Hydromechanika Proudění tekutin a základy hydrodynamiky

Transkript

1 Hyromechanika Prouění tekutin a záklay hyroynamiky Ing. Kamil Fojtášek, Ph.D. 0

2 Rozělení rouění a záklaní ojmy Rozělení ole fyzikálních lastností tekutin ) Prouění ieální (okonalé, neazké) kaaliny Prouění tekutiny a) Potenciální rouění (neířié) - částice se ohybují římočaře nebo křiočaře o ráhách tak, že ůči ozoroateli se neotáčejí kolem lastní osy (ozice trojúhelníků na obrázku). s Potenciální (neířié) Prouění ieální tekutiny Vířié Laminární Prouění skutečné tekutiny Turbulentní Mezi otenciální rouění atří roněž otenciální ír, u něhož částice krouží kolem íroého lákna otenciálně s ýjimkou částice, která toří lákno. b) Vířié rouění částice se ůči ozoroateli natáčejí kolem lastních os. s

3 Rozělení rouění a záklaní ojmy Rozělení ole fyzikálních lastností tekutin ) Prouění skutečné tekutiny (s nitřním třením) Prouění tekutiny a) Laminární rouění - částice se ohybují e rstách (eskách), aniž se řemísťují o růřezu. Prouění ieální tekutiny Prouění skutečné tekutiny Potenciální (neířié) Vířié Laminární Turbulentní b) Turbulentní rouění částice mají kromě ostuné rychlosti turbulentní (fluktuační) rychlost, jíž se řemísťují o růřezu. Prouěním skutečných tekutin se bueme orobněji zabýat ozěji.

4 Rozělení rouění a záklaní ojmy Rozělení ole kinematických hleisek Prouění tekutiny Usořáání rouění PROSTORU Rozložení rychlosti rostoru Záislost rouění na ČASE D rouění jenorozměrné, o křice = (s); = (x) D rouění ourozměrné, roinné = (x, y) 3D rouění trojrozměrné, rostoroé = (x, y, z) Ronoměrné (yinuté ři rouění otrubím) rouění (x, y, z) Neronoměrné rouění, rychlosti se rostoru mění. Ustálené (stacionární) rouění, je nezáislé na čase (t); t = 0 Neustálené (nestacionární) rouění, šechny jeho eličiny (rychlost, tak, telota at.) jsou záislé na čase. Ve skutečnosti je rouění žy rostoroé (trojrozměrné), ale některých říaech ro usnanění řešení je oažujeme za roinné (ourozměrné). Naříkla ři obtékání kříla letala se stejným rofilem o celém rozětí a s konstantním úhlem náběhu. V blízkosti osy kříla je e šech roinách x, y kolmých na křílo obraz obtékání stejný a složka rychlosti e směru osy z blízká, nebo rona nule. Tento řeokla nelatí u konců kříla, ke znikají koncoé íry. Při rouění otrubím se uažuje jeen rozměr rouění a je jenorozměrné (osa otrubí může být křikou a růřez otrubí se může měnit). 3

5 Pohyb tekutin Při yšetřoání ohybu tekutiny můžeme ostuoat ěma různými metoami. Lagrangeoa metoa Můžeme sleoat ohyb určité částice tekutiny, což je analogické yšetřoání hmotného bou mechanice tuhých těles. Tato metoa je nazýána Lagrangeoa metoa (ne zcela řesně, neboť jí už říe osal Euler). Sočíá určení olohy kažé částice rostoru jako funkce času t a očáteční olohy a, b, c: x = f x a, b, c, t y = f y a, b, c, t z = f z a, b, c, t Pro stlačitelnou tekutinu je třeba olnit ztah ro hustotu ρ = f ρ (a, b, c, t) Tato metoa naráží zraila na neřekonatelné matematické otíže. Proto se mechanice tekutin častěji oužíá ruhá metoa. Euleroa metoa Sleuje rouění tekutiny určitém místě (nař. změnu rychlosti a tlaku). Rychlostní ole, které je obecném říaě s časem roměnné, je ak určeno funkcemi: x = F x x, y, z, t y = F y x, y, z, t z = F z x, y, z, t A roněž je nutné řiojit staoou ronici tekutiny ρ = F ρ x, y, z, t Je třeba si uěomit, že aným místem rotékají různé částice tekutiny, což ee k složitějšímu yjáření zrychlení částice tekutiny e sleoaném místě. 4

6 Pohyb tekutin Rozíl mezi oběma metoami záleží lastně na e olbě souřaného systému, k němuž rouění ztahujeme. Rychlost rouění měříme žy k zolenému souřanému systému (ohybliému nebo enému) a rychlost je tey relatiní eličina. U Lagrangeoy metoy je souřaný systém ázán na tekutinu. Sojíme-li souřaný systém s některou ohybující se částicí tekutiny, ooíá to říau ky ozoroatel laec se nechá unášet rouem. U Euleroy metoy rotéká tekutina eným souřaným systémem. To ooíá říau ky ozoroatel seí na břehu řeky. Dráha, neboli trajektorie je obecně čarou, kterou robíhá částice tekutiny. Za ustáleného rouění se ráhy částic nemění s časem, zatím co u neustáleného rouění mohou být kažém časoém okamžiku olišné S 3 S Prounice jsou obálkou ektorů rychlostí a jejich tečny uáají směr ektoru rychlosti t = 0 n Prouoá trubice je tořena sazkem rounic, které rocházejí zolenou uzařenou křikou k. V kažém boě láště rouoé trubice normáloá složka rychlosti nuloá n = 0. Nemůže tey žáná částice rojít rouoou trubici. Plášť rouoé trubice má stejné lastnosti jako rounice Q 0 S k Q 0 S Q Q 0 Q S k S k Q 0 5

7 Ronice kontinuity Při rouění tekutin musí být slněn obecně latný fyzikální zákon o zachoání hmotnosti. Pro kontrolní objem, kterým rouí tekutina, musí být hmotnost tekutiny konstantní, a tey její celkoá změna nuloá. U kontrolního objemu mohou zniknout ě změny hmotnosti. Lokální změna hmotnosti (tekutina se stlačuje, nebo rozíná) a konektiní změna hmotnosti, která je zůsobena rozílem řitečené a otečené hmotnosti z konstantního objemu. Obě změny musí áat nuloou změnu hmotnosti, což je možné jen tehy, kyž jsou obě ílčí změny stejně elké, ale oačného znaménka (tey jena znamená zětšení a ruhá zmenšení hmotnosti). V technické raxi jsou běžné říay jenorozměrného rouění, ři němž se růřez a tey i rychlost mění. Pro tento řía si ooíme říslušnou ronici kontinuity. 6

8 Ronice kontinuity ro jenorozměrné rouění Uažujeme jenorozměrné neustálené rouění stlačitelné tekutiny rouoou trubicí s roměnným růřezem. Z ní se ytkne elementární část ohraničená stuním růřezem S a elementární élkou s. Elementární kontrolní objem toří áleček, jehož záklanami rotéká tekutina. Plášť kontrolního objemu je tořen rounicemi, z toho ůou je tok touto částí kontrolní lochy nuloý, neboť latí n = 0 na celém lášti. Rozložení rychlosti o růřezu rouoé trubice uažujeme ronoměrné. Při neronoměrném rozložení rychlosti o růřezu uažujeme její stření rychlost. 7

9 Ronice kontinuity ro jenorozměrné rouění Konektiní změna hmotnosti Hmotnost kaaliny, která řiteče o kontrolního objemu za čas t je určena ztahem: m k = ρs t Hmotnost kaaliny, která yteče z kontrolního objemu za čas t ruhou záklanou álečku, tj. e zálenosti s, je určena ztahem: m k = m k + s m k s m k = ρs t + s ρs t s Rozíl řitečené a otečené hmotnosti z elementárního objemu je konektiní změna hmotnosti čase t a je určena ztahem: m k = m k m k = s ρs t s Pozn: ρ = m V kg m 3 m = ρ V hmotnost za čas m = ρ kg m 3 S m m s hmotnostní růtok 8

10 Ronice kontinuity ro jenorozměrné rouění Lokální změna hmotnosti Na očátku sleoaných změn hmotnosti je kontrolním álečku hmotnost tekutiny: m l = ρs s Za čas t se změní hmotnost tekutiny kontrolním álečku na honotu: m l = m l + t m l t m l = ρs s + t ρs s t Změna hmotnosti tekutiny kontrolním objemu za čas t je lokální změna hmotnosti: m l = m l m l = t ρs s t 9

