Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Transkript

1 Katedra geotechn a podzemního tavteltví Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů (prezentace pro výuu předmětu Modelování v geotechnce) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace tudního oboru Geotechna CZ.1.07/2.2.00/ Tento proet e polufnancován Evropým ocálním fondem a tátním rozpočtem ČR.

2 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Záladní charaterta metod onečných prvů (MKP, FEM) nečatě vužívaná metoda modelování ontnua patří mez metod numercé(přblžné) přené řešení dferencálních rovnc u, popuících daný nženýrý problém, e nahrazeno řešením přblžným u ~ ontnuální oblat, na níž hledáme řešení, e př aplac MKP rozdělena na dílčí podoblat (tzv. onečné prv) výledem ou hodnot funce (ve tandardních geotechncých úlohách e edná o poun) v drétních bodech oblat metoda velm unverzální, lze pomocí ní řešt úloh z různých oblatí, zohledňue tvarovou materálovou varabltu oblatí

3 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Charaterta metod onečných prvů z hleda metod řešení úloh mechan ontnua Metoda varační hledá řešení úloh na záladě mnmalzace funconálu potencální energe (aplace Lagrangeova varačního prncpu - mez všem funcem pouvů, teré zachovávaí potot tělea a plňuí geometrcé oraové podmín, e realzuí t, teré udíleí celové potencální energ mnmální hodnotu). Nečatě formulována ao metoda deformační prmárně neznámým hodnotam úloh ou poun Metoda numercá převádí problém hledání potých funcí na problém hledání onečného počtu neznámých parametrů, pomocí nchž e hledané funce přblžně apromuí

4 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů HISTORIE METODY počát šrší nženýré aplace metod olem rou 1956 ve výzumném Útavu aeronautcé a omcé mechan v Ohu, USA proet Apollo nevětší rozvo v cvlním etoru v letech šroé aplační možnot oblat nženýré (troírentví, tavebnctví apod.), ale oblat ocologcá a eonomcá metoda e tále vvíí a zdoonalue především z hleda efetvt řešení omplovaných rozáhlých úloh metoda vžadue pro vou aplac výpočetní technu, dpozc e velé množtví pecalzovaných oftwarů pro různé aplační oblat

5 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů ZÁKLADNÍ PRINCIP METODY Převedení úloh řešení parcálních dferencálních rovnc na řešení outav lneárních algebracých rovnc (aplací Lagrangeova varačního prncpu) K u = f de matce outav K (tzv. matce tuhot) e páová (nenulové prv ou outředěn pouze v páe olem hlavní dagonál) u- vetor neznámých pounutí v uzlových bodech ítě f- vetor známých l (od vlatní tíh, vněšího přtížení apod.)

6 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Vádření funconálu potencální energe Potencální energ P lze obecně vádřt ao rozdíl potencální energe vntřních l P (odpovídá deformační prác vntřních l) a potencálu vněšího zatížení P e ( odpovídá deformační prác vněších l): P P P e Natane ted právě ten deformační tav tělea, pro něž e varace dp potencální energe outav nulová: dp 0

7 LAGRANGEŮV PRINCIP VIRTUÁLNÍCH POSUNUTÍ P P pd u d X u d T T e T 2 1 vrtuální práce vntřních l vrtuální práce vněších l práce od obemového zatížení práce od povrchového zatížení na hranc z T z T z z z T z z z T T p p p p X X X X w v u u,,,,,,,,,,,,,,,,,, Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů X vetor obemových l (vlatní tíha), p- vetor povrchových l

8 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Určení řešení dané oraové úloh e ted evvalentní e tanovením funce pounů u, terá mnmalzue funconál potencální energe: P P P e 1 2 T d u T X d u T pd

9 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů OBECNÝ POSTUP METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 1) rozdělení ontnua na určtý počet onečných podoblatí (tzv. onečných prvů) dretzace oblat, prv ou navzáem poen drétním počtem uzlů na hranc; hodnot hledané funce (např. pounutí) v těchto uzlech (uzlové parametr) ou záladním neznámým úloh 2) volba apromační funce defnuící ednoznačně tav pounutí uvntř aždého onečného prvu

