tuálně důležitý velmi speciální přípd onvoluce, to onvoluce funce Dircovy distribuce, jež má význm posunutí funce (viz obr. : Podle definice onvoluce ( má totiž levá strn rov. (3 tvr f( δ( 0 f( 0. (3 f( δ( 0 f( δ( ( 0 d N, z něhož vzhledem filtrční vlstnosti Dircovy distribuce vyplývá pltnost rov. (3. x x 0 f( x-x 0 0 x f( x Obráze : Posunutí funce f( o vetor 0.

2 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 7. Vlstnosti onvoluce (i Konvoluce je omuttivní: f ( f ( f ( f (. ( O pltnosti vzthu ( se přesvědčíme substitucí z v definičním integrálu 7.(: f f (ii Konvoluce je socitivní: f ( f ( d N f ( z f ( z d N z f f. Záměnou pořdí integrce dostneme (f f f 3 f (f f 3. ( (f f f 3 z f ( f ( f ( z d N f 3 ( z d N z z f ( z f 3 ( z d N z d N. Substitucí z p ve vnitřním integrálu oznčením g f f 3 dostneme (f f f 3 f ( f ( p f 3 ( p d N p d N p f ( g( d N f g f (f f 3. (iii Pro onvoluci pltí distributivní záon (f + f f 3 f f 3 + f f 3. (3 Pltnost vzthu (3 je zřejmá z toho, že integrce v definici onvoluce 7.( je lineární opercí. (iv Z téhož důvodu je zřejmé, že pro libovolnou onstntu pltí (v Trnslce onvoluce: Pltí li f ( f ( f(, pltí té (f f (f f. (4 Vlstnost (5 lze doázt s pomocí vzthů 7.(3 7.(, 7.(: f ( 0 f ( f( 0. (5 f ( 0 f ( ( f ( δ( 0 f ( f ( ( δ( 0 f ( f ( ( f ( δ( 0 ( f ( f ( δ( 0 f( δ( 0 f( 0.

3 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 3 (vi Integrál z onvoluce dvou funcí je roven součinu integrálů obou funcí: f ( f ( d N d N f ( d N f ( d N. (6 Pltnost tohoto tvrzení se doáže substitucí t ve vnitřním integrálu po záměně pořdí integrcí: f ( f ( d N d N f ( f ( d N d N f ( f ( t d N t d N t f ( d N f ( t d N t. t 7.3 Fourierov trnsformce onvoluce Fourierov trnsformce součinu Nechť FT { f ( } F ( X FT { f ( } F ( X. P (i tedy FT { f ( f ( } A N F ( XF ( X ( (ii tedy FT { F ( XF ( X } A N f ( f (. ( FT { f (f ( } B N F ( X F ( X (3 FT { F ( X F ( X } B N f (f (. (4 Vyjádřeno slovy: (i Fourierov trnsformce onvoluce funcí je úměrná součinu Fourierových trnsformcí těchto funcí. (ii Fourierov trnsformce součinu dvou funcí je úměrná onvoluci Fourierových trnsformcí těchto funcí. Důz tvrzení (i je sndný zládá se n záměně pořdí integrcí: FT { f ( f ( } A N f ( AN exp ( i X d N. f ( f ( d N exp ( ix d N f ( exp [ ix ( ] d N ( Výrz ve složené závorce je roven F ( X nezávisí n integrční proměnné vnějšího integrálu, tže jej lze vytnout před integrál:

4 4 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE FT { f ( f ( } F ( X A N F ( X, což je tvrzení (. Důz tvrzení (3 je o něco složitější. Funce f ( f ( v onvoluci vyjádříme inverzními Fourierovými trnsformcemi, záměnou pořdí integrcí zísáme vnitřní integrál, jenž je Dircovou distribucí využitím filtrční vlstnosti této distribuce se dostne tvrzení (3: FT { f ( f ( } A N A N B N Z A N B N A N B N f ( f ( exp ( i X d N Y F ( Z exp ( i Z d N Z Y F ( Y F ( Y exp ( i Y d N Y Z exp( i X d N F ( Z exp [ i( Y + Z X ] d N d N Z d N Y F ( Y F ( Z ( N π δ( Y + Z X d N Z d N Y Y Z B N F ( Y F ( X Y d N Y B N F ( X F ( X. Y Vzth ( může být užitečný pro výpočet deonvoluce. Předpoládejme npříld, že známe výstupní funci f ( lineárního prostorově invrintního systému se známou impulsovou odezvou h( že chceme zjistit vstupní funci f (. Superpoziční integrál f ( f ( h( (5 (srov. 7.( tomu nelze bezprostředně použít. Podle vzthu ( vš pro Fourierovu trnsformci vzthu (5 pltí F ( X A N F ( X H( X, (6 de H( X je Fourierov trnsformce impulsové odezvy (nzývá se čsto přenosovou funcí systému. Odtud můžeme vypočítt vstupní funci f ( inverzní Fourierovou trnsformcí f ( FT { F ( X } { A N FT F ( X } H( X. (7 7.4 Příldy Vzthy 7.3( ž 7.3(4 jsou příhodné té pro výpočty Fourierových integrálů. Zejmén tehdy, dyž počítáme Fourierovu trnsformci nějé složitější funce, terou lze povžovt z součin nebo onvoluci dvou nebo něoli jednodušších funcí. Uvedeme něoli příldů:

5 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE Příld: f(x cos(x rect ( x b, > 0, b > 0. Jde zřejmě o funci cos(x omezenou n intervl x ( b/, b/ (viz obr.. Její Fourierovu trnsformci vypočteme opět pomocí vzthu 7.3(3: Podle vzthů 3.(.3(6 je Obráze : Grf funce f(x cos(x rect ( x b, > 0, b > 0. { ( x } F (X FT cos(x rect B FT { cos(x } { ( x } FT rect. ( b b tže FT { cos(x } B { ( x } FT rect b [ ( δ X ( + δ X + ], Ab sin( b X b X, F (X A b sin ( b X [ ( b X δ X ( + δ X + ] [ A b [ ( ] sin b X ( b + sin[ ( ]] b X + X ( b X + [ ( sin b X ] b A b b X b + sin( b X + b b X + b. ( Poud nespecifiujeme vzájemný vzth prmetrů b, nemá smysl výrz ( dále uprvovt. Je vš z něho zřejmé, že poud je b π má Fourierov trnsformce F (X vždy význmná mxim přibližně v bodech X ±, F (±. A b, jež odpovídjí distribucím δ(x ± ve Fourierově trnsformci funce cos x. (Jsou dobře ptrná té z obrázů 4 6 v dlším textu. Zvolme prmetr b t, by funce cos(x rect ( x b obshovl celočíselný počet půlperiod funce cos(x. Dosáhneme toho tím, že položíme b mπ, de m,,... znčí počet půlperiod. Výrz ( při této hodnotě prmetru b má tvr [ F (X A mπ ( sin mπ X mπ mπ X mπ [ A ( sin mπ X m π X + sin A ( X [ X + sin( mπ X + mπ mπ X + mπ ( mπ ( mπ cos sin X + m π X + ( mπ ] ] X sin ( mπ ( mπ cos ] X. (3

6 6 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE Předpoládejme, že funce cos(x rect ( x b obshuje sudý počet půlperiod, tj. celistvý počet period. P m p, p,,..., tže b pπ. Poněvdž sin(pπ 0, cos(pπ ( p, zjednoduší se výrz (3 do tvru F (X A ( p Grfy funce (4 pro p p 6 jsou n obrázcích 3 4. X ( ( X sin pπ X (4 Obráze 3: Grf funce f(x cos(x rect ( x π její Fourierovy trnsformce F (X A X sin ( π X ( X. Obráze 4: Grf funce f(x cos(x rect ( x π její Fourierovy trnsformce F (X A X sin ( 6π X ( X. Předpoládejme nyní, že funce cos(x rect ( x b obshuje lichý počet půlperiod. P m p, p,,..., tže b (p π. Poněvdž sin ( p π ( p, cos ( p π 0, zjednoduší se výrz (3 do tvru F (X A ( p ( p ( X cos π X. (5 Grfy funce (5 pro p p 6 jsou n obrázcích Příld: f(x sin( x (obr. 7 Tuto funci můžeme povžovt z součin f(x sin( x sgn(x sin(x x x sin(x. Její Fourierovu trnsformci můžeme tedy vypočítt pomocí vzthu 7.3(3:

7 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 7 Obráze 5: Grf funce f(x cos(x rect ( x π její Fourierovy trnsformce F (X A cos( π X. ( X Obráze 6: Grf funce f(x cos(x rect ( x π její Fourierovy trnsformce F (X A cos( π X ( X. F (X FT { sin( x } { } x B FT FT { sin x }. (6 x Obě Fourierovy trnsformce jsme vypočetli již dříve: Dosdíme je do (6 máme FT { sin(x } FT { sin( x } A Konvoluci sndno vypočteme. Je totiž { } x FT A i x X,.7(7 i [ ( δ X ( + δ X + ]. 6.( B [ ( X δ X ( + δ X + ]. Tže (X X δ (X X δ + FT { sin( x } A Grfy funcí (7 (6 jsou n obr. 7 [ X ( y δ X y dy ( y δ X + y dy + ] X + A X, X +. ( X. (7