11 Ronice kontinuity ro jenorozměrné rouění Pro slnění zákona o zachoání hmotnosti (m = konst) musí být celkoá změna hmotnosti m nuloá, latí tey: m = m k + m l = s ρs t s + t ρs s t = 0 V obecném říaě jenorozměrného rouění tekutiny se řeokláá stlačitelná tekutina ρ = ρ s, t, roměnný růřez rouoé trubice S = S(s, t) (nař. ružná haice, rouění kanálech ao.) a neustálené rouění = (s, t). Vzhleem k tomu, že časoá změna t a osunutí s nejsou na sobě záislé (s a t jsou nezáisle roměnné), uraí se ronice takto: s ρs + t ρs = 0 Hustota ρ, locha (růřez) otrubí S a rychlost rouění kaaliny jsou roměnné na élce zoleného objemu s. Hustota ρ a locha (růřez) otrubí S jsou roměnné čase t (rychlost roměnná čase není, řeokláali jsme neustálené rouění) Tohle je obecná ronice kontinuity ro jenorozměrné rouění. 0

12 Ronice kontinuity ro jenorozměrné rouění Zjenoušení ronice kontinuity: Pro tuhé otrubí latí S = S s a ronice se ále uraí: s ρs ρ + S t = 0 Další zjenoušení ronice je ro ustálené rouění, ky latí t = 0. V tomto říaě jsou hustota, růřez a rychlost jen funkcí olohy (souřanice s), ρ = ρ s ; S = S s ; = (s) a ronice kontinuity se ále zjenouší: s ρs = s ρs = 0 Po integraci latí ro jenu rouoou trubici: Q m = ρ S = konst Veličina Q m je hmotnostní růtok. Uáá hmotnost roteklé tekutiny za jenotku času, tey: Q m = m kg s t V kažém růřezu jené rouoé trubice musí být slněna ronice ρ S = ρ S = ρ S = konst. Pro nestlačitelné kaaliny je hustota konstantní ρ = konst, takže ronice se zjenouší na známý tar Q = S = konst Veličina Q je objemoý růtok a uáá objem kaaliny za jenotku času, tey: Q = V t m 3 s

13 Ronice kontinuity ro rostoroé rouění Prostoroé rouění je obecnější řía než jenorozměrné rouění. z y 0 x y z + z x y + y Tekutina téká o hranolu z leé strany rychlostí x. y z Vytéká z něj na raé straně rychlostí x + x = x + x x x z x + x x V rouoém oli tekutiny se ytkne kontrolní oblast e taru hranolu o stranách x, y a z, jehož objem V je: V = x y z Tímto hranolem rotéká tekutina rychlostí, jež má složky e směru tří souřaných os x, y, z, které jsou kolmé na elementární lošky zoleného hranolu. Kontrolní objem se zolil elmi malý iferenciálních rozměrů, aby se rychlosti růtoku elementárními loškami mohly uažoat konstantní. Změny hmotnosti ři růtoku elementárním kontrolním objemem se yřeší ostuně e směrech os x, y, a z. Plochy hranolu, jimiž rotéká kaalina e směru osy x, jsou S x a jsou stejné z obou stran. Obobně tomu bue také e směrech os y a z řitéká y a z. y + y = y + y y y z + z = z + z z z

14 y m ky Ronice kontinuity ro rostoroé rouění (konektiní změna hmotnosti) Do hranolu tey řiteče e směru osy x za čas t hmotnost tekutiny m kx : m kx = ρ x S x t A yteče hmotnost tekutiny m kx : m kx = m kx + x m kx x = ρ x S x t + x ρ xs x t x z 0 m kx y m kz x m kz m ky z m kx x Rozíl řitečené a ytečené hmotnosti tekutiny z hranolu e směru osy x je: m kx = m kx m kx = x ρ xs x t x = (ρ x) Vt x což latí za řeoklau, že růřez S x nezáisí na souřanici x. Analogicky získáme obobné ýrazy ro růtok tekutiny e směru osy y a z. m ky = (ρ y) y Vt m kz = (ρ z) Vt z Takže rozíl řitečené a otečené hmotnosti tekutiny lochami hranolu je án součtem: m k = m kx + m ky + m kz m k = (ρ x) x Vt + (ρ y) y Vt + (ρ z) z Vt 3

15 Ronice kontinuity ro rostoroé rouění (lokální změna hmotnosti) Půoní hmotnost tekutiny m l elementárním kontrolním objemu V, je: m l = ρ V Za časoý okamžik t se hmotnost tekutiny změní na m l : m l = m l + t m l t Lokální změna je ána rozílem: m l = m l m l = ρ t Vt Vzhleem k tomu, že hmotnost tekutiny je konstantní (m = konst), musí celkoá změna hmotnosti být nuloá: m = m k + m l = 0 Dosaíme-li o řechozí ronice: m = (ρ x) Vt + (ρ y) x y Vt + (ρ z) z V kažém členu řeešlé ronice se objeuje Vt, tey o ykrácení tímto ýrazem ostaneme: (ρ x ) + (ρ y) + (ρ z) + ρ x y z t = 0 Tohle je obecná ronice kontinuity ro neustálené rostoroé rouění stlačitelné tekutiny. Vt + ρ t Vt = 0 4

16 Euleroa ronice hyrostatiky z y 0 F x y F z F y x x F y a y a x x a z F y a x F z F x z x F x + x Už jsme si řekli, že Euleroa ronice hyrostatiky je obecná ronoáha sil ůsobících na kaalinu za kliu. Jen ro zoakoání, obecný záis byl: F + F o = 0 ke F jsou síly lošné (tlakoé) nař. F = S a F o jsou síly objemoé (hmotnostní) nař. F o = m g Celé oození těchto ronic jsme si efinoali na elementárním objemu kaaliny V e taru hranolu o stranách x, y a z, ronoběžných se zolenými osami x, y, z. F x = F x F x = y z + x y z F ox = a x m = a x ρ V = a x ρ x y z F x + F ox = 0 ρa x x x = 0 x = x x a x ρ x = 0 a y ρ y = 0 a z ρ z = 0 Konečný tar e ektoroém záisu byl: Ԧa gra Ԧ = 0 ρ 5

17 Euleroa ronice hyroynamiky y F y F z Euleroa ronice hyroynamiky yjařuje ronoáhu sil hmotnostních (objemoých), tlakoých (lošných) a setračných o lastního ohybu částic okonalé tekutiny. F x y a y a z a x z F x F + F o = F s Z rouu okonalé tekutiny se ybere elementární objem V e taru hranolu o stranách x, y a z, ronoběžných se zolenými osami x, y, z. Na tento objem ůsobí stejně jako hyrostatice tlakoé F a hmotnostní síly F m. Výslenice těchto sil se roná setračné síle F s F + F m = F s z 0 F z x F y x Ronoáhu ueených sil je možno rozesat ro šechny tři zolené směry kolmých os. Ve směru osy x ůsobí elementární tlakoá síla F x = F x F x = y z + x y z = x y z F y x x a x F x a nější hmotnostní síla: F ox = a x m = a x ρv = a x ρ x y z x + x Setračná síla ohybující se částice tekutiny je F sx = m a = m x t = ρ x y z x t 6

18 Euleroa ronice hyroynamiky y F y F z Pro ueené síly musí být slněna omínka ronoáhy e směru osy x F x + F ox = F sx Po osazení oozených ýrazů F x a y a x F x x y z + a x ρ x y z = ρ x y z x t z 0 y F z x a z F y z x Po matematických úraách (ykrácení celé ronice ýrazem ρ x y z a zhleem k tomu, že x = x je o úraě ronoáha sil ři rouění tekutiny yjářena (ro ostatní složky y a z je oození analogické) a x ρ x = x t a y ρ x y = y t a z ρ z = z t F y x x x a x F x + x Toto jsou záklaní ohyboé ronice okonalé tekutiny. Síly jsou yjářeny ro jenotku hmotnosti, takže řestaují zrychlení. Vektoroým sečtením těchto ronic se yjáří ronoáha sil rouící okonalé tekutině Ԧa Ԧ gra = ρ t 7

19 Euleroa ronice hyroynamiky Výslené nější zrychlení (hmotnostní síla na jenotku hmotnosti) je Ԧa = Ԧia x + Ԧja y + ka z Celkoé zrychlení částice tekutiny je áno eriací rychlosti ole času. Rychlost Ԧ je obecně funkcí olohy částice a času, tey = (x, y, z, t). Její iferenciál je Ԧ = x + y + z + x y z t t Zrychlení částice tekutiny (zrychlení je rychlost za čas, řechozí ronici oělíme t) Ԧ t = x x t + y y t + z z t + t t t Násleně o úraě (ráha za čas je rychlost) Ԧ t = x x + y y + z z + t Konektiní zrychlení Lokální (místní) zrychlení Prní tři členy řechozí ronice řestaují konektiní zrychlení a je možno je yjářit omocí graientu jako skalární součin rychlosti Ԧ a jejího graientu Ԧ gra Ԧ = (Ԧi x + Ԧj y + k z ) Ԧi + Ԧj + k x y z Člen t řestauje lokální (místní) zrychlení. Euleroa ronice e ektoroém záisu má tar: Ԧa ρ gra = Ԧ gra Ԧ + Ԧ t Tuto ohyboou ronici ro okonalou tekutinu ooil oré Leonar Euler roce 755 Petrohraě. 8

20 Bernoulliho ronice ro okonalou kaalinu Při rouění okonalé tekutiny ůsobí na její částečky síly, které ři osunutí o elementární ráze s konají elementární ráci. Sečtením těchto elementárních rací na konečné élce o rounici, tj. integrací, získá se ztah rací neboli energií rouící tekutiny. Aby bylo možno roést integraci, řeokláá se, že nější hmotnostní síla na jenotku hmotnosti (neboli nější zrychlení), které ůsobí na rouící tekutinu, je otenciální. Pak se á yjářit otenciálem U a latí: Ԧa = grau = Ԧi U U U + Ԧj + k x y z Vzhleem k tomu že Ԧa = Ԧia x + Ԧja y + ka z Pak složky nějšího zrychlení jsou určeny ztahy a x = U x a y = U y a z = U z 9 Ke otenciál nějších sil (na jenotku hmotnosti) neboli zrychlení U = U(x, y, z) je funkcí olohy.

