Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018"

Transkript

1 Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018

2 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta

3 Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost 301 (středa, po domluvě em) Cvičení navazují na přednášku Zápočet a zkouška Zápočet Domácí úkoly: 3 samostatné domácí práce, odevzdání na cvičení. Zápočtové testy: na přednášce (8-8:45). První: 5. března Opravy po domluvě s cvičícím. Zkouška Písemná část: příklady Ústní část.

4 Organizace předmětu a zdroje informací Tématické celky: I. Lineární algebra příklady: II. Diferenciální počet Funkce více proměnných III. Integrální počet. Dvojné, trojné, křivkové, plošné. dvojný: integral trojný křivkový

5 Lineární algebra Požadované znalosti Soustavy lineárních rovnic: věta o existenci a počtu řešení řešení Gaussovou eliminační metodou řešení Cramerovym pravidlem Operace s maticemi sčítání, násobení číslem maticové násobení určení hodnosti výpočet determinantu určení inverzní matice řešení maticové rovnice výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů Vektorové prostory lineární závislost a nezávislost vektorů, báze vektorového prostoru zdroje informací: příklady:

6 Soustavy lineárních rovnic Z jakých úloh? Nejstarší zaznamenaná úloha na soustavy rovnic (cca 200 př.n.l.): Tři snopy dobrého obiĺı, dva snopy průměrného a jeden podřadného se prodávají celkem za 39 dou. Dva snopy dobrého obiĺı, tři průměrného a jeden podřadného se prodávají za 34 dou. Jeden snop dobrého obiĺı, dva průměrného a tři podřadného se prodávají za 26 dou. Jaká je cena za jeden snop dobrého / průměrného / podřadného obiĺı? Zapsáno dnešní matematikou, dostáváme soustavu rovnic, kde x, y, z jsou neznámé pro ceny za jeden snop dobrého / průměrného / podřadného obiĺı. Analytická geometrie Vzájemná poloha přímek a rovin. Interpolace a aproximace hodnot z měření Fyzika Elektrické obvody,...

7 Analytická geometrie připomenutí Rovina (E 2 ) a prostor (E 3 ) přímka zadaná body A = [a x, a y, a z ], B = [b x, b y, b z ]: v rovině p : x = a x + t (b x a x ) y = a y + t (b y a y ) q : rovina zadaná body A = [a x, a y, a z ], B = [b x, b y, b z ], C = [c x, c y, c z ]: v prostoru x = a x + t (b x a x ) y = a y + t (b y a y ) z = a z + t (b z a z ) t R ρ : x = a x + r (b x a x ) + s (c x a x ) y = a y + r (b y a y ) + s (c y a y ) z = a z + r (b z a z ) + s (c z a z ) r, s R Analytické vyjádření přímky v rovině: p : ax + by + c = 0 roviny v prostoru: ρ : ax + by + cz + d = 0

8 Vektory Fyzika, geometrie: Vektor u je množina všech souhlasně orientovaných rovnoběžných úseček stejné délky. u = B A Algebra Aritmetický vektor u je uspořádaná n-tice (reálných čísel): u R 2, R 3,... R n Pro aritmetické vektory definujeme operace: sčítání vektorů násobení vektoru (reálným) číslem Nulový vektor: o = (0,..., 0) Opačný vektor u Lineární kombinace vektorů: u 1,..., u n R n, α 1,..., α n R: α 1 u α n u n

9 Soustava rovnic v maticovém zápisu úloha o snopech obiĺı Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 Definice(Vektor). Reálný n-rozměrný (aritmetický) vektor je matice typu n 1 x = x 1 x 2. x n Označení: prvek na pozici (i, j) matice A:a ij množina všech reálných matic typu m n: R m n. Je-li m = n, potom matici nazýváme čtvercovou. Množina všech n-rozměrných vektorů se značí R n (namísto R n 1 ).

