První derivace a lokální extrémy
|
|
|
- Ján Tobiška
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 První derivace a lokální extrémy Robert Mařík 6. března 2007
2 Obsah Extrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x ( ) 1 + x 4 Extrémyfunkce y = x x Extrémyfunkce y = (1 + x) Extrémyfunkce y = x x 1 Extrémyfunkce y = 3x + 1 x Extrémyfunkce y = x 2 e x Extrémyfunkce y = x2 ln x
3 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1aurčete intervaly monotonosti. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 y = (x 3 ) 2(x 2 ) + (x) + (1) = 3x 2 4x = 3x 2 4x + 1 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) = 4 ± 2
4 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1aurčete intervaly monotonosti. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 y = (x 3 ) 2(x 2 ) + (x) + (1) = 3x 2 4x = 3x 2 4x + 1 Určíme definiční 3x 2 4x obor + 1 funkce. = 0 Nejsou žádná omezení, je x 1,2 = 4 tedy ± ( 4) funkce 2 definovaná(a spojitá) na R. 2 3 = 4 ± 2
5 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 y = (x 3 ) 2(x 2 ) + (x) + (1) = 3x 2 4x = 3x 2 4x + 1 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) Vypočteme derivaci. Užijeme= vzorec 4 ± 2 pro derivaci součtu a násobku. 6
6 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 y = (x 3 ) 2(x 2 ) + (x) + (1) = 3x 2 4x = 3x 2 4x + 1 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) Vypočítámejednotlivéderivacepodlevzorce = 4 ± 2 (x n ) = nx n 1. 6
7 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 y = (x 3 ) 2(x 2 ) + (x) + (1) = 3x 2 4x = 3x 2 4x + 1 Upravíme. 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) = 4 ± 2 6
8 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) = 4 ± 2 6 Chcemezjistit,kdefunkcerosteakdeklesá. x 1 = 1 Ktomustačízjistit,kdejekladnáakdejezápornáderivace. x 2 = 1 3 Musíme tedy nejprve hledat body, kde derivace může změnit znaménko. Body MAX nespojitosti derivace nemá a soustředíme se min na body, kde je derivace nulová. x 2 = 1 x 1 = 1
9 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) = 4 ± 2 6 x 1 = 1 Řešímekvadraticourovnici.Řešenírovnice x 2 = 1 ax 2 + bx + c = 0 je 3. xmax 1,2 = b ± b 2 4ac 2a min x 2 = 1 x 1 = 1
10 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) = 4 ± 2 6 x 1 = 1 x 2 = 1 3 Upravíme. MAX min x 2 = 1 x 1 = 1
11 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 3x 2 4x + 1 = 0 x 1,2 = 4 ± ( 4) = 4 ± 2 6 x 1 = 1 x 2 = 1 3 MAX min Určíme řešení. Rovnice má x 2 = 1 dva reálné různé x 1 kořeny. = 1
12 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Vyznačíme stacionární body na reálnou osu. Body nespojitosti nejsou, nevynášíme tedy už nic dalšího.
13 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Zvolímečíslozprvníhointervalu (, 1 3 ).Uvažujmenapříklad číslo ξ 1 = 0. Vypočteme y (0) = = 1 > 0.Funkcejerostoucí naintervalu (, 1 3 ).
14 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Podobně,protožeplatí y ( 1 2 ) = = 1 4 < 0,jefunkce klesajícínaintervalu ( 1 3, 1).
15 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Monotonieseměnívbodě x 2.Funkcemávtomtobodělokání maximum.
16 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Platí y (2) = = 5
17 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Monotonieseměnívbodě x 1 = 1ajezdelokálníextrém lokální minimum.
18 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 3 2x 2 + x + 1. Dom(f ) = R; y = 3x 2 4x + 1; Stac.body: x 1 = 1, x 2 = 1 3 MAX min x 2 = 1 3 x 1 = 1 Hotovo!