21 Bernoulliho ronice ro okonalou tekutinu Dosaí-li se tento ýraz o Euleroy ronice hyroynamiky a určí se elementární ráce skalárním součinem sil a osunutí Ԧs, ostane se (osaíme za Ԧa = gra U, celou ronici roznásobíme Ԧs) gra U Ԧs ρ elementární osunutí je Ԧs = gra Ԧs = Ԧ gra Ԧ Ԧs + Ԧ t Ԧi x + Ԧj y + k z Prní člen ronice, skalární součin graientu a osunutí je roen iferenciálu gra U Ԧs = Ԧi U x + Ԧj U y Ԧs + k U z Ԧi x + Ԧj y + k z = U x x + U y y + U z z = U Práce A je síla na ráze (tyický říkla je nař. íst motoru) A = ԦF Ԧs A = න s ԦF Ԧs Euleroa ronice hyroynamiky yjařuje ronoáhu sil F + F o = F s Euleroa ronice e ektoroém záisu má tar: Ԧa ρ gra = Ԧ gra Ԧ + Ԧ t 0

22 Bernoulliho ronice ro okonalou tekutinu Dosaí-li se tento ýraz o Euleroy ronice hyroynamiky a určí se elementární ráce skalárním součinem sil a osunutí Ԧs, ostane se (osaíme za Ԧa = gra U, celou ronici roznásobíme Ԧs) gra U Ԧs ρ elementární osunutí je Ԧs = Druhý člen ronice gra Ԧs = Ԧ gra Ԧ Ԧs + Ԧ t Ԧi x + Ԧj y + k z Ԧs Práce A je síla na ráze (tyický říkla je nař. íst motoru) A = ԦF Ԧs A = න s ԦF Ԧs Euleroa ronice hyroynamiky yjařuje ronoáhu sil F + F o = F s Euleroa ronice e ektoroém záisu má tar: Ԧa ρ gra = Ԧ gra Ԧ + Ԧ t ρ gra Ԧs = ρ Ԧi + Ԧj + k x y z Ԧi x + Ԧj y + k z = ρ x x + y y + z z = ρ

23 Bernoulliho ronice ro okonalou tekutinu Dosaí-li se tento ýraz o Euleroy ronice hyroynamiky a určí se elementární ráce skalárním součinem sil a osunutí Ԧs, ostane se (osaíme za Ԧa = gra U, celou ronici roznásobíme Ԧs) gra U Ԧs ρ gra Ԧs = Ԧ gra Ԧ Ԧs + Ԧ t Ԧs elementární osunutí je Ԧs = Ԧi x + Ԧj y + k z Třetí člen ronice Ԧ gra Ԧ Ԧs = Ԧi x + Ԧj y + k z Ԧi x Poslení člen ronice necháme e taru = Ԧi x + Ԧj y + k z + Ԧj + k y z Ԧi x + Ԧj y + k z = x x + y y + z z = Ԧ t Ԧs

24 Bernoulliho ronice ro okonalou tekutinu U ρ = + Ԧ t Ԧs Integrál uraené ronice se yočítá na ráze mezi růřezy a Ԧ න U න ρ = න + න Ԧs t U U P P = Ԧ + න Ԧs t Pro liboolný růřez rouoé trubice latí ronice Ԧ + P U + න Ԧs = konst t Tato ronice latí ro neustálené rouění, a ro určitý časoý okamžik. Konstanta má obecně kažém čase jinou honotu. Pro ustálené rouění se oslení ronice zjenouší, rotože integrál na leé straně, který yjařuje záislost rychlosti na čase je nuloý. + P U = konst Což je záklaní Bernoulliho ronice ro okonalou tekutinu. 3

25 Bernoulliho ronice ro okonalou tekutinu Veličina P je tlakoá funkce, již určíme integrací ýrazu, ρ kyž známe staoou změnu a její ronici ρ = f(). Pro nestlačitelnou kaalinu je ρ = konst a tlakoá funkce P = + konst. Působí-li na tekutinu jen tíhoé zrychlení, je nější ρ zrychlení a y = g. Záorné znaménko je ueeno roto, že klaný smysl zolené osy je oačný než smysl ůsobení tíhoého zrychlení. Příslušný otenciál siloého ole (ro tíhoé zrychlení) je tey a y = U y = g. Potenciál tíhoé síly je funkcí jen jené roměnné U = U(y), ak latí U y = U y, neboli U = g y. Integrací se určí otenciální funkce U = g y + konst = g h + konst. Pro nestlačitelnou kaalinu za ůsobení tíhoého zrychlení a ro ustálené rouění je Bernoulliho ronice yjářena ztahem Tato ronice řestauje zákon zachoání energie rní člen je kinetická energie, ruhý člen ρ ooíá tlakoé energii a třetí člen g h je roen olohoé (otenciální) energii hmotnosti jenotky kaaliny. Součet kinetické, tlakoé, a olohoé energie řestauje celkoou mechanickou energii kaaliny. Energie ztažené na jenotku hmotnosti se nazýají měrné energie e = E m Tuto ronici uel oré roce 738 Daniel Bernoulli. + ρ + g h = konst 4

26 Bernoulliho ronice ro okonalou tekutinu Součet šech energií, tj. kinetické, tlakoé a olohoé je celkoá mechanická energie kaaliny, která ole Bernoulliho ronice je kažém růřezu jené a téže trubice konstantní. Bernoulliho ronice yjařuje zákon o zachoání energie ři rouění okonalé tekutiny za ůsobení tíhoého zrychlení. Jenotlié členy ronice je možno znázornit jako úsečky. Součet ýšek o liboolně zolené ooroné roiny určuje iagramu čáru mechanické energie a je roen konstantě Bernoulliho ronici + ρ + g h = + ρ + g h = = g H = konst Bernoulliho ronice latí ro rouoou trubici, jejíchž růřezech je rychlost ronoměrně rozložena. Při neronoměrném rozložení rychlosti je nutno olit rouoou trubici elmi malých růřezů, aby rozíl rychlostí o růřezu rouoé trubice byl zanebatelný. Jinak je nutno řihlížet k neronoměrnému růběhu rychlosti, což yjařuje stření rychlost ole kinetické energie. 5

27 Bernoulliho ronice ro okonalou tekutinu Do Bernoulliho ronic je možno osait absolutní tlaky nebo relatiní tlaky, ašak na obě strany ronice shoně. Buiž znou zůrazněno, že ronice latí ro okonalou kaalinu, tey bez nitřního tření a nestlačitelnou. Bernoulliho ronice ro okonalou kaalinu saná ro a růřezy jené a téže rouoé trubice obsahuje šest eličin:,, h,,, h. Hustota kaaliny se oažuje za známou. Aby se omocí Bernoulliho ronice určily arametry rouění, musí být očet neznámých a očet ronic stejný. Při řešení nejjenouššího říau lze tey z Bernoulliho ronice yočíst jenu neznámou. Ostatní eličiny musí být známé. To je ůleţité ro raktické oužití Bernoulliho ronice, neboť rouoé trubici se musí nalézt jeen růřez, němž jsou šechny eličiny (,, h) známé. Druhý růřez je nutno olit téže rouoé trubici tam, ke je hleaná eličina (nař. rychlost ) a ostatní eličiny (, h) jsou známé. Při této olbě růřezů rouoé trubice lze yočíst neznámou eličinu. Bue-li íce neznámých eličin, je nutno oužít ronici kontinuity, oříaě alší Bernoulliho ronici ro jiný úsek rouoé trubice. Polohoá (otenciální) energie rouu kaaliny se určuje k liboolně zolené ooroné roině. Zraila se olí ekiotenciální locha nuloého otenciálu (U = 0) tak, aby rocházela níže oloženým růřezem. Jeho ýška je ak nuloá. Pro boy na roinou U = 0 je olohoá ýška klaná (ro boy o roinou U = 0 je záorná). Pro raktické oužití Bernoulliho ronice ro okonalou kaalinu je možno shrnout ostu o těchto raiel:. V rouoé trubici se zolí a růřezy. V jenom růřezu je nutno znát šechny eličiny (,, h). Druhý růřez se olí rouoé trubici místě, ke je hleaná eličina, řičemž ostatní ě eličiny jsou známé.. Rozhone se o zůsobu osazoání tlaků, a to jejich absolutní nebo relatiní honoty, ašak o jené a téže ronice se osazují oba tlaky shoně. 3. Zolí se liboolná ooroná roina, která se oažuje za ekiotenciální lochu nuloého otenciálu. Zraila se olí tak, aby rocházela jením z ybraných růřezů, a to nejčastěji níže oloženým. Polohoé ýšky se určí ke zolené ooroné roině. 6