10 Maticový zápis soustavy rovnic Mějme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2,. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b n. Řešením rozumíme každý vektor x vyhovující všem rovnicím. Matice soustavy je matice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a m1 a m2 a mn a rozšířená matice soustavy je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n (A b) =... a m1 a m2 a mn b 1 b 2. b n

11 Geometrický význam soustavy rovnic Mějme dvě rovnice o dvou neznámých, m = n = 2, tedy a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1, 2x 1 x 2 = 3, a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2. 2x 1 + 3x 2 = 11. První rovnice popisuje přímku v R 2 (při a 11 0 a 12 0), (p : 2x y 3 = 0) druhá také, (q : 2x + 3y 11 = 0). Řešení soustavy leží tedy v průniku obou přímek. Podobně pro n = 3, každá rovnice popisuje rovinu v prostoru R 3 a řešení představuje průnik těchto rovin. x + y + z = 4 2x 3y + z = 3 x + 2y 2z = 1

12 Příklad Pro příklad o snopech obiĺı je soustava rovnic: úloha o snopech obiĺı 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26, která se maticově zapíše: Rozšířená matice soustavy plně popisuje soustavu rovnic. řádky odpovídají rovnicím, sloupce vlevo neznámým.

13 Elementární řádkové úpravy Definice Elementární řádkové úpravy jsou 1 vynásobení i-tého řádku číslem α 0 (tj. vynásobí se všechny prvky řádku), 2 přičtení α-násobku j-tého řádku k i-tému, přičemž i j, 3 výměna i-tého a j-tého řádku. Elementární řádkové operace zachovávají množinu řešení soustavy.

14 Postup řešení soustavy rovnic Gaussovou eliminací Pomocí elementárních úprav převedeme rozšířenou matici soustavy na jednodušší matici, ze které řešení snadno určíme. Ten jednodušší tvar matice se nazývá odstupňovaný tvar matice. Definice (Odstupňovaný tvar matice). Matice A R m n je v řádkově odstupňovaném tvaru, pokud existuje r takové, že platí řádky 1,..., r jsou nenulové (tj. každý obsahuje aspoň jednu nenulovou hodnotu), řádky r + 1,..., m jsou nulové, a navíc označíme-li p i nejmenší číslo sloupce, ve kterém a ij 0, tak platí p 1 < p 2 < < p r. Každou matici lze prevést elementárními řádkovými úpravami do odstupňovaného tvaru. Sloupce p 1,... p r nazveme bázické, ostatní nebázické.

15 Převod do odstupňoveného tvaru Například následující postup převádí matici do odstupňovaného tvaru. Krok 1: Položíme číslo řádku i=1, číslo sloupce j=1. Krok 2: Pokud pro všechny další řádky k i a sloupce l j platí : a k,l = 0, končíme (ve zbývající části matice už nejsou nenulové prvky). Krok 3: Výběr aktuálního sloupce j (přeskočíme nulové podsloupečky). Najdeme nejmenší číslo sloupce l j takové, že v řádcích k i je v tomto sloupci aspoň jeden nenulový prvek. Tento sloupec bude aktuálním sloupcem, tj. j = min{l : l j, a kl 0 pro nějaké k i}. Krok 4: Výběr aktuálního řádku i. Jesliže a ij = 0, najdeme řádek k i, ve kterém a ik 0, a vyměníme řádky k a i. Krok 5: Elementární úprava řádků k > i (v těchto řádcích vynulujeme zbývající prvky sloupce j). Ke všem prvkům řádků k > i přičteme a kj a ij násobek řádku i. Krok 6: Zvětšíme i o 1, j o 1 a pokračujeme krokem 2.