8 8 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE Obráze 7: Grfy funcí sin( x FT { sin( x } A ( X při > Příld: f(x step(x sin(x (obr. 8 Fourierovu trnsformci této funce zísáme velmi sndno, neboť je lineární ombincí již vypočtených Fourierových trnsformcí. Poněvdž step(x ( + x x, je FT { step(x sin(x } FT{ sin(x } + FT{ x x sin(x} (8 i [ ( δ X ( + δ X + ] + A 4B ( X. (9 Grf funce step(x sin(x i její Fourierovy trnsformce (9 je n obr. 8. Obráze 8: Grf funce step(x sin(x její Fourierovy trnsformce (8 při > Korelce utoorelce Korelce (nglicy cross correltion funcí f ( f ( bývá v litertuře definován různými způsoby, teré n neštěstí nejsou evivlentní, zejmén dyž jde o omplexní funce. Přidržíme se zde definice, terá je nejvhodnější pro plice v teorii difrce (srov. odst. 7.6 v dlším textu definujeme orelci integrálem f( f ( f ( f ( f ( + d N. ( Podmíny existence integrálu ( jsou obdobné jo u onvoluce. V ždém přípdě integrál ( existuje, je li spoň jedn z funcí f (, f ( bsolutně integrovtelná. Substituce z +, resp. z + / vedou evivlentnímu vyjádření orelce:

9 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 9 resp. f( f ( z f ( z d N z, ( f( f ( z / f ( z + / d N z. (3 Prticý význm orelce spočívá v tom, že vyjdřuje jousi míru podobnosti obou funcí. V teorii omunice se jí používá nlezení známé funce v zšumělém signálu. Definice orelce je formálně podobná definici onvoluce. Existují vš podsttné rozdíly mezi orelcí onvolucí. Především orelce není omuttivní. Pro orelci totiž pltí Lze se o tom přesvědčit úprvou prvé strny této rovnice: f ( f ( f ( f (. (4 f ( f ( f ( f ( d N f ( f (. Souvislost mezi onvolucí orelcí vyjdřují rovnice f ( z f ( z d N z f ( f ( f ( f ( f ( f (, (5 f ( f ( f ( f (. (6 O pltnosti těchto rovnic se lze přesvědčit porovnáním definičního integrálu 7.( pro onvoluci integrálu ( pro orelci. Položíme li v definičním integrálu ( orelce f f f, mluvíme o utoorelci funce f(: f( f( f ( f( + d N. (7 V plicích ve struturní nlýze se utoorelce reálné funce f( nzývá zobecněnou Pttersenovou funcí (viz npř. [3], str. 9. Z rovnice (6 z omuttivnosti 7.( onvoluce plyne f( f( f ( f( f( f (. (8 7.6 Fourierov trnsformce součinu f( f ( inverzní Fourierov trnsformce součinu F ( X F ( X Při experimentech se téměř vždy registruje intenzit záření, nioli omplexní mplitud, tj. vlnová funce příslušného vlnění. Uvedeme příld z optiy, dy preprát f(x, x je osvětlen rovinnou vlnou zobrzen čočou. Chceme li zregistrovt vlnění v rovině těsně z preprátem, neregistrujeme funci f(x, x, le intenzitu f(x, x f (x, x. Podobně chceme li zregistrovt difrční jev v obrzové ohnisové rovině čočy, neregistrujeme Fourierovu trnsformci F (X, X, le čtverec modulu Fourierovy trnsformce F (X, X F (X, X. Podobně je tomu ve struturní nlýze. Npř. v rentgenové difrtogrfii dává experiment nioliv Fourierovu trnsformci F ( X eletronové hustoty preprátu, le intenzitu, tj. funci úměrnou čtverci modulu Fourierovy trnsformce, tj. F ( X F ( X. Má tedy smysl vyšetřit, (i j souvisí Fourierov trnsformce funce f( s Fourierovou trnsformcí F ( X funce f( (ii j souvisí inverzní Fourierov trnsformce funce F ( X s funcí f(, tj. Fourierovou trnsformcí čeho je F ( X.

10 0 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE (i Počítejme tedy FT { f( }. Podle věty 7.3(3 o Fourierově trnsformci součinu je FT { f( f ( } B N F ( X FT { f ( }. Fourierovu trnsformci funce f ( jsme vypočítli v odst..6. Podle.6( je Je tedy FT { f ( } F ( X. FT { f( } B N F ( X F ( X B N F ( X F ( X. ( Fourierov trnsformce čtverce modulu funce je tedy úměrná utoorelci Fourierovy trnsformce funce. (ii Obdobně postupujeme při výpočtu FT { F ( X }. Použitím 7.3(.6( dostneme FT { F ( X F ( X } A N f( FT { F ( X } A N f( f ( A N f( f(. Je tedy čtverec modulu Fourierovy trnsformce funce úměrný Fourierově trnsformci utoorelce funce: F ( X A N FT { f( f ( } A N FT { f( f( }. ( Kdybychom tedy vypočítli nebo experimentálně zísli inverzní Fourierovu trnsformci intenzity I( X F ( X, zísli bychom nioli funci f( chrterizující objet, nýbrž pouze její utoorelci. To je dobré mít n pměti zejmén v přípdech, dy funce její utoorelce mjí obdobný vzhled (mřížy. Reference [] Gsill J. D.: Liner Systems, Fourier Trnsforms, & Optics. John Wiley & Sons, New Yor 978. [] Komrs J.: Vlnová opti, část Difrce světl. Ademicé nldtelství CERM, Brno 004. [3] Cowley J. M.: Diffrction Physics. nd ed. North-Hollnd Publ. Co., Amsterdm 99.