10 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů OBECNÝ POSTUP METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 3) vádření poměrných přetvoření a pounů na prvu pomocí uzlových parametrů a přílušných bázových funcí(metoda vužívá pecálních bázových funcí tzv. malým nočem- důledem e páovot matce tuhot, d nenulové prv ou outředěn pouze v páe olem hlavní dagonál) 4) vádření lože napětí na prvu pomocí uzlových parametrů 5) vádření funconálu potencální energe prvu pomocí uzlových parametrů prvu, tanovení loálních matc tuhot prvů

11 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů OBECNÝ POSTUP METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 6) etavení celové matce tuhot K oblat pomocí loálních matc tuhot prvů, etavení výledné outav rovnc 7) řešení výledné outav rovnc pro neznámé uzlové parametr(např. poun) a vetor známých l f (íl od vlatní tíh, vněšího přtížení apod.) K u A = πr f 2 8) tanovení napětí na záladě tanovených pounutí dretzace oblat analýza prvu analýza celé oblat

12 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Značení:.. oblat, na níž hledáme řešení úloh (např. řez vahovým těleem) u.. přené řešení uvažované dferencální rovnce u (n) přblžné (numercé)řešení úloh Toto přblžné řešení uvažueme ve tvaru řad: u ( n) n 1 u 1,u 2,,u n neznámé ontant (fatc e edná o poun v uzlových bodech) N 1,N 2,,N n poloupnot tzv. bázových funcí (známé) u N

13 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Cílem e, ab e toto přblžné numercé řešení úloh co nelépe přblžovalo utečnému řešení úloh, t. u n u Pro plnění této podmín e nutno vhodně tanovt neznámé oefcent u, =1,,n, teré určuí přblžné řešení. Koefcent u volíme ta, ab funce u (n) mnmalzovala funconál potencální energe P (vužtí Lagrangeova varačního prncpu).

14 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Ted hledáme taové oefcent u *, ab mnmalzoval P P n 1 u N mn P n 1 u N Z podmín pro etrém plne: dp du 1 0 dp du 2 0. dp du n 0 Dotáváme ted outavu n algebracých rovnc pro neznámé oefcent u,= u *, =1,,n (poun v uzlových bodech). Jedná e ted o varační metodu (hledáme mnmum funconálu potencální energe).

15 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Bázové funce ou pecálně volen ta, ab bla matce vznlé outav rovnc páová. Pa e totž možno vužít efetvní algortm pro řešení velých outav rovnc páovou matcí a nezanedbatelné ou taé menší náro na apactu du a pamět (metoda onečných prvů vzhledem požadavu na řešení rozáhlých outav algebracých rovnc vžadue počítačové zpracování).? a vpadaí a a e ontruuí taové bázové funce v případě rovnné úloh

16 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Záladní termnologe: M. uzl ítě troúhelní onečné prv tém onečných prvů íť nečatě používané onečné prv ou troúhelní (odpovídaí lneární apromac funce pounů na troúhelníu) tém troúhelníových onečných prvů trangulace

17 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Záad trangulace 1) troúhelní e neměí přerývat, maí polečný pouze vrchol nebo celou tranu 2) úhl v troúhelnících nemí být přílš otré 3) v mítech očeávaných velých deformačních a napěťových změn (pata vahu, oolí výrubu tunelu apod.) b měla být íť hutší Číla přřazená ednotlvým uzlům (t. hodnot přblžného řešení ) e nazývaí uzlové parametr U.

18 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Lneární apromace na prvu Kvadratcá apromace na prvu Kubcá apromace na prvu Tvar nečatě používaných onečných prvů pro různé dmenze úloh Správné a nevhodné tvar prvů Správné Špatné

19 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Nečatě používaný prve v rovně : troúhelní Nečatě vužívané troúhelníové prv: Uzlové bod ve vrcholech troúhelnía (neednodušší prve v rovně) (3 uzlový prve) apromace pounů na prvu e lneární, není přílš přený, nevthue zeména loální etrém deformací an napětí, ve většně omerčních oftwarů e nevužívá Uzlové bod ve vrcholech troúhelnía a ve tředech tran (6-t uzlový prve) apromace funce pounů na prvu e polnomem 2. řádu, dotatečná přenot v případě deformační analýz, pro tabltní analýzu nepřený Uzlové bod ve vrcholech troúhelnía, ve tředech tran uvntř troúhelnía (15-t uzlový prve) apromace funce pounů na prvu polnomem 3. řádu, doporučue e především v případě napěťové analýz (tabltní úloh, vhodnocení čerpání mové pevnot apod.)