16 Příklad převodu matice na odstupňovaný tvar Soustavě rovnic odpovídá rozšířená matice upravujeme: 2x 1 + 2x 2 x 3 + 5x 4 = 1 4x 1 + 5x 2 + 9x 4 = 3 x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 4 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 7x 4 = kterou postupně

17 Existence a počet řešení Z odstupňovaného tvaru rozšířené matice soustavy poznáme, zda soustava rovnic má nebo nemá řešení: Soustava nemá řešení, je-li aspoň jeden řádek ve tvaru ( b 0), (takový řádek odpovídá rovnici :0x 1 + 0x x n = b 0). Jinak řešení existuje; bud jediné nebo nekonečně mnoho. Z rozšířené matice soustavy vyškrtneme všechny nulové řádky. Soustava má jediné řešení, pokud v matici po vyškrtnutí nulových řádků zůstalo tolik řádků, kolik je neznámých. Toto řešení získáme postupným výpočtem neznámých od poslední k první, zdola nahoru tak, že z poslední rovnice vypočteme poslední neznámou, tu dosadíme do všech předcházejících rovnic; z předposlední.. druhé rovnic vyjádříme předposlední.. druhou neznámou a dosadíme do všech předcházejících rovnic; z první rovnici vyjádříme první neznámou. Soustava nekonečně mnoho řešení, pokud po vyškrtnutí nulových řádků zůstalo méně rovnic než neznámých. Řešení vyjádříme přes volné proměnné.

18 Vyjádření řešení zpětnou substitucí Mějme soustavu rovnic v odstupňovaném tvaru Řešení existuje, provedeme zpětnou substituci. x 4 = 1 x 3 je volná (nebázická) proměnná x 2 = 1 + x 4 2x 3 = 2 2x 3 x 1 = 1 2 (1 5x 4 + x 3 2x 2 ) = x 3 4 Řešení zapíšeme ve tvaru x = x , x 3 R

19 Příklad o snopech obiĺı Maticový zápis: Převod na odstupňovaný tvar: Existuje jediné řešení, rovnice: z = = 11 4 = 2.75, 2. rovnice: y = 1 5 (24 z) = ( ) = = 17 4 = 4.25, 1. rovnice: x = 1 3 (39 2y z) = 1 3 ( ) 11 4 = 37 4 = 9.25 Ceny jednoho snopu obiĺı jsou: 9.25 dou za dobré, 4.25 dou za průměrné, 2.75 dou za podřadné.

20 Příklad: Vzájemná poloha rovin a) b) x + y 4z = 9 x + y 4z = 1 x + y + 2z = 3 x + y + 2z = 2 x + y z = 6 x + y z = 3 Společné body (x, y, z) najdeme, vyřešíme-li soustavy rovnic. Maticové zápisy: Po úpravě na odstupňovaný tvar: a) b) a) b) řešení nemá řešení z = 1, y = t, x = 5 t, t R 3 roviny nemají společné body Roviny a) mají společnou přímku, určenou bodem [5, 0, 1] a směrovým vektorem ( 1, 1, 0) 1 2 3

21 Příklad Uvažujme elektrický obvod jak je vyznačený na obrázku. Chceme-li určit hodnoty elektrických proudů I 1, I 2, I 3, využijeme fyzikálních zákonů: 1. Ohmův zákon: Napětí je rovno součinu proudu a odporu: U = IR, 2. Kirchhoffův zákon o proudu: Součet proudů vstupujících do uzlu se rovná součtu proudů z uzlu vystupujících. 3. Kirchhoffův zákon o napětí: Součet napětí ve smyčce je roven nule. Kirchhoffův zákon o proudu: rovnice I 1 + I 2 I 3 = 0. Kirchhoffův zákon o napětí (spolu s Ohmovým zákonem) pro smyčku DABE dává rovnici 10I 1 10I 2 = 10, pro smyčku EBCF : 10I I 3 = 5. (Smyčku DABCFE již uvažovat nemusíme, nebot vyplývá z předchozích dvou.)