19 min c Robert Mařík, 2007 Najděte lokální extrémy funkce y = monotonosti. ( ) 1 + x 4 aurčeteintervaly 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 y = 4 ( ) x 1(1 x) (1 + x)( 1) 1 x (1 x) 2 (1 + x)3 = 4 (1 x) 3 1 x x (1 x) 2 (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 Stacionárníbod: x 1 = 1
20 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 y = 4 ( ) x 1(1 x) (1 + x)( 1) 1 x (1 x) 2 (1 + x)3 = 4 (1 x) 3 1 x x (1 x) 2 Určíme definiční obor(1 funkce. + x)3 Jediné omezení pochází ze = 8 jmenovatele zlomku. (1 x) 5 1 x 0, t.j. Stacionárníbod: x 1 = 1 x 1. min
21 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 y = 4 ( ) x 1(1 x) (1 + x)( 1) 1 x (1 x) 2 (1 + x)3 = 4 (1 x) 3 1 x x (1 x) 2 Derivujeme složenou (1 + x)3 funkci. Vněší složka je mocninná funkce, kterouderivujemepodlepravidla = 8 (1 x) 5 (x 4 ) = 4x 3. Vnitřní složka je zlomek, který derivujeme podle pravidla ( u ) u v uv Stacionárníbod: = v x 1 v 2 = 1. min
22 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 y = 4 ( ) x 1(1 x) (1 + x)( 1) 1 x (1 x) 2 (1 + x)3 = 4 (1 x) 3 1 x x (1 x) 2 (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 Stacionárníbod: x 1 = 1 Upravíme druhý zlomek. min
23 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 y = 4 ( ) x 1(1 x) (1 + x)( 1) 1 x (1 x) 2 (1 + x)3 = 4 (1 x) 3 1 x x (1 x) 2 (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 Stacionárníbod: x 1 = 1 Ještě upravíme. min
24 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 Stacionárníbod: x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Našlijsmederivaci y. Omezenína xplynoucízy jsoustejná,jakobylaupůvodní funkce.derivacejetedydefinovánanamnožině R \ {1}.
25 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 Stacionárníbod: x 1 = 1 min x 1 = 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Hledámebody,kde y = 0. Podíljenula,pokudječitatelnula. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice (1 + x) 3 = 0. 1
26 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Vyznačíme stacionární bod a bod nespojitosti na osu. Osa je rozdělena na tři podintervaly. Na každém podintervalu má funkce ve všech bodech tentýž typ monotonie.
27 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Zkoumáme typ monotonie na intervalu (, 1) Vybereme libovolný testovací bod z tohoto intervalu. Buď ξ 1 = 2takovýtestovacíbod. Určíme derivaci v tomto bodě.
28 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 y (1 2)3 ( 2) = 8 (1 ( 2)) 5 = < 0. Derivacejezápornáafunkceklesávbodě ξ 2 = 2anaintervalu (, 1).
29 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Podobněnaložímesbodem ξ 2 = 0,kterýnáležídointervalu ( 1, 1) asplňuje y (0) = > 0. Funkcejerostoucívbodě ξ 2 = 0anaintervalu ( 1, 1).
30 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Konečně,bod ξ 3 = 2patřídointervalu (1, )asplňuje y (1 + 2)3 (2) = 8 (1 2) 5 < 0. Funkcejeklesajícívbodě ξ 3 = 2anaintervalu (1, ).
31 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 y ( 2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Funkcemálokálníminimumvx= 1. Funkce nemá žádný další lokální extrém. Zejména, funkce nemá extrémvbodě x = 1,protože 1 Dom(f ).
32 Najděte lokální extrémy funkce y = ( ) 1 + x 4. 1 x Dom(f ) = R \ {1}; y (1 + x)3 = 8 (1 x) 5 ; x 1 = 1 min x 1 = 1 1 Hotovo!
33 MAX c Robert Mařík, 2007 Najděte lokální extrémy funkce y = monotonie. x (1 + x) 3 aurčeteintervaly Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 x 3(1 + x) 2 ((1 + x) 3 ) 2 = (1 + x)2 (1 + x 3x) (1 + x) 6 = 1 2x (1 + x) 4 Stacionárníbod: x 1 = 1 2
34 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 x 3(1 + x) 2 ((1 + x) 3 ) 2 = (1 + x)2 (1 + x 3x) (1 + x) 6 Určíme definiční obor. = Jediné 1 2x (1 + omezení x) 4 plyne ze jmenovatele zlomku: Stacionárníbod: t.j. x 1 = x 0, x 1. MAX
35 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 x 3(1 + x) 2 ((1 + x) 3 ) 2 = (1 + x)2 (1 + x 3x) (1 + x) 6 = 1 2x Derivujeme funkci podle (1 + x) pravidla 4 pro derivaci podílu. Přiderivováníjmenovatele (1 + x) 3 neumocňujeme,alepoužijemeřetězovépravidlo Stacionárníbod: x 1 = 1 ((1+x) 3 ) = 3(1+x) 2 (1+x) = 3(1+x) 2. Tento trik umožní 2 v dalším kroku vytknout a zkrátit. MAX
36 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 x 3(1 + x) 2 ((1 + x) 3 ) 2 = (1 + x)2 (1 + x 3x) (1 + x) 6 = 1 2x (1 + x) 4 Stacionárníbod: x 1 = 1 Upravímečitateldruhéhozlomku.Vytknemevýraz 2 (1 + x) 2 před závorku v čitateli. MAX
37 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 x 3(1 + x) 2 ((1 + x) 3 ) 2 = (1 + x)2 (1 + x 3x) (1 + x) 6 = 1 2x (1 + x) 4 Stacionárníbod: x 1 = 1 2 Zkrátíme (1 + x) 2 aupravíme. MAX
38 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 Stacionárníbod: x 1 = MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Mámederivaci y. Definiční obor této derivace se shoduje s definičním oborem původnífunkce,t.j. R \ { 1}. Budeme zkoumat znaménko derivace.