28 Bernoulliho ronice Přeokláejme jenorozměrné rouění okonalé tekutiny rouoé trubici. Na její částečky ůsobí síly, které ři osunutí o l konají elementární ráci. Sečtením elementárních rací na konečné élce l o rounici, tj. integrací, se získá ztah rací neboli energií rouící tekutiny. A F l A l F l Pomínka ronoáhy sil je ána Euleroou ronicí hyroynamiky. Celkoou mechanickou energii tekutiny určíme integrací Euleroy ronice hyroynamiky o ráze. Euleroa ro. HD a gra D Dt a gra (. gra ). t

29 Pro rouoou trubici (otrubí) latí: = (t, l) = (t, l) Po těchto úraách ostaneme ro D rouění : grau a l gra l U a gra t gra a ).. ( l gra ) ( l t l l U

30 Euleroa ronice ro rouoou trubici má tar: Elementární ráce se určí skalárním součinem sil a osunutí l Pro integraci ostaneme ro ustálené rouění: Celkoou mechanickou energii tekutiny určíme integrací Euleroy ronice hyroynamiky o ráze. konst U [Jkg - ] 0 l l t l t l l U l l l t l l l l U l l l t l l l l U l l l l 0 konst U

31 Působí-li na tekutinu jen tíhoé zrychlení: U ghkonst a Bernoulliho ronice yjářena ztahem gh konst Součet kinetické, tlakoé, a olohoé energie řestauje celkoou mechanickou energii kaaliny. Jestliže se ronice ělí tíhoým zrychlením, ostane se g g h konst [m]. Tuto ronici uel oré roce 738 Daniel Bernoulli. Kažý člen ronice řestauje energii ztaženou na tíhoou jenotku tekutiny a formálně má rozměr ýšky. Prní člen je znám jako rychlostní ýška, ruhý člen je tlakoá ýška a třetí určuje olohoou (otenciální) ýšku.

32 Grafické znázornění Bernoulliho ronice čára energie 3 gh 3 3 gh gh gh 3 U 0 gh gh... gh konst

33 Zásay ro raktické oužití Bernoulliho ronice ro okonalou tekutinu V rouoé trubici se zolí a růřezy. V jenom růřezu je nutno znát šechny eličiny (,, h). Druhý růřez se olí rouoé trubici místě, ke je hleaná eličina, řičemž ostatní ě eličiny jsou známé. Rozhone se o zůsobu osazoání tlaků, a to jejich absolutní nebo relatiní honoty, ašak o jené a téže ronice se osazují oba tlaky shoně. Zolí se liboolná ooroná roina, která se oažuje za ekiotenciální lochu nuloého otenciálu. Zraila se olí tak, aby rocházela jením z ybraných růřezů, a to nejčastěji níže oloženým. Polohoé ýšky se určí ke zolené ooroné roině. Nyní se naíše Bernoulliho ronice a yočte neznámá eličina.

34 Výočet objemoého růtoku z ronice kontinuity 0 Q = S = S = S Neznáme rychlost rouění kaaliny trubici, oužijeme Bernoulliho ronici ro ieální (okonalou) kaalinu. Bernoulliho ronice 0 (hlaina ýtok z trubice) Hlainu nuloého otenciálu HNP olím níže oloženém růřezu ρ g h = 0 ρ + + g h 0 0 HNP Na hlaině a ýtoku z trubice jsou stejné tlaky 0. Rychlost oklesu hlainy zanebááme 0 = 0. Výškoá zálenost hlainy 0 o HNP je h. Výškoá zálenost hlainy o HNP je nuloá h 0 = 0. ρ g h = 0 ρ + + g h 0 0 g h = = g h To ooíá ztahu ro ýočet Torriceliho teoretické ýtokoé rychlosti. Násleně je možné oočítat objemoý růtok Q = S = π 4

35 0 Pro ýočet tlaku nejyšším místě trubice, oužijeme oět Bernoulliho ronici (musím zolit růřez, ruhý růřez je liboolný). Já olím hlainu 0, hlainu nuloého otenciálu HNP necháám stejnou jako řechozím ýočtu. Průměr otrubí je neměnný, tey i rychlost rouění můžeme uažoat jako konstantní =. Bernoulliho ronice ro hlainy (růřezy) 0 - ρ g h = ρ + + g h + h 0 HNP Rychlost oklesu hlainy zanebááme 0 = 0. Výškoá zálenost hlainy 0 o HNP je h. Výškoá zálenost hlainy o HNP je h + h. ρ g h = ρ + + g h + h 0 Vyjáříme tlak (ynásobíme celou ronici ρ a řeeeme šechny ostatní členy na ruhou stranu) = 0 + ρ g h ρ ρ g h + h je absolutní tlak ( aném říklau otlak)

36 Vzhleem k tomu, že známe objemoý růtok Q, rychlost na ýstuu z otrubí můžeme yočítat za užití ronice kontinuity Q = S = π 4 = 4 Q π Pro ýočet ýšky hlainy H oužijeme Bernoulliho ronici, nař. růřezy 0. 0 HNP Bernoulliho ronice ro růřezy 0 ρ g H = 0 ρ + + g h 0 g H = H = g

37 Pro ýočet tlaku sestaíme Bernoulliho ronici ro růřezy 0 - ρ g H = ρ + + g l 0 = 0 + ρ g H ρ ρ g l Pro ýočet růměru latí 0 x x tg δ = x l x = l tg δ = + x HNP l δ δ Z ronice kontinuity můžeme yočítat rychlost Q = S = π 4 = 4 Q π

38 Bernoulliho ronice ro lyny Pro lyny, které mají oronání s kaalinami malou hustotu, řeláá tlakoá a kinetická energie, olohoá energie se á ůči nim zanebat. U lynů je nutno určit tlakoou energii s řihlénutím ke stlačitelnosti tekutiny. Integrál Euleroy ronice ro rouění ieální tekutiny o ráze má tomto říaě tar P konst, ke P je tlakoá funkce, jež se určí integrací ýrazu kyž je známa staoá změna hustoty l gra l Pro rychlé ěje je nejbližší aiabatická změna, ři níž neochází k ýměně tela tekutiny s okolím.

39 Staoá ronice aiabatické změny konst Bernoulliho ronice ro aiabatické rouění okonalého lynu: konst Pomocí staoé ronice se Bernoulliho ronice na tar konst. rt κ κ rt κ κ Zaee-li se ále rychlost zuku, ostaneme a rt. konst a a

40 Při rouění skutečné kaaliny se rojeí li iskozity oorem roti ohybu. Smykoé naětí o iskozity je ole Newtona yjářeno ztahem : Záislost smykoého naětí graientu rychlosti e směru kolmém na směr ohybu je yjářena grafu Newtonská kaalina f y y Ieálně lastická (Binghamská) látka 0 ruzná látka, ke je ynamická iskozita y n = ieálni lastická-binghamská skutecná lastická n < seuolastická n < newtonská n = ilatantní n > ieální tekutina y B y Pro růběhy nelineární se oužíají mocninoé ztahy K y ke K je součinitel konzistence n je inex toku n Pa s

41 Třecí síla F t, kterou ůsobí azká kaalina na lochu S a kterou je nutno ři ohybu kaaliny řekonat, je určena ztahem: F t S S S y y Na řekonání tohoto hyraulického ooru se sotřebuje část mechanické energie kaaliny, což se rojeí oklesem rychlosti, tlaku nebo olohoé ýšky. Velikost hyraulických oorů záisí na režimu rouění otrubí, který může být laminární nebo turbulentní. Kritériem je Reynolsoo číslo Re s Laminární rouění Re 30 krit ke je stření rychlost otrubí, je růměr otrubí, je kinematická iskozita. Turbulentní rouění Re Rekr 30 Re Re 30 kr

42 Laminární a turbulentní rouění lze roněž ozoroat ři obtékání těles: Laminární obtékání álce Turbulentní obtékání álce Laminární obtékání leteckého rofilu Obtékání tělesa onorky

43 Turbulentní rouění říroě

44 Oba ruhy rouění se liší růběhem rychlosti čase, rychlostním rofilem i elikostí hyraulických ztrát (oorů) otrubí. Laminární rouění Turbulentní rouění záznam rychlosti čase záznam rychlosti čase x x y x T t T t Rychlostní rofil otrubí Záislost z = f () laminární turbulentní z t ~ l ~ 0

45 Laminární rouění otrubí kruhoého růřezu Laminární rouění trubici kruhoého růřezu nastane ři Re 30 V x Při řešení laminárního rouění se ulatňuje Newtonů ztah ro smykoé naětí: Lze ooit: y f y, f y V y x Přeoklay:. otrubí je ooroné - objemoé síly se neulatní. rouění je ustálené - setračné síly se neulatní 3. rouění je izotermní t = konst, = konst 4. laminární rouění e ooroném směru je yoláno tlakoým sáem z Na zolený objem kaaliny V ůsobí tey síly lošné a to třecí a tlakoé.