22 Tím dostáváme soustavu rovnic Převedeme na odstupňovaný tvar: Vyřešením dostaneme: I 1 = 0.7A I 2 = 0.3A I 3 = 0.4A 0 1 2

23 Frobeniova věta Definice Hodnost matice Hodností matice rozumíme počet nenulových řádků po převodu do odstupňovaného tvaru. Značíme rank(a) (nebo h(a)). Frobeniova věta charakterizuje řešitelnost soustav rovnic pomocí hodností matice a rozšířené matice soustavy: Soustava (A b) má (aspoň jedno) řešení právě tehdy, když rank(a) = rank(a b) (h(a)=h(a b)) Je-li h(a) = h(a B) =počet neznámých, má soustava jediné řešení. Je-li h(a) = h(a B) <počet neznámých, má soustava nekonečně mnoho řešení. V angličtině tuto větu nazývají Rouchého Capelliho věta, v Rusku Kroneckerova Capelliho věta a ve Španělsku Rouchého Frobeniova věta. Můžete se setkat i s názvem Rouché-Fonteného věta.

24 Frobeniova věta (a hodnosti matic) v příkladech 1 O snopech obiĺı: hodnost matice soustavy: rank(a) = 3, hodnost rozšířené matice: rank(a b) = 3 řešení existuje počet neznámých (3) = hodnosti matice jediné řešení 2 Vzájemná poloha rovin: hodnost matice soustavy: rank(a) = 2, hodnost rozšířené matice: a) rank(a b) = 2 řešení existuje počet neznámých (2) < hodnosti matice řešení. b) rank(a b) = 3 řešení neexistuje 3 Elektrický obvod: hodnost matice soustavy: rank(a) = 3, hodnost rozšířené matice: rank(a b) = 3 řešení existuje počet neznámých (3) = hodnosti matice jediné řešení

25 Homogenní soustava rovnic Soustava Ax = 0 s nulovou pravou stranou se nazývá homogenní. Evidentně, nulový vektor je vždy jejím řešením. Příklad x 1 +x 2 3x 4 x 5 = 0 x 1 x 2 +2x 3 x 4 = 0 4x 1 2x 2 +6x 3 +3x 4 4x 5 = 0 2x 1 +4x 2 2x 3 +4x 4 7x 5 = Hodnost matice soustavy je 3, neznámých 5 řešení. Řešení vyjádříme pomocí 2 parametrů: x 5 = p, nebo x 5 = 6p, x 3 = q, p, q R. x 5 = 6p x 4 = 2p x 3 = q x 2 = 5p + q x 1 = 7p q x x x = x 3 x = p + 1 q, p.q R 0 x 5 6 0

26 Soustavy rovnic s parametry Provedeme diskusi řešení soustav vzhledem k parametru a: Příklad x 2y +z = 1 x y +3z = 0 x 4y 3z = a Příklad x +y = 1 x ay = a 2 a y = a

27 Slovní úlohy 1 Zvětšíme-li jednu stranu trojúhelníka o 11 cm a druhou stranu o 11 cm zmenšíme, dostaneme rovnostranný trojúhelník. Když první stranu vynásobíme čtyřmi, je o 10 cm větší než trojnásobek třetí strany. Vypočtěte velikosti stran trojúhelníka. 2 Kyselina sírová je složena z vodíku, síry a kysĺıku. Poměr hmotnosti vodíku a síry je 1 : 16 a poměr hmotnosti kysĺıku a síry je 2 : 1. Kolik každého prvku obsahuje 1323 g kyseliny? 3 Hutník má čtyři různé slitiny, které obsahují cín, olovo, vizmut a kadmium. První slitina obsahuje 20 kg cínu a 10 kg olova. Druhá obsahuje 12 kg olova a 6 kg cínu. Třetí obsahuje 10,5 kg vizmutu, 6,4 kg olova a 3,1 kg cínu. Poslední slitina obsahuje 10 kg vizmutu, 5 kg olova, 2,5 kg kadmia a 2,5 kg cínu. Jaké množství každé slitiny je třeba použít na přípravu slitiny, která by obsahovala 81 kg vizmutu, 75 kg olova, 15 kg kadmia a 40 kg cínu?