39 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = 1 2 Stacionárníbod: x 1 = 1 2 MAX 1 x 1 = 1 2 Hledámenejprvebody,kdeplatí y ( 2) > 0 y y = 0. (0) > 0 y (2) < 0 Zlomek je nulový, pokud je nulový čitatel. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice 1 2x = 0.
40 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti na reálnou osu. Osa je rozdělena na tři podintervaly. Funkce zachovává na každém intervalu typ monotonie.
41 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Zkoumejme interval (, 1) Zvolíme v tomto intervalu testovací bod. Nechť ξ 1 = 2jetestovacíbod. Určíme derivaci v tomto bodě.
42 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 y ( 2) = 1 2( 2) (1 2) 6 = 5 1 > 0. Derivacejekladnáafunkcerostevbodě ξ 2 = 2anaintervalu (, 1).
43 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Podobně,bod ξ 2 = 0ležívintervalu ( 1, 1 2 )asplňuje y (0) = 1 1 > 0.Funkcejerostoucívbodě ξ 2 = 0anaintervalu ( 1, 1 2 ).
44 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Konečně,platí y (2) = < 0.Funkceklesávbodě ξ 3 = 2ana intervalu ( 1 2, ).
45 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = MAX x 1 = 1 2 y ( 2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Funkcemálokálnímaximumvbodě x = 1 2. Funkce nemá žádný další lokální extrém.
46 Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x) 3. Dom(f ) = R \ { 1}; y = 1 2x (1 + x) 4 ; x 1 = MAX x 1 = 1 2 Hotovo!
47 Najdětelokálníextrémyfunkce y = monotonie. x3 x 1 aurčeteintervaly Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 (x 1) 2 = x2 (2x 3) (x 1) 2
48 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 (x 1) 2 = x2 (2x 3) (x 1) 2 x 2 (2x 3) Určíme definiční obor. Nesmí být nula ve jmenovateli.
49 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 Derivujeme podíl podle vzorce (x 1) 2 = x2 (2x 3) ( (x u ) 1) 2 u v uv = v v 2. x 2 (2x 3)
50 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 Doderivujeme y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 (x 1) 2 = x2 (2x 3) (x 1) 2 x 2 (2x 3)
51 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 (x 1) 2 = x2 (2x 3) (x 1) 2 Upravíme. Zde je jedno jestli nejprve roznásobíme nebo vytkneme, protože roznásobujeme jenom mocninou x. x 2 (2x 3)
52 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 Rozložíme na součin. y = (x3 ) (x 1) x 3 (x 1) (x 1) 2 = 3x2 (x 1) x 3 (1 0) (x 1) 2 = 2x3 3x 2 (x 1) 2 = x2 (2x 3) (x 1) 2 x 2 (2x 3)
53 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 2 (2x 3) (x 1) 2 = 0 x 2 (2x 3) = 0 x 1,2 = 0 Našlijsmederivaci.Zajímánás,kdyjetatoderivacekladnáa x 3 = 3 kdy záporná. 2 Předně: derivace není definovaná pro x = 1. min Dáleřešímerovnici y = 0. x 1,2 = 0 x = 1 x 3 = 3 2
54 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 2 (2x 3) (x 1) 2 = 0 x 2 (2x 3) = 0 x 1,2 = 0 x 3 = 3 2 min Zlomek je nulový x 1,2 = právě 0 tehdy, když x = 1je nulový čitatel zlomku. x 3 = 3 2
55 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 2 (2x 3) (x 1) 2 = 0 x 2 (2x 3) = 0 x 1,2 = 0 x 3 = 3 2 Součin je nula jestliže jealespoň jeden zesoučinitelů minrovennule. Řešímetedyrovnice x 1,2 = 0 x 2 = 0 a x 2x = 1 3 = 0. x 3 = 3 2
56 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Máme stacionární body a body, kde derivace není definována (a je nespojitá). Jedině v těchto bodech může derivace měnit znaménko. Vynesemetytobodynareálnouosu.