46 Pomínka ronoáhy sil třecích a tlakoých y F F F t 0 max F t F y F 0 x x s Na čelní lochu zoleného álečku ůsobí tlak, který se na élce x změní na (+). Tlakoé síly jsou ak ány: F y, F y Na lášti álečku ůsobí třecí síla Po osazení: y F t y yx 0 yx x y l z y

47 Diferenciální ronice rychlostního rofilu x Poronání oozeného ztahu ro smykoé naětí s Newtonoým ztahem: l z y y l Po integrací obržíme ronici z y K, 4 l 4 l z y 4 l z yy ke ro y je 0 a tey z 4 l z y K 4 l z Ronice araboly

48 Maximální rychlost je ose otrubí (y = 0), a to: Stření rychlost otrubí: s max 3 l z max 6 l z Objemoý růtok z ronice kontinuity: Q l z. S r.. r r r. r S z l Ronice se často označuje jako Hagen-Poiseuilleoa. Platí, oku se otrubí yine arabolický rychlostní rofil. V krátkých trubkách se laminární rychlostní rofil neyine, a roto u nich zákon Hagen-Poiseuilleů nelatí. Pro rozběhoou ráhu uáí Boussinesq ýraz Dalšími říay laminárního rouění je: x r 4 0,065Re rouění mezi ronoběžnými eskami, rouění e álcoé mezeře-mezikruží, stékání o sislé stěně

49 Laminární rouění úzké mezeře mezi ronoběžnými eskami Přeoklay:. mezera je ooroná li objemoé síly se neulatní. rouění je ustálené - setračné síly jsou nuloé 3. rouění je izotermní t = konst, = konst 4. rouění e ooroném směru je yoláno tlakoým sáem rychlostní rofil yh y l Ronice araboly Maximální rychlost je urostře zálenosti esek h, čili max l y stření rychlost h l h 8 l h y h h 3 růtok b Q h l s Q S Q bh s h l 3 max

50 Turbulentní rouění otrubí kruhoého růřezu. Turbulentní rouění trubici kruhoého růřezu nastane ři Re30 Turbulentní rouění je trojrozměrný, časoě roměnný ohyb tekutiny, ři němž eličiny charakterizující rouění (rychlost, tlak, hustota, telota) se mění nahoile čase. Okamžité honoty eličin neustále kolísají kolem stření honoty. V kažém okamžiku je naříkla rychlost ána součtem stření rychlosti a fluktuační složky. Pro složku rychlosti e směru x bue latit: x y x x Stření honota x res. y za čas T x x T Stření honota fluktuační složky nuloá T 0 x x t x T záznam rychlosti čase t x T x t 0 T 0

51 Smykoé naětí a rychlostní rofil ři turbulentním rouění y [m] 0 Boussinesq (877) zael zánliou (íroou) iskozitu, jež je analogií ynamické iskozity tekutiny. Na rozíl o ní není zánliá iskozita látkoou lastností, nýbrž je funkcí souřanic a je záislá na geometrii a alších charakteristikách rouoého ole a může být kažém místě rouu olišná. Výslené tečné naěti turbulentním rouu je rono součtu: t y Na stěně je efinoána třecí rychlost Rychlostní rofil x str = 0.8 max max osa r0 [m/s] stena * 0 Logaritmická funkce Mocninná funkce t * ln y K n y max R je tz. Kármánoa konstanta, jejíž honota se ohybuje kolem 0,4 a K je integrační konstanta n=f(re)

52 Exonent n a oměr rychlostí m Exonent n a oměr rychlostí m můžeme určit z omínky ronoáhy sil třecích a tlakoých. Jejich honoty latí ro určitý rozsah Re čísla: ro hyraulicky hlaké otrubí ro 80 Re 50 ro ětší rychlost rozsahu Re 0 n / 8 0.5, m Re 50 n / , m 0.87 Rychlostní rofil otrubí můžeme měřit (naříkla Pitotoou trubicí) a tey mocnitel n určit exerimentálně. V literatuře lze nalézt emirické ztahy ole různých autorů, naříkla ole Troskolanského 6 5 n /0 0., m n.03 lnre 3.6 n.03 lnre 3.6 Poměr stření a maximální rychlosti otrubí lze určit ze ztahu: m s max n n

53 Hyraulické oory (ztráty) Při rouění skutečných tekutin znikají náslekem iskozity hyraulické oory, tj. síly, které ůsobí roti ohybu částic tekutiny. Mechanismus hyraulických oorů je složitý je, který se osu neoařilo exaktně yřešit až na jenoušší říay laminárního rouění. Proto se hyraulických ýočtech ulatňuje řaa oloemirických meto. Po ojem hyraulické oory zahrnujeme ři rouění skutečné tekutiny šechny účinky, které zůsobují roztyl energie. Roztýlená (ztrátoá) energie na hyraulických oorech se rojeí buď jako tlakoý úbytek (ynucené rouění otrubí ao.), nebo úbytkem kinetické energie (ýtok z náob otory ao., anebo snížením olohoé energie (rouění korytech, graitační otrubí ao.) e z Y z z Jkg gh z otu z gh z Pa e z Z fyzikálního hleiska lze hyraulické oory (ztráty) rozělit na ztráty třením a ztráty místní.

54 Hyraulické oory (ztráty) třením o élce Ztráty třením znikají zájemným třením částic rouící tekutiny ři rozílných rychlostech a třením tekutiny o stěny otrubí (kanálu, a o.). Při rouění skutečné tekutiny je rozložení rychlostí ro růtočném růřezu neronoměrné a jenotliých rstách a na stěnách znikají tečné síly a naětí o iskozity. Ztráty třením lze efinoat stejným zůsobem ro laminární i turbulentní rouění omocí ztrátoé ýšky ole Darcy- Weisbacha: h z l g z g t g x = k z= - ke je třecí součinitel, l je élka otrubí, jeho růměr a je stření rychlost otrubí. Ztráty třením záisí na režimu rouění otrubí, který se určí na záklaě honoty Reynolsoa čísla. Re

55 Ztráty) třením o élce ři laminárním rouění Re 30 U laminárního rouění ro se elikost tlakoé ztráty či ztrátoé ýšky á ooit analyticky. Při řešení yjeme z ronice ro stření rychlost: s zaeeme-li s Re a ostaneme z 3. L z 64 Re l z s 3 l s l 3 l s s s s 64 ke třecí součinitel Pro otrubí nekruhoého růřezu latí analogická ronice ke A je funkcí taru růřezu, nař. a a 57 Re a a a s l s 9.4 Re 64 Re A Re

56 Ztráty) třením o élce ři turbulentním rouění Součinitel tření je záislý na elikosti Reynolsoa čísla a oměrné rsnosti, říaně řerácené honotě k k, ke k je absolutní rsnost stěny k r otrubí mm. Absolutní rsnost otrubí ostrá rsnost Materiál otrubí lnit á rsnost Půoní sta (mm) Korooaný sta (mm) Tažené trubky mosazné, měěné, hliníkoé 0,005 až 0,003 0,003 až 0, Bezešé trubky oceloé 0,04 až 0, 0, až 0,9 Tažené trubky oceloé 0,03 až 0, 0, až 0,9 Sařoané trubky oceloé 0,05 až 0, 0, až 0,9 Pozinkoané trubky oceloé 0,5 až 0,5 0,5 až 3,5 Voooní otrubí o 0-ti a íce letech roozu Skleněné trubky, trubky z lastů 0,00 5 až 0,0 0,6 až 3,0 ostrá rsnost lnit á rsnost Pryžoé haice 0,0 až 0,03 Betonoé otrubí 0,3 až 6,0

57 Z hleiska liu rsnosti na součinitel tření se rozěluje turbulentní rouění na tři oblasti: hyraulicky hlaké otrubí 0 Blasius: 0,364 4 Re Re k k f Re Re řechooá oblast turbulentního rouění f Re, Altšul: Re k 0.5 Colebrook:,5 log 0,7 Re k,5 ; log 0, 7 Re k yinuté turbulentní rouění (rsná otrubí) Nikurase: log,38 k k Re 9, f

58 Emirické ronice ro ýočet součinitele tření hyraulicky hlaké otrubí

59 Emirické ronice ro ýočet součinitele tření řechoná oblast turbul. rouění

60 Emirické ronice ro ýočet součinitele tření hyraulicky rsné otrubí (karatická oblast)

61 Nikuraseho iagram k f Re, Vli rsnosti otrubí yšetřoal Nikurase letech 930 až 933. V exerimentech oužil bronzoé otrubí kruhoého růřezu o různých růměrech. Nejre roel měření hlakém otrubí. Potom měnil rsnost otrubí naleením tříěných ískoých zrn. Křiky ro různé oměrné rsnosti k r se ooutáají o římky Blasioy, která řestauje růběh součinitele tření ro hlaké otrubí. S rostoucím Re číslem řecházejí soustau čar ronoběžných s ooronou osou.