28 Vektorové prostory Definice Neprázdná množina V, ve které jsou definovány dvě operace: sčítání prvků (z množiny V) násobení prvků (z množiny V) reálnými čísly tvoří vektorový prostor, pokud platí: uzavřenost ( u, v V, α R : v 1 + v 2 V, αv 1 V) existence neutrálního prvku ( o V : v V : o + v = v + o = v) existence inverzního prvku: ( v V u V : u + v = o), takový prvek označujeme opačný, u = v komutativnost a asociativnost operace sčítání, tj. v 1, v 2 V : v 1 + v 2 = v 2 + v 1 v 1, v 2, v 3 V : (v 1 + v 2 ) + v 3 = v 1 + (v 2 + v 3 ) 1 R : v V : 1v = v α, β R, v V : α(βv) = (αβ)v distributivita α R, u, v V : α(u + v) = αu + αv α, β R, v V : (α + β)v = αv + βv

29 Příklady vektorových prostorů 1 R n 2 R m n 3 P Polynomy s reálnými koeficienty proměnné x 4 P n Polynomy nejvýše n-tého stupně s reálnými koeficienty proměnné x 5 F Reálné funkce f : R R 6 C Spojité funkce f : R R 7 C [a,b] Spojité funkce na intervalu a, b f : a, b R Sloupcový a řádkový prostor matice. Ke každé matici máme přirozeně přiřazeny dvě skupiny aritmetických vektorů, řádkové a sloupcové. Prostorům, které generují, říkáme řádkový a sloupcový prostor.

30 Lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů Definice (lineární kombinace). Je-li u 1, u 2,..., u n skupina vektorů ve vektorovém prostoru V a α 1, α 2,..., α n jsou reálná čísla, pak vektor α 1 u 1 + α 2 u α n u n (který je rovněž vektorem ve V) nazýváme lineární kombinací vektorů u 1, u 2,... u n. Definice (lineární závislost a nezávislost vektorů). Skupinu vektorů u 1, u 2,..., u n nazýváme lineárně závislou (LZ), jestliže existují reálná čísla α 1, α 2,..., α n, z nichž alespoň jedno je různé od nuly a platí α 1 u 1 + α 2 u α n u n = o. Pokud α 1 u 1 + α 2 u α n u n = o pouze pro α 1 = α 2 = = α n = 0, nazýváme skupinu vektorů lineárně nezávislou (LN). Tvrzení. Je-li jedním ze skupiny vektorů u 1, u 2,..., u n z vektorového prostoru V nulový vektor, pak tato skupina je LZ. Skupina vektorů u 1, u 2,..., u n (kde n > 1) z vektorového prostoru V je LZ právě tehdy, je-li možné alespoň jeden z vektorů této skupiny vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů skupiny. Sloupce matice A tvoří LN skupinu vektorů právě když existuje jediné řešení soustavy Ax = o

31 Báze vektorového prostoru O vektorovém prostoru V řekneme, že je n rozměrný (dimv = n), jestliže v prostoru existuje skupina n vektorů, která je lineárně nezávislá a každá skupina více než n vektorů je lineárně závislá. Dimenze (rozměr) vektorového prostoru V je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů, které lze ve V nalézt. Definice (báze vektorového prostoru). Necht V je n rozměrý vektorový prostor. Každou lineárně nezávislou skupinu n vektorů z V nazýváme bází prostoru V. Tvrzení. Je-li u 1, u 2,..., u n báze vektorového prostoru V, pak každý vektor z V lze vyjádřit jediným způsobem jako lineární kombinaci vektorů této báze.

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b, Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A

VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.

Více

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.

x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b. 1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné

Více

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic 1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)

Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u) Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong

Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong Armstrong Zuzana Došlá, Petr Liška Matematika pro nematematické obory x z y s aplikacemi v přírodních a technických vědách Zuzana Došlá, Petr Liška Matematika pro nematematické obory x z y s aplikacemi

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více