57 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Počítáme derivace v libovolných bodech, po jednom z každého podintervalu. y ( 1) = ( 1)2 ( 2 3) něcokladného = 5 něcokladného < 0
58 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 y ( ) = 4 (1 3) něcokladného < 0
59 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 y (1, 2) = (1, 2)2 (2, 4 3) něcokladného < 0
60 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 y (2) = (2)2 (4 3) něcokladného > 0
61 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Pouzevbodě x = 3 2 seměnícharaktermonotonie.vtomtoboděje lokální minimum.
62 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x3 x 1. Dom(f ) = R \ {1}; y = x2 (2x 3) (x 1) 2 ; x 1,2 = 0, x 3 = 3 2 x 1,2 = 0 x = 1 min x 3 = 3 2 y ( 1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Hotovo.
63 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = Stacionárníbod: x 1 = 1 2. x 3 ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 MAX x 1 = x 6
64 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = Stacionárníbod: x 1 = 1 2. ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 MAX x 1 = 1 Určíme definiční obor funkce. Jediné omezení 0 plyne ze jmenovatele zlomku.tedy x 0. 2 x 6
65 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 Stacionárníbod: Derivujeme podílxpodle 1 = vzorce 1 2. x 6 1 = 1 kde u = 3x + 1av= x 3. 2 ( MAX u ) u = v uv v v 2 0
66 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 Hledáme nejprve body, Stacionárníbod: x 1 = 1 2. kde je derivace nulová. Abychom měli později snadné a pohodlné, co nejvíce upravíme a rozložíme na součin. MAX x 1 = 1 Vytknemetedyfaktor 3x x 6
67 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = Stacionárníbod: x 1 = 1 2. ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 Zkrátímefaktorem MAX x 2. x 1 = 1 Konstantní násobek 3 napíšeme před 0zlomek. 2 x 6
68 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = Stacionárníbod: x 1 = 1 2. ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 x 6 Upravíme. MAX x 1 = 1 2 0
69 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 y = 3x3 (3x + 1)3x 2 (x 3 ) 2 = Stacionárníbod: x 1 = 1 2. ) 3x (x 2 (3x + 1) = 3 x 3x 1 x 4 = 3 2x 1 x 4 = 3 2x + 1 x 4 x 6 MAX x 1 = 1 Vytkneme záporné znaménko. 2 0
70 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 Stacionárníbod: x 1 = 1 2. MAX x 1 = Definiční obor derivace je shodný s definičním oborem původní funkce. Hledáme nejprve stacionární body.
71 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 Stacionárníbod: x 1 = 1 2. MAX x 1 = Podíl je nulový, pokud je nulový čitatel. 2x +1 = 0pro x = 1 2.Bod x 1 = 1 2 jejedinýmstacionárním bodem zadané funkce.
72 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = Vyznačíme bod nespojitosti a stacionární bod na osu x. Osa x je rozdělena na podintervaly. Na každém podintervalu je zachován tentýž typ monotonie pro všechna x náležející do tohoto podintervalu.
73 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = Zvolímetestovacíbodzintervalu (, 1 2 ).Nechťjetobod ξ 1 = 1.Vypočtemederivacivbodě ξ 1.
74 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = y ( 1) = ( 1) 4 > 0 Funkcejetedyrostoucívbodě ξ 1 = 1atotéžplatíprovšechny bodyzintervalu (, 1 2 ).
75 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = Zvolímebod ξ 2 = 1 4 zintervalu ( 1 2, 0).Určímederivacivtomto bodě.
76 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = y 1 2 ( 1/4) = kladnývýraz < 0 afunkcejetedyklesajícívbodě ξ 2 = 1/4ainacelémintervalu ( 1 2, 0).
77 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = Podobně,pro ξ 3 = 1dostáváme y (1) = 3 kladnývýraz < 0 afunkcejeklesajícívbodě ξ 3 = 1anaintervalu (0, ).