62 Nikuraseho iagram ro otrubí s umělou rsností

63 Nikuraseho iagram ro otrubí s umělou rsností

64 Mooyho iagram

65 Ztráty třením turbulentního rouění otrubí nekruhoého růřezu Jsou určeny stejnými zorci jako ro kruhoé otrubí. Místo růměru kruhoého otrubí je šak třeba osait ekialent ro nekruhoé růřezy, omocí něhož se yočte Re-číslo, součinitel tření a ztrátoá ýška. Tento ekialent se nazýá hyraulický růměr h a je určen ztahem h 4 S o ke S je růtočná locha a o je omočený obo růřezu. Hyraulický růměr se může osait o ýrazu ro k r k h, Re h, h z h g, f Re, k r Pro řecho laminárního rouění turbulentní nekruhoých růřezech se uažuje kritická honota Reynolsoa čísla stejná jako u kruhoého otrubí.

66 Hyraulické oory (ztráty) místní Místní oory (místní ztráty) znikají krátkých úsecích otrubí, ke ochází ke změně charakteru rouu, tj. elikosti rychlosti a směru rouu, říaně k obojímu. Často ochází k otržení rouu o stěny a ke zniku íření, které je říčinou místní ztráty.

67 Hyraulické oory (ztráty) místní Velikost místní ztráty záisí na tyu, taru a konstrukci aného úseku otrubí nebo elementu a na materiáloém roeení, rsnosti, at. Je zřejmé, že k místním ztrátám bue ocházet e šech tarokách (kolena, obočky, sojky, ifuzory), armaturách (entily, šouátka, kohouty, klaky), měřících zařízeních (clony, ýzy, ooměry) a alších zařízeních (chlaiče, čističe, filtry). Velikost místních ztrát lze yjářit obobně jako ztrátu třením omocí ztrátoé ýšky, tlakoé ztráty, nebo součinitele místní ztráty. h z z e z gh z z m h z m g Honota ztrátoého součinitele m se určuje e ětšině říaů exerimentálně, zraila ři yšších Re číslech. Pro některé jenoušší říay lze součinitel místní ztráty ooit (náhlé rozšíření a zúžení růřezu, kuželoá otrubí).

68 Místní oory otrubí se mohou yjářit ekialentní élkou otrubí, němž je ztráta třením stejná jako místní ztráta. l g l g m e e m Při změnách růřezu se mění růtočná rychlost a místní ztráty se mohou yjářit záislosti na řítokoé rychlosti nebo otokoé rychlosti, řitom ro řeočet ztrátoých součinitelů lze ooit ztah: g g h zm Pro kruhoé růřezy latí: 4 S S 4 Pro raktické ýočty lze honoty součinitelů místní ztráty oečíst z grafů a nomogramů, které jsou součástí literatury zabýající se nárhem otrubního eení.

69

70

71 Ztráta náhlým rozšířením růřezu. Při náhlém rozšíření růřezu se otrhne rou kaaliny o stěn a ytoří se íry. Ve směru rouění klesá stření rychlost a stouá statický tlak. Zýšení tlaku bue nižší o ztrátu sojenou s rozšířením růřezu. Pomocí ronice Bernoulliho a ěty o změně hybnosti ooil Bora ztah ro ztrátoou ýšku: g g g h z, S S S S / 0,8 0,6 0,4 0, S /S 0,64 0,36 0,6 0,04 0 0,3 0,4 0,706 0,9 g h z

72 h z g

73 h z g

74 Ztráty ifuzorech Difuzor se oužíá hlaně tam, ke je třeba řeměnit kinetickou energii rouu na tlakoou (u ozukoých rychlostí) s nejmenšími ztrátami. S l k l S Celkoé ztráty ifuzoru je možno rozesat na ztrátu třením a ztrátu sojenou se změnou růřezu, takže h z h zt h zr h Do úhlu rozšíření až 8 o zůstáá rotažený rychlostní rofil symetrický k ose ifuzoru. Při alším zětšení úhlu se rou účinkem tlakoého graientu otrhne o stěny a symetrie rouu se oruší. Při úhlech rozšíření = 0 o až 50 o nastáá otržení rouu zraila o jené stěny, na níž je rychlost menší. V ifuzorech s ětšími úhly rozšíření než 50 o až 60 o nemůže rou sleoat stěny ifuzoru a otrháá se o celém růřezu. hz Ztráta ifuzoru g g z g g r, g ke r je stueň rázu, určí se měřením

75 Kuželoé otrubí Při zužoání růřezu je hyraulická ztráta zůsobena roněž třením a lze ji určit integrací na elementární élce kuželoého otrubí. 4 l l h z s 4 4 g x x l l l l h z g

76 Koleno A-A élka kolena nejsí stena o f R,,Re,geom. tar R A nitrní stena zt z z l

77 Ztrátoý součinitel ři rouění koleni

78 Oory armaturách Armatury (entily, šouátka, kohouty a klaky) slouží k uzaření otrubí nebo k regulaci růtoku či tlaku. Hyraulický oor je zůsoben jenak třením, ale hlaně ířením. Deskou šouátka, entilu, klaky nebo tělesem kohoutu se zužuje růtočný růřez. Prou kaaliny nesleuje okrajoými rounicemi řesně změny růřezu a ochází k otržení rounic a niku ířiých oblastí. Při zcela oteřených uzáěrkách mají být ztráty co nejmenší. Při lném oteření mají nejmenší oor šouátka a kohouty. SOUPÁTKO VENTIL KOHOUT KLAPKY z z Obecně záisí na konstrukčním roeení armatury, na jejím oměrném oteření a na Re-čísle. Určuje se měřením.

79

80

81

82 Reynolsoo číslo Re = ν Re krit = 30 Re Re krit laminární rouění Re > Re krit turbulentní rouění λ = 64 Re Hlaké otrubí: λ = 0,364 4 Re λ = 0, Drsné otrubí: 00 Re + k 0,5 Hyraulický růměr h = 4 locha obo = 4 S o 8

83 Re = ν e z = g h z = g h = g h h e z = z ρ z = e z ρ

84 Re = ν 30 laminární rouění λ = 64 Re e z = g h z = z ρ = λ l s l = z ρ λ s z = = 0

85 Re = ν 30 turbulentní rouění Hlaké otrubí: λ = 0,364 4 Re z = = 0 z ρ = λ l z = = ρ λ l (relatiní tlak) λ = 0, Drsné otrubí: 00 Re + k 0,5 z = = 0 z ρ = λ l z = = ρ λ l (relatiní tlak)

86 Hyraulický růměr h = 4 locha obo = 4 S o = 4 a b a + b Re = ν 30 turbulentní rouění Hlaké otrubí: λ = 0,364 4 Re e z = z ρ = g h z = λ l h z = λ g l Q = S = a b

87 Naier Stokesoa ronice - omínka ronoáhy sil ři rouění skutečné kaaliny Vyjařuje ztah, ky setračná síla je rona součtu hmotnostní, tlakoé a třecí síly: F o F F t F s F t S y S Tečné naětí je říčinou úhloé eformace elementárního objemu.

88 Naier Stokesoa ronice V omínce ronoáhy sil se musí objeit noý člen, yjařující třecí sílu. Pro nestlačitelnou kaalinu ostaneme: Zasáno ektoroě: a gra Δ. gra t ke je tz. Lalaceů oerátor x y z Zrychlení otřebné na řekonání azkého tření tekutiny. Naieroy-Stokesoy ronice atří mezi arciální iferenciální ronice nelineární a nejsou obecně řešitelné. Analytické řešení je ostuné ro jenoušší říay laminárního rouění. V současné obě i složité říay laminárního rouění jsou řešitelné numerickými metoami nař. metoou konečných objemů (metoa sítí). Tato ronice se o Euleroy ronice ro ieální tekutinu liší oslením členem na leé straně.

89 Bernoulliho ronice ro skutečnou kaalinu Všechny síly, a tey i třecí síla, ři osunutí o ráze konají ráci. Bernoulliho ronice ro skutečnou kaalinu musí tey na rozíl o ronice ro ieální kaalinu obsahoat alší člen, který řestauje ráci třecích sil na jenotku hmotnosti rouící tekutiny, U l l konst, ke.. l e l z e z je roztýlená (isioaná) měrná energie, nebo též měrná ztrátoá energie sotřeboaná na řekonání hyraulických oorů e z gh z z

90 Grafické znázornění BR ro skutečnou tekutinu ztrátoá ýška rychlostní ýška tlakoá ýška olohoá ýška Pro a růřezy h h g g g g h z Měrná ztrátoá energie zahrnuje součet šech hyraulických ztrát na úseku l mezi růřezy -, a řičte se na té straně ronice, která latí ro růřez rouoé trubice e směru rouění zálenější.