20 Na troúhelníu De uzl,,: U M U M U M,,, Záladní prncp metod lutrace na troúhelníovém 3-uzlovém prvu pro func pounů u v ednom měru (analogc pro druhý měr v- vertální poun) Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů

21 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Lneární nterpolační funce pounů u (,) na troúhelníu e (e ednoznačně určena uzlovým parametr U (),U (),U () ):, u 1 2 3, U, U, U Muí ted platt: u u u

22 Dotáváme outavu 3 lneárních algebracých rovnc (odpovídá lneární apromac na ednom troúhelníu): U U U Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů

23 Cramerovo pravdlo: U U U S det 1 1 U U U S det 1 2 U U U S det 1 3 S Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů

24 Označíme: a a a b b b c c c Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů

25 c b a S N det 1, c b a S N det 1, c b a S N det 1, Bázové funce přílušeící troúhelníu e: Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů

26 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Interpolační polnom pounů na troúhelníu e lze pa vužtím tohoto značení zapat ve tvaru: u u, N, U N, U N, U U (), U (), U () - horzontální poun ve vrcholech troúhelnía N (), N (), N () bázové funce přílušeící vrcholům troúhelnía (analogc e možno zíat vádření dalších uzlových parametrů (např. pounů v dalších měru)

27 Vlatnot bázových funcí N na troúhelníu: 1,,, ) 1 N N N ) M N M N M N ) M N M N M N M N M N M N Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů

28 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Vlatnot globálních bázových funcí na celé oblat Každému uzlu trangulace Mr ted příluší bázová funce N r, terá má náleduící vlatnot: 1) Je nenulová pouze na těch troúhelnících, echž polečným vrcholem e uzel Mr, na otatních troúhelnících e nulová (důvod páové matce outav) 2) Nabývá v uzlu Mr hodnot 1, t. N r (Mr)=1 3) Nad aždým troúhelníem, ehož 1 vrchol e Mr,e lneárním polnomem

29 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Geometrcá předtava globálních bázových funcí: Bázové funce ou ehlan vrcholem ve výšce 1 nad uzlem Mr, r=1,,n. Jech podtavu tvoří ednocení těch troúhelníů, teré maí polečný vrchol Mr (edná e o bázové funce tzv. malým nočem).

30 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů u Hledané přblžné řešení úloh: n U N, U N,... U N,, n n N r, r=1,,n bázové funce přílušeící A = πr 2 ednotlvým uzlům v oblat n- počet uzlů Neznámé globální parametr U (hodnot pounů v uzlových bodech) e tanoví z podmíne mnmalzace funconálu potencální energe.

31 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Na záladě vádření apromovaných pounů na prvu, vádření odpovídaících přetvoření a napětí a aplací Lagrangeova varačního prncpu dotáváme outavu lneárních rovnc: K u =f A = πr 2 K matce tuhot (metrcá, páová) u vetor neznámých uzlových parametrů (např. poun v uzlech) f- vetor známých l Matce tuhot K e páová (vplývá z vlatnotí bázových funcí), šířa páu záví na čílování uzlů.

32 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Softwarové tém pracuící na záladě MKP pro aplace v geotechnce a podzemním tavteltví dotupné na atedře Geotechn a podzemního tavteltví PLAXIS 2D PLAXIS 3D TUNNEL 3D FOUNDATION 3D CESAR GEO MKP frma Pla, Holando, rovnné modelování frma Pla, Holando, protorové modelování frma Pla, Holando, protorové modelování úloh především z oblat tunelování frma Pla, Holando, protorové modelování úloh z oblat zaládání frma Itech, France, rovnné protorové modelování geotechncých úloh frma Fne, ČR, rovnné úloh

33 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů GEO MKP MIDAS GTS PHASE frma Fne, ČR, rovnné úloh frma TNO Dana, Holando, rovnné protorové model frma Roccence, Kanada, rovnné úloh, etue protorová verze ATENA ANSYS frma Červena, ČR, řešení ontrucí velm unverzální programový tém, neen pro geotechnu a další pecalzované oftwar

34 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Chbové apet modelů založených na MKP Chb formulační zadání geometre, volba onttutvních vztahů, materálových vlatnotí, oraových podmíne, volba tpu analýz (lneární, nelneární, odvodněné, rep. neodvodněné podmín atd.), Chb dretzace vplývaí z generace ítě a volb tpu prvů Chb numercé ntegrační chb, chb zaorouhlovací, chb terační,