78 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = Funkcejespojitána R \ {0}. Funkcemálokálnímaximumvbodě x = 1 2 anemážádný další lokální extrém.
79 Najdětelokálníextrémyfunkce y = 3x + 1 x 3. Dom(f ) = R \ {0}; y (x) = 3 2x + 1 x 4 ; x 1 = 1 2 MAX x 1 = Problém je vyřešen! Všechno co se týká monotonie plyne z nakresleného schematu.
80 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2
81 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Na proměnnou x nemní třeba naložit žádné omezující podmínky a proto je defičním oborem celá množina R.
82 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min Použijeme pravidlo pro xderivaci 1 = 0 součinu MAX x 2 = 2 (uv) = u v + uv pro u = x 2 a v = e x.
83 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Dálepoužijemederivacimocninnéfunkce x 2 afunkci e x derivujeme podle pravidla pro derivaci složené funkce.
84 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX Hledámebodysnulovouderivací: x 1 = 0 y x = Abychom tuto rovnici snadno vyřešili, rozložíme na součin. Vytknemeopakujícísevýraz e x.
85 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x + x 2 ( 1)e x = e x (2x x 2 ) = e x x(2 x) y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Kvadratický výraz v závorce je možno rozložit na součin vytknutím x.
86 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); Stacionárníbody: x 1 = 0, x 2 = 2. x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Nyní vidíme všechny stacionární body. Derivacejenulatehdyajentehdy,kdyžalespoňjedenzvýrazů v součinu je nulový. Výraz e x nenírovennulenikdy. Výraz (x 2)jerovennulepro x = 2.
87 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Vyznačíme stacionární body na reálnou osu. Body nespojitosti derivace nemá Osa je rozdělena na tři podintervaly. Ve všech bodech jednoho každého podintervalu je stejný typ monotonie.
88 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Zvolíme libovolného reprezentanta z prvního intervalu (, 0). nechťtímtoreprezentantemječíslo ξ 1 = 1.Vypočtemederivaciv ξ 1 : y ( 1) = e ( 1) ( 1)(2 ( 1)) = e 1 ( 1)3 < 0 Funkcejetedyklesajícívbodě ξ 1 atotéžplatíprovšechnybody intervalu (, 0).
89 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Zvolímereprezentanta ξ 2 = 1vintervalu (0, 2).Derivace y (1) = e 1 1(2 1) = e 1 > 0 jevtomtoboděkladnáafunkcerostevbodě ξ 2 = 1aivcelém intervalu (0, 2).
90 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Zvolímereprezentanta ξ 3 = 3vintervalu (2, ).Derivace y (3) = e 3 3(2 3) = 3e 3 < 0 jezápornáafunkceklasávbodě ξ 3 = 3aklesáivcelémintervalu (2, ).
91 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Funkcejespojitána R. Zeschématusmonotoniíplynežefukncemálokálníminimum vbodě x = 0amaximumvbodě x = 2.
92 Najdětelokálníextrémyfunkce y = x 2 e x aurčeteintervaly monotonie. Dom(f ) = R; y (x) = e x x(2 x); x 1 = 0, x 2 = 2. min MAX x 1 = 0 x 2 = 2 Vyřešeno!
93 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x.určetetéžintervaly monotonosti. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/ min x 1 = e 1/2
94 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) Určíme definiční obor. = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x Omezenízlogaritmickéfunkceje x > 0. min Omezenízejmenovatelezlomkuje 0 1 ln x 0.Protože x 1 = e 1/2 ln x = 0 pro x = e 0 = 1,jetotoekvivalentnípodmínce x 1. Definičníoborje Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ).
95 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x Derivujeme pomocí vzorce pro derivaci podílu 0 min ( 1 x 1 = e 1/2 u ) u v uv = v kde u = x 2 a v = ln x. v 2
96 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/ min x 1 = e 1/2 Upravíme čitatele.
97 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x min Najdemebodykdeplatí 0 1y = 0. x 1 = e 1/2 Zlomekjerovennule,jestližejejehočitatelrovennule.Rozložíme tedy čitatel na součin vytknutím x.
98 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x min 0 Nyní snadno najdeme stacionární 1 body. x 1 = e 1/2 Zlomek je nulový, jetstliže některý z činitelů v čitateli je roven nule.