91 0 = = konst. ρ g h = 0 ρ + + g h 0 + e z g h = + e z e z = λ l + ζ = λ l + l + ζ + ζ + ζ 3 g h = + λ l + l g h = + λ l + l = + λ l + l g h + ζ + ζ + ζ 3 + ζ + ζ + ζ 3 + ζ + ζ + ζ 3 0 ρ g h = 0 ρ + + g h 0 g h = t = g h φ = t

92 π Q = S = 4 l e = σ ζ λ = ζ + ζ + ζ 3 λ 0-0 ρ g h = m ρ + + g h 0 + e z g h = m ρ + + e z e z = λ l + ζ + ζ g h = m ρ + + λ l + ζ + ζ m = ρ g h + ρ + λ l + ζ + ζ (relatiní tlak)

93 0 ρ g h = 0 ρ + + g h 0 + e z g h = + e z e z = λ l + ζ = λ l + l + ζ + ζ + ζ 3 g h = + λ l + l + ζ + ζ + ζ 3 g h = + λ l + l + ζ + ζ + ζ 3 ζ 3 = g h λ l + l ζ ζ l e = σ ζ λ = ζ + ζ + ζ 3 λ Q = S = 0 π 4 ρ g h = 0 ρ + + g h 0 g h = t = g h φ = t

94 ρ g h = 0 ρ + + g h 0 + e z ρ + g h = 0 ρ + + e z e z = λ l + ζ = λ l + ζ + ζ ρ + g h = 0 ρ + + λ l + ζ + ζ 0 ρ ζ = + g h = + λ l + ζ + ζ 0 + g h ρ λ l + ζ Q = S = ρ g h = 0 ρ + + g h 0 ρ + g h = 0 ρ + t = π 4 φ = t 0 ρ + g h

95 Obsah Měření tlaku Kaalinoé tlakoměry Měření tlaku a rychlosti otrubí Měření místní rychlosti Měření stření rychlosti

96 Měření tlaku Pole ruhu měřeného tlaku můžeme roést násleující ělení : tlakoměry absolutního tlaku akuometry (měřilo absolutního tlaku menšího než atmosférický tlak) manometry (tlakoměry ro měření řetlaku, tey relatiního tlaku) iferenční tlakoměry (ro měření rozílu ou současně ůsobících tlaků) barometry (měřilo atmosférického tlaku) Pole ýstuního signálu můžeme měřila rozělit o tří kategorií : mechanické hyrostatické elektrické Absolutní tlak je ztažen k akuu, zatímco tlak relatiní k tlaku ozuší.

97 Pole funkčního rinciu ělíme měřila tlaku o násleujících kategorií : kaalinoé tlakoměry -měření tlaku se řeáí na měření ýšky (élky) slouce kaaliny, tento úaj záisí na hustotě manometrické (měřicí) kaaliny. Jsou elmi řesné. ístoé tlakoměry se siloým účinkem - měření tlaku se řeáí na měření síly, jejíž účinky jsou yažoány nař. záažím či ružinou. eformační tlakoměry - měřený tlak zůsobuje ružnou eformaci tlakoměrného členu. Velikost eformace je úměrná honotě měřeného tlaku. Jsou to nejčastěji oužíané tlakoměry růmyslu. elektrické tlakoměry - yužíají rinciu tlakoé záislosti některých elektrických eličin. Jená se o moerní a ersektiní snímače olněné esměs moerními elektronickými yhonocoacími oboy.

98 Měření tlaku Kaalinoé tlakoměry Jsou to nejjenoušší tlakoměry, které se oužíají řeeším jako laboratorní ro elmi řesná měření malých a střeních tlaků. Velikost tlaku je ána ýškou slouce kaaliny. 0 Piezometrická trubice je nejjenoušším měřícím zařízením. Toří ji ertikální trubice, která je řiojena k náobě (otrubí) e které je měřen tlak, ruhý konec je oteřen o tlaku ozuší. A A 0 gh Pole očtu kaalin na jenokaalinoé nebo oukaalinoé. U oukaalinoých tlakoměrů se oužíají tlakoé kaaliny, které se zájemně nemísí a mají různou hustotu.

99 Měření tlaku U-trubice Jsou to skleněné trubice taru U se ěma sislými ětemi, které jsou nalněné tlakoměrnou kaalinou. Jsou-li a a současně ůsobící rozílné tlaky, ak jejich rozíl je m gh

100 Měření tlaku Náobkoé tlakoměry Jsou oozeny z U-trubicoých tlakoměrů. Jeno rameno toří náobka, jejíž růměr je mnohem ětší než růměr trubice, takže něm hlaina kolísá zcela neatrně. Tlak se oečítá ouze na jené stunici. Jsou-li a a současně ůsobící rozílné tlaky, ak jejich rozíl je S m g h h m gh S

101 Měření tlaku Je to ostatě náobkoý tlakoměr, jehož trubice je skloněna o určitým úhlem. Použíají se ro měření elmi malých řetlaků nebo malé tlakoé iference. Kaalinoé tlakoměry se skloným ramenem Jsou-li a a současně ůsobící rozílné tlaky, ak jejich rozíl je sin l S S g h S S g h h g m m m

102 Měření rychlosti otrubí Měření rychlostí je jenou ze záklaních úloh exerimentu mechanice tekutin. V raxi se ulatňují metoy neřímé, ky rychlost je měřena omocí tlaku, jak ylýá z Bernoulliho ronice: gh konst Protože ztráty třením jsou na malé zálenosti oběroých míst zanebatelné, může se ři měření tlaků a rychlosti otrubí alikoat Bernoulliho ronice ro okonalou kaalinu. s max Při jenorozměrném rouění nař. uzařených kanálech nebo otrubích skutečná tekutina na stěně lí a rychlost na stěně nuloá. V ostatním růřezu je rychlost neronoměrně rozložena o růtočném růřezu. Můžeme měřit rychlost určitém místě rouu (místní, neboli lokální rychlost, nař. max ) nebo stření (růměrnou) rychlost o růřezu s.

103 Měření místní rychlosti c konst konst s c c s s c K měření místní rychlosti se může oužít Pitotoa nebo Prantloa trubice. Bernoulliho ronici lze ro ooroné otrubí nasat e taru: Statický tlak je měřen iezometrickou trubicí řiojenou k otoru e stěně otrubí. c s j t.. Pitotoa trubice (zahnutá roti směru rouění) měří celkoý tlak určitém místě rouu.

104 Měření místní rychlosti Rozíl celkoého a statického je určen z rozílu ýšek hlain řiojených tlakoměrných trubicích Trubice iezometrická Pitotoa h s g s = 0 c g c c s g c s h h gh

105 h K h g m s c h max m h V říaě ětších tlaků se ynamický tlak určí omocí rozílu hlain h oečteném na iferenciálním tlakoměru (U-trubice) m h g m je hustota měřící kaaliny.

106 Pitotoa trubice- zuchoá trať

107 c Prantloa trubice 0.3 s 3 0. (8-0) 0 x s c Prantloa trubice je tořena álcoým tělesem s ůlkuloým ukončením. V ose trubice je otor ro oběr celkoého tlaku, který je yeen nitřní trubicí. Statický tlak se snímá rážce nebo otoru na lášti nější trubice a je yeen ruhou trubicí. Oběr statického tlaku umístěn e zálenosti ronající se třem růměrům trubice o jejího ústí.

108 Vyšetření rychlostního rofilu Pitotoou, oř. Prantloou trubicí se určuje rychlost místě, němž je čelo trubice. Posouáním trubice se změří rychlosti, které jsou záislé na souřanici. a b c s a b c s S S s s s s3 s4 s

109 Při měření rychlosti u ourozměrného rouění se oužíá álcoá sona, kuloá sona slouží k měření rychlosti rostor. rouu

110 Měření stření rychlosti Stření rychlost lze stanoit z tlakoého rozílu mezi ěma růřezy, z nichž jeen je zúžen, jak je tomu u Venturiho trubice, clony nebo ýzy. Venturiho trubice Skláá se ze stuního konfuzoru, krátké álcoé části se zúženým růřezem a z elšího ifuzoru. Oba měřené tlaky jsou statické. Zúžení růřezu zůsobí zýšení rychlosti a tím okles statického tlaku.

111 Stření rychlost lze stanoit z tlakoého rozílu mezi ěma růřezy, z nichž jeen je zúžen, jak je tomu u Venturiho trubice, clony nebo ýzy. S S Měření stření rychlosti Skláá se ze stuního konfuzoru, krátké álcoé části se zúženým růřezem a z elšího ifuzoru. Venturiho trubice Oba měřené tlaky jsou statické. Zúžení růřezu zůsobí zýšení rychlosti a tím okles statického tlaku. 4 4

112 Tlakoý rozíl lze určit z rozílu hlain řiojených tlakoměrných trubicích nebo s yužitím iferenciálního manometru, takže h m m h g h K h g m 4

113 Při růtoku skutečné tekutiny bue náslekem hyraulických oorů skutečná rychlost menší. Tento li se zahrne součinitelích. Praktické roeení Venturiho trubice se roáí ole ČSN ISO 567-, ke jsou ueeny honoty součinitelů záislosti na zúžení a elikosti Reynolsoa čísla Re.