35 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Formulační chb numercých modelů volba dmenze modelu Volba dmenze modelu: 2D 3D, 2D model úloh, v nchž ou plněn podmín rovnné deformace (např. lnová díla (tunel apod.) nebo rovnné napatot (např. tené de) nebo tav rotační metre ruhové zálad, plot apod. (! neen metrcá ontruce, ale podloží, včetně hladn podzemní vod ) Rovnná deformace: Rotační metre: 3D model neou plněn podmín pro 2D model např. tav v blízot čelb a na čelbě tunelu ( dž lze čátečně mulovat ve 2D zadáním oefcentu vlvu čelb)

36 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Formulační chb numercých modelů volba charateru protředí Protředí: homogenní nehomogenní vazhomogenní zotropní tranverálně zotropní anzotropní drénované nedrénované ontnuální dontnutní

37 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Formulační chb numercých modelů volba charateru protředí Drénované nedrénované protředí: Drénované př přtěžovaní rep. odlehčování nevznaí v protředí změn pórových tlaů (pomalé zatěžování, velm proputné protředí (např. štěr), řešení dlouhodobé tablt) Nedrénované - př přtěžovaní rep. odlehčování vznaí v protředí změn pórových tlaů, (rchlé zatěžování, málo proputné protředí (např. íl), řešení rátodobé tablt)

38 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Formulační chb modelů - volba onttutvního modelu Pružný model (lneární, nelneární) Pružně deálně platcý model (Mohr-Coulomb, ) Pružně platcé model e zpevněním (Cam Cla model, ) Pružně platcé model e změčením Hpoplatcé model další poročlé onttutvní model dotupnot vtupních charatert výtžnot chování zemnového protředí

39 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Chb formulační volba vhodného modelu chování lnových prvů Noníové element (beam) lnové prv, teré ou namáhán ohbem, na tah-tla rutem (modeluí např. výztužní element) Tčové prv (bar) - lnové prv, teré ou namáhán pouze na tla-tah (abence rotace v uzlech) (modeluí např. otv, vorní)

40 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Formulační chb modelů zadání materálových charatert Vplývaí z náleduících záladních fatorů: pecfum hornnového protředí, velá čaová protorová varablta parametrů hornnového protředí, vlatnot materálu vzoru vlatnot celého maívu způobu odběru neporušených vzorů a ech příprav na laboratorní zouš prncp přítroů pro provedení laboratorních č polních zouše metod provádění a vhodnocování zouše ldého fatoru př odběru a realzac zouše

41 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Formulační chb modelů zadání materálových charatert Netot lze nížt především: valtním a dotatečným průzumem, potuícím dotatečný počet výledů laboratorních polních zouše pro tanovení polehlvých mater. charatert zvšováním odbornotí pracovníů prováděících průzum, lab. polní zouš aplací tochatcých metod modelování, metod nverzní analýz

42 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Formulační chb modelů volba oraové podmín Standardní oraové podmín tatcé rovnováh: muí zabránt rotačnímu tranlačnímu pounu celého modelu ( v geotechncých úlohách nečatě podmína tzv. tuhé van) Oraové podmín onoldační defnuí v modelu proputnot č neproputnot dané hrance vzhledem e onoldačním proceům ednotranná č dvoutranná onoldace (např. př modelování proceu onoldace pod náp budovaným na zvodnělém měém ílovtém podloží) volba determnue čaový průběh edání a vývo pórových tlaů v podloží Oraové podmín omezuící proudění vod Nezadání nebo chbné zadání oraových podmíne vede problémům řeštelnotí výledné outav rovnc, matce tuhot není regulární a není zaštěna řeštelnot výledné outav rovnc.

43 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Formulační chb modelů volba rozahu modelu Rozah modelu b měl být taový, ab oraové podmín zadávané na hrancích, neovlvňoval výpočet v zámové oblat, t. deformační hrance b měl být v mítech, ve terých e ž nepředpoládaí deformační změn. Tetovací úloha vlvu velot modelu na výled řešení (Pla 2D): nevztužené dílo ruhového příčného průřezu o poloměru r= 5 m výša nadloží: h= 5 m Obemová tíha oolní hornn: g= 20 N/m 3 (homogenní protředí) Modul pružnot oolního protředí: E=20 MPa Materálový model: lneárně pružný Varantní rozměr modelu: vzdálenot bočních vlých hranc a podní hrance od tředu díla vžd v -náobcích poloměru díla (=4,6,8,10,12)