99 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/ min x 1 = e 1/2 Činitel (2 ln x 1)jenulapro ln x = 1,tj.pro x = e1/2 2
100 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = R + \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x x2 1 x ln 2 x 2x ln x x = ln 2 x = x(2 ln x 1) ln 2 x Stacionárníbod: x 1 = e 1/2. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x min Činitel x 0 není na uvažovaném 1 definičním x 1 = e 1/2 oboru nikdy roven nule. Nedostáváme žádný další stacionární bod.
101 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/ min x 1 = e 1/2 K dalšímu výpočtu potřebujeme již jen derivaci a stacinární bod. Omezení na definiční obor derivace jsou stejná jako omezení pro původní funkci a derivace tedy existuje na celém definičním oboru funkce.
102 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/ min x 1 = e 1/2 Vyznačíme definiční obor derivace(i s bodem nespojitosti) a stacionární bod na osu x. Protože 1 = e 0 a 0 < 1/2,platí 1 < e 1/2.(Exponenciálnífunkce je rostoucí).
103 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/ min x 1 = e 1/2 Osa xjenynírozdělenananěkolikpodintervalů.levýznich neleží v definičním oboru. Uvnitř každého z podintervalů, které náleží do definičního oboru, je zachován typ monotonie pro všechna x.
104 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x 0 1 min x 1 = e 1/2 Buď ξ 1 = e 1 reprezentantzprvníhopodintervalu.derivacevbodě ξ 1 jezáporná,protože y ( 1) = e 1 ( 2 1) ( 1) 2 < 0,kdejsmepoužili ln(e 1 ) = 1.Funkceklesávbodě ξ 1 atotéžplatíinacelém intervalu (0, 1).
105 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 ; x 1 = e 1/2. x 0 1 min x 1 = e 1/2 Bod ξ 2 = e 1/4 splňuje 1 < e 1/4 < e 1/2 a ln(e 1/2 ) = 1 2.Odsud y (e 1/4 ) = e1/4 ( 1 2 ( ) 1) 2 <
106 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/ min x 1 = e 1/2 ξ 3 = esplňuje 1 < ealn(e) = 1.Odsud y (e) = e(2 1) 1 2 > 0.
107 Určetelokálníextrémyfunkce y = x2 ln x. Dom(f ) = (0, 1) (1, ); y x(2 ln x 1) = ln 2 x ; x 1 = e 1/ min x 1 = e 1/2 Hotovo.Funkcemájedinélokálníminimumvbodě x = e 1 2 anemá žádné lokální maximum.
108 Konec
Zlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
Průběh funkce. Robert Mařík. 27. června 2006
Průběh funkce Robert Mařík 27. června 26 c Robert Mařík, 26 Obsah y = x 1 x 2.... 3 y = 3x 1 x 3.... 49 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2.... 11 y = x3 3 x 2.... 149 y = x2 1 x 2 1.... 191 c Robert Mařík, 26 y = x
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Mocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
Algebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012
Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace
Aplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
Algebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
Konvexnost, konkávnost
20. srpna 2007 1. f = x 3 12x 2. f = x 2 e x 3. f = x ln x Příklad 1. Určete intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní a určete inflexní body f = x 3 12x Příklad 1. f = x 3 12x Řešení: Df = R
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)
Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
M - Kvadratická funkce
M - Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Variace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická
Stručný přehled učiva
Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN
ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306
..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.
Vzorce pro dvojnásobný úhel Předpoklady: 0 Začneme příkladem Př : Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro sin x sin x sin x + x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Př : Pomocí součtových vzorců odvoď
Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.
MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento
LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 8 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 01 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH
(Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
Funkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2
Aplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová
22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace
22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech
Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0
Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici
Matematika 2 Průběh funkce
Matematika 2 Průběh funkce Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 1 Základní věty diferenciálního počtu Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09
Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice
Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0
Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1
1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a
kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()
Logaritmické rovnice a nerovnice
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů
VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
2.6.5 Další použití lineárních lomených funkcí
.6.5 Další použití lineárních lomených funkcí Předpoklady: 60, 603 U předchozích funkcí jsme měli vždy s funkcemi rovnice existují lineární lomené rovnice a nerovnice? Jak by vypadaly? Například takto:
2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
![2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je](/thumbs/102/152847701.jpg "2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je")
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:
Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani
4.3.3 Základní goniometrické vzorce I
4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
INTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci. 1.
JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci. 1. Monotonie (1) Dostaneme zadanou např. funkci y = sin x. (2) Když si funkci