114 Venturiho trubice DN 00 mm Vele Venturiho trubice se častěji ro měření stření rychlosti nebo růtoku oužíá clona nebo ýza, jejichž orobný ýočet uáí ČSN ISO 567-

115 Clona

116 Dýza Stření rychlost otoru clony nebo ýzy je ána obobnou ronicí jako u Venturiho trubice Q S c f m,re, ke S m S c je ýtokoý součinitel, který se stanoí měřením.

117 Obsah Hyraulický ýočet otrubí Jenouché otrubí s nárží Graitační otrubí Výtlačné otrubí Charakteristika otrubí Složená otrubí

118 Hyraulický ýočet otrubí Hyraulický ýočet otrubí je založen na alikaci Ronice kontinuity, Bernoulliho ronice ro skutečnou kaalinu a na určení hyraulických oorů, neboli hyraulických ztrát. Potrubní systém : jenouchý, tořený jením otrubím složený, sestáající z ětšího očtu otrubí, tořících síť obsahující uzly a ěte, říaně okruhy Jenouché otrubí je o hyraulické stránce efinoáno růměrem, élkou l, sáem h a rychlostí nebo růtokem Q. Současně jsou známy fyzikální lastnosti tekutiny, třecí součinitel říaně absolutní rsnost stěny otrubí k, a ztrátoé součinitele šech místních ztrát. Některá z aných eličin může být neznámou a určí se hyraulickým ýočtem.

119 Jenouché otrubí s nárží Jenouché otrubí (růřez a ), za řeoklau, že nárž je rozměrná, tj. latí 0

120 Jenouché otrubí s nárží Pro jenouché otrubí (růřez a ) za řeoklau, že nárž je rozměrná, tj. 0 latí Bernoulliho ronice e taru 0 gh 0 gh z ke ak e z gh z gh l 0 l t c je rychlostní součinitel a otu 0 gh 0 gh l l t

121 Graitační otrubí. Graitační otrubí sojuje ě nárže A, B se sáem h. Obě nárže a graitační otrubí toří rouoou trubici. Potrubí se řeokláá louhé, a roto řeláají hyraulické ztráty třením, ztráty místní, oku jsou ýznamné, lze nahrait ekialentní élkou otrubí. Rychlosti na hlainách jsou zanebatelné, sá h se řeokláá konstantní.

122 Graitační otrubí Graitační otrubí sojuje ě nárže A, B se sáem h. Potrubí se řeokláá louhé, a roto řeláají hyraulické ztráty třením, ztráty místní, oku jsou ýznamné, lze nahrait ekialentní élkou otrubí. Rychlosti na hlainách jsou zanebatelné, sá h se řeokláá konstantní. Obě nárže a graitační otrubí toří rouoou trubici, ro kterou můžeme nasat Bernoulliho ronici efinoanou ro ě hlainy :. gh 0 gh h h 0 z z l g oměrný sá je určen oměrem latí i h l 4Q 8 g g g h h i, neboť ro malé úhly je tg sin L l Q 5

123 Výtlačné otrubí Potrubí sojuje ě nárže se sáem h. Tlak na hlaině e soní nárži musí být tak elký, aby nastalo rouění ze soní nárže o horní.

124 Výtlačné otrubí Potrubí sojuje ě nárže se sáem h. Tlak na hlaině e soní nárži musí být tak elký, aby nastalo rouění ze soní nárže o horní. Bernoulliho ro. efinoaná ro ě hlainy: 0 gh 0 gh z gh gh z ke z gh z l c

125 Řešení složitého otrubního systému V technických alikacích se užíá elmi často i otrubní složená tz. otrubní síť. Složená otrubí mohou být ětená nebo okružní. Okružní otrubí znikne tak, že e ětené síti se a uzly sojí tz. iagonálou. U otrubní sítě se řeokláá, že oběry buou ouze uzlech sítě. Poku označíme očet ětí i a očet uzlů j, ak očet okruhů k E k i j Je - li síti uzařený okruh, je nutno oužít některou z meto ro řešení okruhoých sítí, které jsou alikací Kirchhoffoých zákonů.. Pro kažý uzel sítě musí latit ronice kontinuity Qi 0. Pro kažý okruh musí latit že součet tlakoých iferencí jenotliých ětích ostuně sčítaných jenom smyslu je oět roen nule: i 0 3.Vztah mezi tlakoou ztrátou i a růtokem Q i úseku K i i Q i Q i

126 Charakteristika otrubí Ztráty otrubí záisí na rychlosti a tey i růtoku. Vztah mezi ztrátoou ýškou nebo tlakoou ztrátou a růtokem lze ooit a také ynést graficky. Tato záislost je charakteristikou otrubí a má ýznam ři grafickém řešení otrubí. Uažujeme ooroné otrubí stálého růřezu: Bernoulliho ronice ro H gh z má tar a otu tlakoá ýška H g Po osazení z ronice kontinuity za rychlost omocí růtoku a za řeoklau yinutého turbulentního rouění l 4 8 c Q g g g l Záislost H f Q je ro yinuté turbul. rouění karatická arabola a její grafické znázornění je charakteristika otrubí. 5 g l Q g 4Q K t Q

127 Charakteristika otrubí ro yinuté turbul. rouění Vooroné otrubí H H Q H H Q H Q Q -Q 0 zetná Q klaka -H -H Je-li na začátku otrubí zětná klaka, která brání růtoku oačném smyslu, otom charakteristika otrubí e třetím karantu slyne se záornou osou H. Pro otrubí se stouáním je charakteristika osunuta klaném smyslu osy H. H H h h -Q 0 Q h 0 Q -H -H zetná klaka

128 Charakteristika otrubí se sáem Pro otrubí se sáem je charakteristika osunuta záorném smyslu osy H. H H h -h 0 -H Q -h -H 0 Q zetná klaka To znamená, že na okrytí tlakoých ztrát se yužije nejre otenciální energie, kterou má kaaliny e ýše oloženém růřezu.

129 Obsah Bernoulliho ronice ro rotující kanál Hyroynamické loatkoé čeralo Kinematické oměry oběžném kole Čeralo a otrubí čerací systém Charakteristika čerala Proozní bo systému

130 Prouění relatiním rostoru rotující kanál Při růtoku kaaliny kanálem, který se otáčí konstantní úhloou rychlostí, se změní energie kaaliny, neboť na ni ůsobí ostřeiá síla. Práce, kterou tato síla ykoná ři rouění kaaliny, má li na její energii. Bernoulliho ronice U konst zahrnuje otenciálu U ráci šech objemoých sil, které ůsobí na rouící kaalinu, tey i ostřeié síly ři rotaci kanálu. Na částici kaaliny rotující rouoé trubici ůsobí složky zrychlení: a r r ; a y g; a z 0

131 Potom ro sislou osu rotace se určí otenciál integrací: h r U g y rr gh 0 Po osazení o Bernoulliho ronice: r 0 konst u gh konst Rychlost (často se označuje w ) je relatiní rychlost kaaliny, jíž rouí rotujícím kanále, rychlost u je obooá neboli unášiá rychlost uažoaném místě rotujícího kanálu. Ostatní eličiny jsou stejné jako záklaní Bernoulliho ronici. Při ostřeiém růtoku rotujícím kanálem se unášiá rychlost zětšuje a energie kaaliny se zyšuje. Tak je tomu nař. ostřeiých čeralech. Obobně ři ostřeiém růtoku unášiá rychlost se zmenšuje a energie kaaliny se snižuje. To je řía oních turbin (nař. Francisoých). Přihlíží-li se k hyraulickým oorům ři ustáleném rouění skuteční kaaliny rotujícím kanálem, latí ro a růřezy jené a též rouoé trubice Bernoulliho ronice: gh u gh u gh z

132 Hyroynamické loatkoé čeralo V čerale ochází k řeměně mechanické energie řiáěné na hříel čerala na kinetickou energii oběžném kole, která se mění ále energii tlakoou. W mech W kin W tl Vstu kaaliny o oběžného kola čerala je žy axiální. Pole směru ýstuu kaaliny je možno čerala rozělit na : raiální iagonální axiální

133 Oběžné kolo řestauje soustau rotujících kanálů, nichž je rouění osáno omocí rozšířené Bernoulliho ronice: w gh gh u u w gh gh u Ztrátoá ýška zahrnuje ztráty sojené s růtokem kaaliny oběžným kolem (hyraulické ztráty). u gh zo Přeměna mechanické energie na hyraulickou začíná na stuní hraně a končí na ýstuní hraně loatky oběžného kola. Zbytek kinetické energie se transformuje na energii tlakoou e sirále, která řestauje ifuzor (ochází ke snížení rychlosti a zýšení statického tlaku). gh zo