44 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Schéma parametrcé modelové tude: 20 m=4*r 30 m=6*r 40 m=8*r 50 m=10*r 60 m=12*r

45 vertální poun (m) Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Formulační chb modelů volba rozahu modelu 0,14 Srovnání vlých pounů v závlot na rozahu modelu(trop, počva) 0,12 0,1 0,102 0,11 0,115 0,08 0,06 0,071 0,04 0,053 0,02 0,043 0,035 0, náobe poloměru r mamální vlý poun tropu(15-t uzlové prv) mamální zdvh počv (15-t uzlové prv)

46 ma.napětí v počvě (Pa) Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Formulační chb modelů volba rozahu modelu Srovnání mamálních napětí pod počvou v závlot na rozahu modelu náobe poloměru r ma. hlavní napětí pod počvou(15-t uzlové prv)

47 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Chb dretzační volba tpu prvu Záladní fator určuící tvar apromační funce pounů na prvu : tp prvů (prutový(1d), troúhelníový(2d), čtřúhelníový(2d), čtřtěn(3d),.) počet uzlových bodů Všší počet uzlových bodů umožňue zpřent řešení, avša předtavue zvýšení dmenze outav rovnc, všší náro na výpočetní ča, apactu operační pamět du,

48 vertální poun (m) Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Chb dretzační volba tpu prvu Srovnání vlých pounů pro různé tp prvů(trop, počva) 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0,115 0,11 0,102 0,071 0,053 0,043 0,035 0, náobe poloměru r mamální vlý poun tropu(15-t uzlové prv) mamální zdvh počv (15-t uzlové prv) mamální vlý poun tropu (6-t uzlové prv) mamální zdvh počv (6-t uzlové prv) Poun pro oba tp troúhelníových prvů (6-t 15-t uzlové) ou poun Identcé.

49 ma.napětí v počvě (Pa) Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Chb dretzační volba tpu prvu Srovnání mamálních napětí pod počvou pro různé tp prvů náobe poloměru r ma. hlavní napětí pod počvou(15-t uzlové prv) ma. hlavní napětí pod počvou (6-t uzlové prv) Mamální napětí olem díla (v počvě) e pro různé prv rozdílné

50 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Záladní chbové fator ítě Chb dretzační valta ítě Málo hutá íť, hutší íť e nutno zvolt v mítech všším gradentem změn( olem vraženého tunelu, v oolí pat vahu, v oolí vhloubené ám ) zachcení loálních etrémů Velé zoení prvů (otré úhl) Přílš velý poměr mez nevětším a nemenším rozměrem prvů (tzv. apect rato-ar) Přílš velé rozdíl ve velot ouedních prvů optmální e potupná změna velot prvů (do 20 %)

51 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Chb dretzační valta ítě Správné tvar AR = cca 1 Nevhodné tvar AR voé, otré úhl Velot ouedních prvů Přílš velý rozdíl Špatná valta ítě způobue nepřené řešení, numercé problém, výledná outava rovnc e tzv. špatně podmíněná t. malá změna ve vtupních datech znamená velou změnu v řešení. Konvergenc úloh může rovněž narušt ombnace různých prvů v edné úloze d př poení maí prv na polečné hraně odlšný počet uzlů.

52 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Chb dretzační volba hutot ítě všší hutota ítě + volba prvů všším tupněm apromace pounů větší počet neznámých ve výledné outavě rovnc Odhad dél výpočtu: déla výpočtu= cca (počet neznámých) (šířa páu matce tuhot) 2

53 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Chb numercé Chb zaorouhlovací zeména př aplac Gauov elmnační metod pro řešení outav rovnc dochází ech aumulac Chb ntegrace chb poené numercou ntegrací např. pro tanovení matce tuhot vužtím určtého počtu Gauových ntegračních bodů, čím všší počet ntegračních bodů, tím všší přenot Chb teračních metod př nevhodné volbě počáteční apromace, teračního rou, natavení přenot výpočtu nemuí být plněna podmína onvergence metod Chb, nmž dochází př řešení výledné outav rovnc, čato ouví e špatnou valtou ítě popř. špatně zadaným oraovým podmínam modelu.

54 Modelování v geotechnce Metoda onečných prvů Obecné rovnání řešení potého problému a odpovídaící úloh MKP poun tanovené MKP ou obecně nžší ve rovnání e potým řešením numercý model e obecně tužší než model potý e vzrůtaící hutotou ítě e zvšue poddanot modelu